perm filename V2ANS2.XGP[TEX,DEK]1 blob
sn#422980 filedate 1979-03-07 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000587*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*
␈β 3␈↓ α∂␈εαANSWER␈αP␈α⎇A␈α␈GES␈αfor␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β ←␈↓ ¬c␈εα(Volume␈α2)
␈β
␈↓ ∧←␈εα(second␈α
half␈αof␈αthe␈αansw␈α␈ers)
␈β
5␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε#␈ε∧56␈α↓2
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα563
␈βαq␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.3␈α␈.2
␈ββ:␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈απsolution␈απis␈αλun␈α␈iqu␈α␈e␈αλsince␈απ7␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈α∧1␈α␈1␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈αβ13␈α =␈α 100␈α␈1.␈α
The␈αλ\␈α␈con␈α␈struc␈α␈ti␈α↓v␈α}e"␈αλp␈α␈roo␈α␈f␈αλof␈αλTh␈α␈eorem
␈ββ↑␈↓ ¬?␈εε6␈↓ ε←␈εε10␈↓ λ
␈εε1␈α␈2
␈ββ←␈↓ ∧N␈εα(␈↓ λ&␈εα)
␈ββb␈↓ ↓H␈εβC␈αεtells␈απu␈α␈s␈απth␈α␈at␈αεthe␈αεan␈α␈sw␈α␈er␈αεi␈α↓s␈↓ ∧Z␈εβ(11␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓13␈↓ ¬4␈εβ)␈↓ ¬L␈εβ+␈αα6␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓(␈α↓7␈ε↔↓␈εβ␈αα13␈↓ εT␈εβ)␈↓ εz␈εβ+␈α↓5␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈αα(7␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓11␈↓ λ↓␈εβ)␈↓ λ7␈εβmod␈↓ λ|␈εβ1␈α␈001␈α␈.␈α
But␈αεthis␈αεansw␈α␈e␈α␈r
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εβis␈αp␈α␈erha␈α␈ps␈αn␈α␈ot␈αex␈α␈plicit␈αeno␈α␈ug␈α␈h!␈α∞By␈α(23␈α␈)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ π∪␈ε v␈↓ π9␈εβ=␈α1,␈↓ λ␈ε v␈↓ λ1␈εβ=␈α(␈α↓6␈ε↔␈απ␈␈εβ␈α 1␈α␈)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈α 8␈↓ v␈εβmo␈α␈d␈↓
:␈εβ11␈α
=␈α7␈α␈,
␈β∧∀␈↓ π"␈εε1␈↓ λ~␈εε2
␈β∧.␈↓ α↔␈εα(␈↓ βt␈εα)
␈β∧1␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α#␈εβ(5␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈απ2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ7␈↓ ∧π␈ε↔↓␈εβ␈αλ6␈↓ ∧.␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧r␈εβ13␈α =␈α
6␈α␈,␈αso␈↓ ε∃␈ε u␈↓ ε3␈εβ=␈α 6␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈1␈απ+␈αλ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈απ+␈απ1␈α =␈α
5␈α␈12.
␈β∧;␈↓ ↓V␈εε3
␈β∧b␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβNo.␈α
Th␈α␈ere␈απis␈απat␈απmo␈α␈st␈απon␈α␈e␈απsuc␈α␈h␈↓ ¬6␈ε u␈↓ ¬J␈εβ;␈α th␈α␈e␈απad␈α␈dition␈α␈al␈απcon␈α␈dition␈↓ λ8␈ε u␈↓ λa␈ε↔⊃␈↓ ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ <␈ε↔⊃␈↓ g␈ε u␈↓
∂␈εβ(mod␈α␈ulo␈α1␈α␈)
␈β∧l␈↓ λL␈εε1␈↓ z␈εr
␈β¬ ␈↓ ↓H␈εβis␈αεne␈α␈cessa␈α␈ry␈αεan␈α␈d␈αεsu␈α␈}cien␈α␈t␈α␈,␈αλan␈α␈d␈αεit␈αεfollo␈α␈ws␈αεtha␈α␈t␈αεsuch␈α¬a␈αεgen␈α␈era␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αεis␈αεno␈α␈t␈απv␈α}ery␈αεin␈α}teresting␈α␈.
␈β¬7␈↓ εt␈εα(␈↓ ∨␈εα)
␈β¬:␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε u␈↓ α,␈ε↔⊃␈↓ αX␈ε u␈↓ βα␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧β␈ε m␈↓ ∧*␈εβ)␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈αtha␈α␈t␈↓ ¬}␈ε u␈↓ ε≥␈ε↔⊃␈↓ εJ␈ε u␈↓ π␈εβmod␈α␈ulo␈↓ πx␈εβgcd␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈ε m␈↓ λ\␈εβ,␈↓ λk␈ε m␈↓ ∪␈εβ)␈↓ +␈εβ,␈α
so␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition
␈β¬E␈↓ αl␈εi␈↓ ∧ ␈εi␈↓ ε]␈εi␈↓ λR␈εi␈↓ π␈εj
␈β¬←␈↓ αJ␈εα(␈↓ ∧t␈εα)
␈β¬b␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓q␈ε↔⊃␈↓ α≡␈ε u␈↓ αV␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ βN␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε m␈↓ ∧2␈εβ,␈↓ ∧A␈ε m␈↓ ∧i␈εβ)␈↓ ¬
␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α
s␈α␈urely␈αho␈α␈ld␈α
if␈αthere␈αis␈α
a␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α⊂Fu␈α␈rthe␈α␈rmore␈αif
␈β¬l␈↓ ↓[␈εi␈↓ α1␈εj␈↓ ∧'␈εi␈↓ ∧]␈εj
␈βε ␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓f␈ε↔⊃␈↓ α∩␈ε v␈↓ α-␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ β/␈ε m␈↓ βW␈εβ)␈αfor␈αa␈α␈ll␈↓ ∧Q␈ε j␈↓ ∧`␈εβ,␈αthen␈↓ ¬B␈ε u␈↓ ¬↑␈ε↔␈␈↓ επ␈ε v␈↓ ε$␈εβis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ λ
␈εβlcm␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε m␈↓ λu␈εβ,␈↓ ∧␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 0␈εβ,␈↓ ?␈ε m␈↓ g␈εβ)␈α=␈↓
(␈ε m␈↓
F␈εβ;␈αhe␈α␈nce
␈βε∀␈↓ βK␈εj␈↓ λh␈εε1␈↓ [␈εr
␈βε1␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αis␈αat␈αm␈α␈ost␈αon␈α␈e␈αsolut␈α␈i␈α↓o␈α␈n.
␈βεX␈↓ α␈εβThe␈α∞p␈α␈roo␈α␈f␈α∂c␈α␈an␈α∞n␈α␈o␈α␈w␈α∞be␈α
comp␈α␈leted␈α∞in␈α
a␈α∞no␈α␈nco␈α␈nstru␈α␈ctiv␈α␈e␈α∞m␈α␈ann␈α␈er␈α∞by␈α
cou␈α␈n␈α␈tin␈α␈g␈α∞the
␈βπ␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞di{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈↓ βt␈ε r␈↓ ∧α␈εβ-tup␈α␈les␈α∞(␈↓ ∧⎇␈ε u␈↓ ¬≥␈εβ,␈↓ ¬,␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬X␈εβ,␈↓ ¬g␈ε u␈↓ εε␈εβ)␈α∞satisfyin␈α␈g␈α∞th␈α␈e␈α∞con␈α␈dition␈α␈s␈α∞0␈ε↔␈α∞∀␈↓ d␈ε u␈↓
⊃␈εβ<␈↓
@␈ε m␈↓
w␈εβa␈α␈nd
␈βπ␈↓ ¬⊂␈εε1␈↓ ¬z␈εr␈↓ w␈εj␈↓
]␈εj
␈βπ%␈↓ αR␈εα(␈↓ ∧}␈εα)
␈βπ(␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓t␈ε↔⊃␈↓ α$␈ε u␈↓ α↑␈εβmod␈α␈ulo␈↓ βX␈εβgc␈α␈d␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε m␈↓ ∧<␈εβ,␈↓ ∧K␈ε m␈↓ ∧s␈εβ)␈↓ ¬
␈εβ.␈α⊗If␈α∂t␈α␈his␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞i␈α↓s␈↓ π2␈ε m␈↓ πO␈εβ,␈α⊂th␈α␈ere␈α∞m␈α␈ust␈α∞be␈α∞a␈α∞solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞since
␈βπ2␈↓ ↓[␈εi␈↓ α8␈εj␈↓ ∧1␈εi␈↓ ∧g␈εj
␈βπO␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε u␈↓ ↓l␈εβmod␈↓ α1␈ε m␈↓ αZ␈εβ,␈↓ αi␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β∃␈εβ,␈↓ β$␈ε u␈↓ β=␈εβmod␈↓ ∧α␈ε m␈↓ ∧*␈εβ)␈↓ ∧>␈εβtak␈α}es␈α o␈α␈n␈↓ ¬>␈ε m␈↓ ¬d␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct␈α v␈α␈alu␈α␈es␈α as␈↓ πc␈ε u␈↓ λ␈εβgo␈α␈es␈α fro␈α␈m␈↓ ∪␈ε a␈↓ ,␈εβto␈↓ R␈ε a␈↓ g␈εβ+␈↓
␈ε m␈↓
*␈εβ.␈α
Assume
␈βπZ␈↓ αM␈εε1␈↓ ∧≡␈εr
␈βπw␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε u␈↓ α0␈εβ,␈↓ α?␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αk␈εβ,␈↓ αz␈ε u␈↓ βK␈εβh␈α␈av␈α}e␈αb␈α␈een␈αch␈α␈osen␈αsa␈α␈ti␈α↓s␈α␈f␈α↓y␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αgiv␈α}en␈αcon␈α␈dition␈α␈s;␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αn␈α␈o␈α␈w␈αpick
␈βλ↓␈↓ α#␈εε1␈↓ β
␈εr␈↓ β→␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βλ≠␈↓ αA␈εα(␈↓ ∧g␈εα)
␈βλ≡␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓p␈ε↔⊃␈↓ α≠␈ε u␈↓ αM␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ β?␈εβg␈α␈cd␈↓ βq␈εβ(␈↓ β|␈ε m␈↓ ∧$␈εβ,␈↓ ∧3␈ε m␈↓ ∧\␈εβ)␈↓ ∧z␈εβfo␈α␈r␈απ1␈ε↔␈α ∀␈↓ ¬n␈ε j␈↓ εε␈εβ<␈↓ ε0␈ε r␈↓ ε?␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈αεby␈αεth␈α␈e␈απge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈d␈απCh␈α␈inese␈αεRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r
␈βλ)␈↓ ↓[␈εr␈↓ α.␈εj␈↓ ∧_␈εj␈↓ ∧O␈εr
␈βλF␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αfor␈↓ βλ␈ε r␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
el␈α↓e␈α␈men␈α}ts␈αthere␈αa␈α␈re
␈βλ|␈↓ αj␈εα(␈↓ ε6␈εα)␈↓ πa␈εα(␈↓
0␈εα)
␈βλ␈␈↓ ↓⎇␈ε m␈↓ α%␈εβ/␈↓ α6␈εβlcm␈↓ αv␈εβg␈α␈cd␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε m␈↓ β\␈εβ,␈↓ βk␈ε m␈↓ ∧∪␈εβ),␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧h␈εβgcd␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬%␈ε m␈↓ ¬t␈εβ,␈↓ εα␈ε m␈↓ ε+␈εβ)␈↓ εK␈εβ=␈↓ εv␈ε m␈↓ π≡␈εβ/␈↓ π/␈εβgcd␈↓ πm␈εβlcm␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε m␈↓ λU␈εβ,␈↓ λd␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ⊂␈εβ,␈↓ ∨␈ε m␈↓ m␈εβ),␈↓
π␈ε m
␈β
␈↓ α→␈εr␈↓ βO␈εε1␈↓ ∧π␈εr␈↓ ¬B␈εr␈↓ ¬N␈ε~␈␈εε1␈↓ ε∨␈εr␈↓ π∩␈εr␈↓ λH␈εε1␈↓ ;␈εr␈↓ H␈ε~␈␈εε1␈↓
$␈εr
␈β '␈↓ εK␈εβ=␈↓ εv␈εβlcm␈↓ π*␈εβ(␈↓ π5␈ε m␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πm␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ→␈εβ,␈↓ λ(␈ε m␈↓ λP␈εβ)/␈↓ λl␈εβlcm␈↓ ␈εβ(␈↓ +␈ε m␈↓ T␈εβ,␈↓ c␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓
∂␈εβ,␈↓
≡␈ε m␈↓
l␈εβ)
␈β 2␈↓ πQ␈εε1␈↓ λD␈εr␈↓ G␈εε1␈↓
:␈εr␈↓
G␈ε~␈␈εε1
␈β f␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈ys␈αεto␈α¬do␈α¬this.␈α[Th␈α␈i␈α↓s␈αεp␈α␈roo␈α␈f␈αεis␈αεba␈α␈sed␈αεo␈α␈n␈αεid␈α␈en␈α␈tities␈αε(1␈α␈0),␈απ(11),␈απ(12␈α␈)␈α↓,␈απa␈α␈nd␈α¬(14)␈αεo␈α␈f␈αεSe␈α␈ction␈α¬4.5.2.]
␈β
␈↓ α␈εβA␈αcon␈α␈struc␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αpro␈α␈of␈α[␈α↓A.␈αS.␈αF␈α↓r␈α␈aen␈α␈k␈α␈el,␈ε⊂␈αProc␈α␈.␈αAme␈α␈r.␈αMa␈α␈th.␈αSo␈α␈c.␈ε∪␈α1␈α␈5␈εβ␈α(196␈α␈3),␈α7␈α␈90↑␈α␈791␈α␈]
␈β
5␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ralizi␈α↓n␈α␈g␈α(24)␈αcan␈αb␈α␈e␈α
g␈α␈iv␈α␈en␈αa␈α␈s␈α
follo␈α␈ws.␈α⊂Let␈↓ εn␈ε M␈↓ π"␈εβ=␈↓ πO␈εβlcm␈↓ λβ␈εβ(␈↓ λ∞␈ε m␈↓ λ7␈εβ,␈↓ λF␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λr␈εβ,␈↓ ↓␈ε m␈↓ *␈εβ);␈α
w␈α␈e␈α
wish␈αto␈α|␈α␈nd
␈β
@␈↓ π␈εj␈↓ λ+␈εε1␈↓ ≥␈εj
␈β
]␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓e␈εβ=␈↓ α⊂␈ε v␈↓ α+␈ε M␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β*␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βY␈εβ+␈↓ ∧↓␈ε v␈↓ ∧≥␈ε M␈↓ ∧N␈εβ+␈↓ ∧v␈ε v␈↓ ¬∩␈εβ,␈αwhere␈α0␈ε↔␈α ∀␈↓ εL␈ε v␈↓ εp␈εβ<␈↓ π≠␈ε M␈↓ πD␈εβ/␈↓ πU␈ε M␈↓ λ#␈εβ.␈αAssum␈α␈e␈αt␈α␈hat␈↓ {␈ε v␈↓
⊗␈εβ,␈↓
+␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓
W␈εβ,␈↓
l␈ε v
␈β
g␈↓ α∨␈εr␈↓ αH␈εr␈↓ αT␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧⊂␈εε2␈↓ ∧9␈εε1␈↓ ¬¬␈εε1␈↓ ε[␈εj␈↓ π8␈εj␈↓ πq␈εj␈↓ π⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓
␈εε1␈↓
{␈εj␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β∧␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈αalread␈α␈y␈αb␈α␈een␈α
dete␈α␈rmined␈α␈;␈αt␈α␈hen␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αso␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈gru␈α␈ence
␈βG␈↓ βG␈ε v␈↓ βb␈ε M␈↓ ∧8␈εβ+␈↓ ∧a␈ε v␈↓ ¬!␈ε M␈↓ ¬w␈εβ+␈↓ ε ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εN␈εβ+␈↓ εw␈ε v␈↓ π≠␈ε↔⊃␈↓ πF␈ε u␈↓ πn␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ λp␈ε m␈↓ _␈εβ).
␈βQ␈↓ βV␈εj␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧o␈εj␈↓ ∧|␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬>␈εj␈↓ ¬J␈ε~␈␈εε2␈↓ πε␈εε1␈↓ πY␈εj␈↓ ␈εj
␈βε␈↓ εβ␈εα(␈↓ λ-␈εα)
␈β ␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α⊗␈ε v␈↓ αW␈ε M␈↓ β.␈εβ+␈↓ βW␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧ε␈εβ+␈↓ ∧0␈ε v␈↓ ∧V␈ε↔⊃␈↓ ¬α␈ε u␈↓ ¬+␈ε↔⊃␈↓ ¬X␈ε u␈↓ ε∂␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ πε␈εβgcd␈↓ π8␈εβ(␈↓ πC␈ε m␈↓ πk␈εβ,␈↓ πy␈ε m␈↓ λ"␈εβ)␈↓ λE␈εβfor␈↓ λz␈ε i␈↓ ∩␈εβ<␈↓ >␈ε j␈↓ Y␈εβby␈αh␈α}yp␈α␈oth␈α␈esis,
␈β∪␈↓ α%␈εj␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ αt␈εj␈↓ β␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧>␈εε1␈↓ ¬∃␈εi␈↓ ¬k␈εj␈↓ π`␈εi␈↓ λ⊗␈εj
␈β0␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓p␈ε c␈↓ απ␈εβ=␈↓ α1␈ε u␈↓ αX␈ε↔␈␈εβ␈απ(␈↓ β␈ε v␈↓ βL␈ε M␈↓ ∧"␈εβ+␈↓ ∧K␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧y␈εβ+␈↓ ¬"␈ε v␈↓ ¬=␈εβ)␈αis␈αa␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f
␈β;␈↓ αD␈εj␈↓ β~␈εj␈↓ β&␈ε~␈␈εε1␈↓ βi␈εj␈↓ βu␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬0␈εε1
␈βp␈↓ β;␈εα(␈↓ ππ␈εα)
␈βs␈↓ βπ␈εβlcm␈↓ βG␈εβg␈α␈cd␈↓ βy␈εβ(␈↓ ∧∧␈ε m␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧<␈ε m␈↓ ∧d␈εβ),␈↓ ∧}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬*␈εβ,␈↓ ¬9␈εβgcd␈↓ ¬k␈εβ(␈↓ ¬v␈ε m␈↓ εD␈εβ,␈↓ εS␈ε m␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π≤␈εβ=␈↓ πG␈εβg␈α␈cd␈↓ πy␈εβ(␈↓ λ∧␈ε M␈↓ λR␈εβ,␈↓ λa␈ε m␈↓ ␈εβ)␈α
=␈↓ H␈ε d␈↓ d␈εβ.
␈β⎇␈↓ ∧ ␈εε1␈↓ ∧X␈εj␈↓ ε∪␈εj␈↓ ε∨␈ε~␈␈εε1␈↓ εp␈εj␈↓ λ ␈εj␈↓ λ,␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ⎇␈εj␈↓ X␈εj
␈β
5␈↓ ↓H␈εβWe␈α
there␈α␈fore␈α∞m␈α}ust␈α
solv␈α␈e␈↓ ∧>␈ε v␈↓ ∧Y␈ε M␈↓ ¬5␈ε↔⊃␈↓ ¬d␈ε c␈↓ ¬}␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ π␈ε m␈↓ π(␈εβ).␈α∪B␈α↓y␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∞algo␈α␈rithm␈α
ther␈α␈e␈α∞is␈α∞a
␈β
@␈↓ ∧M␈εj␈↓ ∧v␈εj␈↓ ¬α␈ε~␈␈εε1␈↓ π≤␈εj
␈β
]␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ α@␈ε c␈↓ αc␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ βw␈ε c␈↓ ∧∂␈ε M␈↓ ∧g␈ε↔⊃␈↓ ¬⊃␈ε d␈↓ ¬6␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ε8␈ε m␈↓ ε`␈εβ);␈αh␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αmay␈α
tak␈α}e
␈β
g␈↓ αL␈εj␈↓ ∧β␈εj␈↓ ∧,␈εj␈↓ ∧8␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬!␈εj␈↓ εT␈εj
␈β∞∨␈↓ ∧⎇␈ε v␈↓ ¬!␈εβ=␈α
(␈↓ ¬W␈ε c␈↓ ¬t␈ε c␈↓ ε↓␈εβ)␈α↓/␈↓ ε≥␈ε d␈↓ ε>␈εβmod␈↓ πβ␈εβ(␈↓ π∞␈ε m␈↓ π6␈εβ/␈↓ πG␈ε d␈↓ πc␈εβ).
␈β∞*␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬c␈εj␈↓ ε-␈εj␈↓ π*␈εj␈↓ πV␈εj
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβNo␈α␈te␈αth␈α␈at,␈αas␈αin␈αth␈α␈e␈αno␈α␈nco␈α␈nstru␈α␈ctiv␈α␈e␈αp␈α␈roof,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ πE␈ε m␈↓ πm␈εβ/␈↓ π}␈ε d␈↓ λ#␈εβ=␈↓ λM␈ε M␈↓ λv␈εβ/␈↓ ε␈ε M␈↓ U␈εβ.
␈β∞l␈↓ πa␈εj␈↓ λ
␈εj␈↓ λj␈εj␈↓ #␈εj␈↓ /␈ε~␈␈εε1
␈β∂∩␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(After␈↓ αn␈ε m␈↓ β ␈εβ=␈α 91␈α =␈α 7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ13␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈αu␈α␈sed␈α
up␈α
all␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈α
of␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
or␈α
more␈α
od␈α␈d␈α
prime␈α␈s
␈β∂≥␈↓ β
␈εε4
␈β∂:␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈α10␈α␈0,␈αso␈↓ ∧s␈ε m␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈εβm␈α␈ust␈αa␈α␈ll␈αb␈α␈e␈αprime␈α␈.␈α↓)
␈β∂E␈↓ ¬∂␈εε5
␈β∂w␈↓ α8␈ε m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ7␈α␈9,␈↓ ∧∀␈ε m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ7␈α␈3,␈↓ ¬p␈ε m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ71,␈↓ πL␈ε m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ67,␈↓ (␈ε m␈↓ g␈εβ=␈↓
⊃␈εβ61,
␈β⊂α␈↓ αU␈εε7␈↓ ∧1␈εε8␈↓ ε␈εε9␈↓ πh␈εε10␈↓ D␈εε11
␈β⊂)␈↓ α8␈ε m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ5␈α␈9,␈↓ ∧∀␈ε m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ5␈α␈3,␈↓ ¬p␈ε m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ47,␈↓ πL␈ε m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ43,␈↓ (␈ε m␈↓ g␈εβ=␈↓
⊃␈εβ41,
␈β⊂4␈↓ αU␈εε1␈α␈2␈↓ ∧1␈εε1␈α␈3␈↓ ε␈εε14␈↓ πh␈εε15␈↓ D␈εε16
␈β⊂\␈↓ α8␈ε m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ3␈α␈7,␈↓ ∧∀␈ε m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ3␈α␈1,␈↓ ¬p␈ε m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ29,␈↓ πL␈ε m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ23,␈↓ (␈ε m␈↓ g␈εβ=␈↓
⊃␈εβ17,
␈β⊂f␈↓ αU␈εε1␈α␈7␈↓ ∧1␈εε1␈α␈8␈↓ ε␈εε19␈↓ πh␈εε20␈↓ D␈εε21
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
then␈α
w␈α␈e␈αare␈αstu␈α␈ck␈α(␈↓ ∧!␈ε m␈↓ ∧←␈εβ=␈α
1␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈o␈αgo␈α␈od␈α␈)␈α↓.
␈β⊃)␈↓ ∧=␈εε22
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα564␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.3.2
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβNo.␈αTh␈α␈e␈αobv␈α␈iou␈α␈s␈αup␈α␈per␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈,
␈βα←␈↓ εN␈ε↓Y
␈βα}␈↓ ∧j␈εε4␈↓ ¬π␈εε2␈↓ ¬$␈εε2␈↓ ¬R␈εε1␈↓ π'␈ε~b␈↓ π0␈εεlog␈↓ πb␈εε10␈α␈0␈ε~c
␈ββ∧␈↓ ∧Y␈εβ3␈↓ ∧v␈εβ5␈↓ ¬∀␈εβ7␈↓ ¬1␈εβ1␈↓ ¬B␈εβ1␈↓ ¬←␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ε∂␈εβ=␈↓ π⊗␈ε p␈↓ λ∩␈εβ,
␈ββπ␈↓ πQ␈ε
p
␈ββ1␈↓ εG␈εp␈↓ εZ␈εεo␈α␈dd
␈ββI␈↓ ε<␈εp␈↓ εN␈εεprime
␈β∧#␈↓ ¬2␈εε4␈↓ εQ␈εε2
␈β∧'␈↓ ↓H␈εβis␈α∂a␈α␈ttaine␈α␈d␈α∂if␈α∂w␈α␈e␈α∞cho␈α␈ose␈↓ ∧8␈ε m␈↓ ∧q␈εβ=␈↓ ¬!␈εβ3␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬X␈ε m␈↓ ε⊂␈εβ=␈↓ εA␈εβ5␈↓ ε↑␈εβ,␈α⊂e␈α␈tc.␈α!(It␈α∂is␈α∂m␈α␈ore␈α∂d␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t,␈α∂ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α⊂to
␈β∧1␈↓ ∧U␈εε1␈↓ ¬t␈εε2
␈β∧N␈↓ ↓H␈εβm␈α␈aximize␈↓ α[␈ε m␈↓ β
␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β6␈ε m␈↓ βh␈εβwh␈α␈en␈↓ ∧=␈ε r␈↓ ∧T␈εβi␈α↓s␈α |␈α␈x␈α␈ed␈α␈,␈α
o␈α␈r␈α to␈α ma␈α␈ximize␈↓ π-␈ε m␈↓ πZ␈εβ+␈↓ λ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ,␈εβ+␈↓ λR␈ε m␈↓ β␈εβas␈α w␈α␈e␈α w␈α␈ou␈α␈ld␈α at␈α␈temp␈α␈t
␈β∧Y␈↓ αx␈εε1␈↓ βS␈εr␈↓ πI␈εε1␈↓ λn␈εr
␈β∧q␈↓ ∧L␈εm
␈β∧v␈↓ ↓H␈εβto␈α
do␈αwh␈α␈en␈αu␈α␈sing␈α
mod␈α␈uli␈↓ ∧;␈εβ2␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α↓)
␈β∧y␈↓ ∧c␈ε
j
␈β¬,␈↓ ¬∞␈εe␈↓ ¬g␈εf␈↓ ε∂␈εg␈↓ ε'␈εk␈↓ πα␈εf␈↓ π;␈εk␈↓ λi␈εg␈↓
G␈εe␈↓ ␈εf
␈β¬0␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃If␈↓ αh␈ε e␈↓ ββ␈εβ=␈↓ β2␈ε f␈↓ βK␈εβ+␈↓ βv␈ε k␈↓ ∧ε␈ε g␈↓ ∧⊗␈εβ,␈α∂the␈α␈n␈↓ ∧⎇␈εβ2␈↓ ¬&␈εβ=␈↓ ¬V␈εβ2␈↓ ¬s␈εβ(␈↓ ¬}␈εβ2␈↓ ε≤␈εβ)␈↓ εB␈ε↔⊃␈↓ εr␈εβ2␈↓ π_␈ε↔↓␈↓ π+␈εβ1␈↓ πW␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λX␈εβ2␈↓ λ␈␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈α↓.␈α∀S␈α␈o␈α∞if␈↓
6␈εβ2␈↓
`␈ε↔⊃␈↓ ∂␈εβ2
␈β¬T␈↓ αZ␈εg␈↓ ∧P␈εe␈↓ ∧←␈εεmod␈↓ ¬∪␈εg␈↓ ¬d␈εf␈↓ ¬u␈εεmod␈↓ ε)␈εg␈↓ πQ␈εg
␈β¬X␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ αl␈ε↔␈␈εβ␈αε1),␈α
we␈α ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧@␈εβ2␈↓ ¬)␈ε↔⊃␈↓ ¬T␈εβ2␈↓ ε?␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π@␈εβ2␈↓ πd␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈);␈αan␈α␈d␈α si␈α↓n␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
lat␈α␈ter␈α
qu␈α␈an␈α␈-
␈β¬{␈↓ ∧f␈εg
␈β¬␈␈↓ ↓H␈εβtities␈αl␈α↓ie␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
z␈α␈ero␈αand␈↓ ∧V␈εβ2␈↓ ∧|␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ π→␈ε e␈↓ π,␈εβmo␈α␈d␈↓ πp␈ε g␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ9␈ε f␈↓ λN␈εβmod␈↓ ∪␈ε g␈↓ "␈εβ.␈α≥(b)␈αBy␈α
p␈α␈art␈α(a),
␈βε#␈↓ α%␈εd␈↓ βN␈εε(␈↓ βV␈εc␈↓ βa␈ε~␈␈εε1)␈↓ ∧∂␈εd␈↓ ∧↑␈εe␈↓ εJ␈εd␈↓ πr␈εε(␈↓ π{␈εc␈↓ λε␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ λ4␈εd␈↓ α␈εd␈↓
%␈εc␈↓
0␈εd
␈βε'␈↓ ↓H␈εβ(1␈απ+␈↓ α∃␈εβ2␈↓ α<␈εβ+␈↓ αe␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β∀␈εβ+␈↓ β=␈εβ2␈↓ ∧≡␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ(␈↓ ∧M␈εβ2␈↓ ∧q␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈α⊃␈εβ␈α(1␈αλ+␈↓ ε9␈εβ2␈↓ ε`␈εβ+␈↓ π
␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π8␈εβ+␈↓ πb␈εβ2␈↓ λB␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈α (␈↓ λr␈εβ2␈↓ →␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=␈↓
∃␈εβ2␈↓
G␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α
⊃
␈βεK␈↓ ↓X␈εc␈↓ ↓c␈εe␈↓ αs␈εε1␈↓ ¬ ␈εf
␈βεO␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓u␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α ⊃␈↓ αb␈εβ2␈↓ βπ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α =␈α 1␈α (mod␈α␈ulo␈↓ ¬⊂␈εβ2␈↓ ¬4␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈βπε␈↓ α␈εα(␈↓ αg␈εα(␈↓ πl␈εα))
␈βπ ␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α_␈ε u␈↓ α?␈ε↔␈␈↓ αs␈ε v␈↓ β⊗␈εβ+␈↓ β?␈ε m␈↓ βh␈εβ(␈↓ βs␈ε v␈↓ ∧∃␈εβ+␈↓ ∧>␈ε m␈↓ ∧g␈εβ(␈↓ ∧r␈ε v␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬>␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬l␈εβ+␈↓ ε∃␈ε m␈↓ εc␈ε v␈↓ π#␈εβ)␈↓ π4␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π`␈εβ)␈↓ λ ␈ε c␈↓ λ3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ`␈ε c
␈βπ∀␈↓ α+␈εj␈↓ βα␈εε1␈↓ β[␈εε1␈↓ ∧↓␈εε2␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ¬↓␈εε3␈↓ ε1␈εj␈↓ ε=␈ε~␈␈εε2␈↓ εr␈εj␈↓ ε}␈ε~␈␈εε1␈↓ λ∃␈εε1␈↓ λ"␈εj
␈βπ∃␈↓ λl␈εε(␈↓ λt␈εj␈↓ ␈ε~␈␈εε1)␈↓ .␈εj
␈βπ/␈↓ αX␈εβ=␈α (␈↓ β
␈ε u␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β]␈ε v␈↓ βx␈εβ)␈↓ ∧β␈ε c␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈ε c␈↓ ¬<␈ε↔␈␈↓ ¬d␈ε m␈↓ ε
␈ε v␈↓ ε)␈ε c␈↓ εG␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εs␈ε c␈↓ πU␈ε↔␈␈↓ π}␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βπ:␈↓ β ␈εj␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧∂␈εε1␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ε↓␈εε1␈↓ ε≤␈εε2␈↓ ε5␈εε1
␈βπ;␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εj␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬(␈εj␈↓ ε␈␈εε(␈↓ πλ␈εj␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1)␈↓ πB␈εj
␈βπW␈↓ π!␈ε↔␈␈↓ πI␈ε m␈↓ πx␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ$␈ε m␈↓ λs␈ε v␈↓ 3␈ε c␈↓ ]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
␈ε c
␈βπa␈↓ πf␈εε1␈↓ λA␈εj␈↓ λM␈ε~␈␈εε2␈↓ ↓␈εj␈↓
␈ε~␈␈εε1␈↓ ?␈εε1␈↓ L␈εj
␈βπb␈↓
⊗␈εε(␈↓
≡␈εj␈↓
*␈ε~␈␈εε1)␈↓
X␈εj
␈βλ ␈↓ αX␈ε↔⊃␈εβ␈α (␈↓ β
␈ε u␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β]␈ε v␈↓ βx␈εβ)␈↓ ∧β␈ε c␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈ε c␈↓ ¬<␈ε↔␈␈↓ ¬d␈ε v␈↓ ε␈ε c␈↓ ε*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εV␈ε c␈↓ π8␈ε↔␈␈↓ πa␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∂␈ε↔␈␈↓ λ8␈ε v␈↓ λy␈ε c
␈βλ∀␈↓ β ␈εj␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧∂␈εε1␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ¬s␈εε2␈↓ ε␈εε2␈↓ ε_␈εj␈↓ λG␈εj␈↓ λS␈ε~␈␈εε1
␈βλ∃␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εj␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬(␈εj␈↓ εb␈εε(␈↓ εk␈εj␈↓ εw␈ε~␈␈εε1)␈↓ π%␈εj␈↓ ¬␈εε(␈↓
␈εj␈↓ →␈ε~␈␈εε1)␈↓ G␈εj
␈βλ8␈↓ βα␈εα(␈↓ π3␈εα)
␈βλ;␈↓ αX␈εβ=␈↓ β∀␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β@␈εβ((␈↓ βV␈ε u␈↓ β⎇␈ε↔␈␈↓ ∧&␈ε v␈↓ ∧A␈εβ)␈↓ ∧L␈ε c␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬!␈ε v␈↓ ¬<␈εβ)␈↓ ¬G␈ε c␈↓ ¬s␈ε↔␈␈↓ ε≤␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εJ␈ε↔␈␈↓ εs␈ε v␈↓ πE␈ε c␈↓ λ)␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ *␈ε m␈↓ S␈εβ).
␈βλF␈↓ βi␈εj␈↓ ∧4␈εε1␈↓ ∧X␈εε1␈↓ ∧e␈εj␈↓ ¬/␈εε2␈↓ ¬S␈εε2␈↓ ¬`␈εj␈↓ πα␈εj␈↓ π∞␈ε~␈␈εε1␈↓ G␈εj
␈βλG␈↓ πQ␈εε(␈↓ πY␈εj␈↓ πe␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ λ∀␈εj
␈βλv␈↓ α␈εβThis␈α
meth␈α␈od␈α
o␈α␈f␈αrewriting␈α
th␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αu␈α␈ses␈α
the␈α
sam␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α
o␈α␈pera␈α␈-
␈β ≥␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈α
an␈α␈d␈α
fe␈α␈we␈α␈r␈α
con␈α␈stan␈α}ts;␈α∞bu␈α␈t␈α
the␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈f␈α
con␈α␈stan␈α}ts␈α
i␈α↓s␈α
fe␈α␈we␈α␈r␈α
on␈α␈l␈α↓y␈αif␈α
we␈αord␈α␈er␈α
the
␈β E␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈li␈αso␈αth␈α␈at␈↓ β)␈ε m␈↓ β[␈εβ<␈↓ ∧ε␈ε m␈↓ ∧9␈εβ<␈↓ ∧d␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬∃␈εβ<␈↓ ¬@␈ε m␈↓ ¬i␈εβ,␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αn␈α␈eed␈αa␈αtab␈α␈le␈αo␈α␈f␈↓
␈ε m␈↓
6␈εβmod␈↓
{␈ε m␈↓ #␈εβ.
␈β P␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧#␈εε2␈↓ ¬]␈εr␈↓
&␈εi␈↓ ↔␈εj
␈β m␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αord␈α␈ering␈α
of␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓i␈αmig␈α␈h␈α␈t␈αsee␈α␈m␈αto␈αr␈α␈equ␈α␈i␈α↓re␈α
more␈α
com␈α␈pu␈α␈tation␈α
tha␈α␈n␈αif␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ade
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε m␈↓ ↓⎇␈εβthe␈αlarg␈α␈est,␈↓ β.␈ε m␈↓ βc␈εβthe␈αne␈α␈xt␈αl␈α↓a␈α␈rgest␈α␈,␈α
etc.,␈α
since␈αth␈α␈ere␈αare␈αman␈α}y␈αmore␈αo␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈αbe
␈β
∨␈↓ ↓d␈εε1␈↓ βJ␈εε2
␈β
<␈↓ ↓H␈εβd␈α␈on␈α␈e␈α
mod␈α␈ulo␈↓ β␈ε m␈↓ β>␈εβtha␈α␈n␈α
mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ¬␈ε m␈↓ ¬)␈εβ;␈αb␈α␈ut␈α
sinc␈α␈e␈↓ εI␈ε v␈↓ εn␈εβca␈α␈n␈α
be␈α as␈α
large␈α as␈↓ λu␈ε m␈↓ $␈ε↔␈␈εβ␈αε1,␈α
w␈α␈e␈α
are␈α bette␈α␈r
␈β
F␈↓ β(␈εr␈↓ ¬≥␈εε1␈↓ εX␈εj␈↓ ⊃␈εj
␈β
c␈↓ ↓H␈εβo␈α␈{␈α∞with␈↓ αG␈ε m␈↓ α⎇␈εβ<␈↓ β*␈ε m␈↓ β`␈εβ<␈↓ ∧
␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧@␈εβ<␈↓ ∧n␈ε m␈↓ ¬#␈εβi␈α↓n␈α(23)␈α
a␈α␈l␈α↓s␈α␈o.␈α⊃So␈αthis␈α
id␈α␈ea␈α
ap␈α␈pe␈α␈ars␈α
to␈αbe␈α
p␈α␈refera␈α␈ble␈α
to
␈β
n␈↓ αd␈εε1␈↓ βG␈εε2␈↓ ¬
␈εr
␈β␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
form␈α␈u␈α␈las␈α
i␈α↓n␈α the␈α
tex␈α␈t,␈αa␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
th␈α␈e␈α
form␈α␈u␈α␈las␈α
in␈α
the␈α
te␈α␈xt␈α
are␈α
a␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈geo␈α␈us␈α
whe␈α␈n␈α
the
␈β3␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈li␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈αfo␈α␈rm␈α(14),␈αas␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αin␈α
Sec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α4.3␈α␈.␈α↓3␈α␈.
␈βj␈↓ ¬C␈εα(␈↓
∞␈εα)
␈βm␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈ε m␈↓ α`␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β␈ε m␈↓ β5␈ε v␈↓ βa␈ε↔⊃␈↓ ∧∀␈ε m␈↓ ∧h␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬∀␈ε m␈↓ ¬T␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈εβ(␈α↓(␈↓ ε↔␈ε u␈↓ ε@␈ε↔␈␈↓ εl␈ε v␈↓ πλ␈εβ)␈↓ π∪␈ε c␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πn␈ε v␈↓ λ ␈εβ)␈↓ λ∀␈ε c␈↓ λD␈ε↔␈␈↓ λp␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ !␈ε↔␈␈↓ M␈ε v␈↓
∨␈ε c␈↓ ␈ε↔⊃
␈βx␈↓ α(␈εj␈↓ α4␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ β)␈εε1␈↓ βD␈εj␈↓ ∧0␈εj␈↓ ∧<␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬0␈εε1␈↓ ε*␈εj␈↓ ε{␈εε1␈↓ π∨␈εε1␈↓ π+␈εj␈↓ π⎇␈εε2␈↓ λ ␈εε2␈↓ λ-␈εj␈↓ \␈εj␈↓ h␈ε~␈␈εε1
␈βy␈↓
+␈εε(␈↓
4␈εj␈↓
@␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓
n␈εj
␈β∩␈↓ αv␈εα(␈↓ ε∩␈εα)
␈β∃␈↓ ↓H␈ε m␈↓ α≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αH␈ε m␈↓ βλ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β4␈εβ(␈↓ β?␈ε u␈↓ βc␈ε↔␈␈↓ ∧ ␈ε v␈↓ ∧%␈εβ)␈↓ ∧0␈ε c␈↓ ∧Y␈ε↔␈␈↓ ∧␈␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬+␈ε↔␈␈↓ ¬Q␈ε v␈↓ ε#␈ε c␈↓ πβ␈ε↔␈␈↓ π)␈ε v␈↓ πi␈ε m␈↓ λ=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λj␈ε m␈↓ ≤␈ε↔⊃␈↓ F␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ v␈ε↔⊃␈↓
!␈ε u␈↓
E␈ε↔␈␈↓
k␈ε v␈↓ ␈ε↔␈
␈β∨␈↓ ↓d␈εj␈↓ ↓p␈ε~␈␈εε2␈↓ αd␈εε1␈↓ βS␈εj␈↓ ∧_␈εε1␈↓ ∧<␈εε1␈↓ ∧H␈εj␈↓ ¬`␈εj␈↓ ¬l␈ε~␈␈εε2␈↓ π8␈εj␈↓ πD␈ε~␈␈εε1␈↓ λε␈εj␈↓ λ∩␈ε~␈␈εε2␈↓ ε␈εε1␈↓
4␈εj␈↓
z␈εε1
␈β ␈↓ ε/␈εε(␈↓ ε8␈εj␈↓ εD␈ε~␈␈εε2)␈↓ εr␈εj
␈β<␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓c␈ε m␈↓ α∪␈ε↔␈␈↓ α<␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αj␈ε↔␈␈↓ β∪␈ε v␈↓ βT␈ε m␈↓ ∧'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧T␈ε m␈↓ ¬ε␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ επ␈ε m␈↓ ε0␈εβ).
␈βG␈↓ ↓V␈εε2␈↓ ↓␈␈εε1␈↓ β"␈εj␈↓ β.␈ε~␈␈εε1␈↓ βp␈εj␈↓ β|␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧p␈εε1␈↓ ε$␈εj
␈βt␈↓ α←␈εα(␈↓ πC␈εα)
␈βw␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε u␈↓ α5␈ε↔ ␈↓ αk␈εβ(␈↓ α|␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε v␈↓ βN␈ε m␈↓ ∧$␈εβ+␈↓ ∧M␈ε v␈↓ ¬
␈εβ)␈↓ ¬_␈ε m␈↓ ¬n␈εβ+␈↓ ε↔␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εC␈εβ)␈↓ εN␈ε m␈↓ ε␈␈εβ+␈↓ π(␈ε v␈↓ πT␈εβmod␈↓ λ→␈ε m␈↓ λA␈εβ,␈↓ λa␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓
␈εβ,
␈β
↓␈↓ α∨␈εr␈↓ βB␈εr␈↓ βk␈εr␈↓ βw␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧[␈εr␈↓ ∧h␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬5␈εr␈↓ ¬A␈ε~␈␈εε2␈↓ εk␈εε1␈↓ π6␈εε1␈↓ λ5␈εr
␈β
≡␈↓ ε5␈ε u␈↓ ε↑␈ε↔ ␈εβ␈α
(␈↓ π∀␈ε v␈↓ π/␈ε m␈↓ π`␈εβ+␈↓ λλ␈ε v␈↓ λ$␈εβ)␈↓ λ4␈εβmod␈↓ λy␈ε m␈↓ "␈εβ,␈↓ A␈ε u␈↓ j␈ε↔ ␈↓
∃␈ε v␈↓
6␈εβmo␈α␈d␈↓
z␈ε m␈↓ #␈εβ.
␈β
)␈↓ εH␈εε2␈↓ π#␈εε2␈↓ πL␈εε1␈↓ λ↔␈εε1␈↓ ∃␈εε2␈↓ T␈εε1␈↓
$␈εε1␈↓ ↔␈εε1
␈β
V␈↓ α␈εα(
␈β
Y␈↓ α_␈εβThe␈αco␈α␈mpu␈α␈tation␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈αd␈α␈on␈α␈e␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αord␈α␈er,␈αif␈αw␈α␈e␈αwa␈α␈n␈α␈t␈αto␈αlet␈↓ N␈ε u␈↓ y␈εβan␈α␈d␈↓
:␈ε v␈↓
a␈εβsh␈α␈are
␈β
c␈↓ a␈εj␈↓
I␈εj
␈β
⎇␈↓ πβ␈εα)
␈β∞␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αmemo␈α␈ry␈αloc␈α␈ation␈α␈s,␈αa␈α␈s␈αthey␈α
can␈α
i␈α↓n␈α
(23).
␈β∞;␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈αw␈α␈e␈αre␈α␈de|␈α␈ne␈α
the␈α
\mo␈α␈d"␈α
op␈α␈erato␈α␈r␈αso␈αth␈α␈at␈α
i␈α↓t␈α
pro␈α␈du␈α␈ces␈αresid␈α␈ues␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈αsy␈α␈mmetr␈α␈i␈α↓ca␈α␈l
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβra␈α␈ng␈α␈e,␈α
th␈α␈e␈α ba␈α␈si␈α↓c␈α fo␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈α (␈α↓2␈α␈),␈α
(3),␈α
(4␈α␈)␈α
fo␈α␈r␈α arithm␈α␈etic␈α and␈αλ(23),␈α (24)␈α for␈α co␈α␈n␈α␈v␈α}ersion␈α r␈α␈emain
␈β∂π␈↓ λ`␈εα(
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλsa␈α␈me,␈α a␈α␈nd␈απthe␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ∧A␈ε u␈↓ ∧]␈εβin␈απ(␈α↓2␈α␈4)␈αλlies␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλde␈α␈si␈α↓r␈α␈ed␈αλra␈α␈ng␈α␈e␈αλ(10).␈↓ λl␈εβHere␈αλ(2␈α␈4)␈αλis␈αλa␈ε⊂␈αλb␈α␈alan␈α␈ced
␈β∂.␈↓ λs␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε⊂m␈α␈i␈α↓x␈α}ed-ra␈α␈dix␈εβ␈αn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
g␈α␈en␈α␈eralizing␈α\␈α␈balan␈α␈ced␈αterna␈α␈ry"␈αn␈α␈ota␈α␈tion.␈↓ ~␈εβThe␈αco␈α␈mpa␈α␈rison␈αo␈α␈f
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α
n␈α}um␈α}bers␈α
ma␈α␈y␈α
still␈α∞b␈α␈e␈α
do␈α␈ne␈α
fro␈α␈m␈α
left␈α
to␈α
righ␈α␈t␈α␈,␈α∞i␈α↓n␈αthe␈α
simp␈α␈le␈α
man␈α␈ne␈α␈r␈α∞d␈α␈escrib␈α␈ed␈α
in
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtext.␈αFurth␈α␈ermo␈α␈re,␈αit␈αis␈αpossib␈α␈l␈α↓e␈αto␈αreta␈α␈i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈↓ π⎇␈ε u␈↓ λ'␈εβin␈αa␈αsin␈α␈gle␈αc␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈ord␈α␈,
␈β⊂␈↓ λ⊂␈εj
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβif␈αw␈α␈e␈αhav␈α}e␈αsi␈α↓g␈α␈ne␈α␈d␈αmag␈α␈nitu␈α␈de␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αwith␈α␈i␈α↓n␈α
the␈αco␈α␈mpu␈α␈ter,␈αev␈α␈en␈α
i␈α↓f␈↓ w␈ε m␈↓
+␈εβis␈αalmos␈α␈t
␈β⊂3␈↓
∪␈εj
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβt␈α␈wice␈α
th␈α␈e␈αw␈α␈o␈α␈rd␈α
si␈α↓z␈α␈e.␈αBut␈α
the␈α
arith␈α␈metic␈α
op␈α␈eration␈α␈s␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α
to␈α(1␈α␈1)␈α
and␈α
(1␈α␈2)␈α
are␈α
more
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβd␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t,␈αso␈α
it␈αap␈α␈pe␈α␈ars␈αth␈α␈at␈α
on␈α
most␈α
comp␈α␈ut␈α␈ers␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
i␈α↓d␈α␈ea␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
resu␈α␈lt␈αin␈αs␈α␈l␈α↓igh␈α}tly␈αslo␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈tion.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα565
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y
␈βαL␈↓ ¬V␈ε↓∩␈↓ λ_␈ε↓∪
␈βαR␈↓ ∧A␈ε m␈↓ ∧e␈εβ+␈αλ1␈↓ ¬p␈ε m␈↓ ε ␈εβ+␈αλ1␈↓ π+␈ε m␈↓ π[␈εβ+␈αλ1
␈βα]␈↓ ε␈εε1␈↓ πG␈εr
␈βαh␈↓ ¬,␈εβ=␈↓ ε]␈εβ,␈↓ εl␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π_␈εβ,␈↓ λ.␈εβ.
␈βαv␈↓ ∧A␈∧αv∧Aα←␈↓ ¬p␈∧αv¬pαj␈↓ π+␈∧αvπ+αj
␈ββ␈↓ ∧g␈εβ2␈↓ ε≤␈εβ2␈↓ πW␈εβ2
␈ββ8␈↓ β∞␈εm␈↓ β%␈εε+1
␈ββ?␈↓ ↓H␈εβNo␈α␈te␈αλthat␈αλ2␈↓ αm␈ε t␈↓ α⎇␈ε↔↓␈↓ βX␈ε↔⊃␈↓ ∧α␈ε t␈↓ ∧↔␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ¬→␈ε m␈↓ ¬6␈εβ).␈αIn␈αλge␈α␈nera␈α␈l␈α if␈↓ πλ␈ε v␈↓ π"␈εβis␈α re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αλprime␈αλto␈↓ S␈ε m␈↓ p␈εβ,␈α
th␈α␈en␈αλw␈α␈e␈αλcan
␈ββN␈↓ β∞␈∧βNβ∞α>
␈ββP␈↓ β&␈εε2
␈ββc␈↓ ε
␈ε~0␈↓ εe␈ε~0␈↓ πM␈ε~0␈↓ $␈ε~0
␈ββg␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α(b␈α␈y␈αEuclid's␈αalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm)␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ¬|␈ε v␈↓ ε≥␈εβ=␈α
(␈↓ εS␈ε v␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π-␈εβ,␈↓ π;␈ε v␈↓ πV␈εβ)␈αsuch␈αth␈α␈at␈↓ ↓␈ε v␈↓ ∩␈ε v␈↓ 4␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α (mod␈α␈ulo␈↓
{␈ε m␈↓ _␈εβ);
␈ββv␈↓ εe␈εε1␈↓ πJ␈εr
␈β∧␈↓ ␈ε~0
␈β∧∂␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈en␈α
if␈↓ αy␈ε u␈↓ β→␈εβi␈α↓s␈αkn␈α␈o␈α␈wn␈αto␈α
b␈α␈e␈α
a␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αof␈↓ εK␈ε v␈↓ εi␈εβw␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ πl␈ε u␈↓ λ␈εβ/␈↓ λ⊂␈ε v␈↓ λ.␈εβ=␈↓ λ[␈ε u␈↓ λo␈ε v␈↓ π␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
latter␈αis
␈β∧6␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uted␈αwith␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ εs␈ε v␈↓ π⊂␈εβis␈αn␈α␈ot␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓
␈ε m␈↓
'␈εβ,␈αd␈α␈ivision
␈β∧↑␈↓ ↓H␈εβis␈αm␈α␈u␈α␈ch␈αm␈α␈ore␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult.
␈β¬∂␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβOb␈α␈viou␈α␈s␈αfrom␈α(11␈α␈),␈αif␈αw␈α␈e␈αrepla␈α␈ce␈↓ ¬l␈ε m␈↓ ε ␈εβb␈α␈y␈↓ εP␈ε m␈↓ εm␈εβ.
␈β¬~␈↓ ελ␈εj
␈β¬=␈↓ αU␈εε2␈↓ ε5␈εn␈↓ ⊃␈εn
␈β¬A␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αD␈ε x␈↓ αf␈ε↔␈␈↓ β␈ε x␈↓ β&␈εβ=␈α
(␈↓ β\␈ε x␈↓ βr␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈↓ ∧3␈ε x␈↓ ∧N␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α (m␈α␈odu␈α␈lo␈α1␈↓ ε%␈εβ0␈↓ εF␈εβ)␈α is␈α eq␈α␈uiv␈α␈alen␈α␈t␈α to␈αλ(␈↓ λH␈ε x␈↓ λ↑␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈↓ ␈ε x␈↓ :␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α (m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ␈ε p␈↓ !␈εβ)
␈β¬i␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓x␈ε p␈↓ α∩␈εβ=␈α 2␈αλa␈α␈nd␈απ5␈α␈.␈α
E␈α↓ith␈α␈er␈↓ ∧↔␈ε x␈↓ ∧0␈εβor␈↓ ∧U␈ε x␈↓ ∧i␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απm␈α␈u␈α␈st␈αλb␈α␈e␈απa␈απm␈α␈ultiple␈απof␈↓ πV␈ε p␈↓ πg␈εβ,␈α a␈α␈nd␈απth␈α␈en␈απth␈α␈e␈αλo␈α␈the␈α␈r␈αλis␈απrelativ␈α␈ely
␈βε␈↓ α↑␈εn␈↓ πw␈εn␈↓ (␈εn␈↓
X␈εn
␈βε⊂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α
to␈↓ αM␈ε p␈↓ αn␈εβ;␈αso␈α
eithe␈α␈r␈↓ ∧λ␈ε x␈↓ ∧#␈εβor␈↓ ∧K␈ε x␈↓ ∧c␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
be␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈le␈αo␈α␈f␈↓ πf␈ε p␈↓ λπ␈εβ.␈αIf␈↓ λ<␈ε x␈↓ λR␈εβmod␈↓ ↔␈εβ2␈↓ A␈εβ=␈↓ l␈ε x␈↓
β␈εβm␈α␈od␈↓
G␈εβ5␈↓
q␈εβ=␈α
0
␈βε4␈↓ ∧e␈εn␈↓ b␈εn␈↓ ∪␈εn
␈βε8␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αhav␈α}e␈↓ βh␈ε x␈↓ β␈␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧D␈εβ1␈↓ ∧T␈εβ0␈↓ ∧␈␈εβ=␈α 0␈αor␈α1;␈αhen␈α␈ce␈αau␈α␈tomo␈α␈rph␈α␈s␈αhav␈α}e␈↓ λv␈ε x␈↓
␈εβmod␈↓ R␈εβ2␈↓ |␈ε↔≤␈↓
'␈ε x␈↓
>␈εβmo␈α␈d␈↓ α␈εβ5␈↓ #␈εβ.
␈βε[␈↓ α␈␈εn␈↓ π␈εε2␈↓ πO␈εε3␈↓ λ9␈εε2␈↓ ∀␈εε3␈↓
⊂␈εn
␈βε←␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
If␈↓ α~␈ε x␈↓ α5␈εβ=␈↓ α←␈ε q␈↓ αn␈ε p␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β<␈ε r␈↓ βJ␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧=␈ε r␈↓ ∧T␈εβ=␈α
0␈α or␈α
1␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ ε/␈ε r␈↓ εG␈ε↔⊃␈↓ εr␈ε r␈↓ π⊗␈ε↔⊃␈↓ πA␈ε r␈↓ π\␈εβ,␈α
so␈α
3␈↓ λ'␈ε x␈↓ λK␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈↓ α␈ε x␈↓ *␈ε↔⊃␈εβ␈α (6␈↓ p␈ε q␈↓ ␈␈ε p␈↓
␈ε r␈↓
4␈εβ+␈αε3␈↓
l␈ε r␈↓
z␈εβ)␈ε↔␈αε␈
␈βπβ␈↓ αβ␈εn␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ∧g␈εn␈↓ ε∨␈ε~0␈↓ π*␈εε2␈↓ λ,␈εε3␈↓ λg␈εε2␈↓ E␈εε2␈↓
∨␈εε3
␈βπ∧␈↓ εY␈εα(␈↓ λ9␈εα)
␈βππ␈↓ ↓H␈εβ(6␈↓ ↓c␈ε q␈↓ ↓r␈ε p␈↓ α∪␈ε r␈↓ α)␈εβ+␈αλ2␈↓ αc␈ε r␈↓ αq␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ β0␈ε r␈↓ βH␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ∧J␈ε p␈↓ ∧w␈εβ)␈α↓.␈α→(c)␈αLet␈↓ ε∩␈ε c␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εe␈εβ3(␈↓ π↓␈ε c␈↓ π∞␈ε x␈↓ π∨␈εβ)␈↓ π>␈ε↔␈␈εβ␈αλ2(␈↓ λβ␈ε c␈↓ λ⊂␈ε x␈↓ λ!␈εβ)␈↓ λE␈εβ/␈↓ λV␈ε x␈↓ λ⎇␈εβ=␈α 3␈↓ 8␈ε c␈↓ Y␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓
∩␈ε c␈↓
,␈ε x␈↓
=␈εβ.
␈βπ/␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αSinc␈α␈e␈αt␈α␈he␈α
last␈↓ ∧3␈ε k␈↓ ∧N␈εβdig␈α␈i␈α↓ts␈α
of␈α
an␈↓ ¬|␈ε n␈↓ ε⊂␈εβ-d␈α␈igit␈αa␈α␈uto␈α␈morp␈α␈h␈α
form␈α
a␈↓ λ{␈ε k␈↓ ␈εβ-digit␈α
aut␈α␈omor␈α␈ph␈α␈,␈αit
␈βπV␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αsen␈α␈se␈αto␈αsp␈α␈eak␈αof␈αthe␈αt␈α␈wo␈ε↔␈α1␈εβ-digit␈αa␈α␈uto␈α␈morp␈α␈hs,␈↓ πf␈ε x␈↓ λβ␈εβa␈α␈nd␈α1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε␈ε x␈↓ ↔␈εβ,␈αwhich␈αa␈α␈re␈α1␈α␈0-ad␈α␈i␈α↓c
␈βπ}␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α(cf.␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.1↑␈α␈31).␈αThe␈αset␈αo␈α␈f␈α10-ad␈α␈ic␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αi␈α↓s␈αeq␈α␈uiv␈α␈alen␈α␈t␈αu␈α␈nd␈α␈er␈αmod␈α␈ula␈α␈r
␈βλ%␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αto␈αth␈α␈e␈αset␈αo␈α␈f␈αo␈α␈rdere␈α␈d␈αpa␈α␈i␈α↓rs␈α(␈↓ ¬|␈ε u␈↓ ε≤␈εβ,␈↓ ε+␈ε u␈↓ εJ␈εβ),␈αwhe␈α␈re␈↓ πK␈ε u␈↓ πv␈εβis␈αa␈α2-ad␈α␈ic␈αn␈α}um␈α}ber␈αan␈α␈d␈↓
O␈ε u␈↓
z␈εβis␈αa
␈βλ0␈↓ ε∂␈εε1␈↓ ε>␈εε2␈↓ π↑␈εε1␈↓
b␈εε2
␈βλM␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈-adic␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er.
␈β C␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.3␈α␈.3
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε∪1␈α␈.␈↓ α␈εβ27␈ε↔␈απα␈εβ␈απ47:␈↓ βP␈εβ18␈ε↔␈απα␈εβ␈απ42:␈↓ ¬∀␈εβ09␈ε↔␈απα␈εβ␈απ05:␈↓ εX␈εβ27␈α␈18␈ε↔␈απα␈εβ␈αλ4␈α␈742␈α␈:
␈β
5␈↓ αE␈εβ08␈↓ ∧ ␈εβ04␈↓ ¬M␈εβ00␈↓ π⊃␈εβ126␈α␈9
␈β
]␈↓ αV␈εβ08␈↓ ∧~␈εβ04␈↓ ¬↑␈εβ00␈↓ π3␈εβ1␈α␈26␈α␈9
␈β∧␈↓ α5␈ε↔␈␈εβ15␈↓ ∧~␈εβ14␈↓ ¬=␈ε↔␈␈εβ45␈↓ π⊃␈ε↔␈␈εβ␈α↓0␈α␈04␈α␈5
␈β,␈↓ αV␈εβ49␈↓ ∧~␈εβ16␈↓ ¬↑␈εβ45␈↓ π3␈εβ0␈α␈75␈α␈6
␈βT␈↓ αg␈εβ4␈α␈9␈↓ ∧+␈εβ1␈α␈6␈↓ ¬o␈εβ4␈α␈5␈↓ πT␈εβ0␈α␈756
␈βw␈↓ αG␈∧wαGαA␈↓ ∧␈∧w∧αA␈↓ ¬O␈∧w¬OαA␈↓ π∃␈∧wπ∃α↓α
␈β∧␈↓ αE␈εβ126␈α␈9␈↓ ∧ ␈εβ075␈α␈6␈↓ ¬M␈εβ004␈α␈5␈↓ π⊃␈εβ128␈α␈88␈α␈756
␈β#␈↓ ∧ ␈ε↓p␈↓ ¬l␈ε↓p
␈β$␈↓ α␈ε↓p
␈β>␈↓ ∧-␈∧>∧-α↓α␈↓ ε⊂␈∧>ε⊂α↓S
␈β?␈↓ α0␈∧?α0α↓≤
␈βF␈↓ β&␈∧Fβ&α→␈↓ ¬↔␈∧F¬↔α→␈↓ π
␈∧Fπ
α→␈↓ λB␈∧FλBα→␈↓
⊃␈∧F
⊃α`
␈βH␈↓ β¬␈ε↔p␈↓ ∧u␈ε↔p␈↓ εi␈ε↔p␈↓ λ!␈ε↔p␈↓ o␈ε↔p
␈βI␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α0␈ε Q␈↓ αP␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ β&␈ε Q␈↓ β?␈ε↔c␈↓ βZ␈ε↔∀␈↓ ∧-␈ε Q␈↓ ∧M␈εβ+␈↓ ¬↔␈ε Q␈↓ ¬=␈εβ<␈↓ ε⊂␈ε Q␈↓ ε0␈εβ+␈απ2␈↓ π
␈ε Q␈↓ π*␈εβ+␈αλ1␈↓ πq␈εβ=␈↓ λB␈ε Q␈↓ λd␈εβ+␈α 1,␈α∂so␈ε↔␈α
b␈↓
⊃␈ε Q␈↓
0␈εβ+␈ε ␈αλR␈↓
p␈ε↔c␈α∞∀
␈βn␈↓ ↓v␈∧n↓vα→
␈βo␈↓ ↓U␈ε↔p
␈βq␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓v␈ε Q␈↓ α∞␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1.
␈β
≡␈↓ I␈εQ␈↓
[␈εR
␈β
"␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αl␈ε k␈↓ βπ␈ε↔∀␈εβ␈α 2,␈αth␈α␈e␈αresult␈αis␈αtru␈α␈e,␈αs␈α␈o␈αassum␈α␈e␈αthat␈↓ πC␈ε k␈↓ π]␈εβ>␈α
2␈α␈.␈α
Let␈↓ λk␈ε q␈↓ ∞␈εβ=␈↓ 9␈εβ2␈↓ h␈εβ,␈↓ ⎇␈ε r␈↓
∨␈εβ=␈↓
J␈εβ2␈↓
z␈εβ,␈αso
␈β
&␈↓ [␈ε
k␈↓
n␈ε
k
␈β
-␈↓ λw␈εk␈↓
λ␈εk
␈β
F␈↓ ␈␈εR␈↓
c␈εQ
␈β
G␈↓ β∪␈∧
Gβ∪α$
␈β
H␈↓ αq␈ε↔p
␈β
J␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α␈ε R␈↓ α:␈εβ=␈ε↔␈α b␈↓ β∪␈ε Q␈↓ β6␈ε↔c␈εβ␈απand␈↓ ∧λ␈ε Q␈↓ ∧4␈εβ=␈↓ ∧←␈ε Q␈↓ ¬+␈εβ+␈↓ ¬O␈ε R␈↓ ε→␈εβ.␈α
We␈αλm␈α}ust␈απsho␈α}w␈αλtha␈α␈t␈αλ1␈αα+␈αβ(␈↓ λ␈ε R␈↓ /␈εβ+␈αβ1)␈↓ o␈εβ2␈↓
(␈ε↔∀␈↓
R␈εβ2␈↓ #␈εβ;
␈β
N␈↓
∩␈ε
k␈↓
u␈ε
k␈↓ ↓␈ε≠␈␈επ1
␈β
U␈↓ α#␈εk␈↓ β)␈εk␈↓ ∧≡␈εk␈↓ ∧u␈εk␈↓ ¬α␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬f␈εk␈↓ ¬s␈ε~␈␈εε1␈↓ ∨␈εk
␈β
m␈↓ `␈εR␈↓ ↓␈εε2␈↓
␈εR
␈β
r␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
ineq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ity␈α isn't␈α
clo␈α␈se␈α
at␈α all,␈αo␈α␈ne␈α way␈α i␈α↓s␈α to␈α
o␈α␈bser␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α 1␈αε+␈αε(␈↓ λc␈ε R␈↓
␈εβ+␈α¬1)␈↓ O␈εβ2␈↓
λ␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α¬+␈↓
p␈εβ2
␈β
u␈↓ s␈ε
k␈↓ ␈ε
k
␈β
|␈↓ λz␈εk
␈β∞→␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αε2␈↓ α∃␈ε R␈↓ αC␈εβ<␈↓ αm␈ε Q␈↓ β>␈εβwh␈α␈en␈↓ ∧⊃␈ε k␈↓ ∧*␈εβ>␈α
2.␈α∂(Th␈α␈e␈απf␈α↓a␈α␈ct␈απtha␈α␈t␈απ2␈↓ ε]␈ε R␈↓ π␈εβ<␈↓ π5␈ε Q␈↓ λε␈εβis␈απrea␈α␈dily␈απpro␈α}v␈α␈ed␈αεby␈απin␈α␈du␈α␈ction
␈β∞$␈↓ α,␈εk␈↓ ββ␈εk␈↓ β⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ εt␈εk␈↓ πK␈εk␈↓ πY␈ε~␈␈εε1
␈β∞A␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α→␈ε R␈↓ αk␈ε↔␈␈↓ β∪␈ε R␈↓ βA␈ε↔∀␈εβ␈α 1␈αan␈α␈d␈↓ ∧H␈ε Q␈↓ ∧s␈ε↔␈␈↓ ¬≠␈ε Q␈↓ ¬n␈ε↔∃␈εβ␈α 2.)
␈β∞K␈↓ α0␈εk␈↓ α=␈εε+␈α↓1␈↓ β*␈εk␈↓ ∧↑␈εk␈↓ ¬2␈εk␈↓ ¬?␈ε~␈␈εε1
␈β∞n␈↓ ¬O␈εε2␈↓ εB␈εε2␈↓ π#␈εε2␈↓ λ∀␈εε2
␈β∞r␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβFor␈↓ αH␈ε j␈↓ α`␈εβ=␈α
1,␈↓ β.␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βZ␈εβ,␈↓ βl␈ε r␈↓ β{␈εβ,␈α ca␈α␈lculate␈↓ ¬∃␈ε U␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε j␈↓ ¬[␈εβ),␈↓ ¬y␈ε j␈↓ επ␈ε U␈↓ ε(␈εβ(␈↓ ε3␈ε j␈↓ εO␈εβ),␈↓ εl␈ε V␈↓ π ␈εβ(␈↓ π∀␈ε j␈↓ π0␈εβ),␈↓ πM␈ε j␈↓ π\␈ε V␈↓ πz␈εβ(␈↓ λ¬␈ε j␈↓ λ!␈εβ);␈α an␈α␈d␈αλby␈αλr␈α␈ecurs␈α␈i␈α↓v␈α}ely␈αλcalling
␈β∞⎇␈↓ ¬*␈εe␈↓ ε≥␈εo␈↓ ε␈␈εe␈↓ πo␈εo
␈β∂~␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tion␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈,␈αc␈α␈alculat␈α␈e
␈β∂Z␈↓ ¬Q␈εε2␈↓ εb␈εε2␈↓ πI␈εε2␈↓ λX␈εε2
␈β∂]␈↓ ¬
␈εα(␈↓ εz␈εα)(␈↓ λp␈εα)
␈β∂`␈↓ ∧⊂␈ε W␈↓ ∧2␈εβ(␈↓ ∧=␈ε j␈↓ ∧L␈εβ)␈↓ ∧`␈εβ=␈↓ ¬⊗␈ε U␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε j␈↓ ¬]␈εβ)␈αλ+␈↓ ε_␈ε j␈↓ ε'␈ε U␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε j␈↓ εo␈εβ)␈↓ π∩␈ε V␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε j␈↓ πV␈εβ)␈απ+␈↓ λ⊃␈ε j␈↓ λ ␈ε V␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε j␈↓ λe␈εβ)␈↓ λ|␈εβ,
␈β∂k␈↓ ¬,␈εe␈↓ ε=␈εo␈↓ π$␈εe␈↓ λ2␈εo
␈β⊂α␈↓ ¬Q␈εε2␈↓ εb␈εε2␈↓ πI␈εε2␈↓ λX␈εε2
␈β⊂¬␈↓ ¬
␈εα(␈↓ εz␈εα)(␈↓ λp␈εα)
␈β⊂λ␈↓ βo␈ε W␈↓ ∧⊂␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ∧=␈ε j␈↓ ∧L␈εβ)␈↓ ∧`␈εβ=␈↓ ¬⊗␈ε U␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε j␈↓ ¬]␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε_␈ε j␈↓ ε'␈ε U␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε j␈↓ εo␈εβ)␈↓ π∩␈ε V␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε j␈↓ πV␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ λ⊃␈ε j␈↓ λ ␈ε V␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε j␈↓ λe␈εβ)␈↓ λ|␈εβ;
␈β⊂∩␈↓ ¬,␈εe␈↓ ε=␈εo␈↓ π$␈εe␈↓ λ2␈εo
␈β⊂L␈↓ ∧$␈εε2␈↓ ¬␈εε1␈↓ πf␈εε2␈↓ λB␈εε1
␈β⊂M␈↓ ¬⊃␈εα(␈↓ π␈εα)␈↓ λS␈εα(␈↓
B␈εα)
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∞then␈α∞w␈α␈e␈α∂h␈α␈av␈α␈e␈↓ βc␈ε W␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε j␈↓ ∧1␈εβ)␈α∂=␈↓ ¬≥␈ε W␈↓ ¬>␈εβ(␈↓ ¬I␈ε j␈↓ ¬X␈εβ)␈α
+␈↓ ε_␈ε W␈↓ ε9␈εβ(␈ε↔␈␈↓ εe␈ε j␈↓ εt␈εβ)␈↓ π␈εβ,␈↓ π%␈ε W␈↓ πL␈εβ(␈↓ πW␈ε j␈↓ πs␈εβ)␈α∂=␈↓ λ←␈ε W␈↓ ␈εβ(␈↓ ␈ε j␈↓ ~␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ Z␈ε W␈↓ {␈εβ(␈ε↔␈␈↓
'␈ε j␈↓
6␈εβ)␈↓
N␈εβ.␈α↔Also
␈β⊂Z␈↓ β␈␈εe␈↓ π@␈εo
␈β⊂↑␈↓ ¬␈∧⊂↑¬α
␈↓ λB␈∧⊂↑λBα
␈β⊂`␈↓ ¬␈εε2␈↓ λB␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈alculat␈α␈e␈↓ αR␈ε W␈↓ αy␈εβ(0)␈α =␈↓ βT␈ε U␈↓ βo␈εβ(0)␈↓ ∧⊗␈ε V␈↓ ∧.␈εβ(0␈α␈).␈αNo␈α}w␈αc␈α␈onst␈α␈ruct␈αd␈α␈i␈α↓{ere␈α␈nce␈αta␈α␈bles␈αfor␈↓ λr␈ε W␈↓ #␈εβand␈↓ d␈ε W␈↓
␈εβ,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αare
␈β⊃α␈↓ αn␈εe␈↓
␈εe␈↓
␈εo
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αwh␈α␈ose␈αre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αde␈α␈grees␈αa␈α␈re␈↓ ε)␈ε r␈↓ εC␈εβan␈α␈d␈↓ π∧␈ε r␈↓ π~␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα566␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.3.3
␈βα+␈↓ α␈εβThis␈απm␈α␈etho␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεsize␈απof␈απth␈α␈e␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απb␈α␈eing␈απh␈α␈an␈α␈dled␈α␈,␈αλan␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αadd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αm␈α␈ultiplicatio␈α␈ns.␈α∞Its␈αon␈α␈l␈α↓y␈αdisa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈ge␈αis␈αa␈αlon␈α␈ger␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈α(sinc␈α␈e␈αthe
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tro␈α␈l␈α∞is␈α∞so␈α␈mewh␈α␈at␈α
more␈α
com␈α␈plex␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
so␈α␈me␈α∞o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α∞c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
m␈α␈us␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞d␈α␈on␈α␈e␈α∞with
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈ned␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈)␈α↓.
␈ββE␈↓ f␈εε2␈↓
≤␈εε2␈↓
R␈εε2
␈ββI␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∂p␈α␈ossibility␈α∞w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α∞p␈α␈erh␈α␈aps␈α∞b␈α␈e␈α∂to␈α∞e␈α␈valu␈α␈ate␈↓ π{␈ε W␈↓ λ0␈εβan␈α␈d␈↓ λt␈ε W␈↓ *␈εβa␈α␈t␈↓ V␈εβ1␈↓ s␈εβ,␈↓
␈εβ2␈↓
)␈εβ,␈↓
A␈εβ4␈↓
↑␈εβ,␈↓
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈ββT␈↓ λ↔␈εe␈↓ ⊂␈εo
␈ββm␈↓ ↓c␈εr␈↓ ↓{␈εε2
␈ββq␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈εβ2␈↓ ↓p␈εβ)␈↓ απ␈εβ;␈α⊂a␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s␈α∞i␈α↓n␈α}v␈α␈o␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈α
are␈α∞la␈α␈rger,␈α∂th␈α␈e␈α∞c␈α␈alculatio␈α␈ns␈α∞a␈α␈re␈α∞faste␈α␈r,␈α∂since␈α
all
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈αare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
by␈α
sh␈α␈i␈α↓ftin␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α
all␈αdiv␈α␈i␈α↓sion␈α␈s␈αa␈α␈re␈αb␈α␈y␈αb␈α␈inary␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αo␈α␈f␈αthe
␈β∧<␈↓ α(␈εj␈↓ αP␈εk
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈↓ α↔␈εβ2␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈εβ2␈↓ αd␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α→(Simp␈α␈le␈αpro␈α␈cedu␈α␈res␈αar␈α␈e␈αava␈α␈il␈α↓a␈α␈ble␈αfor␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
by␈α
such␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α↓)
␈β∧q␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSt␈α␈art␈αthe␈↓ β≥␈ε q␈↓ β+␈εβ,␈↓ β:␈ε r␈↓ βU␈εβseq␈α␈uen␈α␈ces␈αou␈α␈t␈αwith␈↓ ¬u␈ε q␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈↓ ε\␈ε q␈↓ π↓␈εβla␈α␈rge␈αen␈α␈ou␈α␈gh␈αso␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αineq␈α␈uality␈αin
␈β∧{␈↓ ε↓␈εε0␈↓ εh␈εε1
␈β¬_␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α∞3␈α∂is␈α∂v␈α␈alid.␈α⊗Then␈α∞w␈α␈e␈α∂will␈α∂|n␈α␈d␈α∞i␈α↓n␈α∞th␈α␈e␈α∂form␈α}ulas␈α∞ana␈α␈l␈α↓o␈α␈go␈α␈us␈α∂to␈α∞tho␈α␈se␈α∂p␈α␈reced␈α␈ing
␈β¬<␈↓ π8␈∧¬<π8α,
␈β¬=␈↓ π⊗␈ε↔p
␈β¬>␈↓ λ≥␈∧¬>λ≥αM
␈β¬?␈↓ π|␈ε↔p
␈β¬C␈↓ εq␈εε1␈α␈+␈↓ π8␈εε2␈↓ πD␈εQ␈↓ πc␈ε~␈␈↓ λ≥␈εε2␈↓ λ*␈εQ
␈β¬H␈↓ ¬/␈εα(␈↓ εT␈εα)
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αλC␈απthat␈↓ β7␈ε ⊃␈↓ β↑␈ε↔!␈εβ␈α 0␈αλa␈α␈nd␈↓ ∧↑␈ε ⊃␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ¬;␈εβ1␈αα+␈α∧1␈α␈/(2␈↓ ε0␈ε r␈↓ εI␈εβ)␈↓ ε`␈εβ2␈↓ πV␈ε
k␈↓ λ<␈ε
k␈↓ λH␈επ+1␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε Q␈↓ ≡␈εβ/␈↓ /␈ε Q␈↓ x␈εβ).␈α
The␈απfacto␈α␈r
␈β¬U␈↓ βH␈εε1␈↓ ∧o␈εε2␈↓ ε<␈εk␈↓ ⊃␈εk␈↓ E␈εk␈↓ R␈εε+1
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε Q␈↓ ↓k␈εβ/␈↓ ↓|␈ε Q␈↓ αP␈ε↔!␈εβ␈α1␈αa␈α␈s␈↓ βD␈ε k␈↓ β←␈ε↔!␈α1␈εβ,␈α
so␈αw␈α␈e␈αcan␈αign␈α␈ore␈αit␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈↓ S␈ε ⊃␈↓ {␈εβ<␈α1␈ε↔␈αλ␈␈↓
j␈ε ∂␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β¬|␈↓ ∧t␈ε↓p␈↓ πz␈ε↓p
␈β¬⎇␈↓ ↓↑␈εk␈↓ α∩␈εk␈↓ α∨␈εε+1␈↓ d␈εε2
␈β¬␈␈↓ β?␈ε↓p
␈βε↔␈↓ ¬_␈∧ε↔¬_αα+␈↓ λ≡␈∧ε↔λ≡ααb
␈βε~␈↓ βc␈∧ε~βcαZ
␈βε≡␈↓ ε<␈∧ε≡ε<α5␈↓ ?␈∧ε≡ ?α5
␈βε ␈↓ ε~␈ε↔p␈↓ ≡␈ε↔p
␈βε!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αlarg␈α␈e␈↓ αI␈ε k␈↓ αZ␈εβ.␈α∞No␈α␈w␈↓ βc␈εβ2␈↓ βt␈ε Q␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ¬_␈εβ2␈↓ ¬)␈ε Q␈↓ ¬T␈εβ+␈αλ2␈ε↔␈α␈d␈↓ ε<␈εβ2␈↓ εL␈ε Q␈↓ εu␈ε↔e␈εβ␈απ+␈αλ2␈↓ πN␈ε↔∃␈↓ λ≡␈εβ(2␈↓ λ:␈ε Q␈↓ λe␈εβ+␈απ2␈↓ ?␈εβ2␈↓ P␈ε Q␈↓ {␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈απ1␈↓ ␈ε↔∃
␈βε,␈↓ ∧
␈εk␈↓ ∧↔␈εε+1␈↓ ¬?␈εk␈↓ εb␈εk␈↓ λP␈εk␈↓ f␈εk
␈βεI␈↓ εd␈ε~␈␈εε1/␈α␈(␈α↓3␈↓ π+␈εR␈↓ πJ␈εε)
␈βεJ␈↓ ↓i␈∧εJ↓iα5␈↓ ¬%␈εα(␈↓ εG␈εα)
␈βεK␈↓ ↓H␈ε↔p
␈βεM␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ ↓z␈ε Q␈↓ α∨␈εβ+␈α↓1␈αα+␈αα1␈α␈/(3␈↓ β4␈ε R␈↓ βX␈εβ).␈α
Hen␈α␈ce␈↓ ∧T␈ε ⊃␈↓ ∧z␈ε↔∀␈↓ ¬1␈εβ1␈α↓+␈αα1/␈α␈(2␈↓ ε#␈ε r␈↓ ε<␈εβ)␈↓ εS␈εβ2␈↓ πS␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈↓ λ ␈εβlg␈↓ λ@␈ε ⊃␈↓ λf␈εβ<␈α
0␈αεfor␈αεl␈α↓a␈α␈rge␈αεeno␈α␈ugh␈↓ ∪␈ε k␈↓ #␈εβ.
␈βεQ␈↓ π>␈ε
k
␈βεW␈↓ α⊂␈εk␈↓ βK␈εk␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ε/␈εk␈↓ λP␈εε2
␈βεt␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αAlgorith␈α␈m␈α
C␈α
can␈α also␈α
b␈α␈e␈α
mod␈α␈i|ed␈α to␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈α
a␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈↓ ↓␈ε q␈↓ →␈εβ,␈↓ -␈ε q␈↓ E␈εβ,␈↓ Y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
␈εβof␈α
a␈α si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈βε␈␈↓
␈εε0␈↓ 9␈εε1
␈βπ≤␈↓ ↓H␈εβty␈α␈pe␈αth␈α␈at␈αi␈α↓s␈αba␈α␈sed␈αon␈↓ ∧
␈ε n␈↓ ∧≡␈εβ,␈αso␈αth␈α␈at␈↓ ¬$␈ε n␈↓ ¬B␈ε↔→␈↓ ¬n␈ε q␈↓ ε∂␈εβ+␈↓ ε8␈ε q␈↓ πα␈εβafter␈αstep␈αC1␈α␈.␈α
This␈αmod␈α␈i|ca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αl␈α↓e␈α␈ad␈α␈s
␈βπ'␈↓ ¬z␈εk␈↓ εD␈εk␈↓ εQ␈εε+1
␈βπD␈↓ ↓H␈εβto␈α
the␈αe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ate␈α(19␈α␈).
␈βπt␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAn␈α␈y␈απcom␈α␈mon␈απdiviso␈α␈r␈αλof␈αλ6␈↓ ∧q␈ε q␈↓ ¬β␈εβ+␈↓ ¬'␈ε d␈↓ ¬K␈εβand␈απ6␈↓ ε~␈ε q␈↓ ε,␈εβ+␈↓ εP␈ε d␈↓ εt␈εβm␈α␈ust␈αλa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αλdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αλth␈α␈eir␈αλdi{erenc␈α␈e␈↓
C␈ε d␈↓
c␈ε↔␈␈↓ π␈ε d␈↓ #␈εβ.
␈βπz␈↓ α␈ε↓␈␈↓ α%␈ε↓↓
␈βπ}␈↓ ¬7␈εε1␈↓ ε`␈εε2␈↓
S␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βλ∀␈↓ α→␈εε6
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈↓ α=␈εβd␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈α are␈α 2,␈α
3,␈α
4,␈α
6,␈α
8␈α␈,␈α1␈α␈,␈α
2,␈α
4,␈α
6,␈α
1,␈α
3,␈α
5␈α␈,␈α2␈α␈,␈α
4,␈α
2,␈α
so␈α we␈α m␈α␈u␈α␈st␈α
on␈α␈ly␈α sho␈α␈w␈α tha␈α␈t
␈βλ,␈↓ α→␈εε2
␈βλC␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α most␈α on␈α␈e␈α of␈α the␈α g␈α␈iv␈α␈en␈α n␈α}um␈α}bers␈α is␈α div␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈α b␈α␈y␈α ea␈α␈ch␈α of␈α th␈α␈e␈α primes␈α 2␈α␈,␈α
3,␈α
5␈α␈.␈αClearly␈α o␈α␈nly
␈βλk␈↓ ↓H␈εβ6␈↓ ↓X␈ε q␈↓ ↓n␈εβ+␈απ2␈α
is␈αev␈α}en,␈α
and␈α
o␈α␈nly␈α
6␈↓ ∧B␈ε q␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈αis␈α
a␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈α3;␈αa␈α␈nd␈α
th␈α␈ere␈α
i␈α↓s␈α
at␈α
most␈α
on␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αo␈α␈f
␈β ∩␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈,␈αsin␈α␈ce␈↓ α>␈ε q␈↓ αa␈ε↔@⊃␈↓ β␈εβ3␈α (mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
5).
␈β ≥␈↓ αJ␈εk
␈β >␈↓ ∧∩␈εk␈↓ πO␈εk␈↓ λy␈εk␈↓ ε␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓
∨␈εk
␈β C␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε t␈↓ α2␈ε↔∀␈εβ␈α∂6␈↓ αr␈ε t␈↓ β9␈εβ+␈↓ βd␈ε c␈↓ βq␈ε k␈↓ ∧↓␈εβ3␈↓ ∧-␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α∞some␈α∞co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ εD␈ε c␈↓ εQ␈εβ;␈α⊃so␈↓ π↔␈ε t␈↓ π.␈εβ/␈↓ π>␈εβ6␈↓ πk␈ε↔∀␈↓ λ≠␈ε t␈↓ λX␈εβ/␈↓ λh␈εβ6␈↓ 6␈εβ+␈↓ a␈ε c␈↓ n␈ε k␈↓ }␈εβ/␈↓
∂␈εβ2␈↓
;␈ε↔∀␈↓
k␈ε t␈↓ ␈εβ+
␈β L␈↓ ↓Z␈ε↓P
␈β M␈↓ α⊗␈εk␈↓ α|␈εk␈↓ β
␈ε~␈␈εε1␈↓ π ␈εk␈↓ λ%␈εk␈↓ λ2␈ε~␈␈εε1␈↓
u␈εε0
␈β f␈↓ αm␈εj␈↓ ¬Z␈εk
␈β j␈↓ ↓H␈ε c␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε j␈↓ αL␈εβ/␈↓ α]␈εβ2␈↓ αy␈εβ)␈α
=␈↓ β8␈ε M␈↓ β[␈εβ.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈↓ ∧C␈ε t␈↓ ∧d␈ε↔∀␈↓ ¬∞␈ε M␈↓ ¬8␈ε↔↓␈↓ ¬I␈εβ6␈↓ ¬g␈εβ.
␈β u␈↓ ∧M␈εk
␈β ⎇␈↓ α␈εj␈↓ α␈ε~∃␈εε1
␈β
≥␈↓ X␈επ2
␈β
!␈↓ α\␈εk␈↓ 6␈ε~␈␈↓ O␈εt␈↓ d␈εε/␈α␈2
␈β
%␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈εβ2␈↓ αv␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓lest␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
2␈α
th␈α␈at␈α
ex␈α}ceed␈α␈s␈α
2␈↓ π]␈ε K␈↓ πx␈εβ.␈α⊃Se␈α␈t␈↓ λM␈ε a␈↓ λs␈ε↔ ␈↓ ␈ε |␈↓ ⎇␈ε u␈↓
'␈εβa␈α␈nd␈↓
i␈ε b␈↓ ␈ε↔
␈β
0␈↓ λ]␈εt␈↓
⊂␈εt␈↓
u␈εt
␈β
D␈↓ αX␈επ2
␈β
I␈↓ ↓]␈εε(2␈↓ ↓r␈εK␈↓ απ␈ε~␈␈εε2␈ε~␈␈↓ αF␈εt␈↓ αP␈εε)␈↓ αc␈εε/2
␈β
M␈↓ ↓H␈ε |␈↓ α⎇␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ βv␈ε u␈↓ ∧ ␈εβ=␈α
0␈α
fo␈α␈r␈↓ ¬"␈ε t␈↓ ¬:␈ε↔∃␈↓ ¬h␈ε K␈↓ ε∧␈εβ.␈α∩We␈α
wan␈α}t␈α
to␈α
calcu␈α␈late␈α
the␈α
c␈α␈on␈α␈v␈α}olutio␈α␈ns␈↓
f␈ε c␈↓ ␈εβ=
␈β
V␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β
W␈↓ ∧ ␈εt␈↓
r␈εr
␈β
t␈↓ αJ␈ε a␈↓ αf␈ε b␈↓ β.␈εβfor␈↓ βb␈ε r␈↓ βy␈εβ=␈α
2␈↓ ∧5␈ε K␈↓ ∧W␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬?␈ε s␈↓ ¬L␈εβ,␈αwhen␈α
0␈ε↔␈α ∀␈↓ ε{␈ε s␈↓ π∩␈εβ<␈↓ π=␈ε K␈↓ πX␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}olutio␈α␈ns␈αc␈α␈an␈α
be␈α
fou␈α␈nd
␈β
␈␈↓ αZ␈εj␈↓ αr␈εr␈↓ α}␈ε~␈␈↓ β↔␈εj
␈βπ␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εj␈↓ α∨␈ε~∀␈↓ α9␈εr
␈β≡␈↓ π[␈εk
␈β"␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈ree␈αfast␈αFou␈α␈rier␈αtran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αof␈αo␈α␈rder␈↓ πJ␈εβ2␈↓ πh␈εβ,␈αas␈αin␈αth␈α␈e␈αtext␈α␈'␈α↓s␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈βI␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roce␈α␈du␈α␈re.␈α~[Th␈α␈e␈αorigin␈αo␈α␈f␈αthis␈αtrick␈αis␈αun␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn␈α␈.␈α↓]
␈βz␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε u␈↓ α
␈εβ∀␈↓ α4␈εβ=␈↓ α↑␈ε u␈↓ α`␈εβ∂␈↓ βg␈εβ.␈αIn␈α pa␈α␈rticular␈α␈,␈αif␈↓ ¬b␈ε q␈↓ ¬z␈εβ=␈ε↔␈α ␈␈εβ␈α↓1␈α w␈α␈e␈α get␈↓ πE␈ε u␈↓ πG␈εβ∂␈↓ λ\␈εβ,␈α
which␈α av␈α}oids␈α sh␈α␈u␈α␈␈␈ing
␈β∧␈↓ α∨␈εs
␈β¬␈↓ αq␈εε(␈↓ αz␈εq␈↓ βε␈εs␈↓ β⊃␈εε)␈↓ β≡␈εεmo␈α␈d␈↓ βR␈εK␈↓ πY␈εε(␈ε~␈␈↓ πz␈εr␈↓ λε␈εε)␈↓ λ∪␈εεmod␈↓ λG␈εK
␈β!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈αc␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈αin␈α␈v␈α␈e␈α␈rse␈αtran␈α␈sforms.
␈β3␈↓ ε≠␈ε↓P
␈βM␈↓ α"␈εε[␈↓ α)␈εj␈↓ α5␈εε]␈↓ λ9␈εε(␈↓ λA␈εs␈↓ λV␈εε...␈↓ λk␈εs␈↓ #␈εε)␈↓ 7␈ε~↓␈εε(␈↓ F␈εt␈↓ ⎇␈εε...␈↓
∩␈εt␈↓
I␈εε0␈↓
V␈εε...␈↓
k␈εε0␈↓
w␈εε)
␈βR␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈ε A␈↓ α<␈εβ(␈↓ αG␈ε s␈↓ β¬␈εβ,␈↓ β∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βA␈εβ,␈↓ βO␈ε s␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧≤␈ε t␈↓ ∧}␈εβ,␈↓ ¬
␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬9␈εβ,␈↓ ¬H␈ε t␈↓ ¬←␈εβ)␈α =␈↓ λ$␈ε |␈↓ ␈ε↔α
␈βT␈↓ λK␈επ0␈↓ λu␈ε
k␈↓ ↓␈ε≠␈␈επ1␈↓ +␈επ2␈↓ O␈ε
k␈↓ [␈ε≠␈␈επ1␈↓
≠␈ε
k␈↓
'␈ε≠␈␈↓
>␈ε
j␈↓ ␈επ2
␈β\␈↓ αR␈εk␈↓ α`␈ε~␈␈εε1␈↓ β[␈εk␈↓ βh␈ε~␈␈↓ ∧↓␈εj␈↓ ∧&␈εk␈↓ ∧3␈ε~␈␈↓ ∧L␈εj␈↓ ∧X␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬R␈εε0
␈βd␈↓ εA␈εε0␈ε~∀␈↓ εg␈εt␈↓ π≡␈εε,␈↓ π%␈εε...␈↓ π:␈εε,␈↓ πA␈εt␈↓ πx␈ε~∀␈εε␈α↓1
␈βf␈↓ ↓T␈ε↓P␈↓ αs␈ε↓P␈↓ ∧0␈ε↓P
␈βl␈↓ εp␈ε
k␈↓ ε|␈ε≠␈␈επ1␈↓ πJ␈ε
k␈↓ πV␈ε≠␈␈↓ πm␈ε
j
␈β
␈↓ α"␈εt␈↓ α,␈εp␈↓ β@␈εt␈↓ βI␈εq␈↓ λ↑␈εj␈↓ ␈εj
␈β
↓␈↓ ↓H␈εα(␈↓ α[␈εα)(␈↓ βp␈εα)
␈β
∧␈↓ α
␈ε |␈↓ α:␈ε u␈↓ β*␈ε |␈↓ βU␈ε v␈↓ ∧¬␈εβ=␈↓ ∧|␈ε u␈↓ ¬≥␈ε v␈↓ ¬8␈ε S␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε p␈↓ ¬i␈εβ,␈↓ ¬w␈ε q␈↓ εε␈εβ),␈α
wh␈α␈ere␈↓ π↓␈ε S␈↓ π⊗␈εβ(␈↓ π!␈ε p␈↓ π2␈εβ,␈↓ πA␈ε q␈↓ πO␈εβ)␈α
=␈α 0␈α o␈α␈r␈↓ λN␈εβ2␈↓ λj␈εβ.␈αWe␈α h␈α␈av␈α}e␈↓
β␈ε S␈↓
↔␈εβ(␈↓
"␈ε p␈↓
3␈εβ,␈↓
B␈ε q␈↓
Q␈εβ)␈α =␈↓ ⊂␈εβ2
␈β
∂␈↓ αM␈εp␈↓ βd␈εq␈↓ ¬∂␈εp␈↓ ¬,␈εq
␈β
↔␈↓ ↓z␈εp␈↓ β→␈εq␈↓ ∧V␈εp␈↓ ∧d␈εε,␈↓ ∧k␈εq
␈β
-␈↓ β↓␈εε2␈↓ β
␈εk␈↓ β<␈εj
␈β
2␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αexa␈α␈ctly␈↓ αp␈εβ2␈↓ β~␈εβ/␈↓ β+␈εβ2␈↓ βS␈εβv␈α␈alues␈αo␈α␈f␈↓ ∧←␈ε p␈↓ ∧|␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬<␈ε q␈↓ ¬K␈εβ.
␈β
b␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβAn␈α∞a␈α␈uto␈α␈mato␈α␈n␈α∞ca␈α␈nn␈α␈ot␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬1␈ε z␈↓ ¬W␈εβ=␈α∂1␈α
un␈α}ti␈α↓l␈α∞it␈α∞ha␈α␈s␈↓ πY␈ε c␈↓ πt␈ε↔∃␈εβ␈α∂2␈α␈,␈α∂and␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α∞|rst␈α∞fo␈α␈r
␈β
l␈↓ ¬=␈εε2
␈β∞ ␈↓ ↓H␈ε M␈↓ ↓}␈εβa␈α␈t␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α
3␈↓ βπ␈ε j␈↓ β∨␈ε↔␈␈εβ␈α 1.␈α⊃It␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈↓ ¬T␈ε M␈↓ ε
␈εβca␈α␈nn␈α␈ot␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πJ␈ε z␈↓ πb␈ε z␈↓ πy␈ε z␈↓ λ≡␈ε↔≤␈εβ␈α
00␈α␈0␈α
un␈α}til␈α∞time␈α
3␈α␈(␈↓
F␈ε j␈↓
]␈ε↔␈␈εβ␈α 1).
␈β∞∀␈↓ ↓d␈εj␈↓ ¬q␈εj␈↓ πU␈εε2␈↓ πm␈εε1␈↓ λ∧␈εε0
␈β∞1␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α␈more,␈α∂if␈↓ β;␈ε M␈↓ βr␈εβh␈α␈as␈↓ ∧0␈ε z␈↓ ∧V␈ε↔≤␈εβ␈α∞0␈α∞at␈α∞time␈↓ ε≡␈ε t␈↓ ε*␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α␈no␈α␈t␈α∞cha␈α␈ng␈α␈e␈α∞this␈α∞to␈↓ H␈ε z␈↓ m␈εβ=␈α∂0␈α∞with␈α␈ou␈α␈t
␈β∞<␈↓ βX␈εj␈↓ ∧;␈εε0␈↓ S␈εε0
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈{␈α↓e␈α␈cting␈α the␈α ou␈α␈tpu␈α␈t;␈α
bu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈α can␈α␈no␈α␈t␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈{␈α↓e␈α␈cted␈α by␈α th␈α␈is␈α
v␈α␈alue␈α of␈↓ T␈ε z␈↓ v␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α
a␈α␈t␈α
leas␈α␈t
␈β∞c␈↓ ←␈εε0
␈β∂␈↓ ↓H␈εβtime␈↓ α∃␈ε t␈↓ α*␈εβ+␈↓ αT␈ε j␈↓ αk␈ε↔␈␈εβ␈α 1,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬>␈ε t␈↓ ¬S␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε j␈↓ ε∀␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ π→␈ε n␈↓ π-␈εβ.␈α⊃Sin␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
arg␈α␈umen␈α}t␈α
w␈α␈e␈α
g␈α␈av␈α␈e
␈β∂(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α∞th␈α␈at␈α∞3␈α␈(␈↓ β_␈ε j␈↓ β0␈ε↔␈␈εβ␈α
1)␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧3␈ε t␈↓ ∧?␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞4␈α␈(␈↓ εL␈ε j␈↓ εd␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α∞∀␈εβ␈α∞2␈↓ πx␈ε n␈↓ λ␈εβ,␈α∞tha␈α␈t␈α∞is,␈↓ ≤␈ε j␈↓ 4␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈ε↔␈α
∀␈↓
,␈ε n␈↓
@␈εβ/␈α␈2,␈α∂i.e.,
␈β∂K␈↓ v␈εn
␈β∂O␈↓ ↓H␈ε j␈↓ ↓`␈ε↔∀␈α b␈↓ α↔␈ε n␈↓ α+␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α∧+␈α∧1␈α␈.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αλis␈α th␈α␈e␈α b␈α␈est␈αλpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈,␈α
sin␈α␈ce␈αλthe␈αλinp␈α␈uts␈↓ λX␈ε u␈↓ λv␈εβ=␈↓ ␈ε v␈↓ ;␈εβ=␈↓ e␈εβ2␈↓
␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α r␈α␈equ␈α␈i␈α↓re
␈β∂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α u␈α␈se␈α of␈↓ α[␈ε M␈↓ β␈εβfor␈α all␈↓ βj␈ε j␈↓ ∧α␈ε↔∀␈α
b␈↓ ∧:␈ε n␈↓ ∧N␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈α∧+␈α¬1.␈α∀(For␈αλexa␈α␈mple,␈α no␈α␈te␈α from␈α Ta␈α␈ble␈α 1␈αλtha␈α␈t␈↓ w␈ε M␈↓
)␈εβi␈α↓s␈α n␈α␈eed␈α␈ed
␈β⊂α␈↓ αw␈εj␈↓
∀␈εε2
␈β⊂∨␈↓ ↓H␈εβto␈α
m␈α␈ultiply␈α
t␈α␈wo␈α␈-bit␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈αa␈α␈t␈αti␈α↓m␈α␈e␈α3.)
␈β⊂L␈↓ ε#␈ε∃M␈α␈IX
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβWe␈α
can␈α\sw␈α␈eep␈αthro␈α␈ug␈α␈h"␈↓ ¬␈ε K␈↓ ¬3␈εβl␈α↓ists␈α
o␈α␈f␈↓ εa␈εβ-lik␈α␈e␈α
ins␈α␈truction␈α␈s,␈α∞ex␈α}ecu␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
|rst␈α
in␈α␈-
␈β⊂r␈↓ ε→␈εε2
␈β⊂t␈↓ ∧@␈εα(
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβstr␈α␈uction␈απon␈απeach␈απl␈α↓ist,␈α in␈↓ ∧'␈ε O␈↓ ∧L␈ε K␈↓ ∧j␈εβ+␈α∧(␈↓ ¬~␈ε N␈↓ ¬?␈εβlo␈α␈g␈↓ ¬o␈ε N␈↓ ε∞␈εβ)␈↓ ε-␈εβsteps␈αλa␈α␈s␈αλfoll␈α↓o␈α}ws:␈α∩(1)␈αλA␈αλrad␈α␈ix␈αλlist␈αλsort␈αλ(S␈α␈ection
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈.␈α↓2␈α␈.5)␈αwil␈α↓l␈αg␈α␈rou␈α␈p␈αto␈α␈geth␈α␈er␈αall␈αiden␈α}tical␈αinstru␈α␈ction␈α␈s,␈αi␈α↓n␈αtime␈↓ λ0␈ε O␈↓ λH␈εβ(␈↓ λS␈ε K␈↓ λv␈εβ+␈↓ ∨␈ε M␈↓ B␈εβ).␈α≠(2)␈αEac␈α␈h␈αset
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα567
␈βα&␈↓ π␈␈εε2
␈βα*␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε j␈↓ α␈εβiden␈α}tical␈α
instru␈α␈ction␈α␈s␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
pe␈α␈rformed␈αin␈↓ πα␈ε O␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈εβlog␈↓ πU␈ε N␈↓ πt␈εβ)␈↓ λ∀␈εβ+␈↓ λ>␈ε O␈↓ λV␈εβ(␈↓ λa␈ε j␈↓ λp␈εβ)␈α
step␈α␈s,␈α∞a␈α␈nd␈αthe␈α␈re␈α
are
␈βαN␈↓ α
␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈ε O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε N␈↓ α⊗␈εβ)␈αse␈α␈ts.␈αA␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
sw␈α␈eep␈α␈s␈αwill␈α|␈α␈nish␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
th␈α␈e␈αlists.␈αTh␈α␈e␈αr␈α␈emain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
de␈α␈tails
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α straigh␈α}tforwar␈α␈d;␈α
for␈α ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
arith␈α␈metic␈α op␈α␈eratio␈α␈ns␈α can␈αλbe␈α sim␈α␈u␈α␈lated␈α b␈α␈y␈α co␈α␈n␈α␈v␈α}erting
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε p␈↓ ↓d␈εβa␈α␈nd␈↓ α$␈ε q␈↓ α>␈εβto␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α␈.␈α~[To␈αa␈α␈pp␈α␈ear.]
␈ββ[␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβIf␈α∂it␈α∂ta␈α␈k␈α␈es␈↓ β/␈ε T␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε n␈↓ βe␈εβ)␈α∂step␈α␈s␈α∂to␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈↓ ε␈ε n␈↓ ε ␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈α⊂w␈α␈e␈α∞can␈α∞ac␈α␈comp␈α␈li␈α↓sh␈α∞th␈α␈e␈α∂m␈α}ulti-
␈β∧β␈↓ ↓H␈εβp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α∞o␈α␈f␈↓ α}␈ε m␈↓ β≠␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞b␈α␈y␈↓ ∧⊂␈ε n␈↓ ∧$␈εβ-bit␈α∞by␈α
brea␈α␈kin␈α␈g␈α∞the␈↓ εb␈ε n␈↓ εv␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞in␈α␈to␈ε↔␈α∞d␈↓ π␈ε n␈↓ ≠␈εβ/␈↓ +␈ε m␈↓ I␈ε↔e␈↓ d␈ε m␈↓
↓␈εβ-bit␈α∞gro␈α␈up␈α␈s,
␈β∧+␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈ε↔␈α
d␈↓ α+␈ε n␈↓ α?␈εβ/␈↓ αP␈ε m␈↓ αm␈ε↔e␈↓ αz␈ε T␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε m␈↓ β:␈εβ)␈αε+␈↓ βs␈ε O␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧↔␈ε n␈↓ ∧1␈εβ+␈↓ ∧Y␈ε m␈↓ ∧w␈εβ)␈α
op␈α␈eration␈α␈s.␈αThe␈α
resu␈α␈l␈α↓ts␈α
of␈αth␈α␈is␈αsec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
there␈α␈fore␈α
giv␈α␈e␈α
an
␈β∧R␈↓ ↓H␈εβe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ated␈α
ru␈α␈nn␈α␈ing␈α
time␈α
of␈↓ ∧W␈ε O␈↓ ∧o␈εβ(␈↓ ∧{␈ε n␈↓ ¬∀␈εβlog␈↓ ¬D␈ε m␈↓ ¬g␈εβlog␈↓ ε↔␈εβlog␈↓ εG␈ε m␈↓ εe␈εβ)␈α
on␈α
Tu␈α␈ring␈α
ma␈α␈chine␈α␈s,␈α∂o␈α␈r␈↓ g␈ε O␈↓ ␈␈εβ(␈↓
␈ε n␈↓
#␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓
S␈ε m␈↓
q␈εβ)␈α
on
␈β∧z␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈αwith␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αac␈α␈cess␈αto␈αw␈α␈o␈α␈rds␈αof␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αsize,␈αor␈↓ λ'␈ε O␈↓ λ?␈εβ(␈↓ λJ␈ε n␈↓ λ↑␈εβ)␈αon␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ter␈αmac␈α␈hine␈α␈s.
␈β¬0␈↓ εv␈εε2
␈β¬1␈↓ ¬|␈εα(␈↓ π|␈εα)
␈β¬4␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβThe␈α
b␈α␈est␈αu␈α␈pp␈α␈er␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α
k␈α␈no␈α␈wn␈α
is␈↓ ¬c␈ε O␈↓ ελ␈ε n␈↓ ε≤␈εβ(␈↓ ε'␈εβlog␈↓ εW␈ε n␈↓ εk␈εβ)␈↓ πλ␈εβlog␈↓ π8␈εβlog␈↓ πh␈ε n␈↓ λλ␈εβ,␈αdu␈α␈e␈αto␈α
M␈α␈.␈αJ.␈αFisch␈α␈er␈αa␈α␈nd␈α
L.
␈β¬\␈↓ ↓H␈εβJ␈α␈.␈α∞Sto␈α␈ckm␈α␈ey␈α␈e␈α␈r␈α∞[␈ε⊂J.␈α∞Co␈α␈mp.␈α
and␈α
S␈α␈yst.␈α
Sci.␈ε∪␈α∞9␈εβ␈α
(19␈α␈74),␈α∞317␈α␈↑33␈α␈1];␈α∂the␈α␈i␈α↓r␈α
con␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
w␈α␈ork␈α␈s
␈βεβ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tita␈α␈pe␈αTur␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αmac␈α␈hine␈α␈s,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αa␈α␈lso␈αon␈αp␈α␈oin␈α␈te␈α␈r␈αm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es.␈αTh␈α␈e␈αbes␈α␈t␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αb␈α␈ou␈α␈nd
␈βε+␈↓ ↓H␈εβk␈α␈no␈α}wn␈α
is␈↓ αW␈ε O␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε n␈↓ β∪␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βC␈ε n␈↓ βX␈εβ/␈↓ βh␈εβlog␈↓ ∧_␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ∧H␈ε n␈↓ ∧\␈εβ),␈α∞d␈α␈ue␈αto␈α
M␈α␈.␈α
S.␈α
Paterso␈α␈n,␈α
M.␈α
J␈α␈.␈α
F␈α↓isch␈α␈er,␈α
an␈α␈d␈α
A.␈α
R.␈α
M␈α␈ey␈α␈e␈α␈r
␈βεS␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂S␈α␈IA␈α↓M␈α␈/AM␈α␈S␈α Proce␈α␈edin␈α␈gs␈ε∪␈α 7␈εβ␈α (1␈α␈974␈α␈),␈α
97␈α␈↑11␈α␈1],␈α
a␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αλto␈α m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓ta␈α␈pe␈α Tu␈α␈ring␈αλmach␈α␈ines␈αλbu␈α␈t
␈βεz␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈αto␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α␈er␈αmach␈α␈ines.
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.4
␈βλe␈↓ βM␈εα(␈↓ πz␈εα)
␈βλh␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβWe␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ β↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧⊗␈ε a␈↓ ∧=␈ε b␈↓ ¬␈εβ+␈↓ ¬4␈ε a␈↓ ε↓␈εβ)␈↓ ε⊃␈ε b␈↓ εa␈εβ+␈↓ π ␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π6␈εβ+␈↓ π↑␈ε a␈↓ λ␈ε b␈↓ λ*␈εβ+␈↓ λR␈ε a␈↓ λy␈εβb␈α␈y␈α
ad␈α␈din␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α
m␈α}ulti-
␈βλr␈↓ ∧%␈εm␈↓ ∧I␈εm␈↓ ∧`␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬D␈εm␈↓ ¬[␈ε~␈␈εε2␈↓ ε≥␈εm␈↓ ε5␈ε~␈␈εε2␈↓ πm␈εε1␈↓ λ↔␈εε1␈↓ λb␈εε0
␈β ∂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lying␈α
i␈α↓n␈α
the␈↓ β∞␈ε B␈↓ β8␈εβsyste␈α␈m.
␈β ~␈↓ β!␈εj
␈β a␈↓ ∧/␈εβT␈α↓.␈↓ ¬*␈εβ=␈α
2␈α␈0(cwt.␈↓ εs␈εβ=␈α
8(st.␈↓ λ≡␈εβ=␈α
1␈α␈4(lb.␈↓ @␈εβ=␈α 16␈αo␈α␈z.)))
␈β
⊂␈↓ α
␈εβS␈α␈tart␈αwith␈αzer␈α␈o␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ0␈↓
⊂␈εβ0
␈β
7␈↓ α
␈εβAdd␈α
3␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ0␈↓
⊂␈εβ3
␈β
←␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α24␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ4␈↓
⊂␈εβ8
␈βε␈↓ α
␈εβAdd␈α
9␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ5␈↓
⊂␈εβ1
␈β.␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α60␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ2␈↓ π ␈εβ5␈↓ λ\␈εβ9␈↓ ␈␈εβ12
␈βV␈↓ α
␈εβAdd␈α
12␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ2␈↓ π ␈εβ5␈↓ λK␈εβ10␈↓
⊂␈εβ8
␈β⎇␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α60␈↓ ∧8␈εβ8␈↓ ¬l␈εβ3␈↓ π ␈εβ1␈↓ λ\␈εβ0␈↓
⊂␈εβ0
␈β%␈↓ α
␈εβAdd␈α
37␈↓ ∧8␈εβ8␈↓ ¬l␈εβ3␈↓ π ␈εβ1␈↓ λ\␈εβ2␈↓
⊂␈εβ5
␈βz␈↓ ↓H␈εβ(Ad␈α␈dition␈αa␈α␈nd␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αb␈α␈y␈αa␈αcon␈α␈stan␈α␈t␈αin␈αa␈αmix␈α␈ed␈α␈-rad␈α␈i␈α↓x␈αsystem␈αa␈α␈re␈α
re␈α␈adily␈αd␈α␈one
␈β
"␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈ple␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈αo␈α␈f␈αt␈α␈he␈αu␈α␈sua␈α␈l␈αca␈α␈rry␈αru␈α␈le;␈αc␈α␈f␈α↓.␈αex␈α}ercise␈α4.3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑9.)
␈β
\␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβWe␈α∞c␈α␈omp␈α␈ute␈ε↔␈α
b␈↓ β`␈ε u␈↓ βt␈εβ/␈↓ ∧¬␈ε B␈↓ ∧%␈ε↔c␈εβ,␈ε↔␈α∞bb␈↓ ∧c␈ε u␈↓ ∧w␈εβ/␈↓ ¬λ␈ε B␈↓ ¬(␈ε↔c␈εβ/␈↓ ¬E␈ε B␈↓ ¬e␈ε↔c␈εβ,␈α∂e␈α␈tc.,␈α∂an␈α␈d␈α
the␈α
rem␈α␈aind␈α␈ers␈α
are␈↓ :␈ε A␈↓ \␈εβ,␈↓ t␈ε A␈↓
⊗␈εβ,␈α∞etc␈α␈.␈α∪The
␈β
g␈↓ ∧_␈εε0␈↓ ¬≠␈εε0␈↓ ¬Y␈εε1␈↓ P␈εε0␈↓
␈εε1
␈β∞∧␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈αis␈αd␈α␈one␈α
i␈α↓n␈α
the␈↓ ∧∃␈ε b␈↓ ∧8␈εβsy␈α␈stem.
␈β∞∞␈↓ ∧!␈εj
␈β∞U␈↓ ∧␈εβd.␈↓ ¬∀␈εβ=␈α 24(h␈α␈.␈↓ εC␈εβ=␈α
6␈α␈0(m.␈↓ πs␈εβ=␈α
60␈α
s.␈α↓))
␈β∂∧␈↓ αα␈εβSta␈α␈rt␈αw␈α↓ith␈↓ β#␈ε u␈↓ ∧⊃␈εβ3␈↓ ¬E␈εβ9␈↓ εp␈εβ12␈↓ λ$␈εβ37
␈β∂+␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α1␈α␈6␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ5␈↓ π↓␈εβ4␈↓ λ$␈εβ32␈↓ ∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓
7␈εβ=␈α 5
␈β∂S␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α1␈α␈4␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ εp␈εβ21␈↓ λ$␈εβ45␈↓ ∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓
7␈εβ=␈α 2
␈β∂{␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α8␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ2␈↓ λ$␈εβ43␈↓ ∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓
7␈εβ=␈α 1
␈β⊂"␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α2␈α␈0␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ0␈↓ λ5␈εβ8␈↓ ∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓
7␈εβ=␈α 3
␈β⊂J␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈ε↔␈α1␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ0␈↓ λ5␈εβ0␈↓ ∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓
7␈εβ=␈α 8
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε⊂An␈α␈sw␈α␈er:␈εβ␈α8␈αT.␈α3␈α
cwt.␈α1␈αst.␈α2␈αlb.␈α5␈αoz␈α␈.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα568␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
}4.4
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈α∂follo␈α␈wing␈α∂p␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈α⊂d␈α␈ue␈α∂to␈α∂G.␈α⊂L.␈α⊂S␈α␈teele␈α∂Jr.␈α∂and␈α∂J␈α␈on␈α∂L.␈α⊂White␈α∂ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈s
␈βαS␈↓ ↓H␈εβTa␈α␈ran␈α␈t␈α␈o's␈αalgorith␈α␈m␈αfor␈↓ ∧*␈ε B␈↓ ∧I␈εβ=␈α
2␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈inally␈αp␈α␈ub␈α␈li␈α↓sh␈α␈ed␈αin␈ε⊂␈α
CA␈α␈CM␈ε∪␈α2␈εβ,␈α7␈α(Ju␈α␈ly␈α19␈α␈59),␈α27␈α␈.
␈ββ ␈↓ ↓O␈ε∪A1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε M␈↓ ∧$␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ∧t␈ε U␈↓ ¬∨␈ε↔ ␈εβ␈α 0.
␈ββ∪␈↓ ¬ ␈εε0
␈ββ>␈↓ ↓O␈ε∪A2.␈↓ α␈εβ[Don␈α␈e?]␈α≤If␈↓ β5␈ε u␈↓ βT␈εβ<␈↓ ∧␈ε ∂␈↓ ∧→␈εβor␈↓ ∧C␈ε u␈↓ ∧b␈εβ>␈α1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬Q␈ε ∂␈↓ ¬↑␈εβ,␈αgo␈αto␈αstep␈αA4.␈α≠(Oth␈α␈erwi␈α↓s␈α␈e␈αno␈↓ 8␈ε M␈↓ Z␈εβ-place␈αfra␈α␈ction
␈ββf␈↓ α␈εβwil␈α↓l␈αsat␈α␈i␈α↓sfy␈α
the␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.)
␈β∧≤␈↓ ↓O␈ε∪A3.␈↓ α␈εβ[Tran␈α␈sform.]␈α~S␈α␈et␈↓ ∧∀␈ε M␈↓ ∧@␈ε↔ ␈↓ ∧j␈ε M␈↓ ¬∀␈εβ+␈αλ1,␈↓ ¬b␈ε U␈↓ ε4␈ε↔ ␈α
b␈↓ εl␈ε B␈↓ πα␈ε u␈↓ π⊗␈ε↔c␈εβ,␈↓ π7␈ε u␈↓ πU␈ε↔ ␈↓ π␈␈ε B␈↓ λ⊗␈ε u␈↓ λ/␈εβmod␈↓ λt␈εβ1␈α␈,␈↓ →␈ε ∂␈↓ /␈ε↔ ␈↓ Y␈ε B␈↓ p␈ε ∂␈↓ ⎇␈εβ,␈αan␈α␈d␈αret␈α␈urn
␈β∧&␈↓ ¬w␈ε~␈␈↓ ε⊃␈εM
␈β∧C␈↓ α␈εβto␈αA2.␈α≤(This␈α
tra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈αre␈α␈turn␈α␈s␈α
u␈α␈s␈α
to␈αessen␈α}tially␈α
t␈α␈he␈αsame␈αstate␈αw␈α␈e␈αwe␈α␈re␈α
in
␈β∧k␈↓ α␈εβbe␈α␈fore:␈αth␈α␈e␈αre␈α␈mainin␈α␈g␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αi␈α↓s␈αto␈αcon␈α}v␈α␈ert␈↓ π∪␈ε u␈↓ π2␈εβto␈↓ π\␈ε U␈↓ λα␈εβwi␈α↓t␈α␈h␈αf␈α↓e␈α␈w␈α␈est␈αra␈α␈dix-␈↓
␈ε B␈↓
,␈εβplace␈α␈s␈αso
␈β¬∪␈↓ α␈εβth␈α␈at␈ε↔␈αj␈↓ α↑␈ε U␈↓ β↓␈ε↔␈␈↓ β+␈ε u␈↓ β?␈ε↔j␈εβ␈α<␈↓ β␈␈ε ∂␈↓ ∧␈εβ.␈α∞No␈α␈te,␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈αthat␈↓ εS␈ε ∂␈↓ εk␈εβmay␈αno␈α␈w␈αb␈α␈e␈ε↔␈α∃␈εβ␈α1;␈αi␈α↓n␈αth␈α␈i␈α↓s␈αc␈α␈ase␈αw␈α␈e␈αco␈α␈uld
␈β¬:␈↓ α␈εβgo␈α
i␈α↓m␈α␈med␈α␈i␈α↓a␈α␈tely␈αto␈αste␈α␈p␈αA4␈αins␈α␈tead␈α
of␈αstoring␈α
the␈αn␈α␈ew␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ␈ε ∂␈↓ -␈εβ.)
␈β¬m␈↓ ∧␈εε1␈↓ πX␈εε1
␈β¬p␈↓ ↓O␈ε∪A4.␈↓ α␈εβ[Rou␈α␈nd␈α␈.␈α↓]␈α↔If␈↓ βA␈ε u␈↓ β↑␈ε↔∃␈↓ ∧≤␈εβ,␈αincre␈α␈ase␈↓ ¬-␈ε U␈↓ ε↓␈εβb␈α␈y␈α
1␈α␈.␈α_(If␈↓ π␈ε u␈↓ π*␈εβ=␈↓ πs␈εβe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α␈,␈αa␈α␈noth␈α␈er␈α
rou␈α␈nd␈α␈ing␈α
ru␈α␈l␈α↓e
␈β¬{␈↓ ¬B␈ε~␈␈↓ ¬\␈εM
␈β¬}␈↓ ∧␈∧¬}∧α
␈↓ πX␈∧¬}πXα
␈βε␈↓ ∧␈εε2␈↓ πX␈εε2
␈βε_␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈αas␈α\␈α␈increa␈α␈se␈↓ ∧∂␈ε U␈↓ ∧c␈εβby␈α
1␈αon␈α␈ly␈αwhe␈α␈n␈αit␈αi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈"␈αmigh␈α}t␈αbe␈αp␈α␈referre␈α␈d.)
␈βε~␈↓
,␈∧ε~
,≠∂
␈βε"␈↓ ∧$␈ε~␈␈↓ ∧>␈εM
␈βεN␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tep␈α
A4␈αwill␈αn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αincrea␈α␈se␈↓ ∧]␈ε U␈↓ ¬1␈εβfro␈α␈m␈↓ ε␈ε B␈↓ ε≡␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αto␈↓ π
␈ε B␈↓ π ␈εβ;␈αfo␈α␈r␈αi␈α↓f␈↓ λλ␈ε U␈↓ λZ␈εβ=␈↓ ∧␈ε B␈↓ "␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e
␈βεX␈↓ ∧r␈ε~␈␈↓ ¬␈εM␈↓ λ≥␈ε~␈␈↓ λ6␈εM
␈βεu␈↓ ↓H␈ε M␈↓ ↓u␈εβ>␈α
0,␈αbu␈α␈t␈αn␈α␈o␈α(␈↓ β>␈ε M␈↓ βh␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)-plac␈α␈e␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αw␈α↓a␈α␈s␈αsu␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈αac␈α␈cura␈α␈te.␈α
Stee␈α␈l␈α↓e␈αan␈α␈d␈αWh␈α␈i␈α↓te␈αgo
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αto␈αc␈α␈ons␈α␈i␈α↓d␈α␈er␈α⎇o␈α␈ating␈α␈-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αcon␈α}v␈α␈ersion␈α␈s␈αin␈αth␈α␈eir␈αp␈α␈ap␈α␈er␈α[to␈αap␈α␈pe␈α␈ar].
␈βπO␈↓ αu␈εk␈↓ βG␈εk␈↓ ∧ε␈εk
␈βπS␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃1␈α␈/␈↓ αe␈εβ2␈↓ β␈εβ=␈↓ β6␈εβ5␈↓ βT␈εβ/1␈↓ βv␈εβ0␈↓ ∧∪␈εβ.␈α~(b)␈αEv␈α␈e␈α␈ry␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈↓ π=␈ε b␈↓ πV␈εβd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ λF␈ε B␈↓ λ]␈εβ.
␈βλ∧␈↓ αX␈εn
␈βλ ␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβI{␈α1␈↓ αG␈εβ0␈↓ αp␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈α ∀␈↓ β]␈ε c␈↓ βs␈εβ<␈↓ ∧≡␈ε w␈↓ ∧6␈εβ,␈αc␈α␈f␈α↓.␈α(3).
␈βλ>␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε ␈↓ α≡␈ε u␈↓ α=␈ε↔∀␈↓ αh␈ε u␈↓ α|␈ε x␈↓ β_␈ε↔∀␈↓ βC␈ε ␈↓ βU␈ε u␈↓ βq␈εβ+␈↓ ∧~␈ε u␈↓ ∧.␈εβ/␈↓ ∧?␈ε w␈↓ ∧b␈ε↔∀␈↓ ¬∞␈ε ␈↓ ¬ ␈ε u␈↓ ¬<␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αhen␈α␈ce␈ε↔␈αb␈↓ εt␈ε ␈↓ ππ␈ε u␈↓ π≠␈ε↔c␈α
∀␈α
b␈↓ πj␈ε u␈↓ π}␈ε x␈↓ λ⊂␈ε↔c␈α
∀␈α
b␈↓ λ←␈ε ␈↓ λr␈ε u␈↓
␈εβ+␈α 1␈ε↔␈α␈c␈εβ.␈α
Furth␈α␈ermo␈α␈re,
␈βλf␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αsp␈α␈ecial␈αcase␈α
cited␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬*␈ε u␈↓ ¬?␈ε x␈↓ ¬Y␈εβ<␈↓ ε∧␈ε ␈↓ ε⊗␈ε u␈↓ ε1␈εβ+␈↓ εZ␈ε ␈↓ εw␈εβand␈ε↔␈α
b␈↓ πE␈ε ␈↓ πW␈ε u␈↓ πk␈ε↔c␈εβ␈α
=␈ε↔␈α b␈↓ λ9␈ε ␈↓ λK␈ε u␈↓ λg␈εβ+␈↓ ⊂␈ε ␈↓ )␈ε↔␈␈↓ R␈ε ∂␈↓ ←␈ε↔c␈εβ.
␈β %␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈T1␈↓ β[␈ε∃0
␈β (␈↓ ↓g␈ε∪8.
␈β M␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃U
␈β u␈↓ α␈ε∃1H␈↓ α←␈ε∃MU␈α␈L␈↓ β[␈ε∃=1␈α␈//10␈α␈=
␈β
≤␈↓ α␈ε∃3H␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈β
D␈↓ α←␈ε∃MU␈α␈L␈↓ β[␈ε∃=-␈α␈10=
␈β
k␈↓ α←␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ β[␈ε∃5
␈β∪␈↓ α←␈ε∃AD␈α␈D␈↓ β[␈ε∃U
␈β;␈↓ α←␈ε∃JA␈α␈NN␈↓ β[␈ε∃2F
␈βb␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈βe␈↓ ¬*␈εβ(Can␈α
occu␈α␈r␈αon␈α␈ly␈αon
␈β
␈↓ α←␈ε∃DE␈α␈CA␈↓ β[␈ε∃1
␈β
␈↓ ¬r␈εβth␈α␈e␈α|rst␈αitera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,
␈β1␈↓ α←␈ε∃JM␈α␈P␈↓ β[␈ε∃3B
␈β4␈↓ ¬r␈εβby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α7.)
␈βY␈↓ α␈ε∃2H␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃AN␈α␈SWER␈α␈,1
␈β\␈↓ ¬*␈εβ(Ma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αmin␈α␈u␈α␈s␈αz␈α␈ero.)
␈β
↓␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈β
(␈↓ α←␈ε∃IN␈α␈C1␈↓ β[␈ε∃1
␈β
P␈↓ α←␈ε∃JA␈α␈P␈↓ β[␈ε∃1B
␈β
U␈↓ ¬O␈∧
U¬O≠∂
␈β∞¬␈↓ α?␈ε~0␈↓ ¬-␈ε~0
␈β∞ε␈↓ λ)␈εα(␈↓
u␈εα)
␈β∞ ␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α.␈ε x␈↓ αQ␈εβis␈αan␈αin␈α␈te␈α␈ger,␈↓ ∧_␈ε x␈↓ ∧1␈ε↔␈␈↓ ∧Z␈ε ∂␈↓ ∧q␈ε↔∀␈↓ ¬≤␈ε x␈↓ ¬=␈ε↔∀␈↓ ¬h␈ε x␈↓ ¬z␈εβ,␈αthen␈α
(␈α↓1␈απ+␈αλ1␈α␈/␈↓ πH␈ε n␈↓ π\␈εβ)␈↓ πg␈ε x␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ5␈εβ(1␈απ+␈αλ1/␈↓ "␈ε n␈↓ 6␈εβ)␈↓ B␈ε ∂␈↓ V␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈↓
a␈ε n␈↓ ␈ε↔∀
␈β∞,␈↓ ↓Y␈ε~0␈↓ α.␈ε~0
␈β∞0␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓g␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ α≤␈ε x␈↓ α4␈εβ/␈↓ αE␈ε n␈↓ αY␈ε↔c␈α ∀␈εβ␈α (␈α↓1␈απ+␈απ1/␈↓ ∧π␈ε n␈↓ ∧≠␈εβ)␈↓ ∧&␈ε x␈↓ ∧7␈εβ.␈αH␈α↓e␈α␈nce␈αif␈↓ ¬M␈ε ␈↓ ¬j␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
f␈α↓r␈α␈action␈α
satisfyin␈α␈g
␈β∞|␈↓ β=␈ε~␈␈εε35
␈β∂α␈↓ α:␈εβ1␈α␈/10␈ε↔␈απ␈␈↓ β,␈εβ2␈↓ βy␈εβ<␈↓ ∧#␈ε ␈↓ ∧?␈εβ=␈α (.␈α↓0␈α␈001␈α␈100␈α␈11␈α␈001␈α␈100␈α␈110␈α␈011␈α␈001␈α␈100␈α␈11␈α␈001␈α␈1␈↓ #␈εβ)␈↓ D␈εβ<␈α
1␈α␈/10␈α␈,
␈β∂
␈↓ .␈εε2
␈β∂T␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t␈↓ ββ␈ε ␈↓ β⊗␈ε u␈↓ β1␈ε↔␈␈↓ βZ␈ε ∂␈↓ βp␈ε↔∀␈↓ ∧≠␈ε v␈↓ ∧5␈ε↔∀␈↓ ∧`␈ε ␈↓ ∧r␈ε u␈↓ ¬⊃␈εβat␈αth␈α␈e␈αen␈α␈d␈αof␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈,␈αwh␈α␈ere
␈β⊂"␈↓ βk␈εε7␈↓ 4␈εε3
␈β⊂&␈↓ β&␈ε ∂␈↓ β=␈εβ=␈↓ ∧α␈εβ+␈αλ(.␈α↓1␈α␈00␈α␈010␈α␈001␈α␈010␈α␈100␈α␈011␈α␈001␈α␈00␈α␈010␈α␈101␈α␈000␈α␈1␈↓ λe␈εβ)␈↓ ε␈εβ<␈↓ D␈εβ.
␈β⊂0␈↓ λp␈εε2
␈β⊂4␈↓ βk␈∧⊂4βkα
␈↓ 4␈∧⊂4 4α
␈β⊂6␈↓ βk␈εε8␈↓ 4␈εε2
␈β⊂t␈↓ ∧T␈εα(␈↓ εH␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈↓ α)␈ε u␈↓ α=␈εβ/␈α␈10␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αε2␈α <␈↓ βa␈ε u␈↓ βu␈εβ/1␈α␈0␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧`␈ε ∂␈↓ ∧t␈εβ+␈αε(1/␈α␈10␈ε↔␈αε␈␈↓ ε⊗␈ε ␈↓ ε)␈εβ)␈↓ ε4␈ε u␈↓ ε]␈ε↔∀␈↓ πλ␈ε v␈↓ π"␈ε↔∀␈↓ πM␈ε ␈↓ π←␈ε u␈↓ π|␈εβ<␈↓ λ'␈ε u␈↓ λ;␈εβ/1␈α␈0.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ W␈ε v␈↓ s␈εβis␈α
an␈α in␈α␈teg␈α␈er,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈roof␈αis␈αcom␈α␈plete.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα569
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈hift␈α
righ␈α}t␈αo␈α␈ne;␈α↔(b␈α␈)␈α
E␈α↓x␈α␈tract␈α
left␈α
b␈α␈i␈α↓t␈α
o␈α␈f␈αea␈α␈ch␈α
g␈α␈rou␈α␈p;␈α↔(c)␈α
Sh␈α␈if␈α↓t␈α
re␈α␈sult␈α
of␈α
(b)␈α
righ␈α}t
␈βαR␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α␈;␈α↔(d␈α␈)␈α
Sh␈α␈ift␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈α of␈α
(c)␈α
righ␈α}t␈α
on␈α␈e,␈α
an␈α␈d␈α
a␈α␈dd␈α to␈α
re␈α␈sult␈α
o␈α␈f␈α
(␈α↓c␈α␈);␈α↔(e␈α␈)␈α
Su␈α␈btra␈α␈ct␈α
resu␈α␈lt␈α
of␈α
(d␈α␈)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αo␈α␈f␈α(a␈α␈).
␈ββ8␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α8␈εβ5␈↓ αM␈εβ.␈↓ αY␈εβ7␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂1
␈ββ←␈↓ α␈ε↔␈␈↓ α8␈εβ1␈α⊃0
␈β∧α␈↓ α8␈∧∧αα8α1
␈β∧⊂␈↓ α8␈εβ4␈α⊃7␈↓ αn␈εβ.␈↓ α{␈εβ7␈α⊂2␈α⊂1
␈β∧7␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ9␈α⊂4
␈β∧Z␈↓ α8␈∧∧Zα8αQ
␈β∧g␈↓ α8␈εβ3␈α⊃8␈α⊂3␈↓ β∂␈εβ.␈↓ β≤␈εβ2␈α⊂1
␈β¬∂␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ7␈α⊂6␈α⊂6
␈β¬2␈↓ α8␈∧¬2α8αr
␈β¬?␈↓ α8␈εβ3␈α⊃0␈α⊂6␈α⊂6␈↓ β0␈εβ.␈↓ β=␈εβ1
␈β¬g␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ6␈α⊂1␈α⊂3␈α⊃2
␈βε ␈↓ α8␈∧ε α8α↓∩
␈βε↔␈↓ α8␈εβ2␈α⊃4␈α⊂5␈α⊂2␈α⊃9␈↓ ∧⊗␈ε⊂Answ␈α␈er:␈εβ␈α(24␈α␈529␈↓ ¬s␈εβ)␈↓ ε_␈ε⊂.
␈βε"␈↓ ¬}␈εε10
␈βεI␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβFirst␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}ert␈α
the␈α
te␈α␈rnar␈α␈y␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αto␈α
n␈α␈on␈α␈ary␈α
(ra␈α␈dix␈α
9␈α␈)␈αn␈α␈otat␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈αt␈α␈hen␈α
p␈α␈roc␈α␈eed␈α
a␈α␈s␈αin
␈βεp␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ctal-to-d␈α␈ecima␈α␈l␈αcon␈α}v␈α␈er␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
bu␈α␈t␈αwith␈α␈ou␈α␈t␈αd␈α␈ou␈α␈bling.␈αDe␈α␈cimal␈α
to␈α
non␈α␈ary␈α i␈α↓s␈α
simil␈α↓a␈α␈r.␈αIn␈α
the
␈βπ_␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αe␈α␈xa␈α␈mple,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπb␈↓ ↓t␈εβ1␈↓ αλ␈εβ.␈↓ α∃␈εβ7␈α⊂6␈α⊂4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1
␈βλ-␈↓ ↓t␈∧λ-↓tα1
␈βλ:␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂6␈↓ α)␈εβ.␈↓ α6␈εβ6␈α⊂4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ π∞␈εβ9␈↓ π"␈εβ.␈↓ π/␈εβ8␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4
␈βλb␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃6␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π/␈εβ9
␈β ∧␈↓ ↓t␈∧ ∧↓tαQ␈↓ εm␈∧ ∧εmαQ
␈β ∩␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂5␈α⊃0␈↓ αK␈εβ.␈↓ αW␈εβ4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂1␈α⊂8␈↓ πC␈εβ.␈↓ πP␈εβ7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4
␈β :␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃5␈α⊂0␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂1␈α⊃8
␈β \␈↓ ↓t␈∧ \↓tαr␈↓ εm␈∧ \εmαr
␈β j␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂3␈α⊃5␈α⊂4␈↓ αl␈εβ.␈↓ αy␈εβ7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂3␈α⊂1␈α⊃6␈↓ πe␈εβ.␈↓ πq␈εβ6␈α⊃5␈α⊂4
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃3␈α⊂5␈α⊂4␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂3␈α⊃1␈α⊂6
␈β
4␈↓ ↓t␈∧
4↓tα↓∩␈↓ εm␈∧
4εmα↓∩
␈β
B␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂2␈α⊃1␈α⊂9␈α⊂3␈↓ β
␈εβ.␈↓ β~␈εβ2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂4␈α⊂4␈α⊃8␈α⊂3␈↓ λε␈εβ.␈↓ λ∪␈εβ5␈α⊂4
␈β
i␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃2␈α⊂1␈α⊂9␈α⊃3␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂4␈α⊃4␈α⊂8␈α⊂3
␈β␈↓ ↓t␈∧↓tα↓3␈↓ εm␈∧εmα↓3
␈β→␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂0␈α⊃9␈α⊂7␈α⊂3␈α⊃9␈↓ β/␈εβ.␈↓ β;␈εβ3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂6␈α⊂0␈α⊃4␈α⊂2␈α⊂8␈↓ λ'␈εβ.␈↓ λ4␈εβ4
␈βA␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃0␈α⊂9␈α⊂7␈α⊃3␈α⊂9␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂6␈α⊃0␈α⊂4␈α⊂2␈α⊂8
␈βd␈↓ ↓t␈∧d↓tα↓S␈↓ εm␈∧dεmα↓S
␈βq␈↓ α∃␈εβ9␈α⊃8␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4␈↓ ∧∀␈ε⊂A␈α↓n␈α␈sw␈α␈er:␈εβ␈α(987␈α␈654␈↓ εα␈εβ)␈↓ ε'␈ε⊂.␈↓ εm␈εβ1␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃4␈α⊂7␈α⊂2␈α⊂3␈↓
␈ε⊂Answ␈α␈er␈α␈:␈εβ␈α(17␈α␈647␈α␈23␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈ε⊂.
␈β|␈↓ ε
␈εε10␈↓ ↔␈εε9
␈βJ␈↓ α␈ε∃BU␈α␈F␈↓ β≥␈ε∃AL␈α␈F␈↓ ∧→␈ε∃. ␈α␈
␈βM␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ π"␈εβ(␈α↓Ra␈α␈dix␈αp␈α␈oin␈α}t␈αo␈α␈n␈α|␈α␈rst␈αli␈α↓n␈α␈e)
␈βr␈↓ β≥␈ε∃OR␈α␈IG␈↓ ∧→␈ε∃*+3␈α␈9
␈β
→␈↓ α␈ε∃ST␈α␈ART␈↓ β≥␈ε∃JO␈α␈V␈↓ ∧→␈ε∃OFL␈α␈O
␈β
≤␈↓ π"␈εβE␈α↓n␈α␈sure␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w␈αis␈αo{.
␈β
A␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T2␈↓ ∧→␈ε∃-40
␈β
D␈↓ π"␈εβSet␈αb␈α␈u{er␈αp␈α␈oin␈α␈ter.
␈β
h␈↓ α␈ε∃8H␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T3␈↓ ∧→␈ε∃10
␈β
k␈↓ π"␈εβSet␈αloo␈α␈p␈αco␈α␈un␈α}ter.
␈β∞⊂␈↓ α␈ε∃1H␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T1
␈β∞∪␈↓ ∧→␈ε m␈↓ π"␈εβB␈α↓e␈α␈gin␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈αro␈α␈utin␈α␈e.
␈β∞8␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈TX␈↓ ∧→␈ε∃0
␈β∞←␈↓ α␈ε∃2H␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧→␈ε∃CAR␈α␈RY
␈β∂
␈↓ β≥␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π"␈εβ(␈α↓S␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑13␈α␈,␈αwith
␈β∂-␈↓ λQ␈εε9
␈β∂.␈↓ β≥␈ε∃J1␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃2B␈↓ )␈ε∃W␈↓ r␈ε∃U
␈β∂1␈↓ πj␈ε v␈↓ λ¬␈εβ=␈α
1␈↓ λ@␈εβ0␈↓ λi␈εβa␈α␈nd␈↓ G␈εβ=␈↓
π␈εβ.)
␈β∂V␈↓ β≥␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ ∧→␈ε∃5
␈β∂Y␈↓ π"␈εβrA␈↓ πQ␈ε↔ ␈↓ π{␈εβnex␈α␈t␈αnin␈α␈e␈αdigits.
␈β∂}␈↓ β≥␈ε∃CH␈α␈AR
␈β⊂%␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+40␈α␈,2(␈α␈2:5)
␈β⊂(␈↓ π"␈εβStor␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αnin␈α␈e␈αdigits.
␈β⊂M␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+41␈α␈,2
␈β⊂t␈↓ β≥␈ε∃IN␈α␈C2␈↓ ∧→␈ε∃2
␈β⊂w␈↓ π"␈εβI␈α↓n␈α␈crea␈α␈se␈αbu␈α␈{er␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ter.
␈β⊃≤␈↓ β≥␈ε∃DE␈α␈C3␈↓ ∧→␈ε∃1
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα570␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
}4.4
␈βα(␈↓ β≥␈ε∃J3␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃1B
␈βα+␈↓ π"␈εβRepea␈α␈t␈αten␈αtime␈α␈s.
␈βαP␈↓ β≥␈ε∃OU␈α␈T␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+20␈α␈,2(␈α␈PRIN␈α␈TER␈α␈)
␈βαw␈↓ β≥␈ε∃J2␈α␈N␈↓ ∧→␈ε∃8B
␈βαz␈↓ π"␈εβRepea␈α␈t␈αun␈α}til␈αb␈α␈oth␈αline␈α␈s␈αprin␈α␈te␈α␈d.
␈βα|␈↓ ∪␈∧α|∪≠∂
␈ββ9␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε K␈↓ αf␈εβ(␈↓ αq␈ε n␈↓ βε␈εβ)␈α
b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
ste␈α␈ps␈α
re␈α␈quired␈αto␈αcon␈α␈v␈α}ert␈α
a␈α␈n␈↓ λU␈ε n␈↓ λi␈εβ-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈αdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈ββ]␈↓
4␈εn
␈ββa␈↓ ↓H␈εβto␈α
bin␈α␈ary␈α
an␈α␈d␈α∞a␈α␈t␈α∞the␈α
same␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α∞to␈α
comp␈α␈ute␈α
the␈α
bina␈α␈ry␈α∞re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈α∞1␈↓
#␈εβ0␈↓
D␈εβ.␈α∀Th␈α␈en
␈β∧¬␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬P␈εα)
␈β∧λ␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αI␈ε K␈↓ αe␈εβ(2␈↓ β↓␈ε n␈↓ β∃␈εβ)␈ε↔␈α∀␈εβ␈α2␈↓ βh␈ε K␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε n␈↓ ∧"␈εβ)␈αλ+␈↓ ∧←␈ε O␈↓ ¬β␈ε M␈↓ ¬%␈εβ(␈↓ ¬0␈ε n␈↓ ¬E␈εβ)␈↓ ¬\␈εβ.␈ε⊂␈α≠Proof:␈εβ␈α
Giv␈α␈en␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ λz␈ε U␈↓ ␈εβ=␈α(␈↓ W␈ε u␈↓
3␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓
←␈ε u␈↓
␈␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β∧∪␈↓ k␈εε2␈↓ w␈εn␈↓
π␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓
r␈εε0␈↓
␈εε10
␈β∧,␈↓ λ←␈εn
␈β∧0␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αO␈ε U␈↓ α|␈εβ=␈α
(␈↓ β2␈ε u␈↓ ∧∞␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧:␈ε u␈↓ ∧]␈εβ)␈↓ ¬
␈εβand␈↓ ¬O␈ε U␈↓ ¬{␈εβ=␈α(␈↓ ε2␈ε u␈↓ π↓␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π-␈ε u␈↓ πM␈εβ)␈↓ π⎇␈εβa␈α␈nd␈α1␈↓ λO␈εβ0␈↓ λp␈εβ,␈αin␈α2␈↓ =␈ε K␈↓ X␈εβ(␈↓ d␈ε n␈↓ x␈εβ)␈αsteps,␈αth␈α␈en
␈β∧;␈↓ αe␈εε1␈↓ βE␈εε2␈↓ βR␈εn␈↓ βb␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧M␈εn␈↓ ∧i␈εε1␈α␈0␈↓ ¬d␈εε0␈↓ εE␈εn␈↓ εU␈ε~␈␈εε1␈↓ π@␈εε0␈↓ πX␈εε1␈α␈0
␈β∧S␈↓ βO␈εn␈↓ ¬M␈εε2␈↓ ¬Y␈εn␈↓ εK␈εn␈↓ π~␈εn
␈β∧U␈↓ π{␈εα(␈↓ λT␈εα)
␈β∧X␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αR␈ε U␈↓ α⎇␈εβ=␈α⊂1␈↓ β>␈εβ0␈↓ β←␈ε U␈↓ ∧␈εβ+␈↓ ∧6␈ε U␈↓ ∧g␈εβan␈α␈d␈α∞1␈↓ ¬<␈εβ0␈↓ ¬y␈εβ=␈α⊂1␈↓ ε:␈εβ0␈↓ εe␈ε↔↓␈εβ␈α
1␈↓ π ␈εβ0␈↓ π9␈εβin␈↓ πc␈ε O␈↓ λπ␈ε M␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈ε n␈↓ λI␈εβ)␈↓ λo␈εβstep␈α␈s.␈α↔It␈α∂fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α∞tha␈α␈t
␈β∧b␈↓ βu␈εε1␈↓ ∧L␈εε0
␈β∧{␈↓ ↓␈␈εn␈↓ β1␈εn␈↓ ∧K␈εn␈↓ ∧[␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈εn␈↓ ε≤␈ε~␈␈εε2␈↓ λ←␈εn
␈β∧|␈↓ αf␈εα(␈↓ π)␈εα)␈↓ λ↓␈εα(␈↓ λ{␈εα)
␈β∧␈␈↓ ↓H␈ε K␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈εβ2␈↓ α∂␈εβ)␈α
=␈↓ αN␈ε O␈↓ αr␈ε M␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈εβ2␈↓ βA␈εβ)␈απ+␈αλ2␈↓ ∧
␈ε M␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈εβ2␈↓ ¬↓␈εβ)␈αλ+␈απ4␈↓ ¬M␈ε M␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈εβ2␈↓ εA␈εβ)␈αλ+␈↓ ε⎇␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π>␈εβ=␈↓ πi␈ε O␈↓ λ
␈ε n␈↓ λ!␈ε M␈↓ λC␈εβ(␈↓ λO␈εβ2␈↓ λo␈εβ)␈↓ π␈εβ.
␈β¬#␈↓ λy␈εn
␈β¬$␈↓ α␈εα(
␈β¬'␈↓ α_␈εβSimilarly␈α␈,␈αSch␈↓ βc␈εβ∪␈↓ βc␈εβo␈↓ βt␈εβn␈α␈ha␈α␈ge␈αh␈α␈as␈α
ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈αth␈α␈at␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
con␈α}v␈α␈ert␈α
a␈α(␈↓ λi␈εβ2␈↓ ∂␈εβlg␈↓ /␈εβ1␈α␈0)-bit␈α
n␈α␈um␈α}ber␈↓ ⊃␈ε U
␈β¬J␈↓ λ|␈ε
n␈↓ ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β¬O␈↓ ¬M␈εn␈↓ λo␈εε2␈↓
B␈εn␈↓
R␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β¬P␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ¬h␈εα)␈↓ x␈εα(
␈β¬S␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αb␈α␈inary␈αto␈αde␈α␈cimal,␈αin␈↓ ∧V␈ε O␈↓ ∧{␈ε n␈↓ ¬∂␈ε M␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬<␈εβ2␈↓ ¬]␈εβ)␈↓ ε␈εβstep␈α␈s.␈α
Fi␈α↓rs␈α␈t␈αform␈↓ λ␈ε V␈↓ λ"␈εβ=␈α1␈↓ λ↑␈εβ0␈↓ 8␈εβi␈α↓n␈↓ `␈ε O␈↓
∧␈ε M␈↓
&␈εβ(␈↓
2␈εβ2␈↓
x␈εβ)␈αλ+
␈β¬v␈↓ αε␈εn␈↓ α⊗␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧C␈εn
␈β¬w␈↓ β!␈εα)␈↓ βy␈εα(
␈β¬z␈↓ ↓H␈ε M␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈εβ2␈↓ α<␈εβ)␈αε+␈↓ αu␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β6␈εβ=␈↓ βa␈ε O␈↓ ∧¬␈ε M␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈εβ2␈↓ ∧T␈εβ))␈α
step␈α␈s,␈αth␈α␈en␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ π!␈ε U␈↓ πL␈εβ=␈α (␈↓ λ↓␈ε U␈↓ λ"␈εβmod␈↓ λg␈ε V␈↓ λ}␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ S␈ε U␈↓ }␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓
6␈ε U␈↓
Q␈εβ/␈↓
b␈ε V␈↓
z␈ε↔c␈εβ␈α
in
␈βε¬␈↓ π6␈εε0␈↓ i␈εε1
␈βε≡␈↓ α*␈εn
␈βε∨␈↓ ↓`␈εα(␈↓ π∧␈εα)
␈βε"␈↓ ↓H␈ε O␈↓ ↓l␈ε M␈↓ α∞␈εβ(␈↓ α→␈εβ2␈↓ α:␈εβ))␈αfu␈α␈rthe␈α␈r␈αs␈α␈teps,␈αth␈α␈en␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}ert␈↓ ¬k␈ε U␈↓ ε_␈εβan␈α␈d␈↓ εY␈ε U␈↓ ε{␈εβ.
␈βε-␈↓ ε↓␈εε0␈↓ εn␈εε1
␈βεW␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε U␈↓ αu␈εβ=␈↓ β$␈εβrou␈α␈nd␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧⊗␈ε u␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧9␈ε P␈↓ ∧Q␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓ ¬-␈ε v␈↓ ¬L␈εβ=␈↓ ¬|␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ ε\␈εβ(␈↓ εg␈ε U␈↓ πα␈εβ,␈↓ π⊃␈ε p␈↓ π"␈εβ).␈α∀We␈α∞ma␈α␈y␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈↓
∃␈ε u␈↓
7␈ε↔≤␈εβ␈α∞0,␈α∂so
␈βεb␈↓ βy␈εB␈↓ εQ␈εb
␈βεz␈↓
↓␈εe␈↓
␈ε~␈␈εε1
␈βε␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊃␈ε U␈↓ α9␈ε↔≤␈εβ␈α0␈αand␈↓ βF␈ε v␈↓ βc␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈.␈ε⊂␈α≥Case␈α1␈εβ,␈↓ ¬A␈ε v␈↓ ¬←␈εβ<␈↓ ε␈ε u␈↓ ε ␈εβ:␈α∂Det␈α␈ermine␈↓ π\␈ε e␈↓ πv␈εβan␈α␈d␈↓ λ8␈ε E␈↓ λ\␈εβsuch␈αth␈α␈at␈↓ t␈ε b␈↓
>␈εβ<␈↓
k␈ε u␈↓ ␈ε↔∀
␈βπ"␈↓ ↓U␈εe␈↓ α
␈εE␈↓ α∨␈ε~␈␈εε1␈↓ βm␈εE␈↓ ε:␈εE␈↓ εM␈ε~␈␈↓ εf␈εP␈↓ π␈εe␈↓ ∩␈ε~␈␈↓ +␈εp␈↓
F␈εP␈↓
X␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπ#␈↓ ε∀␈εε1␈↓ λj␈εε1
␈βπ&␈↓ ↓H␈ε b␈↓ ↓`␈εβ,␈↓ ↓w␈ε B␈↓ αR␈ε↔∀␈↓ β␈ε U␈↓ β(␈εβ<␈↓ βV␈ε B␈↓ β␈␈εβ.␈α∩Th␈α␈en␈↓ ∧s␈ε u␈↓ ¬∀␈ε↔∀␈↓ ¬B␈ε U␈↓ ¬f␈εβ+␈↓ ε$␈ε B␈↓ πε␈εβan␈α␈d␈↓ πI␈ε U␈↓ πq␈ε↔∀␈↓ λ∨␈ε u␈↓ λ<␈ε↔␈␈↓ λz␈ε b␈↓ 9␈εβ;␈α∂h␈α␈enc␈α␈e␈↓
/␈ε B␈↓ ␈ε↔∀
␈βπ4␈↓ ε∀␈∧π4ε∀α
␈↓ λj␈∧π4λjα
␈βπ6␈↓ ε∀␈εε2␈↓ λj␈εε2
␈βπJ␈↓ ↓↑␈εP␈↓ ↓q␈ε~␈␈↓ α
␈εE␈↓ β
␈εP␈↓ β ␈ε~␈␈↓ β9␈εE␈↓ ∧,␈εp␈↓ ∧:␈ε~␈␈↓ ∧S␈εe␈↓ ¬>␈εp
␈βπN␈↓ ↓H␈ε B␈↓ α≤␈ε U␈↓ αF␈εβ<␈↓ αw␈ε B␈↓ βK␈ε u␈↓ βn␈ε↔∀␈↓ ∧∨␈ε b␈↓ ∧↑␈ε u␈↓ ¬↓␈ε↔∀␈↓ ¬1␈ε b␈↓ ¬L␈εβ.␈ε⊂␈α!C␈α␈ase␈α∞2␈εβ,␈↓ εt␈ε v␈↓ π∀␈εβ>␈↓ πE␈ε u␈↓ πY␈εβ:␈α∩Deter␈α␈mine␈↓ ~␈ε e␈↓ 6␈εβan␈α␈d␈↓ z␈ε E␈↓
␈εβsu␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t
␈βπq␈↓ ↓U␈εe␈↓ ↓`␈ε~␈␈εε1␈↓ β$␈εe␈↓ β↑␈εE␈↓ βp␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬E␈εE␈↓ λ≥␈εE␈↓ λ/␈ε~␈␈↓ λH␈εP␈↓
q␈εe␈↓
|␈ε~␈␈↓ ∃␈εp
␈βπr␈↓ πv␈εε1␈↓
T␈εε1
␈βπu␈↓ ↓H␈ε b␈↓ α∀␈ε↔∀␈↓ αD␈ε u␈↓ αg␈εβ<␈↓ β↔␈ε b␈↓ β/␈εβ,␈↓ βH␈ε B␈↓ ∧%␈εβ<␈↓ ∧U␈ε U␈↓ ∧␈␈ε↔∀␈↓ ¬/␈ε B␈↓ ¬W␈εβ.␈α⊗Th␈α␈en␈↓ εP␈ε u␈↓ εs␈ε↔∃␈↓ π#␈ε U␈↓ πH␈ε↔␈␈↓ λπ␈ε B␈↓ λi␈εβand␈↓ .␈ε U␈↓ X␈ε↔∃␈↓
λ␈ε u␈↓
%␈εβ+␈↓
d␈ε b␈↓ #␈εβ;
␈βλβ␈↓ πv␈∧λβπvα
␈↓
T␈∧λβ
Tα
␈βλε␈↓ πv␈εε2␈↓
T␈εε2
␈βλ→␈↓ α9␈εP␈↓ αL␈ε~␈␈εε1␈↓ β<␈εP␈↓ βO␈ε~␈␈↓ βh␈εE␈↓ ∧d␈εE␈↓ ∧v␈ε~␈␈↓ ¬∂␈εP␈↓ ¬w␈εP␈↓ ε
␈ε~␈␈↓ ε#␈εE␈↓ π
␈εp␈↓ π_␈ε~␈␈↓ π1␈εe␈↓ λ⊃␈εp
␈βλ≥␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α#␈ε B␈↓ α{␈ε↔∀␈↓ β&␈ε B␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε U␈↓ ∧&␈ε↔␈␈↓ ∧M␈ε B␈↓ ¬"␈εβ)␈α <␈↓ ¬a␈ε B␈↓ ε5␈ε u␈↓ εR␈ε↔∀␈↓ ε⎇␈ε b␈↓ π<␈ε u␈↓ πY␈εβ<␈↓ λ∧␈ε b␈↓ λ∨␈εβ.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α pro␈α␈v␈α}ed␈α tha␈α␈t
␈βλ@␈↓ ↓↑␈εP␈↓ ↓q␈ε~␈␈εε1␈↓ αW␈εp
␈βλE␈↓ ↓H␈ε B␈↓ α ␈εβ<␈↓ αJ␈ε b␈↓ αp␈εβwhen␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈↓ ∧β␈ε v␈↓ ∧≡␈ε↔≤␈↓ ∧I␈ε u␈↓ ∧]␈εβ.
␈βλi␈↓ βx␈εP␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧r␈εp
␈βλm␈↓ α␈εβCon␈α}v␈α␈er␈α␈sely,␈αif␈↓ βa␈ε B␈↓ ∧:␈εβ<␈↓ ∧e␈ε b␈↓ ¬␈εβ,␈αth␈α␈e␈αa␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈αpro␈α␈of␈αs␈α␈ugg␈α␈ests␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αmost␈αli␈α↓k␈α}ely␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈β ∀␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αwhich␈↓ α]␈ε u␈↓ α|␈ε↔≤␈↓ β'␈ε v␈↓ βD␈εβw␈α↓ill␈αocc␈α␈ur␈αwh␈α␈en␈↓ ¬5␈ε u␈↓ ¬U␈εβis␈αa␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈↓ π≤␈ε b␈↓ π5␈εβan␈α␈d␈αa␈α␈t␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αtime␈αit␈αis␈αc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αto
␈β 8␈↓ ∧2␈εP␈↓ ∧E␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧x␈εp␈↓ ¬P␈εP␈↓ ¬b␈ε~␈␈εε1␈↓ ε∃␈εp␈↓ εs␈εp␈↓ πY␈εP␈↓ πl␈ε~␈␈εε1␈↓ )␈εP␈↓ <␈ε~␈␈εε1␈↓
H␈εp
␈β 9␈↓ εU␈εε1␈↓ π3␈εε1␈↓ λD␈εε1␈↓
∀␈εε1␈↓ λ␈εε1
␈β <␈↓ ↓H␈εβa␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
of␈↓ αi␈ε B␈↓ α␈␈εβ.␈αWe␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ∧≤␈ε B␈↓ ∧j␈ε b␈↓ ¬∂␈εβ<␈↓ ¬9␈ε B␈↓ ελ␈ε b␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εf␈ε b␈↓ ππ␈ε↔␈␈↓ πC␈ε B␈↓ λ_␈ε↔␈␈↓ λ↑␈εβ=␈α (␈↓ ∪␈ε B␈↓ i␈εβ+␈↓
$␈εβ)(␈↓
;␈ε b␈↓
\␈ε↔␈␈↓ _␈εβ);
␈β J␈↓ εU␈∧ JεUα
␈↓ π3␈∧ Jπ3α
␈↓ λD␈∧ JλDα
␈↓
∀␈∧ J
∀α
␈↓ λ␈∧ Jλα
␈β L␈↓ εU␈εε2␈↓ π3␈εε2␈↓ λD␈εε4␈↓
∀␈εε2␈↓ λ␈εε2
␈β ←␈↓ ∧Q␈ε~␈␈↓ ∧k␈εp␈↓ ε-␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ εS␈εP
␈β `␈↓ ∧4␈εε1␈↓ εε␈εε1
␈β d␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈α
1␈α
<␈↓ αr␈ε ␈↓ β∩␈εβ=␈α
1/␈α␈(1␈ε↔␈α ␈␈↓ ∧D␈ε b␈↓ ∧x␈εβ)␈α∞<␈α
1␈αλ+␈↓ ε↔␈ε B␈↓ εr␈εβ=␈↓ π!␈ε ␈␈↓ π5␈εβ.␈α∩There␈α
a␈α␈re␈α
i␈α↓n␈α}teger␈α␈s␈↓ j␈ε e␈↓
∧␈εβan␈α␈d␈↓
G␈ε E␈↓
l␈εβsu␈α␈ch
␈β r␈↓ ∧4␈∧ r∧4α
␈↓ εε␈∧ rεεα
␈β t␈↓ ∧4␈εε2␈↓ εε␈εε2
␈β
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∪␈εβlog␈↓ αU␈ε ␈↓ αu␈εβ<␈↓ β%␈ε e␈↓ β8␈εβlo␈α␈g␈↓ βy␈ε b␈↓ ∧⊂␈ε↔␈␈↓ ∧;␈ε E␈↓ ∧`␈εβ<␈↓ ¬⊂␈εβlog␈↓ ¬R␈ε ␈␈↓ ¬f␈εβ,␈α∂since␈α∞Wey␈α␈l␈α↓'s␈α∞th␈α␈eorem␈α∞(ex␈α}ercise␈α∞3.5␈α␈↑22␈α␈)␈α∂imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s
␈β
~␈↓ α=␈εB␈↓ βb␈εB␈↓ ¬;␈εB
␈β
3␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈αi␈α↓s␈αa␈α␈n␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ ∧)␈ε e␈↓ ∧B␈εβwith␈α0␈α<␈↓ ¬W␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε→␈ε ␈↓ ε7␈εβ<␈α(␈↓ εn␈ε e␈↓ π↓␈εβlog␈↓ π=␈εβ)␈↓ πN␈εβm␈α␈od␈↓ λ∩␈εβ1␈α<␈↓ λ[␈εβlo␈α␈g␈↓ ≤␈ε ␈␈↓ <␈εβ<␈α1␈αwhen␈↓
↑␈εβlo␈α␈g␈↓ ∨␈ε b
␈β
B␈↓ εα␈εB␈↓ π+␈εB␈↓ ¬␈εB␈↓ λ␈εB
␈β
V␈↓ ∧K␈εe␈↓ ∧⎇␈εE
␈β
Z␈↓ ↓H␈εβis␈α
irration␈α␈al.␈α∩He␈α␈nce␈↓ βq␈ε ␈↓ ∧⊂␈εβ<␈↓ ∧>␈ε b␈↓ ∧V␈εβ/␈↓ ∧f␈ε B␈↓ ¬≠␈εβ<␈↓ ¬I␈ε ␈␈↓ ¬↑␈εβ,␈α∞for␈α
so␈α␈me␈↓ π␈ε e␈↓ π~␈εβan␈α␈d␈↓ π]␈ε E␈↓ πt␈εβ.␈α≡(S␈α␈uc␈α␈h␈↓ λy␈ε e␈↓ ∪␈εβan␈α␈d␈↓ V␈ε E␈↓ z␈εβmay␈αalso␈α
be
␈βα␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αa␈α␈pp␈α␈lying␈α
the␈α
theo␈α␈ry␈αo␈α␈f␈αcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈α␈s,␈αse␈α␈e␈αS␈α␈ection␈α
4.5.3.)␈α→No␈α}w␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β%␈↓ αG␈εe␈↓ βS␈εE␈↓ ¬@␈εE␈↓ εE␈εe
␈β*␈↓ ↓H␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ α.␈εβ(␈↓ α9␈ε b␈↓ αQ␈εβ,␈↓ α`␈ε P␈↓ αx␈εβ)␈α=␈↓ β=␈ε B␈↓ βf␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
ro␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬∨␈εβ(␈↓ ¬*␈ε B␈↓ ¬S␈εβ,␈↓ ¬a␈ε p␈↓ ¬r␈εβ)␈α
<␈↓ ε8␈ε b␈↓ εP␈εβ.␈α≥[␈ε⊂CA␈α␈CM␈ε∪␈α11␈εβ␈α
(1␈α␈968␈α␈)␈α↓,␈α
47↑␈α␈50␈α␈;␈ε⊂␈α∂Proc␈α␈.␈α∞Am␈α␈er.
␈β4␈↓ α≥␈εB␈↓ ¬∀␈εb
␈βQ␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α19␈εβ␈α
(196␈α␈8),␈α7␈α␈16␈α␈↑72␈α␈3.]
␈ββ␈↓ αy␈ε∃FO␈α␈FOF␈α␈OFO␈↓ λλ␈εα(␈↓
#␈εα)
␈βε␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε m␈↓ αA␈εβ=␈α(␈↓ ∧∨␈εβ)␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε c␈↓ ∧}␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ10/␈α␈16␈αmak␈α}es␈↓ π4␈ε U␈↓ π[␈εβ=␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε u␈↓ λ>␈ε u␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 4␈εβ(␈↓ @␈ε u␈↓ ←␈ε u␈↓ ␈␈εβ)␈↓
U␈εβ;␈α∞th␈α␈en
␈β⊃␈↓ α(␈εε1␈↓ ∧*␈εε1␈α␈6␈↓ ∧e␈εε1␈↓ λ2␈εε7␈↓ λR␈εε6␈↓ λi␈εε10␈↓ S␈εε1␈↓ r␈εε0␈↓
␈εε10␈↓
/␈εε25␈α␈6
␈β*␈↓ ¬V␈εε2␈↓ ε∃␈εε2
␈β+␈↓ α9␈ε∃FF␈α␈OOF␈α␈FOO␈↓ πp␈εα(␈↓
X␈εα)
␈β.␈↓ ↓H␈ε m␈↓ ↓␈␈εβ=␈α∞(␈↓ β←␈εβ)␈↓ ∧β␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε c␈↓ ∧A␈εβ=␈α∂1␈ε↔␈α ␈␈εβ␈α 1␈↓ ¬F␈εβ0␈↓ ¬c␈εβ/1␈↓ ε∧␈εβ6␈↓ ε0␈εβm␈α␈ak␈α}es␈↓ π↔␈ε U␈↓ π@␈εβ=␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε u␈↓ λ&␈ε u␈↓ λF␈ε u␈↓ λf␈ε u␈↓ ε␈εβ)␈↓ *␈εβ(␈↓ 5␈ε u␈↓ U␈ε u␈↓ t␈ε u␈↓
∀␈ε u␈↓
4␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈β8␈↓ ↓d␈εε2␈↓ βj␈εε1␈α␈6␈↓ ∧'␈εε2␈↓ λ~␈εε7␈↓ λ:␈εε6␈↓ λY␈εε5␈↓ λy␈εε4␈↓ ⊃␈εε1␈α␈0␈↓ H␈εε3␈↓ h␈εε2␈↓
λ␈εε1␈↓
'␈εε0␈↓
?␈εε10␈↓
d␈εε65␈α␈536
␈βQ␈↓ ε⊂␈εε4␈↓ εN␈εε4
␈βR␈↓ αx␈ε∃FFF␈α␈FOO␈α␈OO
␈βU␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α
␈ε m␈↓ α?␈εβ=␈α
(␈↓ ∧≡␈εβ)␈↓ ∧B␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε c␈↓ ∧}␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α 1␈↓ ¬␈␈εβ0␈↓ ε≤␈εβ/1␈↓ ε>␈εβ6␈↓ εh␈εβ|␈α␈nish␈α␈es␈α
the␈αjob␈α␈.␈α≥(␈α↓C␈α␈f␈α↓.␈α
ex␈α}ercise␈α
1␈α␈4.␈α⊃Th␈α␈is
␈β`␈↓ α'␈εε3␈↓ ∧)␈εε1␈α␈6␈↓ ∧e␈εε3
␈β⎇␈↓ ↓H␈εβte␈α␈chn␈α␈ique␈α
i␈α↓s␈αd␈α␈ue␈αto␈α
Ro␈α␈y␈αA.␈αKeir,␈αcirca␈α19␈α␈58␈α␈.␈α↓)
␈β∞␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.1
␈β∞P␈↓ ∧a␈ε~0␈↓ ¬/␈ε~0
␈β∞T␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβTest␈αwh␈α␈ethe␈α␈r␈αo␈α␈r␈αno␈α␈t␈↓ ∧;␈ε u␈↓ ∧O␈ε v␈↓ ∧p␈εβ<␈↓ ¬≠␈ε u␈↓ ¬5␈ε v␈↓ ¬G␈εβ,␈αsinc␈α␈e␈αthe␈αd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tors␈αare␈α
positiv␈α␈e␈α␈.
␈β∂ ␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε c␈↓ αD␈εβ>␈α 1␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈αb␈α␈oth␈↓ ∧H␈ε u␈↓ ∧\␈εβ/␈↓ ∧m␈ε d␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬K␈ε v␈↓ ¬]␈εβ/␈↓ ¬m␈ε d␈↓ ε␈εβ,␈αthe␈α␈n␈↓ ε`␈ε c␈↓ εm␈ε d␈↓ π␈εβd␈α␈ivide␈α␈s␈αboth␈↓ λI␈ε u␈↓ λh␈εβan␈α␈d␈↓ )␈ε v␈↓ :␈εβ.
␈β∂:␈↓ ∧≡␈εe␈↓ εv␈ε~0␈↓ π∞␈ε~0␈↓ e␈εe␈↓
r␈εe␈↓ &␈ε~0
␈β∂>␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε p␈↓ α←␈εβbe␈αλp␈α␈rime.␈α
If␈↓ ∧∞␈ε p␈↓ ∧1␈εβi␈α↓s␈αλa␈απdivisor␈αλo␈α␈f␈↓ ¬w␈ε u␈↓ ε␈ε v␈↓ ε$␈εβan␈α␈d␈↓ εb␈ε u␈↓ ε|␈ε v␈↓ π≤␈εβfor␈↓ πM␈ε e␈↓ πc␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,␈α the␈α␈n␈αλeithe␈α␈r␈↓ T␈ε p␈↓ t␈ε↔∧␈↓
λ␈ε u␈↓
$␈εβa␈α␈nd␈↓
b␈ε p␈↓ ↓␈ε↔∧␈↓ ∃␈ε v
␈β∂b␈↓ αβ␈εe␈↓ αC␈ε~0␈↓ β)␈εe␈↓ ∧l␈εe␈↓ ε
␈ε~0␈↓ εr␈ε~0
␈β∂f␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈↓ ↓r␈ε p␈↓ α⊗␈ε↔∧␈↓ α/␈ε u␈↓ αV␈εβan␈α␈d␈↓ β_␈ε p␈↓ β<␈ε↔∧␈↓ βU␈ε v␈↓ βg␈εβ;␈α
hen␈α␈ce␈↓ ∧[␈ε p␈↓ ∧␈␈ε↔∧␈↓ ¬_␈εβgcd␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬V␈ε u␈↓ ¬j␈εβ,␈↓ ¬x␈ε v␈↓ ε⊂␈εβ)␈↓ ε!␈εβg␈α␈cd␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε u␈↓ εx␈εβ,␈↓ ππ␈ε v␈↓ π_␈εβ).␈α⊂The␈αcon␈α}v␈α␈er␈α␈se␈α
follo␈α␈ws␈αby␈αrev␈α}ersing
␈β⊂∞␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αarg␈α␈um␈α␈en␈α␈t.
␈β⊂>␈↓ ¬U␈ε~0␈↓ ¬{␈ε~0␈↓ .␈ε~0␈↓
{␈ε~0
␈β⊂B␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε d␈↓ αp␈εβ=␈↓ β#␈ε g␈↓ β3␈ε c␈↓ β@␈ε d␈↓ βR␈εβ(␈↓ β]␈ε u␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧␈ε v␈↓ ∧∩␈εβ),␈↓ ∧2␈ε d␈↓ ∧X␈εβ=␈↓ ¬β␈εβgcd␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε u␈↓ ¬[␈εβ,␈↓ ¬j␈ε v␈↓ ε↓␈εβ);␈α
th␈α␈e␈αansw␈α␈e␈α␈r␈αis␈↓ πl␈ε w␈↓ λ∂␈εβ=␈α
(␈↓ λE␈ε u␈↓ λY␈εβ/␈↓ λj␈ε d␈↓ ε␈εβ)(␈↓ ≤␈ε v␈↓ 4␈εβ/␈↓ E␈ε d␈↓ a␈εβ)␈↓ l␈εβsign␈↓
%␈εβ(␈↓
0␈ε v␈↓
B␈εβ),␈↓
b␈ε w␈↓ ␈εβ=
␈β⊂M␈↓ αY␈εε1␈↓ ∧A␈εε2␈↓ λz␈εε1␈↓ T␈εε2
␈β⊂f␈↓ ↓p␈ε~0
␈β⊂j␈↓ ↓H␈ε↔j␈εβ(␈↓ ↓\␈ε u␈↓ ↓v␈εβ/␈↓ απ␈ε d␈↓ α#␈εβ)(␈↓ α9␈ε v␈↓ αK␈εβ/␈↓ α[␈ε d␈↓ αw␈εβ)␈ε↔␈α↓j␈εβ,␈αwith␈αa␈α\␈α␈divid␈α␈e␈αby␈α
zero"␈α
error␈αm␈α␈essag␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ πt␈ε v␈↓ λ∞␈εβ=␈α
0.
␈β⊂u␈↓ α⊗␈εε2␈↓ αk␈εε1
␈β⊃≠␈↓ λs␈ε~0
␈β⊃∨␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈ε d␈↓ α1␈εβ=␈α
10␈α␈,␈↓ β∩␈ε t␈↓ β'␈εβ=␈α 17␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ27␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈2␈α =␈ε↔␈α
␈␈εβ20␈α␈5,␈↓ εA␈ε d␈↓ εg␈εβ=␈α 5,␈↓ π6␈ε w␈↓ πX␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ41,␈↓ λZ␈ε w␈↓ α␈εβ=␈α
1␈α␈68.
␈β⊃*␈↓ α≤␈εε1␈↓ εQ␈εε2
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα571
␈βα&␈↓ α\␈ε~00␈↓ β0␈ε~0␈↓ ∧λ␈ε~00␈↓ ∧Z␈ε~0␈↓ λB␈ε~00␈↓ ∂␈ε~00␈↓
y␈ε~00
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε u␈↓ αr␈εβ=␈↓ β≤␈ε u␈↓ β6␈εβ/␈↓ βG␈ε d␈↓ βc␈εβ,␈↓ βv␈ε v␈↓ ∧≡␈εβ=␈↓ ∧H␈ε v␈↓ ∧`␈εβ/␈↓ ∧q␈ε d␈↓ ¬
␈εβ;␈α
w␈α␈e␈α
wa␈α␈n␈α␈t␈α
t␈α␈o␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ π←␈εβgcd␈↓ λ⊃␈εβ(␈↓ λ≤␈ε u␈↓ λ0␈ε v␈↓ λT␈εβ+␈↓ λ{␈ε u␈↓ ≠␈ε v␈↓ -␈εβ,␈↓ <␈ε d␈↓ X␈εβ)␈α =␈↓
↔␈εβg␈α␈cd␈↓
I␈εβ(␈↓
T␈ε u␈↓
h␈ε v␈↓ ␈εβ+
␈βα5␈↓ βW␈εε1␈↓ ¬␈εε1␈↓ K␈εε1
␈βαN␈↓ ↓\␈ε~00␈↓ α9␈ε~00␈↓ αW␈ε~00␈↓ ε2␈ε~00␈↓
¬␈ε~00
␈βαR␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓h␈ε v␈↓ ↓z␈εβ,␈↓ αλ␈ε d␈↓ α%␈ε u␈↓ αE␈ε v␈↓ αc␈εβ).␈α∞I␈α↓f␈↓ β(␈ε p␈↓ βE␈εβis␈αa␈αp␈α␈rime␈αth␈α␈at␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ε≡␈ε u␈↓ ε>␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ π!␈ε p␈↓ π>␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ *␈ε u␈↓ J␈εβo␈α␈r␈↓ s␈ε v␈↓
⊃␈εβ,␈α
so␈↓
Q␈ε p␈↓
n␈εβd␈α␈oe␈α␈s
␈βα\␈↓ α_␈εε1
␈βαu␈↓ β∞␈ε~00␈↓ β`␈ε~00␈↓ ↑␈ε~00
␈βαy␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ αi␈ε u␈↓ α⎇␈ε v␈↓ β#␈εβ+␈↓ βL␈ε u␈↓ βm␈ε v␈↓ β}␈εβ.␈α∞A␈α
similar␈αa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈αh␈α␈olds␈αfo␈α␈r␈αprime␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isors␈αo␈α␈f␈↓ M␈ε v␈↓ k␈εβ,␈αso␈αn␈α␈o␈αprime
␈ββ≥␈↓ α⎇␈ε~00␈↓ β≠␈ε~00
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ αi␈ε u␈↓ β ␈ε v␈↓ β2␈εβa{ect␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈en␈α
gcd␈α␈.
␈ββR␈↓ β↓␈εε2␈↓ ∧2␈εε2␈↓ ¬!␈εε2
␈ββV␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε N␈↓ α=␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ αv␈εβ)␈↓ β∀␈εβ+␈αλ(␈↓ βH␈ε N␈↓ βn␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ ∧&␈εβ)␈↓ ∧G␈εβ=␈α
2␈↓ ¬β␈ε N␈↓ ¬5␈ε↔␈␈εβ␈απ(6␈↓ ¬y␈ε N␈↓ ε∨␈ε↔␈␈εβ␈απ5).␈αIf␈αth␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈α
are␈↓ λm␈ε n␈↓ ↓␈εβ-␈α↓b␈α␈it␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈ββ}␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε n␈↓ ↓t␈εβ+␈απ1␈αbits␈αma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αnec␈α␈essary␈α
to␈αrep␈α␈resen␈α}t␈↓ ε;␈ε t␈↓ εG␈εβ.
␈β∧4␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβFor␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈απa␈α␈nd␈αεdivision␈αεthese␈αεqua␈α␈n␈α␈tities␈απwil␈α↓l␈απob␈α␈ey␈απth␈α␈e␈απru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈↓ :␈ε x␈↓ L␈εβ/0␈αλ=␈↓
!␈εβsign␈↓
Z␈εβ(␈↓
e␈ε x␈↓
w␈εβ)␈ε↔1␈εβ,
␈β∧[␈↓ ↓H␈εβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈ε↔␈αλα␈↓ αQ␈ε x␈↓ αm␈εβ=␈↓ β_␈ε x␈↓ β1␈ε↔α␈εβ␈αλ(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)␈α
=␈α
(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)/␈↓ ¬R␈ε x␈↓ ¬m␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ ε:␈εβs␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε x␈↓ π∂␈εβ)␈ε↔1␈εβ␈α↓,␈↓ πQ␈ε x␈↓ πb␈εβ/(␈ε↔ε1␈εβ)␈α=␈α
0␈α␈,␈αpro␈α␈v␈α␈ided␈αth␈α␈at␈↓
y␈ε x␈↓ ⊗␈εβis
␈β¬β␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nite␈α an␈α␈d␈α no␈α␈nze␈α␈ro,␈α
witho␈α␈ut␈α cha␈α␈nge␈α to␈α th␈α␈e␈α
a␈α␈lgorith␈α␈ms␈α
d␈α␈escrib␈α␈ed.␈α
F␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α
the␈α algo␈α␈-
␈β¬*␈↓ ↓H␈εβrith␈α␈ms␈αλca␈α␈n␈αλrea␈α␈dily␈αλb␈α␈e␈αλmod␈α␈i|ed␈απso␈αλth␈α␈at␈αλ0/␈α␈0␈α =␈α
0␈ε↔␈αβα␈εβ␈αβ(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈α =␈α
(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)␈ε↔␈αβα␈εβ␈α∧0␈αλ=␈α
\(0␈α␈/0)"␈α␈,␈α where
␈β¬R␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλlatte␈α␈r␈αλis␈αλa␈αλr␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλo␈α␈f␈αλ\u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈";␈α an␈α␈d␈αλso␈απtha␈α␈t␈αλif␈αλeithe␈α␈r␈αλop␈α␈eran␈α␈d␈αλis␈αλ\␈α␈un␈α␈de␈α␈|n␈α␈ed"
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈sult␈α
will␈α
be␈α\un␈α␈de␈α␈|n␈α␈ed"␈αalso.␈α⊂S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
m␈α}ultiplication␈αan␈α␈d␈αdivision␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s
␈βε!␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α∞yield␈α∞the␈α␈se␈α∂fairly␈α∞na␈α␈tural␈α∞rules␈α∂o␈α␈f␈α∂\e␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α∂a␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c,"␈α∂it␈α∂is␈α∂so␈α␈metimes␈α∞w␈α␈orth
␈βεI␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈αto␈αm␈α␈odify␈αth␈α␈e␈αad␈α␈dition␈αa␈α␈nd␈αsu␈α␈btr␈α␈action␈αo␈α␈pe␈α␈ration␈α␈s␈αso␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈ey␈αsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α
the␈αru␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈βεp␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓[␈ε↔ε␈αα1␈εβ␈α
=␈ε↔␈α ε␈α↓1␈εβ,␈↓ β'␈ε x␈↓ β:␈ε↔ε␈εβ␈αβ(␈ε↔␈1␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α π1␈εβ␈α↓,␈αλfor␈↓ ¬n␈ε x␈↓ εε␈εβ|␈α␈nite;␈α (␈ε↔ε1␈εβ)␈αα+␈αβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α ε1␈αβ␈␈εβ␈αα(␈ε↔π1␈εβ␈α↓)␈α =␈ε↔␈α
ε1␈εβ,
␈βπ_␈↓ ↓H␈εβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈ε↔π1␈εβ)␈α
=␈α (␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈α =␈α
(0/␈α␈0);␈αan␈α␈d␈αif␈αe␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈αor␈αb␈α␈oth␈α
ope␈α␈ran␈α␈ds␈αis␈α(0/0␈α␈),␈αso
␈βπ@␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t.␈αEqu␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈αtests␈αa␈α␈nd␈αc␈α␈omp␈α␈arison␈α␈s␈αmay␈α
be␈αtre␈α␈ated␈α
i␈α↓n␈α
a␈αsimilar␈αma␈α␈nn␈α␈er.
␈βπh␈↓ α␈εβThe␈αab␈α␈o␈α␈v␈α}e␈αre␈α␈mark␈α␈s␈αa␈α␈re␈αin␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈αof␈α\o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w"␈αi␈α↓n␈α␈dica␈α␈tions.␈αIf␈ε↔␈α1␈εβ␈αis␈αbeing␈αu␈α␈sed
␈βλ∂␈↓ ↓H␈εβto␈α s␈α␈ugg␈α␈est␈α o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w,␈α i␈α↓t␈α is␈α i␈α↓n␈α␈corre␈α␈ct␈α to␈α l␈α↓e␈α␈t␈α
1␈α␈/␈ε↔1␈εβ␈α be␈α eq␈α␈ual␈α to␈α zero␈α␈,␈α
lest␈α i␈α↓n␈α␈acc␈α␈ura␈α␈te␈α
r␈α␈esults␈α be
␈βλ7␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gard␈α␈ed␈αλa␈α␈s␈α t␈α␈rue␈αλan␈α␈sw␈α␈ers.␈α
It␈α is␈αλfar␈αλbe␈α␈tter␈αλto␈αλrep␈α␈resen␈α}t␈α o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αλby␈απ(␈α↓0␈α␈/0␈α␈)␈α↓,␈α a␈α␈nd␈αλt␈α␈o␈αλadh␈α␈ere␈αλto
␈βλ←␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α con␈α}v␈α␈en␈α}tion␈α th␈α␈at␈α the␈α resu␈α␈l␈α↓t␈α of␈α an␈α}y␈α op␈α␈eration␈αλi␈α↓s␈α u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α if␈α
a␈α␈t␈α
lea␈α␈st␈α
o␈α␈ne␈α of␈α the␈α inp␈α␈ut␈α␈s
␈β ε␈↓ ↓H␈εβis␈α un␈α␈de|␈α␈ned␈α␈.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α typ␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈α
ind␈α␈ication␈α h␈α␈as␈α the␈α ad␈α␈van␈α}tag␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α |n␈α␈al␈α
resu␈α␈lts␈α
of␈α an
␈β .␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈αcalcu␈α␈lation␈α
rev␈α␈ea␈α␈l␈αe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α
which␈α
an␈α␈swe␈α␈rs␈αare␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈αa␈α␈nd␈α
which␈α
are␈αn␈α␈ot.
␈β ←␈↓ αf␈ε~0␈↓ βT␈ε~0
␈β c␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε u␈↓ αA␈εβ/␈↓ αR␈ε u␈↓ αv␈ε↔≤␈↓ β ␈ε v␈↓ β2␈εβ/␈↓ βB␈ε v␈↓ βZ␈εβ,␈αthe␈α␈n
␈β
/␈↓ βW␈ε~0␈↓ ∧"␈ε~0␈↓ ¬
␈ε~0␈↓ ¬"␈ε~0␈↓ ¬u␈ε~0␈↓ εu␈ε~0␈↓ π↑␈εε2␈↓ πj␈εn␈↓ λ>␈ε~0␈↓ ⊃␈εε2␈↓ ≥␈εn␈↓ l␈ε~0
␈β
5␈↓ αd␈εβ1␈ε↔␈α ∀␈α
j␈↓ β2␈ε u␈↓ βF␈ε v␈↓ βe␈ε↔␈␈↓ ∧∞␈ε u␈↓ ∧(␈ε v␈↓ ∧9␈ε↔j␈εβ␈α
=␈↓ ∧v␈ε u␈↓ ¬⊃␈ε v␈↓ ¬(␈ε↔j␈εβ␈α↓(␈↓ ¬=␈ε u␈↓ ¬Q␈εβ/␈↓ ¬a␈ε u␈↓ ¬|␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εB␈ε v␈↓ εS␈εβ/␈↓ εd␈ε v␈↓ ε|␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α <␈ε↔␈α
j␈↓ πM␈εβ2␈↓ π{␈εβ(␈↓ λε␈ε u␈↓ λ~␈εβ/␈↓ λ*␈ε u␈↓ λE␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ␈εβ2␈↓ .␈εβ(␈↓ 9␈ε v␈↓ J␈εβ/␈↓ [␈ε v␈↓ r␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α↓;
␈ββ␈↓
*␈εα(
␈βε␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α
q␈α␈uan␈α}tities␈α∞d␈α␈i{␈α↓e␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α
by␈αmore␈α
th␈α␈an␈α
u␈α␈nity␈α
c␈α␈ann␈α␈ot␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
same␈α
\␈α␈⎇oo␈α␈r."␈↓
6␈εβIn␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈β.␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rds,␈αthe␈α|␈α␈rst␈α2␈↓ β?␈ε n␈↓ β↑␈εβbits␈αto␈αth␈α␈e␈αrigh␈α␈t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αbin␈α␈ary␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αar␈α␈e␈αeno␈α␈ugh␈α
to␈αch␈α␈arac␈α␈terize␈αthe
␈βV␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αfract␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈α
wh␈α␈en␈αth␈α␈ere␈αare␈↓ ¬r␈ε n␈↓ εε␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈αd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tors.␈α∂We␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈αimpro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈i␈α↓s␈αto
␈βz␈↓ ¬C␈εε1␈↓ λ∂␈εε1␈↓
E␈εα)
␈β⎇␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε n␈↓ ↓t␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αbits,␈αfor␈αif␈↓ βU␈ε n␈↓ βs␈εβ=␈α 4␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬b␈εβ=␈α
(.000␈α␈100␈α␈11␈↓ π,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πY␈εβ)␈↓ πp␈εβ,␈↓ λ.␈εβ=␈α
(.000␈α␈100␈α␈10␈↓ x␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
$␈εβ)␈↓
<␈εβ.
␈βλ␈↓ πd␈εε2␈↓
0␈εε2
␈β␈↓ ¬<␈∧¬<α~␈↓ λλ␈∧λλα~
␈β
␈↓ ¬<␈εε13␈↓ λλ␈εε14
␈β0␈↓ ∧c␈∧0∧cα⊃
␈β2␈↓ ∧;␈ε~0␈↓ ∧B␈ε↔p␈↓ ¬&␈ε~0␈α↓0␈↓ π⊗␈ε~0
␈β7␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβTo␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈α
by␈α
(␈↓ βf␈ε v␈↓ ∧␈εβ+␈↓ ∧*␈ε v␈↓ ∧c␈εβ5␈↓ ∧y␈εβ)/␈↓ ¬∃␈ε v␈↓ ¬3␈εβ,␈α∞whe␈α␈n␈↓ ε#␈ε v␈↓ εB␈εβan␈α␈d␈↓ π¬␈ε v␈↓ π*␈εβare␈α
n␈α␈ot␈α
bo␈α␈th␈α
zero␈α␈,␈α∞m␈α␈ultiply␈α
b␈α␈y␈α
the
␈βX␈↓ βn␈∧Xβnα⊃
␈βY␈↓ βM␈ε↔p
␈βZ␈↓ βG␈ε~0␈↓ ∧!␈ε~00␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ¬9␈ε~0␈εε␈α↓2
␈β↑␈↓ ↓H␈εβre␈α␈ciproc␈α␈al,␈α(␈↓ αt␈ε v␈↓ β␈ε↔␈␈↓ β5␈ε v␈↓ βn␈εβ5␈↓ ∧∧␈εβ)␈↓ ∧∂␈ε v␈↓ ∧-␈εβ/(␈↓ ∧I␈ε v␈↓ ∧o␈ε↔␈␈εβ␈απ5␈↓ ¬(␈ε v␈↓ ¬L␈εβ),␈αa␈α␈nd␈α
redu␈α␈ce␈αto␈αlo␈α}we␈α␈st␈αterms.
␈β
b␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.2
␈β∞8␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβSu␈α␈bs␈α␈ti␈α↓tu␈α␈te␈αmin␈α␈,␈αma␈α␈x,␈α+␈αcon␈α␈si␈α↓ste␈α␈n␈α␈tly␈αfo␈α␈r␈αg␈α␈cd␈α␈,␈αlcm,␈ε↔␈αα␈εβ.
␈β∞m␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβFor␈αprime␈↓ β*␈ε p␈↓ β:␈εβ,␈αlet␈↓ β␈␈ε u␈↓ ∧ ␈εβ,␈↓ ∧5␈ε v␈↓ ∧↑␈εβ,␈↓ ∧r␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬3␈ε v␈↓ ¬k␈εβbe␈αth␈α␈e␈αexp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ λ∃␈ε p␈↓ λ1␈εβin␈αth␈α␈e␈αcan␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈-
␈β∞x␈↓ ∧∩␈εp␈↓ ∧C␈εε1␈↓ ∧P␈εp␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬R␈εp
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈α∂of␈↓ αH␈ε u␈↓ α\␈εβ,␈↓ αu␈ε v␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βV␈εβ,␈↓ βp␈ε v␈↓ ∧∂␈εβ.␈α↔By␈α∂h␈α␈y␈α␈po␈α␈thes␈α␈i␈α↓s,␈↓ ε→␈ε u␈↓ εJ␈ε↔∀␈↓ ε{␈ε v␈↓ π.␈εβ+␈↓ πZ␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ␈εβ+␈↓ λ6␈ε v␈↓ λc␈εβ.␈α↔W␈α↓e␈α∂m␈α␈u␈α␈st␈α∂sh␈α␈o␈α␈w␈α∂tha␈α␈t
␈β∂∨␈↓ β∧␈εε1␈↓ β␈␈εn␈↓ ε,␈εp␈↓ π
␈εε1␈↓ π↔␈εp␈↓ λE␈εn␈↓ λU␈εp
␈β∂<␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓s␈ε↔∀␈↓ α ␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ αW␈εβ(␈↓ αb␈ε u␈↓ ββ␈εβ,␈↓ β∩␈ε v␈↓ β;␈εβ)␈αλ+␈↓ βx␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧P␈εβmin␈↓ ¬π␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε u␈↓ ¬3␈εβ,␈↓ ¬B␈ε v␈↓ ¬o␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈αthis␈αis␈αcertain␈α␈l␈α↓y␈αtru␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ )␈ε u␈↓ V␈εβis␈αgre␈α␈ater␈αth␈α␈an
␈β∂G␈↓ ↓[␈εp␈↓ αu␈εp␈↓ β!␈εε1␈↓ β-␈εp␈↓ ¬&␈εp␈↓ ¬Q␈εn␈↓ ¬a␈εp␈↓ <␈εp
␈β∂d␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αequ␈α␈al␈αto␈αea␈α␈ch␈↓ β<␈ε v␈↓ βd␈εβ,␈αo␈α␈r␈αi␈α↓f␈↓ ∧A␈ε u␈↓ ∧m␈εβis␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αtha␈α␈n␈αsom␈α␈e␈↓ εl␈ε v␈↓ π∃␈εβ.
␈β∂o␈↓ βK␈εj␈↓ βW␈εp␈↓ ∧T␈εp␈↓ ε{␈εj␈↓ ππ␈εp
␈β⊂→␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε⊂So␈α␈lution␈α1␈α␈:␈εβ␈α
A␈αon␈α␈e-to-on␈α␈e␈αcorre␈α␈spon␈α␈de␈α␈nce␈αis␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αif␈αw␈α␈e␈αset␈↓ ∀␈ε u␈↓ 2␈εβ=␈↓ ↑␈εβg␈α␈cd␈↓
⊂␈εβ(␈↓
≠␈ε d␈↓
-␈εβ,␈↓
<␈ε n␈↓
P␈εβ),␈↓
p␈ε v␈↓ ␈εβ=
␈β⊂<␈↓ λ_␈εe
␈β⊂=␈↓ ↓\␈εε2␈↓ ¬J␈εε2␈↓ λk␈εe
␈β⊂A␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓h␈εβ/␈↓ ↓}␈εβl␈α↓cm␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε d␈↓ αP␈εβ,␈↓ α←␈ε n␈↓ αs␈εβ)␈α
for␈α
each␈α
d␈α␈ivisor␈↓ ∧s␈ε d␈↓ ¬⊂␈εβof␈↓ ¬6␈ε n␈↓ ¬W␈εβ.␈ε⊂␈α_S␈α␈olu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
2:␈εβ␈αIf␈↓ π@␈ε n␈↓ π]␈εβ=␈↓ λπ␈ε p␈↓ λ.␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λZ␈ε p␈↓ ↓␈εβ,␈αthe␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
i␈α↓n␈α
e␈α␈ach
␈β⊂D␈↓ λ#␈επ1␈↓ λv␈ε
r
␈β⊂P␈↓ λk␈εr
␈β⊂Q␈↓ λ_␈εε1
␈β⊂i␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈αis␈α(2␈↓ αK␈ε e␈↓ αk␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ β5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βa␈εβ(␈α↓2␈↓ β⎇␈ε e␈↓ ∧≥␈εβ+␈απ1).
␈β⊂s␈↓ αW␈εε1␈↓ ∧ ␈εr
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α3.2.1.2↑␈α␈15(a␈α␈).
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα572␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.2
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSh␈α␈ift␈↓ α]␈ε u␈↓ α|␈εβa␈α␈nd␈↓ β<␈ε v␈↓ βX␈εβrigh␈α}t␈αu␈α␈n␈α␈til␈αn␈α␈either␈α
is␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈α3␈α␈,␈αreme␈α␈m␈α␈berin␈α␈g␈αt␈α␈he␈α
pro␈α␈per␈α
po␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
3␈α tha␈α␈t␈α
wil␈α↓l␈α
a␈α␈pp␈α␈ear␈α in␈α
th␈α␈e␈α
g␈α␈cd␈α␈.␈αE␈α↓a␈α␈ch␈α sub␈α␈seq␈α␈uen␈α}t␈α
iteratio␈α␈n␈α
se␈α␈ts␈↓ λY␈ε t␈↓ λn␈ε↔ ␈↓ →␈ε u␈↓ 2␈εβ+␈↓ Y␈ε v␈↓ t␈εβor␈↓
≠␈ε t␈↓
0␈ε↔ ␈↓
[␈ε u␈↓
t␈ε↔␈␈↓ ≠␈ε v
␈βαz␈↓ ↓H␈εβ(wh␈α␈i␈α↓c␈α␈hev␈α}er␈α
i␈α↓s␈α
a␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈α
3),␈αsh␈α␈if␈α↓ts␈↓ ¬Y␈ε t␈↓ ¬o␈εβrigh␈α}t␈αu␈α␈n␈α␈til␈α
i␈α↓t␈α
is␈α
not␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈ltiple␈α
of␈α
3,␈αth␈α␈en␈α
re␈α␈place␈α␈s
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ax␈↓ απ␈εβ(␈↓ α∩␈ε u␈↓ α&␈εβ,␈↓ α4␈ε v␈↓ αF␈εβ)␈αby␈α
the␈α
result.
␈ββr␈↓ ∧7␈ε u␈↓ ¬T␈ε v␈↓ π+␈ε t
␈β∧%␈↓ ∧_␈εβ1␈α␈363␈α␈4␈↓ ¬3␈εβ24␈α␈140␈↓ εN␈εβ105␈α␈06␈α␈,␈α3␈α␈502␈α␈;
␈β∧L␈↓ ∧_␈εβ1␈α␈363␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ3␈α␈502␈↓ εN␈εβ171␈α␈36␈α␈,␈α5␈α␈712␈α␈,␈α1␈α␈904␈α␈;
␈β∧t␈↓ ∧(␈εβ190␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ3␈α␈502␈↓ εN␈εβ540␈α␈6,␈α18␈α␈02;
␈β¬≤␈↓ ∧(␈εβ190␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ1␈α␈802␈↓ εN␈εβ102␈α␈,␈α3␈α␈4;
␈β¬C␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ1␈α␈802␈↓ εN␈εβ183␈α␈6,␈α61␈α␈2,␈α204␈α␈,␈α6␈α␈8;
␈β¬k␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬e␈εβ68␈↓ εN␈εβ102␈α␈,␈α3␈α␈4;
␈βε∩␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬e␈εβ34␈↓ εN␈εβ0.
␈βεk␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ce␈αtha␈α␈t␈↓ β[␈εβgcd␈↓ ∧
␈εβ(409␈α␈02,␈α¬241␈α␈40)␈α =␈α
3␈α␈4␈αis␈αno␈α}w␈αo␈α}v␈α␈erwh␈α␈elming␈α␈.
␈βπ%␈↓ πR␈εε1
␈βπ)␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβThe␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
th␈α␈at␈α
both␈↓ ¬≥␈ε u␈↓ ¬>␈εβand␈↓ εα␈ε v␈↓ ε!␈εβar␈α␈e␈α∞ev␈α}en␈α
i␈α↓s␈↓ πb␈εβ;␈α∂the␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
th␈α␈at␈α∞b␈α␈oth␈α
are
␈βπ7␈↓ πR␈∧π7πRα
␈βπ9␈↓ πR␈εε4
␈βπM␈↓ βd␈εε1
␈βπP␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiples␈αλof␈αλfou␈α␈r␈αλi␈α↓s␈↓ βz␈εβ;␈α
etc␈α␈.␈αTh␈α}us␈↓ ¬≤␈ε A␈↓ ¬;␈εβh␈α␈as␈αλth␈α␈e␈αλdistribu␈α␈tion␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αλb␈α␈y␈αλth␈α␈e␈αλgen␈α␈eratin␈α␈g␈αλfun␈α␈ction
␈βπ↑␈↓ β↑␈∧π↑β↑α~
␈βπ`␈↓ β↑␈εε1␈α␈6
␈βλ&␈↓ πQ␈εβ3␈α␈/4
␈βλ8␈↓ ε↔␈εε2
␈βλ9␈↓ ∧I␈εε3␈↓ ¬∀␈εε3␈↓ ¬r␈εε3
␈βλ<␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬*␈ε z␈↓ ¬@␈εβ+␈↓ ε ␈ε z␈↓ ε+␈εβ+␈↓ εS␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πβ␈εβ=␈↓ λ%␈εβ.
␈βλJ␈↓ ∧I␈∧λJ∧Iα
␈↓ ¬
␈∧λJ¬
α~␈↓ ¬l␈∧λJ¬lα~␈↓ π2␈∧λJπ2αp
␈βλL␈↓ ∧I␈εε4␈↓ ¬
␈εε16␈↓ ¬l␈εε64
␈βλT␈↓ π2␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ πr␈ε z␈↓ λ␈εβ/4
␈β
␈↓ εe␈ε↓p
␈β (␈↓ π ␈∧ (π α↓"
␈β -␈↓ β ␈εε1␈↓ π∩␈εε2␈↓ πV␈εε1␈↓ λ~␈εε1␈↓ λb␈εε2
␈β 1␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αme␈α␈an␈α
i␈α↓s␈↓ β→␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
the␈α
stan␈α␈da␈α␈rd␈αd␈α␈evia␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis␈↓ π*␈εβ+␈↓ πn␈ε↔␈␈↓ λ4␈εβ=␈↓ λr␈εβ.␈αIf␈↓ (␈ε u␈↓ <␈εβ,␈↓ J␈ε v␈↓ g␈εβa␈α␈re␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈-
␈β ?␈↓ β ␈∧ ?β α
␈↓ π∩␈∧ ?π∩α
␈↓ πV␈∧ ?πVα
␈↓ λ~␈∧ ?λ~α
␈↓ λb␈∧ ?λbα
␈β A␈↓ β ␈εε3␈↓ π∩␈εε9␈↓ πV␈εε3␈↓ λ~␈εε9␈↓ λb␈εε3
␈β T␈↓ π#␈εN
␈β X␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈tly␈α
a␈α␈nd␈α un␈α␈if␈α↓o␈α␈rmly␈α
d␈α␈istribu␈α␈ted␈α
with␈α 1␈ε↔␈α ∀␈↓ ε+␈ε u␈↓ ε?␈εβ,␈↓ εM␈ε v␈↓ εh␈εβ<␈↓ π∪␈εβ2␈↓ π;␈εβ,␈α
then␈α som␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈α
co␈α␈rrection␈α term␈α␈s
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αne␈α␈eded␈α␈;␈αthe␈αm␈α␈ean␈αis␈αth␈α␈en␈αa␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y
␈β
3␈↓ ∧¬␈ε↓X
␈β
R␈↓ α↑␈εN␈↓ βB␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧m␈εN␈↓ ¬∧␈ε~␈␈↓ ¬≡␈εk␈↓ ¬w␈εε2␈↓ π+␈εN␈↓ λ∂␈ε~␈␈εε1␈↓ ∨␈εN␈↓
β␈ε~␈␈εε2
␈β
T␈↓ ε;␈εε1␈↓ ε␈␈εε4
␈β
X␈↓ αB␈εβ(␈↓ αM␈εβ2␈↓ α⎇␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ β7␈εβ)␈↓ ∧Q␈εβ(␈↓ ∧\␈εβ2␈↓ ¬2␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬l␈εβ)␈↓ ε
␈εβ=␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ π∂␈εβ(␈↓ π~␈εβ2␈↓ πJ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λβ␈εβ)␈↓ λ<␈εβ+␈↓ λd␈ε N␈↓ β␈εβ(␈↓ ∞␈εβ2␈↓ >␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ x␈εβ)␈↓
)␈εβ.
␈β
f␈↓ ε;␈∧
fε;α
␈↓ ε␈␈∧
fε␈α
␈β
h␈↓ ε;␈εε3␈↓ ε␈␈εε3
␈β ␈↓ βm␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧∪␈εk␈↓ ∧ ␈ε~∀␈↓ ∧9␈εN
␈βb␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αk␈ε u␈↓ α␈␈εβ,␈↓ β
␈ε v␈↓ β(␈εβare␈α no␈α␈t␈α
b␈α␈oth␈α e␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈α
eac␈α␈h␈α of␈α
th␈α␈e␈α case␈α␈s␈α
(ev␈α}en,␈α
o␈α␈dd␈α␈),␈α
(odd␈α␈,␈α
ev␈α␈e␈α␈n),␈α
(od␈α␈d,␈α
o␈α␈dd␈α␈)
␈βπ␈↓ (␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβis␈α∞equ␈α␈ally␈α∞pro␈α␈ba␈α␈ble,␈α∂an␈α␈d␈↓ ∧<␈ε B␈↓ ∧a␈εβ=␈α∂1,␈α∂0,␈α∂0␈α∞in␈α∞the␈α␈se␈α∞cases.␈α∃Hen␈α␈ce␈↓ λP␈ε B␈↓ λu␈εβ=␈↓ G␈εβon␈α∞t␈α␈he␈α∞av␈α}erag␈α␈e.
␈β_␈↓ (␈∧_ (α
␈β~␈↓ (␈εε3
␈β2␈↓ ↓H␈εβAc␈α␈tually,␈α as␈α in␈α e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ6,␈α
a␈αλsmall␈α corre␈α␈ction␈αλcou␈α␈l␈α↓d␈αλbe␈αλgiv␈α␈en␈αλto␈α b␈α␈e␈α strictly␈α a␈α␈ccu␈α␈rate␈α wh␈α␈en
␈βU␈↓ β¬␈εN
␈βY␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α ∀␈↓ α␈ε u␈↓ α ␈εβ,␈↓ α/␈ε v␈↓ αJ␈εβ<␈↓ αt␈εβ2␈↓ β≤␈εβ;␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬↑␈ε B␈↓ ¬}␈εβ=␈α 1␈αis␈αa␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y
␈β
␈↓ ∧↑␈ε↓X
␈β
+␈↓ β7␈εN␈↓ ∧≠␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬F␈εN␈↓ ¬]␈ε~␈␈↓ ¬w␈εk␈↓ ε`␈εN␈↓ εx␈ε~␈␈↓ π⊃␈εk␈↓ λF␈εN␈↓ *␈ε~␈␈εε1
␈β
.␈↓ πV␈εε1␈↓ λ~␈εε1
␈β
1␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈εβ2␈↓ βV␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ∧⊂␈εβ)␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈εβ2␈↓ ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ εP␈εβ2␈↓ π(␈εβ=␈↓ πn␈ε↔␈␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈εβ2␈↓ λe␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ∨␈εβ)␈↓ P␈εβ.
␈β
?␈↓ πV␈∧
?πVα
␈↓ λ~␈∧
?λ~α
␈β
A␈↓ πV␈εε3␈↓ λ~␈εε3
␈β
c␈↓ ∧F␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧l␈εk␈↓ ∧y␈ε~∀␈↓ ¬∩␈εN
␈β∞:␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈ε E␈↓ α0␈εβis␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αsub␈α␈tractio␈α␈n␈αcy␈α␈c␈α␈l␈α↓es␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ πI␈ε u␈↓ πi␈εβ>␈↓ λ∃␈ε v␈↓ λ'␈εβ,␈α
p␈α␈lus␈αon␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ c␈ε u␈↓
β␈εβi␈α↓s␈αod␈α␈d␈αafte␈α␈r
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αB1.␈αIf␈αw␈α␈e␈αch␈α␈an␈α␈ge␈αth␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈αfro␈α␈m␈α(␈↓ εβ␈ε u␈↓ ε↔␈εβ,␈↓ ε&␈ε v␈↓ ε7␈εβ)␈αto␈α(␈↓ π↓␈ε v␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π!␈ε u␈↓ π5␈εβ),␈αthe␈αv␈α␈alue␈α
of␈↓
␈ε C␈↓ 3␈εβsta␈α␈ys␈αu␈α␈nch␈α␈an␈α␈ged␈α␈,
␈β∂ ␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈↓ α≡␈ε E␈↓ α@␈εβbeco␈α␈mes␈↓ βD␈ε C␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧∞␈ε E␈↓ ∧0␈εβor␈↓ ∧Y␈ε C␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬#␈ε E␈↓ ¬A␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈;␈αth␈α␈e␈αlatte␈α␈r␈αcase␈α
occu␈α␈rs␈αi{␈↓ λv␈ε u␈↓ ∃␈εβan␈α␈d␈↓ V␈ε v␈↓ r␈εβare␈α
bo␈α␈th␈αo␈α␈dd
␈β∂-␈↓ ε¬␈εε1␈↓ εI␈εε2␈↓ πε␈εN
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈αstep␈α
B␈α↓1␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
this␈αha␈α␈s␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εZ␈εβ/␈α␈(␈↓ εu␈εβ2␈↓ π%␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓.␈αHen␈α␈ce
␈β∂?␈↓ ε¬␈∧∂?ε¬α
␈↓ εI␈∧∂?εIα
␈β∂A␈↓ ε¬␈εε3␈↓ εI␈εε3
␈β⊂¬␈↓ εe␈εε1␈↓ π)␈εε2␈↓ πf␈εN
␈β⊂ ␈↓ ∧!␈ε E␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬∞␈ε C␈↓ ¬P␈ε↔␈␈↓ ¬y␈ε E␈↓ ε9␈ε↔␈␈↓ ε⎇␈ε↔␈␈↓ π:␈εβ/␈α␈(␈↓ πU␈εβ2␈↓ λ¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈β⊂∪␈↓ ∧5␈εεa␈α␈ve␈↓ ¬$␈εεa␈α␈ve␈↓ ε␈εεav␈α␈e
␈β⊂↔␈↓ εe␈∧⊂↔εeα
␈↓ π)␈∧⊂↔π)α
␈β⊂→␈↓ εe␈εε3␈↓ π)␈εε3
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβThe␈αbina␈α␈ry␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α|rst␈α
g␈α␈ets␈α
to␈α
B6␈α
with␈↓ π⊂␈ε u␈↓ π1␈εβ=␈α
1␈α␈963␈α␈,␈↓ λ8␈ε v␈↓ λV␈εβ=␈α
1␈α␈35␈α␈9;␈α∞then␈↓
+␈ε t␈↓
C␈ε↔ ␈εβ␈α
604␈α␈,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈02,␈αλ151␈α␈,␈α etc␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αλg␈α␈cd␈απi␈α↓s␈απ302␈α␈.␈α
Usi␈α↓n␈α␈g␈απA␈α↓lg␈α␈orithm␈απX␈αλw␈α␈e␈αλ|␈α␈nd␈απth␈α␈at␈αλ2␈ε↔␈αα↓␈εβ␈αβ314␈α␈08␈ε↔␈αα␈␈εβ␈α∧2␈α␈3␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈αβ2␈α␈718␈α =␈α 302␈α␈.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα573
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Tw␈α␈o␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αare␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈rime␈αi{␈αthey␈α
are␈αn␈α␈ot␈αb␈α␈oth␈α
divisib␈α␈l␈α↓e␈α
by␈α
an␈α␈y␈α
prime
␈βαR␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er.␈α∂(b␈α␈)␈απRearra␈α␈nge␈α␈men␈α}t␈απof␈απthe␈αεsum␈απin␈απ(a␈α␈),␈αλi␈α↓n␈αεterms␈απo␈α␈f␈απthe␈απd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tors␈↓ u␈ε k␈↓
∞␈εβ=␈↓
9␈ε p␈↓
[␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π␈ε p␈↓ #␈εβ.
␈βα\␈↓
I␈εε1␈↓ ↔␈εr
␈βαu␈↓ ↓␈εε2␈↓ ␈␈εε2
␈βαv␈↓ ↓H␈εα(␈↓ πr␈εα)
␈βαy␈↓ ↓T␈εβNo␈α␈te␈αεtha␈α␈t␈αεeach␈α¬of␈αεth␈α␈e␈αεsums␈αεin␈αε(a␈α␈)␈απa␈α␈nd␈α¬(b)␈αεis␈αεactu␈α␈all␈α↓y␈α¬|n␈α␈ite.␈↓ λ␈εβ(c)␈αε(␈↓ λA␈ε n␈↓ λU␈εβ/␈↓ λf␈ε k␈↓ λv␈εβ)␈↓ ∞␈ε↔␈␈ααb␈↓ >␈ε n␈↓ R␈εβ/␈↓ b␈ε k␈↓ s␈ε↔c␈↓
∃␈εβ=␈↓
@␈ε O␈↓
X␈εβ(␈↓
c␈ε n␈↓
w␈εβ/␈↓ λ␈ε k␈↓ _␈εβ),
␈βββ␈↓ α?␈ε↓P␈↓ ¬∞␈ε↓P␈↓ λp␈ε↓P
␈ββ≥␈↓ ∧K␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓q␈ε q␈↓ α∃␈ε↔␈␈↓ βG␈ε ⊗␈↓ βY␈εβ(␈↓ βd␈ε k␈↓ βt␈εβ)␈α↓(␈↓ ∧␈ε n␈↓ ∧∨␈εβ/␈↓ ∧/␈ε k␈↓ ∧@␈εβ)␈↓ ∧b␈εβ=␈↓ ε⊗␈ε O␈↓ ε.␈εβ(␈↓ ε9␈ε n␈↓ εM␈εβ/␈↓ ε↑␈ε k␈↓ εn␈εβ)␈α=␈↓ π0␈ε O␈↓ πH␈εβ(␈↓ πS␈ε n␈↓ πg␈ε H␈↓ λ␈εβ)␈α↓.␈α≠(d␈α␈)␈↓ G␈ε ⊗␈↓ Z␈εβ(␈↓ e␈ε d␈↓ w␈εβ)␈α=␈↓
9␈ε ∞␈↓
b␈εβ.␈α≠[In
␈ββ,␈↓ ↓⎇␈εn␈↓ π|␈εn␈↓
E␈εε1␈↓
Q␈εn
␈ββ4␈↓ αe␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β
␈εk␈↓ β_␈ε~∀␈↓ β1␈εn␈↓ ¬4␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬Z␈εk␈↓ ¬g␈ε~∀␈↓ ε␈εn␈↓ ⊗␈εd␈↓ %␈ε~∧␈↓ 1␈εn
␈ββN␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ct,␈αwe␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈α
more␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αresult
␈β∧∞␈↓ ¬∀␈ε↓⊂␈↓ ¬B␈ε↓⊃
␈β∧⊗␈↓ ∧ ␈ε↓X␈↓ εb␈ε↓X␈↓ πc␈εs
␈β∧∨␈↓ π≤␈ε↓∩␈↓ πM␈ε↓∪
␈β∧!␈↓ ¬T␈εs
␈β∧%␈↓ ¬*␈ε n␈↓ π5␈ε n
␈β∧5␈↓ ε'␈εs
␈β∧;␈↓ ∧Y␈ε ⊗␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε d␈↓ ¬ ␈εβ)␈↓ ¬h␈εβ=␈↓ ε∪␈ε n␈↓ ε:␈ε↔␈␈↓ πv␈εβ+␈↓ λ∨␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λK␈εβ,
␈β∧I␈↓ ¬*␈∧∧I¬*α∃␈↓ π5␈∧∧Iπ5α∃
␈β∧S␈↓ ¬+␈ε d␈↓ π7␈ε p
␈β∧l␈↓ ∧$␈εd␈↓ ∧3␈ε~∧␈↓ ∧?␈εn
␈β¬J␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞in␈α
p␈α␈art␈α
(b),␈α∞where␈α
th␈α␈e␈α∞s␈α␈ums␈α
are␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
the␈α
prime␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isors␈α
of␈↓ λ`␈ε n␈↓ λt␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
is␈α∞e␈α␈qua␈α␈l␈α∞to
␈β¬m␈↓ ¬G␈εe
␈β¬n␈↓ ↓\␈εs␈↓ αe␈εs␈↓ ∧-␈εs␈↓ ε~␈εe
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓g␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ αT␈ε p␈↓ αr␈εβ)␈↓ βα␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β/␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ ∧≤␈ε p␈↓ ∧9␈εβ)␈αif␈↓ ∧o␈ε n␈↓ ¬␈εβ=␈↓ ¬6␈ε p␈↓ ¬]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε ␈ε p␈↓ ε0␈εβ.␈α↓]
␈β¬t␈↓ ε%␈ε
r
␈β¬u␈↓ ¬R␈επ1
␈βε↓␈↓ αe␈εε1␈↓ ∧-␈εr␈↓ ε~␈εr
␈βεα␈↓ ¬G␈εε1
␈βε≤␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α
Similarly,␈α w␈α␈e␈αλ|␈α␈nd␈απtha␈α␈t␈αλa␈αλset␈αλof␈↓ ε(␈ε k␈↓ εA␈εβin␈α}tegers␈αλis␈αλrelativ␈α}el␈α↓y␈απprime␈αλwith␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βε%␈↓ ↓v␈ε↓P
␈βε?␈↓ β
␈εk
␈βε@␈↓ ↓X␈εα/(␈↓ β~␈εα)
␈βεC␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ αX␈εβ1/␈↓ αy␈ε n␈↓ β&␈εβ.␈α∩Th␈α␈is␈α
pro␈α␈of␈α
of␈α
Th␈α␈eorem␈αD␈α
i␈α↓s␈αdu␈α␈e␈α
to␈α
F.␈α
Merte␈α␈ns,␈ε⊂␈α∞J␈α␈.␈α∞f␈↓ >␈ε⊂u␈↓ ?␈ε⊂∪␈↓ P␈ε⊂r␈α
die␈α
re␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈α
u␈α␈nd
␈βεV␈↓ α≤␈εn␈↓ α-␈ε~∃␈εε1
␈βεo␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈ng␈α␈ew.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α
77␈εβ␈α
(1␈α␈874␈α␈),␈α28␈α␈9↑2␈α␈91␈α␈.␈αT␈α↓h␈α␈e␈α
tec␈α␈hn␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈α
a␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y␈α giv␈α}es␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈ch␈α stron␈α␈ger␈α
res␈α␈ult,
␈βπ∩␈↓ β≡␈ε~␈␈εε2␈↓ βX␈εε2
␈βπ∀␈↓ π>␈εα[␈↓ α␈εα)␈↓ ]␈εα[␈↓ ␈εα)
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α¬tha␈α␈t␈απ6␈↓ β␈ε →␈↓ βD␈ε n␈↓ βe␈εβ+␈↓ ∧π␈ε O␈↓ ∧∨␈εβ(␈↓ ∧*␈ε n␈↓ ∧D␈εβlog␈↓ ∧t␈ε n␈↓ ¬λ␈εβ)␈αεpairs␈αεof␈αεin␈α␈te␈α␈gers␈↓ ε}␈ε u␈↓ π≠␈ε↔2␈↓ πH␈ε f␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε n␈↓ πw␈εβ)␈α↓,␈↓ λ⊃␈ε f␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε n␈↓ λ@␈εβ)␈α↓+␈↓ λn␈ε n␈↓ ∞␈εβ,␈↓ ∨␈ε v␈↓ :␈ε↔2␈↓ g␈ε g␈↓ v␈εβ(␈↓
↓␈ε n␈↓
⊗␈εβ),␈↓
/␈ε g␈↓
?␈εβ(␈↓
J␈ε n␈↓
↑␈εβ)␈α↓+␈↓ ␈ε n
␈βπ>␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
prime␈α␈,␈αfor␈αa␈α␈rbitrar␈α␈y␈↓ ¬<␈ε f␈↓ ¬W␈εβan␈α␈d␈↓ ε_␈ε g␈↓ ε'␈εβ.
␈βπu␈↓ αw␈εε2␈↓ ε\␈εε2␈↓ λ␈εε2
␈βπv␈↓ ∧%␈εε1␈↓ ∧e␈εε1
␈βπy␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃6␈α␈/␈↓ αe␈ε →␈↓ β
␈εβti␈α↓m␈α␈es␈α
1␈α¬+␈↓ ∧;␈εβ+␈↓ ∧u␈εβ,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α 4␈α␈9/(6␈↓ εI␈ε →␈↓ εh␈εβ)␈ε↔␈α
→␈εβ␈α .␈α↓8␈α␈274␈α␈6.␈α∃(b)␈α
6␈α␈/␈↓ λv␈ε →␈↓ ∨␈εβtime␈α␈s␈α
1␈α␈/1␈α¬+␈αε2␈α␈/4␈α¬+
␈βλπ␈↓ ∧%␈∧λπ∧%α
␈↓ ∧e␈∧λπ∧eα
␈βλ ␈↓ ∧%␈εε4␈↓ ∧e␈εε9
␈βλ≡␈↓ ∧≤␈εα(
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈/9␈αε+␈↓ α'␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αT␈εβ,␈α
na␈α␈mely␈ε↔␈α
1␈εβ.␈↓ ∧(␈εβThis␈α
is␈αt␈α␈rue␈α
in␈α
sp␈α␈i␈α↓t␈α␈e␈α
of␈α
the␈α
res␈α␈ult␈α
of␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
12,␈α
an␈α␈d␈α
in␈α
spite␈α
o␈α␈f
␈βλE␈↓ O␈εα)
␈βλH␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfact␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ¬>␈εβln␈↓ ¬←␈εβgcd␈↓ ε⊃␈εβ(␈↓ ε≤␈ε u␈↓ ε0␈εβ,␈↓ ε?␈ε v␈↓ εP␈εβ)␈αis␈αa␈αsm␈α␈all␈α↓,␈α|␈α␈nite␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er.
␈β ∧␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε ≠␈↓ α[␈εβ(␈↓ αg␈ε n␈↓ α{␈εβ)␈αb␈α␈e␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ π2␈ε n␈↓ πF␈εβ.␈αThe␈α
answ␈α␈e␈α␈r␈αis
␈β S␈↓ ∧)␈ε↓X␈↓ εg␈ε↓X␈↓ π[␈εε2
␈β \␈↓ εQ␈ε↓∩␈↓ πE␈ε↓∪
␈β ↑␈↓ λ2␈εε2
␈β b␈↓ ¬M␈εβ6␈↓ ε6␈εβ6␈↓ π+␈εβ1␈↓ λ∨␈ε →
␈β x␈↓ ∧b␈ε ≠␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε k␈↓ ¬⊂␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈↓ ε␈εβ=␈↓ πq␈εβ=␈↓ λB␈εβ.
␈β
ε␈↓ ¬7␈∧
ε¬7α=␈↓ ε.␈∧
εε.α ␈↓ π$␈∧
επ$α≥␈↓ λ∨␈∧
ελ∨α
␈β
␈↓ ¬J␈εε2␈↓ ¬g␈εε2␈↓ εA␈εε2␈↓ π5␈εε2
␈β
⊂␈↓ ¬7␈ε →␈↓ ¬V␈ε k␈↓ ε.␈ε →␈↓ π$␈ε k␈↓ λ&␈εβ6
␈β
)␈↓ ∧)␈εk␈↓ ∧7␈ε~∃␈εε1␈↓ εh␈εk␈↓ εu␈ε~∃␈εε1
␈βε␈↓ ↓H␈εβ[Th␈α␈u␈α␈s,␈αλthe␈απav␈α␈e␈α␈rage␈απis␈ε⊂␈αλless␈εβ␈απtha␈α␈n␈απ2,␈α a␈α␈l␈α↓t␈α␈hou␈α␈gh␈απth␈α␈ere␈απare␈απalways␈απat␈απleast␈απt␈α␈wo␈απco␈α␈mmo␈α␈n␈απdivisor␈α␈s
␈β.␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε u␈↓ α>␈εβa␈α␈nd␈↓ α}␈ε v␈↓ β≠␈εβare␈α
not␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime.]
␈βe␈↓ αP␈εε1␈↓ β≠␈εε1␈↓ ¬↓␈εε1␈↓ ¬E␈εε1␈↓ ε`␈εε1␈↓ π@␈εε1␈↓ λ∧␈εε1
␈βi␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ1␈απ+␈↓ αh␈εβ+␈↓ β9␈εβ+␈↓ βb␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧∩␈εβ=␈α 1␈απ+␈↓ ¬_␈εβ+␈↓ ¬\␈εβ+␈↓ ε¬␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε3␈ε↔␈␈↓ εp␈εβ(1␈απ+␈↓ πW␈εβ+␈↓ λ≠␈εβ+␈↓ λD␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λq␈εβ).
␈βw␈↓ αP␈∧wαPα
␈↓ β∃␈∧wβ∃α~␈↓ ¬↓␈∧w¬↓α
␈↓ ¬E␈∧w¬Eα
␈↓ ε`␈∧wε`α
␈↓ π@␈∧wπ@α
␈↓ λ∧␈∧wλ∧α
␈βy␈↓ αP␈εε9␈↓ β∃␈εε2␈α␈5␈↓ ¬↓␈εε4␈↓ ¬E␈εε9␈↓ ε`␈εε4␈↓ π@␈εε4␈↓ λ∧␈εε9
␈β$␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈ε v␈↓ α1␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ α⎇␈ε v␈↓ β∞␈εβ/␈↓ β∨␈ε u␈↓ β?␈εβ,␈↓ βS␈ε v␈↓ βx␈εβ=␈ε↔␈α
π␈↓ ∧D␈ε u␈↓ ∧X␈εβ/␈↓ ∧i␈ε u␈↓ ¬∀␈εβ(th␈α␈e␈αsign␈αd␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s␈αo␈α␈n␈αwh␈α␈ether␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αiter␈α␈ation␈α␈s
␈β.␈↓ α≠␈εε1␈↓ β2␈εε3␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧|␈εε3
␈βK␈↓ ↓H␈εβis␈αe␈α␈v␈α␈en␈αor␈αod␈α␈d).␈α
This␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αfrom␈αthe␈αfact␈αth␈α␈at␈↓ πλ␈ε v␈↓ π/␈εβan␈α␈d␈↓ πq␈ε v␈↓ λ_␈εβa␈α␈re␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αprime␈αto␈αe␈α␈ach
␈βV␈↓ π↔␈εε1␈↓ π␈␈εε2
␈βs␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α(throu␈α␈gh␈α␈ou␈α␈t␈α
the␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m),␈α
and␈αth␈α␈at␈↓ εQ␈ε v␈↓ εl␈ε u␈↓ π␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ π[␈ε v␈↓ πv␈ε v␈↓ λλ␈εβ.␈α≥[Hen␈α␈ce␈↓ ≠␈ε v␈↓ 6␈ε u␈↓ V␈εβ=␈↓
∧␈εβlcm␈↓
8␈εβ(␈↓
C␈ε u␈↓
W␈εβ,␈↓
f␈ε v␈↓
w␈εβ)␈α
a␈α␈t
␈β}␈↓ ε`␈εε1␈↓ πj␈εε2␈↓ )␈εε1
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
close␈αof␈α
the␈αalgorith␈α␈m,␈α∞b␈α␈ut␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓s␈αnot␈α
a␈α␈n␈α
esp␈α␈ecially␈α
e␈α␈}cien␈α}t␈α
way␈α
to␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈α
the
␈β
B␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈st␈αcomm␈α␈on␈αm␈α}ultiple.␈αFor␈αa␈αge␈α␈nera␈α␈li␈α↓za␈α␈tion,␈αsee␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.6.1↑1␈α␈8.]
␈β
i␈↓ εF␈εε1␈↓ λ∃␈εε1
␈β
l␈↓ α␈εβG.␈α
E.␈α
Coll␈α↓in␈α␈s␈α
ha␈α␈s␈α
ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈α
th␈α␈at␈ε↔␈α
j␈↓ ¬e␈ε u␈↓ ε¬␈ε↔j␈α ∀␈↓ εV␈ε v␈↓ εg␈εβ/␈↓ εx␈ε u␈↓ π_␈εβ,␈ε↔␈α
j␈↓ π4␈ε u␈↓ πT␈ε↔j␈α ∀␈↓ λ%␈ε u␈↓ λ9␈εβ/␈↓ λJ␈ε u␈↓ λi␈εβ,␈αat␈α the␈α
te␈α␈rmina␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f
␈β
w␈↓ ¬x␈εε1␈↓ π␈εε3␈↓ πG␈εε2␈↓ λ]␈εε3
␈β
z␈↓ εF␈∧
zεFα
␈↓ λ∃␈∧
zλ∃α
␈β
|␈↓ εF␈εε2␈↓ λ∃␈εε2
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αX␈↓ β␈εβ,␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈αi␈α↓n␈αcertain␈αtr␈α␈i␈α↓v␈α␈ial␈α
c␈α␈ases,␈α
sin␈α␈ce␈αthe␈α|␈α␈na␈α␈l␈α
v␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ 5␈ε q␈↓ P␈εβis␈αusu␈α␈ally␈ε↔␈α∃␈εβ␈α2␈α␈.
␈β∞;␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αbou␈α␈nd␈α␈s␈αthe␈αs␈α␈i␈α↓ze␈α
of␈ε↔␈αj␈↓ ∧/␈ε u␈↓ ∧N␈ε↔j␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α
j␈↓ ¬-␈ε u␈↓ ¬L␈ε↔j␈εβ␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈α␈out␈αth␈α␈e␈αex␈α}ecu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm.
␈β∞F␈↓ ∧B␈εε1␈↓ ¬@␈εε2
␈β∞v␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβApp␈α␈ly␈α⊂Algorith␈α␈m␈α⊂X␈α⊂to␈↓ ∧o␈ε v␈↓ ¬⊃␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬W␈ε m␈↓ ¬t␈εβ,␈α∩th␈α}us␈α⊂o␈α␈btain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂a␈α⊂v␈α␈alue␈↓ λu␈ε x␈↓ ⊗␈εβsuc␈α␈h␈α⊂tha␈α␈t␈↓
4␈ε x␈↓
F␈ε v␈↓
i␈ε↔⊃␈εβ␈α∩1
␈β∂≡␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε m␈↓ αf␈εβ)␈α↓.␈α~(Th␈α␈i␈α↓s␈αcan␈αb␈α␈e␈αdon␈α␈e␈αby␈αsimp␈α␈l␈α↓ify␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈αX␈αso␈αthat␈↓ 8␈ε u␈↓ X␈εβ,␈↓ m␈ε v␈↓
λ␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓
↑␈ε t␈↓ ␈εβare
␈β∂)␈↓ K␈εε2␈↓ {␈εε2␈↓
h␈εε2
␈β∂F␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈α∞c␈α␈omp␈α␈uted␈α␈,␈α∂sinc␈α␈e␈α∞the␈α␈y␈α∞a␈α␈re␈α∞ne␈α␈v␈α␈er␈α∞u␈α␈sed␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈α∞an␈α␈sw␈α␈er.)␈α∨Then␈α
set␈↓ A␈ε w␈↓ g␈ε↔ ␈↓
↔␈ε u␈↓
+␈ε x␈↓
A␈εβmod␈↓ ε␈ε m␈↓ #␈εβ.
␈β∂i␈↓ λ%␈εε2
␈β∂m␈↓ ↓H␈εβ[It␈αfollo␈α␈ws,␈α
a␈α␈s␈αi␈α↓n␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α30,␈αthat␈αth␈α␈is␈αproc␈α␈ess␈αrequ␈α␈ires␈↓ πn␈ε O␈↓ λε␈εβ(␈↓ λ⊃␈ε n␈↓ λ2␈εβ)␈αun␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈α
o␈α␈f␈αti␈α↓m␈α␈e,␈α
wh␈α␈en␈αit␈αis
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈↓ β6␈ε n␈↓ βJ␈εβ-b␈α␈it␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈αAn␈α
altern␈α␈ativ␈α␈e␈α
to␈αAlgo␈α␈rithm␈α
X␈αapp␈α␈ear␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
ex␈α}ercise␈α3␈α␈5.]
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈et␈↓ α⎇␈ε t␈↓ β≥␈εβ=␈↓ βH␈ε x␈↓ β`␈εβ+␈αλ2␈↓ ∧~␈ε y␈↓ ∧4␈εβ+␈απ3␈↓ ∧m␈ε z␈↓ ∧{␈εβ;␈αthen␈α
3␈↓ ¬l␈ε t␈↓ ε
␈εβ+␈↓ ε3␈ε y␈↓ εM␈εβ+␈απ2␈↓ πε␈ε z␈↓ π≥␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α5␈↓ π⎇␈ε t␈↓ λ≠␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ λU␈ε y␈↓ λo␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈0␈↓ 9␈ε z␈↓ P␈εβ=␈α
3␈α␈.␈αEli␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β⊂Z␈↓ βπ␈εε1␈↓ ¬v␈εε1␈↓ λπ␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε y␈↓ ↓Z␈εβ,␈α∞the␈α␈n␈α
14␈↓ αa␈ε t␈↓ β␈ε↔␈␈εβ␈α 14␈↓ βL␈ε z␈↓ βf␈εβ=␈α
6:␈α⊂No␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈.␈α≡(b)␈α
This␈α
time␈α
14␈↓ λβ␈ε t␈↓ λ"␈ε↔␈␈εβ␈α 14␈↓ λn␈ε z␈↓ λ␈εβ=␈α
0.␈α∩Divid␈α␈e␈α∞b␈α␈y␈α
14␈α␈,
␈β⊃α␈↓ αk␈εε1␈↓ λ
␈εε1
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓imin␈α␈ate␈↓ αX␈ε t␈↓ αo␈εβ;␈αth␈α␈e␈αgen␈α␈eral␈αsolu␈α␈tion␈αis␈↓ ¬N␈ε x␈↓ ¬i␈εβ=␈α 8␈↓ ε$␈ε z␈↓ ε9␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈,␈↓ ππ␈ε y␈↓ π"␈εβ=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ5␈↓ λ≡␈ε z␈↓ λ,␈εβ,␈↓ λA␈ε z␈↓ λY␈εβarb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry.
␈β⊃*␈↓ αb␈εε1
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα574␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.2
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε u␈↓ αj␈εβ,␈↓ β␈ε u␈↓ β∨␈εβ,␈↓ β5␈ε u␈↓ βU␈εβ,␈↓ βk␈ε v␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≤␈ε v␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧M␈ε v␈↓ ∧t␈εβbe␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈recision␈αvaria␈α␈bles,␈α
in␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αto␈↓ h␈ε u␈↓
λ␈εβan␈α␈d␈↓
J␈ε v␈↓
[␈εβ.␈α∂The
␈βα6␈↓ α]␈εε1␈↓ β∪␈εε2␈↓ βH␈εε3␈↓ βy␈εε1␈↓ ∧*␈εε2␈↓ ∧[␈εε3
␈βαS␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α a␈α␈lgorith␈α␈m␈α will␈α ac␈α␈t␈α th␈α␈e␈α sa␈α␈me␈αλon␈↓ ε
␈ε u␈↓ ε5␈εβand␈↓ εt␈ε v␈↓ π↔␈εβas␈α Algo␈α␈rithm␈αλL␈α d␈α␈oes␈αλon␈↓ l␈ε u␈↓
␈εβa␈α␈nd␈↓
G␈ε v␈↓
X␈εβ.␈αNe␈α␈w
␈βα]␈↓ ε ␈εε3␈↓ πα␈εε3
␈βαz␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiprec␈α␈i␈α↓sion␈αope␈α␈ration␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α
t␈α␈o␈α
s␈α␈et␈↓ ¬[␈ε t␈↓ ¬r␈ε↔ ␈↓ ε∨␈ε A␈↓ ε5␈ε u␈↓ εT␈εβ,␈↓ εj␈ε t␈↓ π↓␈ε↔ ␈↓ π.␈ε t␈↓ πB␈εβ+␈↓ πl␈ε B␈↓ λα␈ε v␈↓ λ≥␈εβ,␈↓ λ3␈ε w␈↓ λW␈ε↔ ␈↓ ∧␈ε C␈↓ ∨␈ε u␈↓ >␈εβ,␈↓ T␈ε w␈↓ x␈ε↔ ␈↓
%␈ε w␈↓
F␈εβ+␈↓
o␈ε D␈↓ λ␈ε v␈↓ #␈εβ,
␈ββ¬␈↓ εH␈εj␈↓ λ⊃␈εj␈↓ 2␈εj␈↓ ↔␈εj
␈ββ"␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓s␈ε↔ ␈↓ α ␈ε t␈↓ α,␈εβ,␈↓ αC␈ε v␈↓ αj␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε w␈↓ β=␈εβfo␈α␈r␈α
all␈↓ ∧"␈ε j␈↓ ∧1␈εβ,␈α
i␈α↓n␈αstep␈αL4;␈α∞a␈α␈l␈α↓so␈αif␈↓ ε[␈ε B␈↓ ε}␈εβ=␈α0␈αi␈α↓n␈αth␈α␈at␈α
step␈αto␈αset␈↓ c␈ε t␈↓ {␈ε↔ ␈↓
(␈ε u␈↓
P␈ε↔␈␈↓
z␈ε q␈↓ λ␈ε v␈↓ #␈εβ,
␈ββ,␈↓ ↓[␈εj␈↓ αQ␈εj␈↓
;␈εj␈↓ ↔␈εj
␈ββI␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓p␈ε↔ ␈↓ α≠␈ε v␈↓ α5␈εβ,␈↓ αI␈ε v␈↓ αm␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε t␈↓ β-␈εβfor␈α
all␈↓ ∧
␈ε j␈↓ ∧&␈εβan␈α␈d␈α
for␈↓ ¬→␈ε q␈↓ ¬1␈εβ=␈ε↔␈α b␈↓ ¬h␈ε u␈↓ ελ␈εβ/␈↓ ε→␈ε v␈↓ ε4␈ε↔c␈εβ.␈αA␈α
simil␈α↓a␈α␈r␈α
mod␈α␈i|ca␈α␈tion␈α
is␈α
ma␈α␈de␈α
to␈α step␈α
L1
␈ββT␈↓ ↓[␈εj␈↓ α)␈εj␈↓ αX␈εj␈↓ ¬{␈εε3␈↓ ε'␈εε3
␈ββq␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε v␈↓ α
␈εβi␈α↓s␈αsm␈α␈all␈α↓.␈αThe␈α
i␈α↓n␈α␈ne␈α␈r␈αlo␈α␈op␈α(ste␈α␈ps␈αL2␈αan␈α␈d␈αL3)␈αis␈αun␈α␈ch␈α␈ang␈α␈ed␈α␈.
␈ββ|␈↓ ↓v␈εε3
␈β∧2␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε m␈↓ αJ␈ε n␈↓ αg␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αthe␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓a␈α␈ttice-po␈α␈in␈α␈t␈α
mod␈α␈el␈αin␈α
th␈α␈e␈α
test␈α
are␈α
ex␈α␈act,␈αso␈α
w␈α␈e
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ βL␈ε m␈↓ βs␈ε↔∃␈↓ ∧≡␈ε n␈↓ ∧;␈εβ>␈α 0.␈ε⊂␈αVali␈α↓d␈α␈a␈αv␈α␈i␈εβ␈α↓,␈αth␈α␈e␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αv␈α␈alues␈αh␈α␈av␈α}e␈αbe␈α␈en␈αob␈α␈tain␈α␈ed:
␈β¬⊗␈↓ m␈εt␈↓
V␈εt␈↓
←␈εε+␈α↓1
␈β¬~␈↓ α␈ε⊂Case␈α 1␈εβ,␈↓ β↓␈ε m␈↓ β'␈εβ=␈↓ βR␈ε n␈↓ βf␈εβ.␈α⊗F␈α↓ro␈α␈m␈α
(␈↓ ∧j␈ε n␈↓ ∧}␈εβ,␈↓ ¬
␈ε n␈↓ ¬!␈εβ)␈α
w␈α␈e␈α
go␈α
to␈α (␈↓ εD␈ε n␈↓ ε↑␈ε↔␈␈↓ πε␈ε t␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π ␈ε n␈↓ π4␈εβ)␈αwith␈α prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈↓ ?␈ε t␈↓ K␈εβ/␈↓ \␈εβ2␈↓ |␈ε↔␈␈εβ␈απ5␈α␈/␈↓
E␈εβ2␈↓ ␈εβ+
␈β¬=␈↓ ↓z␈εε2␈↓ αε␈εt
␈β¬>␈↓ ε;␈εε1␈↓ εr␈εε7␈↓ π)␈εε2␈α␈7
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈/␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α⊂␈εβ,␈α
for␈α
2␈ε↔␈α∀␈↓ β%␈ε t␈↓ β=␈εβ<␈↓ βj␈ε n␈↓ β}␈εβ.␈α≥(Th␈α␈ese␈α
v␈α␈alu␈α␈es␈α
ar␈α␈e␈↓ εR␈εβ,␈↓ πλ␈εβ,␈↓ πL␈εβ,␈↓ πb␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ∀␈εβ.)␈α≥To␈α(0,␈↓ %␈ε n␈↓ 9␈εβ)␈α
th␈α␈e␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β¬P␈↓ ε5␈∧¬Pε5α~␈↓ εl␈∧¬Pεlα~␈↓ π"␈∧¬Pπ"α&
␈β¬R␈↓ ε5␈εε1␈α␈6␈↓ εl␈εε6␈α␈4␈↓ π"␈εε256
␈β¬e␈↓ α ␈εn␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ β;␈εn␈↓ ∧1␈εε2␈↓ ∧=␈εn␈↓ ∧N␈ε~␈␈εε2
␈β¬i␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓k␈ε n␈↓ ↓␈␈εβ/␈↓ α⊂␈εβ2␈↓ α←␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈/␈↓ β+␈εβ2␈↓ βU␈εβ+␈α 1␈α␈/␈↓ ∧ ␈εβ2␈↓ ∧s␈εβ.␈α∩To␈α
(␈↓ ¬O␈ε n␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬r␈ε k␈↓ εβ␈εβ)␈α
th␈α␈e␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α
is␈α
the␈α
sa␈α␈me␈α
as␈α
to␈α
(␈↓
~␈ε k␈↓
*␈εβ,␈↓
9␈ε n␈↓
M␈εβ).␈α∩The
␈βε
␈↓ ε.␈εn␈↓ ε>␈ε~␈␈εε1
␈βε⊃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αtermina␈α␈tes␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈α1/␈↓ ε≥␈εβ2␈↓ εd␈εβ.
␈βεN␈↓ `␈εε1
␈βεQ␈↓ α␈ε⊂Case␈απ2␈εβ␈α␈,␈↓ α|␈ε m␈↓ β"␈εβ=␈↓ βM␈ε n␈↓ βc␈εβ+␈αβ1␈α␈.␈α⊂From␈απ(␈↓ ¬∩␈ε n␈↓ ¬(␈εβ+␈αβ1,␈↓ ¬k␈ε n␈↓ ¬␈␈εβ)␈αλw␈α␈e␈απge␈α␈t␈αλto␈απ(␈↓ π#␈ε n␈↓ π7␈εβ,␈↓ πF␈ε n␈↓ πZ␈εβ)␈απwith␈απpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ x␈εβwh␈α␈en␈↓
K␈ε n␈↓
h␈εβ>␈α
1␈α␈,
␈βε`␈↓ `␈∧ε` `α
␈βεb␈↓ `␈εε8
␈βεu␈↓ π<␈εt␈↓ πF␈εε+3␈↓ λK␈εε2␈↓ λW␈εt␈↓ λa␈εε+1
␈βεy␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
0␈α
whe␈α␈n␈↓ α`␈ε n␈↓ α⎇␈εβ=␈α
1␈α␈;␈αto␈α
(␈↓ β␈␈ε n␈↓ ∧→␈ε↔␈␈↓ ∧@␈ε t␈↓ ∧L␈εβ,␈↓ ∧[␈ε n␈↓ ∧o␈εβ)␈α
with␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
1␈α␈1/␈↓ π,␈εβ2␈↓ πr␈ε↔␈␈εβ␈αε3/␈↓ λ:␈εβ2␈↓ π␈εβ,␈α
for␈α
1␈ε↔␈α ∀␈↓
∩␈ε t␈↓
'␈εβ<␈↓
Q␈ε n␈↓
k␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈.
␈βπ≤␈↓ _␈εn␈↓ )␈εε+1␈↓
.␈εε2␈↓
:␈εn␈↓
J␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπ≥␈↓ βW␈εε5␈↓ ∧¬␈εε1
␈βπ!␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈ese␈α
v␈α␈alues␈α are␈↓ βm␈εβ,␈↓ ∧∃␈εβ,␈↓ ∧(␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈εβ.␈α↓)␈α⊗We␈α
get␈α to␈α
(1,␈↓ εH␈ε n␈↓ ε\␈εβ)␈α
with␈α prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α 5/␈↓ λ␈εβ2␈↓ T␈ε↔␈␈εβ␈απ3␈α␈/␈↓
≥␈εβ2␈↓
p␈εβ,␈αfo␈α␈r
␈βπ/␈↓ βQ␈∧π/βQα~␈↓ ∧¬␈∧π/∧¬α
␈βπ1␈↓ βQ␈εε1␈α␈6␈↓ ∧¬␈εε4
␈βπD␈↓ ¬\␈εn␈↓ εN␈εε2␈↓ ε[␈εn␈↓ εk␈ε~␈␈εε1
␈βπH␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓e␈εβ>␈α 1;␈αto␈α(0,␈↓ βλ␈ε n␈↓ β≤␈εβ)␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈α3␈α␈/␈↓ ¬K␈εβ2␈↓ ¬s␈ε↔␈␈εβ␈αλ1/␈↓ ε=␈εβ2␈↓ π⊃␈εβ.
␈βλ ␈↓ α␈ε⊂Case␈α
3␈εβ,␈↓ βα␈ε m␈↓ β)␈ε↔∃␈↓ βT␈ε n␈↓ βo␈εβ+␈αλ2␈α␈.␈α~Th␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈αa␈α␈re␈αgiv␈α␈en␈α
by␈α
the␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αtab␈α␈le:
␈βλ[␈↓ εU␈εm␈↓ εl␈ε~␈␈↓ π¬␈εn␈↓ π∃␈εε+␈α↓2␈↓ λ6␈εm␈↓ λM␈εε+1
␈βλ←␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε m␈↓ βD␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧␈ε n␈↓ ∧ ␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ3␈α␈/␈↓ εD␈εβ2␈↓ πC␈ε↔␈␈↓ πk␈ε ∞␈↓ λ∀␈εβ/␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λs␈εβ;
␈βλj␈↓ πw␈εn␈↓ λλ␈εε1
␈β
␈↓ ¬s␈εt␈↓ ε↑␈εm␈↓ εv␈ε~␈␈↓ π∂␈εn␈↓ π∨␈εε+␈↓ π8␈εt␈↓ πB␈εε+1
␈β ∞␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε t␈↓ βy␈εβ,␈↓ ∧π␈ε n␈↓ ∧≠␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε∧␈εβ+␈απ3/␈↓ εN␈εβ2␈↓ πh␈εβ,␈↓ λ>1␈α <␈↓ β␈ε t␈↓ _␈εβ<␈↓ C␈ε n␈↓ W␈εβ;
␈β 9␈↓ ¬s␈εn␈↓ εe␈εm
␈β =␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε n␈↓ ∧↓␈εβ,␈↓ ∧∂␈ε n␈↓ ∧#␈εβ)␈α↓:␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε
␈εβ+␈αλ1/␈↓ εT␈εβ2␈↓ ε|␈εβ,␈↓ πS␈ε n␈↓ πp␈εβ>␈α
1␈α␈;
␈β g␈↓ ¬s␈εn␈↓ εβ␈εε+1␈↓ π␈εm␈↓ π"␈ε~␈␈εε1
␈β l␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε n␈↓ ∧λ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧P␈ε n␈↓ ∧d␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε0␈εβ+␈αλ1␈α␈/␈↓ εz␈εβ2␈↓ πH␈εβ;
␈β
⊗␈↓ ¬s␈εn␈↓ εβ␈εε+␈↓ ε≤␈εt
␈β
~␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε n␈↓ ∧λ␈ε↔␈␈↓ ∧1␈ε t␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧K␈ε n␈↓ ∧←␈εβ)␈α↓:␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε&␈εβ,␈↓ ε|1␈α <␈↓ πA␈ε t␈↓ πV␈εβ<␈↓ λ↓␈ε m␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λN␈ε n␈↓ λb␈εβ;
␈β
E␈↓ ¬s␈εm␈↓ ε
␈ε~␈␈εε1
␈β
I␈↓ β∀␈εβ(0,␈↓ β?␈ε n␈↓ βS␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε0␈εβ.
␈β<␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Note:␈εβ␈α Altho␈α␈ugh␈αεthese␈απex␈α␈act␈απp␈α␈rob␈α␈abiliti␈α↓e␈α␈s␈αλwill␈αλce␈α␈rtainly␈απimp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈απo␈α␈n␈απthe␈απlattice␈α␈-␈α↓p␈α␈oin␈α}t
␈βd␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ode␈α␈l␈α
con␈α␈sidered␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t,␈α∞th␈α␈ey␈αl␈α↓e␈α␈ad␈αto␈α
re␈α␈curre␈α␈nce␈αrelation␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
m␈α␈uc␈α␈h␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
com␈α␈-
␈β␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lexity␈α␈;␈αan␈α␈d␈α
they␈α wi␈α↓ll␈αn␈α␈ot␈α
pr␈α␈o␈α␈vid␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
true␈α
b␈α␈eha␈α␈vior␈α
of␈α
Algorith␈α␈m␈α
B␈↓ ≥␈εβ,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
for␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈β3␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
th␈α␈at␈↓ βr␈εβgc␈α␈d␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε u␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧R␈ε v␈↓ ∧c␈εβ)␈α
=␈α 5␈α
is␈α
di{eren␈α}t␈α
from␈α
th␈α␈e␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α tha␈α␈t␈↓ Y␈εβgcd␈↓
␈εβ(␈↓
⊗␈ε u␈↓
*␈εβ,␈↓
9␈ε v␈↓
J␈εβ)␈α
=␈α 7.]
␈βU␈↓ βe␈ε↓P␈↓ λT␈ε↓P
␈βo␈↓ ∧}␈ε~␈␈↓ ¬↔␈εk␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈εn␈↓ m␈ε~␈␈↓
ε␈εk
␈βs␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε A␈↓ αj␈εβ=␈↓ β≥␈ε a␈↓ β9␈εβ+␈↓ ∧m␈εβ2␈↓ ¬$␈ε A␈↓ εS␈εβ+␈↓ ε␈␈εβ2␈↓ π9␈ε b␈↓ πY␈εβ=␈↓ λ␈ε a␈↓ λ(␈εβ+␈↓ \␈εβ2␈↓
∪␈ε A␈↓ ␈εβ+
␈β}␈↓ α!␈εn␈↓ α2␈εε+1
␈β␈␈↓ ¬9␈εε(␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬R␈εε+1)(␈↓ ε ␈εn␈↓ ε→␈ε~␈␈↓ ε2␈εk␈↓ ε?␈εε)␈↓
(␈εn␈↓
9␈εε(␈↓
A␈εn␈↓
Q␈ε~␈␈↓
k␈εk␈↓
x␈εε)
␈β
ε␈↓ ∧␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧1␈εk␈↓ ∧>␈ε~∀␈↓ ∧W␈εn␈↓ λz␈εε1␈ε~∀␈↓ ␈εk␈↓ -␈ε~∀␈↓ F␈εn
␈β
≤␈↓ αE␈ε~␈␈↓ α↑␈εn␈↓ β;␈ε~␈␈↓ βT␈εn␈↓ λY␈ε~␈␈↓ λr␈εn
␈β
≥␈↓ ↓K␈εε1␈↓ ∧l␈εε1␈↓ ε≥␈εε1␈↓ π↑␈εε1
␈β
␈↓ ↓\␈ε c␈↓ ↓i␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ α4␈εβ2␈↓ αo␈εβ)␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β*␈εβ2␈↓ βe␈ε b␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧'␈ε a␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧|␈ε A␈↓ ¬p␈εβ+␈↓ ε-␈εβ(␈↓ ε8␈ε A␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π∞␈ε a␈↓ π∨␈εβ)␈αλ+␈↓ πo␈ε c␈↓ π|␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λH␈εβ2␈↓ α␈εβ);␈αno␈α}w␈αsu␈α␈bstitu␈α␈te␈αfo␈α␈r
␈β
+␈↓ εM␈εn
␈β
,␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬"␈εε(␈↓ ¬*␈εn␈↓ ¬:␈ε~␈␈εε1)
␈β
.␈↓ ↓K␈∧
.↓Kα
␈↓ ∧l␈∧
.∧lα
␈↓ ε≥␈∧
.ε≥α
␈↓ π↑␈∧
.π↑α
␈β
0␈↓ ↓K␈εε2␈↓ ∧l␈εε2␈↓ ε≥␈εε2␈↓ π↑␈εε2
␈β
H␈↓ ↓H␈ε A␈↓ α?␈εβfrom␈α(36␈α␈).
␈β
T␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε(␈↓ ↓v␈εn␈↓ αε␈ε~␈␈εε1)
␈β∞ ␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβThe␈α
path␈α␈s␈α∞de␈α␈scribed␈α
in␈α∞the␈α
hin␈α␈t␈α∞h␈α␈av␈α}e␈α∞the␈α∞sa␈α␈me␈α∞p␈α␈rob␈α␈ability,␈α∂b␈α␈ut␈α∞th␈α␈e␈α∞sub␈α␈sequ␈α␈en␈α}t
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rmina␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈απof␈απthe␈απa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈απh␈α␈as␈απa␈απdi{eren␈α}t␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity;␈αλth␈α␈us␈↓ λ.␈ε ∃␈↓ λJ␈εβ=␈↓ λu␈ε k␈↓ λ␈εβ+␈αα1␈απwi␈α↓th␈αεprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β∞T␈↓ ↓X␈ε~␈␈↓ ↓q␈εk
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ αε␈εβti␈α↓m␈α␈es␈αλth␈α␈e␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈απtha␈α␈t␈↓ ∧␈␈ε ∃␈↓ ¬≠␈εβ=␈α
1.␈α
Let␈απthe␈απlatter␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈απb␈α␈e␈↓ α␈ε p␈↓ ∪␈εβ.␈α
We␈αλk␈α␈no␈α}w␈αλfrom␈απthe
␈β∞|␈↓ εq␈εε3␈↓ πt␈εε2␈↓ ⊗␈εε1␈↓ X␈εε1
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβte␈α␈xt␈α
tha␈α␈t␈↓ αT␈ε ∃␈↓ αq␈εβ=␈α
0␈α w␈α↓ith␈α app␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ate␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈↓ π↓␈εβ;␈αh␈α␈enc␈α␈e␈↓ λ∞␈εβ=␈↓ λ8␈ε p␈↓ λI␈εβ(1␈αε+␈↓ -␈εβ+␈↓ o␈εβ+␈↓
⊗␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓
C␈εβ)␈α =␈α
2␈↓ ∩␈ε p␈↓ #␈εβ.
␈β∂∞␈↓ εq␈∧∂∞εqα
␈↓ πt␈∧∂∞πtα
␈↓ ⊗␈∧∂∞ ⊗α
␈↓ X␈∧∂∞ Xα
␈β∂⊂␈↓ εq␈εε5␈↓ πt␈εε5␈↓ ⊗␈εε2␈↓ X␈εε4
␈β∂#␈↓ ∂␈εε2
␈β∂$␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧G␈εε3␈↓ ¬ ␈εε4␈↓ π∪␈εε1␈↓ πU␈εε1␈↓ λ_␈εε1
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
is␈↓ β%␈ε p␈↓ β6␈εβ(1␈αε+␈↓ ∧≠␈εβ+␈↓ ∧↑␈εβ+␈↓ ¬ ␈εβ+␈↓ ¬H␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬u␈εβ)␈α =␈↓ ε4␈ε p␈↓ εE␈εβ(1␈αε+␈↓ π*␈εβ+␈↓ πl␈εβ+␈↓ λ/␈εβ+␈↓ λW␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β␈εβ)␈↓ $␈εβ=␈α
4␈↓ `␈ε p␈↓ q␈εβ.␈α_[Th␈α␈e␈αex␈α␈ac␈α␈t
␈β∂5␈↓ ∧∧␈∧∂5∧∧α
␈↓ ∧G␈∧∂5∧Gα
␈↓ ¬ ␈∧∂5¬ α
␈↓ π∪␈∧∂5π∪α
␈↓ πU␈∧∂5πUα
␈↓ λ_␈∧∂5λ_α
␈β∂7␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧G␈εε4␈↓ ¬ ␈εε8␈↓ π∪␈εε2␈↓ πU␈εε4␈↓ λ_␈εε8
␈β∂J␈↓ ¬d␈εn␈↓
␈εn
␈β∂K␈↓ ∧D␈εε1␈↓ ¬λ␈εε6␈↓ ¬H␈εε1␈↓ π`␈εε1␈↓ λ$␈εε16␈↓ λq␈εε1
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ β<␈ε ∃␈↓ βY␈εβ=␈α 1␈αis␈↓ ∧\␈ε↔␈␈↓ ¬_␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬Y␈εβ)␈↓ ¬␈␈εβif␈↓ ε∨␈ε m␈↓ εE␈εβ>␈↓ εp␈ε n␈↓ π
␈ε↔∃␈εβ␈α 1,␈↓ πx␈ε↔␈␈↓ λA␈εβ(␈ε↔␈␈↓ α␈εβ)␈↓ (␈εβif␈↓ H␈ε m␈↓ n␈εβ=␈↓
→␈ε n␈↓
6␈ε↔∃␈εβ␈α 2.]
␈β∂]␈↓ ∧D␈∧∂]∧Dα
␈↓ ¬λ␈∧∂]¬λα
␈↓ ¬H␈∧∂]¬Hα
␈↓ π`␈∧∂]π`α
␈↓ λ$␈∧∂]λ$α~␈↓ λq␈∧∂]λqα
␈β∂←␈↓ ∧D␈εε5␈↓ ¬λ␈εε5␈↓ ¬H␈εε4␈↓ π`␈εε5␈↓ λ+␈εε5␈↓ λq␈εε4
␈β⊂␈↓ ¬H␈εm␈↓ εl␈εm␈↓ πβ␈εε+1
␈β⊂∂␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈α for␈α
|␈α␈x␈α␈ed␈↓ ∧+␈ε v␈↓ ∧F␈εβan␈α␈d␈α for␈↓ ¬8␈εβ2␈↓ ¬i␈εβ<␈↓ ε∪␈ε u␈↓ ε1␈εβ<␈↓ ε[␈εβ2␈↓ π)␈εβ,␈α
when␈↓ λ∩␈ε m␈↓ λ9␈εβis␈α
larg␈α␈e,␈α
eac␈α␈h␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α␈-
␈β⊂7␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ift␈αcy␈α␈cle␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αre␈α␈du␈α␈ces␈ε↔␈αb␈↓ ¬a␈εβlg␈↓ ε↓␈ε u␈↓ ε∃␈ε↔c␈εβ␈αb␈α␈y␈αt␈α␈w␈α␈o␈α␈,␈αo␈α␈n␈αthe␈α
av␈α␈e␈α␈rage.
␈β⊂s␈↓ ∧→␈εm␈↓ ∧0␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈+␈↓ ∧o␈ε∞␈↓ ∀␈εN
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβExa␈α␈ctly␈α
(␈↓ β∪␈ε N␈↓ β8␈ε↔␈␈↓ β`␈ε m␈↓ β⎇␈εβ)␈↓ ∧λ␈εβ2␈↓ ¬%␈εβin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ε ␈ε u␈↓ ε>␈εβin␈αt␈α␈he␈α
ran␈α␈ge␈α
1␈ε↔␈α ∀␈↓ λ<␈ε u␈↓ λY␈εβ<␈↓ ∧␈εβ2␈↓ 7␈εβh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈αb␈↓
∩␈εβlg␈↓
1␈ε u␈↓
E␈ε↔c␈εβ␈α =␈↓ ε␈ε m␈↓ #␈εβ,
␈β⊂{␈↓ ∧z␈ε
m␈↓ ¬∂␈επ0
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈↓ α↔␈ε u␈↓ α6␈εβha␈α␈s␈αb␈α␈een␈α
shifted␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αu␈α␈n␈α␈til␈αi␈α↓t␈αis␈αod␈α␈d.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα575
␈βα∧␈↓ ∧Y␈ε↓P
␈βα≡␈↓ ∧ ␈εε2␈↓ ∧⊗␈εN␈↓ ∧.␈ε~␈␈εε2␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εm␈↓ π∂␈ε~␈␈↓ π(␈εn
␈βα∨␈↓ π8␈εα(␈↓
A␈εα)
␈βα"␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβThe␈α
|␈α␈rst␈α
su␈α␈m␈α
i␈α↓s␈↓ βy␈εβ2␈↓ ε≤␈ε m␈↓ ε9␈ε n␈↓ εM␈εβ2␈↓ πD␈εβ(␈↓ πO␈ε ␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ∂␈ε ␈␈↓ λ#␈εβ)␈↓ λ/␈ε N␈↓ λT␈εβ+␈↓ λ{␈ε ␈
␈↓ ∀␈ε↔␈␈↓ ;␈ε ␈↓ M␈ε m␈↓ q␈ε↔␈␈↓
_␈ε ␈␈↓
-␈ε n␈↓
M␈εβ.␈αS␈α␈ince
␈βα2␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ εα␈ε↓P
␈βα5␈↓ ∧␈␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬%␈εm␈↓ ¬<␈εε<␈↓ ¬U␈εn␈↓ ¬f␈εε<␈↓ ¬␈␈εN
␈βαL␈↓ βλ␈ε~␈␈↓ β!␈εm␈↓ ¬␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬1␈εn␈↓ λ(␈ε~␈␈↓ λA␈εm␈↓ ]␈εε2␈↓
m␈εε1␈ε~␈␈↓ ∪␈εn
␈βαP␈↓ αZ␈ε m␈↓ αw␈εβ2␈↓ βA␈εβ=␈α
2␈ε↔␈␈εβ(␈↓ ∧)␈ε n␈↓ ∧=␈εβ+␈α↓1␈α␈)␈↓ ∧z␈εβ2␈↓ ¬G␈εβa␈α␈nd␈↓ π∀␈ε m␈↓ π1␈εβ(␈↓ π=␈ε m␈↓ πZ␈ε↔␈␈εβ1)␈↓ λ↔␈εβ2␈↓ λa␈εβ=␈α
4␈ε↔␈␈εβ(␈↓ I␈ε n␈↓ j␈εβ+␈↓
␈ε n␈↓
∨␈εβ+␈α↓2␈α␈)␈↓
\␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈βα`␈↓ ∧≥␈ε↓P
␈βαc␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εm␈↓ α+␈εε<␈↓ αD␈εn␈↓ ε(␈εε0␈ε~∀␈↓ εN␈εm␈↓ εe␈εε<␈↓ ε}␈εn
␈βαz␈↓ βM␈εε2␈↓ βZ␈εN␈↓ βr␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬T␈ε~␈␈↓ ¬n␈εn␈↓ r␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓
↔␈εn
␈βα{␈↓ ¬}␈εα(
␈βα}␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
sum␈α
on␈↓ αt␈ε m␈↓ β≤␈εβis␈↓ β=␈εβ2␈↓ ¬0␈ε n␈↓ ¬D␈εβ2␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε ␈
␈↓ ε.␈ε↔␈␈↓ εV␈ε ␈↓ εo␈εβ+␈απ(␈↓ π"␈ε ␈↓ π;␈εβ+␈↓ πc␈ε ␈␈↓ πx␈εβ)␈↓ λβ␈ε N␈↓ λ"␈εβ)(2␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ(␈↓ α␈ε n␈↓ ≥␈εβ+␈απ1)␈↓ a␈εβ2␈↓
.␈ε↔␈␈↓
V␈ε ␈↓
i␈εβ(4␈ε↔␈αε␈
␈ββ∂␈↓ εO␈ε↓P
␈ββ⊃␈↓ ∧C␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧y␈εε<␈↓ ¬∩␈εN
␈ββ)␈↓ ↓g␈εε2␈↓ β ␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ β/␈εn␈↓ ∧m␈εε2␈↓ ∧z␈εN␈↓ ¬∩␈ε~␈␈εε2␈↓ λπ␈ε~␈␈↓ λ ␈εn␈↓ m␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓
∩␈εn
␈ββ*␈↓ ∧≥␈εα)␈↓ ¬8␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈ββ-␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε n␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α≡␈ε n␈↓ α7␈εβ+␈α∧2)␈↓ αx␈εβ2␈↓ β?␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ βu␈ε ␈␈↓ ∧ ␈ε n␈↓ ∧2␈εβ=␈↓ ∧]␈εβ2␈↓ ¬D␈εβ(␈↓ ¬O␈ε ␈↓ ¬f␈εβ+␈↓ ε␈ε ␈␈↓ ε ␈εβ)␈↓ ε+␈ε N␈↓ πb␈ε n␈↓ πv␈εβ2␈↓ λ0␈εβ(2␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈α∧(␈↓ α␈ε n␈↓ ~␈εβ+␈α¬1)␈↓ \␈εβ2␈↓
#␈εβ)␈α∧+␈↓
X␈ε O␈↓
p␈εβ(1)␈↓ #␈εβ.
␈ββ?␈↓ εu␈εε0␈ε~∀␈↓ π≠␈εn␈↓ π,␈εε<␈↓ πE␈εN
␈ββW␈↓ λo␈ε~␈␈εε2␈↓
␈εε3
␈ββX␈↓ ∀␈εα(␈↓ q␈εε4␈↓
→␈εα)␈↓
`␈εε11
␈ββ[␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αth␈α␈e␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈α
(␈↓ ∧&␈ε ␈↓ ∧@␈εβ+␈↓ ∧i␈ε ␈␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬ ␈ε N␈↓ ¬4␈εβin␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis␈αf␈α↓o␈α␈un␈α␈d␈αto␈αb␈α␈e␈↓ λ↑␈εβ2␈↓ ␈εβ4␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ(␈↓
α␈εβ)␈↓
0␈εβ=␈↓
⎇␈εβ.␈α∞A
␈ββi␈↓ q␈∧βi qα
␈↓
`␈∧βi
`α~
␈ββk␈↓ q␈εε3␈↓
`␈εε27
␈β∧β␈↓ ↓H␈εβsimilar␈αa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ies␈αto␈α
the␈αo␈α␈ther␈αsu␈α␈m.
␈β∧+␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Note:␈εβ␈α
Th␈α␈e␈ε⊂␈α e␈α␈xac␈α␈t␈εβ␈α v␈α␈alue␈αλof␈α th␈α␈e␈α s␈α␈ums␈αλmay␈αλb␈α␈e␈α o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αλafter␈αλsome␈αλted␈α␈ious␈αλcalcu␈α␈lation
␈β∧S␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αm␈α␈ean␈α␈s␈αof␈αthe␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a
␈β¬⊃␈↓ βP␈ε↓X␈↓ π␈ε↓X
␈β¬≤␈↓ ε␈εm␈↓ π⎇␈εk␈↓ λ$␈εm␈↓ λ;␈ε~␈␈↓ λT␈εk␈↓ λu␈εn␈↓ ¬␈εε+␈↓ ≡␈εk
␈β¬ ␈↓ ¬F␈ε m␈↓ ¬c␈εβ!␈↓ ¬r␈ε z␈↓ π`␈ε m␈↓ λ⊂␈ε n␈↓ λg␈ε z
␈β¬/␈↓ π⎇␈∧¬/π⎇α∞␈↓ λ$␈∧¬/λ$α>
␈β¬1␈↓ ∧.␈εm␈↓ ∧Y␈εk
␈β¬6␈↓ ∧≡␈ε k␈↓ ∧K␈ε z␈↓ ∧o␈εβ=␈↓ εJ␈ε↔␈␈↓ /␈εβ,
␈β¬D␈↓ ∧.␈∧¬D∧.α_
␈β¬E␈↓ ¬≥␈∧¬E¬≥α↓"␈↓ π`␈∧¬Eπ`α↓L
␈β¬L␈↓ εα␈εm␈↓ ε→␈εε+␈α↓1␈↓ λ↑␈εk␈↓ λl␈εε+1
␈β¬N␈↓ ¬≥␈εβ(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬i␈ε z␈↓ ¬w␈εβ)␈↓ πz␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λF␈ε z␈↓ λS␈εβ)
␈β¬h␈↓ β<␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ βa␈εk␈↓ βo␈εε<␈↓ ∧λ␈εn␈↓ εs␈εε0␈ε~∀␈↓ π→␈εk␈↓ π&␈ε~∀␈↓ π?␈εm
␈βε@␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈α
summ␈α␈ation␈αb␈α␈y␈αp␈α␈arts.]
␈βεu␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβSo␈α␈lving␈α∞a␈α∂rec␈α␈urren␈α␈ce␈α∂similar␈α∂to␈α∞(34),␈α⊂w␈α␈e␈α∂|␈α␈nd␈α∞tha␈α␈t␈α∂the␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∂o␈α␈f␈α∂ti␈α↓m␈α␈es␈α∂is␈↓
f␈ε A␈↓ #␈εβ,
␈βπ␈↓
|␈εm␈↓ ∪␈εn
␈βπ→␈↓ λJ␈εn␈↓
∞␈εn
␈βπ~␈↓ ε'␈εε8␈↓ →␈εε128␈↓ s␈εε1
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε A␈↓ α`␈εβ=␈α
1,␈↓ β1␈ε A␈↓ βl␈εβ=␈α
(␈↓ ∧#␈ε n␈↓ ∧>␈εβ+␈αλ3)/␈α␈2,␈↓ ¬9␈ε A␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ ε?␈ε↔␈␈εβ␈αλ(3␈↓ π∧␈ε n␈↓ π∨␈εβ+␈αλ13␈α␈)/(9␈ε↔␈απ↓␈↓ λ9␈εβ2␈↓ λZ␈εβ)␈αλ+␈↓ C␈εβ(␈ε↔␈␈↓
β␈εβ)␈↓
*␈εβif␈↓
J␈ε n␈↓
h␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,
␈βπ(␈↓ α=␈εε00␈↓ βF␈εε0␈↓ βR␈εn␈↓ ¬N␈εn␈↓ ¬↑␈εn
␈βπ+␈↓ ε'␈∧π+ε'α
␈↓ →␈∧π+ →α&␈↓ s␈∧π+ sα
␈βπ-␈↓ ε'␈εε5␈↓ ␈εε4␈α␈5␈↓ s␈εε4
␈βπA␈↓ α>␈εε8␈↓ βf␈εn␈↓ ∧6␈εε16␈↓ ¬β␈εε1␈↓ ¬∨␈εn
␈βπE␈↓ ↓H␈ε A␈↓ α∂␈εβ=␈↓ αW␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈/(3␈ε↔␈αλ↓␈↓ βV␈εβ2␈↓ βw␈εβ)␈αλ+␈↓ ∧S␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬∀␈εβ)␈↓ ¬;␈εβif␈↓ ¬[␈ε m␈↓ εβ␈εβ>␈↓ ε/␈ε n␈↓ εM␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈.␈α∞S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈αthe␈αcon␈α␈dition␈↓ D␈ε u␈↓ c␈εβ=␈α
1␈αor␈↓
T␈ε v␈↓
p␈εβ=␈α1
␈βπO␈↓ ↓]␈εm␈↓ ↓t␈εn
␈βπS␈↓ α>␈∧πSα>α
␈↓ ∧6␈∧πS∧6α~␈↓ ¬β␈∧πS¬βα
␈βπU␈↓ α>␈εε5␈↓ ∧6␈εε15␈↓ ¬β␈εε4
␈βπl␈↓ ↓H␈εβis␈α
ther␈α␈efore␈α
satis|␈α␈ed␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
a␈α␈bo␈α␈ut␈α
1.6␈α
times␈α
i␈α↓n␈αan␈α
av␈α}erag␈α␈e␈α∞r␈α␈un␈α␈,␈α∂it␈α
i␈α↓s␈α
no␈α␈t␈α∞w␈α␈o␈α␈rth␈α
mak␈α␈ing
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsu␈α␈gg␈α␈ested␈α
test␈α
each␈α
time␈α
step␈α
B5␈αis␈αp␈α␈erform␈α␈ed.␈α_(Of␈αcou␈α␈rse␈α
the␈α
l␈α↓a␈α␈ttice␈αmo␈α␈de␈α␈l␈αi␈α↓s␈α
no␈α␈t
␈βλ;␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈tely␈α
a␈α␈ccu␈α␈rate,␈α
bu␈α␈t␈α
it␈α
seem␈α␈s␈α
reaso␈α␈na␈α␈ble␈α
to␈α be␈α␈l␈α↓iev␈α}e␈α
th␈α␈at␈α
it␈α
is␈α
n␈α␈ot␈α
too␈α ina␈α␈ccur␈α␈ate␈α
fo␈α␈r
␈βλc␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αapp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈.␈α↓)
␈βλz␈↓ βw␈ε↓P
␈β ∀␈↓ ∧h␈ε~␈␈↓ ¬↓␈εd␈↓ λl␈εd␈↓ 2␈ε~␈␈εε1
␈β ∃␈↓ ε}␈εα(
␈β _␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αD␈ε F␈↓ β␈εβ(␈↓ β↔␈ε x␈↓ β)␈εβ)␈α⊃=␈↓ ∧W␈εβ2␈↓ ¬∃␈εβpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
that␈↓ π
␈ε X␈↓ πC␈εβ<␈α∩1␈α∂an␈α␈d␈↓ λ[␈εβ2␈↓ λ{␈εβ/␈α␈(␈↓ ↔␈ε X␈↓ b␈ε↔␈␈εβ␈α1)␈α⊃<␈↓
n␈ε x␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈β #␈↓ αV␈εn␈↓ αf␈εε+␈α↓1␈↓ π"␈εn
␈β '␈↓ 2␈εn
␈β )␈↓ ¬j␈ε↓P
␈β +␈↓ ∧≥␈εd␈↓ ∧,␈ε~∃␈εε1
␈β C␈↓ ∧;␈εd␈↓ εZ␈ε~␈␈↓ εt␈εd␈↓ λ?␈εd␈↓ λ←␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓
V␈εd
␈β D␈↓ ¬≤␈εα)␈↓ πα␈εα(
␈β G␈↓ ↓H␈ε X␈↓ ↓␈␈εβ>␈α⊃1␈α∂a␈α␈nd␈α∞(␈↓ β ␈ε X␈↓ βR␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)/␈↓ ∧*␈εβ2␈↓ ∧Y␈εβ<␈↓ ¬␈ε x␈↓ ¬8␈εβ=␈↓ εJ␈εβ2␈↓ π∞␈ε F␈↓ π1␈εβ(1/␈α␈(␈α↓1␈α +␈↓ λ/␈εβ2␈↓ λN␈ε x␈↓ ¬␈εβ))␈α+␈↓ Q␈ε F␈↓ t␈εβ(1␈α
+␈↓
E␈εβ2␈↓
e␈ε x␈↓
v␈εβ)␈ε↔␈α
␈
␈β Q␈↓ ↓←␈εn␈↓ β8␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ d␈εn
␈β W␈↓ ∧{␈ε↓P
␈β Y␈↓ ε⊂␈εd␈↓ ε≡␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β q␈↓ ¬l␈ε~␈␈↓ ε¬␈εd␈↓ πT␈εd␈↓ u␈εd␈↓
∃␈ε~␈␈εε1
␈β r␈↓ α⊃␈εα)␈↓ ε∀␈εα(␈↓
Q␈εα)
␈β u␈↓ ↓H␈ε F␈↓ ↓j␈εβ(␈α↓1␈α␈)␈↓ α≥␈εβ.␈α"(b␈α␈)␈↓ β␈ε G␈↓ βL␈εβ(␈↓ βW␈ε x␈↓ βh␈εβ)␈α⊃=␈α⊂1␈ε↔␈α
␈␈↓ ¬[␈εβ2␈↓ ε ␈ε G␈↓ εF␈εβ(1/␈α␈(␈α↓1␈α +␈↓ πD␈εβ2␈↓ πc␈ε x␈↓ πt␈εβ)␈α↓)␈ε↔␈α
␈␈↓ λ@␈ε G␈↓ λg␈εβ(1␈α␈/(1␈α
+␈↓ d␈εβ2␈↓
∧␈ε x␈↓
;␈εβ))␈↓
]␈εβ.␈α!(␈α↓c␈α␈)
␈β
␈↓ ↓Z␈εn␈↓ β⊗␈εn␈↓ β&␈εε+1␈↓ ε6␈εn␈↓ λV␈εn
␈β
¬␈↓ αI␈ε↓P␈↓ *␈ε↓P
␈β
λ␈↓ ¬!␈εd␈↓ ¬0␈ε~∃␈εε1
␈β
∨␈↓ β9␈ε~␈␈↓ βR␈εd␈↓ λ⊗␈εd␈↓
~␈ε~␈␈↓
3␈εd
␈β
!␈↓ ¬P␈εα(␈↓ λj␈εα)␈↓ π␈εα(
␈β
$␈↓ ↓H␈ε H␈↓ ↓m␈εβ(␈↓ ↓x␈ε x␈↓ α
␈εβ)␈α =␈↓ β)␈εβ2␈↓ βg␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ ¬\␈ε Y␈↓ ε ␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε x␈↓ εK␈εβan␈α␈d␈αε(1␈ε↔␈α↓␈␈↓ πF␈ε Y␈↓ πj␈εβ)/␈↓ λ¬␈εβ2␈↓ λ.␈ε↔∀␈↓ λX␈ε x␈↓ λ␈␈εβ=␈↓
␈εβ2␈↓
H␈εβm␈α␈ax␈↓ ∪␈εβ0␈α␈,
␈β
.␈↓ ↓]␈εn␈↓ ¬o␈εn␈↓ πY␈εn
␈β
6␈↓ αo␈εd␈↓ α⎇␈ε~∃␈εε1␈↓ P␈εd␈↓ ↑␈ε~∃␈εε1
␈β
N␈↓ βI␈εd
␈β
O␈↓ βt␈εα)
␈β
R␈↓ ↓H␈ε G␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓y␈ε x␈↓ α␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ αF␈ε G␈↓ αl␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ β8␈εβ2␈↓ βW␈ε x␈↓ βi␈εβ)␈↓ ∧␈εβ.
␈β
]␈↓ ↓↑␈εn␈↓ α\␈εn
␈β
z␈↓ α␈εβSt␈α␈arting␈αλwi␈α↓th␈↓ βU␈ε G␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε x␈↓ ∧∀␈εβ)␈α
=␈↓ ∧S␈ε x␈↓ ∧n␈εβw␈α␈e␈αλget␈α ra␈α␈pid␈α c␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce␈α␈s␈α to␈α a␈αλl␈α↓imiting␈αλdistribu␈α␈tion␈αλwhere
␈β¬␈↓ βk␈εε0
␈βI␈↓ αε␈εα(␈↓ βn␈εα)
␈βL␈↓ α∩␈ε G␈↓ α+␈εβ(.1),␈↓ αj␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β⊗␈εβ,␈↓ β%␈ε G␈↓ β>␈εβ(.9)␈↓ ∧β␈εβ=␈α
(.27␈α␈50,␈αε.4␈α␈346␈α␈,␈αε.554␈α␈4,␈αε.65␈α␈07,␈αε.7␈α␈310␈α␈,␈αε.799␈α␈5,␈αε.85␈α␈90,␈α¬.␈α↓9␈α␈114␈α␈,␈αε.958␈α␈1).
␈β ␈↓ λ∨␈ε↓R
␈β_␈↓ λ7␈εε1
␈β$␈↓ ∧*␈εα(␈↓ πj␈εα)
␈β'␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α ex␈α␈pect␈α␈ed␈α v␈α␈alue␈α o␈α␈f␈↓ ∧∂␈εβln␈↓ ∧6␈εβmax␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε u␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬3␈ε v␈↓ ¬R␈εβ)/␈↓ ¬x␈εβmax␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε u␈↓ π␈εβ,␈↓ π≠␈ε v␈↓ π←␈εβ)␈↓ λ␈εβis␈↓ λI␈ε H␈↓ λo␈εβ(␈↓ λz␈ε t␈↓ ε␈εβ)␈↓ ⊗␈ε d␈↓ )␈ε t␈↓ 5␈εβ/␈↓ E␈ε t␈↓ Q␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α Bren␈α}t␈α ha␈α␈s
␈β2␈↓ ¬∀␈εn␈↓ ¬A␈εn␈↓ εV␈εn␈↓ εf␈εε+1␈↓ π)␈εn␈↓ π:␈εε+1␈↓ λ↑␈εn
␈β:␈↓ λ0␈εε0
␈βO␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈wn␈α
that␈αth␈α␈is␈αcan␈α
be␈αwritten
␈β
∞␈↓ αn␈ε↓Z␈↓ ∧Q␈ε↓Z␈↓ π?␈ε↓Z
␈β
∪␈↓ λ7␈ε
k
␈β
↔␈↓ β∩␈εε1␈↓ ∧u␈εε1/␈α␈3␈↓ πc␈εε1␈α␈/(1+␈↓ λ*␈εε2␈↓ λC␈εε)
␈β
_␈↓ εI␈ε↓X
␈β
'␈↓ β1␈ε G␈↓ βW␈εβ(␈↓ βb␈ε t␈↓ βn␈εβ)␈↓ ¬&␈ε G␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε t␈↓ ¬d␈εβ)␈↓ λz␈ε G␈↓ ␈εβ(␈↓ +␈ε t␈↓ 7␈εβ)
␈β
2␈↓ βG␈εn␈↓ ¬<␈εn␈↓ ⊂␈εn
␈β
7␈↓ π∪␈ε~␈␈↓ π,␈εk
␈β
=␈↓ ∧β␈ε d␈↓ ∧∃␈ε t␈↓ ∧(␈ε↔␈␈↓ ¬z␈ε d␈↓ ε
␈ε t␈↓ ε ␈εβ+␈↓ πα␈εβ2␈↓ ←␈ε d␈↓ q␈ε t␈↓ ⎇␈εβ.
␈β
K␈↓ β1␈∧
Kβ1αI␈↓ ¬$␈∧
K¬$αM␈↓ λg␈∧
Kλgαo
␈β
U␈↓ βO␈ε t␈↓ ¬$␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬e␈ε t␈↓ λg␈ε t␈↓ λs␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ >␈ε t␈↓ J␈εβ)
␈β
↑␈↓ λ'␈ε
k␈↓ λ3␈επ+1
␈β
a␈↓ βα␈εε1␈α␈/3␈↓ ∧e␈εε0␈↓ πS␈εε1␈α␈/(1+␈↓ λ~␈εε2␈↓ λU␈εε)
␈β
n␈↓ εI␈εk␈↓ εV␈ε~∃␈εε1
␈β∞U␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβBy␈α ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
t␈α␈he␈α len␈α␈gth␈α is␈↓ ¬∀␈ε m␈↓ ¬6␈εβ+␈ε↔␈α¬b␈↓ ¬i␈ε n␈↓ ¬⎇␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ␈α when␈↓ π ␈ε m␈↓ π0␈ε↔∃␈↓ πZ␈ε n␈↓ πn␈εβ,␈α
ex␈α␈c␈α␈ept␈α th␈α␈at␈α wh␈α␈en␈↓
β␈ε m␈↓
)␈εβ=␈↓
T␈ε n␈↓
q␈εβ=␈α
1
␈β∞|␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αis␈ε⊂␈αno␈εβ␈α
pa␈α␈th␈αto␈α(0␈α␈,␈αε0).
␈β∂-␈↓ β>␈εn␈↓ ∧H␈εn
␈β∂.␈↓ β!␈εα(␈↓ ∧X␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε a␈↓ αu␈εβ=␈↓ β-␈εβ2␈↓ βV␈ε↔␈␈εβ␈α (␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧=␈εβ)␈↓ ∧d␈εβ/3;␈α
th␈α␈en␈↓ ¬i␈ε a␈↓ ε¬␈εβ,␈↓ ε~␈ε a␈↓ ε7␈εβ,␈↓ εL␈ε a␈↓ εh␈εβ,␈↓ ε}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π0␈εβ=␈α0,␈α
1␈α␈,␈α
1,␈α3,␈α
5␈α␈,␈α
11␈α␈,␈α
21␈α␈,␈↓
␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
<␈εβ.␈α≤(Th␈α␈is
␈β∂<␈↓ αZ␈εn␈↓ ¬x␈εε0␈↓ ε*␈εε1␈↓ ε\␈εε2
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈αof␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
h␈α␈as␈αan␈αin␈α␈tere␈α␈sti␈α↓n␈α␈g␈αpa␈α␈ttern␈αof␈αzeros␈αan␈α␈d␈αon␈α␈es␈α
in␈αits␈αbina␈α␈ry␈αrepre␈α␈-
␈β∂⎇␈↓ λ{␈εn
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβse␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n.␈α∀Note␈α∞th␈α␈at␈↓ ∧ ␈ε a␈↓ ∧7␈εβ=␈↓ ∧g␈ε a␈↓ ¬6␈εβ+␈α 2␈↓ ¬q␈ε a␈↓ ε7␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈↓ π∩␈ε a␈↓ π<␈εβ+␈↓ πf␈ε a␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λj␈εβ2␈↓ ␈εβ.)␈α∨For␈↓
␈ε m␈↓
,␈εβ>␈↓
[␈ε n␈↓
o␈εβ,␈α∂l␈α↓e␈α␈t
␈β⊂␈↓ ∧_␈εn␈↓ ∧v␈εn␈↓ ¬ε␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε␈εn␈↓ ε⊃␈ε~␈␈εε2␈↓ π"␈εn␈↓ πv␈εn␈↓ λε␈εε+1
␈β⊂$␈↓ α/␈εm␈↓ αF␈εε+1
␈β⊂(␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α≡␈εβ2␈↓ αv␈ε↔␈␈↓ β"␈ε a␈↓ βg␈εβ,␈↓ ∧↓␈ε v␈↓ ∧#␈εβ=␈↓ ∧U␈ε a␈↓ ¬≠␈εβ.␈α_F␈α↓o␈α␈r␈↓ ε␈ε m␈↓ ε.␈εβ=␈↓ ε←␈ε n␈↓ π∧␈εβ>␈α⊃0,␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ λ∃␈ε u␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λk␈ε a␈↓ 1␈εβ,␈↓ K␈ε v␈↓ m␈εβ=␈α⊃2␈↓
/␈ε a␈↓
u␈εβ,␈α⊃o␈α␈r
␈β⊂3␈↓ β1␈εn␈↓ βB␈εε+2␈↓ ∧e␈εn␈↓ ∧u␈εε+2␈↓ λ{␈εn␈↓ ␈εε+2␈↓
?␈εn␈↓
O␈εε+1
␈β⊂P␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓e␈εβ=␈α 2␈↓ α ␈ε a␈↓ αf␈εβ,␈↓ αx␈ε v␈↓ β∪␈εβ=␈↓ β>␈ε a␈↓ ∧␈εβ(dep␈α␈end␈α␈ing␈α o␈α␈n␈α wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α is␈α l␈α↓a␈α␈rger).␈α
Ano␈α␈ther␈α ex␈α␈am␈α␈ple␈α for␈↓
β␈ε m␈↓
)␈εβ=␈↓
T␈ε n␈↓
q␈εβ>␈α
0
␈β⊂Z␈↓ α0␈εn␈↓ α@␈εε+1␈↓ βM␈εn␈↓ β]␈εε+␈α↓2
␈β⊂s␈↓ α@␈εn␈↓ αQ␈εε+1␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ∧.␈εε+1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓h␈ε u␈↓ α¬␈εβ=␈↓ α0␈εβ2␈↓ α|␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ βH␈ε v␈↓ βb␈εβ=␈↓ ∧
␈εβ2␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈α␈;␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
ta␈α␈k␈α␈es␈α
m␈α␈ore␈α
sh␈α␈ifts,␈αan␈α␈d␈α
g␈α␈iv␈α␈es␈↓ λ}␈ε C␈↓ "␈εβ=␈↓ L␈ε n␈↓ f␈εβ+␈απ1␈α␈,␈↓
2␈ε D␈↓
T␈εβ=␈α
2␈↓ ∂␈ε n␈↓ #␈εβ,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε E␈↓ ↓h␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα576␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.2
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβThis␈αis␈αa␈α
pro␈α␈blem␈α
where␈α
it␈αap␈α␈pea␈α␈rs␈αto␈α
be␈αn␈α␈eces␈α␈sary␈α
to␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈ε⊂␈αmor␈α␈e␈εβ␈αtha␈α␈n␈α
w␈α↓a␈α␈s␈αask␈α}ed
␈βαS␈↓ ↓H␈εβju␈α␈st␈αλto␈απpro␈α}v␈α␈e␈απwhat␈απwas␈αλa␈α␈sk␈α␈ed␈α␈.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈αλu␈α␈s␈αλpro␈α}v␈α␈e␈απthe␈απfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g:␈ε⊂␈α I␈α↓f␈↓ λ∃␈ε u␈↓ λ1␈ε⊂an␈α␈d␈↓ λn␈ε v␈↓ λ␈ε⊂a␈α␈re␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈απi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε⊂Algo␈α␈rithm␈αB␈α
d␈α␈oes␈ε↔␈α∀␈εβ␈α1␈α +␈ε↔␈αλb␈↓ ∧S␈εβlg␈↓ ∧s␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬=␈ε u␈↓ ¬Q␈εβ,␈↓ ¬←␈ε v␈↓ ¬q␈εβ)␈ε↔c␈ε⊂␈αsub␈α␈traction␈αste␈α␈ps;␈α
and␈αif␈α
e␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ty␈αh␈α␈olds␈α␈,␈α∞th␈α␈en
␈ββ"␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈εβlg␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓z␈ε u␈↓ α∃␈εβ+␈↓ α>␈ε v␈↓ αO␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α >␈ε↔␈α
b␈↓ β(␈εβlg␈↓ βG␈εβmax␈↓ ∧ε␈εβ(␈↓ ∧⊃␈ε u␈↓ ∧%␈εβ,␈↓ ∧4␈ε v␈↓ ∧F␈εβ)␈ε↔c␈ε⊂.
␈ββK␈↓ α␈εβFor␈αcon␈α}v␈α␈en␈α␈ienc␈α␈e,␈αlet␈αu␈α␈s␈αa␈α␈ssume␈αth␈α␈at␈↓ ε"␈ε u␈↓ ε?␈ε↔∃␈↓ εj␈ε v␈↓ ε|␈εβ;␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ πA␈ε m␈↓ πg␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ λ∨␈εβlg␈↓ λ?␈ε u␈↓ λS␈ε↔c␈εβ,␈↓ λt␈ε n␈↓ ∩␈εβ=␈ε↔␈α b␈↓ I␈εβl␈α↓g␈↓ i␈ε v␈↓ z␈ε↔c␈εβ;␈αa␈α␈nd␈αlet␈αu␈α␈s
␈ββr␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈αth␈α␈e␈α\latt␈α␈i␈α↓ce␈α␈-poin␈α}t"␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈olog␈α␈y,␈αsay␈α␈ing␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e␈α
are␈α\␈α␈at␈αpo␈α␈in␈α␈t␈α(␈↓ ␈ε m␈↓ (␈εβ,␈↓ 7␈ε n␈↓ K␈εβ)."␈αThe␈α
proo␈α␈f␈αis
␈β∧~␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction␈αo␈α␈n␈↓ β:␈ε m␈↓ β←␈εβ+␈↓ ∧π␈ε n␈↓ ∧≠␈εβ.
␈β∧Q␈↓ α␈ε⊂Case␈α1␈εβ,␈↓ β∧␈ε m␈↓ β+␈εβ=␈↓ βV␈ε n␈↓ βk␈εβ.␈α~Clearly␈α␈,␈ε↔␈αb␈↓ ¬≠␈εβl␈α↓g␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε u␈↓ ¬\␈εβ+␈↓ ε¬␈ε v␈↓ ε⊗␈εβ)␈ε↔␈α↓c␈εβ␈α
>␈ε↔␈α
b␈↓ εq␈εβlg␈↓ π⊂␈ε u␈↓ π%␈ε↔c␈εβ␈αin␈αthis␈αca␈α␈se.␈α
If␈↓ →␈ε u␈↓ 7␈εβ=␈↓ b␈ε v␈↓ ␈␈εβthe␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αis
␈β∧y␈↓ ↓H␈εβtriv␈α␈i␈α↓a␈α␈l;␈α∞oth␈α␈erwise␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈ex␈α␈t␈α
su␈α␈btra␈α␈ction-sh␈α␈ift␈α
cy␈α}cl␈α↓e␈αtak␈α}es␈α
u␈α␈s␈α
to␈αa␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
(␈↓ T␈ε m␈↓ z␈ε↔␈␈↓
#␈ε k␈↓
4␈εβ,␈↓
B␈ε m␈↓
`␈εβ).␈α⊂By
␈β¬ ␈↓ ↓H␈εβin␈α␈du␈α␈ction,␈α
at␈α
m␈α␈ost␈↓ β\␈ε m␈↓ β␈␈εβ+␈αε1␈α
furth␈α␈er␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α
s␈α␈teps␈α
will␈α
be␈α
req␈α␈uired␈α␈;␈αb␈α␈ut␈α
if␈↓ ␈␈ε m␈↓
"␈εβ+␈απ1␈α more
␈β¬D␈↓ ¬"␈ε~␈␈↓ ¬;␈εr
␈β¬E␈↓ ∧≤␈εα(␈↓ επ␈εα)
␈β¬H␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈re␈εβ␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈αb␈↓ ∧α␈εβlg␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε u␈↓ ∧M␈ε↔␈␈↓ ∧u␈ε v␈↓ ¬ε␈εβ)␈↓ ¬∩␈εβ2␈↓ ¬N␈εβ+␈↓ ¬v␈ε v␈↓ ε∪␈ε↔c␈εβ␈α
>␈ε↔␈α b␈↓ εa␈εβlg␈↓ π↓␈ε v␈↓ π∩␈ε↔c␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ λ∩␈ε r␈↓ λ*␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α
is␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αrigh␈α}t
␈β¬l␈↓ λλ␈ε~␈␈↓ λ"␈εr
␈β¬p␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ifts␈αthat␈αw␈α␈ere␈αmad␈α␈e.␈α∂Th␈α␈is␈α
is␈αimp␈α␈ossible,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈α(␈↓ π⊗␈ε u␈↓ π2␈ε↔␈␈↓ π[␈ε v␈↓ πm␈εβ)␈↓ πx␈εβ2␈↓ λ6␈εβ+␈↓ λ←␈ε v␈↓ λ|␈εβ<␈α(␈↓ 3␈ε u␈↓ O␈ε↔␈␈↓ y␈ε v␈↓
␈εβ)␈αλ+␈↓
G␈ε v␈↓
c␈εβ=␈↓ ∂␈ε u␈↓ #␈εβ.
␈βε↔␈↓ ↓H␈εβS␈α␈o␈αat␈αm␈α␈ost␈↓ αp␈ε m␈↓ β_␈εβfurth␈α␈er␈αstep␈α␈s␈αare␈αn␈α␈eede␈α␈d.
␈βεO␈↓ α␈ε⊂Case␈α2␈εβ␈α␈,␈↓ β¬␈ε m␈↓ β.␈εβ>␈↓ β[␈ε n␈↓ βo␈εβ.␈α≠The␈αne␈α␈xt␈αsub␈α␈tract␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αstep␈αta␈α␈k␈α␈es␈αus␈αto␈α(␈↓ λW␈ε m␈↓ λ|␈ε↔␈␈↓ &␈ε k␈↓ 6␈εβ,␈↓ E␈ε n␈↓ Y␈εβ),␈α
an␈α␈d␈αat␈αmos␈α␈t
␈βεv␈↓ ↓H␈εβ1␈αλ+␈↓ α␈εβma␈α␈x␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε m␈↓ α|␈ε↔␈␈↓ β'␈ε k␈↓ β7␈εβ,␈↓ βF␈ε n␈↓ βZ␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ ∧"␈ε m␈↓ ∧M␈εβfurt␈α␈her␈α∞s␈α␈teps␈α
w␈α↓ill␈α∞be␈α
requ␈α␈ired.␈α∪No␈α␈w␈α
i␈α↓f␈↓ ␈ε m␈↓ 7␈εβfu␈α␈rthe␈α␈r␈α∞step␈α␈s␈ε⊂␈α∞are
␈βπ~␈↓ ε∂␈ε~0␈↓ πF␈ε~␈␈↓ π←␈εr
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quired␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ β∨␈ε u␈↓ β>␈εβh␈α␈as␈αbee␈α␈n␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αb␈α␈y␈↓ ¬{␈ε u␈↓ ε∨␈εβ=␈α (␈↓ εU␈ε u␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π→␈ε v␈↓ π*␈εβ)␈↓ π5␈εβ2␈↓ πw␈εβfo␈α␈r␈αso␈α␈me␈↓ λ}␈ε r␈↓ ⊗␈ε↔∃␈εβ␈α
1.␈αB␈α↓y␈α
i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α␈,
␈βπA␈↓ α∞␈ε~0
␈βπE␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈εβlg␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓z␈ε u␈↓ α≠␈εβ+␈↓ αD␈ε v␈↓ αU␈εβ)␈ε↔c␈α
∃␈↓ β!␈ε m␈↓ β?␈εβ;␈αh␈α␈enc␈α␈e
␈βλ∩␈↓ πF␈ε~0
␈βλ∃␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ε≥␈εα)
␈βλ_␈↓ α2␈ε↔b␈↓ α?␈εβlg␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε u␈↓ β␈εβ+␈↓ β(␈ε v␈↓ β:␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α =␈ε↔␈α b␈↓ ∧∩␈εβl␈α↓g␈↓ ∧2␈εβ2␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε u␈↓ ∧u␈ε↔␈␈↓ ¬≡␈ε v␈↓ ¬/␈εβ)/2␈απ+␈↓ ε␈ε v␈↓ ε)␈ε↔c␈α ∃␈α
b␈↓ εw␈εβlg␈↓ π⊗␈εβ2(␈↓ π2␈ε u␈↓ πT␈εβ+␈↓ π|␈ε v␈↓ λ∞␈εβ)␈ε↔c␈α ∃␈↓ λZ␈ε m␈↓ λ}␈εβ+␈αλ1␈α >␈ε↔␈α b␈↓ x␈εβl␈α↓g␈↓
_␈ε u␈↓
,␈ε↔c␈εβ.
␈βλ{␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβSu␈α␈bt␈α␈ract␈α
the␈↓ βM␈ε k␈↓ β↑␈εβt␈α␈h␈α
colum␈α␈n␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈α
the␈α
2␈↓ ε∀␈ε k␈↓ ε$␈εβth,␈α3␈↓ εh␈ε k␈↓ εy␈εβth␈α␈,␈α4␈↓ π=␈ε k␈↓ πM␈εβth␈α␈,␈αetc.,␈αfor␈↓ λ{␈ε k␈↓ ∃␈εβ=␈α 1,␈α2,␈α
3,␈↓
-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
←␈εβ.␈αThe
␈β ∧␈↓
'␈ε↓P
␈β "␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sult␈α
is␈α a␈α
trian␈α␈gu␈α␈lar␈α
m␈α␈atrix␈α wi␈α↓th␈↓ ¬-␈ε x␈↓ ¬S␈εβon␈α th␈α␈e␈α
d␈α␈iago␈α␈na␈α␈l␈α
i␈α↓n␈α c␈α␈olumn␈↓ λT␈ε k␈↓ λd␈εβ,␈α
where␈↓ V␈ε m␈↓ |␈εβ=␈↓ ¬␈ε x␈↓ #␈εβ.
␈β -␈↓ ¬<␈εk␈↓ ∃␈εd
␈β 5␈↓
M␈εd␈↓
\␈ε~∧␈↓
h␈εm
␈β O␈↓ ↓H␈εβIt␈αλfollo␈α␈ws␈αλth␈α␈at␈↓ β_␈ε x␈↓ βH␈εβ=␈↓ βs␈ε ⎇␈↓ ∧λ␈εβ(␈↓ ∧∪␈ε m␈↓ ∧1␈εβ),␈α so␈απthe␈αλd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈αλis␈↓ π↓␈ε ⎇␈↓ π⊗␈εβ(␈α↓1␈α␈)␈↓ π=␈ε ⎇␈↓ πS␈εβ(2␈α␈)␈↓ π␈␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ,␈ε ⎇␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε n␈↓ λ`␈εβ).␈α∩[In␈αλge␈α␈nera␈α␈l␈α↓,␈α \␈α␈Smith␈α␈'s
␈β Z␈↓ β(␈εm
␈β t␈↓ ε`␈εα(␈↓ π↑␈εα)
␈β w␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t,␈α↓"␈αin␈αwhich␈αth␈α␈e␈α
(␈↓ ∧o␈ε i␈↓ ∧|␈εβ,␈↓ ¬
␈ε j␈↓ ¬→␈εβ)␈α
elem␈α␈en␈α␈t␈αi␈α↓s␈↓ εP␈ε f␈↓ εl␈εβg␈α␈cd␈↓ π≡␈εβ(␈↓ π)␈ε i␈↓ π6␈εβ,␈↓ πD␈ε j␈↓ πS␈εβ)␈↓ πw␈εβfor␈αan␈αa␈α␈rbitrary␈αfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈↓
p␈ε f␈↓ ␈εβ,␈α
is
␈β
␈↓ αB␈ε↓Q␈↓ βP␈ε↓P
␈β
∨␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈l␈α to␈↓ ∧.␈ε ⊗␈↓ ∧@␈εβ(␈↓ ∧K␈ε m␈↓ ∧i␈εβ/␈↓ ∧y␈ε d␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬↔␈ε f␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε d␈↓ ¬D␈εβ),␈α by␈αλt␈α␈he␈αλsam␈α␈e␈αλargu␈α␈men␈α}t.␈αS␈α␈ee␈αλL.␈α E.␈α D␈α␈i␈α↓c␈α␈kson␈α␈,␈ε⊂␈α History
␈β
1␈↓ αd␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β ␈εm␈↓ β!␈ε~∀␈↓ β:␈εn␈↓ βv␈εd␈↓ ∧∧␈ε~∧␈↓ ∧⊃␈εm
␈β
K␈↓ ↓H␈ε⊂o␈α␈f␈αthe␈αTh␈α␈eory␈α
of␈αNum␈α}bers␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Ne␈α␈w␈αY␈α↓o␈α␈rk:␈αCh␈α␈elsea,␈α19␈α␈52),␈α122␈α␈↑1␈α␈23.]
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβTo␈α
dete␈α␈rmine␈↓ β`␈ε A␈↓ ∧∧␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧G␈ε r␈↓ ∧c␈εβsuc␈α␈h␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬|␈ε u␈↓ ε≥␈εβ=␈↓ εL␈ε A␈↓ εb␈ε v␈↓ ε|␈εβ+␈↓ π'␈ε r␈↓ π5␈εβ,␈α∂0␈ε↔␈α
∀␈↓ λ→␈ε r␈↓ λ5␈εβ<␈↓ λd␈ε v␈↓ λu␈εβ,␈α∂u␈α␈sing␈α
ord␈α␈ina␈α␈ry␈α
l␈α↓o␈α␈ng
␈β'␈↓ β8␈εα(␈↓ ¬8␈εα)
␈β*␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈α␈,␈αta␈α␈k␈α␈es␈↓ β ␈ε O␈↓ βD␈εβ(␈α↓1␈α¬+␈↓ ∧
␈εβlo␈α␈g␈↓ ∧=␈ε A␈↓ ∧S␈εβ)(␈↓ ∧i␈εβlog␈↓ ¬→␈ε u␈↓ ¬-␈εβ)␈↓ ¬N␈εβun␈α␈its␈α
of␈α ti␈α↓m␈α␈e.␈αIf␈α
th␈α␈e␈α
q␈α␈uotien␈α}ts␈α
d␈α␈uring␈α th␈α␈e␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈↓ αβ␈ε A␈↓ α%␈εβ,␈↓ α=␈ε A␈↓ α←␈εβ,␈↓ αx␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β$␈εβ,␈↓ β=␈ε A␈↓ βi␈εβ,␈α⊂the␈α␈n␈↓ ∧R␈ε A␈↓ ∧s␈ε A␈↓ ¬≠␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬G␈ε A␈↓ εβ␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε u␈↓ εG␈εβ,␈α⊂so␈↓ π␈εβlog␈↓ π<␈ε A␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ∪␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λC␈εβ+␈↓ λn␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ∨␈ε A␈↓ Z␈ε↔∀␈↓
␈εβlog␈↓
;␈ε u␈↓
O␈εβ.␈α⊗Also
␈β]␈↓ α_␈εε1␈↓ αR␈εε2␈↓ βR␈εm␈↓ ∧g␈εε1␈↓ ¬ ␈εε2␈↓ ¬]␈εm␈↓ πR␈εε1␈↓ 4␈εm
␈βz␈↓ ↓H␈ε m␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈ε O␈↓ α1␈εβ(␈↓ α<␈εβlog␈↓ αl␈ε u␈↓ β␈εβ).
␈β-␈↓ ∧#␈εu␈↓ ¬g␈εv␈↓ π
␈εu␈↓ π!␈εεmod␈↓ πU␈εv
␈β1␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβIn␈αgen␈α␈eral,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α(␈↓ ∧∩␈ε a␈↓ ∧<␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬π␈εβm␈α␈od␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε a␈↓ ¬⎇␈ε↔␈␈εβ␈α 1)␈α=␈↓ ε|␈ε a␈↓ πl␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
(cf.␈α
Eq.␈α4.3.2↑1␈α␈9),␈α
w␈α␈e␈α
|␈α␈nd
␈βT␈↓ α]␈εm␈↓ βU␈εn␈↓ ∧u␈εεgcd␈↓ ¬≠␈εε(␈↓ ¬#␈εm␈↓ ¬:␈εε,␈↓ ¬A␈εn␈↓ ¬R␈εε)
␈βY␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈εβg␈α␈cd␈↓ αB␈εβ(␈↓ αM␈ε a␈↓ α|␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ βD␈ε a␈↓ βl␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α =␈↓ ∧d␈ε a␈↓ ¬b␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ λ}␈ε a␈↓ ∞␈εβ.
␈β
␈↓ ∧↔␈εε2
␈β
␈↓ β≥␈εα(␈↓ ¬.␈εα)
␈β
⊂␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβYes,␈α∂to␈↓ β¬␈ε O␈↓ β)␈ε n␈↓ β=␈εβ(␈↓ βH␈εβlog␈↓ βx␈ε n␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈εβlog␈↓ ∧←␈εβlog␈↓ ¬∂␈ε n␈↓ ¬#␈εβ)␈↓ ¬:␈εβ,␈α⊂e␈α␈v␈α␈en␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∞also␈α∞ne␈α␈ed␈α∞to␈α∞com␈α␈pu␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∂o␈α␈f
␈β
7␈↓ ↓H␈εβp␈α␈artial␈α∞quo␈α␈tien␈α␈ts␈α∞tha␈α␈t␈α∂w␈α␈o␈α␈uld␈α∞be␈α∞co␈α␈mpu␈α␈ted␈α∞b␈α␈y␈α∂Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∂a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈;␈α⊃see␈α∞A.␈α∂S␈α␈ch␈↓
=␈εβ∪␈↓
=␈εβo␈↓
N␈εβnh␈α␈ag␈α␈e,
␈β
←␈↓ ↓H␈ε⊂Ac␈α␈ta␈αIn␈α␈forma␈α␈ti␈α↓c␈α␈a␈ε∪␈α1␈εβ␈α
(19␈α␈71),␈α1␈α␈39↑␈α␈14␈α␈4.␈α_[␈α↓Bu␈α␈t␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
L␈αis␈αb␈α␈etter␈α
i␈α↓n␈α
p␈α␈ractice␈α
un␈α␈less␈↓
x␈ε n␈↓ ⊗␈εβis
␈β∞π␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xtrem␈α␈ely␈αlarge␈α␈.␈α↓]
␈β∞>␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβKeep␈α trac␈α␈k␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
mos␈α␈t␈αs␈α␈i␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈α
a␈α␈nd␈α l␈α↓e␈α␈ast␈α
sign␈α␈i␈α↓|␈α␈can␈α}t␈α
w␈α␈ord␈α␈s␈α
of␈α
the␈α
o␈α␈pe␈α␈rand␈α␈s␈α
(the
␈β∞f␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈αλsi␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈αλis␈α u␈α␈sed␈αλto␈αλgu␈α␈ess␈αλthe␈αλsign␈αλo␈α␈f␈↓ ε1␈ε t␈↓ εE␈εβan␈α␈d␈αλthe␈αλleast␈αλsigni|␈α␈can␈α}t␈α is␈αλto␈αλdete␈α␈rmine␈αλthe
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈α of␈α
righ␈α}t␈α
shift),␈α
while␈α
b␈α␈uilding␈α a␈α 2␈ε↔␈αεα␈εβ␈α¬2␈α
ma␈α␈trix␈↓ πG␈ε A␈↓ πg␈εβo␈α␈f␈α
sing␈α␈l␈α↓e-p␈α␈recision␈α in␈α␈teg␈α␈ers␈α
su␈α␈ch
␈β∂↔␈↓ α&␈ε↓␈␈↓ αD␈ε↓↓␈↓ βε␈ε↓␈␈↓ β>␈ε↓↓
␈β∂-␈↓ β$␈ε≠0
␈β∂1␈↓ α4␈εu␈↓ β∀␈εu␈↓ β*␈εw
␈β∂5␈↓ →␈ε~0␈↓ |␈ε~0
␈β∂9␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε A␈↓ α[␈εβ=␈↓ βL␈εβ,␈αwher␈α␈e␈↓ ∧@␈ε w␈↓ ∧d␈εβis␈αthe␈αc␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈o␈α␈rd␈αsize␈αa␈α␈nd␈α
w␈α↓h␈α␈ere␈↓ ¬␈ε u␈↓ *␈εβan␈α␈d␈↓ k␈ε v␈↓
␈εβare␈αsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈r
␈β∂F␈↓ β#␈ε≠0
␈β∂I␈↓ α5␈εv␈↓ β∃␈εv␈↓ β)␈εw
␈β∂`␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈↓ α∀␈ε u␈↓ α2␈εβa␈α␈nd␈↓ αq␈ε v␈↓ ββ␈εβ.␈α⊗(In␈α␈stead␈α of␈α
d␈α␈ividin␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
sim␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈ted␈α od␈α␈d␈α
o␈α␈pera␈α␈nd␈α by␈α 2␈α␈,␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈β⊂λ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ne␈αby␈α2,␈αun␈α}ti␈α↓l␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αm␈α␈ultiples␈αo␈α␈f␈↓ ¬x␈ε w␈↓ ε≥␈εβa␈α␈fter␈αex␈α␈actly␈↓ πb␈εβl␈α↓g␈↓ λα␈ε w␈↓ λ&␈εβshifts.)␈α≠Exp␈α␈erimen␈α}ts␈αsho␈α}w
␈β⊂/␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αalgorith␈α␈m␈αrun␈α␈nin␈α␈g␈αfou␈α␈r␈αti␈α↓m␈α␈es␈αas␈αfast␈αa␈α␈s␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
L␈↓ λβ␈εβ,␈αon␈α
at␈αleast␈αo␈α␈ne␈αc␈α␈omp␈α␈uter.
␈β⊂g␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α
by␈αM␈α␈icha␈α␈el␈αPen␈α␈k.)
␈β⊃≡␈↓ ↓O␈ε∪Y1.␈↓ α␈εβ[Fi␈α↓n␈α␈d␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2.]␈α→Sa␈α␈me␈αas␈αste␈α␈p␈αB1.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα577
␈βα*␈↓ ↓O␈ε∪Y2.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α≥S␈α␈et␈α
(␈↓ ∧λ␈ε u␈↓ ∧(␈εβ,␈↓ ∧7␈ε u␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧e␈ε u␈↓ ¬¬␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(1,␈αε0␈α␈,␈↓ ε∪␈ε u␈↓ ε'␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α(␈↓ π␈ε v␈↓ π(␈εβ,␈↓ π7␈ε v␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε v␈↓ π|␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(␈↓ λK␈ε v␈↓ λ]␈εβ,␈αε1␈ε↔␈αλ␈␈↓ .␈ε u␈↓ B␈εβ,␈↓ Q␈ε v␈↓ c␈εβ).␈α⊂If␈↓
*␈ε u␈↓
K␈εβis␈α
o␈α␈dd␈α␈,
␈βα5␈↓ ∧≠␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ ∧x␈εε3␈↓ π≠␈εε1␈↓ πE␈εε2␈↓ πo␈εε3
␈βαR␈↓ α␈εβset␈α(␈↓ αK␈ε t␈↓ αb␈εβ,␈↓ αp␈ε t␈↓ βπ␈εβ,␈↓ β⊗␈ε t␈↓ β,␈εβ)␈ε↔␈α
␈εβ␈α (0,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈ε↔␈α¬␈␈↓ ∧x␈ε v␈↓ ¬ ␈εβ)␈αan␈α␈d␈αgo␈α
to␈αY4.␈αOthe␈α␈rwi␈α↓se␈α
set␈α(␈↓ λN␈ε t␈↓ λe␈εβ,␈↓ λt␈ε t␈↓
␈εβ,␈↓ →␈ε t␈↓ 0␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α
(1␈α␈,␈αε0,␈↓
9␈ε u␈↓
M␈εβ).
␈βα\␈↓ αU␈εε1␈↓ αz␈εε2␈↓ β ␈εε3␈↓ λX␈εε1␈↓ λ}␈εε2␈↓ #␈εε3
␈βββ␈↓ ↓O␈ε∪Y3.␈↓ α␈εβ[Halv␈α␈e␈↓ αu␈ε t␈↓ β␈εβ.]␈α∨If␈↓ βa␈ε t␈↓ ∧¬␈εβan␈α␈d␈↓ ∧I␈ε t␈↓ ∧m␈εβare␈α
bo␈α␈th␈α∞e␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈α∂set␈α∞(␈↓ π∪␈ε t␈↓ π)␈εβ,␈↓ π8␈ε t␈↓ πO␈εβ,␈↓ π]␈ε t␈↓ πt␈εβ)␈ε↔␈α∞ ␈εβ␈α∞(␈↓ λG␈ε t␈↓ λ↑␈εβ,␈↓ λl␈ε t␈↓ β␈εβ,␈↓ ∩␈ε t␈↓ (␈εβ)/2;␈α∂oth␈α␈erwise␈α∞se␈α␈t
␈ββ∞␈↓ α␈␈εε3␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧S␈εε2␈↓ π≥␈εε1␈↓ πB␈εε2␈↓ πg␈εε3␈↓ λQ␈εε1␈↓ λv␈εε2␈↓ ≤␈εε3
␈ββ+␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε t␈↓ α.␈εβ,␈↓ α=␈ε t␈↓ αS␈εβ,␈↓ αb␈ε t␈↓ αx␈εβ)␈ε↔␈α
␈εβ␈α (␈↓ βB␈ε t␈↓ βY␈εβ+␈↓ β{␈ε v␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε t␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧S␈ε u␈↓ ∧g␈εβ,␈↓ ∧v␈ε t␈↓ ¬
␈εβ)/␈α␈2.␈α(In␈α¬the␈α¬latter␈α¬case,␈↓ πQ␈ε t␈↓ πg␈εβ+␈↓ λ ␈ε v␈↓ λ ␈εβan␈α␈d␈↓ λ[␈ε t␈↓ λr␈ε↔␈␈↓ ∀␈ε u␈↓ .␈εβwill␈αεbo␈α␈th␈α¬be␈α¬ev␈α␈en␈α␈.)
␈ββ5␈↓ α!␈εε1␈↓ αF␈εε2␈↓ αl␈εε3␈↓ βL␈εε1␈↓ ∧%␈εε2␈↓ ¬␈εε3␈↓ π[␈εε1␈↓ λe␈εε2
␈ββ\␈↓ ↓O␈ε∪Y4.␈↓ α␈εβ[Is␈↓ α8␈ε t␈↓ αZ␈εβev␈α}en?]␈α→If␈↓ βl␈ε t␈↓ ∧∞␈εβis␈αev␈α␈en␈α␈,␈αgo␈αb␈α␈ack␈α
to␈αY3.
␈ββg␈↓ αB␈εε3␈↓ βv␈εε3
␈β∧
␈↓ ↓O␈ε∪Y5.␈↓ α␈εβ[Reset␈↓ αn␈εβm␈α␈ax␈↓ β,␈εβ(␈↓ β8␈ε u␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε v␈↓ ∧↓␈εβ).␈α↓]␈α⊃If␈↓ ∧M␈ε t␈↓ ∧m␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α set␈αλ(␈↓ ¬v␈ε u␈↓ ε∃␈εβ,␈↓ ε$␈ε u␈↓ εD␈εβ,␈↓ εS␈ε u␈↓ εs␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α (␈↓ π=␈ε t␈↓ πS␈εβ,␈↓ πb␈ε t␈↓ πx␈εβ,␈↓ λπ␈ε t␈↓ λ≡␈εβ);␈α oth␈α␈erwise␈αλse␈α␈t␈αλ(␈↓
π␈ε v␈↓
#␈εβ,␈↓
1␈ε v␈↓
M␈εβ,␈↓
[␈ε v␈↓
w␈εβ)␈ε↔␈α
␈β∧_␈↓ βK␈εε3␈↓ βu␈εε3␈↓ ∧W␈εε3␈↓ ε ␈εε1␈↓ ε7␈εε2␈↓ εf␈εε3␈↓ πF␈εε1␈↓ πl␈εε2␈↓ λ⊃␈εε3␈↓
⊗␈εε1␈↓
@␈εε2␈↓
j␈εε3
␈β∧5␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε v␈↓ α0␈ε↔␈␈↓ αY␈ε t␈↓ αo␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ β∨␈ε u␈↓ β;␈ε↔␈␈↓ βc␈ε t␈↓ βz␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧*␈ε t␈↓ ∧A␈εβ).
␈β∧@␈↓ αc␈εε1␈↓ βm␈εε2␈↓ ∧4␈εε3
␈β∧f␈↓ ↓O␈ε∪Y6.␈↓ α␈εβ[Su␈α␈btra␈α␈ct.]␈α≤S␈α␈et␈α(␈↓ ∧ε␈ε t␈↓ ∧≥␈εβ,␈↓ ∧,␈ε t␈↓ ∧B␈εβ,␈↓ ∧Q␈ε t␈↓ ∧h␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(␈↓ ¬5␈ε u␈↓ ¬U␈εβ,␈↓ ¬d␈ε u␈↓ ε∧␈εβ,␈↓ ε∩␈ε u␈↓ ε2␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α (␈↓ εz␈ε v␈↓ π∃␈εβ,␈↓ π$␈ε v␈↓ π?␈εβ,␈↓ πN␈ε v␈↓ πi␈εβ)␈α↓.␈α∞The␈α␈n␈αif␈↓ ¬␈ε t␈↓ &␈εβ<␈α0␈α␈,␈α
set␈α(␈↓
9␈ε t␈↓
P␈εβ,␈↓
↑␈ε t␈↓
u␈εβ)␈ε↔␈α
␈β∧q␈↓ ∧⊂␈εε1␈↓ ∧6␈εε2␈↓ ∧[␈εε3␈↓ ¬I␈εε1␈↓ ¬w␈εε2␈↓ ε&␈εε3␈↓ π ␈εε1␈↓ π3␈εε2␈↓ π]␈εε3␈↓ ∂␈εε1␈↓
C␈εε1␈↓
h␈εε2
␈β¬∞␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε t␈↓ α4␈εβ+␈↓ α[␈ε v␈↓ αl␈εβ,␈↓ α{␈ε t␈↓ β_␈ε↔␈␈↓ β?␈ε u␈↓ βS␈εβ).␈αIf␈↓ ∧∩␈ε t␈↓ ∧2␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αg␈α␈o␈α
ba␈α␈ck␈α
to␈α B3.␈αOth␈α␈erwise␈α
the␈α algorith␈α␈m␈α
termin␈α␈ates␈α
with
␈β¬_␈↓ α!␈εε1␈↓ β¬␈εε2␈↓ ∧≤␈εε3
␈β¬1␈↓ β=␈εk
␈β¬5␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε u␈↓ α7␈εβ,␈↓ αF␈ε u␈↓ αe␈εβ,␈↓ αt␈ε u␈↓ β≠␈ε↔↓␈↓ β,␈εβ2␈↓ βJ␈εβ)␈αas␈αth␈α␈e␈αou␈α␈tpu␈α␈t.
␈β¬7␈↓ ¬R␈∧¬7¬R≠∂
␈β¬@␈↓ α*␈εε1␈↓ αY␈εε2␈↓ βπ␈εε3
␈β¬p␈↓ α␈εβIt␈α∞is␈α∂c␈α␈l␈α↓e␈α␈ar␈α∞tha␈α␈t␈α∞the␈α∞rela␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∞in␈α∞(16␈α␈)␈α∞are␈α∞pr␈α␈eserv␈α␈e␈α␈d,␈α∂an␈α␈d␈α∞th␈α␈at␈α∞0␈ε↔␈α∞∀␈↓ e␈ε u␈↓
∧␈εβ,␈↓
∪␈ε v␈↓
.␈εβ,␈↓
=␈ε t␈↓
b␈ε↔∀␈↓ ∩␈ε v␈↓ #␈εβ,
␈β¬{␈↓ x␈εε1␈↓
"␈εε1␈↓
G␈εε1
␈βε_␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α∃␈↓ α∀␈ε u␈↓ α3␈εβ,␈↓ αB␈ε v␈↓ α↑␈εβ,␈↓ αl␈ε t␈↓ β⊂␈ε↔∃␈α
␈␈↓ β`␈ε u␈↓ ∧↓␈εβafter␈α
ea␈α␈ch␈α
of␈α
step␈α␈s␈α∞Y2␈α␈↑Y6.␈α∩If␈↓ πA␈ε u␈↓ πb␈εβis␈α∞o␈α␈dd␈α
a␈α␈fter␈α∞st␈α␈ep␈α
Y2,␈α∞the␈α␈n␈α
step
␈βε#␈↓ α'␈εε2␈↓ αQ␈εε2␈↓ αv␈εε2
␈βε@␈↓ ↓H␈εβY3␈αcan␈αbe␈αsi␈α↓m␈α␈pli|ed␈α␈,␈α
sin␈α␈ce␈↓ ∧Z␈ε t␈↓ ∧|␈εβand␈↓ ¬>␈ε t␈↓ ¬a␈εβa␈α␈re␈αb␈α␈oth␈αev␈α␈en␈αi{␈↓ π←␈ε t␈↓ λ↓␈εβis␈αev␈α␈e␈α␈n;␈α
similarly␈α␈,␈α
if␈↓
.␈ε v␈↓
K␈εβi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈,
␈βεJ␈↓ ∧d␈εε1␈↓ ¬H␈εε2␈↓ πi␈εε2
␈βεg␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α⊗␈ε t␈↓ α9␈εβand␈↓ α|␈ε t␈↓ β ␈εβare␈α
b␈α␈oth␈αev␈α␈en␈αi{␈↓ ¬#␈ε t␈↓ ¬G␈εβis␈α
ev␈α␈e␈α␈n.␈α∩Th␈α}us,␈α∞a␈α␈s␈α
i␈α↓n␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
X,␈α
it␈α
i␈α↓s␈α
p␈α␈ossible␈α
to
␈βεr␈↓ α ␈εε1␈↓ βε␈εε2␈↓ ¬-␈εε1
␈βπ∂␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈pp␈α␈ress␈αall␈αc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αin␈α␈v␈α␈o␈α␈lving␈↓ ¬B␈ε u␈↓ ¬a␈εβ,␈↓ ¬v␈ε v␈↓ ε⊃␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ εg␈ε t␈↓ ε}␈εβ,␈αpro␈α␈v␈α␈ided␈α
that␈↓ λe␈ε v␈↓ α␈εβis␈αod␈α␈d␈αafter␈αstep␈α
Y␈α↓2␈α␈.
␈βπ→␈↓ ¬U␈εε2␈↓ ε¬␈εε2␈↓ εq␈εε2
␈βπ6␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αcon␈α␈dition␈αi␈α↓s␈αo␈α␈ften␈αk␈α␈no␈α}wn␈αin␈αa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ce␈α(e.g.,␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ π←␈ε v␈↓ π⎇␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αan␈α␈d␈αw␈α␈e␈αa␈α␈re␈αtry␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto
␈βπZ␈↓ αc␈ε~␈␈εε1
␈βπ↑␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αO␈ε u␈↓ β∀␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ∧
␈ε v␈↓ ∧≠␈εβ).
␈βλV␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.3
␈β %␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈α
run␈α␈ning␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈αi␈α↓s␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α19␈α␈.02␈↓ ¬d␈ε T␈↓ εα␈εβ+␈αλ6,␈αjust␈αa␈α
tri␈α↓⎇␈α␈e␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αth␈α␈an␈αProg␈α␈ram␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.2A.
␈β P␈↓ α␈ε↓∩␈↓ π<␈ε↓∪
␈β V␈↓ α&␈ε Q␈↓ αL␈εβ(␈↓ αW␈ε x␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈ε x␈↓ β≡␈εβ,␈↓ β-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βY␈εβ,␈↓ βh␈ε x␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧=␈ε x␈↓ ∧\␈εβ)␈↓ ∧␈␈ε Q␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε x␈↓ ¬s␈εβ,␈↓ εα␈ε x␈↓ ε≡␈εβ,␈↓ ε,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε x␈↓ π-␈εβ)
␈β a␈↓ α<␈εn␈↓ αg␈εε1␈↓ β∩␈εε2␈↓ βx␈εn␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧L␈εn␈↓ ¬⊗␈εn␈↓ ¬&␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬f␈εε1␈↓ ε⊃␈εε2␈↓ εw␈εn␈↓ ππ␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β l␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ πR␈εβ.
␈β
∧␈↓ α(␈ε Q␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε x␈↓ β≤␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε x␈↓ ∧+␈εβ,␈↓ ∧:␈ε x␈↓ ∧Z␈εβ)␈↓ ¬∃␈ε Q␈↓ ¬a␈εβ(␈↓ ¬l␈ε x␈↓ ελ␈εβ,␈↓ ε↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈εβ,␈↓ εR␈ε x␈↓ π_␈εβ)
␈β
∂␈↓ α>␈εn␈↓ αO␈ε~␈␈εε1␈↓ β∂␈εε2␈↓ βu␈εn␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧I␈εn␈↓ ¬+␈εn␈↓ ¬;␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ¬|␈εε2␈↓ εb␈εn␈↓ εr␈ε~␈␈εε1
␈β
6␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε Q␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε x␈↓ αZ␈εβ,␈↓ αh␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β∃␈εβ,␈↓ β$␈ε x␈↓ βC␈εβ).
␈β
@␈↓ α"␈εn␈↓ αM␈εε1␈↓ β3␈εn
␈β
g␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβBy␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αor␈αb␈α␈y␈αta␈α␈king␈α
the␈αd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈αo␈α␈f␈αthe␈αma␈α␈trix␈αp␈α␈rodu␈α␈ct␈αin␈αex␈α}ercise␈α2␈α␈.
␈β→␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβWhen␈α∞th␈α␈e␈↓ β,␈ε x␈↓ β>␈εβ's␈α∂a␈α␈re␈α∂p␈α␈ositiv␈α␈e,␈α∂the␈↓ ¬c␈ε q␈↓ ¬r␈εβ's␈α∂o␈α␈f␈α∂(9)␈α∞are␈α∞po␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e,␈α⊂a␈α␈nd␈↓ λ}␈ε q␈↓ O␈εβ>␈↓ ␈␈ε q␈↓
B␈εβ;␈α⊂he␈α␈nce
␈β$␈↓
␈εn␈↓ ~␈εε+1␈↓
␈εn␈↓
≤␈ε~␈␈εε1
␈βA␈↓ ↓H␈εβ(9␈α␈)␈α
i␈α↓s␈α
a␈α␈n␈α
a␈α␈lterna␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
se␈α␈ri␈α↓e␈α␈s␈α
of␈α
d␈α␈ecrea␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
te␈α␈rms,␈α∞a␈α␈nd␈αit␈α
con␈α}v␈α␈erg␈α␈es␈α
i{␈↓ 0␈ε q␈↓ M␈ε q␈↓
≠␈ε↔!␈α
1␈εβ.␈α⊃By
␈βK␈↓ <␈εn␈↓ Y␈εn␈↓ i␈εε+1
␈βd␈↓ ε␈εn
␈βh␈↓ ↓H␈εβin␈α␈du␈α␈ction,␈α
if␈α∞th␈α␈e␈↓ βD␈ε x␈↓ βU␈εβ's␈α
are␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
than␈↓ ¬t␈ε ∂␈↓ ε↓␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ π≠␈ε q␈↓ πD␈ε↔∃␈↓ πq␈ε c␈↓ π}␈εβ(1␈α +␈↓ λM␈ε ∂␈↓ λZ␈εβ/␈α␈2␈↓ λ{␈εβ)␈↓ ⊗␈εβ,␈α∞whe␈α␈re␈↓
∂␈ε c␈↓
)␈εβis␈α
cho␈α␈sen
␈βs␈↓ π'␈εn
␈β␈↓
N␈εn
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβsm␈α␈all␈α∞e␈α␈no␈α␈ugh␈αto␈α
ma␈α␈k␈α␈e␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓n␈α␈equ␈α␈ality␈α
v␈α␈alid␈α
for␈↓ π¬␈ε n␈↓ π%␈εβ=␈α
1␈α
a␈α␈nd␈α2.␈α⊃But␈α
if␈↓ B␈ε x␈↓ o␈εβ=␈α1/␈↓
>␈εβ2␈↓
l␈εβth␈α␈en
␈β≠␈↓ R␈εn
␈β4␈↓ β
␈εn
␈β8␈↓ ↓H␈ε q␈↓ ↓m␈ε↔∀␈εβ␈α
2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ αz␈εβ2␈↓ β≠␈εβ.
␈βB␈↓ ↓T␈εn
␈βi␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβIt␈α∞s␈α␈u}ce␈α␈s␈α∞to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈↓ ∧w␈ε A␈↓ ¬&␈εβ=␈↓ ¬U␈ε B␈↓ ¬u␈εβ;␈α∂a␈α␈nd␈α
fro␈α␈m␈α∞th␈α␈e␈α
fact␈α
tha␈α␈t␈α∞0␈ε↔␈α
∀␈α
?␈↓ J␈ε x␈↓ f␈εβ,␈↓ u␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓
!␈εβ,␈↓
0␈ε x␈↓
P␈ε↔?␈εβ␈α<␈α∞1
␈βt␈↓ ¬
␈εε1␈↓ ¬h␈εε1␈↓ Y␈εε1␈↓
?␈εn
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈↓ α[␈ε x␈↓ αw␈εβ,␈↓ βε␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β2␈εβ,␈↓ βA␈ε x␈↓ βl␈εβa␈α␈re␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αw␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ π"␈ε B␈↓ πK␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ1␈α␈/␈↓ λ$␈ε X␈↓ λ@␈ε↔c␈εβ␈α =␈↓ ␈ε A␈↓ "␈εβ.
␈β
≤␈↓ αj␈εε1␈↓ βP␈εn␈↓ π5␈εε1␈↓ ⊗␈εε1
␈β
C␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβOn␈α␈l␈α↓y␈α
1␈αε2␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β;␈ε n␈↓ β]␈εβan␈α␈d␈↓ ∧!␈ε n␈↓ ∧;␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧g␈εβ2␈α¬1.␈α∨(T␈α↓h␈α␈e␈α∞v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈↓ π␈ε x␈↓ π6␈εβapp␈α␈ears␈α∞in␈α∞e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ U␈ε F␈↓ z␈ε F␈↓
R␈εβter␈α␈ms;
␈β
N␈↓ π≠␈εk␈↓ h␈εk␈↓
␈εn␈↓
≥␈ε~␈␈↓
6␈εk
␈β
k␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α'␈ε x␈↓ αP␈εβan␈α␈d␈↓ β∪␈ε x␈↓ βA␈εβc␈α␈an␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
b␈α␈e␈α
perm␈α␈u␈α␈ted␈α
in␈α␈to␈↓ εY␈ε x␈↓ πα␈εβand␈↓ πF␈ε x␈↓ πe␈εβ.␈α∪If␈↓ λ%␈ε x␈↓ λN␈εβan␈α␈d␈↓ ⊃␈ε x␈↓ ?␈εβa␈α␈re␈α∞|␈α␈x␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α
the
␈β
u␈↓ α6␈εε1␈↓ β#␈εn␈↓ εh␈εε1␈↓ πU␈εn␈↓ λ4␈εε1␈↓ !␈εn
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈,␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ ε*␈ε x␈↓ εF␈εβ,␈↓ ε[␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π≠␈ε x␈↓ πl␈εβar␈α␈e␈αalso␈α|␈α␈x␈α␈ed␈α␈.␈α↓)
␈β∞≥␈↓ ε:␈εε2␈↓ π+␈εn␈↓ π;␈ε~␈␈εε1
␈β∞D␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThis␈αis␈αequ␈α␈ivalen␈α}t␈αto
␈β∂ ␈↓ β4␈ε Q␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε A␈↓ ∧W␈εβ,␈↓ ∧e␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε A␈↓ ¬C␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬}␈ε X␈↓ ε→␈ε Q␈↓ εf␈εβ(␈↓ εq␈ε A␈↓ π<␈εβ,␈↓ πK␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πw␈εβ,␈↓ λε␈ε A␈↓ λ(␈εβ)␈↓ ≠␈εβ1
␈β∂∀␈↓ βJ␈εn␈↓ βZ␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ∧!␈εn␈↓ ∧1␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬6␈εε2␈↓ ε/␈εn␈↓ ε@␈ε~␈␈εε1␈↓ πε␈εn␈↓ π⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ λ≠␈εε1
␈β∂ ␈↓ λ@␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ;␈εβ,
␈β∂.␈↓ β4␈∧∂.β4α¬␈↓ ⊂␈∧∂. ⊂α(
␈β∂7␈↓ βm␈ε Q␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈ε A␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ∧x␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬%␈εβ,␈↓ ¬4␈ε A␈↓ ¬U␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε⊃␈ε X␈↓ ε,␈ε Q␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε A␈↓ πβ␈εβ,␈↓ π∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π?␈εβ,␈↓ πM␈ε A␈↓ πo␈εβ)␈↓ ⊂␈ε X
␈β∂B␈↓ ∧β␈εn␈↓ ∧∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧Y␈εn␈↓ ¬I␈εε2␈↓ εB␈εn␈↓ εs␈εn␈↓ πc␈εε1␈↓ '␈εn
␈β∂␈␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
by␈α
(␈α↓6␈α␈)␈αthis␈αis␈αequ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈αt␈α␈o
␈β⊂F␈↓ ∧*␈ε Q␈↓ ∧w␈εβ(␈↓ ¬α␈ε A␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬3␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬←␈εβ,␈↓ ¬n␈ε A␈↓ ε∪␈εβ)␈αλ+␈↓ εO␈ε X␈↓ εv␈ε Q␈↓ πB␈εβ(␈↓ πM␈ε A␈↓ πo␈εβ,␈↓ π}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ*␈εβ,␈↓ λ9␈ε A␈↓ ¬␈εβ)
␈β⊂P␈↓ ∧A␈εn␈↓ ∧Q␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬↔␈εε2␈↓ εβ␈εn␈↓ εf␈εn␈↓ π␈εn␈↓ π≤␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ πc␈εε2␈↓ λN␈εn␈↓ λ←␈ε~␈␈εε1
␈β⊂\␈↓ βW␈ε X␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∪␈εβ.
␈β⊂j␈↓ ∧*␈∧⊂j∧*α∧f
␈β⊂t␈↓ ∧=␈ε Q␈↓ ∧d␈εβ(␈↓ ∧o␈ε A␈↓ ¬⊃␈εβ,␈↓ ¬ ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬L␈εβ,␈↓ ¬[␈ε A␈↓ ε␈εβ)␈αλ+␈↓ ε<␈ε X␈↓ εc␈ε Q␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε A␈↓ π\␈εβ,␈↓ πk␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ&␈ε A␈↓ λr␈εβ)
␈β⊂}␈↓ ∧T␈εn␈↓ ¬∧␈εε1␈↓ ¬p␈εn␈↓ εS␈εn␈↓ εy␈εn␈↓ π
␈ε~␈␈εε1␈↓ πP␈εε1␈↓ λ<␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε1
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα578␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃By␈α de|␈α␈nition␈α␈.␈α_(b␈α␈),␈α(d␈α␈)␈αPro␈α␈v␈α}e␈α
this␈α
when␈↓ π␈ε n␈↓ π≡␈εβ=␈α 1,␈α
then␈α app␈α␈ly␈α
(a)␈α
to␈α
ge␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
resu␈α␈lt
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αgen␈α␈eral␈↓ αn␈ε n␈↓ βα␈εβ.␈α~(c)␈αPro␈α␈v␈α}e␈αwhen␈↓ ¬λ␈ε n␈↓ ¬%␈εβ=␈↓ ¬P␈ε k␈↓ ¬h␈εβ+␈απ1,␈αthen␈α
ap␈α␈ply␈α(a).
␈ββα␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε A␈↓ αY␈εβ>␈α 0,␈αthe␈α␈n␈↓ βt␈ε B␈↓ ∧≥␈εβ=␈α
0,␈↓ ∧m␈ε B␈↓ ¬⊗␈εβ=␈↓ ¬A␈ε A␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬w␈ε B␈↓ ε!␈εβ=␈↓ εK␈ε A␈↓ εm␈εβ,␈↓ π↓␈ε B␈↓ π+␈εβ=␈↓ πU␈ε A␈↓ πw␈εβ,␈↓ λ␈ε B␈↓ λ5␈εβ=␈↓ λ`␈ε A␈↓ ↓␈εβ,␈↓ ⊗␈ε B␈↓ ?␈εβ=␈↓ j␈ε A␈↓
␈εβ,␈↓
␈ε m␈↓
G␈εβ=␈α 5.␈αIf
␈ββ
␈↓ αC␈εε0␈↓ ∧π␈εε0␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬V␈εε0␈↓ ε␈εε2␈↓ ε`␈εε1␈↓ π∃␈εε3␈↓ πk␈εε2␈↓ λ∨␈εε4␈↓ λu␈εε3␈↓ )␈εε5␈↓ ␈␈εε4
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε A␈↓ ↓t␈εβ=␈α0␈α␈,␈αthen␈↓ β∩␈ε B␈↓ β<␈εβ=␈↓ βh␈ε A␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧∨␈ε B␈↓ ∧J␈εβ=␈↓ ∧u␈ε A␈↓ ¬↔␈εβ,␈↓ ¬,␈ε B␈↓ ¬W␈εβ=␈↓ εβ␈ε A␈↓ ε$␈εβ,␈↓ ε:␈ε B␈↓ εd␈εβ=␈↓ π⊂␈ε A␈↓ π2␈εβ,␈↓ πG␈ε m␈↓ πo␈εβ=␈α
3.␈α
If␈↓ λc␈ε A␈↓ ⊂␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓1␈αan␈α␈d␈↓
;␈ε A␈↓
g␈εβ=␈α1␈α␈,
␈ββ4␈↓ ↓]␈εε0␈↓ β%␈εε0␈↓ β⎇␈εε1␈↓ ∧3␈εε1␈↓ ¬␈εε2␈↓ ¬@␈εε2␈↓ ε_␈εε3␈↓ εM␈εε3␈↓ π%␈εε4␈↓ λy␈εε0␈↓
P␈εε1
␈ββQ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∩␈ε B␈↓ α;␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ β∩␈ε A␈↓ β:␈εβ+␈αε2␈α␈),␈↓ ∧⊂␈ε B␈↓ ∧9␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ ¬π␈ε B␈↓ ¬1␈εβ=␈↓ ¬[␈ε A␈↓ εβ␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈,␈↓ εN␈ε B␈↓ εw␈εβ=␈↓ π!␈ε A␈↓ πC␈εβ,␈↓ πW␈ε m␈↓ π⎇␈εβ=␈α
3␈α␈.␈αIf␈↓ λl␈ε A␈↓ ↔␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈α and␈↓
=␈ε A␈↓
h␈εβ>␈α
1␈α␈,
␈ββ\␈↓ α&␈εε0␈↓ β(␈εε2␈↓ ∧#␈εε1␈↓ ¬≠␈εε2␈↓ ¬q␈εε3␈↓ εa␈εε3␈↓ π7␈εε4␈↓ ↓␈εε0␈↓
R␈εε1
␈ββy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε B␈↓ α?␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓2␈α␈,␈↓ β3␈ε B␈↓ β]␈εβ=␈↓ ∧
␈ε A␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ␈α 2␈α␈,␈↓ ¬β␈ε B␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε A␈↓ ¬|␈εβ,␈↓ ε⊃␈ε B␈↓ ε<␈εβ=␈↓ εh␈ε A␈↓ π
␈εβ,␈↓ π∨␈ε B␈↓ πJ␈εβ=␈↓ πv␈ε A␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ.␈ε m␈↓ λV␈εβ=␈α5␈α␈.␈α∞If␈↓ L␈ε A␈↓ x␈εβ<␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
th␈α␈en
␈β∧∧␈↓ α(␈εε0␈↓ βF␈εε2␈↓ ∧∨␈εε1␈↓ ¬⊗␈εε3␈↓ ¬o␈εε2␈↓ ε%␈εε4␈↓ ε⎇␈εε3␈↓ π3␈εε5␈↓ λ␈εε4␈↓ a␈εε0
␈β∧!␈↓ ↓H␈ε B␈↓ ↓r␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1,␈↓ αd␈ε B␈↓ β∞␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ β↑␈ε B␈↓ ∧λ␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧U␈ε A␈↓ ∧}␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈↓ ¬M␈ε B␈↓ ¬w␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ εG␈ε B␈↓ εq␈εβ=␈↓ π≤␈ε A␈↓ πF␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ λ∀␈ε B␈↓ λ>␈εβ=␈↓ λj␈ε A␈↓ ␈εβ,␈↓ ␈ε B␈↓ J␈εβ=␈↓ u␈ε A␈↓
↔␈εβ,␈↓
,␈ε B␈↓
V␈εβ=␈↓ ↓␈ε A␈↓ #␈εβ.
␈β∧+␈↓ ↓[␈εε0␈↓ αw␈εε1␈↓ βr␈εε2␈↓ ∧j␈εε0␈↓ ¬`␈εε3␈↓ ε[␈εε4␈↓ π2␈εε1␈↓ λ(␈εε5␈↓ λ␈␈εε2␈↓ 4␈εε6␈↓
␈εε3␈↓
@␈εε7␈↓ ↔␈εε4
␈β∧H␈↓ ↓H␈εβ[Actu␈α␈ally,␈α
th␈α␈e␈α
las␈α␈t␈α
th␈α␈ree␈α cases␈α in␈α␈v␈α}olv␈α␈e␈α eigh␈α}t␈α
su␈α␈bca␈α␈ses;␈α
if␈α
an␈α}y␈α of␈α the␈↓ ↓␈ε B␈↓ ↔␈εβ'␈α↓s␈α is␈α
se␈α␈t␈α
to␈α zer␈α␈o,␈α
the
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈α\␈α␈collap␈α␈sed␈αtog␈α␈ethe␈α␈r"␈αb␈α␈y␈αusin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αrule␈αof␈αex␈α}ercise␈α9(c).␈α
Fo␈α␈r␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓h␈ε A␈↓ α∃␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈↓ β ␈ε A␈↓ β6␈εβ=␈↓ βb␈ε A␈↓ ∧∂␈εβ=␈α1,␈α
w␈α␈e␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈α↓ly␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ εd␈ε B␈↓ π∂␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ(␈↓ πh␈ε A␈↓ λ∩␈εβ+␈αλ2),␈↓ λm␈ε B␈↓ _␈εβ=␈↓ D␈ε A␈↓ n␈εβ+␈α 1␈α␈,␈↓
>␈ε m␈↓
f␈εβ=␈α1␈α␈.
␈β¬"␈↓ ↓⎇␈εε0␈↓ β≡␈εε1␈↓ βw␈εε3␈↓ εx␈εε0␈↓ π⎇␈εε2␈↓ ␈εε1␈↓ Y␈εε4
␈β¬?␈↓ ↓H␈εβDo␈α␈ub␈α␈le␈αcollap␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αoc␈α␈curs␈αwh␈α␈en␈↓ ¬⊃␈ε A␈↓ ¬<␈εβ=␈ε↔␈α ␈␈εβ␈α↓2␈α␈,␈↓ ε-␈ε A␈↓ εX␈εβ=␈α 1.]
␈β¬J␈↓ ¬&␈εε0␈↓ εB␈εε1
␈β¬k␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓
o␈ε~0
␈β¬o␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε q␈↓ αr␈εβ=␈↓ β∨␈ε Q␈↓ βE␈εβ(␈↓ βP␈ε A␈↓ βr␈εβ,␈↓ ∧↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧<␈ε A␈↓ ∧b␈εβ),␈↓ ¬β␈ε q␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε Q␈↓ ε↓␈εβ(␈↓ ε␈ε B␈↓ ε,␈εβ,␈↓ ε:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εg␈εβ,␈↓ εv␈ε B␈↓ π→␈εβ)␈α↓,␈↓ π:␈ε p␈↓ πf␈εβ=␈↓ λ∪␈ε Q␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε A␈↓ ␈εβ,␈↓ ≠␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ G␈εβ,␈↓ V␈ε A␈↓ {␈εβ)␈α↓,␈αand␈↓
←␈ε p␈↓ ␈εβ=
␈β¬z␈↓ αV␈εn␈↓ β5␈εn␈↓ βf␈εε1␈↓ ∧R␈εn␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε∨␈εε1␈↓ π ␈εn␈↓ πJ␈εn␈↓ λ)␈εn␈↓ λ9␈εε+1␈↓ λ␈␈εε0␈↓ k␈εn
␈β¬}␈↓ ¬∩␈εn␈↓
o␈εn
␈βε∪␈↓ k␈ε~0␈↓
7␈ε~0
␈βε↔␈↓ ↓H␈ε Q␈↓ α∀␈εβ(␈↓ α∨␈ε B␈↓ α?␈εβ,␈↓ αN␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αz␈εβ,␈↓ β ␈ε B␈↓ β-␈εβ).␈αWe␈α h␈α␈av␈α}e␈↓ ∧Q␈ε X␈↓ ∧v␈εβ=␈α
(␈↓ ¬,␈ε p␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε p␈↓ εJ␈ε X␈↓ εx␈εβ)␈α↓/␈α␈(␈↓ π∨␈ε q␈↓ πG␈εβ+␈↓ πm␈ε q␈↓ λ6␈ε X␈↓ λe␈εβ),␈↓ β␈ε Y␈↓ %␈εβ=␈α (␈↓ Z␈ε p␈↓
␈εβ+␈↓
&␈ε p␈↓
m␈ε Y␈↓ ⊃␈εβ)/
␈βε!␈↓ ↓↑␈εn␈↓ ↓n␈εε+1␈↓ α2␈εε0␈↓ β≤␈εn␈↓ ¬;␈εm␈↓ ε
␈εm␈↓ ε$␈ε~␈␈εε1␈↓ εa␈εm␈↓ π+␈εm␈↓ πy␈εm␈↓ λ⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ λM␈εm␈↓ ␈εn
␈βε&␈↓ k␈εn␈↓
7␈εn␈↓
G␈ε~␈␈εε1
␈βε:␈↓ ↓b␈ε~0␈↓ α3␈ε~0
␈βε>␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε q␈↓ ↓z␈εβ+␈↓ α$␈ε q␈↓ αi␈ε Y␈↓ β
␈εβ);␈α∞th␈α␈erefore␈αif␈↓ ∧↑␈ε X␈↓ ¬→␈εβ=␈↓ ¬F␈ε Y␈↓ ¬j␈εβ,␈α∞t␈α␈he␈α
sta␈α␈ted␈αrelation␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈↓ ≡␈ε X␈↓ G␈εβa␈α␈nd␈↓
␈ε Y␈↓
/␈εβh␈α␈olds␈αby
␈βεI␈↓ α⎇␈εn␈↓ ∧u␈εm␈↓ ¬Z␈εn
␈βεN␈↓ ↓b␈εn␈↓ α3␈εn␈↓ αC␈ε~␈␈εε1
␈βεf␈↓ ↓H␈εβ(8␈α␈).␈α
Co␈α␈n␈α␈v␈α}ersely,␈αi␈α↓f␈↓ βY␈ε X␈↓ β}␈εβ=␈α
(␈↓ ∧5␈ε q␈↓ ∧C␈ε Y␈↓ ∧d␈εβ+␈↓ ¬
␈ε r␈↓ ¬≠␈εβ)/(␈↓ ¬B␈ε s␈↓ ¬P␈ε Y␈↓ ¬p␈εβ+␈↓ ε→␈ε t␈↓ ε%␈εβ),␈ε↔␈αj␈↓ εN␈ε q␈↓ ε]␈ε t␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π→␈ε r␈↓ π(␈ε s␈↓ π6␈ε↔j␈εβ␈α =␈α1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αmay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αt␈α␈hat␈↓
P␈ε s␈↓
g␈ε↔∃␈εβ␈α0␈α␈,
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈αs␈α␈ho␈α␈w␈αt␈α␈hat␈α
the␈α
par␈α␈ti␈α↓a␈α␈l␈αquo␈α␈tien␈α␈ts␈α
of␈↓ εi␈ε X␈↓ π∂␈εβan␈α␈d␈↓ πP␈ε Y␈↓ πs␈εβev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α
a␈α␈gree,␈αb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction
␈βπ1␈↓
<␈ε~0
␈βπ5␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈↓ ↓v␈ε s␈↓ α∧␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αresult␈αis␈αc␈α␈l␈α↓e␈α␈ar␈αwhen␈↓ ¬α␈ε s␈↓ ¬~␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αb␈α␈y␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α9(d).␈αIf␈↓ λ¬␈ε s␈↓ λ≥␈εβ>␈α 0,␈αlet␈↓ ≥␈ε q␈↓ 5␈εβ=␈↓ `␈ε a␈↓ q␈ε s␈↓
ε␈εβ+␈↓
/␈ε s␈↓
C␈εβ,␈αwhere
␈βπY␈↓ α~␈ε~0␈↓ ε$␈ε~0␈↓
¬␈ε~0
␈βπZ␈↓ ∧y␈εα(␈↓ πS␈εα)
␈βπ]␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α ∀␈↓ α␈ε s␈↓ α)␈εβ<␈↓ αT␈ε s␈↓ αb␈εβ.␈αTh␈α␈en␈↓ βK␈ε X␈↓ βp␈εβ=␈↓ ∧≠␈ε a␈↓ ∧1␈εβ+␈αε1/␈↓ ¬¬␈εβ(␈↓ ¬⊂␈ε s␈↓ ¬≡␈ε Y␈↓ ¬=␈εβ+␈↓ ¬d␈ε t␈↓ ¬p␈εβ)/␈α␈(␈↓ ε↔␈ε s␈↓ ε+␈ε Y␈↓ εI␈εβ+␈↓ εp␈ε r␈↓ π¬␈ε↔␈␈↓ π,␈ε a␈↓ π<␈ε t␈↓ πH␈εβ)␈↓ π←␈εβ;␈αsin␈α␈ce␈↓ λC␈ε s␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε r␈↓ λp␈ε↔␈␈↓ ↔␈ε a␈↓ (␈ε t␈↓ 4␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ k␈ε t␈↓ w␈ε s␈↓
∃␈εβ=␈↓
?␈ε s␈↓
M␈ε r␈↓
a␈ε↔␈␈↓ ␈ε t␈↓ ∀␈ε q␈↓ #␈εβ,
␈βλ␈↓ α∀␈ε~0
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αε␈ε s␈↓ α$␈εβ<␈↓ αN␈ε s␈↓ α\␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α kn␈α␈o␈α␈w␈α by␈αλind␈α␈uction␈αλan␈α␈d␈α ex␈α␈e␈α␈rcise␈α 10␈α th␈α␈at␈α th␈α␈e␈α part␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
q␈α␈uotien␈α}ts␈α of␈↓
0␈ε X␈↓
U␈εβan␈α␈d␈↓ ∀␈ε Y
␈βλ,␈↓ ↓H␈εβe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α ag␈α␈ree.␈α∃[␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αThe␈α fa␈α␈ct␈α
th␈α␈at␈↓ ¬}␈ε m␈↓ ε%␈εβis␈α always␈α od␈α␈d␈α in␈α ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
1␈α␈0␈α sho␈α}w␈α↓s␈α␈,␈α
by␈α a␈α close
␈βλT␈↓ ↓H␈εβin␈α␈spec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈α
th␈α␈is␈α
p␈α␈roof,␈α
th␈α␈at␈↓ ∧⎇␈ε X␈↓ ¬7␈εβ=␈↓ ¬d␈ε Y␈↓ ε∀␈εβif␈α
a␈α␈nd␈αon␈α␈ly␈αi␈α↓f␈↓ πc␈ε X␈↓ λ␈εβ=␈α(␈↓ λC␈ε q␈↓ λQ␈ε Y␈↓ λr␈εβ+␈↓ ≤␈ε r␈↓ +␈εβ)/(␈↓ R␈ε s␈↓ ←␈ε Y␈↓
␈εβ+␈↓
*␈ε t␈↓
6␈εβ),␈α
where
␈βλ↑␈↓ ¬∀␈εm␈↓ ¬w␈εn
␈βλw␈↓ β+␈εm␈↓ βB␈ε~␈␈↓ β[␈εn
␈βλ{␈↓ ↓H␈ε q␈↓ ↓V␈ε t␈↓ ↓j␈ε↔␈␈↓ α∩␈ε r␈↓ α!␈ε s␈↓ α8␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ β ␈εβ)␈↓ βl␈εβ.]
␈β (␈↓ ¬_␈εε2␈↓ πd␈εε2
␈β ,␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈ince␈↓ β→␈ε V␈↓ β<␈ε V␈↓ ∧∞␈εβ=␈↓ ∧8␈ε D␈↓ ∧V␈ε↔␈␈↓ ∧⎇␈ε U␈↓ ¬%␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α kn␈α␈o␈α␈w␈α tha␈α␈t␈↓ π∧␈ε D␈↓ π"␈ε↔␈␈↓ πI␈ε U␈↓ λ∨␈εβi␈α↓s␈α a␈α m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α of␈↓ ␈␈ε V␈↓
H␈εβ;␈α
he␈α␈nce
␈β 6␈↓ β+␈εn␈↓ βN␈εn␈↓ β↑␈εε+␈α↓1␈↓
∩␈εn␈↓
"␈εε+1
␈β ;␈↓ ¬∀␈εn␈↓ π`␈εn␈↓ πp␈εε+1
␈β T␈↓ ∧'␈∧ T∧'α~
␈β U␈↓ ∧¬␈ε↔p
␈β Z␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α∞i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈↓ β∪␈ε X␈↓ βJ␈εβ=␈α∂(␈↓ ∧'␈ε D␈↓ ∧I␈ε↔␈␈↓ ∧u␈ε U␈↓ ¬~␈εβ)/␈↓ ¬6␈ε V␈↓ ¬Y␈εβ,␈α⊂wh␈α␈ere␈↓ εU␈ε U␈↓ π
␈εβa␈α␈nd␈↓ πN␈ε V␈↓ λ␈εβa␈α␈re␈α∂in␈α␈te␈α␈gers.␈α [Note␈α∞that␈α∞the
␈β e␈↓ β*␈εn␈↓ ¬
␈εn␈↓ ¬H␈εn␈↓ εk␈εn␈↓ πa␈εn
␈β
α␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity␈↓ αD␈ε V␈↓ β⊗␈εβ=␈↓ βA␈ε A␈↓ βf␈εβ(␈↓ βq␈ε U␈↓ ∧D␈ε↔␈␈↓ ∧m␈ε U␈↓ ¬∩␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬M␈ε V␈↓ ε!␈εβm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αi␈α↓t␈αu␈α␈nn␈α␈ece␈α␈ssary␈α
to␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αwh␈α␈en␈↓
C␈ε V␈↓ ⊗␈εβis
␈β
␈↓ αW␈εn␈↓ αg␈εε+1␈↓ βV␈εn␈↓ ∧π␈εn␈↓ ∧↔␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬α␈εn␈↓ ¬`␈εn␈↓ ¬p␈ε~␈␈εε1␈↓
U␈εn␈↓
e␈εε+␈α↓1
␈β
)␈↓ ↓H␈εβb␈α␈eing␈α
dete␈α␈rmined␈α␈.]
␈β
K␈↓ ∧_␈∧
K∧_α~␈↓ εX␈∧
KεXα~
␈β
L␈↓ βv␈ε↔p␈↓ ε7␈ε↔p
␈β
Q␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂L␈α↓e␈α␈t␈↓ α}␈ε Y␈↓ β ␈εβ=␈α (␈ε↔␈␈↓ ∧_␈ε D␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧T␈ε U␈↓ ∧o␈εβ)/␈↓ ¬␈ε V␈↓ ¬#␈εβ,␈↓ ¬3␈ε Y␈↓ ¬`␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈↓ εX␈ε D␈↓ εr␈ε↔␈␈↓ π∀␈ε U␈↓ π:␈εβ)/␈↓ πV␈ε V␈↓ πx␈εβ.␈α
The␈αεsta␈α␈ted␈αεid␈α␈en␈α␈tity␈αεo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈β
\␈↓ ¬F␈εn␈↓ π*␈εn␈↓ πh␈εn
␈β
r␈↓ β}␈∧
rβ}α~␈↓ ¬∃␈∧
r¬∃α~
␈β
t␈↓ β]␈ε↔p␈↓ ∧t␈ε↔p
␈β
y␈↓ ↓H␈εβh␈α␈olds␈αb␈α␈y␈αre␈α␈placin␈α␈g␈↓ β}␈ε D␈↓ ∧#␈εβb␈α␈y␈ε↔␈α␈␈↓ ¬∃␈ε D␈↓ ¬9␈εβi␈α↓n␈α
the␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈α(a).␈αWe␈αh␈α␈av␈α}e
␈β8␈↓ ∧*␈ε Y␈↓ ∧L␈εβ=␈α
(␈↓ ¬α␈ε p␈↓ ¬"␈εβ/␈↓ ¬2␈ε Y␈↓ ¬]␈εβ+␈↓ εε␈ε p␈↓ εL␈εβ)/(␈↓ εs␈ε q␈↓ π∂␈εβ/␈↓ π ␈ε Y␈↓ πK␈εβ+␈↓ πt␈ε q␈↓ λ6␈εβ),
␈βB␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬F␈εn␈↓ ε⊗␈εn␈↓ ε&␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈␈εn␈↓ π3␈εn␈↓ λ␈εn␈↓ λ⊂␈ε~␈␈εε1
␈βw␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε p␈↓ αS␈εβan␈α␈d␈↓ β∀␈ε q␈↓ β;␈εβare␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α
i␈α↓n␈α
pa␈α␈rt␈α(c)␈αof␈αthis␈αex␈α}ercise;␈αhen␈α␈ce
␈β↓␈↓ α8␈εn␈↓ β ␈εn
␈β6␈↓ β\␈ε Y␈↓ ∧ ␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈↓ ∧`␈ε q␈↓ ∧|␈εβ/␈↓ ¬
␈ε q␈↓ ¬O␈εβ)(␈↓ ¬e␈ε Y␈↓ εε␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε p␈↓ εN␈εβ/␈↓ ε←␈ε q␈↓ ε{␈εβ)/(␈↓ π"␈ε Y␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πk␈ε p␈↓ λ1␈εβ/␈↓ λA␈ε q␈↓ ∧␈εβ).
␈β@␈↓ βp␈εn␈↓ ∧l␈εn␈↓ ¬→␈εn␈↓ ¬)␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε>␈εn␈↓ εk␈εn␈↓ π{␈εn␈↓ λ␈ε~␈␈εε1␈↓ λM␈εn␈↓ λ↑␈ε~␈␈εε1
␈βu␈↓ ↓H␈εβBu␈α␈t␈αby␈α(12␈α␈),␈↓ βπ␈ε p␈↓ βL␈εβ/␈↓ β]␈ε q␈↓ ∧+␈εβan␈α␈d␈↓ ∧l␈ε p␈↓ ¬␈εβ/␈↓ ¬≥␈ε q␈↓ ¬E␈εβare␈αextre␈α␈mely␈αc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αto␈↓ λ∪␈ε X␈↓ λ/␈εβ;␈αsince␈↓ ⊗␈ε X␈↓ <␈ε↔≤␈↓ h␈ε Y␈↓
␈εβ,␈↓
⊗␈ε Y␈↓
6␈ε↔␈␈↓
←␈ε p␈↓
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈ε q
␈β␈␈↓ β⊗␈εn␈↓ β'␈ε~␈␈εε1␈↓ βi␈εn␈↓ βy␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧|␈εn␈↓ ¬)␈εn␈↓
o␈εn␈↓ ≤␈εn
␈β
≤␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε Y␈↓ α'␈ε↔␈␈↓ αO␈ε p␈↓ β∃␈εβ/␈↓ β&␈ε q␈↓ βr␈εβwil␈α↓l␈αh␈α␈av␈α}e␈αt␈α␈he␈α
same␈α
sign␈α
a␈α␈s␈↓ εv␈ε Y␈↓ π∃␈ε↔␈␈↓ π=␈ε X␈↓ πc␈εβfor␈α
all␈αlarge␈↓ ∃␈ε n␈↓ )␈εβ.␈αThis␈α
pro␈α␈v␈α}es␈α
tha␈α␈t
␈β
'␈↓ α←␈εn␈↓ αo␈ε~␈␈εε1␈↓ β2␈εn␈↓ βB␈ε~␈␈εε1
␈β
>␈↓ λ≥␈∧
>λ≥α~
␈β
?␈↓ π|␈ε↔p
␈β
D␈↓ ↓H␈ε Y␈↓ ↓x␈εβ<␈α
0␈αfor␈α
all␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈↓ β⎇␈ε n␈↓ ∧⊃␈εβ;␈α∞h␈α␈ence␈α0␈α
<␈↓ ¬Q␈ε X␈↓ ε¬␈εβ<␈↓ ε3␈ε X␈↓ εc␈ε↔␈␈↓ π
␈ε Y␈↓ π=␈εβ=␈α
2␈↓ λ≥␈ε D␈↓ λ6␈εβ/␈↓ λG␈ε V␈↓ λj␈εβ;␈↓ ↓␈ε V␈↓ 1␈εβm␈α}ust␈α
b␈α␈e␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e.
␈β
N␈↓ ↓[␈εn␈↓ ¬h␈εn␈↓ εJ␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ λY␈εn␈↓ ∪␈εn
␈β
e␈↓ β␈∧
eβα~␈↓ εv␈∧
eεvα~␈↓ i␈∧
e iα~
␈β
g␈↓ αk␈ε↔p␈↓ εU␈ε↔p␈↓ G␈ε↔p
␈β
k␈↓ ↓H␈εβAlso␈↓ α∩␈ε U␈↓ α@␈εβ<␈↓ β␈ε D␈↓ β%␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈↓ ∧␈ε X␈↓ ∧<␈εβ>␈α 0.␈αHenc␈α␈e␈↓ ¬m␈ε V␈↓ ε→␈εβ<␈α
2␈↓ εv␈ε D␈↓ π∂␈εβ,␈αsince␈↓ πu␈ε V␈↓ λ!␈ε↔∀␈↓ λK␈ε A␈↓ λq␈ε V␈↓ ≥␈εβ<␈↓ i␈ε D␈↓
␈εβ+␈↓
2␈ε U␈↓
⎇␈εβ.
␈β
v␈↓ α'␈εn␈↓ ∧"␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ λπ␈εn␈↓ λa␈εn␈↓ β␈εn␈↓
G␈εn␈↓
W␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∞
␈↓
∪␈∧∞
∪α~
␈β∞∞␈↓ q␈ε↔p
␈β∞∪␈↓ α␈εβFinally,␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α}t␈α
to␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ ¬H␈ε U␈↓ ¬v␈εβ>␈α
0.␈αS␈α␈ince␈↓ π≠␈ε X␈↓ πL␈εβ<␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ _␈ε U␈↓ G␈εβ>␈↓
∪␈ε D␈↓
2␈ε↔␈␈↓
Y␈ε V␈↓
{␈εβ,␈αso
␈β∞≡␈↓ ¬]␈εn␈↓ π3␈εn␈↓ -␈εn␈↓
k␈εn
␈β∞5␈↓ ε⊃␈∧∞5ε⊃α~
␈β∞6␈↓ ¬p␈ε↔p
␈β∞;␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αneed␈αon␈α␈ly␈αco␈α␈nsid␈α␈er␈αth␈α␈e␈αcase␈↓ ¬⊗␈ε V␈↓ ¬D␈εβ>␈↓ ε⊃␈ε D␈↓ ε*␈εβ;␈αthen␈↓ π␈ε U␈↓ π<␈εβ=␈↓ πh␈ε A␈↓ λ∞␈ε V␈↓ λ8␈ε↔␈␈↓ λ`␈ε U␈↓ 6␈ε↔∃␈↓ b␈ε V␈↓
␈ε↔␈␈↓
5␈ε U␈↓ ␈εβ>
␈β∞E␈↓ ¬)␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ π⎇␈εn␈↓ λ ␈εn␈↓ λv␈εn␈↓ ε␈ε~␈␈εε1␈↓ u␈εn␈↓
J␈εn␈↓
[␈ε~␈␈εε1
␈β∞\␈↓ ↓i␈∧∞\↓iα~
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε↔p
␈β∞b␈↓ ↓i␈ε D␈↓ α ␈ε↔␈␈↓ α2␈ε U␈↓ α⎇␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αt␈α␈his␈αi␈α↓s␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αa␈α␈s␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αalrea␈α␈dy␈α
obs␈α␈erv␈α␈ed␈α␈.
␈β∞m␈↓ αG␈εn␈↓ αX␈ε~␈␈εε1
␈β∂∧␈↓ ε1␈∧∂∧ε1α~␈↓ λ`␈∧∂∧λ`α~
␈β∂¬␈↓ ε∂␈ε↔p␈↓ λ>␈ε↔p
␈β∂
␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α I␈α↓n␈αεth␈α␈e␈αεrepe␈α␈ating␈αεcy␈α}cle␈απw␈α␈e␈αεha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε1␈ε D␈↓ εK␈εβ+␈↓ εn␈ε U␈↓ π≤␈εβ=␈↓ πG␈ε A␈↓ πm␈ε V␈↓ λ⊃␈εβ+␈α↓(␈↓ λ`␈ε D␈↓ λz␈ε↔␈␈↓ ≥␈ε U␈↓ h␈εβ)␈α >␈↓
'␈ε V␈↓
J␈εβ;␈αλhe␈α␈nce
␈β∂∀␈↓ πβ␈εn␈↓ π\␈εn␈↓ π␈␈εn␈↓ 2␈εn␈↓ B␈ε~␈␈εε1␈↓
9␈εn
␈β∂+␈↓ α↓␈∧∂+α↓α~␈↓ ε␈∧∂+εα~␈↓ λs␈∧∂+λsα~
␈β∂-␈↓ ↓`␈ε↔p␈↓ ¬j␈ε↔p␈↓ λR␈ε↔p
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε↔b␈εβ(␈↓ α↓␈ε D␈↓ α≤␈εβ+␈↓ α>␈ε U␈↓ β
␈εβ)/␈↓ β&␈ε V␈↓ βn␈ε↔c␈εβ␈α =␈ε↔␈α
b␈↓ ∧<␈ε A␈↓ ¬ ␈εβ+␈↓ ¬,␈ε V␈↓ ¬N␈εβ/(␈↓ ε␈ε D␈↓ ε&␈εβ+␈↓ εI␈ε U␈↓ εo␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α =␈↓ π:␈ε A␈↓ λ∂␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ(␈↓ λs␈ε D␈↓
␈εβ+␈↓ 0␈ε U␈↓ V␈εβ)/␈↓ r␈ε V␈↓
:␈ε↔c␈εβ.␈α
Th␈α␈u␈α␈s,
␈β∂<␈↓ αT␈εn␈↓ αd␈εε+1␈↓ β8␈εn␈↓ βH␈εε+␈α↓1␈↓ ∧Q␈εn␈↓ ∧a␈εε+␈α↓1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ε↑␈εn␈↓ πP␈εn␈↓ π`␈εε+1␈↓ F␈εn␈↓
∧␈εn␈↓
∀␈εε+␈α↓1
␈β∂Y␈↓ ↓H␈ε A␈↓ α∨␈εβi␈α↓s␈αde␈α␈termine␈α␈d␈αby␈↓ ∧#␈ε U␈↓ ∧z␈εβand␈↓ ¬=␈ε V␈↓ ε¬␈εβ;␈α
we␈αca␈α␈n␈αde␈α␈termine␈α(␈↓ λ4␈ε U␈↓ λY␈εβ,␈↓ λh␈ε V␈↓ ␈εβ)␈α
fro␈α␈m␈α(␈↓ ␈␈ε U␈↓
J␈εβ,␈↓
Y␈ε V␈↓ !␈εβ)
␈β∂d␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε+1␈↓ ∧8␈εn␈↓ ∧H␈εε+1␈↓ ¬O␈εn␈↓ ¬←␈εε+␈α↓1␈↓ λI␈εn␈↓ λ{␈εn␈↓
∀␈εn␈↓
$␈εε+1␈↓
k␈εn␈↓
|␈εε+1
␈β∂{␈↓ ε+␈∧∂{ε+α~␈↓ -␈∧∂{ -α~
␈β∂|␈↓ ε
␈ε↔p␈↓ ␈ε↔p
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈αp␈α␈eriod␈α␈.␈α∞In␈αfa␈α␈ct,␈αwhen␈α0␈α
<␈↓ ¬0␈ε V␈↓ ¬↑␈εβ<␈↓ ε+␈ε D␈↓ εL␈εβ+␈↓ εu␈ε U␈↓ π'␈εβa␈α␈nd␈α0␈α<␈↓ λ0␈ε U␈↓ λ`␈εβ<␈↓ -␈ε D␈↓ F␈εβ,␈αthe␈αa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β⊂␈↓ ¬C␈εn␈↓ π␈εn␈↓ λE␈εn
␈β⊂"␈↓ ¬"␈∧⊂"¬"α~␈↓ λY␈∧⊂"λYα~
␈β⊂#␈↓ ¬␈ε↔p␈↓ λ7␈ε↔p
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈απthat␈αλ0␈αλ<␈↓ ∧∧␈ε V␈↓ ∧V␈εβ<␈↓ ¬"␈ε D␈↓ ¬>␈εβ+␈↓ ¬c␈ε U␈↓ ε6␈εβan␈α␈d␈αλ0␈α <␈↓ π8␈ε U␈↓ λ
␈εβ<␈↓ λY␈ε D␈↓ λw␈εβ;␈α moreo␈α}v␈α␈er,␈αλi␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλpa␈α␈ir
␈β⊂3␈↓ ∧⊗␈εn␈↓ ∧'␈εε+1␈↓ ¬x␈εn␈↓ ελ␈εε+1␈↓ πM␈εn␈↓ π↑␈εε+1
␈β⊂J␈↓ ε↑␈∧⊂Jε↑α~␈↓ ?␈∧⊂J ?α~
␈β⊂K␈↓ ε=␈ε↔p␈↓ ≡␈ε↔p
␈β⊂L␈↓ ∧→␈ε~0␈↓ ∧F␈ε~0␈↓ εβ␈ε~0␈↓ π9␈ε~0␈↓ λd␈ε~0␈↓
M␈ε~0
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε U␈↓ α≡␈εβ,␈↓ α-␈ε V␈↓ αv␈εβ)␈απfollo␈α␈ws␈αλ(␈↓ β}␈ε U␈↓ ∧∨␈εβ,␈↓ ∧.␈ε V␈↓ ∧L␈εβ)␈αλwith␈απ0␈α <␈↓ ¬k␈ε V␈↓ ε∪␈εβ<␈↓ ε↑␈ε D␈↓ εz␈εβ+␈↓ π≡␈ε U␈↓ πG␈εβa␈α␈nd␈απ0␈α <␈↓ λH␈ε U␈↓ λs␈εβ<␈↓ ?␈ε D␈↓ X␈εβ,␈αλthen␈↓
2␈ε U␈↓
\␈εβ=␈↓ π␈ε U
␈β⊂Z␈↓ ↓h␈εn␈↓ ↓x␈εε+␈α↓1␈↓ α?␈εn␈↓ αP␈εε+1␈↓ ≤␈εn
␈β⊂q␈↓
α␈∧⊂q
αα~
␈β⊂s␈↓ α∨␈ε~0␈↓ a␈ε↔p
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε V␈↓ α.␈εβ=␈↓ αY␈ε V␈↓ α|␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈α (␈↓ β{␈ε U␈↓ ∧!␈εβ,␈↓ ∧0␈ε V␈↓ ∧S␈εβ)␈ε⊂␈α
is␈α
p␈α␈art␈α of␈α
th␈α␈e␈α
cy␈α}cle␈α
if␈α
an␈α␈d␈α only␈α if␈↓ λF␈εβ0␈αλ<␈↓
␈ε V␈↓ 6␈εβ<␈↓
α␈ε D␈↓
!␈εβ+␈↓
G␈ε U␈↓
w␈ε⊂a␈α␈nd
␈β⊃α␈↓ αk␈εn␈↓ ∧⊃␈εn␈↓ ∧B␈εn␈↓ ≤␈εn␈↓
]␈εn
␈β⊃→␈↓ βπ␈∧⊃→βπα~
␈β⊃~␈↓ αe␈ε↔p
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβ0␈α <␈↓ α␈ε U␈↓ α;␈εβ<␈↓ βπ␈ε D␈↓ β ␈ε⊂.
␈β⊃*␈↓ α!␈εn
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα579
␈βα∨␈↓ βP␈ε↔␈␈↓ βq␈ε V␈↓ ε?␈εβ(␈↓ εK␈ε q␈↓ εg␈ε X␈↓ π
␈ε↔␈␈↓ π3␈ε p␈↓ πS␈εβ)(␈↓ πi␈ε q␈↓ λ¬␈ε Y␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λN␈ε p␈↓ λn␈εβ)
␈βα*␈↓ ∧∧␈εn␈↓ ∧∀␈εε+1␈↓ εW␈εn␈↓ πB␈εn␈↓ πu␈εn␈↓ λ↑␈εn
␈βα5␈↓ α␈εβ(c)␈↓ ∧G␈εβ=␈↓ ∧q␈ε X␈↓ ¬→␈ε Y␈↓ ¬F␈εβ=␈↓ H␈εβ.
␈βα@␈↓ ¬λ␈εn␈↓ ¬,␈εn
␈βαD␈↓ βP␈∧αDβPαj␈↓ ¬t␈∧αD¬tαβQ
␈βαM␈↓ βs␈ε V␈↓ ¬t␈εβ(␈↓ ¬␈␈ε q␈↓ εA␈ε X␈↓ εd␈ε↔␈␈↓ π
␈ε p␈↓ πS␈εβ)(␈↓ πi␈ε q␈↓ λ+␈ε Y␈↓ λK␈ε↔␈␈↓ λt␈ε p␈↓ :␈εβ)
␈βαX␈↓ ∧ε␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ ε≠␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π≤␈εn␈↓ π-␈ε~␈␈εε1␈↓ πu␈εn␈↓ λ¬␈ε~␈␈εε1␈↓ β␈εn␈↓ ∀␈ε~␈␈εε1
␈ββ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈ere␈αis␈αalso␈αa␈α
comp␈α␈an␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αide␈α␈n␈α␈tity,␈αn␈α␈amely
␈ββA␈↓ ε}␈εε2␈↓ m␈εn
␈ββD␈↓ εK␈εα(␈↓ λπ␈εα)
␈ββG␈↓ αH␈ε V␈↓ α←␈ε p␈↓ β␈ε p␈↓ βM␈εβ+␈↓ βu␈ε U␈↓ ∧⊃␈εβ(␈↓ ∧≤␈ε p␈↓ ∧<␈ε q␈↓ ¬¬␈εβ+␈↓ ¬.␈ε p␈↓ ¬t␈ε q␈↓ ε⊂␈εβ)␈αλ+␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε U␈↓ π∩␈ε↔␈␈↓ π:␈ε D␈↓ πS␈εβ)/␈↓ πo␈ε V␈↓ λ∪␈ε q␈↓ λ/␈ε q␈↓ λ{␈εβ=␈α (␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ b␈εβ)␈↓ }␈ε U␈↓
#␈εβ.
␈ββQ␈↓ αo␈εn␈↓ β∂␈εn␈↓ β ␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧+␈εn␈↓ ∧H␈εn␈↓ ∧X␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ¬N␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈εn␈↓ λ∨␈εn␈↓ λ;␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε1␈↓
∪␈εn
␈β∧
␈↓ α␈εβ(d)␈α⊂If␈↓ αf␈ε X␈↓ β⊗␈εβ=␈↓ βA␈ε X␈↓ βz␈εβfo␈α␈r␈α
some␈↓ ∧␈␈ε n␈↓ ¬≤␈ε↔≤␈↓ ¬F␈ε m␈↓ ¬d␈εβ,␈α
then␈↓ εB␈ε X␈↓ εh␈εβis␈α
an␈α i␈α↓rra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈α
th␈α␈at␈α
satis|␈α␈es␈α
the
␈β∧_␈↓ α⎇␈εn␈↓ βX␈εm
␈β∧5␈↓ ↓H␈εβq␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈αe␈α␈qua␈α␈tion␈α(␈↓ βn␈ε q␈↓ ∧
␈ε X␈↓ ∧-␈ε↔␈␈↓ ∧V␈ε p␈↓ ∧v␈εβ)/␈α␈(␈↓ ¬≥␈ε q␈↓ ¬←␈ε X␈↓ εα␈ε↔␈␈↓ ε*␈ε p␈↓ εp␈εβ)␈α =␈α
(␈↓ π:␈ε q␈↓ π]␈ε X␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ)␈ε p␈↓ λP␈εβ)/(␈↓ λw␈ε q␈↓ @␈ε X␈↓ c␈ε↔␈␈↓
␈ε p␈↓
X␈εβ)␈α↓.
␈β∧?␈↓ βz␈εn␈↓ ∧e␈εn␈↓ ¬)␈εn␈↓ ¬9␈ε~␈␈εε1␈↓ ε:␈εn␈↓ εJ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ πF␈εm␈↓ λ9␈εm␈↓ β␈εm␈↓ ~␈ε~␈␈εε1␈↓
≠␈εm␈↓
3␈ε~␈␈εε1
␈β∧f␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβAs␈α⊃in␈α⊂ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α⊂9,␈α∩w␈α␈e␈α⊃ne␈α␈ed␈α⊃o␈α␈nly␈α⊂v␈α␈erify␈α⊂the␈α⊂stated␈α⊂iden␈α}tities␈α⊃whe␈α␈n␈↓ u␈ε c␈↓
∪␈εβis␈α⊃th␈α␈e␈α⊃las␈α␈t
␈β¬∞␈↓ ↓H␈εβp␈α␈artial␈α⊃quo␈α␈tien␈α␈t,␈α∪an␈α␈d␈α⊃this␈α∩v␈α}eri|c␈α␈ation␈α⊃is␈α∩triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓.␈α≡No␈α␈w␈α∩Hu␈α␈rwitz's␈α∩ru␈α␈l␈α↓e␈α⊃giv␈α␈e␈α␈s␈α∩2␈α␈/␈↓
j␈ε e␈↓ ␈εβ=
␈β¬5␈↓ ↓H␈ε↔?␈εβ␈α␈1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε2␈α␈,␈αε0,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε1,␈α¬1,␈αε0␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε2,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε3,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε2␈α␈,␈αε5,␈↓ π,␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πX␈ε↔?␈εβ.␈α
Tak␈α␈ing␈απthe␈απrecip␈α␈roca␈α␈l␈α↓,␈αλcollap␈α␈s-
␈β¬]␈↓ ↓H␈εβin␈α␈g␈αo␈α␈ut␈α
the␈α
zeros␈α
as␈αin␈α
ex␈α}ercise␈α9␈α␈,␈αan␈α␈d␈αt␈α␈akin␈α␈g␈αn␈α␈ote␈α
of␈αth␈α␈e␈αp␈α␈atte␈α␈rn␈αth␈α␈at␈α
ap␈α␈pea␈α␈rs,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd
␈βε␈↓ ¬T␈∧ε¬Tααj
␈βε∧␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αex␈α}ercise␈α16␈α␈)␈αtha␈α␈t␈↓ β{␈ε e␈↓ ∧λ␈εβ/2␈α =␈α 1␈απ+␈ε↔␈αλ?␈εβ␈α¬2,␈↓ ¬T␈εβ2␈↓ ¬d␈ε m␈↓ ε ␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αε3,␈αε1␈α␈,␈αε2␈↓ π!␈ε m␈↓ πE␈εβ+␈αλ1,␈αε1␈α␈,␈αε3␈↓ λ>␈ε↔?␈εβ␈α␈,␈↓ λc␈ε m␈↓ ␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.␈α~[␈ε⊂S␈α␈chriften␈α
de␈α␈r
␈βε,␈↓ ↓H␈ε⊂p␈α␈h␈α␈y␈α␈s.-␈↓ α ␈ε⊂∪␈↓ α ␈ε⊂o␈↓ α0␈ε⊂k␈α␈o␈α␈n.␈αGesellsch␈α␈aft␈αzu␈αK␈↓ ∧y␈ε⊂∪␈↓ ∧y␈ε⊂o␈↓ ¬ ␈ε⊂nigsb␈α␈erg␈ε∪␈α3␈α␈2␈εβ␈α(18␈α␈91),␈α59␈α␈↑62␈α␈.␈α↓]
␈βεZ␈↓ α␈εα(
␈βε]␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α_␈εβThis␈α∞p␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈α∞ma␈α␈i␈α↓n␈α}tains␈α
f␈α↓o␈α␈ur␈α∞in␈α}tegers␈α
(␈↓ εp␈ε A␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π∃␈ε B␈↓ π,␈εβ,␈↓ π;␈ε C␈↓ πU␈εβ,␈↓ πd␈ε D␈↓ π⎇␈εβ)␈α∞wi␈α↓th␈α
th␈α␈e␈α∞in␈α␈v␈α␈arian␈α}t␈α∞mean␈α␈ing
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
\␈α␈ou␈α␈r␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αjob␈αi␈α↓s␈α
to␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fra␈α␈ction␈αfor␈α
(␈↓ π␈ε A␈↓ ≥␈ε y␈↓ 8␈εβ+␈↓ b␈ε B␈↓ x␈εβ)/(␈↓
∨␈ε C␈↓
:␈ε y␈↓
U␈εβ+␈↓
␈␈ε D␈↓ _␈εβ),
␈βπ)␈↓ ¬B␈εα)
␈βπ,␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε y␈↓ αG␈εβis␈αthe␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈αy␈α}et␈αto␈αco␈α␈me."␈↓ ¬h␈εβInitially␈αset␈↓ π≠␈ε j␈↓ π4␈ε↔ ␈↓ π←␈ε k␈↓ πz␈ε↔ ␈εβ␈α
0,␈α(␈↓ λV␈ε A␈↓ λl␈εβ,␈↓ λ{␈ε B␈↓ ⊃␈εβ,␈↓ ␈ε C␈↓ ;␈εβ,␈↓ J␈ε D␈↓ c␈εβ)␈ε↔␈α
␈εβ␈α(␈↓
/␈ε a␈↓
?␈εβ,␈↓
N␈ε b␈↓
[␈εβ,␈↓
j␈ε c␈↓
w␈εβ,␈↓ ε␈ε d␈↓ _␈εβ);
␈βπT␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈α∂in␈α␈pu␈α␈t␈↓ αt␈ε x␈↓ β∨␈εβan␈α␈d␈α∂se␈α␈t␈α⊂(␈↓ ∧'␈ε A␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧L␈ε B␈↓ ∧b␈εβ,␈↓ ∧q␈ε C␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬~␈ε D␈↓ ¬3␈εβ)␈ε↔␈α⊃ ␈εβ␈α⊂(␈↓ ε␈ε A␈↓ ε!␈ε x␈↓ εG␈εβ+␈↓ εr␈ε B␈↓ πλ␈εβ,␈↓ π↔␈ε A␈↓ π-␈εβ,␈↓ π<␈ε C␈↓ πW␈ε x␈↓ π⎇␈εβ+␈↓ λ(␈ε D␈↓ λA␈εβ,␈↓ λP␈ε C␈↓ λk␈εβ),␈↓ ∂␈ε j␈↓ .␈ε↔ ␈↓ ←␈ε j␈↓ x␈εβ+␈α1␈α␈,␈α⊃o␈α␈ne␈α∂o␈α␈r
␈βπ←␈↓ β∧␈εj␈↓ ε0␈εj␈↓ πf␈εj
␈βπy␈↓ π$␈εα(
␈βπ|␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ore␈αtimes␈αu␈α␈n␈α␈til␈↓ βB␈ε C␈↓ βe␈εβ+␈↓ ∧
␈ε D␈↓ ∧1␈εβhas␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αsign␈αa␈α␈s␈↓ εf␈ε C␈↓ π↓␈εβ.␈↓ π0␈εβWh␈α␈en␈↓ λ⊂␈ε j␈↓ λ(␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈e␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈αha␈α␈s␈αno␈α␈t
␈βλ#␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rmina␈α␈ted,␈αλw␈α␈e␈απkn␈α␈o␈α␈w␈αλth␈α␈at␈απ1␈α <␈↓ ¬α␈ε y␈↓ ¬≡␈εβ<␈ε↔␈α
1␈εβ;␈α an␈α␈d␈απwhe␈α␈n␈↓ π␈ε C␈↓ π*␈εβ+␈↓ πM␈ε D␈↓ πn␈εβh␈α␈as␈απthe␈απsa␈α␈me␈απsi␈α↓g␈α␈n␈απas␈↓
⊂␈ε C␈↓
2␈εβw␈α␈e␈αλk␈α␈no␈α}w
␈βλH␈↓ l␈εα)
␈βλK␈↓ ↓H␈εβth␈α␈erefo␈α␈re␈α th␈α␈at␈αλ(␈↓ β#␈ε A␈↓ β9␈ε y␈↓ βO␈εβ+␈↓ βu␈ε B␈↓ ∧␈εβ)/(␈↓ ∧2␈ε C␈↓ ∧M␈ε y␈↓ ∧c␈εβ+␈↓ ¬ ␈ε D␈↓ ¬"␈εβ)␈α lies␈α b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αλ(␈↓ εu␈ε A␈↓ π∂␈εβ+␈↓ π5␈ε B␈↓ πK␈εβ)/(␈↓ πr␈ε C␈↓ λ⊃␈εβ+␈↓ λ6␈ε D␈↓ λO␈εβ)␈α an␈α␈d␈↓ !␈ε A␈↓ 8␈εβ/␈↓ H␈ε C␈↓ c␈εβ.␈↓
␈εβNo␈α␈w␈αλcome␈α␈s
␈βλr␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αge␈α␈nera␈α␈l␈αstep:␈αIf␈αno␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αl␈α↓ies␈αs␈α␈tri␈α↓c␈α␈tl␈α↓y␈α
be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α(␈↓ π7␈ε A␈↓ πT␈εβ+␈↓ π⎇␈ε B␈↓ λ∪␈εβ)/(␈↓ λ:␈ε C␈↓ λ\␈εβ+␈↓ ¬␈ε D␈↓ ≡␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ t␈ε A␈↓
␈εβ/␈↓
≠␈ε C␈↓
6␈εβ,␈αout␈α␈pu␈α␈t
␈β ~␈↓ ↓H␈ε X␈↓ ↓v␈ε↔ ␈αb␈↓ α/␈ε A␈↓ αE␈εβ/␈↓ αU␈ε C␈↓ αp␈ε↔c␈εβ,␈αan␈α␈d␈αs␈α␈et␈α(␈↓ ∧∪␈ε A␈↓ ∧)␈εβ,␈↓ ∧8␈ε B␈↓ ∧N␈εβ,␈↓ ∧]␈ε C␈↓ ∧x␈εβ,␈↓ ¬π␈ε D␈↓ ¬ ␈εβ)␈ε↔␈α
␈εβ␈α
(␈↓ ¬l␈ε C␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε∃␈ε D␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε A␈↓ ε[␈ε↔␈␈↓ π∧␈ε X␈↓ π(␈ε C␈↓ πC␈εβ,␈↓ πR␈ε B␈↓ πp␈ε↔␈␈↓ λ→␈ε X␈↓ λ=␈ε D␈↓ λW␈εβ),␈↓ λw␈ε k␈↓ ⊃␈ε↔ ␈↓ =␈ε k␈↓ U␈εβ+␈αλ1␈α␈;␈α
o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈β %␈↓ ↓←␈εk␈↓ π≠␈εk␈↓ λ0␈εk
␈β B␈↓ ↓H␈εβin␈α␈pu␈α␈t␈↓ α!␈ε x␈↓ αG␈εβan␈α␈d␈αset␈α(␈↓ βG␈ε A␈↓ β]␈εβ,␈↓ βl␈ε B␈↓ ∧α␈εβ,␈↓ ∧⊃␈ε C␈↓ ∧,␈εβ,␈↓ ∧;␈ε D␈↓ ∧T␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α
(␈↓ ¬≡␈ε A␈↓ ¬4␈ε x␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ε␈ε B␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ ε%␈ε A␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εJ␈ε C␈↓ εe␈ε x␈↓ πλ␈εβ+␈↓ π0␈ε D␈↓ πI␈εβ,␈↓ πX␈ε C␈↓ πs␈εβ),␈↓ λ∪␈ε j␈↓ λ+␈ε↔ ␈↓ λV␈ε j␈↓ λl␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈αThe␈α
gen␈α␈eral␈αstep
␈β L␈↓ α0␈εj␈↓ ¬D␈εj␈↓ εt␈εj
␈β i␈↓ ↓H␈εβis␈α
re␈α␈pea␈α␈ted␈αad␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈itum.␈α⊂Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∞if␈α
at␈αan␈α␈y␈αtime␈αthe␈ε⊂␈α|n␈α␈al␈↓ λ5␈ε x␈↓ λ↑␈εβis␈α
in␈α␈pu␈α␈t,␈α∞th␈α␈e␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β t␈↓ λE␈εj
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εβimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α s␈α␈w␈α↓itch␈α␈es␈α gea␈α␈rs:␈αIt␈α ou␈α␈tpu␈α␈ts␈α
t␈α␈he␈α con␈α}tin␈α␈ue␈α␈d␈α fraction␈αλf␈α↓o␈α␈r␈α
(␈↓ β␈ε A␈↓ →␈ε x␈↓ :␈εβ+␈↓ `␈ε B␈↓ v␈εβ)/(␈↓
≥␈ε C␈↓
8␈ε x␈↓
Y␈εβ+␈↓
␈␈ε D␈↓ _␈εβ),
␈β
≠␈↓ (␈εj␈↓
G␈εj
␈β
8␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m,␈αan␈α␈d␈αtermin␈α␈ates.
␈β
`␈↓ α␈εβThe␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈wing␈α∞t␈α␈ablea␈α␈u␈α∞sho␈α}ws␈α∂th␈α␈e␈α∞w␈α␈ork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞for␈α∞the␈α∞req␈α␈uest␈α␈ed␈α∞ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α⊂wh␈α␈ere␈α∞the
␈β
f␈↓ α4␈ε↓␈␈↓ α␈␈ε↓↓
␈β␈↓ αG␈εB␈↓ αh␈εA
␈βλ␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈↓ β_␈εβb␈α␈egins␈α
at␈α
th␈α␈e␈αu␈α␈pp␈α␈er␈α
l␈α↓eft␈α
co␈α␈rner,␈αt␈α␈hen␈α
sh␈α␈if␈α↓t␈α␈s␈αrigh␈α}t␈αo␈α␈ne␈α
on␈α
in␈α␈pu␈α␈t,␈αdo␈α}w␈α↓n␈α one
␈β_␈↓ αF␈εD␈↓ αg␈εC
␈β/␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αou␈α␈tp␈α␈ut:
␈βn␈↓ αB␈∧nαBαλK
␈βp␈↓ αA␈∧pαAα␈↓ ␈∧pα
␈βz␈↓ αA␈∧zαA(α␈↓ ␈∧z(α
␈β↓␈↓ βα␈ε x␈↓ βW␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧e␈εβ5␈↓ ¬Q␈εβ1␈↓ ε=␈εβ1␈↓ π)␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ ↓␈εβ1␈↓ m␈εβ2␈↓
H␈ε↔1
␈β␈↓ β⊃␈εj
␈β"␈↓ αA␈∧"αAα␈↓ ␈∧"α
␈β,␈↓ ↓h␈∧,↓hα %
␈β.␈↓ ↓h␈∧.↓hα␈↓ αA␈∧.αAα␈↓ ␈∧.α
␈β9␈↓ ↓h␈∧9↓h(α␈↓ αA␈∧9αA(α␈↓ ␈∧9(α
␈β@␈↓ α␈ε X␈↓ α|␈εβ39␈↓ βh␈εβ97␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ58␈↓ ¬∞␈ε↔␈␈εβ193
␈βJ␈↓ α#␈εk
␈β`␈↓ ↓h␈∧`↓h(α␈↓ αA␈∧`αA(α␈↓ ␈∧`(α
␈βg␈↓ ↓}␈ε↔␈␈εβ2␈↓ α[␈ε↔␈␈εβ25␈↓ βG␈ε↔␈␈εβ62␈↓ ∧T␈εβ37␈↓ ¬/␈εβ123
␈β
λ␈↓ ↓h␈∧
λ↓h(α␈↓ αA␈∧
λαA(α␈↓ ␈∧
λ(α
␈β
∂␈↓ α∨␈εβ2␈↓ ∧T␈εβ16␈↓ ¬@␈εβ53
␈β
0␈↓ ↓h␈∧
0↓h(α␈↓ αA␈∧
0αA(α␈↓ ␈∧
0(α
␈β
7␈↓ α∨␈εβ3␈↓ ∧e␈εβ5␈↓ ¬@␈εβ17␈↓ ε,␈εβ22␈↓ π_␈εβ39
␈β
W␈↓ ↓h␈∧
W↓h(α␈↓ αA␈∧
WαA(α␈↓ ␈∧
W(α
␈β
↑␈↓ α∨␈εβ7␈↓ ∧e␈εβ1␈↓ ¬Q␈εβ2␈↓ ε=␈εβ3␈↓ π)␈εβ5␈↓ λ∃␈εβ8
␈β
␈␈↓ ↓h␈∧
␈↓h(α␈↓ αA␈∧
␈αA(α␈↓ ␈∧
␈(α
␈β∞ε␈↓ α∨␈εβ1␈↓ ε=␈εβ1␈↓ π)␈εβ4␈↓ λ∃␈εβ5␈↓ λp␈εβ14
␈β∞&␈↓ ↓h␈∧∞&↓h(α␈↓ αA␈∧∞&αA(α␈↓ ␈∧∞&(α
␈β∞-␈↓ α∨␈εβ1␈↓ π)␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ3␈↓ ↓␈εβ7
␈β∞N␈↓ ↓h␈∧∞N↓h(α␈↓ αA␈∧∞NαA(α␈↓ ␈∧∞N(α
␈β∞U␈↓ α∨␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ ↓␈εβ7␈↓ m␈εβ9␈↓
H␈εβ25
␈β∞v␈↓ ↓h␈∧∞v↓h(α␈↓ αA␈∧∞vαA(α␈↓ ␈∧∞v(α
␈β∞⎇␈↓ α∂␈εβ1␈α␈3␈↓ λ∃␈εβ1␈↓ ↓␈εβ0␈↓ m␈εβ1␈↓
Y␈εβ2
␈β∂≥␈↓ ↓h␈∧∂≥↓h(α␈↓ αA␈∧∂≥αA(α␈↓ ␈∧∂≥(α
␈β∂$␈↓ α∨␈εβ2␈↓
Y␈εβ1
␈β∂E␈↓ ↓h␈∧∂E↓h(α␈↓ αA␈∧∂EαA(α␈↓ ␈∧∂E(α
␈β∂L␈↓ α∂␈ε↔1␈↓
Y␈εβ0
␈β∂m␈↓ ↓h␈∧∂m↓hα␈↓ αA␈∧∂mαAα␈↓ ␈∧∂mα
␈β∂w␈↓ ↓h␈∧∂w↓hα %
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβM␈α␈.␈αMe␈α␈nd␈↓ αJ␈εβ␈
␈↓ αK␈εβe␈↓ αZ␈εβs␈αFra␈α␈nce␈αh␈α␈as␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αth␈α␈at␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αqu␈α␈otien␈α}ts␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈αper␈αqu␈α␈otien␈α}t␈αin␈α␈pu␈α␈t
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβis␈α
asy␈α␈mpt␈α␈otically␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
1/␈↓ ¬p␈ε r␈↓ ε ␈εβa␈α␈nd␈↓ εI␈ε r␈↓ εW␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πJ␈ε r␈↓ πb␈εβ=␈α
2␈ε↔␈α␈b␈↓ λ*␈ε K␈↓ λF␈εβ(␈ε↔j␈↓ λZ␈ε a␈↓ λk␈ε d␈↓ β␈ε↔␈␈↓ +␈ε b␈↓ 8␈ε c␈↓ E␈ε↔j␈εβ␈α↓)/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈αε+␈απ1␈α
an␈α␈d␈↓ ⊃␈ε K
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈αin␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α38;␈αth␈α␈i␈α↓s␈αbo␈α␈un␈α␈d␈αis␈αb␈α␈est␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈.␈α≠[␈ε⊂T␈α↓o␈α␈pics␈αi␈α↓n␈αNu␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε⊂Th␈α␈eory␈εβ␈α␈,␈αed.␈αby␈α
P␈α↓.␈αTu␈α␈r␈↓ ∧␈εβ∞␈↓ ∧␈εβa␈↓ ∧≤␈εβn,␈ε⊂␈αCo␈α␈l␈α↓loq␈α␈uia␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈αJ␈↓ π∩␈ε⊂∞␈↓ π∩␈ε⊂a␈↓ π"␈ε⊂nos␈αBo␈α␈l␈α↓y␈α␈ai␈ε∪␈α13␈εβ␈α(1␈α␈976␈α␈),␈α1␈α␈83↑␈α␈194␈α␈.␈α↓]
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα580␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.3
␈βα+␈↓ α␈εβThe␈α∞abo␈α}v␈α␈e␈α∂a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α∞can␈α∞be␈α∂g␈α␈en␈α␈eralized␈α∞to␈α∂com␈α␈pu␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∂con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α∂frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂fo␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε a␈↓ ↓c␈ε x␈↓ ↓u␈ε y␈↓ α∂␈εβ+␈↓ α9␈ε b␈↓ αF␈ε x␈↓ α`␈εβ+␈↓ β ␈ε c␈↓ β⊗␈ε y␈↓ β1␈εβ+␈↓ βZ␈ε d␈↓ βm␈εβ)/␈α␈(␈↓ ∧∪␈ε A␈↓ ∧*␈ε x␈↓ ∧;␈ε y␈↓ ∧V␈εβ+␈↓ ∧␈␈ε B␈↓ ¬∃␈ε x␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬Y␈ε C␈↓ ¬s␈ε y␈↓ ε∞␈εβ+␈↓ ε8␈ε D␈↓ εQ␈εβ)␈αfrom␈αth␈α␈ose␈αof␈↓ λ9␈ε x␈↓ λW␈εβa␈α␈nd␈↓ →␈ε y␈↓ 7␈εβ(i␈α↓n␈αp␈α␈articu␈α␈lar,␈α
to
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈αsu␈α␈ms␈αan␈α␈d␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈α␈)␈α↓;␈αsee␈αR.␈αW.␈αG␈α␈ospe␈α␈r,␈αto␈α
app␈α␈ea␈α␈r.
␈ββ'␈↓
∧␈εε3
␈ββ+␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβIt␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ π⊗␈ε f␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε z␈↓ πJ␈εβ)␈α =␈↓ λ ␈ε z␈↓ λ↔␈εβ/␈α␈(2␈↓ λC␈ε n␈↓ λ↑␈εβ+␈αλ1)␈απ+␈↓ S␈ε O␈↓ k␈εβ(␈↓ v␈ε z␈↓
⊃␈εβ)␈αis␈αan␈αo␈α␈dd
␈ββ6␈↓ π ␈εn
␈ββS␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
wi␈α↓th␈α
a␈α
c␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈n␈α␈t␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α
series␈α
in␈α
a␈α∞n␈α␈eigh␈α}bo␈α␈rhoo␈α␈d␈α
of␈α
the␈α
origin␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈at␈α
it
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈tis|es␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αd␈α␈i␈α↓{eren␈α}tial␈αequ␈α␈ation␈α␈.␈αHen␈α␈ce
␈β∧;␈↓ βI␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε↔␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εk␈ε~␈␈εε1␈↓ λd␈ε~␈␈εε1
␈β∧@␈↓ α<␈ε f␈↓ αS␈εβ(␈↓ α↑␈ε z␈↓ αl␈εβ)␈α =␈ε↔␈α
?␈↓ β<␈ε z␈↓ βw␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε f␈↓ ∧6␈εβ(␈↓ ∧A␈ε z␈↓ ∧O␈εβ)␈ε↔?␈εβ␈α =␈↓ ¬≡␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬O␈εβ=␈ε↔␈α ?␈↓ ε
␈ε z␈↓ ε=␈εβ,␈αε3␈↓ ε]␈ε z␈↓ π⊂␈εβ,␈↓ π∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πL␈εβ,␈α¬(2␈↓ πv␈ε n␈↓ λ⊃␈εβ+␈αλ1)␈↓ λV␈ε z␈↓ ⊃␈εβ+␈↓ :␈ε f␈↓ z␈εβ(␈↓
¬␈ε z␈↓
∪␈εβ)␈ε↔?␈εβ.
␈β∧K␈↓ αG␈εε0␈↓ ∧)␈εε1␈↓ D␈εn␈↓ T␈εε+1
␈β¬α␈↓ ¬h␈ε~␈␈εε1␈↓ ε;␈ε~␈␈εε1␈↓ λ=␈ε~␈␈εε1
␈β¬ε␈↓ ↓H␈εβIt␈α⊃remain␈α␈s␈α∩to␈α⊃pro␈α}v␈α␈e␈α⊃that␈↓ ∧S␈εβli␈α↓m␈↓ ¬J␈ε↔?␈↓ ¬Z␈ε z␈↓ ε∞␈εβ,␈αε3␈↓ ε-␈ε z␈↓ εa␈εβ,␈↓ εp␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π≤␈εβ,␈αε(2␈↓ πG␈ε n␈↓ πf␈εβ+␈α
1␈α␈)␈↓ λ/␈ε z␈↓ λc␈ε↔?␈εβ␈α∀=␈↓ =␈ε f␈↓ T␈εβ(␈↓ ←␈ε z␈↓ m␈εβ).␈α&[A␈α↓c␈α␈tua␈α␈l␈α↓ly
␈β¬⊃␈↓ ¬↓␈εn␈↓ ¬∩␈ε~!1␈↓ G␈εε0
␈β¬.␈↓ ↓H␈εβEu␈α␈l␈α↓e␈α␈r,␈α
a␈α␈ge␈αλ24,␈α o␈α␈btain␈α␈ed␈αλcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈αλfraction␈αλe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈ns␈αλfor␈α th␈α␈e␈αλcon␈α␈si␈α↓d␈α␈era␈α␈bly␈αλmore␈αλg␈α␈enera␈α␈l
␈β¬Q␈↓ ∧β␈ε~0␈↓ ¬¬␈εm␈↓ ε"␈εm␈↓ ε9␈ε~␈␈εε1␈↓ πV␈εε2
␈β¬V␈↓ ↓H␈εβd␈α␈i{␈α↓er␈α␈en␈α␈tial␈α
e␈α␈qu␈α␈ation␈↓ βs␈ε f␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε z␈↓ ∧(␈εβ)␈α =␈↓ ∧g␈ε a␈↓ ∧w␈ε z␈↓ ¬"␈εβ+␈↓ ¬H␈ε b␈↓ ¬U␈ε f␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈ε z␈↓ ε ␈εβ)␈↓ ε∀␈ε z␈↓ εd␈εβ+␈↓ π␈ε c␈↓ π_␈ε f␈↓ π2␈εβ(␈↓ π=␈ε z␈↓ πK␈εβ)␈↓ πc␈εβ;␈α
bu␈α␈t␈α
h␈α␈e␈α did␈α no␈α␈t␈α
b␈α␈oth␈α␈er␈α
to␈α p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β¬`␈↓ ¬`␈εn␈↓ π"␈εn
␈β¬e␈↓ β␈␈εn
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce,␈απsince␈αεform␈α␈al␈απma␈α␈nipu␈α␈lation␈αεa␈α␈nd␈αεin␈α␈tu␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αεw␈α␈ere␈απg␈α␈oo␈α␈d␈αεeno␈α␈ugh␈αεin␈αεth␈α␈e␈απe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈tee␈α␈n␈α␈th
␈βε%␈↓ ↓H␈εβc␈α␈en␈α␈tu␈α␈ry.]
␈βεL␈↓ α␈εβThe␈α␈re␈αλare␈αλsev␈α}eral␈αλways␈αλto␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλthe␈αλd␈α␈esired␈αλlimiti␈α↓n␈α␈g␈αλequ␈α␈ation␈α␈.␈α
F␈α↓irst,␈α letting␈↓
C␈ε f␈↓
↑␈εβ(␈↓
i␈ε z␈↓
w␈εβ)␈α =
␈βεV␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βεW␈↓
N␈εn
␈βεp␈↓ α;␈εk
␈βεt␈↓ α␈ε a␈↓ α-␈ε z␈↓ αH␈εβ,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αa␈α␈rgue␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈αth␈α␈e␈αequ␈α␈ation
␈βε␈␈↓ α⊂␈εn␈↓ α ␈εk
␈βππ␈↓ ↓n␈εk
␈βπ4␈↓ ∧w␈εε2␈↓ εi␈εε4
␈βπ:␈↓ ↓i␈εβ(2␈↓ α¬␈ε n␈↓ α ␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ αe␈ε a␈↓ β_␈εβ+␈αλ(2␈↓ β]␈ε n␈↓ βx␈εβ+␈αλ3)␈↓ ∧=␈ε a␈↓ ∧i␈ε z␈↓ ¬␈εβ+␈αλ(2␈↓ ¬O␈ε n␈↓ ¬k␈εβ+␈απ5)␈↓ ε/␈ε a␈↓ ε\␈ε z␈↓ ε⎇␈εβ+␈↓ π&␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βπD␈↓ αt␈εn␈↓ β∧␈εε1␈↓ ∧L␈εn␈↓ ∧]␈εε3␈↓ ε?␈εn␈↓ εO␈εε5
␈βπ[␈↓ $␈εε3␈↓
␈εε5␈↓
␈␈εε2
␈βπa␈↓ π)␈εβ=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ λ ␈ε a␈↓ λ<␈ε z␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λz␈ε a␈↓ ⊗␈ε z␈↓ 8␈εβ+␈↓ `␈ε a␈↓ ⎇␈ε z␈↓
≡␈εβ+␈↓
G␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓
s␈εβ)
␈βπl␈↓ λ/␈εε1␈↓ ␈εε3␈↓ p␈εε5
␈βλ#␈↓ αV␈εk␈↓ λ&␈εk␈↓ λ3␈εε+1
␈βλ'␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α (␈ε↔␈␈εβ1␈↓ αK␈εβ)␈↓ αc␈ε a␈↓ β]␈εβis␈α a␈α sum␈α o␈α␈f␈α
term␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α form␈↓ π¬␈ε c␈↓ π≡␈εβ/(2␈↓ πK␈ε n␈↓ πd␈εβ+␈α¬1␈↓ λ≠␈εβ)␈↓ λY␈εβ(2␈↓ λt␈ε n␈↓
␈εβ+␈↓ 4␈ε b␈↓ Z␈εβ)␈↓ j␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
↔␈εβ(2␈↓
2␈ε n␈↓
K␈εβ+␈↓
r␈ε b␈↓ _␈εβ),
␈βλ2␈↓ π⊃␈εk␈↓ @␈εk␈↓ M␈εε1␈↓
}␈εk␈↓ ␈εk
␈βλ3␈↓ αs␈εn␈↓ ββ␈εε(␈α↓2␈↓ β_␈εk␈↓ β%␈εε+␈α↓1␈α␈)
␈βλO␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α∞th␈α␈e␈↓ αg␈ε c␈↓ β∞␈εβa␈α␈nd␈↓ βQ␈ε b␈↓ ∧⊂␈εβa␈α␈re␈α∞p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∞in␈α}tegers␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ λ-␈ε n␈↓ λA␈εβ.␈α∀For␈α∞e␈α␈xam␈α␈ple,␈ε↔␈α∂␈␈↓
Q␈ε a␈↓ ␈εβ=
␈βλY␈↓ αs␈εk␈↓ β]␈εk␈↓ βj␈εm␈↓
`␈εn␈↓
q␈εε7
␈βλr␈↓ αW␈εε4␈↓ εb␈εε4␈↓ π]␈εε2
␈βλv␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈/(2␈↓ α¬␈ε n␈↓ α~␈εβ+␈α↓1␈↓ αL␈εβ)␈↓ αd␈εβ(2␈↓ β␈ε n␈↓ β∃␈εβ+␈α↓3␈α␈)(2␈↓ βn␈ε n␈↓ ∧β␈εβ+␈α↓5)(2␈↓ ∧]␈ε n␈↓ ∧q␈εβ+␈α↓7)␈α↓+␈α↓1/␈α␈(2␈↓ ε∂␈ε n␈↓ ε$␈εβ+␈α↓1␈↓ εW␈εβ)␈↓ εn␈εβ(2␈↓ π
␈ε n␈↓ π∨␈εβ+␈α↓3␈↓ πR␈εβ)␈↓ πi␈εβ(␈α↓2␈↓ λ¬␈ε n␈↓ λ~␈εβ+␈α↓7).␈α
Th␈α}us␈ε↔␈αεj␈↓ C␈ε a␈↓
'␈ε↔j␈α ∀␈α
j␈↓
m␈ε a␈↓ ~␈ε↔j␈εβ,
␈β ↓␈↓
|␈εn␈↓
␈εk
␈β α␈↓ S␈εε(␈↓ [␈εn␈↓ k␈εε+1)␈↓
→␈εk
␈β ≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
j␈↓ α⊃␈ε f␈↓ α,␈εβ(␈↓ α7␈ε z␈↓ αE␈εβ)␈ε↔j␈α ∀␈↓ β
␈εβta␈α␈n␈↓ βB␈ε↔j␈↓ βL␈ε z␈↓ βY␈ε↔j␈εβ␈αfor␈ε↔␈αj␈↓ ∧*␈ε z␈↓ ∧8␈ε↔j␈εβ␈α <␈↓ ∧u␈ε →␈↓ ¬π␈εβ/2␈α␈.␈αTh␈α␈is␈αu␈α␈niform␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈αo␈α␈n␈↓ λ_␈ε f␈↓ λ3␈εβ(␈↓ λ>␈ε z␈↓ λL␈εβ)␈α
mak␈α}es␈αth␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce
␈β )␈↓ α≠␈εn␈↓ λ"␈εn
␈β F␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈α
v␈α}ery␈α simp␈α␈le.␈αCa␈α␈reful␈α stud␈α␈y␈α o␈α␈f␈α
th␈α␈is␈α argu␈α␈men␈α}t␈α rev␈α␈e␈α␈als␈α that␈α th␈α␈e␈α po␈α}w␈α␈er␈α series␈α for␈↓
n␈ε f␈↓ λ␈εβ(␈↓ ∀␈ε z␈↓ !␈εβ)
␈β P␈↓
x␈εn
␈β j␈↓ ¬'␈∧ j¬'αf
␈β k␈↓ ¬¬␈ε↔p
␈β m␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y␈αcon␈α␈v␈α}erg␈α␈es␈α∞fo␈α␈r␈ε↔␈α∞j␈↓ ∧!␈ε z␈↓ ∧/␈ε↔j␈εβ␈α
<␈↓ ∧s␈ε →␈↓ ¬'␈εβ2␈↓ ¬7␈ε n␈↓ ¬S␈εβ+␈απ1␈↓ ε␈εβ/2␈α␈;␈α∂this␈α
is␈α∞in␈α}teresting␈α␈,␈α∞since␈α
it␈α
sho␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈α
the
␈β
∃␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈ri␈α↓ties␈α
o␈α␈f␈↓ β,␈ε f␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε z␈↓ β←␈εβ)␈α∞g␈α␈et␈α
farth␈α␈er␈α∞a␈α␈nd␈αf␈α↓a␈α␈rthe␈α␈r␈α∞a␈α␈way␈α
from␈α
th␈α␈e␈α
origin␈α
a␈α␈s␈↓ I␈ε n␈↓ j␈εβgr␈α␈o␈α␈ws,␈α∞so␈α
the
␈β
∨␈↓ β6␈εn
␈β
<␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fraction␈α
actu␈α␈ally␈αrep␈α␈resen␈α}ts␈↓ ¬w␈εβtan␈α␈h␈↓ ε?␈ε z␈↓ εX␈ε⊂thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈εβ␈αthe␈αc␈α␈omp␈α␈lex␈αp␈α␈l␈α↓a␈α␈ne.
␈β
d␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αgiv␈α␈es␈αfu␈α␈rther␈αin␈α␈f␈α↓o␈α␈rmat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αa␈αd␈α␈i{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈αk␈α␈i␈α↓n␈α␈d:␈αIf␈αw␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈t
␈β~␈↓ ∧a␈ε↓X␈↓ π?␈ε↓X
␈β#␈↓ ¬/␈ε↓∩␈↓ ε*␈ε↓∪
␈β%␈↓ β␈εn␈↓ ∀␈ε~␈␈↓ -␈εk
␈β)␈↓ ¬E␈εβ2␈↓ ¬V␈ε n␈↓ ¬q␈ε↔␈␈↓ ε~␈ε k␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε n␈↓ λ#␈εβ+␈↓ λK␈ε k␈↓ λ\␈εβ)!␈↓ λv␈ε z
␈β9␈↓ εT␈εk
␈β?␈↓ β-␈ε A␈↓ βS␈εβ(␈↓ β↑␈ε z␈↓ βk␈εβ)␈α
=␈↓ ∧*␈ε n␈↓ ∧>␈εβ!␈↓ εF␈ε z␈↓ εa␈εβ/␈↓ εr␈ε k␈↓ πα␈εβ!␈α =␈↓ >␈εβ,
␈βJ␈↓ βB␈εn
␈βN␈↓ π|␈∧Nπ|α↓>
␈βW␈↓ ¬n␈ε n␈↓ λ∩␈ε k␈↓ λ"␈εβ!␈αε(␈↓ λ<␈ε n␈↓ λW␈ε↔␈␈↓ ␈ε k␈↓ ⊂␈εβ)!
␈βq␈↓ ∧M␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧s␈εk␈↓ ¬␈ε~∀␈↓ ¬→␈εn␈↓ π?␈εk␈↓ πM␈ε~∃␈εε0
␈β<␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en
␈βl␈↓ βa␈ε↓X
␈βv␈↓ ¬Y␈εα(␈↓ 7␈εα)
␈βy␈↓ ∧≡␈εβ(␈↓ ∧)␈ε n␈↓ ∧E␈εβ+␈↓ ∧n␈ε k␈↓ ¬¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)!␈↓ ¬e␈εβ(4␈↓ ε␈ε n␈↓ ε≤␈εβ+␈απ2)␈↓ ε`␈ε k␈↓ εx␈εβ+␈αλ(␈↓ π,␈ε n␈↓ πG␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ1␈ε k␈↓ λA␈εβ)(␈↓ λW␈ε n␈↓ λs␈ε↔␈␈↓ ≠␈ε k␈↓ ,␈εβ)
␈β
␈↓ Z␈εn␈↓ j␈εε+1␈ε~␈␈↓
)␈εk
␈β
⊃␈↓ α>␈ε A␈↓ β ␈εβ(␈↓ β∀␈ε z␈↓ β"␈εβ)␈↓ β6␈εβ=␈↓ L␈ε z
␈β
≤␈↓ αS␈εn␈↓ αc␈εε+␈α↓1
␈β
∨␈↓ ∧≡␈∧
∨∧≡α¬%
␈β
)␈↓ επ␈ε k␈↓ ε↔␈εβ!␈αε(␈↓ ε1␈ε n␈↓ εL␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ π6␈ε k␈↓ πF␈εβ)!
␈β
B␈↓ βb␈εk␈↓ βo␈ε~∃␈εε0
␈β
o␈↓ ¬d␈εε2
␈β
u␈↓ β6␈εβ=␈α
(4␈↓ β⎇␈ε n␈↓ ∧_␈εβ+␈αλ2)␈↓ ∧]␈ε A␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε z␈↓ ¬≠␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬V␈ε z␈↓ ¬q␈ε A␈↓ ε<␈εβ(␈↓ εG␈ε z␈↓ εU␈εβ).
␈β
␈␈↓ ∧r␈εn␈↓ εε␈εn␈↓ ε⊗␈ε~␈␈εε1
␈β∞5␈↓ ↓H␈εβIt␈αfollo␈α␈ws,␈αby␈α
ind␈α␈uction␈α␈,␈αthat
␈β∞t␈↓ ∧↔␈ε↓∩␈↓ ε#␈ε↓∪
␈β∞{␈↓ ∧1␈εβ1␈↓ ∧X␈εβ3␈↓ ¬:␈εβ2␈↓ ¬K␈ε n␈↓ ¬f␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εq␈ε A␈↓ π⊗␈εβ(2␈↓ π2␈ε z␈↓ π@␈εβ)␈απ+␈↓ π{␈ε A␈↓ λ ␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ2␈↓ λ]␈ε z␈↓ λk␈εβ)
␈β∂¬␈↓ πε␈εn␈↓ λ⊂␈εn
␈β∂⊃␈↓ βq␈ε Q␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ εB␈εβ=␈↓ λz␈εβ,
␈β∂≠␈↓ ∧π␈εn
␈β∂∨␈↓ ∧1␈∧∂∨∧1α⊃␈↓ ∧X␈∧∂∨∧Xα⊃␈↓ ¬:␈∧∂∨¬:αf␈↓ εq␈∧∂∨εqααε
␈β∂&␈↓ πR␈εn␈↓ πb␈εε+1␈↓ λ⊗␈εn
␈β∂(␈↓ ∧2␈ε z␈↓ ∧Y␈ε z␈↓ ¬f␈ε z␈↓ πA␈εβ2␈↓ λλ␈ε z
␈β∂]␈↓ ∧>␈ε↓∩␈↓ ε#␈ε↓∪
␈β∂c␈↓ ∧X␈εβ3␈↓ ¬:␈εβ2␈↓ ¬K␈ε n␈↓ ¬f␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εq␈ε A␈↓ π⊗␈εβ(2␈↓ π2␈ε z␈↓ π@␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ π{␈ε A␈↓ λ ␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ2␈↓ λ]␈ε z␈↓ λk␈εβ)
␈β∂n␈↓ πε␈εn␈↓ λ⊂␈εn
␈β∂y␈↓ βr␈ε Q␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ εB␈εβ=␈↓ λz␈εβ.
␈β⊂∧␈↓ ∧λ␈εn␈↓ ∧_␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊂π␈↓ ∧X␈∧⊂π∧Xα⊃␈↓ ¬:␈∧⊂π¬:αf␈↓ εq␈∧⊂πεqααε
␈β⊂∞␈↓ πR␈εn␈↓ πb␈εε+1␈↓ λ⊗␈εn
␈β⊂⊃␈↓ ∧Y␈ε z␈↓ ¬f␈ε z␈↓ πA␈εβ2␈↓ λλ␈ε z
␈β⊂T␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce
␈β⊂p␈↓ π≥␈ε A␈↓ πC␈εβ(2␈↓ π↑␈ε z␈↓ πl␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λ'␈ε A␈↓ λM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓
␈ε z␈↓ _␈εβ)
␈β⊂{␈↓ π2␈εn␈↓ λ=␈εn
␈β⊃↓␈↓ βc␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧6␈ε~␈␈εε1␈↓ ε/␈ε~␈␈εε1
␈β⊃ε␈↓ βD␈ε↔?␈↓ βU␈ε z␈↓ ∧ ␈εβ,␈α¬3␈↓ ∧(␈ε z␈↓ ∧\␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬↔␈εβ,␈αε(2␈↓ ¬A␈ε n␈↓ ¬]␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ ε!␈ε z␈↓ εU␈ε↔?␈εβ␈α =␈↓ &␈εβ,
␈β⊃∃␈↓ π≥␈∧⊃∃π≥ααε
␈β⊃≡␈↓ π≥␈ε A␈↓ πC␈εβ(2␈↓ π↑␈ε z␈↓ πl␈εβ)␈αλ+␈↓ λ'␈ε A␈↓ λM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓
␈ε z␈↓ _␈εβ)
␈β⊃)␈↓ π2␈εn␈↓ λ=␈εn
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα581
␈βα+␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈is␈αratio␈α
ap␈α␈pro␈α␈ach␈α␈es␈↓ ππ␈εβta␈α␈nh␈↓ πO␈ε z␈↓ π]␈εβ.␈αBy␈α
Eqs.␈α1␈α␈.2.9↑1␈α␈1␈αa␈α␈nd␈α
1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓6␈α␈↑24␈α␈,
␈βαl␈↓ ∧=␈ε↓ ␈↓ πk␈ε↓!
␈βαn␈↓ βT␈ε↓X␈↓ ∧h␈ε↓X␈↓ λ;␈ε↓X
␈βαw␈↓ ¬6␈ε↓∩␈↓ ¬i␈ε↓∪␈↓ ¬␈␈ε↓∩␈↓ εz␈ε↓∪␈↓ λy␈ε↓∩␈↓
↓␈ε↓∪
␈βα⎇␈↓ ¬L␈ε m␈↓ ε∃␈εβ2␈↓ ε&␈ε n␈↓ εA␈ε↔␈␈↓ εj␈ε k␈↓ ∂␈εβ2␈↓ ∨␈ε n␈↓ ;␈ε↔␈␈↓ d␈ε m␈↓
O␈ε n␈↓
c␈εβ!
␈ββ
␈↓ αβ␈εz␈↓ ∧ ␈εm␈↓ πY␈εk␈↓
*␈εm
␈ββ∪␈↓ ↓v␈ε e␈↓ α∞␈ε A␈↓ α4␈εβ(␈ε↔␈␈↓ α`␈ε z␈↓ αn␈εβ)␈α =␈↓ β-␈ε n␈↓ βA␈εβ!␈↓ ∧∩␈ε z␈↓ π⊂␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ1␈↓ πM␈εβ)␈↓ λ␈εβ=␈↓
≤␈ε z␈↓
u␈εβ.
␈ββ≡␈↓ α#␈εn
␈ββ"␈↓
K␈∧β"
Kα'
␈ββ+␈↓ ¬R␈ε k␈↓ ε>␈ε n␈↓ >␈ε n␈↓
K␈ε m␈↓
h␈εβ!
␈ββE␈↓ βP␈εm␈↓ βg␈ε~∃␈εε0␈↓ ∧T␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧z␈εk␈↓ ¬π␈ε~∀␈↓ ¬ ␈εn␈↓ λ6␈εm␈↓ λM␈ε~∃␈εε␈α↓0
␈β∧∩␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce
␈β∧ ␈↓ πT␈ε↓X
␈β∧+␈↓ B␈εk
␈β∧0␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε n␈↓ λ↑␈εβ+␈↓ ε␈ε k␈↓ ↔␈εβ)!␈↓ 1␈ε x
␈β∧@␈↓ α␈␈εz␈↓ εj␈εn␈↓ π␈εε2␈↓ π_␈εn␈↓ π(␈εε+1
␈β∧F␈↓ αr␈ε e␈↓ β
␈ε A␈↓ β0␈εβ(␈ε↔␈␈↓ β\␈ε z␈↓ βj␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧%␈ε A␈↓ ∧K␈εβ(␈↓ ∧V␈ε z␈↓ ∧c␈εβ)␈α
=␈↓ ¬"␈ε R␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬U␈ε z␈↓ ¬c␈εβ)␈α =␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε←␈εβ)␈↓ εz␈ε x␈↓ y␈εβ.
␈β∧P␈↓ β∨␈εn␈↓ ∧:␈εn␈↓ ¬9␈εn
␈β∧T␈↓ λ⊃␈∧∧Tλ⊃α↓e
␈β∧]␈↓ λ⊃␈εβ(2␈↓ λ-␈ε n␈↓ λH␈εβ+␈↓ λq␈ε k␈↓ ␈εβ+␈απ1)!␈↓ \␈ε k␈↓ l␈εβ!
␈β∧w␈↓ πT␈εk␈↓ πa␈ε~∃␈εε␈α↓0
␈β¬7␈↓ β ␈εε2␈↓ β-␈εz␈↓ εB␈εε2␈↓ εO␈εz
␈β¬8␈↓ βw␈εα(␈↓ ¬{␈εα)␈↓ π→␈εα(␈↓ ≥␈εα)
␈β¬;␈↓ ↓H␈εβWe␈αεn␈α␈o␈α␈w␈αεha␈α␈v␈α␈e␈αε(␈↓ β∪␈ε e␈↓ β9␈ε↔␈␈εβ␈α↓1)␈↓ ∧β␈ε A␈↓ ∧(␈εβ(2␈↓ ∧D␈ε z␈↓ ∧R␈εβ)␈α↓+␈↓ ¬␈ε A␈↓ ¬%␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ¬b␈ε z␈↓ ¬p␈εβ)␈↓ ελ␈ε↔␈␈εβ␈α↓(␈↓ ε5␈ε e␈↓ ε[␈εβ+␈α↓1)␈↓ π%␈ε A␈↓ πJ␈εβ(␈α↓2␈↓ πf␈ε z␈↓ πt␈εβ)␈ε↔␈α↓␈␈↓ λ"␈ε A␈↓ λH␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ ¬␈ε z␈↓ ∩␈εβ)␈↓ 3␈εβ=␈α 2␈↓ n␈ε R␈↓
∃␈εβ(2␈↓
1␈ε z␈↓
?␈εβ);␈αλhe␈α␈nce
␈β¬F␈↓ ∧_␈εn␈↓ ¬∃␈εn␈↓ π:␈εn␈↓ λ7␈εn␈↓
¬␈εn
␈βε␈↓ λ-␈εβ2␈↓ λ=␈ε R␈↓ λe␈εβ(2␈↓ ␈ε z␈↓ ∞␈εβ)
␈βε␈↓ λT␈εn
␈βε⊃␈↓ β\␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ε(␈ε~␈␈εε1
␈βε↔␈↓ α7␈εβtanh␈↓ β␈ε z␈↓ β∃␈ε↔␈␈απ?␈↓ βN␈ε z␈↓ ∧α␈εβ,␈α¬3␈↓ ∧!␈ε z␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬⊂␈εβ,␈αε(2␈↓ ¬:␈ε n␈↓ ¬V␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ε~␈ε z␈↓ εN␈ε↔?␈εβ␈α =␈↓
3␈εβ.
␈βε%␈↓ π⊗␈∧ε%π⊗αβ~
␈βε,␈↓ π⊗␈εα(␈↓ (␈εα)
␈βε-␈↓ L␈εε2␈↓ Y␈εz
␈βε/␈↓ π"␈ε A␈↓ πH␈εβ(2␈↓ πc␈ε z␈↓ πq␈εβ)␈αλ+␈↓ λ,␈ε A␈↓ λR␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ ∂␈ε z␈↓ ≥␈εβ)␈↓ 4␈εβ(␈↓ ?␈ε e␈↓ k␈εβ+␈αλ1)
␈βε:␈↓ π7␈εn␈↓ λB␈εn
␈βεr␈↓
2␈εε2␈↓
>␈εz
␈βεv␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈α␈n␈αexa␈α␈ct␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αfor␈αthe␈αdi{eren␈α␈ce.␈αW␈α↓h␈α␈en␈ε↔␈αj␈↓ λ_␈ε z␈↓ λ&␈ε↔j␈α
∀␈εβ␈α1␈α␈,␈αthe␈αfac␈α␈tor␈↓
%␈ε e␈↓
Q␈εβ+␈αλ1␈αis
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αa␈α␈way␈αfro␈α␈m␈αzero␈α␈,␈ε↔␈αj␈↓ ∧N␈ε R␈↓ ∧u␈εβ(␈α↓2␈↓ ¬⊃␈ε z␈↓ ¬∨␈εβ)␈ε↔j␈α
∀␈↓ ¬g␈ε e␈↓ ¬t␈ε n␈↓ ελ␈εβ!/(2␈↓ ε>␈ε n␈↓ εY␈εβ+␈αλ1)!,␈αan␈α␈d
␈βπ)␈↓ ∧e␈εn
␈βπa␈↓ ¬O␈ε↓ ␈↓
⊃␈ε↓!
␈βπl␈↓ ¬f␈ε↓∩␈↓ ε!␈ε↓∪␈↓ εg␈ε↓∩␈↓ πb␈ε↓∪␈↓ λ(␈ε↓∩␈↓ $␈ε↓∪
␈βπr␈↓ ¬|␈εβ2␈↓ ε
␈ε n␈↓ ε⎇␈εβ2␈↓ π∞␈ε n␈↓ π)␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ λ>␈εβ2␈↓ λO␈ε n␈↓ λk␈ε↔␈␈εβ␈απ4
␈βλ¬␈↓ αP␈εε1
␈βλλ␈↓ α`␈ε↔j␈↓ αi␈ε A␈↓ β∂␈εβ(2␈↓ β+␈ε z␈↓ β9␈εβ)␈απ+␈↓ βt␈ε A␈↓ ∧→␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ∧V␈ε z␈↓ ∧d␈εβ)␈ε↔j␈↓ ¬α␈ε↔∃␈↓ ¬,␈ε n␈↓ ¬@␈εβ!␈↓ ε>␈ε↔␈␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ A␈ε↔␈␈↓ j␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βλ∪␈↓ α␈␈εn␈↓ ∧ ␈εn
␈βλ⊗␈↓ αP␈∧λ⊗αPα
␈βλ_␈↓ αP␈εε2
␈βλ ␈↓ ε∧␈ε n␈↓ π&␈ε n␈↓ λg␈ε n
␈βλ]␈↓ ¬0␈εβ(2␈↓ ¬L␈ε n␈↓ ¬`␈εβ)!␈↓ λH␈εβ2␈↓ λ`␈εβ(2␈↓ λ{␈ε n␈↓ ∂␈εβ)!
␈βλo␈↓ εG␈εε1␈↓ π∩␈εε1
␈βλs␈↓ ¬α␈ε↔∃␈↓ ¬x␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε←␈ε↔␈␈↓ π0␈ε↔␈␈↓ πY␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ¬␈εβ)␈↓ λ→␈εβ=␈↓ '␈εβ.
␈β ↓␈↓ ¬0␈∧ ↓¬0αE␈↓ εG␈∧ ↓εGα
␈↓ π␈∧ ↓πα~␈↓ λH␈∧ ↓λHα⊃␈↓ λ`␈∧ ↓λ`αE
␈β β␈↓ εG␈εε4␈↓ π␈εε1␈α␈6
␈β
␈↓ ¬C␈ε n␈↓ ¬W␈εβ!␈↓ λH␈εβ3␈↓ λs␈ε n␈↓ π␈εβ!
␈β E␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}ergen␈α␈ce␈αis␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αrap␈α␈id,␈αev␈α␈e␈α␈n␈αfor␈αco␈α␈mplex␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ λ2␈ε z␈↓ λ@␈εβ.
␈β h␈↓ _␈εz
␈β l␈↓ α␈εβTo␈απg␈α␈o␈απfrom␈αεthis␈απco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αεfraction␈αεto␈αεthe␈απc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈αεfractio␈α␈n␈απfor␈↓ ␈ε e␈↓ $␈εβ,␈αλw␈α␈e␈απh␈α␈av␈α}e␈↓
,␈εβtan␈α␈h␈↓
t␈ε z␈↓ ␈εβ=
␈β
⊂␈↓ αB␈εε2␈↓ αO␈εz␈↓ v␈εε2␈↓
β␈εz
␈β
∀␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ2/␈α␈(␈↓ α5␈ε e␈↓ αb␈εβ+␈αλ1);␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αw␈α␈e␈αget␈αthe␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed-fra␈α␈ction␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αfor␈α(␈↓ i␈ε e␈↓
⊗␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α↓/␈α␈2␈αby
␈β
8␈↓ λ↑␈εε2␈↓ λk␈εz
␈β
<␈↓ ↓H␈εβsimp␈α␈le␈α∞ma␈α␈nip␈α␈ulation␈α␈s.␈α∪Hurwitz's␈α∞ru␈α␈le␈α∞g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈α∞th␈α␈e␈α∞e␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈↓ λQ␈ε e␈↓ λ␈␈εβ+␈α 1,␈α∂fro␈α␈m␈α∞wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∞w␈α␈e
␈β
c␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αsu␈α␈btr␈α␈act␈αu␈α␈nity.␈αFor␈↓ ∧6␈ε n␈↓ ∧U␈εβod␈α␈d,
␈β%␈↓ α!␈ε~␈␈εε2/␈↓ αT␈εn␈↓ β.␈∧%β.α¬`
␈β+␈↓ α∀␈ε e␈↓ αm␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ β.␈εβ1,␈α¬3␈↓ β↑␈ε m␈↓ β{␈ε n␈↓ ∧↔␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ ∧L␈ε n␈↓ ∧`␈εβ/2␈ε↔c␈εβ,␈α¬(␈α↓1␈α␈2␈↓ ¬J␈ε m␈↓ ¬n␈εβ+␈αλ6)␈↓ ε3␈ε n␈↓ εG␈εβ,␈αε(3␈↓ εr␈ε m␈↓ π⊗␈εβ+␈αλ2)␈↓ π[␈ε n␈↓ πv␈εβ+␈ε↔␈αλb␈↓ λ,␈ε n␈↓ λ@␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ,␈αε1␈↓
␈ε↔?␈εβ,␈↓ u␈ε m␈↓
≠␈ε↔∃␈εβ␈α
0.
␈βs␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α d␈α␈erivatio␈α␈n␈αλhas␈αλbe␈α␈en␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλby␈αλC.␈α S␈α␈.␈α Da␈α␈vis,␈ε⊂␈α J.␈α Lon␈α␈do␈α␈n␈αλMath␈α␈.␈α S␈α␈oc.␈ε∪␈α 2␈α␈0␈εβ␈αλ(194␈α␈5),
␈β≠␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈94↑␈α␈198␈α␈.
␈βL␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(b)␈ε↔␈α⊂?␈↓ αV␈ε x␈↓ αy␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈αε1␈α␈,␈↓ βa␈ε x␈↓ ∧∧␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈αε1␈α␈,␈↓ ∧l␈ε x␈↓ ¬⊂␈ε↔␈␈εβ␈απ2,␈αε1␈α␈,␈↓ ¬w␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε$␈εβ,␈α¬1,␈↓ εR␈ε x␈↓ π+␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈α¬1,␈↓ λ∪␈ε x␈↓ λG␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔?␈εβ.
␈βW␈↓ αe␈εε1␈↓ βp␈εε2␈↓ ∧|␈εε3␈↓ εa␈εε2␈↓ εn␈εn␈↓ ε}␈ε~␈␈εε1␈↓ λ"␈εε2␈↓ λ/␈εn
␈βp␈↓ ε∩␈∧pε∩α↓∂
␈βt␈↓ α␈εβ(c)␈α⊃1␈απ+␈ε↔␈απ?␈εβ1,␈αε1␈α␈,␈αε3,␈α¬1,␈αε5,␈α¬1,␈↓ ∧P␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧|␈ε↔?␈εβ␈α =␈α
1␈απ+␈ε↔␈απ?␈↓ ε∩␈εβ2␈↓ ε#␈ε m␈↓ εG␈εβ+␈αλ1,␈αε1␈↓ π ␈ε↔?␈εβ,␈↓ πf␈ε m␈↓ λ
␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β
"␈↓ ¬T␈εα(␈↓ ε␈εα)
␈β
%␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβThe␈α
sum␈αfor␈α1␈ε↔␈αλ∀␈↓ ∧∂␈ε k␈↓ ∧)␈ε↔∀␈↓ ∧S␈ε N␈↓ ∧⎇␈εβis␈↓ ¬≡␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ¬`␈εβ(1␈απ+␈↓ ε,␈ε x␈↓ ε=␈εβ)(␈↓ εS␈ε N␈↓ εz␈εβ+␈απ1)/(␈↓ πZ␈ε N␈↓ λ␈εβ+␈αλ1␈απ+␈↓ λj␈ε x␈↓ λ{␈εβ)␈↓ ∩␈εβ.
␈β
4␈↓ ¬I␈εb
␈β
S␈↓ ¬Z␈ε~0␈↓ λ↔␈ε~0
␈β
W␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε H␈↓ αs␈εβ=␈↓ β ␈ε S␈↓ β5␈ε G␈↓ βN␈εβ,␈↓ βe␈ε g␈↓ βt␈εβ(␈↓ β␈␈ε x␈↓ ∧⊃␈εβ)␈α=␈α
(1␈α +␈↓ ¬%␈ε x␈↓ ¬6␈εβ)␈↓ ¬A␈ε G␈↓ ¬`␈εβ(␈↓ ¬l␈ε x␈↓ ¬⎇␈εβ),␈↓ ε∨␈ε h␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε:␈ε x␈↓ εL␈εβ)␈α=␈α
(1␈α +␈↓ π`␈ε x␈↓ πq␈εβ)␈↓ π|␈ε H␈↓ λ≥␈εβ(␈↓ λ)␈ε x␈↓ λ:␈εβ).␈α⊃Then␈α(35␈α␈)␈α∞imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
tha␈α␈t
␈β
z␈↓ εX␈ε~␈␈εε2
␈β
{␈↓ π
␈εα(␈↓ λ#␈εα)␈↓ λ@␈εα(␈↓
⊗␈εα)
␈β
}␈↓ ↓H␈ε h␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε x␈↓ ↓|␈εβ+␈αλ1␈α␈)/(␈↓ α\␈ε x␈↓ αu␈εβ+␈αλ2␈α␈)␈ε↔␈αλ␈␈↓ βi␈ε h␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε x␈↓ ∧⊗␈εβ)/(␈↓ ∧=␈ε x␈↓ ∧V␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α
=␈ε↔␈α ␈␈εβ␈α↓(1␈απ+␈↓ ε;␈ε x␈↓ εM␈εβ)␈↓ ε}␈ε g␈↓ π→␈εβ1/(1␈απ+␈↓ λπ␈ε x␈↓ λ_␈εβ)␈↓ λ/␈εβ/␈↓ λL␈εβ1␈απ+␈απ1/(1␈απ+␈↓ z␈ε x␈↓
␈εβ)␈↓
"␈εβ.
␈β∞,␈↓ ∧
␈εε2␈↓ εq␈εε2␈↓ ≤␈εε2
␈β∞-␈↓ ¬/␈εα(␈↓ εe␈εα)
␈β∞0␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε ⎇␈↓ α!␈εβ(␈↓ α-␈ε x␈↓ α>␈εβ)␈α =␈↓ α⎇␈ε c␈↓ β
␈εβ/(␈↓ β&␈ε c␈↓ β3␈ε x␈↓ βH␈εβ+␈α¬1␈↓ β␈␈εβ)␈↓ ∧≠␈εβ+␈α∧(␈α↓2␈ε↔␈α∧␈␈↓ ¬ε␈ε c␈↓ ¬∪␈εβ)/␈↓ ¬;␈εβ(␈↓ ¬F␈ε c␈↓ ¬W␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)␈↓ ε→␈ε x␈↓ ε/␈εβ+␈α∧1␈↓ ε}␈εβ,␈↓ π⊂␈ε U␈↓ π+␈ε ⎇␈↓ πA␈εβ(␈↓ πL␈ε x␈↓ π]␈εβ)␈α
=␈α 1/␈α␈(␈↓ λI␈ε x␈↓ λ↑␈εβ+␈↓ ∧␈ε c␈↓ ⊃␈εβ)␈↓ )␈εβ.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈↓
~␈ε c␈↓
0␈ε↔∀␈εβ␈α
1,␈α the
␈β∞Q␈↓
F␈∧∞Q
Fα⊃
␈β∞S␈↓ π-␈εε2␈↓
$␈ε↔p
␈β∞T␈↓
␈εε1
␈β∞W␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αof␈↓ β¬␈ε ⎇␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε x␈↓ β7␈εβ)/␈↓ βS␈ε U␈↓ βn␈ε ⎇␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε x␈↓ ∧ ␈εβ)␈αoc␈α␈curs␈αat␈↓ ¬G␈ε x␈↓ ¬c␈εβ=␈α0␈αand␈αis␈α2␈↓ π ␈ε c␈↓ πD␈ε↔∀␈εβ␈α2.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈↓ λx␈ε c␈↓ ⊂␈ε↔∃␈↓ <␈ε ≡␈↓ Y␈εβ=␈↓
→␈εβ(␈↓
F␈εβ5␈↓
↑␈εβ+␈αλ1),
␈β∞f␈↓
␈∧∞f
α
␈β∞h␈↓
␈εε2
␈β∞{␈↓ ε:␈εε2
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
min␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
at␈↓ ∧,␈ε x␈↓ ∧I␈εβ=␈α
1␈αan␈α␈d␈α
is␈ε↔␈α
∀␈↓ ε'␈ε ≡␈↓ εG␈εβ.␈α⊃Wh␈α␈en␈↓ πC␈ε c␈↓ π\␈ε↔→␈εβ␈α1.312␈α␈66␈αthe␈α
v␈α␈alu␈α␈es␈α
at␈↓
Q␈ε x␈↓
n␈εβ=␈α
0
␈β∂#␈↓ g␈εn␈↓
\␈εn
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε x␈↓ α"␈εβ=␈α 1␈α
are␈α nea␈α␈rl␈α↓y␈α eq␈α␈ual␈α
a␈α␈nd␈α the␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈α i␈α↓s␈α
>␈α 3.2;␈α
the␈α bou␈α␈nd␈α␈s␈α
(0.29␈↓ \␈εβ)␈↓ x␈ε ⎇␈↓
⊗␈ε↔∀␈↓
A␈ε U␈↓
l␈ε ⎇␈↓ ␈ε↔∀
␈β∂J␈↓ α→␈εn
␈β∂N␈↓ ↓H␈εβ(0␈α␈.␈α↓3␈α␈1␈↓ α∞␈εβ)␈↓ α)␈ε ⎇␈↓ αK␈εβare␈αo␈α␈btain␈α␈ed.␈α∂S␈α␈till␈α
be␈α␈tter␈αbo␈α␈un␈α␈ds␈αcom␈α␈e␈αf␈α↓ro␈α␈m␈αw␈α␈ell␈α↓-ch␈α␈ose␈α␈n␈αl␈α↓in␈α␈ear␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈α␈s
␈β∂X␈↓ αJ␈ε↓P
␈β∂v␈↓ ↓H␈ε T␈↓ ↓←␈ε g␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε x␈↓ α␈εβ)␈α =␈↓ αu␈ε a␈↓ β⊃␈εβ/(␈↓ β-␈ε x␈↓ βF␈εβ+␈↓ βn␈ε c␈↓ ∧ε␈εβ).
␈β⊂␈↓ β¬␈εj␈↓ βz␈εj
␈β⊂'␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβBy␈α
the␈α
i␈α↓n␈α}terp␈α␈olation␈α
form␈α␈u␈α␈la␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈4↑1␈α␈5␈αwith␈↓ λ≤␈ε x␈↓ λA␈εβ=␈α
0,␈↓ ⊃␈ε x␈↓ 6␈εβ=␈↓ a␈ε x␈↓ r␈εβ,␈↓
ε␈ε x␈↓
+␈εβ=␈↓
V␈ε x␈↓
n␈εβ+␈↓ ⊗␈ε ∂␈↓ #␈εβ,
␈β⊂2␈↓ λ,␈εε0␈↓ ␈εε1␈↓
∃␈εε2
␈β⊂K␈↓ εH␈ε~0
␈β⊂L␈↓ π4␈εα(␈↓ λ␈εα)␈↓ d␈εε1␈↓
-␈εα(␈↓
o␈εα)
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβlettin␈α␈g␈↓ α/␈ε ∂␈↓ αE␈ε↔!␈εβ␈α
0␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α h␈α␈av␈α␈e␈αλthe␈α g␈α␈ene␈α␈ral␈α i␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓ty␈↓ ε1␈ε R␈↓ εY␈εβ(␈↓ εd␈ε x␈↓ εu␈εβ)␈α =␈↓ π@␈ε R␈↓ πg␈εβ(␈↓ πr␈ε x␈↓ λ∧␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ λ9␈ε R␈↓ λa␈εβ(0)␈↓ ∀␈εβ/␈↓ $␈ε x␈↓ :␈εβ+␈↓ t␈ε x␈↓
ε␈ε R␈↓
9␈ε ∩␈↓
G␈εβ(␈↓
R␈ε x␈↓
d␈εβ)␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β⊂Z␈↓ πW␈εn␈↓ λP␈εn␈↓
≥␈εn
␈β⊂]␈↓ d␈∧⊂] dα
␈β⊂↑␈↓ εH␈εn
␈β⊂←␈↓ d␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈↓ α↔␈ε ∩␈↓ α&␈εβ(␈↓ α1␈ε x␈↓ αB␈εβ)␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απ0␈απand␈↓ ∧'␈ε x␈↓ ∧8␈εβ,␈α wh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ ¬Y␈ε R␈↓ ε ␈εβis␈απa␈αλfu␈α␈nctio␈α␈n␈αλwith␈απco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ou␈α␈s␈αλseco␈α␈nd␈απd␈α␈erivativ␈α}e.
␈β⊃↓␈↓ ¬q␈εn
␈β⊃~␈↓ βo␈ε~0␈↓ ¬∞␈ε~␈␈↓ ¬'␈εn
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈αin␈αt␈α␈his␈αcase␈↓ βX␈ε R␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε x␈↓ ∧≠␈εβ)␈α
=␈↓ ∧Z␈ε O␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧}␈εβ2␈↓ ¬8␈εβ).
␈β⊃-␈↓ βo␈εn
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα582␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈ε↔1␈εβ.␈α#[A.␈α⊂Kh␈α␈inch␈α␈i␈α↓n␈α␈,␈α⊃in␈ε⊂␈α∂Comp␈α␈os.␈α⊂M␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α⊂1␈εβ␈α⊂(1␈α␈935␈α␈),␈α⊃361␈α␈↑38␈α␈2,␈α⊃p␈α␈ro␈α␈v␈α␈ed␈α∂th␈α␈at␈α∂the␈α∂sum
␈βαR␈↓ ↓H␈ε A␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α⊗␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αC␈εβ+␈↓ αj␈ε A␈↓ β~␈εβo␈α␈f␈α
the␈α |rst␈↓ ∧;␈ε n␈↓ ∧Y␈εβp␈α␈artia␈α␈l␈αq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
o␈α␈f␈α
a␈α
rea␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈↓ λH␈ε X␈↓ λm␈εβwil␈α↓l␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈symp␈α␈totica␈α␈l␈α↓ly
␈βα\␈↓ ↓]␈εε1␈↓ α␈␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓a␈εβlg␈↓ α↓␈ε n␈↓ α∃␈εβ,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αall␈↓ βv␈ε X␈↓ ∧∩␈εβ.]
␈ββ␈↓
∀␈ε↓S
␈ββ)␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβAn␈α␈y␈α¬u␈α␈nion␈α¬of␈α¬i␈α↓n␈α}terv␈α␈als␈αεca␈α␈n␈αεb␈α␈e␈αεwritten␈α¬as␈α¬a␈αεu␈α␈nio␈α␈n␈αεo␈α␈f␈αεdisjoin␈α}t␈αεin␈α␈terv␈α␈als,␈απsinc␈α␈e␈↓
k␈ε I␈↓ ␈εβ=
␈ββ4␈↓
u␈εk
␈ββ9␈↓ ↓H␈ε↓S␈↓ α↑␈ε↓S␈↓ λt␈ε↓S
␈ββ<␈↓
2␈εk␈↓
?␈ε~∃␈εε1
␈ββT␈↓ α→␈εα(␈↓ βp␈εα)
␈ββW␈↓ α%␈ε I␈↓ αE␈ε↔∧␈↓ βZ␈ε I␈↓ β|␈εβ,␈α∞a␈α␈nd␈αthis␈α
is␈α
a␈αdisjoin␈α␈t␈α
u␈α␈nion␈αin␈α
wh␈α␈ich␈↓ λ;␈ε I␈↓ λ[␈ε↔∧␈↓ p␈ε I␈↓
∪␈εβca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
ex␈α␈-
␈ββb␈↓ α/␈εk␈↓ βd␈εj␈↓ λE␈εk␈↓ z␈εj
␈ββg␈↓
λ␈ε↓S
␈ββj␈↓ ↓f␈εk␈↓ ↓s␈ε~∃␈εε1␈↓ α|␈εε1␈ε~∀␈↓ β"␈εj␈↓ β.␈εε<␈↓ βG␈εk␈↓ ∩␈εε1␈ε~∀␈↓ 8␈εj␈↓ D␈εε<␈↓ ]␈εk
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ressed␈αa␈α␈s␈αa␈α|␈α␈nite␈αun␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αd␈α␈isjoin␈α␈t␈αi␈α↓n␈α}terv␈α␈als.␈α
The␈α␈refore␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αtak␈α}e␈ε↔␈αI␈εβ␈α
=␈↓
+␈ε I␈↓
B␈εβ,␈αwhere
␈β∧⊂␈↓
5␈εk
␈β∧(␈↓ ∧n␈εk
␈β∧-␈↓ ↓H␈ε I␈↓ ↓j␈εβis␈αan␈α
in␈α␈terv␈α␈al␈αof␈αlen␈α␈gth␈↓ ∧@␈ε ∂␈↓ ∧M␈εβ/␈↓ ∧↑␈εβ2␈↓ ¬π␈εβc␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈α
the␈↓ εa␈ε k␈↓ εr␈εβth␈α
ration␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αin␈α[0,␈α¬1],␈αu␈α␈sing␈α
some
␈β∧7␈↓ ↓R␈εk
␈β∧T␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈um␈α␈eration␈α
of␈αth␈α␈e␈αration␈α␈als.␈αI␈α↓n␈α
this␈αca␈α␈se␈↓ ε)␈ε ⊗␈↓ ε;␈εβ(␈ε↔␈α↓I␈εβ␈α␈)␈ε↔␈α
∀␈↓ π∀␈ε ∂␈↓ π!␈εβ,␈αb␈α␈ut␈ε↔␈αk␈α␈I␈απ\␈↓ λ9␈ε P␈↓ λ]␈ε↔k␈εβ␈α =␈↓ !␈ε n␈↓ @␈εβfor␈αall␈↓
"␈ε n␈↓
6␈εβ.
␈β∧←␈↓ λL␈εn
␈β¬∧␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβThe␈α∂con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α⊂fra␈α␈ction␈α␈s␈ε↔␈α⊂?␈↓ ¬⊂␈ε A␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ ¬@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε A␈↓ ε≠␈ε↔?␈εβ␈α∂th␈α␈at␈α⊂a␈α␈pp␈α␈ear␈α⊂a␈α␈re␈α⊂p␈α␈recisely␈α∂tho␈α␈se␈α⊂for␈α∂which
␈β¬∞␈↓ ¬%␈εε1␈↓ ε⊃␈εt
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε A␈↓ ↓s␈εβ>␈α 1␈↓ α.␈εβ,␈↓ α?␈ε A␈↓ αg␈εβ>␈α 1␈↓ β"␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈↓ βo␈ε Q␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε A␈↓ ∧<␈εβ,␈↓ ∧K␈ε A␈↓ ∧m␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬(␈εβ,␈↓ ¬7␈ε A␈↓ ¬U␈εβ)␈απis␈απa␈αεdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈απo␈α␈f␈↓ π&␈ε n␈↓ π:␈εβ.␈α
Th␈α␈erefore␈αε(6)␈απc␈α␈omp␈α␈letes␈απt␈α␈he␈αεpro␈α␈of.
␈β¬6␈↓ ↓]␈εε1␈↓ αT␈εt␈↓ ∧¬␈εt␈↓ ∧/␈εε1␈↓ ∧`␈εε2␈↓ ¬L␈εt
␈β¬P␈↓ ↓H␈εα(
␈β¬S␈↓ ↓T␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈α If␈↓ αI␈ε m␈↓ αr␈εβ/␈↓ ββ␈ε n␈↓ β ␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ β[␈ε A␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧G␈ε A␈↓ ∧f␈ε↔?␈εβ␈απa␈α␈nd␈↓ ¬:␈ε m␈↓ ¬c␈εβ/␈↓ ¬t␈ε n␈↓ ε⊃␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ εL␈ε A␈↓ εk␈εβ,␈↓ εz␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π'␈εβ,␈↓ π5␈ε A␈↓ πW␈ε↔?␈εβ,␈αλwh␈α␈ere␈↓ λU␈ε m␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈↓ A␈ε m␈↓ q␈εβare␈αεrelativ␈α␈ely
␈β¬↑␈↓ αf␈εε1␈↓ βq␈εε1␈↓ ∧]␈εt␈↓ ¬W␈εε2␈↓ εb␈εt␈↓ πK␈εε1␈↓ λq␈εε1␈↓ ↑␈εε2
␈β¬{␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈αto␈↓ αO␈ε n␈↓ αc␈εβ,␈αth␈α␈en␈↓ βD␈ε m␈↓ βm␈ε m␈↓ ∧∨␈ε↔⊃␈α
ε␈εβ␈α↓1␈α (mod␈α␈ulo␈↓ ελ␈ε n␈↓ ε≤␈εβ);␈αthis␈αrule␈αde␈α␈|n␈α␈es␈αth␈α␈e␈αcorr␈α␈espo␈α␈nd␈α␈enc␈α␈e.␈αW␈α↓h␈α␈en
␈βε¬␈↓ β`␈εε1␈↓ ∧ ␈εε2
␈βε∨␈↓ λ≠␈εα)
␈βε"␈↓ ↓H␈ε A␈↓ ↓s␈εβ=␈α 1␈αan␈α
an␈α␈alogo␈α␈us␈αsy␈α␈mmetry␈α
is␈αvalid,␈αac␈α␈cord␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈α
(␈α↓3␈α␈8).
␈βε-␈↓ ↓]␈εε1
␈βεN␈↓ ¬j␈εe
␈βεR␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβFirst␈α
pro␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈αf␈α↓o␈α␈r␈↓ ¬␈ε n␈↓ ¬+␈εβ=␈↓ ¬Y␈ε p␈↓ ¬u␈εβ,␈α∞th␈α␈en␈αfor␈↓ π∂␈ε n␈↓ π/␈εβ=␈↓ π]␈ε r␈↓ πl␈ε s␈↓ πy␈εβ,␈α∞whe␈α␈re␈↓ λr␈ε r␈↓ ∞␈εβa␈α␈nd␈↓ P␈ε s␈↓ k␈εβare␈αrelativ␈α␈ely
␈βεy␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime.␈αAl␈α↓t␈α␈erna␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈αuse␈α
the␈αfor␈α␈m␈α␈ulas␈αin␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ext␈αex␈α}ercise.
␈βπ)␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈e␈α⊂left-ha␈α␈nd␈α⊂s␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈α⊂is␈α⊃m␈α}ultiplicativ␈α␈e␈α∂(␈α↓se␈α␈e␈α⊂ex␈α␈e␈α␈rcise␈α⊂1.2.4↑␈α␈31),␈α∩a␈α␈nd␈α∂i␈α↓t␈α⊂is␈α⊂ea␈α␈si␈α↓ly
␈βπQ␈↓ ↓H␈εβe␈α␈valu␈α␈ated␈α
when␈↓ β<␈ε n␈↓ β↑␈εβis␈α∞a␈α∞po␈α}we␈α␈r␈α∞of␈α∞a␈α∞p␈α␈rime.␈α∨(c)␈α∞From␈α∞(a),␈α∂w␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α}e␈ε⊂␈α∞M␈↓ ;␈ε⊂∪␈↓ ;␈ε⊂o␈↓ L␈ε⊂b␈α␈ius's␈α∞in␈α␈v␈α}ersion
␈βπZ␈↓ β[␈ε↓P␈↓ ε8␈ε↓P
␈βπx␈↓ ↓H␈ε⊂fo␈α␈rm␈α␈ula␈εβ:␈αIf␈↓ αm␈ε f␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε n␈↓ β≤␈εβ)␈α =␈↓ ∧2␈ε g␈↓ ∧B␈εβ(␈↓ ∧M␈ε d␈↓ ∧←␈εβ),␈αth␈α␈en␈↓ ¬K␈ε g␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε n␈↓ ¬z␈εβ)␈α =␈↓ π⊂␈ε ⊗␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε n␈↓ πA␈εβ/␈↓ πR␈ε d␈↓ πd␈εβ)␈↓ πo␈ε f␈↓ π␈␈εβ(␈↓ λ
␈ε d␈↓ λ≤␈εβ)␈α↓.
␈βλ␈↓ ∧↓␈εd␈↓ ∧⊂␈ε~∧␈↓ ∧≤␈εn␈↓ ε↑␈εd␈↓ εm␈ε~∧␈↓ εz␈εn
␈βλ∩␈↓ λ≥␈ε↓P
␈βλ,␈↓ εG␈εε2␈↓ ]␈εε2
␈βλ-␈↓ ¬≥␈εα((␈↓ εT␈εα)␈↓ π/␈εα)
␈βλ0␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβThe␈α
s␈α␈um␈α
is␈α
ap␈α␈pro␈α}ximate␈α␈l␈α↓y␈↓ ¬5␈εβ(12␈↓ ¬g␈εβln␈↓ ε ␈εβ2␈α␈)/␈↓ ε5␈ε →␈↓ εf␈εβln␈↓ ππ␈ε N␈↓ π&␈εβ!␈↓ π;␈εβ/␈↓ πL␈ε N␈↓ πs␈ε↔␈␈↓ λ⎇␈ε β␈↓ ∩␈εβ(␈↓ ≥␈ε d␈↓ /␈εβ)/␈↓ K␈ε d␈↓ s␈εβ+␈α 1␈α␈.␈α↓4␈α␈7;␈α∞here
␈βλ?␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βλC␈↓ λC␈εd␈↓ λR␈ε~∃␈εε1
␈βλY␈↓ βλ␈εε2␈↓ π4␈ε~0
␈βλ↑␈↓ α(␈ε β␈↓ α<␈εβ(␈↓ αG␈ε d␈↓ αZ␈εβ)/␈↓ αu␈ε d␈↓ β"␈εβco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rges␈α
to␈α∞t␈α␈he␈α
con␈α␈stan␈α}t␈α∞va␈α␈lue␈ε↔␈α
␈␈↓ π'␈ε ⊂␈↓ π;␈εβ(2)/␈↓ πr␈ε ⊂␈↓ λ␈εβ(2),␈α∞while␈↓ _␈εβln␈↓ 9␈ε N␈↓ X␈εβ!␈α∞=␈↓
≥␈ε N␈↓
B␈εβln␈↓
c␈ε N␈↓ ␈ε↔␈
␈βλp␈↓ ↓n␈εd␈↓ ↓|␈ε~∃␈εε1
␈β ␈↓ ↓H␈ε N␈↓ ↓n␈εβ+␈↓ α↔␈ε O␈↓ α/␈εβ(␈↓ α:␈εβlog␈↓ αj␈ε N␈↓ β ␈εβ)␈αb␈α␈y␈αStirling␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tion.
␈β 9␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβThe␈α mod␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
a{ec␈α␈ts␈α
the␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
if␈α
an␈α␈d␈α
o␈α␈nly␈α
if␈α
th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈α
d␈α␈ivision
␈β a␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αin␈αth␈α␈e␈αu␈α␈nmo␈α␈di|␈α␈ed␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
wo␈α␈uld␈α
hav␈α}e␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈α1␈α␈,␈αand␈α
in␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
case␈αit␈αav␈α}oid␈α␈s
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α∞div␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈α∞step.␈α∃Th␈α␈e␈α∂p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α∞th␈α␈at␈α∞a␈α∞giv␈α␈en␈α
division␈α∞ste␈α␈p␈α∞i␈α↓s␈α∞av␈α}oide␈α␈d␈α∞is
␈β
0␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈αth␈α␈at␈↓ βx␈ε A␈↓ ∧%␈εβ=␈α1␈αan␈α␈d␈αth␈α␈at␈αth␈α␈is␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈αi␈α↓s␈αp␈α␈rece␈α␈ded␈αby␈αan␈αev␈α}en␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈β
:␈↓ ∧
␈εk
␈β
W␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αλe␈α␈qua␈α␈l␈αλto␈αλ1␈α␈.␈α
B␈α↓y␈απth␈α␈e␈αλsy␈α␈mmetr␈α␈y␈αλco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n,␈αλthis␈αλis␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈απtha␈α␈t␈↓
λ␈ε A␈↓
4␈εβ=␈α 1␈αλa␈α␈nd
␈β
b␈↓
≥␈εk
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβis␈ε⊂␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈εβ␈αb␈α␈y␈αan␈αe␈α␈v␈α␈en␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αqu␈α␈otien␈α␈ts␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈α1.␈αTh␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αha␈α␈pp␈α␈ens␈αif␈αa␈α␈nd␈αo␈α␈nly
␈β'␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓h␈ε X␈↓ α=␈εβ>␈↓ αi␈ε ≡␈↓ β∧␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α=␈α0.61␈α␈8␈↓ ∧A␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧m␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ ¬d␈ε ≡␈↓ εβ␈εβis␈αthe␈αgolde␈α␈n␈αrat␈α␈i␈α↓o␈α␈:␈α∞For␈↓ λe␈ε A␈↓ ∩␈εβ=␈α1␈αa␈α␈nd␈↓
≤␈ε A␈↓
p␈εβ>␈α1
␈β1␈↓ ↓␈␈εk␈↓ α␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λz␈εk␈↓
2␈εk␈↓
?␈εε+1
␈βK␈↓ ↓v␈εε2␈↓ λ}␈εε5␈↓
Q␈εε2
␈βN␈↓ ↓H␈εβi{␈↓ α∪␈ε↔∀␈↓ αA␈ε X␈↓ β↔␈εβ<␈α
1;␈↓ βm␈ε A␈↓ ∧≤␈εβ=␈↓ ∧J␈ε A␈↓ ¬∨␈εβ=␈↓ ¬L␈ε A␈↓ ε!␈εβ=␈α
1␈α
a␈α␈nd␈↓ π0␈ε A␈↓ λ∧␈εβ>␈α
1␈α
i{␈↓ ≠␈ε↔∀␈↓ I␈ε X␈↓
␈εβ<␈↓
a␈εβ;␈α∂e␈α␈tc.
␈βY␈↓ αX␈εk␈↓ αe␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧α␈εk␈↓ ∧←␈εk␈↓ ∧l␈εε+␈α↓1␈↓ ¬b␈εk␈↓ ¬o␈εε+2␈↓ πE␈εk␈↓ πR␈εε+3␈↓ `␈εk␈↓ m␈ε~␈␈εε1
␈β\␈↓ ↓v␈∧\↓vα
␈↓ λ}␈∧\λ}α
␈↓
Q␈∧\
Qα
␈β↑␈↓ ↓v␈εε3␈↓ λ}␈εε8␈↓
Q␈εε3
␈βv␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈α we␈α sav␈α}e␈α
a␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈↓ ∧m␈ε F␈↓ ¬3␈εβ(1)␈ε↔␈α¬␈␈↓ εε␈ε F␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε ≡␈↓ εo␈ε↔␈␈εβ␈αε1)␈ε↔␈α →␈εβ␈α
1␈ε↔␈α¬␈␈↓ λ#␈εβlg␈↓ λB␈ε ≡␈↓ λ↑␈ε↔→␈εβ␈α
0␈α␈.␈α↓3␈α␈06␈α of␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈ivision
␈β␈↓ ¬␈εk␈↓ ¬
␈ε~␈␈εε1␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈ε~␈␈εε1
␈β→␈↓ λ␈εε2
␈β~␈↓ πh␈εα(␈↓ ∃␈εα)
␈β≥␈↓ ↓H␈εβste␈α␈ps.␈α∩Th␈α␈e␈α
av␈α}erage␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
of␈α
step␈α␈s␈α
i␈α↓s␈α
ap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈tely␈↓ πt␈εβ(12␈↓ λ&␈εβln␈↓ λG␈ε ≡␈↓ λZ␈εβ)/␈↓ λv␈ε →␈↓ '␈εβln␈↓ H␈ε n␈↓ \␈εβ,␈α∞wh␈α␈en␈↓
L␈ε v␈↓
j␈εβ=␈↓ _␈ε n
␈βE␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α ␈ε u␈↓ α(␈εβi␈α↓s␈αrelativ␈α}ely␈αprime␈αto␈↓ ∧e␈ε n␈↓ ∧y␈εβ.␈α
Kro␈α␈neck␈α}er␈α[␈ε⊂␈α↓Vo␈α␈rl␈α↓e␈α␈sun␈α␈gen␈↓ πv␈ε⊂u␈↓ πw␈ε⊂∪␈↓ λλ␈ε⊂ber␈αZah␈α␈l␈α↓en␈α}the␈α␈orie␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Leip␈α␈zi␈α↓g␈α␈:
␈βm␈↓ ↓H␈εβTe␈α␈ub␈α␈ner,␈α⊂1␈α␈901␈α␈),␈α⊂118␈α␈]␈α∂ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈α∂th␈α␈at␈α∂t␈α␈his␈α∂ch␈α␈oice␈α∞of␈α∂least␈α∞rema␈α␈i␈α↓n␈α␈der␈α∞in␈α∂a␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈te␈α∂v␈α␈alue
␈β
∀␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α giv␈α␈e␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
sh␈α␈orte␈α␈st␈α
p␈α␈ossible␈α n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
iteratio␈α␈ns,␈α
o␈α␈v␈α}er␈α all␈α
algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hms␈α tha␈α␈t␈α
re␈α␈place
␈β
<␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓j␈εβb␈α␈y␈α∞(␈ε↔ε␈↓ αI␈ε u␈↓ α]␈εβ)␈↓ αn␈εβmo␈α␈d␈↓ β3␈ε v␈↓ βR␈εβat␈α∞ea␈α␈ch␈α∞itera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α∀For␈α∞furth␈α␈er␈α∞resu␈α␈l␈α↓t␈α␈s␈α∂se␈α␈e␈α∞N.␈α∂G.␈α∞d␈α␈e␈α∞B␈α↓ru␈α␈ijn␈α∞an␈α␈d␈α∞W.
␈β
c␈↓ ↓H␈εβM␈α␈.␈αZ␈α↓a␈α␈ring,␈ε⊂␈αNieu␈α␈w␈αArch␈α␈i␈α↓e␈α␈f␈αv␈α␈oo␈α␈r␈αWisku␈α␈nd␈α␈e␈α(3)␈ε∪␈α1␈εβ␈α(19␈α␈53),␈α10␈α␈5↑1␈α␈12;␈αG.␈αJ.␈αR␈α␈i␈α↓eg␈α␈er,␈ε⊂␈αNotice␈α␈s
␈β∞␈↓ ↓H␈ε⊂Am␈α␈er.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α22␈εβ␈α
(197␈α␈5),␈αA-␈α↓6␈α␈16;␈ε∪␈α23␈εβ␈α
(197␈α␈6),␈αA-␈α↓4␈α␈74.
␈β∞3␈↓ α␈εβOn␈α
man␈α}y␈α
comp␈α␈ute␈α␈rs,␈αthe␈α
mod␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αeac␈α␈h␈αd␈α␈ivision␈α
step␈α
l␈α↓o␈α␈ng␈α␈er;␈αthe
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εβid␈α␈ea␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α1,␈αwhich␈αsa␈α␈v␈α␈es␈ε⊂␈αa␈α␈l␈α↓l␈εβ␈αd␈α␈ivision␈αsteps␈αwhen␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈otien␈α}t␈αi␈α↓s␈αun␈α␈i␈α↓ty␈α␈,␈αw␈α␈ould␈αbe
␈β∂α␈↓ ↓H␈εβp␈α␈refera␈α␈ble␈αin␈αsu␈α␈ch␈αca␈α␈ses.
␈β∂+␈↓ λ`␈∧∂+λ`α⊃␈↓
_␈∧∂+
_α⊃␈↓ ∪␈∧∂+∪α⊃
␈β∂-␈↓ λ?␈ε↔p␈↓ λ|␈εn␈↓ w␈ε↔p␈↓
4␈εn␈↓
q␈ε↔p
␈β∂.␈↓ πp␈εα(␈↓
D␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε a␈↓ αk␈εβ=␈α
0␈α␈,␈↓ β8␈ε a␈↓ β]␈εβ=␈α
1,␈↓ ∧*␈ε a␈↓ ∧y␈εβ=␈α
2␈↓ ¬4␈ε a␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬|␈ε a␈↓ εA␈εβ;␈α then␈↓ π≤␈ε a␈↓ πE␈εβ=␈↓ π|␈εβ(1␈αα+␈↓ λ`␈εβ2␈↓ λq␈εβ)␈↓ ∂␈ε↔␈␈εβ␈αβ(␈α↓1␈ε↔␈αα␈␈↓
_␈εβ2␈↓
)␈εβ)␈↓
P␈εβ/2␈↓ ∪␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈β∂<␈↓ αU␈εε0␈↓ βH␈εε1␈↓ ∧:␈εn␈↓ ∧J␈εε+1␈↓ ¬D␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ ε≤␈ε~␈␈εε1␈↓ π,␈εn
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αw␈α␈orst␈αcase␈α(i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αsen␈α␈se␈αo␈α␈f␈αTheo␈α␈rem␈αF␈α↓)␈αoccu␈α␈rs␈αwh␈α␈en␈↓ λF␈ε u␈↓ λe␈εβ=␈↓ ⊂␈ε a␈↓ 8␈εβ+␈↓ a␈ε a␈↓
'␈εβ,␈↓
<␈ε v␈↓
X␈εβ=␈↓ β␈ε a␈↓ #␈εβ,
␈β∂d␈↓ ␈εn␈↓ q␈εn␈↓
↓␈ε~␈␈εε1␈↓ ∪␈εn
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓e␈ε↔∃␈εβ␈α 2.
␈β⊂(␈↓ α␈εβThis␈α re␈α␈sult␈α is␈α d␈α␈ue␈α to␈αλA.␈α Dup␈α␈r␈↓ ¬'␈εβ∞␈↓ ¬(␈εβe␈↓ ¬@␈εβ[␈ε⊂J.␈α d␈α␈e␈α M␈α␈ath.␈ε∪␈α 1␈α␈1␈εβ␈α (18␈α␈46␈α␈)␈α↓,␈α 41␈α␈↑64␈α␈]␈α↓,␈α who␈αλalso␈α in␈α}v␈α␈estiga␈α␈ted
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ore␈αλg␈α␈enera␈α␈l␈αλ\look␈α␈-ah␈α␈ead␈α␈"␈αλpr␈α␈oced␈α␈ure␈α␈s␈αλsugg␈α␈ested␈απby␈απJ.␈αλBi␈α↓n␈α␈et.␈α
See␈απP␈α↓.␈αλBach␈α␈man␈α␈n,␈ε⊂␈αλNi␈α↓e␈α␈dere
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε⊂Zah␈α␈len␈α␈th␈α␈eorie␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Leipzig:␈αTeub␈α␈ne␈α␈r,␈α19␈α␈02),␈α99↑␈α␈118␈α␈,␈αfor␈αa␈αd␈α␈i␈α↓sc␈α␈ussion␈αo␈α␈f␈αe␈α␈arly␈αan␈α␈alyse␈α␈s␈αo␈α␈f
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα583
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ(b)␈↓ αE␈ε Q␈↓ β→␈εβ(␈↓ β$␈ε x␈↓ β@␈εβ,␈↓ βO␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β{␈εβ,␈↓ ∧
␈ε x␈↓ ∧V␈εβ)␈↓ ∧a␈ε Q␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬9␈ε x␈↓ ε¬␈εβ,␈↓ ε∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εA␈εβ,␈↓ εO␈ε x␈↓ π ␈εβ)␈απco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈s␈απto␈απMorse␈απc␈α␈ode␈απse␈α␈que␈α␈nce
␈βα5␈↓ α\␈εm␈↓ αs␈ε~␈␈εε1␈↓ β3␈εε1␈↓ ∧→␈εm␈↓ ∧1␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬λ␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬H␈εm␈↓ ¬`␈εε+2␈↓ ε←␈εm␈↓ εv␈εε+␈↓ π∂␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αl␈α↓e␈α␈ngth␈α(␈↓ αa␈ε m␈↓ βπ␈εβ+␈↓ β0␈ε n␈↓ βD␈εβ)␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓ch␈αa␈αd␈α␈ash␈αoccu␈α␈pies␈αp␈α␈osition␈α␈s␈↓ π←␈ε m␈↓ λ ␈εβa␈α␈nd␈α(␈↓ λV␈ε m␈↓ λ{␈εβ+␈αλ1);␈α
th␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αterm
␈βαy␈↓ ↓H␈εβc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ds␈α∂to␈α∞the␈α∞op␈α␈po␈α␈si␈α↓te␈α∞case␈α␈.␈α!(Al␈α↓t␈α␈erna␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈α⊂u␈α␈se␈α∂ex␈α}ercise␈α∂2␈α␈.␈α↔Th␈α␈e␈α∂mo␈α␈re␈α∂g␈α␈enera␈α␈l
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity
␈ββq␈↓ ↓i␈ε Q␈↓ α@␈εβ(␈↓ αK␈ε x␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β"␈εβ,␈↓ β1␈ε x␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧␈ε Q␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε x␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬C␈εβ,␈↓ ¬Q␈ε x␈↓ ε∨␈εβ)␈α =␈↓ ε]␈ε Q␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε x␈↓ πX␈εβ,␈↓ πg␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ∀␈εβ,␈↓ λ"␈ε x␈↓ λp␈εβ)␈↓ λ{␈ε Q␈↓ !␈εβ(␈↓ ,␈ε x␈↓ y␈εβ,␈↓
λ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓
4␈εβ,␈↓
C␈ε x␈↓ ∪␈εβ)
␈ββ|␈↓ ↓␈␈εm␈↓ α⊗␈εε+␈↓ α0␈εn␈↓ αZ␈εε1␈↓ β@␈εm␈↓ βX␈εε+␈↓ βq␈εn␈↓ ∧#␈εk␈↓ ∧J␈εm␈↓ ∧b␈εε+1␈↓ ¬a␈εm␈↓ ¬x␈εε+␈↓ ε⊃␈εk␈↓ εt␈εm␈↓ π␈εε+␈↓ π$␈εk␈↓ πL␈εε1␈↓ λ2␈εm␈↓ λI␈εε+␈↓ λb␈εk␈↓ ⊃␈εn␈↓ <␈εm␈↓ S␈εε+1␈↓
R␈εm␈↓
j␈εε+␈↓ β␈εn
␈β∧~␈↓ ¬C␈εk
␈β∧ ␈↓ ∧R␈εβ+␈απ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ1␈↓ ¬7␈εβ)␈↓ ¬P␈ε Q␈↓ ε#␈εβ(␈↓ ε.␈ε x␈↓ εJ␈εβ,␈↓ εY␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π¬␈εβ,␈↓ π∀␈ε x␈↓ πa␈εβ)␈↓ πl␈ε Q␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε x␈↓ ]␈εβ,␈↓ k␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
_␈εβ,␈↓
'␈ε x␈↓
w␈εβ).
␈β∧*␈↓ ¬f␈εm␈↓ ¬⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ ε>␈εε1␈↓ π$␈εm␈↓ π;␈ε~␈␈εε1␈↓ λα␈εn␈↓ λ∩␈ε~␈␈↓ λ,␈εk␈↓ λ9␈ε~␈␈εε1␈↓ λy␈εm␈↓ ⊂␈εε+␈↓ *␈εk␈↓ 7␈εε+2␈↓
6␈εm␈↓
M␈εε+␈↓
f␈εn
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αap␈α␈pea␈α␈red␈αin␈αEu␈α␈ler's␈αp␈α␈ap␈α␈er.)
␈β¬∨␈↓ F␈ε~0␈↓
!␈ε~0
␈β¬$␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈e␈α∂ne␈α␈w␈α⊂re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈α∂are␈↓ ¬{␈ε x␈↓ ε≤␈εβ=␈↓ εN␈ε m␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε d␈↓ π∞␈εβ,␈↓ π'␈ε y␈↓ πJ␈εβ=␈α⊂(␈↓ λπ␈ε n␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λP␈ε m␈↓ λm␈εβ)␈α↓/␈↓ ␈ε d␈↓ ≤␈εβ,␈↓ 5␈ε x␈↓ ]␈εβ=␈↓
∞␈ε y␈↓
7␈εβ=␈↓
i␈ε d␈↓ ␈εβ=
␈β¬G␈↓ λλ␈ε~0␈↓
∩␈ε~0
␈β¬H␈↓ βl␈εε1
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε m␈↓ α"␈εβ,␈↓ α1␈ε n␈↓ αM␈ε↔␈␈↓ αv␈ε m␈↓ β∪␈εβ),␈α
fo␈α␈r␈↓ β|␈ε n␈↓ ∧≠␈εβ<␈↓ ∧G␈ε m␈↓ ∧o␈εβ<␈↓ ¬~␈ε n␈↓ ¬.␈εβ.␈α≠(␈α↓b␈α␈)␈αThe␈αrelation␈α(␈↓ πR␈ε n␈↓ πf␈εβ/␈↓ πw␈ε x␈↓ λ∂␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λK␈ε y␈↓ λh␈ε↔∀␈↓ ∀␈ε x␈↓ 0␈εβ<␈↓ \␈ε n␈↓ p␈εβ/␈↓
␈ε x␈↓
$␈εβd␈α␈e|n␈α␈es␈↓ ∩␈ε x␈↓ #␈εβ.
␈β¬Y␈↓ βl␈∧¬Yβlα
␈β¬[␈↓ βl␈εε2
␈β¬o␈↓ β&␈ε~0
␈β¬s␈↓ ↓H␈εβ(c)␈α
Co␈α␈un␈α}t␈α
the␈↓ β∃␈ε x␈↓ β7␈εβsa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing␈α
(b␈α␈).␈α↔(d)␈α
A␈α
pa␈α␈i␈α↓r␈α
o␈α␈f␈αin␈α}teger␈α␈s␈↓ πM␈ε x␈↓ πg␈εβ>␈↓ λ∩␈ε y␈↓ λ-␈εβ>␈α
0,␈↓ λ|␈εβgcd␈↓ .␈εβ(␈↓ 9␈ε x␈↓ K␈εβ,␈↓ Y␈ε y␈↓ l␈εβ)␈α =␈α
1␈α␈,␈αcan␈α be
␈βε~␈↓ ↓H␈εβu␈α␈niqu␈α␈ely␈α¬wri␈α↓tte␈α␈n␈αεin␈α¬the␈α¬f␈α↓o␈α␈rm␈↓ ∧Y␈ε x␈↓ ∧s␈εβ=␈↓ ¬≡␈ε Q␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬W␈ε x␈↓ ¬s␈εβ,␈↓ ε↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε x␈↓ εc␈εβ),␈↓ ε␈␈ε y␈↓ π~␈εβ=␈↓ πE␈ε Q␈↓ λ_␈εβ(␈↓ λ#␈ε x␈↓ λ?␈εβ,␈↓ λN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λz␈εβ,␈↓ ␈ε x␈↓ V␈εβ),␈απwhe␈α␈re␈↓
L␈ε x␈↓
q␈ε↔∃␈εβ␈α
2
␈βε$␈↓ ␈ε↓P
␈βε%␈↓ ¬4␈εm␈↓ ¬f␈εε1␈↓ εL␈εm␈↓ π[␈εm␈↓ πr␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ3␈εε1␈↓ →␈εm␈↓ 0␈ε~␈␈εε1␈↓
[␈εε1
␈βεB␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε m␈↓ α.␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈↓ αj␈εβ;␈α
here␈↓ βE␈ε y␈↓ βX␈εβ/␈↓ βh␈ε x␈↓ ∧β␈εβ=␈ε↔␈α ?␈↓ ∧>␈ε x␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧t␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬/␈ε x␈↓ ¬K␈ε↔?␈εβ␈α␈.␈α_(e)␈αIt␈α
su}c␈α␈es␈αto␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αt␈α␈hat␈↓
!␈ε T␈↓
9␈εβ(␈↓
D␈ε k␈↓
T␈εβ,␈↓
c␈ε n␈↓
w␈εβ)␈α =
␈βεM␈↓ ∧M␈εm␈↓ ¬>␈εε1
␈βεU␈↓ &␈εε1␈ε~∀␈↓ L␈εk␈↓ Y␈ε~∀␈↓ r␈εn␈↓
β␈εε/␈α␈2
␈βεo␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α␈b␈↓ ↓e␈ε n␈↓ ↓y␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α
+␈↓ α]␈ε h␈↓ αm␈εβ(␈↓ αx␈ε n␈↓ β␈εβ)␈α↓.␈α↔For␈α∂1␈ε↔␈α∂∀␈↓ ∧L␈ε k␈↓ ∧l␈ε↔∀␈↓ ¬≥␈ε n␈↓ ¬1␈εβ/2␈α∂th␈α␈e␈α∂co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α∂fra␈α␈ction␈α␈s␈↓ λG␈ε k␈↓ λX␈εβ/␈↓ λh␈ε n␈↓ ␈εβ=␈ε↔␈α⊂?␈↓ N␈ε x␈↓ j␈εβ,␈↓ y␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓
%␈εβ,␈↓
4␈ε x␈↓
[␈ε↔?␈εβ␈α∞run
␈βεy␈↓ ]␈εε1␈↓
D␈εm
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈αλall␈α
se␈α␈qu␈α␈ence␈α␈s␈α (␈↓ ∧∞␈ε x␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧f␈εβ,␈↓ ∧t␈ε x␈↓ ¬≠␈εβ)␈α such␈αλtha␈α␈t␈↓ ε?␈ε m␈↓ εf␈ε↔∃␈εβ␈α 1,␈↓ π4␈ε x␈↓ πY␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈↓ λ'␈ε x␈↓ λW␈ε↔∃␈εβ␈α 2,␈↓ %␈ε Q␈↓ R␈εβ(␈↓ ]␈ε x␈↓ y␈εβ,␈↓
λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
5␈εβ,␈↓
C␈ε x␈↓
j␈εβ)␈ε↔␈α¬∧␈↓ ∂␈ε n␈↓ #␈εβ;
␈βπ!␈↓ ∧≡␈εε1␈↓ ¬∧␈εm␈↓ πC␈εε1␈↓ λ6␈εm␈↓ ;␈εm␈↓ m␈εε1␈↓
S␈εm
␈βπ>␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε T␈↓ α ␈εβ(␈↓ α+␈ε k␈↓ α;␈εβ,␈↓ αJ␈ε n␈↓ α↑␈εβ)␈α =␈α
2␈απ+␈αλ(␈↓ βi␈ε m␈↓ ∧
␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈βπT␈↓ π@␈ε↓P
␈βπr␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃D␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈↓ βK␈ε x␈↓ βf␈εβan␈α␈d␈↓ ∧&␈ε y␈↓ ∧B␈εβb␈α␈y␈↓ ∧q␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬"␈εβ(␈↓ ¬.␈ε x␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬N␈ε y␈↓ ¬`␈εβ)␈α
yield␈α␈s␈↓ εR␈ε g␈↓ εb␈εβ(␈↓ εm␈ε n␈↓ π↓␈εβ)␈α =␈↓ λ↔␈ε h␈↓ λ'␈εβ(␈↓ λ2␈ε n␈↓ λF␈εβ/␈↓ λW␈ε d␈↓ λj␈εβ);␈α
ap␈α␈ply␈α ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
28␈α␈(c),
␈βλ∧␈↓ πf␈εd␈↓ πt␈ε~∧␈↓ λ↓␈εn
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αu␈α␈se␈αthe␈αsym␈α␈metry␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αp␈α␈rimed␈αan␈α␈d␈αu␈α␈np␈α␈ri␈α↓m␈α␈ed␈αva␈α␈riables.␈α≤(b␈α␈)␈α
For␈α|x␈α}ed␈↓
X␈ε y␈↓
w␈εβa␈α␈nd
␈βλ@␈↓ π≤␈∧λ@π≤α'␈↓
␈∧λ@
α'
␈βλA␈↓ εz␈ε↔p␈↓ i␈ε↔p
␈βλB␈↓ ¬G␈ε~0␈↓ ε;␈ε~0
␈βλF␈↓ ↓H␈ε t␈↓ ↓T␈εβ,␈α
th␈α␈e␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αwi␈α↓t␈α␈h␈↓ ∧Y␈ε x␈↓ ∧k␈ε d␈↓ ¬ ␈ε↔∃␈↓ ¬6␈ε x␈↓ ¬Z␈εβha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε*␈ε x␈↓ εM␈εβ<␈↓ π≤␈ε n␈↓ π0␈ε d␈↓ πB␈εβ;␈α∞h␈α␈en␈α␈ce␈α
t␈α␈here␈αare␈↓ F␈ε O␈↓ ↑␈εβ(␈↓
␈ε n␈↓
≡␈ε d␈↓
1␈εβ/␈↓
B␈ε y␈↓
T␈εβ)␈α
su␈α␈ch
␈βλO␈↓ πε␈ε↓p
␈βλj␈↓ π*␈∧λjπ*α8
␈βλs␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns.␈α↔No␈α}w␈α∂sum␈α∂fo␈α␈r␈α∂0␈α⊂<␈↓ ¬g␈ε t␈↓ εα␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε y␈↓ εU␈εβ<␈↓ π*␈ε n␈↓ π>␈εβ/␈↓ πO␈ε d␈↓ πa␈εβ.␈α!(c)␈α∂If␈↓ λd␈ε s␈↓ λr␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε y␈↓ ⊂␈εβ)␈α∂is␈α∂th␈α␈e␈α∂giv␈α␈en␈α∞su␈α␈m,
␈βλ|␈↓ α∃␈ε↓P␈↓ λ+␈ε↓P
␈β ~␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ αk␈ε s␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε d␈↓ β⊗␈εβ)␈α
=␈↓ β[␈ε y␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε H␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧\␈ε H␈↓ ¬↓␈εβ)␈α=␈↓ ¬F␈ε k␈↓ ¬V␈εβ(␈↓ ¬a␈ε y␈↓ ¬t␈εβ),␈α
say␈α␈;␈α∂h␈α␈en␈α␈ce␈↓ π;␈ε s␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε y␈↓ πf␈εβ)␈α
=␈↓ ↓␈ε k␈↓ ⊃␈εβ(␈↓ ≥␈ε y␈↓ /␈εβ/␈↓ @␈ε d␈↓ R␈εβ).␈α⊃No␈α␈w␈↓
F␈ε k␈↓
V␈εβ(␈↓
a␈ε y␈↓
t␈εβ)␈α=
␈β %␈↓ ∧∞␈εε2␈↓ ∧≠␈εy␈↓ ∧r␈εy
␈β +␈↓ ∧.␈ε↓P␈↓ εZ␈ε↓P␈↓ =␈ε↓P
␈β -␈↓ α;␈εd␈↓ αJ␈ε~∧␈↓ αW␈εy␈↓ λQ␈εd␈↓ λ`␈ε~∧␈↓ λm␈εy
␈β E␈↓ ε→␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈β F␈↓ αA␈εε1
␈β I␈↓ ↓H␈ε y␈↓ ↓`␈εβln␈↓ α↓␈εβ2␈ε↔␈α¬␈␈↓ αV␈εβ+␈↓ α|␈ε O␈↓ β∀␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ βA␈ε y␈↓ βS␈εβ).␈α∃(d)␈↓ ¬8␈ε ⎇␈↓ ¬N␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε y␈↓ ¬k␈εβ)/␈↓ επ␈ε y␈↓ ε/␈εβ=␈↓ λ→␈ε ⊗␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε d␈↓ λI␈εβ)/␈↓ λd␈ε y␈↓ λw␈ε d␈↓ ∪␈εβ=␈↓
,␈ε ⊗␈↓
>␈εβ(␈↓
I␈ε d␈↓
[␈εβ)␈α↓/␈↓
w␈ε c␈↓ ∧␈ε d␈↓ #␈εβ.
␈β W␈↓ αA␈∧ WαAα
␈β Y␈↓ αA␈εε4
␈β [␈↓ αn␈ε↓P␈↓ εg␈ε↓P
␈β \␈↓ ∧T␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧z␈εy␈↓ ¬ ␈ε~∀␈↓ ¬"␈εn␈↓ π␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π&␈εy␈↓ π4␈ε~∀␈↓ πN␈εn␈↓ π↑␈εε,␈↓ πi␈εd␈↓ πx␈ε~∧␈↓ λ∧␈εy␈↓ c␈εc␈↓ n␈εd␈↓ ⎇␈ε~∀␈↓
⊗␈εn
␈β u␈↓ ∧y␈εε2␈↓ λI␈εε2␈↓ E␈εε2
␈β v␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ε
␈εα)␈↓
v␈εα(
␈β y␈↓ ↓T␈εβS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈↓ βx␈ε ≠␈↓ ∧.␈εβ(␈↓ ∧9␈ε y␈↓ ∧K␈εβ)/␈↓ ∧g␈ε y␈↓ ¬∪␈εβ=␈↓ ¬B␈ε O␈↓ ¬Z␈εβ(1).␈↓ ε4␈εβ(e)␈↓ πo␈ε ⊗␈↓ λ↓␈εβ(␈↓ λ␈ε k␈↓ λ≤␈εβ)␈α↓/␈↓ λ8␈ε k␈↓ λb␈εβ=␈α∞6/␈↓ 2␈ε →␈↓ Z␈εβ+␈↓
¬␈ε O␈↓
≥␈εβ(1/␈↓
I␈ε n␈↓
]␈εβ)␈↓ α␈εβsee
␈β
β␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1
␈β
␈↓ ∧;␈ε↓P
␈β
␈↓ β∀␈εε1␈ε~∀␈↓ β:␈εy␈↓ βI␈ε~∀␈↓ βb␈εn␈↓ π
␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π2␈εk␈↓ π@␈ε~∀␈↓ πY␈εn
␈β
#␈↓ εc␈εε2␈↓
s␈εε2
␈β
$␈↓ β←␈εα)␈↓ e␈εα(␈↓
␈␈εα)
␈β
'␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈αλ4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈↑10␈α␈(d)␈↓ βk␈εβ;␈α an␈α␈d␈↓ ¬C␈ε ⊗␈↓ ¬U␈εβ(␈↓ ¬a␈ε k␈↓ ¬q␈εβ)␈↓ εα␈εβlo␈α␈g␈↓ ε2␈ε k␈↓ εB␈εβ/␈↓ εS␈ε k␈↓ εy␈εβ=␈↓ π#␈ε O␈↓ π;␈εβ(␈α↓1␈α␈).␈αHen␈α␈ce␈↓ λU␈ε h␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε n␈↓ ∩␈εβ)␈α =␈↓ Q␈ε n␈↓ q␈εβ(3␈↓
∩␈εβl␈α↓n␈↓
4␈εβ2␈α␈)/␈↓
`␈ε →␈↓ ␈ε↔α
␈β
2␈↓ λd␈εd
␈β
7␈↓ ε4␈ε↓P
␈β
:␈↓ ∧a␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬π␈εk␈↓ ¬∀␈ε~∀␈↓ ¬-␈εn
␈β
Q␈↓
∪␈εε2
␈β
R␈↓ ε␈εα(␈↓
␈εα)␈↓
@␈εα(
␈β
U␈↓ ↓H␈εβln␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε n␈↓ αβ␈εβ/␈↓ α∪␈ε d␈↓ α&␈εβ)␈α
+␈↓ αf␈ε O␈↓ α}␈εβ(␈↓ β ␈ε n␈↓ β≥␈εβ)␈α∂for␈↓ βn␈ε d␈↓ ∧⊂␈ε↔∃␈εβ␈α⊂1.␈α⊗So␈↓ ¬#␈ε h␈↓ ¬4␈εβ(␈↓ ¬?␈ε n␈↓ ¬S␈εβ)␈α∂=␈α⊂2␈↓ π⊗␈ε ⊗␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈ε d␈↓ πF␈εβ)␈↓ πQ␈ε h␈↓ πk␈εβ(␈↓ πv␈ε n␈↓ λ
␈εβ/␈↓ λ≠␈ε c␈↓ λ(␈ε d␈↓ λ;␈εβ)␈α∂=␈↓ ∩␈εβ(6␈↓ 3␈εβln␈↓ T␈εβ2)/␈↓
↓␈ε →␈↓
,␈ε n␈↓
L␈εβln␈↓
m␈ε n␈↓ ␈ε↔␈
␈β
`␈↓ πa␈εc
␈β
h␈↓ εZ␈εc␈↓ εe␈εd␈↓ εt␈ε~∧␈↓ π␈εn
␈β
j␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ α~␈ε↓P␈↓ λ∧␈ε↓P␈↓ λ↑␈ε↓P
␈β
⎇␈↓ α@␈ε~0
␈β∧␈↓ ∧→␈εε2
␈β¬␈↓ αF␈εα)␈↓ β~␈εα(␈↓ ∧&␈εα)
␈βλ␈↓ ↓s␈ε↔␈␈↓ αY␈εβ+␈↓ βα␈ε O␈↓ β&␈ε n␈↓ β:␈ε ≠␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε n␈↓ ∧∞␈εβ)␈↓ ∧2␈εβ,␈αwher␈α␈e␈αth␈α␈e␈αrema␈α␈ining␈α
sum␈α␈s␈αare␈↓ λ4␈εβ=␈↓ @␈ε ⊗␈↓ R␈εβ(␈↓ ]␈ε d␈↓ p␈εβ)␈↓
␈εβl␈α↓n␈↓
≤␈εβ(␈↓
'␈ε c␈↓
4␈ε d␈↓
G␈εβ)/␈↓
b␈ε c␈↓
o␈ε d␈↓ ␈εβ=
␈β∪␈↓ βI␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β≠␈↓ ∧␈εc␈↓ ∂␈εd␈↓ ≥␈ε~∧␈↓ *␈εn
␈β≥␈↓ α-␈ε↓P␈↓ β≤␈ε↓P␈↓ ¬←␈ε↓P
␈β0␈↓ αS␈ε~0
␈β;␈↓ ↓H␈εβ0␈α∂a␈α␈nd␈↓ αj␈εβ=␈↓ β}␈ε ⊗␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≠␈ε d␈↓ ∧-␈εβ)␈↓ ∧>␈εβln␈↓ ∧←␈ε c␈↓ ∧l␈εβ/␈↓ ∧⎇␈ε c␈↓ ¬
␈ε d␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ε6␈ε β␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε d␈↓ εh␈εβ)/␈↓ π∧␈ε d␈↓ π⊗␈εβ.␈α"[It␈α⊂is␈α⊂w␈α␈e␈α␈l␈α↓l␈α∂kn␈α␈o␈α␈wn␈α∂tha␈α␈t␈↓
≠␈ε ≠␈↓
P␈εβ(␈↓
[␈ε n␈↓
o␈εβ)␈α⊃=
␈βF␈↓
+␈ε~␈␈εε1
␈βN␈↓ βB␈εc␈↓ βL␈εd␈↓ β[␈ε~∧␈↓ βh␈εn␈↓ ε¬␈εd␈↓ ε∀␈ε~∧␈↓ ε ␈εn
␈βh␈↓ ↓H␈ε O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈εβlog␈↓ αK␈ε n␈↓ α←␈εβ);␈αc␈α␈f.␈αHa␈α␈rdy␈αa␈α␈nd␈α
W␈α↓rig␈α␈h␈α␈t,␈ε⊂␈αTheo␈α␈ry␈αo␈α␈f␈αNu␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈εβ,␈ε↔␈αx␈εβ22.9␈α␈.␈α↓]
␈β≤␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αP␈α↓ro␈α␈c.␈αNat.␈αAcad␈α␈.␈αS␈α␈ci.␈ε∪␈α72␈εβ␈α(19␈α␈75),␈α47␈α␈20↑␈α␈472␈α␈2.
␈βO␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβWork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αbac␈α␈kwar␈α␈ds,␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αcho␈α␈ose␈↓ λ-␈ε k␈↓ λH␈εβ,␈↓ λ]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
␈εβ,␈↓ ∨␈ε k␈↓ o␈εβso␈αtha␈α␈t␈↓
a␈ε u␈↓ ␈ε↔⊃
␈βZ␈↓ λ<␈εε1␈↓ -␈εn␈↓ >␈ε~␈␈εε1␈↓
t␈εk
␈βt␈↓ βa␈εα(␈↓ εg␈εα)
␈βw␈↓ ↓H␈ε F␈↓ ↓w␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α$␈ε F␈↓ αn␈ε F␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ βx␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧n␈εβgc␈α␈d␈↓ ¬ ␈εβ(␈↓ ¬+␈ε u␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ ¬⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε*␈εβ,␈↓ ε9␈ε u␈↓ ε\␈εβ)␈↓ ε}␈εβfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α ∀␈↓ πu␈ε i␈↓ λ␈εβ<␈↓ λ6␈ε n␈↓ λJ␈εβ,␈αwith␈↓ )␈ε u␈↓ V␈εβ=␈↓
↓␈ε F␈↓
0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
]␈ε F
␈β
α␈↓ ↓Z␈εk␈↓ α6␈εk␈↓ β↓␈εk␈↓ ¬>␈εi␈↓ ¬I␈εε+1␈↓ εL␈εn␈↓ =␈εn␈↓
∪␈εk␈↓
o␈εk
␈β
␈↓ ↓f␈επ1␈↓ αB␈ε
i␈↓ αM␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ β
␈ε
i␈↓
∨␈επ1␈↓
{␈ε
n␈↓ ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β
∨␈↓ ↓H␈εβa␈αminim␈α␈u␈α␈m,␈α∞wh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈↓ ∧#␈ε k␈↓ ∧3␈εβ's␈α
are␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e,␈↓ ε⊗␈ε k␈↓ ε>␈ε↔∃␈εβ␈α3,␈α
and␈↓ πU␈ε k␈↓ πy␈εβ+␈↓ λ#␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λR␈εβ+␈↓ λ|␈ε k␈↓ M␈εβ=␈↓ {␈ε N␈↓
"␈εβ+␈↓
L␈ε n␈↓
i␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α␈.
␈β
)␈↓ ε%␈εε1␈↓ πd␈εε1␈↓ ␈εn␈↓ ≠␈ε~␈␈εε1
␈β
F␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
solutio␈α␈n␈α
is␈↓ β)␈ε k␈↓ βM␈εβ=␈↓ βx␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧(␈εβ=␈↓ ∧R␈ε k␈↓ ¬ ␈εβ=␈α
2␈α␈,␈↓ ¬o␈ε u␈↓ ε≤␈εβ=␈↓ εF␈ε F␈↓ π@␈εβ.␈α↔[See␈ε⊂␈α
CA␈α␈CM␈ε∪␈α
1␈α␈3␈εβ␈α
(197␈α␈0),␈α4␈α␈33↑␈α␈436␈α␈,
␈β
Q␈↓ β7␈εε2␈↓ ∧a␈εn␈↓ ∧q␈ε~␈␈εε1␈↓ εα␈εn␈↓ εY␈εN␈↓ εq␈ε~␈␈↓ π
␈εn␈↓ π~␈εε+3
␈β
n␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈47↑␈α␈448␈α␈.]
␈β∞!␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αP␈α↓ro␈α␈c.␈αAmer.␈αMa␈α␈th.␈αSo␈α␈c.␈ε∪␈α7␈εβ␈α
(195␈α␈6),␈α101␈α␈4↑1␈α␈021␈α␈;␈αc␈α␈f␈α↓.␈αalso␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α6␈α␈.1↑1␈α␈8.
␈β∞Q␈↓ ¬t␈ε~␈␈εε1
␈β∞U␈↓ ↓V␈ε∪38.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε m␈↓ αn␈εβ=␈ε↔␈α
d␈↓ β&␈ε n␈↓ β:␈εβ/␈↓ βJ␈ε ≡␈↓ β]␈ε↔e␈εβ,␈α
so␈α that␈↓ ∧k␈ε m␈↓ ¬λ␈εβ/␈↓ ¬→␈ε n␈↓ ¬6␈εβ=␈↓ ¬a␈ε ≡␈↓ ε∨␈εβ+␈↓ εF␈ε ∂␈↓ ε\␈εβ=␈ε↔␈α ?␈↓ π↔␈ε x␈↓ π3␈εβ,␈↓ πB␈ε x␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πm␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ→␈ε↔?␈εβ␈α where␈α 0␈α <␈↓ W␈ε ∂␈↓ m␈εβ<␈α 1/␈↓
9␈ε n␈↓
M␈εβ.␈αLet␈↓ ≤␈ε k
␈β∞`␈↓ π&␈εε1␈↓ πQ␈εε2
␈β∞y␈↓ ¬`␈εε1␈ε~␈␈↓ εε␈εk␈↓ ππ␈εk␈↓ λ#␈ε~␈␈↓ λ=␈εk␈↓ >␈εk
␈β∞z␈↓ ¬A␈εα(␈↓ πg␈εα)/(␈↓ x␈εα)
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α minimal␈α suc␈α␈h␈α that␈↓ ∧β␈ε x␈↓ ∧)␈ε↔∃␈εβ␈α 2;␈α
the␈α␈n␈↓ ¬M␈ε ≡␈↓ ε_␈εβ+␈αε(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π∀␈ε F␈↓ πZ␈ε ∂␈↓ λ⊃␈ε ≡␈↓ λO␈ε↔␈␈εβ␈αε(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 3␈εβ)␈↓ K␈ε F␈↓ k␈ε ∂␈↓
␈ε↔∃␈εβ␈α 2,␈α
he␈α␈nce
␈β∂π␈↓ ∧∩␈εk␈↓ π'␈εk␈↓ π4␈ε~␈␈εε1␈↓ ]␈εk
␈β∂≡␈↓ λD␈∧∂≡λDα⊃
␈β∂∨␈↓ λ#␈ε↔p
␈β∂ ␈↓ β'␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬≡␈εk␈↓ εQ␈εε2␈↓ ε↑␈εk␈↓ εk␈εε+2␈↓ πT␈ε~␈␈εε2
␈β∂$␈↓ ↓H␈ε k␈↓ ↓d␈εβis␈αev␈α␈en␈αa␈α␈nd␈↓ β∀␈ε ≡␈↓ βV␈εβ=␈α2␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧C␈ε ≡␈↓ ∧`␈ε↔∀␈↓ ¬␈ε ≡␈↓ ¬+␈ε F␈↓ ¬q␈ε ∂␈↓ ελ␈εβ=␈α
(␈↓ ε>␈ε ≡␈↓ π_␈ε↔␈␈↓ πA␈ε ≡␈↓ πz␈εβ)␈↓ λ¬␈ε ∂␈↓ λ∩␈εβ/␈↓ λD␈εβ5␈↓ λU␈εβ.␈α~[␈ε⊂Ann␈α␈.␈αPolon␈α␈.␈αMat␈α␈h.␈ε∪␈α1
␈β∂/␈↓ ¬>␈εk␈↓ ¬K␈εε+2
␈β∂L␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈954␈α␈),␈α2␈α␈03↑␈α␈206␈α␈.␈α↓]
␈β∂␈␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβAt␈α
least␈α287␈αat␈α
b␈α␈ats;␈ε↔␈α∞?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε95␈ε↔␈α␈?␈εβ␈α=␈α
96␈α␈/28␈α␈7␈α=␈α
.33␈α␈449␈α␈477␈↓ λ8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λe␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
n␈α␈o␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
with
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tor␈α<␈α 287␈α
l␈α↓ies␈αin␈αth␈α␈e␈αin␈α␈terv␈α␈al␈α[.␈α↓3␈α␈335␈α␈,␈αε.334␈α␈5]␈α =␈α
[␈ε↔?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε666␈ε↔␈α␈?␈εβ,␈ε↔␈α?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε94,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε3␈ε↔?␈εβ].
␈β⊂O␈↓ α␈εβTo␈αsolv␈α␈e␈αthe␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α
qu␈α␈estion␈αof␈αthe␈αfraction␈αin␈α[␈↓ π[␈ε a␈↓ πl␈εβ,␈↓ πz␈ε b␈↓ λλ␈εβ]␈α
with␈αsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t␈α
de␈α␈no␈α␈minato␈α␈r,
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α
0␈α <␈↓ αl␈ε a␈↓ β¬␈εβ<␈↓ β0␈ε b␈↓ βF␈εβ<␈α
1␈α␈,␈αno␈α␈te␈αth␈α␈at␈α
in␈α
terms␈α
of␈α
regu␈α␈lar␈α
con␈α}tin␈α␈ue␈α␈d-frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
rep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈s
␈β⊃~␈↓ ε>␈εj␈↓ πa␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈α?␈↓ αX␈ε x␈↓ αt␈εβ,␈↓ ββ␈ε x␈↓ β∨␈εβ,␈↓ β-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βZ␈ε↔?␈εβ␈α <␈ε↔␈α ?␈↓ ∧/␈ε y␈↓ ∧K␈εβ,␈↓ ∧Z␈ε y␈↓ ∧v␈εβ,␈↓ ¬¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬2␈ε↔?␈εβ␈α
i{␈α(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε3␈εβ)␈↓ εJ␈ε x␈↓ εo␈εβ<␈α (␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πV␈εβ)␈↓ πm␈ε y␈↓ λ∀␈εβfor␈αth␈α␈e␈αsmallest␈↓
↓␈ε j␈↓
≠␈εβwith␈↓
f␈ε x␈↓ ␈ε↔≤
␈β⊃)␈↓ αg␈εε1␈↓ β∩␈εε2␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧j␈εε2␈↓ εY␈εj␈↓ π⎇␈εj␈↓
v␈εj
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα584␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓H␈ε y␈↓ ↓c␈εβ,␈α∞where␈αwe␈α
p␈α␈lace␈α
\␈ε↔␈α␈1␈εβ␈α↓"␈αafter␈α
th␈α␈e␈α
last␈α
pa␈α␈rtial␈α
quo␈α␈tien␈α␈t␈α
o␈α␈f␈α∞a␈αration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber.␈α⊃Th␈α␈u␈α␈s␈α
if
␈βα5␈↓ ↓W␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈ε a␈↓ ↓c␈εβ=␈ε↔␈α?␈↓ α ␈ε x␈↓ α<␈εβ,␈↓ αK␈ε x␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β"␈ε↔?␈εβ␈αan␈α␈d␈↓ ∧↓␈ε b␈↓ ∧~␈εβ=␈ε↔␈α?␈↓ ∧W␈ε y␈↓ ∧s␈εβ,␈↓ ¬α␈ε y␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬Y␈ε↔?␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ εb␈ε j␈↓ ε⎇␈εβi␈α↓s␈αmin␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
with␈↓ λp␈ε x␈↓ ⊗␈ε↔≤␈↓ C␈ε y␈↓ ↑␈εβ,␈α
the␈αfra␈α␈ction␈α␈s
␈βα]␈↓ α0␈εε1␈↓ α[␈εε2␈↓ ∧f␈εε1␈↓ ¬∩␈εε2␈↓ λ␈␈εj␈↓ R␈εj
␈βαz␈↓ ↓H␈εβin␈α∂[␈↓ ↓|␈ε a␈↓ α
␈εβ,␈↓ α≠␈ε b␈↓ α)␈εβ]␈α⊂h␈α␈av␈α}e␈α⊂th␈α␈e␈α⊂fo␈α␈rm␈↓ ∧'␈ε c␈↓ ∧D␈εβ=␈ε↔␈α⊃?␈↓ ¬π␈ε x␈↓ ¬#␈εβ,␈↓ ¬2␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬↑␈εβ,␈↓ ¬m␈ε x␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε z␈↓ εT␈εβ,␈↓ εc␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∂␈εβ,␈↓ π≡␈ε z␈↓ πA␈ε↔?␈εβ␈α∂wh␈α␈ere␈ε↔␈α⊂?␈↓ λV␈ε z␈↓ λm␈εβ,␈↓ λ|␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ )␈εβ,␈↓ 7␈ε z␈↓ Z␈ε↔?␈εβ␈α∂li␈α↓e␈α␈s␈α⊂b␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈ββ∧␈↓ ¬⊗␈εε1␈↓ ¬|␈εj␈↓ ελ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εH␈εj␈↓ π)␈εm␈↓ λa␈εj␈↓ B␈εm
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε↔?␈↓ ↓X␈ε x␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ αβ␈ε x␈↓ αD␈εβ,␈↓ αS␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ α␈␈ε↔?␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α?␈↓ βl␈ε y␈↓ ∧λ␈εβ,␈↓ ∧↔␈ε y␈↓ ∧X␈εβ,␈↓ ∧g␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∀␈ε↔?␈εβ␈α
i␈α↓n␈α␈clusiv␈α}e.␈αLet␈↓ ε}␈ε Q␈↓ πC␈εβ=␈α 0.␈αThe␈αd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tor
␈ββ,␈↓ ↓h␈εj␈↓ α∩␈εj␈↓ α≡␈εε+1␈↓ β|␈εj␈↓ ∧&␈εj␈↓ ∧3␈εε+1␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1
␈ββq␈↓ α
␈ε Q␈↓ αR␈εβ(␈↓ α]␈ε x␈↓ αy␈εβ,␈↓ βλ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β5␈εβ,␈↓ βC␈ε x␈↓ ∧¬␈εβ)␈↓ ∧⊂␈ε Q␈↓ ¬λ␈εβ(␈↓ ¬∪␈ε z␈↓ ¬*␈εβ,␈↓ ¬9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬f␈εβ,␈↓ ¬t␈ε z␈↓ ε↔␈εβ)␈απ+␈↓ εR␈ε Q␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε x␈↓ πA␈εβ,␈↓ πP␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π|␈εβ,␈↓ λ␈ε x␈↓ λM␈εβ)␈↓ λX␈ε Q␈↓ *␈εβ(␈↓ 5␈ε z␈↓ r␈εβ,␈↓
↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
.␈εβ,␈↓
<␈ε z␈↓
←␈εβ)
␈ββ|␈↓ α ␈εj␈↓ α,␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ αm␈εε1␈↓ βS␈εj␈↓ β←␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧&␈εm␈↓ ∧=␈ε~␈␈↓ ∧V␈εj␈↓ ∧b␈εε+␈α↓1␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ε␈εm␈↓ εh␈εj␈↓ εt␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ π5␈εε1␈↓ λ≠␈εj␈↓ λ'␈ε~␈␈εε2␈↓ λn␈εm␈↓ ¬␈ε~␈␈↓ ≡␈εj␈↓ A␈εj␈↓ M␈εε+1␈↓
H␈εm
␈β∧A␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈ε c␈↓ απ␈εβis␈αminimized␈αwh␈α␈en␈↓ ∧!␈ε m␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ∧s␈ε j␈↓ ¬
␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬N␈ε z␈↓ ¬n␈εβ=␈α
(␈↓ ε$␈ε j␈↓ ε?␈εβo␈α␈dd␈ε↔␈α)␈↓ π+␈ε y␈↓ πN␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ8␈ε ∞␈↓ ↔␈εβ;␈↓ ,␈ε x␈↓ O␈εβ+␈απ1␈ε↔␈αλ␈␈↓
9␈ε ∞␈↓ _␈εβ).
␈β∧L␈↓ ¬Y␈εj␈↓ π:␈εj␈↓ λD␈εy␈↓ λ}␈ε~1␈↓ ;␈εj␈↓
E␈εx␈↓
␈␈ε~1
␈β∧S␈↓ λQ␈ε
j␈↓ λ\␈επ+1␈↓
R␈ε
j␈↓
]␈επ+1
␈β∧i␈↓ ↓H␈εβ[An␈α␈othe␈α␈r␈αway␈αto␈α
deriv␈α}e␈αthis␈αmeth␈α␈od␈α
come␈α␈s␈αf␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αtheo␈α␈ry␈αin␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈.␈α↓]
␈β¬≤␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αcan␈α
pro␈α}v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ ¬v␈ε p␈↓ ε∩␈ε q␈↓ ε-␈ε↔␈␈↓ εU␈ε p␈↓ εm␈ε q␈↓ π∞␈εβ=␈α
1␈αa␈α␈t␈αeac␈α␈h␈αno␈α␈de␈α␈,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈↓ }␈ε p␈↓
!␈εβa␈α␈nd␈↓
a␈ε q␈↓ ␈εβare
␈β¬'␈↓ εε␈εr␈↓ ε≡␈εl␈↓ εe␈εl␈↓ εy␈εr␈↓
∞␈εl␈↓
m␈εl
␈β¬?␈↓ ¬≠␈ε~0␈↓ ¬A␈ε~0␈↓ λY␈ε~0␈↓ V␈ε~0␈↓
1␈ε~0␈↓
W␈ε~0
␈β¬D␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime.␈α⊂S␈α␈ince␈↓ ∧!␈ε p␈↓ ∧2␈εβ/␈↓ ∧C␈ε q␈↓ ∧]␈εβ<␈↓ ¬
␈ε p␈↓ ¬"␈εβ/␈↓ ¬2␈ε q␈↓ ¬T␈εβimplies␈α
t␈α␈hat␈↓ π⊂␈ε p␈↓ π!␈εβ/␈↓ π2␈ε q␈↓ πL␈εβ<␈α
(␈↓ λ¬␈ε p␈↓ λ≡␈εβ+␈↓ λH␈ε p␈↓ λ←␈εβ)/(␈↓ ε␈ε q␈↓ ≥␈εβ+␈↓ G␈ε q␈↓ \␈εβ)␈α<␈↓
␈ε p␈↓
7␈εβ/␈↓
H␈ε q␈↓
]␈εβ,␈α
i␈α↓t␈αis
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈α clea␈α␈r␈α tha␈α␈t␈α the␈αλlabe␈α␈l␈α↓s␈αλon␈αλall␈α l␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈αλdesc␈α␈end␈α␈an␈α}ts␈α of␈↓ π_␈ε p␈↓ π)␈εβ/␈↓ π9␈ε q␈↓ πQ␈εβare␈αλless␈α th␈α␈an␈↓ ␈ε p␈↓ ≥␈εβ/␈↓ .␈ε q␈↓ =␈εβ,␈α while␈α th␈α␈e␈α lab␈α␈els
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈α
all␈α
its␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
d␈α␈escen␈α␈da␈α␈n␈α␈ts␈α
a␈α␈re␈α
grea␈α␈ter.␈αThe␈α␈refore␈α
ea␈α␈ch␈α
ra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
at␈α
mos␈α␈t
␈βε:␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nce␈α
as␈αa␈αlab␈α␈el.
␈βεb␈↓ α␈εβIt␈αremain␈α␈s␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αe␈α␈ach␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αd␈α␈oes␈αap␈α␈pea␈α␈r.␈αI␈α↓f␈↓ λ≠␈ε p␈↓ λ,␈εβ/␈↓ λ=␈ε q␈↓ λU␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ ⊃␈ε a␈↓ -␈εβ,␈↓ <␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ h␈εβ,␈↓ w␈ε a␈↓
∪␈εβ,␈α¬1␈ε↔?␈εβ,␈αwhere
␈βεm␈↓ ␈εε1␈↓
ε␈εr
␈βπ
␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈↓ α∃␈ε a␈↓ α=␈εβis␈α
a␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈te␈α␈ger,␈α∞o␈α␈ne␈α
c␈α␈an␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
b␈α␈y␈α
ind␈α␈uctio␈α␈n␈α
th␈α␈at␈α
the␈αnod␈α␈e␈α
lab␈α␈eled␈↓
Y␈ε p␈↓
j␈εβ/␈↓
z␈ε q␈↓ ⊗␈εβis
␈βπ∀␈↓ α%␈εi
␈βπ1␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αgo␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αleft␈↓ βj␈ε a␈↓ ∧⊃␈εβti␈α↓m␈α␈es,␈αthen␈α
righ␈α␈t␈↓ ε⊂␈ε a␈↓ ε7␈εβtimes,␈αth␈α␈en␈αleft␈↓ λ ␈ε a␈↓ λG␈εβtimes,␈αetc.
␈βπ<␈↓ βz␈εε1␈↓ ε∨␈εε2␈↓ λ0␈εε3
␈βπY␈↓ α␈εβ[P␈α↓e␈α␈i␈α↓rc␈α␈e␈α∂co␈α␈mm␈α␈u␈α␈nicate␈α␈d␈α∞this␈α∂c␈α␈onstr␈α␈uction␈α∞in␈α∞a␈α∞l␈α↓e␈α␈tter␈α∂d␈α␈ated␈α∞J␈α␈uly␈α∞17,␈α∂190␈α␈3,␈α⊂b␈α␈ut␈α∞he
␈βλ↓␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈α
p␈α␈ub␈α␈l␈α↓ish␈α␈ed␈αit;␈α∞an␈α␈d␈αdu␈α␈ring␈αth␈α␈e␈α
n␈α␈ext␈αfew␈α
y␈α}ears␈αhe␈αoc␈α␈casion␈α␈ally␈αam␈α␈u␈α␈sed␈αhimself␈αby
␈βλ(␈↓ ↓H␈εβm␈α␈akin␈α␈g␈αra␈α␈ther␈αcryp␈α␈tic␈αrem␈α␈ark␈α␈s␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αit␈αwithou␈α␈t␈αrev␈α}ealing␈αth␈α␈e␈αun␈α␈de␈α␈rl␈α↓y␈α␈ing␈αmech␈α␈an␈α␈ism.
␈βλP␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈α
C.␈α∞S.␈α∞Peirce,␈ε⊂␈α∞T␈α↓h␈α␈e␈α∞N␈α␈ew␈α∞Elemen␈α}ts␈α∞of␈α∞M␈α␈ath␈α␈ema␈α␈ti␈α↓c␈α␈s␈ε∪␈α∞3␈εβ␈α∞(Th␈α␈e␈α∞Ha␈α␈gue␈α␈:␈α⊃Mo␈α␈uto␈α␈n,␈α∞197␈α␈6),
␈βλx␈↓ ↓H␈εβ7␈α␈81↑␈α␈784␈α␈,␈α8␈α␈26␈α␈↑82␈α␈9;␈αalso␈ε∪␈α1␈εβ,␈α20␈α␈7↑2␈α␈11;␈αan␈α␈d␈αh␈α␈is␈ε⊂␈αColl␈α↓e␈α␈cted␈α
P␈α↓a␈α␈pers␈ε∪␈α4␈εβ␈α(1␈α␈933␈α␈),␈α2␈α␈76↑␈α␈280␈α␈.]
␈β +␈↓ ↓V␈ε∪41.␈↓ α␈εβ(We␈α
assu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈↓ ∧∪␈ε x␈↓ ∧1␈εβ>␈α
0␈α␈.␈α↓)␈α≥Ap␈α␈ply␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α
algorith␈α␈m␈α
to␈α
g␈α␈et␈α
a␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fra␈α␈ction
␈β S␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓i␈εβ=␈ε↔␈α⊃?␈↓ α,␈ε a␈↓ αH␈εβ,␈↓ αW␈ε a␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β.␈ε↔?␈εβ;␈α⊃here␈↓ ∧&␈ε a␈↓ ∧Q␈εβmay␈α∞equ␈α␈al␈α⊂0␈α␈,␈α⊃bu␈α␈t␈↓ εf␈ε a␈↓ πα␈εβ,␈↓ π≤␈ε a␈↓ π8␈εβ,␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λλ␈εβm␈α␈us␈α␈t␈α⊂b␈α␈e␈ε↔␈α∂∃␈εβ␈α⊃1.␈α_Let␈↓
4␈ε p␈↓
a␈εβ=␈α⊃1␈α␈,
␈β ]␈↓ α;␈εε1␈↓ αf␈εε2␈↓ ∧5␈εε1␈↓ εv␈εε2␈↓ π,␈εε3␈↓
D␈εε0
␈β z␈↓ ↓H␈ε q␈↓ ↓n␈εβ=␈α∂0␈α␈,␈↓ αF␈ε p␈↓ αq␈εβ=␈α∞0,␈↓ βI␈ε q␈↓ βo␈εβ=␈α∂1␈α␈,␈↓ ∧G␈ε p␈↓ ¬↔␈εβ=␈↓ ¬F␈ε a␈↓ ¬b␈ε p␈↓ επ␈εβ+␈↓ ε2␈ε p␈↓ εs␈εβ,␈↓ π␈ε q␈↓ πW␈εβ=␈↓ λε␈ε a␈↓ λ"␈ε q␈↓ λC␈εβ+␈↓ λn␈ε q␈↓ ,␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞st␈α␈op␈α∞a␈α␈t␈α∞the
␈β
¬␈↓ ↓T␈εε0␈↓ αV␈εε1␈↓ βU␈εε1␈↓ ∧W␈εj␈↓ ∧c␈εε+1␈↓ ¬V␈εj␈↓ ¬r␈εj␈↓ εA␈εj␈↓ εM␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π↔␈εj␈↓ π#␈εε+1␈↓ λ⊗␈εj␈↓ λ.␈εj␈↓ λz␈εj␈↓ ε␈ε~␈␈εε1
␈β
"␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈gest␈↓ α3␈ε j␈↓ αL␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ β←␈ε p␈↓ β{␈εβ/␈↓ ∧␈ε q␈↓ ∧.␈εβi␈α↓s␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ble.␈αIf␈↓ εD␈ε p␈↓ ε`␈εβ/␈↓ εp␈ε q␈↓ π∩␈ε↔≤␈↓ π<␈ε x␈↓ πN␈εβ,␈α|␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈αlarg␈α␈est␈↓ H␈ε b␈↓ ↑␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α
su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈β
,␈↓ βo␈εj␈↓ ∧_␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ ε|␈εj
␈β
I␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε b␈↓ ↓`␈ε p␈↓ α∧␈εβ+␈↓ α.␈ε p␈↓ αp␈εβ)/(␈↓ β↔␈ε b␈↓ β$␈ε q␈↓ βE␈εβ+␈↓ βo␈ε q␈↓ ∧-␈εβ)␈α
=␈↓ ∧r␈ε p␈↓ ¬β␈εβ/␈↓ ¬∀␈ε q␈↓ ¬0␈εβis␈α
rep␈α␈resen␈α}table.␈α⊃By␈α
th␈α␈e␈α
th␈α␈eory␈αof␈α
the␈α
Pierce␈α
tre␈α␈e␈α
it
␈β
T␈↓ ↓p␈εj␈↓ α>␈εj␈↓ αJ␈ε~␈␈εε1␈↓ β0␈εj␈↓ β{␈εj␈↓ ∧π␈ε~␈␈εε1
␈β
q␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ β␈ε p␈↓ β≤␈εβ/␈↓ β-␈ε q␈↓ βQ␈εβis␈αthe␈αn␈α␈eare␈α␈st␈α
r␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ble␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈n␈αon␈α␈e␈αside␈αo␈α␈f␈↓ @␈ε x␈↓ ]␈εβan␈α␈d␈↓
∨␈ε p␈↓
0␈εβ/␈↓
A␈ε q␈↓
\␈εβis␈αthe
␈β
|␈↓ β⊂␈εj␈↓ β9␈εj
␈β→␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eare␈α␈st␈α∞repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ble␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞on␈α∞th␈α␈e␈α∞oth␈α␈er␈α∞side;␈α⊂a␈α␈l␈α↓l␈α∞oth␈α␈er␈α∞rep␈α␈resen␈α}table␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α∞are
␈β@␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈rthe␈α␈r␈α∂a␈α␈way␈α
beca␈α␈use␈α∞o␈α␈f␈α∞the␈α∞n␈α␈atu␈α␈re␈α∞of␈α∞sym␈α␈metric␈α∞ord␈α␈er.␈α∀The␈α␈refore␈α∞ro␈α␈un␈α␈d(␈↓
→␈ε x␈↓
*␈εβ)␈α∂is␈↓
h␈ε p␈↓ ∧␈εβ/␈↓ ∀␈ε q
␈βK␈↓
x␈εj␈↓ ␈εj
␈βh␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈↓ ↓r␈ε p␈↓ αβ␈εβ/␈↓ α∀␈ε q␈↓ α#␈εβ,␈α∞wh␈α␈ichev␈α}er␈α
is␈α
cl␈α↓o␈α␈ser.␈α≥(I␈α↓t␈α
freq␈α␈ue␈α␈n␈α␈tly␈α
h␈α␈app␈α␈en␈α␈s␈α
that␈↓ λ∩␈ε b␈↓ λ,␈εβ=␈α
0␈α␈;␈α∂in␈α
th␈α␈is␈α
case␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β∂␈↓ ↓H␈ε p␈↓ ↓Y␈εβ/␈↓ ↓i␈ε q␈↓ α↓␈εβ=␈↓ α,␈ε p␈↓ αm␈εβ/␈↓ α}␈ε q␈↓ β<␈εβ,␈αso␈↓ βy␈ε p␈↓ ∧∃␈εβ/␈↓ ∧%␈ε q␈↓ ∧I␈εβwill␈αauto␈α␈matica␈α␈ll␈α↓y␈α
be␈αclo␈α␈ser.)
␈β~␈↓ α<␈εj␈↓ αH␈ε~␈␈εε1␈↓ β
␈εj␈↓ β⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧ ␈εj␈↓ ∧1␈εj
␈βC␈↓ ↓V␈ε∪42.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αM.␈αS.␈αWaterm␈α␈an,␈ε⊂␈αBIT␈ε∪␈α17␈εβ␈α(19␈α␈77␈α␈)␈α↓,␈α46␈α␈5↑4␈α␈78␈α␈.
␈β
@␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.4
␈β∞∀␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε d␈↓ αU␈εβisn't␈αprime␈α␈,␈αits␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈αfactor␈α␈s␈αa␈α␈re␈αca␈α␈st␈αout␈αb␈α␈efore␈↓ λ≤␈ε d␈↓ λC␈εβi␈α↓s␈αtried␈α␈.
␈β∞≡␈↓ α=␈εk␈↓ λ+␈εk
␈β∞G␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβNo;␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
fail␈αi␈α↓f␈↓ ¬V␈ε p␈↓ ε≡␈εβ=␈↓ εI␈ε p␈↓ εb␈εβ,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α␈ing␈α\␈α␈1"␈αa␈α␈s␈αa␈αsp␈α␈uriou␈α␈s␈αprime␈αfa␈α␈ctor.
␈β∞Q␈↓ ¬f␈εt␈↓ ¬o␈ε~␈␈εε1␈↓ εY␈εt
␈β∞z␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αG␈ε P␈↓ αh␈εβb␈α␈e␈α th␈α␈e␈α p␈α␈rodu␈α␈ct␈α o␈α␈f␈α the␈α |␈α␈rst␈α 16␈α␈8␈α p␈α␈rimes.␈α∀(␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αAlth␈α␈ou␈α␈gh␈↓
␈ε P␈↓ .␈εβis␈α a␈α larg␈α␈e␈α n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er,
␈β∂"␈↓ ↓H␈εβit␈α
is␈α
c␈α␈onsid␈α␈erab␈α␈ly␈α
fa␈α␈ster␈α
on␈αma␈α␈n␈α␈y␈αcom␈α␈pu␈α␈ters␈α
to␈αcalcu␈α␈late␈α
th␈α␈is␈α
gc␈α␈d␈α
th␈α␈an␈αto␈α
d␈α␈o␈αthe␈α168
␈β∂I␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈α␈s,␈αif␈αw␈α␈e␈αjust␈αwan␈α}t␈αto␈αtest␈αwh␈α␈eth␈α␈er␈αor␈αn␈α␈ot␈↓ π␈ε n␈↓ π+␈εβi␈α↓s␈αp␈α␈rime.)
␈β∂⎇␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβIn␈αth␈α␈e␈αno␈α␈tation␈α
of␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α3.1↑␈α␈11,
␈β⊂=␈↓ β+␈ε↓X␈↓ εm␈ε↓X␈↓ πn␈ε↓Y
␈β⊂F␈↓ λ/␈ε↓∩␈↓ *␈ε↓∪
␈β⊂L␈↓ εL␈εβ1␈↓ ⊂␈ε k
␈β⊂\␈↓ βu␈ε~d␈↓ β␈␈εεlg␈↓ ∧↔␈εεma␈α␈x␈↓ ∧F␈εε(␈↓ ∧O␈ε⊗␈↓ ∧]␈εε+1,␈↓ ¬
␈ε∃␈↓ ¬~␈εε)␈ε~e
␈β⊂b␈↓ βd␈εβ2␈↓ ¬,␈ε P␈↓ ¬D␈εβ(␈↓ ¬O␈ε ⊗␈↓ ¬a␈εβ,␈↓ ¬p␈ε ∃␈↓ εβ␈εβ)␈α
=␈↓ π&␈ε f␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε l␈↓ πJ␈εβ)␈↓ λE␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ @␈εβ,
␈β⊂p␈↓ εF␈∧⊂pεFα≡␈↓ ␈∧⊂p α≡
␈β⊂z␈↓ εF␈ε m␈↓ ␈ε m
␈β⊃∪␈↓ β0␈ε⊗␈↓ β?␈εε,␈↓ βJ␈ε∃␈↓ εp␈εl␈↓ εw␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ π[␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λ↓␈εk␈↓ λ∞␈εε<␈↓ λ'␈εl
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα585
␈βα∧␈↓ β∩␈ε↓P
␈βα≡␈↓ ∧%␈ε~d␈↓ ∧/␈εεlg␈↓ ∧G␈εεma␈α␈x␈↓ ∧v␈εε(␈↓ ∧␈␈εl␈↓ ¬ε␈ε~␈␈↓ ¬ ␈ε∃␈↓ ¬0␈εε,␈↓ ¬7␈ε∃␈↓ ¬F␈εε)␈ε~␈α↓e␈↓ εi␈εk␈↓ εv␈εε+␈↓ π∂␈ε∩
␈βα"␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α*␈ε f␈↓ α9␈εβ(␈↓ αD␈ε l␈↓ αN␈εβ)␈α=␈↓ ∧∃␈εβ2␈↓ ¬Y␈εβ.␈α⊂If␈↓ ε∃␈ε l␈↓ ε+␈εβ=␈↓ εX␈εβ2␈↓ π≠␈εβ,␈α
where␈α0␈α<␈↓ λ↑␈ε ∩␈↓ λx␈ε↔∀␈εβ␈α1,␈α∞w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓
P␈ε f␈↓
`␈εβ(␈↓
k␈ε l␈↓
t␈εβ)␈α=
␈βα5␈↓ β8␈εε1␈ε~∀␈↓ β↑␈ε∃␈↓ βn␈ε~∀␈↓ ∧π␈εl
␈βαL␈↓ ↓Q␈εε2␈↓ α%␈ε~␈␈↓ α>␈ε∩␈↓ β8␈ε~␈␈εε2␈↓ β↑␈ε∩␈↓ εk␈ε~␈␈↓ π∧␈ε∩␈↓ π}␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ λ$␈ε∩
␈βαM␈↓ ≤␈εε9
␈βαP␈↓ ↓H␈ε l␈↓ ↓]␈εβ(␈α↓3␈ε↔␈αλ↓␈↓ α∀␈εβ2␈↓ αR␈ε↔␈␈εβ␈α 2␈ε↔␈α ↓␈↓ β(␈εβ2␈↓ βj␈εβ),␈α∞wh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈α
fun␈α␈ction␈α
3␈ε↔␈αλ↓␈↓ εZ␈εβ2␈↓ π_␈ε↔␈␈εβ␈α 2␈ε↔␈α ↓␈↓ πn␈εβ2␈↓ λ=␈εβrea␈α␈che␈α␈s␈α∞a␈αmax␈α␈im␈α␈um␈α
o␈α␈f
␈βα↑␈↓ ≤␈∧α↑≤α
␈βα`␈↓ ≤␈εε8
␈βαx␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈↓ ↓q␈ε ∩␈↓ α␈εβ=␈↓ α7␈εβlg␈↓ αQ␈εβ(4/␈α␈3)␈αan␈α␈d␈αha␈α␈s␈αa␈αminim␈α␈u␈α␈m␈αof␈α1␈αat␈↓ εE␈ε ∩␈↓ ε↑␈εβ=␈α0␈αan␈α␈d␈α1.␈α∞There␈α␈fore␈αthe␈αav␈α␈er␈α␈age␈αv␈α␈alue
␈ββ≠␈↓ ↓␈␈ε~d␈↓ α ␈εεlg␈↓ α!␈εεma␈α␈x␈↓ αP␈εε(␈↓ αY␈ε⊗␈↓ αg␈εε+␈α↓1␈α␈,␈↓ β∀␈ε∃␈↓ β$␈εε)␈ε~␈α↓e
␈ββ∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈εβ2␈↓ βB␈εβlies␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α1␈α␈.0␈αan␈α␈d␈α1.12␈α␈5␈αtimes␈αth␈α␈e␈αav␈α}erage␈α
valu␈α␈e␈αof␈↓ S␈ε ⊗␈↓ m␈εβ+␈↓
⊗␈ε ∃␈↓
)␈εβ,␈αand␈α
the
␈ββG␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sult␈αfollo␈α␈ws.
␈ββn␈↓ α␈εα(
␈ββq␈↓ α_␈εβAlgorith␈α␈m␈αB␈αis␈αa␈αre␈α␈|n␈α␈emen␈α}t␈αof␈αPollard␈α␈'␈α↓s␈αorigina␈α␈l␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m,␈αw␈α↓h␈α␈ich␈αw␈α↓a␈α␈s␈αba␈α␈sed␈αon
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α3␈α␈.␈α↓1␈α␈-6(b)␈αinstea␈α␈d␈αof␈αth␈α␈e␈α(␈α↓y␈α}et␈αun␈α␈disco␈α}v␈α␈ere␈α␈d)␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αin␈αex␈α}ercise␈α3.1↑␈α␈7.␈α∂He␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed
␈β∧<␈↓ λE␈εε2
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αlea␈α␈st␈↓ β→␈ε n␈↓ β9␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧O␈ε X␈↓ ¬
␈εβ=␈↓ ¬9␈ε X␈↓ ¬l␈εβha␈α␈s␈αav␈α}erage␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε↔␈α_␈εβ␈α(␈↓ λ3␈ε →␈↓ λR␈εβ/␈α␈12)␈↓ ∂␈ε Q␈↓ '␈εβ(␈↓ 2␈ε m␈↓ O␈εβ);␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αcon␈α␈stan␈α}t
␈β∧K␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ∧r␈εn␈↓ ¬P␈εn
␈β∧d␈↓ ↓Z␈εε2
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε →␈↓ ↓g␈εβ/␈α␈12␈αλi␈α↓s␈αλex␈α␈plaine␈α␈d␈α b␈α␈y␈αλEq.␈α 4.5.3␈α␈-␈α↓2␈α␈1.␈α
Hence␈αλth␈α␈e␈α av␈α}erag␈α␈e␈α v␈α␈alue␈αλof␈αλ3␈↓ λW␈ε n␈↓ λt␈εβin␈αλhis␈αλorigina␈α␈l␈α meth␈α␈od
␈β¬␈↓ α←␈εε5␈α␈/2
␈β¬
␈↓ β&␈∧¬
β&α≡␈↓ ∧e␈∧¬
∧eα≡
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβis␈ε↔␈α_␈εβ␈α(␈↓ α ␈ε →␈↓ α2␈εβ/2␈↓ αS␈εβ)␈↓ β∧␈ε↔p␈↓ β&␈ε m␈↓ βM␈εβ=␈α
3.09␈α␈2␈↓ ∧D␈ε↔p␈↓ ∧e␈ε m␈↓ ¬β␈εβ.␈α~Rich␈α␈ard␈αBren␈α}t␈αob␈α␈serv␈α}es␈αth␈α␈at,␈αa␈α␈s␈↓ ↓␈ε m␈↓ (␈ε↔!␈α
1␈εβ,␈αthe␈αd␈α␈ensity
␈β¬→␈↓ ↓H␈ε↓Q
␈β¬3␈↓ ε←␈εε3␈↓ π→␈εε2
␈β¬4␈↓ α=␈εα(␈↓ βC␈εα)␈↓ ∧7␈εα(␈↓ π1␈εα)
␈β¬7␈↓ αI␈εβ1␈ε↔␈α¬␈␈↓ β¬␈ε k␈↓ β⊗␈εβ/␈↓ β&␈ε m␈↓ βY␈εβ=␈↓ ∧β␈εβexp␈↓ ∧C␈ε↔␈␈↓ ∧d␈ε l␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧y␈ε l␈↓ ¬π␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/␈α␈2␈↓ ¬j␈ε m␈↓ ε␈εβ+␈↓ ε2␈ε O␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε l␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε m␈↓ π&␈εβ)␈↓ πF␈εβap␈α␈pro␈α␈ach␈α␈es␈α a␈α no␈α␈rmal␈α d␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈,
␈β¬J␈↓ ↓j␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α∂␈εk␈↓ α≥␈εε<␈↓ α6␈εl
␈β¬`␈↓ λ[␈ε~␈␈↓ λu␈ε∩␈↓ k␈ε~␈␈εε2␈↓
⊃␈ε∩
␈β¬d␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αw␈α␈e␈αmay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧@␈ε ∩␈↓ ∧Z␈εβis␈αu␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈αd␈α␈istribu␈α␈ted.␈αThen␈α
3␈ε↔␈αλ↓␈↓ λK␈εβ2␈↓ λ␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈ε↔␈απ↓␈↓ Z␈εβ2␈↓
(␈εβta␈α␈k␈α␈es␈αthe
␈βε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α3/(4␈↓ β]␈εβln␈↓ β}␈εβ2),␈αa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αitera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αne␈α␈ede␈α␈d␈αby␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αB
␈βε∃␈↓ ∧L␈ε↓p
␈βε0␈↓ ∧p␈∧ε0∧pαR
␈βε5␈↓ ∧0␈εε1
␈βε6␈↓ αx␈εα(␈↓ ∧@␈εα)
␈βε7␈↓ εb␈∧ε7εbα≡
␈βε8␈↓ εA␈ε↔p
␈βε9␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omes␈αλto␈ε↔␈αλ_␈↓ β∧␈εβ3␈α␈/(4␈↓ βF␈εβl␈α↓n␈↓ βh␈εβ2␈α␈)␈α∧+␈↓ ∧p␈ε →␈↓ ¬β␈ε m␈↓ ¬ ␈εβ/2␈↓ ¬K␈εβ=␈α 1.98␈α␈3␈↓ εb␈ε m␈↓ π␈εβ.␈α
A␈α similar␈αλan␈α␈alysis␈αλof␈α t␈α␈he␈αλmore␈αλg␈α␈enera␈α␈l
␈βεG␈↓ ∧0␈∧εG∧0α
␈βεI␈↓ ∧0␈εε2
␈βε↑␈↓ πu␈∧ε↑πuα≡
␈βε←␈↓ πS␈ε↔p
␈βε`␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d␈αin␈αthe␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αto␈αex␈α}ercise␈α3.1↑␈α␈7␈αgiv␈α␈e␈α␈s␈ε↔␈α_␈εβ␈α 1.926␈↓ πu␈ε m␈↓ λ∩␈εβ,␈αwh␈α␈en␈↓ λ}␈ε p␈↓ _␈εβ=␈α
2.47␈α␈71␈αis␈αcho␈α␈sen
␈βπ∧␈↓ ∧j␈εε2␈↓ ε?␈εε2
␈βπ¬␈↓ πW␈εα)
␈βπλ␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈op␈α␈ti␈α↓m␈α␈all␈α↓y␈α␈"␈αa␈α␈s␈αthe␈αro␈α␈ot␈αof␈α(␈↓ ∧Y␈ε p␈↓ ∧}␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ¬H␈εβln␈↓ ¬i␈ε p␈↓ εβ␈εβ=␈↓ ε.␈ε p␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ ε|␈ε p␈↓ π∀␈εβ+␈αλ1␈α␈.
␈βπE␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈ε x␈↓ α#␈εβmo␈α␈d␈↓ αg␈εβ3␈α
=␈α
0;␈↓ βR␈ε x␈↓ βi␈εβmod␈↓ ∧.␈εβ5␈α =␈α
0,␈α1␈α␈,␈α4;␈↓ ¬c␈ε x␈↓ ¬z␈εβmod␈↓ ε?␈εβ7␈α =␈α
0,␈α1␈α␈,␈α6;␈↓ πu␈ε x␈↓ λ␈εβmod␈↓ λP␈εβ8␈α =␈α
1,␈α3␈α␈,␈α5,␈α7␈α␈;␈↓
+␈ε x␈↓
F␈εβ>␈α
103␈α␈.
␈βπh␈↓ ¬?␈εε2␈↓ λ
␈εε2
␈βπl␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α|rst␈αtry␈α
i␈α↓s␈↓ β*␈ε x␈↓ βD␈εβ=␈α
10␈α␈5;␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓1␈α␈05␈↓ ¬3␈εβ)␈↓ ¬S␈ε↔␈␈εβ␈απ105␈α␈41␈α =␈α
4␈α␈84␈α =␈α
2␈↓ πy␈εβ2␈↓ λ↔␈εβ.␈αThis␈αw␈α␈ould␈α
also␈αha␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈een
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αAlgorith␈α␈m␈αC␈αin␈αa␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αsh␈α␈ort␈αtime.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α105␈α␈41␈α =␈α 83␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈27.
␈βλQ␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβLet␈α
us␈α
co␈α␈un␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α
(␈↓ ε8␈ε x␈↓ εI␈εβ,␈↓ εX␈ε y␈↓ εk␈εβ)␈α
of␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈grue␈α␈nce␈↓
␈ε N␈↓ 2␈ε↔⊃␈εβ␈α (␈↓ h␈ε x␈↓ ␈␈ε↔␈␈↓
'␈ε y␈↓
9␈εβ)(␈↓
P␈ε x␈↓
g␈εβ+␈↓ ∂␈ε y␈↓ !␈εβ)
␈βλx␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε p␈↓ αZ␈εβ),␈α
where␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ ∧&␈ε x␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧F␈ε y␈↓ ∧d␈εβ<␈↓ ¬⊃␈ε p␈↓ ¬"␈εβ.␈α⊂S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε∪␈ε N␈↓ ε>␈ε↔@⊃␈↓ εk␈εβ0␈αan␈α␈d␈↓ πJ␈ε p␈↓ πh␈εβis␈αprime,␈↓ λt␈ε x␈↓
␈εβ+␈↓ 7␈ε y␈↓ U␈ε↔@⊃␈↓
α␈εβ0.␈α∂F␈α↓o␈α␈r␈α
e␈α␈ach
␈β ␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓b␈ε↔@⊃␈↓ α
␈εβ0␈α
ther␈α␈e␈αis␈αa␈αu␈α␈niq␈α␈ue␈↓ ∧%␈ε u␈↓ ∧C␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ¬E␈ε p␈↓ ¬V␈εβ)␈αs␈α␈uch␈α
tha␈α␈t␈↓ ε␈␈ε N␈↓ π'␈ε↔⊃␈↓ πR␈ε u␈↓ πf␈ε v␈↓ πw␈εβ.␈αThe␈α
con␈α␈gru␈α␈ence␈α␈s␈↓
λ␈ε x␈↓
!␈ε↔␈␈↓
I␈ε y␈↓
e␈ε↔⊃␈↓ ∂␈ε u␈↓ #␈εβ,
␈β H␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓↑␈εβ+␈↓ αβ␈ε y␈↓ α∨␈ε↔⊃␈↓ αJ␈ε v␈↓ αd␈εβn␈α␈o␈α␈w␈α un␈α␈iqu␈α␈el␈α↓y␈αλd␈α␈etermin␈α␈e␈↓ ¬E␈ε x␈↓ ¬\␈εβmod␈↓ ε!␈ε p␈↓ ε:␈εβand␈↓ εy␈ε y␈↓ π⊃␈εβmo␈α␈d␈↓ πU␈ε p␈↓ πf␈εβ,␈α
sinc␈α␈e␈↓ λH␈ε p␈↓ λb␈εβis␈α od␈α␈d.␈α
T␈α↓h␈α}us␈αλthe␈α sta␈α␈ted
␈β o␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈nce␈αh␈α␈as␈αexa␈α␈ctly␈↓ ∧'␈ε p␈↓ ∧@␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α(␈↓ ε≡␈ε x␈↓ ε/␈εβ,␈↓ ε>␈ε y␈↓ εQ␈εβ).␈α∂If␈α(␈↓ π!␈ε x␈↓ π3␈εβ,␈↓ πB␈ε y␈↓ πT␈εβ)␈α
is␈αa␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
so␈αis␈α(␈↓
␈ε x␈↓
≥␈εβ,␈↓
+␈ε p␈↓
E␈ε↔␈␈↓
n␈ε y␈↓ ↓␈εβ)␈αif
␈β
∪␈↓ βh␈εε2␈↓ ∧:␈εε2
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε y␈↓ ↓c␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈α
sin␈α␈ce␈α
(␈↓ β
␈ε p␈↓ β#␈ε↔␈␈↓ βJ␈ε y␈↓ β]␈εβ)␈↓ β⎇␈ε↔⊃␈↓ ∧(␈ε y␈↓ ∧G␈εβ;␈α
and␈α if␈α
(␈↓ ¬C␈ε x␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬c␈ε y␈↓ ¬␈␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
(␈↓ ε←␈ε x␈↓ εp␈εβ,␈↓ ε␈␈ε y␈↓ π≠␈εβ)␈α
ar␈α␈e␈α
solu␈α␈tions␈α wi␈α↓th␈↓ :␈ε y␈↓ ←␈ε↔≤␈↓
␈ε y␈↓
&␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β
!␈↓ ¬s␈εε1␈↓ π∂␈εε2␈↓ I␈εε1␈↓
~␈εε2
␈β
:␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ α-␈εε2
␈β
>␈↓ ↓H␈ε y␈↓ ↓p␈ε↔⊃␈↓ α≠␈ε y␈↓ α:␈εβ;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈↓ β(␈ε y␈↓ βM␈εβ=␈↓ βx␈ε p␈↓ ∧∞␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε y␈↓ ∧Q␈εβ.␈α
Th␈α␈u␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α n␈α␈um␈α}ber␈α of␈α di{eren␈α}t␈↓ λ
␈ε x␈↓ λ'␈εβvalu␈α␈es␈α
a␈α␈mon␈α␈g␈α the␈α so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈β
I␈↓ β7␈εε1␈↓ ∧D␈εε2
␈β
N␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ α-␈εε2
␈β
b␈↓ ∧U␈εε2␈↓ *␈εε2
␈β
f␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε x␈↓ ↓d␈εβ,␈↓ ↓s␈ε y␈↓ α¬␈εβ)␈αis␈α(␈↓ αH␈ε p␈↓ α`␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/␈α␈2␈αif␈↓ βq␈ε N␈↓ ∧→␈ε↔⊃␈↓ ∧C␈ε x␈↓ ∧l␈εβhas␈αn␈α␈o␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α␈,␈αo␈α␈r␈α(␈↓ π≡␈ε p␈↓ π6␈εβ+␈αλ1␈α␈)/2␈αif␈↓ λF␈ε N␈↓ λn␈ε↔⊃␈↓ →␈ε x␈↓ B␈εβh␈α␈as␈αsolut␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.
␈β#␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αi␈α↓s␈αto␈αk␈α}eep␈αt␈α␈wo␈αind␈α␈i␈α↓c␈α␈es␈αfor␈αeach␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓u␈α␈s,␈αone␈αfor␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α}t␈αw␈α␈ord
␈βK␈↓ ↓H␈εβp␈α␈osition␈α
a␈α␈nd␈α
on␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αth␈α␈e␈α
curre␈α␈n␈α␈t␈α
bit␈αp␈α␈osition␈α␈;␈αload␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
wo␈α␈rds␈α
of␈α
the␈α
tab␈α␈le␈αa␈α␈nd␈α
d␈α␈oing
␈βr␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αind␈α␈ex␈α␈e␈α␈d␈αshift␈αcom␈α␈man␈α␈d␈αwil␈α↓l␈αbrin␈α␈g␈αthe␈αta␈α␈ble␈αen␈α␈t␈α␈ri␈α↓e␈α␈s␈α
in␈α}to␈αpro␈α␈per␈αalign␈α␈men␈α}t.␈α≤(Ma␈α␈n␈α␈y
␈β~␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uters␈αh␈α␈av␈α}e␈αspe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l␈αfa␈α␈cil␈α↓ities␈αfor␈αsu␈α␈ch␈αb␈α␈it␈αman␈α␈ipu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.)
␈βW␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ(We␈αλmay␈απas␈α␈sume␈απtha␈α␈t␈↓ ∧J␈ε N␈↓ ∧r␈εβ=␈α
2␈↓ ¬.␈ε M␈↓ ¬X␈εβis␈αλev␈α}en.)␈α⊃Th␈α␈e␈αλfollo␈α␈wing␈απalgorith␈α␈m␈αλu␈α␈ses␈αλan␈απau␈α␈xiliary
␈β}␈↓ ↓H␈εβta␈α␈ble␈↓ α≠␈ε X␈↓ α6␈εβ[␈α↓1␈α␈]␈α↓,␈↓ αn␈ε X␈↓ β ␈εβ[␈α↓2␈α␈]␈α↓,␈↓ βA␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βm␈εβ,␈↓ ∧α␈ε X␈↓ ∧≥␈εβ[␈↓ ∧&␈ε M␈↓ ∧I␈εβ],␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬G␈ε X␈↓ ¬b␈εβ[␈↓ ¬l␈ε k␈↓ ¬|␈εβ]␈αrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈s␈αt␈α␈he␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈ality␈αof␈α2␈↓ 0␈ε k␈↓ G␈εβ+␈αλ1.
␈β
;␈↓ α→␈ε∪S␈α␈1.␈↓ αP␈εβSet␈↓ β
␈ε X␈↓ β%␈εβ[␈↓ β/␈ε k␈↓ β?␈εβ]␈ε↔␈α
␈εβ␈α 1␈αfor␈α1␈ε↔␈α ∀␈↓ ¬⊂␈ε k␈↓ ¬*␈ε↔∀␈↓ ¬U␈ε M␈↓ ¬w␈εβ.␈αAlso␈αset␈↓ π
␈ε j␈↓ π"␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ πr␈ε p␈↓ λ␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ λ\␈ε p␈↓ λv␈ε↔ ␈εβ␈α
3␈α␈,␈↓ F␈ε q␈↓ ↑␈ε↔ ␈εβ␈α 4.␈α~(Du␈α␈ring
␈β
←␈↓ π∪␈εε2
␈β
c␈↓ αP␈εβthis␈αalgo␈α␈rithm␈↓ ∧)␈ε p␈↓ ∧C␈εβ=␈α 2␈↓ ∧}␈ε j␈↓ ¬∀␈εβ+␈απ1,␈↓ ¬a␈ε q␈↓ ¬y␈εβ=␈α
2␈↓ ε5␈ε j␈↓ εK␈εβ+␈απ2␈↓ π∧␈ε j␈↓ π∨␈εβ;␈αt␈α␈he␈αin␈α␈t␈α␈eger␈αv␈α␈ariab␈α␈les␈↓ g␈ε j␈↓ v␈εβ,␈↓
␈ε k␈↓
≠␈εβ,␈↓
/␈ε p␈↓
@␈εβ,␈↓
T␈ε q␈↓
n␈εβm␈α␈ay
␈β∞
␈↓ αP␈εβread␈α␈i␈α↓ly␈α
be␈αma␈α␈nip␈α␈ulated␈α
in␈αind␈α␈ex␈αre␈α␈gisters.)
␈β∞G␈↓ α→␈ε∪S␈α␈2.␈↓ αP␈εβI␈α↓f␈↓ αr␈ε X␈↓ β
␈εβ[␈↓ β⊗␈ε j␈↓ β%␈εβ]␈α
=␈α 0,␈αgo␈αto␈αS␈α␈4.␈αOth␈α␈erwise␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈↓ π≡␈ε p␈↓ π/␈εβ,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αis␈αprime,␈αan␈α␈d␈αse␈α␈t␈↓
!␈ε k␈↓
;␈ε↔ ␈↓
f␈ε q␈↓
t␈εβ.
␈β∂∧␈↓ α→␈ε∪S␈α␈3.␈↓ αP␈εβI␈α↓f␈↓ αr␈ε k␈↓ β␈ε↔∀␈↓ β6␈ε M␈↓ βX␈εβ,␈αth␈α␈en␈αse␈α␈t␈↓ ∧l␈ε X␈↓ ¬λ␈εβ[␈↓ ¬⊃␈ε k␈↓ ¬"␈εβ]␈ε↔␈α ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ε∧␈ε k␈↓ ε≥␈ε↔ ␈↓ εH␈ε k␈↓ ε`␈εβ+␈↓ πλ␈ε p␈↓ π→␈εβ,␈αand␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈i␈α↓s␈αste␈α␈p.
␈β∂A␈↓ α→␈ε∪S␈α␈4.␈↓ αP␈εβSet␈↓ β
␈ε j␈↓ β"␈ε↔ ␈↓ βM␈ε j␈↓ βc␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧1␈ε p␈↓ ∧K␈ε↔ ␈↓ ∧u␈ε p␈↓ ¬∞␈εβ+␈απ2,␈↓ ¬[␈ε q␈↓ ¬s␈ε↔ ␈↓ ε≡␈ε q␈↓ ε4␈εβ+␈αλ2␈↓ εm␈ε p␈↓ πε␈ε↔␈␈εβ␈απ2.␈αI␈α↓f␈↓ πu␈ε j␈↓ λ
␈ε↔∀␈↓ λ8␈ε M␈↓ λZ␈εβ,␈αreturn␈α
to␈αS␈α␈2.
␈β∂C␈↓
N␈∧∂C
N≠∂
␈β∂}␈↓ ↓H␈εβA␈α major␈α pa␈α␈rt␈α
o␈α␈f␈α
this␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
c␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α b␈α␈e␈α
ma␈α␈de␈α no␈α␈ti␈α↓c␈α␈eab␈α␈l␈α↓y␈α fa␈α␈ster␈α
if␈↓
␈ε q␈↓ %␈εβ(i␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈α
o␈α␈f␈↓
G␈ε j␈↓
V␈εβ)␈α
w␈α␈ere
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβte␈α␈sted␈α
aga␈α␈i␈α↓n␈α␈st␈↓ β≤␈ε M␈↓ βI␈εβi␈α↓n␈α
step␈α
S4␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
if␈αa␈αn␈α␈ew␈αloop␈α
w␈α␈ere␈αa␈α␈pp␈α␈end␈α␈ed␈α
tha␈α␈t␈αou␈α␈tpu␈α␈ts␈α2␈↓
*␈ε j␈↓
@␈εβ+␈απ1␈αfo␈α␈r
␈β⊂M␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αrem␈α␈aining␈↓ β⊃␈ε X␈↓ β-␈εβ[␈↓ β6␈ε j␈↓ βE␈εβ]␈αtha␈α␈t␈αequ␈α␈al␈α1,␈αsup␈α␈pressin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αman␈α␈i␈α↓p␈α␈ula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ λ{␈ε p␈↓ ↔␈εβa␈α␈nd␈↓ X␈ε q␈↓ f␈εβ.
␈β⊂w␈↓ α␈εβFurth␈α␈er␈απdiscu␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈απof␈αλsiev␈α}e␈αλm␈α␈etho␈α␈ds␈απf␈α↓o␈α␈r␈αλg␈α␈ene␈α␈rating␈απpr␈α␈i␈α↓m␈α␈es␈αλap␈α␈pe␈α␈ars␈απi␈α↓n␈απex␈α}ercise␈απ5.2.3↑
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈5␈αan␈α␈d␈αin␈αS␈α␈ection␈α
7.1.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα586␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.4
␈βα&␈↓ α<␈εε2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α+␈ε p␈↓ αR␈εβis␈α
a␈αλdiviso␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ ∧≤␈ε n␈↓ ∧9␈εβfor␈α so␈α␈me␈α pr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈↓ ε_␈ε p␈↓ ε)␈εβ,␈α
the␈α␈n␈↓ πε␈ε p␈↓ π ␈εβi␈α↓s␈α a␈αλdivisor␈α o␈α␈f␈↓ λj␈ε ∃␈↓ λ⎇␈εβ(␈↓ λ␈ε n␈↓ ≤␈εβ),␈α
bu␈α␈t␈α no␈α␈t␈α
o␈α␈f␈↓
T␈ε n␈↓
l␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈.
␈βαR␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓j␈ε n␈↓ α ␈εβ=␈↓ α6␈ε p␈↓ αR␈ε p␈↓ αo␈εβ,␈αwhere␈↓ βf␈ε p␈↓ ∧
␈εβ<␈↓ ∧:␈ε p␈↓ ∧c␈εβa␈α␈re␈αprime␈α␈s,␈α
the␈α␈n␈↓ ε↑␈ε p␈↓ πβ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αis␈α
a␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ ∨␈ε ∃␈↓ 2␈εβ(␈↓ >␈ε n␈↓ R␈εβ)␈αan␈α␈d␈αth␈α␈erefore
␈βα\␈↓ αF␈εε1␈↓ αb␈εε2␈↓ βv␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ εn␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈ε p␈↓ ↓d␈ε p␈↓ απ␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈α ⊃␈εβ␈α
0␈α (mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ∧∂␈ε p␈↓ ∧2␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈).␈αS␈α␈ince␈↓ ¬a␈ε p␈↓ επ␈ε↔⊃␈εβ␈α 1,␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
mea␈α␈ns␈↓ π|␈ε p␈↓ λ∨␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
i␈α↓s␈α
a␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈↓
G␈ε p␈↓
j␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,
␈ββ∧␈↓ ↓W␈εε1␈↓ ↓t␈εε2␈↓ ∧∨␈εε2␈↓ ¬q␈εε2␈↓ λ␈εε1␈↓
W␈εε2
␈ββ≡␈↓ ε~␈εα(
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tra␈α␈dictin␈α␈g␈α
the␈αassu␈α␈mption␈↓ ¬↓␈ε p␈↓ ¬*␈εβ<␈↓ ¬X␈ε p␈↓ ¬t␈εβ.␈↓ ε&␈εβValue␈α␈s␈α
of␈↓ π<␈ε n␈↓ π]␈εβfor␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ λu␈ε ∃␈↓ λ␈εβ(␈↓ ∪␈ε n␈↓ '␈εβ)␈α∞p␈α␈rop␈α␈erly␈α
d␈α␈ivide␈α␈s
␈ββ,␈↓ ¬⊃␈εε1␈↓ ¬g␈εε2
␈ββI␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓b␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α are␈α
ca␈α␈l␈α↓led␈α \Ca␈α␈rmicha␈α␈el␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α↓"␈α
For␈α
ex␈α␈am␈α␈ple,␈αh␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
som␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈α
Ca␈α␈rmicha␈α␈el
␈ββp␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α wi␈α↓th␈α u␈α␈p␈α to␈α six␈α prime␈α facto␈α␈rs:␈α3␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬11␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬17,␈α
5␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬17,␈α
7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬11␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬41,␈α
5␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε1␈α␈7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε1␈α␈9␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε73␈α␈,
␈β∧∃␈↓ ∧␈εα)
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβ5␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ17␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ73␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ8␈α␈9␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ10␈α␈7.
␈β∧I␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε k␈↓ αp␈εβbe␈α
the␈αo␈α␈rder␈α
of␈↓ ∧S␈ε x␈↓ ∧{␈εβmod␈α␈ulo␈↓ ¬q␈ε n␈↓ ε¬␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
let␈↓ π
␈ε ∃␈↓ π(␈εβbe␈αth␈α␈e␈αleast␈α
comm␈α␈on␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈αall
␈β∧S␈↓ αX␈εp␈↓ ∧b␈εp
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ αα␈ε k␈↓ α≡␈εβ'␈α↓s.␈α∞Th␈α␈en␈↓ β$␈ε ∃␈↓ βC␈εβis␈αa␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αof␈↓ ¬_␈ε n␈↓ ¬4␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αb␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈αo␈α␈f␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α(␈↓ πg␈ε n␈↓ λβ␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α␈)␈α↓/␈↓ λY␈ε p␈↓ λj␈εβ,␈α
so␈↓ )␈ε ∃␈↓ G␈εβ=␈↓ s␈ε n␈↓
⊂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α∂S␈α␈ince
␈β∧{␈↓ α⊃␈εp
␈β¬∀␈↓ ↓Y␈ε⎇␈↓ ↓j␈εε(␈↓ ↓s␈εn␈↓ αβ␈εε)
␈β¬_␈↓ ↓H␈ε x␈↓ α⊃␈εβmo␈α␈d␈↓ αU␈ε n␈↓ αs␈εβ=␈α 1,␈↓ βA␈ε ⎇␈↓ βV␈εβ(␈↓ βa␈ε n␈↓ βu␈εβ)␈α
is␈α
a␈α m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
o␈α␈f␈↓ ¬j␈ε k␈↓ ε⊂␈εβfo␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ εn␈ε p␈↓ ε␈␈εβ,␈α
so␈↓ π9␈ε ⎇␈↓ πO␈εβ(␈↓ πZ␈ε n␈↓ πn␈εβ)␈ε↔␈α ∃␈↓ λ-␈ε ∃␈↓ λ@␈εβ.␈αBut␈↓ ∪␈ε ⎇␈↓ )␈εβ(␈↓ 4␈ε n␈↓ H␈εβ)␈α <␈↓
π␈ε n␈↓
␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α
wh␈α␈en
␈β¬"␈↓ ¬x␈εp
␈β¬'␈↓ ↓Y␈εp
␈β¬?␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓h␈εβis␈α
n␈α␈ot␈αprime␈α␈.␈α≥(An␈α␈oth␈α␈er␈αway␈αto␈αcar␈α␈ry␈αout␈αth␈α␈e␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈α
is␈αto␈αcon␈α␈struct␈αan␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈↓
s␈ε x␈↓ ⊃␈εβo␈α␈f
␈β¬g␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈↓ α∨␈ε n␈↓ α:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈αth␈α␈e␈↓ ∧π␈ε x␈↓ ∧%␈εβ's,␈αby␈α
the␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αof␈αex␈α}ercise␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.2↑1␈α␈5.)
␈β¬r␈↓ ∧↔␈εp
␈βε≤␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ βg␈ε U␈↓ ∧P␈ε V␈↓ ¬7␈ε A␈↓ ε%␈ε P␈↓ ε␈␈ε S␈↓ πc␈ε T␈↓ ¬␈εβOu␈α␈tp␈α␈ut
␈βεK␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧l␈εβ1␈↓ ¬S␈εβ0␈↓ ε)␈εβ9␈α␈92␈↓ πα␈εβ0␈↓ πX␈εβ←
␈βεs␈↓ βT␈εβ1␈α␈981␈↓ ∧:␈εβ198␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ1␈↓ ε)␈εβ9␈α␈92␈↓ πα␈εβ1␈↓ π7␈εβ19␈α␈81
␈βπ⊗␈↓ λq␈εε2␈↓ c␈εε2
␈βπ~␈↓ βT␈εβ1␈α␈983␈↓ ∧l␈εβ4␈↓ ¬2␈εβ4␈α␈95␈↓ ε)␈εβ9␈α␈93␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ?␈εβ99␈↓ λ`␈εβ3␈↓ π␈ε↔⊃␈εβ␈α +␈↓ S␈εβ2
␈βπB␈↓ βT␈εβ1␈α␈983␈↓ ∧K␈εβ99␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ2␈↓ επ␈εβ981␈α␈09␈↓ πα␈εβ1␈↓ πH␈εβ9␈α␈91
␈βπf␈↓ λq␈εε2␈↓ c␈εε2
␈βπj␈↓ βT␈εβ1␈α␈981␈↓ ∧l␈εβ4␈↓ ¬2␈εβ4␈α␈95␈↓ εJ␈εβ2␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ`␈εβ2␈↓ π␈ε↔⊃␈εβ␈α +␈↓ S␈εβ2
␈βλ⊃␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧:␈εβ198␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ1␈↓ επ␈εβ990␈α␈99␈↓ πα␈εβ1␈↓ π7␈εβ19␈α␈81
␈βλ5␈↓ λq␈εε2␈↓ c␈εε0
␈βλ9␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧l␈εβ1␈↓ ¬!␈εβ19␈α␈84␈↓ επ␈εβ991␈α␈01␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ≡␈εβ9␈α␈910␈↓ λ`␈εβ1␈↓ π␈ε↔⊃␈εβ␈α +␈↓ S␈εβ2
␈βλh␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α fact␈α␈orization␈αλ19␈α␈9␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α∧991␈αλi␈α↓s␈α e␈α␈vide␈α␈n␈α␈t␈α from␈αλthe␈α |␈α␈rst␈α or␈α la␈α␈st␈α ou␈α␈tpu␈α␈ts.␈αTh␈α␈e␈α sho␈α␈rtness␈αλof␈α the
␈β ⊂␈↓ ↓H␈εβc␈α␈y␈α␈cle,␈απan␈α␈d␈α¬the␈α¬app␈α␈ear␈α␈anc␈α␈e␈αεof␈αεth␈α␈e␈αεw␈α␈ell-kn␈α␈o␈α␈wn␈α¬n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αε19␈α␈84,␈απa␈α␈re␈αεpr␈α␈oba␈α␈bly␈α¬just␈αεc␈α␈oincid␈α␈enc␈α␈es.
␈β A␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβThe␈αfollo␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈αalgorith␈α␈m␈αma␈α␈k␈α␈es␈αuse␈αo␈α␈f␈αan␈αau␈α␈xili␈α↓a␈α␈ry␈α(␈↓ λπ␈ε m␈↓ λ,␈εβ+␈αλ1)␈ε↔␈αλα␈εβ␈αλ(␈↓ -␈ε m␈↓ R␈εβ+␈αλ1)␈αma␈α␈trix␈αo␈α␈f
␈β h␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈gle-pre␈α␈cisi␈α↓o␈α␈n␈α in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ∧'␈ε E␈↓ ∧S␈εβ,␈α
0␈ε↔␈α ∀␈↓ ¬+␈ε j␈↓ ¬:␈εβ,␈↓ ¬H␈ε k␈↓ ¬b␈ε↔∀␈↓ ε
␈ε m␈↓ ε*␈εβ;␈α
a␈α single-p␈α␈recision␈α v␈α}ector␈α (␈↓ +␈ε b␈↓ D␈εβ,␈↓ S␈ε b␈↓ k␈εβ,␈↓ z␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
&␈εβ,␈↓
5␈ε b␈↓
X␈εβ)␈α↓;␈α
a␈α␈nd
␈β s␈↓ ∧:␈εj␈↓ ∧F␈εk␈↓ 7␈εε0␈↓ ←␈εε1␈↓
A␈εm
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple-p␈α␈recision␈αv␈α}ecto␈α␈r␈α(␈↓ ∧`␈ε x␈↓ ∧⎇␈εβ,␈↓ ¬␈ε x␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ ¬6␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬q␈ε x␈↓ ε_␈εβ)␈αwi␈α↓th␈α
en␈α}tri␈α↓e␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
the␈αra␈α␈ng␈α␈e␈α0␈ε↔␈α ∀␈↓ d␈ε x␈↓
␈εβ<␈↓
4␈ε N␈↓
S␈εβ.
␈β
~␈↓ ∧p␈εε0␈↓ ¬≠␈εε1␈↓ ε↓␈εm␈↓ s␈εk
␈β
?␈↓ ↓Q␈ε∪F1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε b␈↓ ∧_␈ε↔ ␈α
␈␈εβ1␈αfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α ∀␈↓ ¬x␈ε i␈↓ ε∞␈ε↔∀␈↓ ε9␈ε m␈↓ εV␈εβ;␈αthe␈α␈n␈αset␈↓ πj␈ε j␈↓ λα␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β
J␈↓ ∧∧␈εi
␈β
o␈↓ ↓Q␈ε∪F2.␈↓ α␈εβ[Nex␈α␈t␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.]␈α~Get␈αthe␈αne␈α␈xt␈αout␈α␈pu␈α␈t␈α(␈↓ εH␈ε x␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε e␈↓ π↓␈εβ,␈↓ π⊂␈ε e␈↓ π(␈εβ,␈↓ π7␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πc␈εβ,␈↓ πr␈ε e␈↓ λ⊗␈εβ)␈αpro␈α␈du␈α␈ced␈αb␈α␈y␈αA␈α↓lg␈α␈orithm␈αE␈↓ #␈εβ.
␈β
y␈↓ εt␈εε0␈↓ π≤␈εε1␈↓ π}␈εm
␈β⊗␈↓ α␈εβ(It␈αi␈α↓s␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈i␈α↓en␈α}t␈αto␈αreg␈α␈ard␈α
A␈α↓lg␈α␈orithm␈α␈s␈αE␈αa␈α␈nd␈αF␈αas␈αc␈α␈orou␈α␈tines.)␈α→Se␈α␈t␈↓ d␈ε k␈↓ }␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈βE␈↓ ↓Q␈ε∪F3.␈↓ α␈εβ[Sea␈α␈rch␈αfor␈αo␈α␈dd␈α␈.␈α↓]␈α~If␈↓ ∧:␈ε k␈↓ ∧U␈εβ>␈↓ ¬↓␈ε m␈↓ ¬*␈εβg␈α␈o␈αto␈αstep␈αF5.␈α
Oth␈α␈erwise␈αif␈↓ λB␈ε e␈↓ λg␈εβis␈αev␈α}en,␈αse␈α␈t␈↓
∀␈ε k␈↓
/␈ε↔ ␈↓
Z␈ε k␈↓
s␈εβ+␈αλ1
␈βP␈↓ λN␈εk
␈βm␈↓ α␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αt␈α␈his␈αstep␈α␈.
␈β≤␈↓ ↓Q␈ε∪F4.␈↓ α␈εβ[Li␈α↓n␈α␈ear␈αd␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈ce?]␈α≠If␈↓ ∧y␈ε b␈↓ ¬≥␈ε↔∃␈εβ␈α0,␈αth␈α␈en␈αse␈α␈t␈↓ εp␈ε i␈↓ πλ␈ε↔ ␈↓ π4␈ε b␈↓ πM␈εβ,␈↓ πb␈ε x␈↓ π}␈ε↔ ␈εβ␈α(␈↓ λ5␈ε x␈↓ λO␈ε x␈↓ λa␈εβ)␈↓ λq␈εβmod␈↓ 6␈ε N␈↓ U␈εβ,␈↓ j␈ε e␈↓
␈ε↔ ␈↓
9␈ε e␈↓
Y␈εβ+␈↓ α␈ε E
␈β'␈↓ ¬¬␈εk␈↓ π@␈εk␈↓ λE␈εi␈↓ v␈εr␈↓
E␈εr␈↓ ⊗␈εi␈↓ ␈εr
␈βD␈↓ α␈εβfor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ β
␈ε r␈↓ β$␈ε↔∀␈↓ βQ␈ε m␈↓ βn␈εβ;␈α∞s␈α␈et␈↓ ∧:␈ε k␈↓ ∧U␈ε↔ ␈↓ ¬α␈ε k␈↓ ¬≠␈εβ+␈αλ1␈α
a␈α␈nd␈αre␈α␈turn␈αto␈αF3.␈α∂Oth␈α␈erwise␈α
s␈α␈et␈↓ H␈ε b␈↓ l␈ε↔ ␈↓
→␈ε j␈↓
(␈εβ,␈↓
>␈ε x␈↓
e␈ε↔ ␈↓ ∩␈ε x␈↓ #␈εβ,
␈βO␈↓ T␈εk␈↓
N␈εj
␈βl␈↓ α␈ε E␈↓ αB␈ε↔ ␈↓ αn␈ε e␈↓ β∩␈εβfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧
␈ε r␈↓ ∧&␈ε↔∀␈↓ ∧R␈ε m␈↓ ∧o␈εβ;␈αset␈↓ ¬9␈ε j␈↓ ¬R␈ε↔ ␈↓ ¬}␈ε j␈↓ ε∀␈εβ+␈α 1␈αan␈α␈d␈αreturn␈αto␈αF2.␈α≠(In␈αthe␈αlatter␈αc␈α␈ase␈αw␈α␈e
␈βv␈↓ α∨␈εj␈↓ α,␈εr␈↓ αz␈εr
␈β
∪␈↓ α␈εβha␈α␈v␈α␈e␈α¬a␈αεn␈α␈ew␈αεline␈α␈arly␈α¬i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αεso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈,␈αλm␈α␈od␈α␈ulo␈α¬2,␈απwho␈α␈se␈αε|␈α␈rst␈αεo␈α␈dd␈α¬com␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈αεis␈↓
␈␈ε e␈↓ _␈εβ.)
␈β
≡␈↓ ␈εk
␈β
C␈↓ ↓Q␈ε∪F5.␈↓ α␈εβ[Try␈αto␈αfa␈α␈ctor.]␈α→(No␈α␈w␈↓ ∧Y␈ε e␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬ε␈ε e␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬`␈εβ,␈↓ ¬t␈ε e␈↓ ε"␈εβare␈αev␈α}en.)␈α→Se␈α␈t
␈β
M␈↓ ∧e␈εε0␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ε␈εm
␈β
␈␈↓ ε8␈εe␈↓ εM␈εε/2
␈β∞␈↓ ¬x␈εe␈↓ ε
␈εε/2␈↓ π$␈εe␈↓ πD␈εε/␈α␈2
␈β∞β␈↓ ¬$␈εα(␈↓ π]␈εα)
␈β∞ε␈↓ ∧↑␈ε y␈↓ ∧y␈ε↔ ␈↓ ¬0␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬m␈εβ)␈↓ ε'␈ε p␈↓ εf␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∪␈ε p␈↓ π.␈ε
m␈↓ πn␈εβmod␈↓ λ3␈ε N␈↓ λR␈εβ.
␈β∞π␈↓ εα␈επ0␈↓ εB␈επ1
␈β∞∃␈↓ ε8␈εε1␈↓ π$␈εm
␈β∞I␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε x␈↓ αG␈εβ=␈↓ αr␈ε y␈↓ β∂␈εβor␈α
if␈↓ βV␈ε x␈↓ βn␈εβ+␈↓ ∧⊗␈ε y␈↓ ∧2␈εβ=␈↓ ∧]␈ε N␈↓ ∧{␈εβ,␈αretur␈α␈n␈αto␈α
F2.␈αOth␈α␈erwise␈α
comp␈α␈ute␈↓ λ{␈εβgc␈α␈d␈↓ -␈εβ(␈↓ 8␈ε x␈↓ P␈ε↔␈␈↓ x␈ε y␈↓
␈εβ,␈↓
→␈ε N␈↓
8␈εβ),␈αwhich
␈β∞p␈↓ α␈εβis␈αa␈αpro␈α␈pe␈α␈r␈αfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ ∧:␈ε N␈↓ ∧X␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αte␈α␈rmina␈α␈te␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m.
␈β∞r␈↓ λ9␈∧∞rλ9≠∂
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβIt␈α
can␈α
be␈α
sho␈α}wn␈αth␈α␈at␈α
this␈αalg␈α␈orithm␈α
|n␈α␈ds␈α
a␈αfac␈α␈tor,␈αwhe␈α␈nev␈α}er␈αo␈α␈ne␈α
i␈α↓s␈α
ded␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αfrom␈α
the
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αo␈α␈utp␈α␈uts␈αo␈α␈f␈αA␈α↓lg␈α␈orithm␈αE.
␈β∂|␈↓ αX␈εε2
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε f␈↓ α≤␈εβ(␈↓ α'␈ε p␈↓ α8␈εβ,␈↓ αG␈ε p␈↓ αd␈ε d␈↓ αw␈εβ)␈α =␈α
2␈α␈/(␈↓ βb␈ε p␈↓ βw␈εβ+␈α¬1)␈α¬+␈↓ ∧d␈ε f␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε p␈↓ ¬⊂␈εβ,␈↓ ¬≡␈ε d␈↓ ¬1␈εβ)/␈↓ ¬M␈ε p␈↓ ¬]␈εβ,␈α
since␈αλ1/(␈↓ εl␈ε p␈↓ π↓␈εβ+␈α¬1)␈α is␈α the␈α p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α th␈α␈at␈↓
∪␈ε A␈↓
2␈εβis␈α a␈α m␈α␈u␈α␈l-
␈β⊂#␈↓ j␈εε2␈↓ ␈εε2
␈β⊂$␈↓ λo␈εε1
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβtip␈α␈l␈α↓e␈απo␈α␈f␈↓ α2␈ε p␈↓ αC␈εβ.␈↓ α[␈ε f␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε p␈↓ βπ␈εβ,␈↓ β⊗␈ε p␈↓ β'␈ε d␈↓ β9␈εβ)␈α
=␈α 1/(␈↓ ∧%␈ε p␈↓ ∧8␈εβ+␈αα1)␈απwhe␈α␈n␈↓ ¬Q␈ε d␈↓ ¬i␈εβmo␈α␈d␈↓ ε-␈ε p␈↓ εH␈ε↔≤␈εβ␈α 0.␈↓ π≠␈ε f␈↓ π+␈εβ(2,␈α¬4␈↓ πf␈ε k␈↓ πx␈εβ+␈αβ3␈α␈)␈α
=␈↓ ε␈εβsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ T␈ε A␈↓ y␈ε↔␈␈εβ␈αα(4␈↓
8␈ε k␈↓
J␈εβ+␈αβ3␈α␈)␈↓
␈ε B
␈β⊂6␈↓ λo␈∧⊂6λoα
␈β⊂8␈↓ λo␈εε3
␈β⊂K␈↓ π%␈εε2␈↓ λk␈εε2
␈β⊂L␈↓ ε#␈εε2
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈αa␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈α
4;␈↓ ∧G␈ε f␈↓ ∧V␈εβ(␈α↓2␈α␈,␈αε8␈↓ ¬∩␈ε k␈↓ ¬(␈εβ+␈απ5)␈α =␈↓ ε>␈εβsinc␈α␈e␈↓ π∞␈ε A␈↓ π8␈ε↔␈␈εβ␈αε(8␈↓ π{␈ε k␈↓ λ∩␈εβ+␈αε5)␈↓ λU␈ε B␈↓ α␈εβcan␈α␈no␈α␈t␈αb␈α␈e␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β⊂]␈↓ ε#␈∧⊂]ε#α
␈β⊂←␈↓ ε#␈εε3
␈β⊂r␈↓
β␈εε2
␈β⊂s␈↓ ∧¬␈εε1␈↓ ∧M␈εε1␈↓ ¬∃␈εε1␈↓ ¬\␈εε1␈↓ ε*␈εε1␈↓ π\␈εε4
␈β⊂t␈↓ )␈εα(␈↓
}␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞8;␈↓ α~␈ε f␈↓ α*␈εβ(2,␈αε8␈↓ αe␈ε k␈↓ α␈␈εβ+␈α 1)␈α∞=␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬.␈εβ+␈↓ ¬v␈εβ+␈↓ εJ␈εβ+␈↓ εu␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π)␈εβ=␈↓ πl␈εβ.␈↓ λ∀␈ε f␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε p␈↓ λ@␈εβ,␈↓ λN␈ε d␈↓ λa␈εβ)␈α∞=␈↓ 5␈εβ2␈↓ E␈ε p␈↓ V␈εβ/(␈↓ r␈ε p␈↓
→␈ε↔␈␈εβ␈α 1),␈αε0␈↓ _␈εβif
␈β⊃¬␈↓ ∧¬␈∧⊃¬∧¬α
␈↓ ∧M␈∧⊃¬∧Mα
␈↓ ¬∃␈∧⊃¬¬∃α
␈↓ ¬\␈∧⊃¬¬\α
␈↓ ε$␈∧⊃¬ε$α~␈↓ π\␈∧⊃¬π\α
␈β⊃π␈↓ ∧¬␈εε3␈↓ ∧M␈εε3␈↓ ¬∃␈εε3␈↓ ¬\␈εε6␈↓ ε$␈εε12␈↓ π\␈εε3
␈β⊃~␈↓ ↓Z␈εε(␈↓ ↓b␈εp␈↓ ↓p␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε d␈↓ α=␈εβmod␈↓ βα␈ε p␈↓ β≤␈εβ=␈α (␈α↓1␈α␈,␈↓ βq␈ε p␈↓ ∧ ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1),␈αresp␈α␈ectiv␈α␈ely␈α␈,␈αfo␈α␈r␈αodd␈↓ π⊗␈ε p␈↓ π'␈εβ.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα587
␈βα&␈↓ αv␈εε2␈↓ β}␈εε2␈↓
_␈εε2␈α␈(␈↓
-␈εp␈↓
:␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ α↑␈ε P␈↓ β␈ε↔⊃␈↓ β6␈ε k␈↓ βG␈ε N␈↓ βf␈ε Q␈↓ ∧∪␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ¬∃␈ε p␈↓ ¬&␈εβ)␈αεfor␈αεan␈α␈y␈αεp␈α␈rime␈αεdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈↓ πd␈ε p␈↓ π{␈εβof␈↓ λ≥␈ε V␈↓ λ5␈εβ,␈απw␈α␈e␈απh␈α␈av␈α}e␈απ1␈ε↔␈αλ⊃␈↓
␈ε P␈↓ ␈ε↔⊃
␈βαN␈↓ α~␈εε2␈↓ α2␈εε(␈↓ α:␈εp␈↓ αH␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ ∧ ␈εε(␈↓ ∧⊃␈εp␈↓ ∧∨␈ε~␈␈εε1)/2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε k␈↓ ↓c␈ε N␈↓ αα␈ε Q␈↓ α'␈εβ)␈↓ β→␈ε↔⊃␈εβ␈α (␈↓ βN␈ε k␈↓ β←␈ε N␈↓ β}␈εβ)␈↓ ∧p␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ¬q␈ε p␈↓ εα␈εβ),␈αi␈α↓f␈↓ εA␈ε P␈↓ εb␈ε↔@⊃␈↓ π␈εβ0.
␈ββ¬␈↓ ∧$␈∧β¬∧$α~␈↓ π
␈∧β¬π
α~␈↓ ⊗␈∧β¬ ⊗α~
␈ββε␈↓ ∧β␈ε↔p␈↓ εi␈ε↔p␈↓ λu␈ε↔p
␈ββπ␈↓ βπ␈εn␈↓ βW␈εn␈↓
;␈εε2
␈ββλ␈↓ ε∧␈εε1␈↓ λ⊂␈εε1
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈ε U␈↓ α>␈εβ=␈α(␈↓ αv␈ε a␈↓ β ␈ε↔␈␈↓ βJ␈ε b␈↓ βg␈εβ)/␈↓ ∧$␈ε D␈↓ ∧=␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ¬6␈ε a␈↓ ¬R␈εβ=␈↓ ε∀␈εβ(␈↓ ε∨␈ε P␈↓ ε?␈εβ+␈↓ π
␈ε D␈↓ π#␈εβ),␈↓ πE␈ε b␈↓ π↑␈εβ=␈↓ λ ␈εβ(␈↓ λ+␈ε P␈↓ λK␈ε↔␈␈↓ ⊗␈ε D␈↓ /␈εβ),␈↓ Q␈ε D␈↓ v␈εβ=␈↓
$␈ε P␈↓
Q␈ε↔␈␈εβ␈αλ4␈↓ ␈ε Q␈↓ #␈εβ.
␈ββ⊃␈↓ ∧¬␈ε↓␈␈↓ ∧S␈ε↓↓
␈ββ∃␈↓ βL␈ε↓P
␈ββ⊗␈↓ α!␈εn
␈ββ→␈↓ ε∧␈∧β→ε∧α
␈↓ λ⊂␈∧β→λ⊂α
␈ββ≠␈↓ ε∧␈εε2␈↓ λ⊂␈εε2
␈ββ+␈↓ ∧+␈εn
␈ββ/␈↓ α2␈εn␈↓ αC␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬ ␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬/␈εk␈↓ ¬<␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬{␈εk␈↓ πG␈εε(␈↓ πP␈εp␈↓ π]␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈ββ3␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈↓ α"␈εβ2␈↓ αi␈ε U␈↓ β≥␈εβ=␈↓ ∧a␈ε P␈↓ ¬b␈ε D␈↓ ελ␈εβ;␈α⊂so␈↓ εM␈ε U␈↓ ε}␈ε↔⊃␈↓ π.␈ε D␈↓ λ3␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 5␈ε p␈↓ F␈εβ)␈α∞if␈↓
α␈ε p␈↓
!␈εβis␈α∞an␈α∞o␈α␈dd
␈ββ=␈↓ α}␈εn␈↓ εb␈εp
␈ββ@␈↓ l␈ε↓␈␈↓
∀␈ε↓↓
␈ββC␈↓ ∧∪␈εε2␈↓ ∧ ␈εk␈↓ ∧-␈εε+1
␈ββD␈↓ 3␈ε↓P
␈ββE␈↓ βr␈εk
␈ββZ␈↓ ␈␈εn
␈ββ↑␈↓ ∧L␈εn␈↓ ¬↔␈εn␈↓ λ'␈εn␈↓ λ7␈ε~␈␈εε1␈↓
:␈εn␈↓
J␈ε~␈␈εε2␈↓
p␈εk␈↓ ⊗␈εk
␈ββb␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈α␈,␈αif␈↓ βe␈ε V␈↓ ∧⊃␈εβ=␈↓ ∧;␈ε a␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬
␈ε b␈↓ ¬0␈εβ=␈↓ ¬[␈ε U␈↓ ε-␈ε↔␈␈↓ εT␈ε Q␈↓ εl␈ε U␈↓ π8␈εβ,␈α
the␈α␈n␈↓ λ⊗␈εβ2␈↓ λ]␈ε V␈↓ ␈εβ=␈↓
"␈ε P␈↓
⎇␈ε D␈↓ #␈εβ,
␈ββl␈↓ βw␈εn␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε␈εε+␈α↓1␈↓ π↓␈εn␈↓ π∩␈ε~␈␈εε1␈↓ λo␈εn
␈ββr␈↓ z␈εε2␈↓
π␈εk
␈ββt␈↓ Y␈εk
␈β∧¬␈↓ α|␈εn
␈β∧ ␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α
␈ε V␈↓ α7␈ε↔⊃␈↓ αe␈ε P␈↓ β→␈ε↔⊃␈↓ βG␈ε P␈↓ β↑␈εβ.␈α⊃Th␈α␈u␈α␈s␈α
if␈↓ ∧o␈ε U␈↓ ¬∨␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α␈,␈α∞w␈α␈e␈α
|n␈α␈d␈α
t␈α␈hat␈↓ πW␈ε U␈↓ λ%␈εβmo␈α␈d␈↓ λi␈ε p␈↓ π␈εβ=␈α0.␈α⊃If␈↓
α␈ε U␈↓
2␈ε↔⊃␈εβ␈α1,␈α∞w␈α␈e
␈β∧∀␈↓ α≥␈εp␈↓ ¬¬␈εp␈↓ πl␈εp␈↓ πz␈εε+1␈↓
↔␈εp
␈β∧-␈↓ →␈εn␈↓ )␈ε~␈␈εε1
␈β∧1␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈αtha␈α␈t␈α
(␈↓ α`␈ε Q␈↓ αx␈ε U␈↓ βA␈εβ)␈↓ βQ␈εβmod␈↓ ∧⊗␈ε p␈↓ ∧2␈εβ=␈α0;␈α
h␈α␈ere␈αif␈↓ ¬o␈ε Q␈↓ ε∪␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f␈↓ π}␈ε p␈↓ λ∞␈εβ,␈↓ λ$␈ε U␈↓ λU␈ε↔⊃␈↓ ↓␈ε P␈↓ Z␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓
\␈ε p␈↓
l␈εβ)␈α
fo␈α␈r
␈β∧;␈↓ β
␈εp␈↓ β≠␈ε~␈␈εε1␈↓ λ9␈εn
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓i␈εβ>␈α∞0,␈α∞so␈↓ αk␈ε U␈↓ β≡␈εβi␈α↓s␈α
nev␈α}er␈α∞a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α∞o␈α␈f␈↓ ¬k␈ε p␈↓ ¬|␈εβ;␈α∂if␈↓ ε6␈ε Q␈↓ ε\␈εβis␈α∞n␈α␈ot␈α
a␈α∞m␈α␈u␈α␈ltiple␈α∞o␈α␈f␈↓
␈ε p␈↓ ≠␈εβ,␈↓ 2␈ε U␈↓
↓␈εβmo␈α␈d␈↓
E␈ε p␈↓
d␈εβ=␈α∞0␈α␈.
␈β∧c␈↓ β↓␈εn␈↓ H␈εp␈↓ V␈ε~␈␈εε1
␈β∧{␈↓ πz␈εe
␈β∧|␈↓ λM␈εe
␈β¬␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈erefo␈α␈re␈α⊂a␈α␈s␈α∂i␈α↓n␈α∞Theo␈α␈rem␈α∂L␈↓ ∧b␈εβ,␈↓ ∧|␈ε U␈↓ ¬ ␈εβmod␈↓ ¬e␈ε N␈↓ ε∀␈εβ=␈α⊂0␈α∂i␈α↓f␈↓ π ␈ε N␈↓ π8␈εβ=␈↓ πj␈ε p␈↓ λ⊂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ<␈ε p␈↓ λc␈εβ,␈↓ λ⎇␈εβgc␈α␈d␈↓ /␈εβ(␈↓ :␈ε N␈↓ Y␈εβ,␈↓ h␈ε Q␈↓
␈εβ)␈α⊂=␈α⊃1␈α␈,␈α⊃a␈α␈nd
␈β¬β␈↓ λ¬␈επ1␈↓ λX␈ε
r
␈β¬␈↓ ¬⊃␈εt
␈β¬∂␈↓ λM␈εr
␈β¬⊂␈↓ πz␈εε1
␈β¬ ␈↓ β<␈εe␈↓ βR␈ε~␈␈εε1
␈β¬%␈↓ β∨␈εα(␈↓ ∧w␈εα)
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε t␈↓ ↓c␈εβ=␈↓ α∀␈εβl␈α↓c␈α␈m␈↓ β+␈ε p␈↓ βG␈ε
j␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε p␈↓ ∧)␈εβ+␈↓ ∧T␈ε ∂␈↓ ∧l␈εβ)␈↓ ¬β␈εβ.␈α↔U␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈α∂the␈α∂a␈α␈ssum␈α␈ption␈α␈s␈α∂of␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∂e␈α␈x␈α␈ercise,␈α⊂th␈α␈e␈α∂ran␈α␈k␈α∂o␈α␈f
␈β¬2␈↓ αH␈εε1␈ε~∀␈↓ αn␈εj␈↓ αz␈ε~∀␈↓ β∪␈εr␈↓ ∧∪␈εj␈↓ ∧`␈εj
␈β¬9␈↓ β<␈εj
␈β¬O␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈arition␈αof␈↓ β⊃␈ε N␈↓ β<␈εβis␈↓ β↑␈ε N␈↓ ∧¬␈εβ+␈αλ1␈α␈;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈↓ ¬1␈ε N␈↓ ¬\␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈↓ πε␈ε Q␈↓ π*␈εβand␈↓ πl␈ε t␈↓ λ∧␈εβis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ m␈ε N␈↓
∀␈εβ+␈αλ1.␈α
Al␈α↓so␈α␈,
␈β¬w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αassu␈α␈mption␈α␈s␈αof␈α
th␈α␈is␈α
ex␈α}ercise␈αi␈α↓m␈α␈ply␈αth␈α␈at␈α
e␈α␈ach␈↓ π≡␈ε p␈↓ πF␈εβis␈α
o␈α␈dd␈αan␈α␈d␈αea␈α␈ch␈↓ :␈ε ∂␈↓ ←␈εβis␈ε↔␈α
ε␈εβ1␈α␈,␈α∞so␈↓
t␈ε t␈↓ ␈ε↔∀
␈βε␈↓ α⊂␈ε↓Q
␈βε↓␈↓ π.␈εj␈↓ F␈εj
␈βε↔␈↓ αH␈εe␈↓ α↑␈ε~␈␈εε1
␈βε→␈↓ πv␈εe␈↓ λ[␈εe␈↓ λp␈ε~␈␈εε1
␈βε~␈↓ ↓X␈εε1␈ε~␈␈↓ ↓}␈εr␈↓ ∧z␈εr
␈βε≠␈↓ βT␈εε1␈↓ ∧↑␈εε2
␈βε≡␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α7␈ε p␈↓ β∧␈εβ(␈↓ β∂␈ε p␈↓ β-␈εβ+␈↓ βd␈ε p␈↓ ∧␈εβ)␈α =␈α
2␈α␈(␈↓ ∧o␈εβ)␈↓ ¬ε␈ε N␈↓ ¬%␈εβ;␈αλhen␈α␈ce␈↓ ε∂␈ε r␈↓ ε'␈εβ=␈α 1␈απan␈α␈d␈↓ π&␈ε t␈↓ π;␈εβ=␈↓ πe␈ε p␈↓ λ∞␈εβ+␈↓ λ1␈ε ∂␈↓ λJ␈ε p␈↓ ⊗␈εβ.␈α
Finally,␈αλth␈α␈erefo␈α␈re,
␈βε∨␈↓ αS␈ε
j
␈βε!␈↓ λ↓␈επ1␈↓ λe␈επ1
␈βε)␈↓ β∨␈εj␈↓ βt␈εj␈↓ λ=␈εε1
␈βε-␈↓ βT␈∧ε-βTα
␈↓ ∧↑␈∧ε-∧↑α
␈βε/␈↓ βT␈εε3␈↓ ∧↑␈εε3␈↓ πv␈εε1␈↓ λ[␈εε1
␈βε0␈↓ αH␈εj
␈βεF␈↓ ↓H␈ε e␈↓ ↓j␈εβ=␈α 1␈αa␈α␈nd␈↓ αq␈ε ∂␈↓ β∩␈εβ=␈α
1.
␈βεQ␈↓ ↓T␈εε1␈↓ α⎇␈εε1
␈βεo␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∪If␈α∞this␈α∞test␈α∂fo␈α␈r␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈α∂is␈α∞to␈α∞be␈α∞an␈α}y␈α∞goo␈α␈d,␈α⊂w␈α␈e␈α∞m␈α␈u␈α␈st␈α∂ch␈α␈oo␈α␈se␈↓
␈ε P␈↓
&␈εβan␈α␈d␈↓
j␈ε Q␈↓ ⊃␈εβin
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αa␈αway␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
te␈α␈st␈α
will␈α
pro␈α␈bab␈α␈ly␈αwo␈α␈rk.␈α⊂Leh␈α␈mer␈αsug␈α␈gests␈αtak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ W␈ε P␈↓ {␈εβ=␈α1␈αso␈αtha␈α␈t
␈βπ?␈↓ ↓H␈ε D␈↓ ↓l␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ4␈↓ αl␈ε Q␈↓ β∧␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αch␈α␈oo␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈↓ ∧d␈ε Q␈↓ ¬ ␈εβs␈α␈o␈αthat␈↓ ¬|␈εβgc␈α␈d␈↓ ε.␈εβ(␈↓ ε9␈ε N␈↓ εX␈εβ,␈↓ εg␈ε Q␈↓ ε␈␈ε D␈↓ π_␈εβ)␈α=␈α1␈α␈.␈α≤(I␈α↓f␈αthe␈αlatt␈α␈er␈α
c␈α␈ond␈α␈ition␈αfails,
␈βπf␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α kn␈α␈o␈α␈w␈α
alrea␈α␈dy␈α th␈α␈at␈↓ ∧
␈ε N␈↓ ∧3␈εβis␈α not␈α prime,␈α
u␈α␈nless␈ε↔␈α
j␈↓ ε]␈ε Q␈↓ εu␈ε D␈↓ π∞␈ε↔j␈α
∃␈↓ πK␈ε N␈↓ πj␈εβ.)␈α⊗Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α
the␈α deriv␈α␈ation
␈βλ
␈↓ π9␈εε(␈↓ πB␈εN␈↓ πZ␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈α∞sho␈α␈ws␈α∞tha␈α␈t␈α∂w␈α␈e␈α∞wi␈α↓ll␈α∂wa␈α␈n␈α␈t␈↓ ¬%␈ε ∂␈↓ ¬L␈εβ=␈α⊂1␈α␈,␈α⊂th␈α␈at␈α∂is,␈↓ π ␈ε D␈↓ λ0␈ε↔⊃␈α∂␈␈εβ␈α↓1␈α∞(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓
#␈ε N␈↓
B␈εβ).␈α⊗Th␈α␈is
␈βλ_␈↓ ¬1␈εε1
␈βλ5␈↓ ↓H␈εβis␈αano␈α␈the␈α␈r␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αthat␈αd␈α␈etermin␈α␈es␈α
th␈α␈e␈α
c␈α␈ho␈α␈i␈α↓ce␈αo␈α␈f␈↓ π5␈ε Q␈↓ πM␈εβ.␈α⊂Fu␈α␈rtherm␈α␈ore,␈α
if␈↓ V␈ε D␈↓ {␈εβsatis|e␈α␈s␈α
th␈α␈is
␈βλ]␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈n,␈αan␈α␈d␈αif␈↓ βC␈ε U␈↓ ∧≤␈εβm␈α␈od␈↓ ∧`␈ε N␈↓ ¬λ␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αw␈α␈e␈αk␈α␈no␈α}w␈αth␈α␈at␈↓ π)␈ε N␈↓ πS␈εβis␈ε⊂␈αno␈α␈t␈εβ␈αprime.
␈βλh␈↓ βY␈εN␈↓ βp␈εε+1
␈β ε␈↓ α␈ε⊂Exa␈α␈mple:␈εβ␈α
I␈α↓f␈↓ βE␈ε P␈↓ βh␈εβ=␈α1␈αa␈α␈nd␈↓ ∧s␈ε Q␈↓ ¬↔␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈αthe␈αFibon␈α␈acc␈α␈i␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce,␈α
with␈↓
B␈ε D␈↓
f␈εβ=␈α5␈α␈.
␈β *␈↓ α.␈εε11
␈β .␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ince␈↓ α≡␈εβ5␈↓ αQ␈ε↔⊃␈α ␈␈εβ␈α↓1␈α (mo␈α␈du␈α␈lo␈α23␈α␈)␈α↓,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
atte␈α␈mpt␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
23␈α
is␈α
prime␈α
b␈α␈y␈α
us␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
the
␈β V␈↓ ↓H␈εβFibo␈α␈na␈α␈cci␈αsequ␈α␈enc␈α␈e:
␈β
*␈↓ ↓W␈ε↔h␈↓ ↓b␈ε F␈↓ α
␈εβmod␈↓ αO␈εβ2␈α␈3␈ε↔i␈εβ␈α =␈α
0,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε5,␈αε8␈α␈,␈αε13␈α␈,␈αε21␈α␈,␈αε11,␈α¬9,␈αε2␈α␈0,␈αε6,␈α¬3,␈αε9␈α␈,␈αε12,␈α¬21,␈α¬10,␈αε8␈α␈,␈αε18␈α␈,␈αε3,␈αε2␈α␈1,␈αε1␈α␈,␈αε22␈α␈,␈αε0,␈↓
h␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∀␈εβ,
␈β
5␈↓ ↓t␈εn
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβso␈απ2␈α␈4␈αλis␈απthe␈απran␈α␈k␈απof␈αλa␈α␈pp␈α␈ariti␈α↓o␈α␈n␈απof␈αλ2␈α␈3␈απand␈απth␈α␈e␈απtest␈αλw␈α␈or␈α␈ks.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α th␈α␈e␈απF␈α↓ib␈α␈ona␈α␈cci␈αλse␈α␈que␈α␈nce
␈β&␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈α
use␈α␈d␈α
in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
wa␈α␈y␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
the␈α
p␈α␈rimality␈α
o␈α␈f␈α1␈α␈3␈α
or␈α
1␈α␈7,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ≡␈ε F␈↓ C␈εβm␈α␈od␈↓
π␈εβ13␈α =␈α 0␈α
a␈α␈nd
␈β1␈↓ 0␈εε7
␈βJ␈↓ πc␈εε(␈↓ πl␈εp␈↓ πz␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βN␈↓ ↓H␈ε F␈↓ ↓l␈εβmod␈↓ α1␈εβ1␈α␈7␈α
=␈α
0.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ ∧∞␈ε p␈↓ ∧)␈ε↔⊃␈α
ε␈εβ1␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈α10␈α␈)␈α↓,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ πS␈εβ5␈↓ λG␈εβm␈α␈od␈↓ ␈ε p␈↓ &␈εβ=␈α
1,␈αs␈α␈o␈↓
␈ε F␈↓
q␈εβ(no␈α␈t
␈βY␈↓ ↓Z␈εε9␈↓
2␈εp␈↓
@␈ε~␈␈εε1
␈βv␈↓ ↓H␈ε F␈↓ α∞␈εβ)␈αis␈αdivisib␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈↓ βy␈ε p␈↓ ∧
␈εβ.
␈β␈↓ ↓Z␈εp␈↓ ↓h␈εε+1
␈β/␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε f␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε q␈↓ αt␈εβ)␈α=␈α
2␈↓ βO␈εβlg␈↓ βn␈ε q␈↓ ∧ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈α⊂W␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬;␈ε q␈↓ ¬V␈εβ=␈α2␈αor␈α
3␈α␈,␈α∞th␈α␈e␈α
tree␈αha␈α␈s␈α
at␈αmost␈↓ +␈ε f␈↓ ;␈εβ(␈↓ F␈ε q␈↓ U␈εβ)␈α
n␈α␈od␈α␈es.␈α⊂W␈α↓h␈α␈en
␈βW␈↓ ↓H␈ε q␈↓ ↓a␈εβ>␈α3␈αis␈αprime␈α␈,␈α
let␈↓ βe␈ε q␈↓ β}␈εβ=␈α1␈απ+␈↓ ∧k␈ε q␈↓ ¬
␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬6␈ε q␈↓ ¬X␈εβwh␈α␈ere␈↓ ε8␈ε t␈↓ εO␈ε↔∃␈εβ␈α2␈αan␈α␈d␈↓ πY␈ε q␈↓ πq␈εβ,␈↓ λπ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ3␈εβ,␈↓ λH␈ε q␈↓ λj␈εβa␈α␈re␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e.␈α∞Th␈α␈e␈αsize␈αo␈α␈f
␈β`␈↓ βR␈ε↓P
␈βa␈↓ ∧w␈εε1␈↓ ¬B␈εt␈↓ πe␈εε1␈↓ λT␈εt
␈β}␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtree␈αis␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
1␈απ+␈↓ β⎇␈ε f␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧_␈ε q␈↓ ∧2␈εβ)␈α =␈α
2␈αλ+␈↓ ¬2␈ε f␈↓ ¬B␈εβ(␈↓ ¬M␈ε q␈↓ ¬d␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈αλ␈␈↓ εY␈ε t␈↓ εn␈εβ<␈↓ π→␈ε f␈↓ π)␈εβ(␈↓ π4␈ε q␈↓ πC␈εβ).␈α~[␈ε⊂SIAM␈αJ.␈αComp␈α␈utin␈α␈g␈ε∪␈α7␈εβ␈α(197␈α␈5),
␈β
␈↓ ∧$␈εk
␈β
&␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈14↑␈α␈220␈↓ α<␈εβ.]
␈β
[␈↓ ≡␈ε
␈β
\␈↓ α≥␈εα(␈↓ βY␈εα)
␈β
←␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈ε x␈↓ α)␈ε G␈↓ αB␈εβ(␈↓ αN␈ε ␈↓ α`␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ β~␈ε F␈↓ β1␈εβ(␈↓ β<␈ε ␈↓ βN␈εβ)␈↓ βp␈εβis␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ ¬h␈ε n␈↓ ε¬␈ε↔∀␈↓ ε0␈ε x␈↓ εL␈εβwh␈α␈ose␈α
seco␈α␈nd␈α␈-␈α↓la␈α␈rgest␈α
prime␈α
facto␈α␈r␈αis␈ε↔␈α∀␈↓ ␈ε x
␈β∞β␈↓ ¬r␈ε
␈β∞π␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
whose␈α
l␈α↓a␈α␈rgest␈αp␈α␈rime␈αfacto␈α␈r␈αi␈α↓s␈α>␈↓ ¬`␈ε x␈↓ ε␈εβ.␈αHe␈α␈nce
␈β∞V␈↓ β
␈ε~0␈↓ ∧E␈εt␈↓ ∧O␈εε+␈↓ ∧h␈εd␈↓ ∧w␈εt␈↓ ¬j␈εt␈↓ ε5␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ εZ␈εt
␈β∞X␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ¬␈␈εα)␈↓ εd␈εα(␈↓ π ␈εα(␈↓ λ∀␈εα)␈↓ λh␈εα(␈↓ s␈εα))
␈β∞[␈↓ α`␈ε x␈↓ αq␈ε G␈↓ β⊂␈εβ(␈↓ β≠␈ε t␈↓ β'␈εβ)␈↓ β8␈ε d␈↓ βJ␈ε t␈↓ β`␈εβ=␈↓ ∧⊗␈ε →␈↓ ∧)␈εβ(␈↓ ∧4␈ε x␈↓ ¬␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬;␈ε →␈↓ ¬N␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε x␈↓ ¬t␈εβ)␈↓ ε∪␈ε↔↓␈↓ ε#␈ε x␈↓ εp␈ε G␈↓ π∃␈ε t␈↓ π!␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π⎇␈ε t␈↓ λ ␈εβ)␈↓ λ(␈ε↔␈␈↓ λQ␈ε F␈↓ λt␈ε t␈↓ ␈εβ/␈α␈(1␈ε↔␈απ␈␈↓ \␈ε t␈↓ h␈εβ)␈↓
␈εβ.
␈β∂≤␈↓ ¬O␈ε↓R
␈β∂+␈↓ ¬g␈εε1
␈β∂6␈↓ π>␈ε~␈␈εε1
␈β∂7␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ π&␈εα)
␈β∂8␈↓ ¬∞␈∧∂8¬∞α~
␈β∂:␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α p␈α␈rob␈α␈ability␈α th␈α␈at␈↓ βy␈ε p␈↓ ∧B␈ε↔∀␈↓ ∧l␈ε↔p␈↓ ¬∞␈ε p␈↓ ¬0␈εβis␈↓ ¬y␈ε F␈↓ ε≤␈ε t␈↓ ε(␈εβ/2(1␈ε↔␈α∧␈␈↓ π∂␈ε t␈↓ π≠␈εβ)␈↓ π2␈ε t␈↓ πj␈ε d␈↓ π|␈ε t␈↓ λλ␈εβ.␈α∀[Cu␈α␈rious␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α
it␈α ca␈α␈n␈α b␈α␈e␈α sh␈α␈o␈α␈wn
␈β∂E␈↓ ∧ ␈εt␈↓ ∧∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬≥␈εt
␈β∂M␈↓ ¬`␈εε0
␈β∂Q␈↓ ∧β␈ε↓R
␈β∂`␈↓ ∧≠␈εε1
␈β∂l␈↓ ∧D␈εα(␈↓ ¬S␈εα)
␈β∂o␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α∞th␈α␈is␈α∞also␈α∞eq␈α␈uals␈↓ ∧-␈ε F␈↓ ∧P␈ε t␈↓ ∧\␈εβ/(1␈ε↔␈α ␈␈↓ ¬<␈ε t␈↓ ¬H␈εβ)␈↓ ¬e␈ε d␈↓ ¬w␈ε t␈↓ εβ␈εβ,␈α∂the␈α∞a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α∞v␈α␈alue␈α∞o␈α␈f␈↓ λY␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ␈ε p␈↓ #␈εβ/␈↓ 3␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ d␈ε x␈↓ u␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞it␈α∞also
␈β∂y␈↓ →␈εt
␈β⊂↓␈↓ ∧∀␈εε0
␈β⊂∩␈↓ )␈ε~0
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈ls␈α∞Golom␈α␈b␈α␈'s␈α∞con␈α␈stan␈α}t␈↓ ∧M␈ε ∃␈↓ ∧n␈εβi␈α↓n␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α∞1.3.3␈α␈↑23␈α␈.␈α∀The␈α
deriv␈α␈ativ␈α␈e␈↓ ⊂␈ε G␈↓ /␈εβ(0)␈α∞c␈α␈an␈α∞b␈α␈e␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn
␈β⊂)␈↓ αI␈ε↓R
␈β⊂8␈↓ αa␈εε1
␈β⊂C␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε2␈↓ ∞␈ε␈
␈β⊂D␈↓ β
␈εα(␈↓ ∧↔␈εα)␈↓ εT␈εε1␈↓ πX␈εε1
␈β⊂G␈↓ ↓H␈εβto␈αequ␈α␈al␈↓ αs␈ε F␈↓ β⊗␈ε t␈↓ β"␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧␈ε t␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧#␈ε t␈↓ ∧Z␈ε d␈↓ ∧l␈ε t␈↓ ¬β␈εβ=␈↓ ¬/␈ε F␈↓ ¬F␈εβ(1)␈αλ+␈αλ2␈↓ ε.␈ε F␈↓ εF␈εβ(␈↓ εe␈εβ)␈αλ+␈αλ3␈↓ π2␈ε F␈↓ πI␈εβ(␈↓ πh␈εβ)␈αλ+␈↓ λ$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λU␈εβ=␈↓ ↓␈ε e␈↓ ≥␈εβ.␈α∞Th␈α␈e␈αth␈α␈i␈α↓rd␈α␈-larges␈α␈t
␈β⊂V␈↓ εT␈∧⊂VεTα
␈↓ πX␈∧⊂VπXα
␈β⊂X␈↓ ∧6␈ε↓R␈↓ εT␈εε2␈↓ πX␈εε3
␈β⊂Z␈↓ αZ␈εε0
␈β⊂g␈↓ ∧N␈ε
␈β⊂r␈↓ λ
␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 9␈ε~0
␈β⊂t␈↓ ∧\␈εα(␈↓ ¬β␈εα(␈↓ ε␈εα)␈↓ ε↑␈εα(␈↓ πg␈εα))
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α
fac␈α␈tor␈α
h␈α␈as␈↓ β>␈ε H␈↓ βY␈εβ(␈↓ βd␈ε ␈↓ βw␈εβ)␈α =␈↓ ∧h␈ε H␈↓ ¬∂␈ε t␈↓ ¬≠␈εβ/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬u␈ε t␈↓ ε↓␈εβ)␈↓ ε≡␈ε↔␈␈↓ εE␈ε G␈↓ εj␈ε t␈↓ εv␈εβ/(1␈ε↔␈α¬␈␈↓ πP␈ε t␈↓ π[␈εβ)␈↓ π␈␈ε t␈↓ λ6␈ε d␈↓ λH␈ε t␈↓ λ↑␈εβan␈α␈d␈↓ ≡␈ε H␈↓ ?␈εβ(0)␈α =␈ε↔␈α
1␈εβ.␈αSe␈α␈e␈α
D.
␈β⊃ ␈↓ ∧G␈εε0
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβE.␈αKn␈α␈u␈α␈th␈αa␈α␈nd␈α
L␈α↓.␈αTrab␈α␈b␈αPard␈α␈o,␈ε⊂␈αTheo␈α␈retical␈αCom␈α␈p.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈α3␈εβ␈α(19␈α␈76␈α␈)␈α↓,␈α32␈α␈1↑3␈α␈48␈α␈.␈α↓]
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα588␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.4
␈βα'␈↓ αx␈εD
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε M␈↓ α:␈εβ=␈↓ αg␈εβ2␈↓ β∀␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αall␈↓ ¬v␈ε p␈↓ ε∀␈εβfo␈α␈r␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αthe␈αord␈α␈er␈αof␈α
2␈αmo␈α␈du␈α␈lo␈↓ {␈ε p␈↓
_␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓
␈ε D␈↓ #␈εβ.
␈βαK␈↓ εr␈εq␈↓ K␈εe
␈βαS␈↓ ↓H␈εβTo␈αex␈α␈tend␈αth␈α␈i␈α↓s␈αi␈α↓d␈α␈ea,␈α
let␈↓ ∧2␈ε a␈↓ ∧Z␈εβ=␈α2␈α
a␈α␈nd␈↓ ¬g␈ε a␈↓ ε4␈εβ=␈↓ εb␈ε a␈↓ ε|␈ε
j␈↓ π
␈εβmod␈↓ πR␈ε N␈↓ πq␈εβ,␈α
wher␈α␈e␈↓ λi␈ε q␈↓
␈εβ=␈↓ :␈ε p␈↓ V␈ε
j␈↓ a␈εβ,␈↓ x␈ε p␈↓
␈εβis␈α
th␈α␈e␈↓
}␈ε j␈↓
␈εβth
␈βα]␈↓ ∧A␈εε1␈↓ ¬v␈εj␈↓ εβ␈εε+1␈↓ λu␈εj␈↓
π␈εj
␈βαd␈↓ εr␈εj␈↓ K␈εj
␈βαv␈↓ s␈εq
␈βαz␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime,␈αand␈↓ αp␈ε e␈↓ β∩␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ βJ␈εβlo␈α␈g␈↓ βz␈εβ1␈α␈000␈α␈/␈↓ ∧M␈εβlog␈↓ ∧⎇␈ε p␈↓ ¬→␈ε↔c␈εβ;␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬k␈ε A␈↓ ε
␈εβ=␈↓ ε5␈ε a␈↓ εj␈εβ.␈αNo␈α␈w␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈↓ λS␈ε b␈↓ λu␈εβ=␈↓ ∨␈εβgcd␈↓ Q␈εβ(␈↓ ]␈ε A␈↓
ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓
O␈ε N␈↓
m␈εβ)␈αfo␈α␈r
␈ββ¬␈↓ α|␈εj␈↓ ¬
␈εj␈↓ εD␈εε169␈↓ λ←␈εq
␈ββ≡␈↓ ∧~␈εε3␈↓ ¬∪␈εε5␈↓ Q␈εε1␈α␈009
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αp␈α␈rimes␈↓ α`␈ε q␈↓ αz␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
1␈↓ ∧
␈εβ0␈↓ ∧2␈εβa␈α␈nd␈α
1␈↓ ¬β␈εβ0␈↓ ¬ ␈εβ.␈αOne␈α
way␈α
to␈α
do␈α
this␈αis␈αto␈α
star␈α␈t␈αwith␈↓ ;␈ε A␈↓
␈εβm␈α␈od␈↓
M␈ε N␈↓
w␈εβa␈α␈nd
␈ββE␈↓ ¬.␈εε4␈↓ π∧␈εε2
␈ββI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈α
to␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈α
altern␈α␈ately␈α
b␈α␈y␈↓ ¬↔␈ε A␈↓ ¬@␈εβmo␈α␈d␈↓ ε∧␈ε N␈↓ ε.␈εβa␈α␈nd␈↓ εn␈ε A␈↓ π⊗␈εβmo␈α␈d␈↓ πZ␈ε N␈↓ πy␈εβ.␈α_(A␈αsimilar␈α
meth␈α␈od␈α
wa␈α␈s␈αu␈α␈sed
␈ββq␈↓ ↓H␈εβin␈α
th␈α␈e␈α1␈α␈920␈α␈s␈αby␈α
D.␈α
N.␈αLehm␈α␈er,␈αbu␈α␈t␈αh␈α␈e␈αd␈α␈idn␈α␈'␈α↓t␈α
pu␈α␈blish␈α
it.␈α↓)␈α_As␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈αAlgo␈α␈rithm␈α
B␈αw␈α␈e␈α
can
␈β∧∃␈↓ λ↑␈εε30␈↓ λw␈εr␈↓ K␈εk
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈oid␈αmost␈αof␈αthe␈αgcd␈α␈'␈α↓s␈αb␈α␈y␈αbatc␈α␈hing␈α␈;␈α
e.g.,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ π ␈ε b␈↓ π←␈εβ=␈↓ λ␈εβgc␈α␈d␈↓ λ=␈εβ(␈↓ λH␈ε A␈↓ ␈ε↔␈␈↓ 5␈ε A␈↓ X␈εβ,␈↓ g␈ε N␈↓
ε␈εβ),␈αwe␈αmigh␈α}t
␈β∧#␈↓ π∃␈εε3␈α␈0␈ε~␈␈↓ πG␈εk
␈β∧<␈↓ ¬↑␈εε3␈α␈0␈↓ ¬w␈εr␈↓ εK␈εε2␈α␈9␈↓ π⊂␈εε30␈↓ π*␈εr␈↓ π}␈εε2␈α␈3␈↓ λu␈εε30␈↓ ∞␈εr
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβtry␈αba␈α␈tche␈α␈s␈αof␈α8,␈α
c␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈↓ ∧m␈ε c␈↓ ¬⊂␈εβ=␈α(␈↓ ¬H␈ε A␈↓ ε␈ε↔␈␈↓ ε5␈ε A␈↓ εd␈εβ)(␈↓ εz␈ε A␈↓ π>␈ε↔␈␈↓ πg␈ε A␈↓ λ↔␈εβ)␈↓ λ'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λT␈εβ(␈↓ λ←␈ε A␈↓ #␈ε↔␈␈↓ L␈ε A␈↓ b␈εβ)␈↓ s␈εβmo␈α␈d␈↓
7␈ε N␈↓
V␈εβ,␈α
th␈α␈en
␈β∧K␈↓ ∧y␈εr
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε c␈↓ α≥␈εβ,␈↓ α,␈ε N␈↓ αK␈εβ)␈αfor␈α3␈α␈3␈α <␈↓ βj␈ε r␈↓ ∧α␈ε↔∀␈εβ␈α 33␈α␈34.
␈β∧r␈↓ α⊃␈εr
␈β¬≤␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβAlgorith␈α␈m␈α
P␈αfail␈α↓s␈αon␈α␈ly␈αwhen␈αth␈α␈e␈αran␈α␈dom␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ πh␈ε x␈↓ λε␈εβdo␈α␈es␈α
n␈α␈ot␈αrev␈α␈e␈α␈al␈α
th␈α␈e␈αf␈α↓a␈α␈ct␈αtha␈α␈t
␈β¬;␈↓
∧␈ε
j
␈β¬?␈↓ ¬+␈εq␈↓ w␈εε2␈↓
∂␈εq
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓i␈εβis␈α
non␈α␈prime␈α␈.␈α∩Sa␈α␈y␈↓ βs␈ε x␈↓ ∧∩␈εβis␈ε⊂␈α
ba␈α␈d␈εβ␈α
if␈↓ ¬~␈ε x␈↓ ¬=␈εβmo␈α␈d␈↓ ε↓␈ε n␈↓ ε"␈εβ=␈α
1␈α
or␈α
if␈α∞o␈α␈ne␈α
of␈α
the␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ f␈ε x␈↓
)␈εβis␈ε↔␈α
⊃␈α
␈␈εβ␈α↓1
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε n␈↓ α]␈εβ)␈α
fo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α ∀␈↓ βh␈ε j␈↓ ∧␈εβ<␈↓ ∧+␈ε k␈↓ ∧;␈εβ.␈αSin␈α␈ce␈α 1␈α is␈α
b␈α␈ad␈α␈,␈α
we␈α h␈α␈av␈α}e␈↓ π#␈ε p␈↓ πL␈εβ=␈α (␈↓ λα␈ε b␈↓ λ#␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/(␈↓ ↓␈ε n␈↓ ~␈ε↔␈␈εβ␈α¬2)␈α <␈↓
⊂␈ε b␈↓
,␈εβ/(␈↓
H␈ε n␈↓
a␈ε↔␈␈εβ␈α¬1),
␈β¬v␈↓ π2␈εn␈↓ λ∞␈εn␈↓
≤␈εn
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε b␈↓ αO␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αba␈α␈d␈↓ ¬
␈ε x␈↓ ¬&␈εβsuc␈α␈h␈αtha␈α␈t␈α1␈ε↔␈α ∀␈↓ ε␈␈ε x␈↓ π→␈εβ<␈↓ πD␈ε n␈↓ πX␈εβ,␈αwhen␈↓ λC␈ε n␈↓ λb␈εβi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.
␈βε≥␈↓ α4␈εn
␈βε7␈↓ ∧T␈εn␈↓ ∧e␈ε~␈␈εε1
␈βε;␈↓ α␈εβEv␈α␈ery␈α
b␈α␈ad␈↓ β-␈ε x␈↓ βI␈εβsatis|e␈α␈s␈↓ ∧C␈ε x␈↓ ¬∀␈ε↔⊃␈εβ␈α 1␈α (mod␈α␈ulo␈↓ εZ␈ε n␈↓ εn␈εβ).␈αWhen␈↓ πm␈ε p␈↓ λλ␈εβi␈α↓s␈α
prime,␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αsolu␈α␈-
␈βε↑␈↓ ∧:␈εq␈↓ ε(␈εe␈↓ λ≠␈εe
␈βεb␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈αto␈αt␈α␈he␈αcon␈α␈gru␈α␈enc␈α␈e␈↓ ∧)␈ε x␈↓ ∧P␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε↔␈ε p␈↓ ε3␈εβ)␈αfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ πD␈ε x␈↓ π←␈ε↔∀␈↓ λ
␈ε p␈↓ λ1␈εβi␈α↓s␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈βπε␈↓ βr␈εe␈↓ β⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ εq␈εe␈↓ ε|␈ε~␈␈εε1␈↓ ␈␈εe␈↓
␈ε~␈␈εε1
␈βππ␈↓ α←␈εα(␈↓ ¬␈εα)␈↓ D␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈βπ
␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε q␈↓ ↓⎇␈ε y␈↓ α→␈ε↔⊃␈εβ␈α 0␈↓ αk␈εβmod␈α␈ulo␈↓ βb␈ε p␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε p␈↓ ∧F␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬"␈εβfor␈α0␈ε↔␈α ∀␈↓ ε~␈ε y␈↓ ε6␈εβ<␈↓ ε`␈ε p␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε p␈↓ πE␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓,␈αn␈α␈amely␈↓ ∩␈εβgcd␈↓ P␈ε q␈↓ ←␈εβ,␈↓ n␈ε p␈↓
/␈εβ(␈↓
;␈ε p␈↓
S␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ #␈εβ,
␈βπ-␈↓ ∧b␈εy
␈βπ1␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ ∧¬␈ε x␈↓ ∧!␈εβby␈↓ ∧Q␈ε a␈↓ ∧|␈εβwh␈α␈ere␈↓ ¬\␈ε a␈↓ ¬x␈εβis␈αa␈αp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αroo␈α␈t.
␈βπT␈↓ β1␈εe
␈βπU␈↓ ∧π␈εe
␈βπY␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε n␈↓ αn␈εβ=␈↓ β≥␈ε n␈↓ βG␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βs␈ε n␈↓ ∧≥␈εβ,␈α∂wh␈α␈ere␈α∞th␈α␈e␈↓ ¬T␈ε n␈↓ ε␈εβa␈α␈re␈α∞distin␈α␈ct␈α∞prime␈α␈s.␈α∀Acco␈α␈rding␈α
to␈α∞th␈α␈e␈α∞Ch␈α␈inese
␈βπ\␈↓ β;␈επ1␈↓ ∧⊃␈ε
r
␈βπd␈↓ ¬g␈εi
␈βπi␈↓ ∧π␈εr
␈βπj␈↓ β1␈εε1
␈βπ⎇␈↓ ␈εn␈↓ ⊃␈ε~␈␈εε1
␈βλ↓␈↓ ↓H␈εβre␈α␈maind␈α␈er␈αtheo␈α␈rem,␈α
the␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈α
th␈α␈e␈αcon␈α␈grue␈α␈nce␈↓ λo␈ε x␈↓ B␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓
␈ε n␈↓ !␈εβ)
␈βλ␈↓ ↓k␈ε↓Q␈↓ λ≤␈ε↓Q
␈βλ$␈↓ ∧ ␈εe␈↓ ∧5␈ε~␈␈εε1
␈βλ&␈↓ β~␈εα(␈↓ ¬R␈εα)
␈βλ)␈↓ ↓H␈εβis␈↓ αh␈εβgcd␈↓ β&␈ε n␈↓ βC␈ε↔␈␈εβ␈α 1,␈↓ ∧␈ε n␈↓ ∧[␈εβ(␈↓ ∧f␈ε n␈↓ ¬␈ε↔␈␈εβ␈α 1)␈↓ ¬↑␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓s␈α
a␈α␈t␈α
most␈↓ ∀␈εβ(␈↓ ∨␈ε n␈↓ E␈ε↔␈␈εβ␈α 1)␈α
since␈↓
k␈ε n␈↓ ⊗␈εβis
␈βλ+␈↓ ∧+␈ε
i
␈βλ3␈↓ ∧y␈εi␈↓ 2␈εi␈↓
␈␈εi
␈βλ9␈↓ ∧ ␈εi
␈βλ;␈↓ α
␈εε1␈ε~∀␈↓ α3␈εi␈↓ α=␈ε~∀␈↓ αW␈εr␈↓ λ>␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λd␈εi␈↓ λn␈ε~∀␈↓ π␈εr
␈βλP␈↓ λ]␈εe
␈βλR␈↓ λ9␈εε2
␈βλU␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
to␈↓ β←␈ε n␈↓ βy␈ε↔␈␈εβ␈απ1.␈αIf␈α
som␈α␈e␈↓ ¬8␈ε e␈↓ ¬X␈εβ>␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ π%␈ε n␈↓ πI␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈αλ∀␈↓ λI␈ε n␈↓ λr␈εβ,␈α
hen␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f
␈βλX␈↓ λg␈ε
i
␈βλ`␈↓ ¬D␈εi␈↓ π8␈εi
␈βλd␈↓ λ9␈∧λdλ9α
␈βλf␈↓ λ9␈εε9␈↓ λ]␈εi
␈βλz␈↓ βq␈εε2␈↓ ε,␈εε2␈↓ πλ␈εε1
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α␈s␈αi␈α↓s␈αa␈α␈t␈αmost␈↓ ∧α␈ε n␈↓ ∧⊗␈εβ;␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αca␈α␈se␈↓ ¬X␈ε b␈↓ ¬}␈ε↔∀␈↓ ε<␈ε n␈↓ εY␈ε↔∀␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε n␈↓ π?␈ε↔␈␈εβ␈απ1),␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ λi␈ε n␈↓ ε␈ε↔∃␈εβ␈α
9␈α␈.
␈β λ␈↓ ¬d␈εn
␈β ␈↓ βq␈∧ βqα
␈↓ ε,␈∧ ε,α
␈↓ πλ␈∧ πλα
␈β
␈↓ βq␈εε9␈↓ ε,␈εε9␈↓ πλ␈εε4
␈β %␈↓ α␈εβThe␈α␈refore␈α
w␈α␈e␈αmay␈αassu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈↓ ¬c␈ε n␈↓ ε∧␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
pr␈α␈odu␈α␈ct␈↓ π`␈ε n␈↓ λ¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ1␈ε n␈↓ λ↑␈εβo␈α␈f␈α
distinct␈αprimes.␈α⊂L␈α↓e␈α␈t
␈β 0␈↓ πs␈εε1␈↓ λE␈εr
␈β D␈↓ G␈ε≠0
␈β I␈↓ αt␈εk␈↓ :␈εk␈↓ `␈ε~0␈↓
t␈ε~0
␈β M␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓r␈εβ=␈α
1␈αλ+␈↓ αc␈εβ2␈↓ β
␈ε q␈↓ β!␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ∧~␈ε k␈↓ ∧B␈ε↔∀␈↓ ∧p␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬#␈ε↔∀␈↓ ¬Q␈ε k␈↓ ¬l␈εβ.␈α⊃The␈α␈n␈↓ ε←␈εβgc␈α␈d␈↓ π⊃␈εβ(␈↓ π≤␈ε n␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α␈,␈↓ λα␈ε n␈↓ λ)␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α␈)␈α
=␈↓ )␈εβ2␈↓ Q␈ε q␈↓ k␈εβ,␈α
where␈↓
d␈ε k␈↓ ␈εβ=
␈β P␈↓ β␈ε
i
␈β S␈↓ G␈ε
i
␈β W␈↓ ↓[␈εi␈↓ β⊗␈εi␈↓ ∧)␈εε1␈↓ ¬`␈εr␈↓ λ∃␈εi
␈β \␈↓ `␈εi␈↓
t␈εi
␈β p␈↓ β*␈ε~0␈↓ G␈εq␈↓
W␈ε~0
␈β t␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ ↓␈␈εβ(␈↓ α
␈ε k␈↓ α≠␈εβ,␈↓ α)␈ε k␈↓ αC␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ β≠␈ε q␈↓ β?␈εβ=␈↓ βj␈εβgcd␈↓ ∧≤␈εβ(␈↓ ∧'␈ε q␈↓ ∧6␈εβ,␈↓ ∧E␈ε q␈↓ ∧\␈εβ).␈α
Mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ¬v␈ε n␈↓ ε∀␈εβ,␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈↓ λ∧␈ε x␈↓ λ!␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ 6␈ε x␈↓ ↑␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈αis␈↓
H␈ε q␈↓
a␈εβ;␈α
a␈α␈nd
␈β ␈␈↓ α8␈εi␈↓ ∧Q␈εi␈↓ ε ␈εi
␈β
β␈↓ β*␈εi␈↓
W␈εi
␈β
∀␈↓ ∧g␈ε
j
␈β
_␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ∧s␈εq␈↓ ε∨␈εj␈↓ ε:␈ε~0␈↓ λ→␈ε~0
␈β
≤␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈↓ β≤␈ε x␈↓ β8␈εβsu␈α␈ch␈α tha␈α␈t␈↓ ∧I␈ε x␈↓ ¬λ␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α i␈α↓s␈↓ ε∂␈εβ2␈↓ ε+␈ε q␈↓ εO␈εβfo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α ∀␈↓ πF␈ε j␈↓ π↑␈εβ<␈↓ λλ␈ε k␈↓ λ#␈εβ,␈αo␈α␈therwise␈α
0␈α␈.␈αSin␈α␈ce␈↓
D␈ε k␈↓
]␈ε↔∃␈↓ λ␈ε k␈↓ #␈εβ,
␈β
%␈↓ ∧R␈ε↓P
␈β
&␈↓ ↔␈εε1
␈β
+␈↓ ε:␈εi␈↓ λ→␈εi
␈β
?␈↓ β&␈ε~0␈↓ βt␈ε~0␈↓ ¬q␈εj␈↓ ¬⎇␈εr
␈β
@␈↓ ∧¬␈εα(␈↓ ε ␈εα)
␈β
C␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αG␈ε b␈↓ αm␈εβ=␈↓ β↔␈ε q␈↓ β8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βe␈ε q␈↓ ∧⊃␈εβ1␈απ+␈↓ ¬`␈εβ2␈↓ ε∃␈εβ.
␈β
N␈↓ αS␈εn
␈β
S␈↓ β&␈εε1␈↓ βt␈εr
␈β
V␈↓ ∧x␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ¬*␈εε<␈↓ ¬C␈εk
␈β
↑␈↓ ¬O␈επ1
␈β
n␈↓ !␈εk␈↓ 9␈εε+␈↓ R␈ε~↓↓↓␈↓ g␈εε+␈↓
␈εk
␈β
o␈↓ λ≥␈εε1␈↓
S␈εε1
␈β
r␈↓ α␈εβTo␈αco␈α␈mplete␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈of,␈α
it␈αsu}␈α␈ces␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈↓ πF␈ε b␈↓ πm␈ε↔∀␈↓ λ.␈ε q␈↓ λL␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λx␈ε q␈↓ ⊂␈εβ2␈↓
#␈εβ=␈↓
d␈ε ⎇␈↓
y␈εβ(␈↓ ∧␈ε n␈↓ _␈εβ),
␈β
u␈↓
␈ε
r
␈β
v␈↓ -␈επ1
␈β
|␈↓ ¬'␈ε↓P␈↓ λy␈ε↓P
␈β
⎇␈↓ πR␈εn␈↓ λ:␈εε1␈↓ ∧␈εr
␈β␈↓ λ≥␈∧λ≥α
␈↓
S␈∧
Sα
␈βα␈↓ λ≥␈εε4␈↓
S␈εε4
␈β⊗␈↓ εF␈εj␈↓ εR␈εr␈↓ π
␈εk␈↓ π$␈εε+␈↓ π=␈ε~↓↓↓␈↓ πR␈εε+␈↓ πl␈εk␈↓
↔␈εj␈↓
#␈εr␈↓
↑␈εk␈↓
v␈εr
␈β↔␈↓ ∧f␈εα(␈↓ ε↑␈εα)/␈↓ λ7␈εα(␈↓
0␈εα)/
␈β~␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α∃␈ε ⎇␈↓ α*␈εβ(␈↓ α5␈ε n␈↓ αI␈εβ)␈α
<␈↓ βλ␈ε n␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αα1.␈α
We␈αεhav␈α}e␈↓ ∧r␈εβ1␈α↓+␈↓ ε5␈εβ2␈↓ ε|␈εβ2␈↓ λ
␈ε↔∀␈↓ λC␈εβ1␈αα+␈↓
π␈εβ2␈↓
N␈εβ2␈↓ ␈εβ=
␈β≤␈↓ πx␈ε
r
␈β≥␈↓ π→␈επ1␈↓
j␈επ1
␈β,␈↓ ¬M␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬s␈εj␈↓ ¬␈␈εε<␈↓ ε_␈εk␈↓ ∨␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ D␈εj␈↓ P␈εε<␈↓ j␈εk
␈β4␈↓ ε$␈επ1␈↓ v␈επ1
␈βE␈↓ α¬␈εr␈↓ β*␈εr␈↓ ∧2␈εk␈↓ ∧I␈εr␈↓ ∧q␈εr␈↓ ε>␈εr␈↓ εJ␈ε~␈␈εε1
␈βF␈↓ ∧β␈εα/(␈↓ ¬J␈εα)
␈βI␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(␈↓ ↓t␈εβ2␈↓ α→␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈αλ(␈↓ β→␈εβ2␈↓ β>␈ε↔␈␈εβ␈αλ2)␈↓ ∧!␈εβ2␈↓ ∧U␈εβ(␈↓ ∧`␈εβ2␈↓ ¬¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬`␈ε↔∀␈εβ␈α1␈α␈/␈↓ ε-␈εβ2␈↓ εp␈εβ,␈αso␈αth␈α␈e␈αres␈α␈ult␈αfollo␈α␈ws␈αu␈α␈nless␈↓
⊗␈ε r␈↓
/␈εβ=␈α
2␈αa␈α␈nd
␈βL␈↓ ∧>␈επ1
␈βp␈↓ ↓H␈ε k␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α↔␈ε k␈↓ α2␈εβ.␈α
If␈↓ αc␈ε r␈↓ α{␈εβ=␈α
2,␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈απ9␈αλsho␈α}ws␈αλthat␈↓ ¬{␈ε n␈↓ ε∩␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈απi␈α↓s␈αλn␈α␈ot␈αλa␈αλm␈α}ultiple␈αλof␈αλb␈α␈oth␈↓ -␈ε n␈↓ P␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈αλan␈α␈d␈↓
K␈ε n␈↓
n␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈.
␈β{␈↓ ↓V␈εε1␈↓ α%␈εε2␈↓ @␈εε1␈↓
↑␈εε2
␈β∀␈↓ ¬}␈ε~0␈↓ π3␈ε~0␈↓
␈ε~0␈↓
&␈ε~0␈↓
k␈εε1
␈β_␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αif␈↓ α<␈ε k␈↓ αa␈εβ=␈↓ β␈ε k␈↓ β3␈εβw␈α␈e␈αcan␈α␈no␈α␈t␈αh␈α␈av␈α␈e␈αb␈α␈oth␈↓ ¬o␈ε q␈↓ ε∀␈εβ=␈↓ ε?␈ε q␈↓ εd␈εβa␈α␈nd␈↓ π%␈ε q␈↓ πJ␈εβ=␈↓ πu␈ε q␈↓ λ∞␈εβ;␈αit␈αfoll␈α↓o␈α}ws␈αth␈α␈at␈↓ {␈ε q␈↓
↔␈ε q␈↓
<␈ε↔∀␈↓
{␈ε q␈↓ ∀␈ε q
␈β"␈↓ αK␈εε1␈↓ β≠␈εε2␈↓ εK␈εε1␈↓ λ↓␈εε2␈↓ π␈εε1␈↓ ␈εε2
␈β&␈↓
k␈∧&
kα
␈β'␈↓ ¬}␈εε1␈↓ π3␈εε2␈↓
␈εε1␈↓
&␈εε2
␈β(␈↓
k␈εε3
␈β<␈↓ α\␈εε1
␈β?␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε b␈↓ α.␈ε↔∀␈↓ αm␈ε ⎇␈↓ βα␈εβ(␈↓ β
␈ε n␈↓ β!␈εβ)␈αi␈α↓n␈α
this␈αca␈α␈se.
␈βJ␈↓ α∀␈εn
␈βN␈↓ α\␈∧Nα\α
␈βP␈↓ α\␈εε6
␈β␈␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Referen␈α␈ce:␈α
J.␈α Num␈α}ber␈α Th␈α␈eory␈εβ␈αλ(␈ε⊂␈α↓c␈εβ␈α␈.␈α19␈α␈79),␈α
t␈α␈o␈α ap␈α␈pea␈α␈r.␈αThe␈α a␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈α p␈α␈roof␈α sh␈α␈o␈α␈ws␈α tha␈α␈t␈↓ ␈ε p
␈β
␈↓ ≤␈εn
␈β
$␈↓ α0␈εε1
␈β
'␈↓ ↓H␈εβis␈αλn␈α␈ear␈↓ αH␈εβon␈α␈l␈α↓y␈απin␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλca␈α␈ses,␈α wh␈α␈en␈↓ ¬≠␈ε n␈↓ ¬9␈εβ=␈α (1␈αβ+␈αβ2␈↓ ε7␈ε q␈↓ εP␈εβ)(1␈αα+␈α∧4␈↓ π.␈ε q␈↓ πG␈εβ)␈αλo␈α␈r␈αλ(1␈αβ+␈αβ2␈↓ λS␈ε q␈↓ λl␈εβ)(1␈αα+␈α∧2␈↓ J␈ε q␈↓ c␈εβ)(1␈αβ+␈αβ2␈↓
B␈ε q␈↓
Z␈εβ).␈αFo␈α␈r
␈β
2␈↓ εC␈εε1␈↓ π:␈εε1␈↓ λ←␈εε1␈↓ V␈εε2␈↓
N␈εε3
␈β
5␈↓ α0␈∧
5α0α
␈β
7␈↓ α0␈εε4
␈β
K␈↓ π≠␈εε1
␈β
O␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple,␈αwhen␈↓ β-␈ε n␈↓ βL␈εβ=␈α4␈α␈993␈α␈9␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ99␈α␈877␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ εE␈ε b␈↓ εl␈εβ=␈↓ π+␈εβ(␈α↓4␈α␈99␈α␈38␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ99␈α␈876␈α␈)␈αan␈α␈d␈↓ O␈ε p␈↓ y␈ε↔→␈εβ␈α.␈α↓2␈α␈499␈α␈925␈α␈.
␈β
Y␈↓ εQ␈εn␈↓ ←␈εn
␈β
]␈↓ π≠␈∧
]π≠α
␈β
←␈↓ π≠␈εε4
␈β
v␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈αth␈α␈e␈αne␈α␈xt␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αfor␈αfur␈α␈ther␈αrem␈α␈ark␈α␈s.␈α↓]
␈β∞*␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈e␈α
pro␈α␈ofs␈α
are␈α
simple␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈αp␈α␈erh␈α␈aps␈α
for␈α
th␈α␈e␈α
recipro␈α␈city␈α
law.␈αLet␈↓ }␈ε p␈↓
→␈εβ=␈↓
C␈ε p␈↓
e␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ⊃␈ε p
␈β∞5␈↓
S␈εε1␈↓ !␈εs
␈β∞R␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε q␈↓ α ␈εβ=␈↓ αK␈ε q␈↓ αi␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β⊗␈ε q␈↓ β.␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈αthe␈↓ ∧\␈ε p␈↓ ¬↓␈εβan␈α␈d␈↓ ¬B␈ε q␈↓ ¬e␈εβare␈αp␈α␈rime.␈αThen
␈β∞]␈↓ αW␈εε1␈↓ β"␈εr␈↓ ∧k␈εi␈↓ ¬N␈εj
␈β∂∀␈↓ β∧␈ε↓Y␈↓ ∧4␈ε↓Y
␈β∂≥␈↓ α␈ε↓∩␈↓ α;␈ε↓∪␈↓ β2␈ε↓∩␈↓ βj␈ε↓∪␈↓ εc␈ε↓∩␈↓ π≠␈ε↓∪␈↓
~␈ε↓∩␈↓
I␈ε↓∪
␈β∂#␈↓ α&␈ε p␈↓ βL␈ε p␈↓ ε}␈ε q␈↓
5␈ε q
␈β∂.␈↓ β\␈εi␈↓ π
␈εj
␈β∂1␈↓ λ-␈εβε
␈β∂2␈↓ λa␈εε(␈↓ λi␈εp␈↓ ↓␈ε~␈␈εε1)(␈↓ 7␈εq␈↓ M␈ε~␈␈εε1)/4
␈β∂4␈↓ ¬*␈εε(␈↓ ¬3␈εp␈↓ ¬J␈ε~␈␈εε1)(␈↓ ε↓␈εq␈↓ ε⊗␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈4
␈β∂9␈↓ αZ␈εβ=␈↓ ∧ ␈εβ=␈↓ ∧b␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬∨␈εβ)␈↓ π:␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ λ"␈εβ)␈↓
←␈εβ,
␈β∂:␈↓ λw␈ε
i␈↓ B␈ε
j
␈β∂;␈↓ ¬@␈ε
i␈↓ ε␈ε
j
␈β∂<␈↓ λE␈ε
i␈↓ λO␈επ,␈↓ λV␈ε
j
␈β∂H␈↓ α&␈∧∂Hα&α⊃␈↓ βL␈∧∂HβLα≠␈↓ ε⎇␈∧∂Hε⎇α≠␈↓
4␈∧∂H
4α⊃
␈β∂Q␈↓ α'␈ε q␈↓ βM␈ε q␈↓ ε⎇␈ε p␈↓
4␈ε p
␈β∂\␈↓ βY␈εj␈↓ π
␈εi
␈β∂k␈↓ β
␈εi␈↓ β↔␈εε,␈↓ β≡␈εj␈↓ ∧<␈εi␈↓ ∧G␈εε,␈↓ ∧N␈εj
␈β⊂&␈↓ ∧[␈ε↓P
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εβso␈α w␈α␈e␈α
nee␈α␈d␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α that␈↓ ¬"␈εβ(␈↓ ¬.␈ε p␈↓ ¬N␈ε↔␈␈εβ␈αε1)(␈↓ ε≤␈ε q␈↓ ε:␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α↓/␈α␈4␈ε↔␈α ⊃␈εβ␈α
(␈↓ π↑␈ε p␈↓ πu␈ε↔␈␈εβ␈αε1)(␈↓ λC␈ε q␈↓ λX␈ε↔␈␈εβ␈αε1)/4␈α (m␈α␈odu␈α␈lo␈α2).␈αBu␈α␈t
␈β⊂O␈↓ ¬=␈εi␈↓ ε(␈εj
␈β⊂T␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ ∧H␈ε↓P␈↓ ε≡␈ε↓P
␈β⊂W␈↓ ¬↓␈εi␈↓ ¬␈εε,␈↓ ¬∩␈εj
␈β⊂o␈↓ ∧<␈εα(␈↓ εε␈εα)(␈↓ π\␈εα)
␈β⊂r␈↓ α⊂␈εβ(␈↓ α≠␈ε p␈↓ α:␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)(␈↓ βπ␈ε q␈↓ β$␈ε↔␈␈εβ␈αε1)/␈α␈4␈α =␈↓ ∧x␈εβ(␈↓ ¬β␈ε p␈↓ ¬#␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/2␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε\␈ε q␈↓ εy␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/␈α␈2␈↓ πq␈εβi␈α↓s␈α od␈α␈d␈α i{␈α
an␈α o␈α␈dd␈α n␈α}um␈α}ber␈α of␈α the
␈β⊂⎇␈↓ α*␈εi␈↓ β∪␈εj␈↓ ¬∪␈εi␈↓ εh␈εj
␈β⊃¬␈↓ ↓n␈εi␈↓ ↓x␈εε,␈↓ ↓␈␈εj␈↓ ∧n␈εi␈↓ εD␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε p␈↓ ↓h␈εβa␈α␈nd␈α¬a␈α␈n␈αεo␈α␈dd␈α¬n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α¬of␈αεth␈α␈e␈↓ ∧O␈ε q␈↓ ∧l␈εβare␈ε↔␈α¬⊃␈εβ␈α
3␈α (m␈α␈odu␈α␈lo␈α4),␈απa␈α␈nd␈α¬th␈α␈i␈α↓s␈α¬ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈αεi{␈αε(␈↓ ε␈ε p␈↓ ↔␈ε↔␈␈εβ1)(␈↓ ←␈ε q␈↓ n␈ε↔␈␈εβ1)/4␈α¬is␈αεo␈α␈dd␈α␈.
␈β⊃)␈↓ ↓W␈εi␈↓ ∧[␈εj
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα589
␈βα&␈↓
␈␈εk
␈βα*␈↓ α␈εβ(b)␈αAs␈αin␈αex␈α}ercise␈α22␈α␈,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈↓ ε}␈ε n␈↓ π≠␈εβ=␈↓ πF␈ε n␈↓ πk␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ_␈ε n␈↓ λB␈εβwhere␈αt␈α␈he␈↓ \␈ε n␈↓
β␈εβ=␈α
1␈απ+␈↓
o␈εβ2␈↓ ⊗␈ε q
␈βα.␈↓ ␈ε
i
␈βα5␈↓ πY␈εε1␈↓ λ+␈εr␈↓ o␈εi␈↓ "␈εi
␈βαI␈↓ W␈ε≠0
␈βαN␈↓ J␈εk␈↓ p␈ε~0
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αdistinc␈α␈t␈αprimes,␈αan␈α␈d␈↓ ∧1␈ε k␈↓ ∧W␈ε↔∀␈↓ ¬β␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬5␈ε↔∀␈↓ ¬a␈ε k␈↓ ¬|␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αlet␈↓ εu␈εβgc␈α␈d␈↓ π'␈εβ(␈↓ π2␈ε n␈↓ πN␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α␈,␈↓ λ↔␈ε n␈↓ λ=␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=␈↓ 9␈εβ2␈↓ a␈ε q␈↓
π␈εβa␈α␈nd␈αwe␈αcall
␈βαX␈↓ W␈ε
i
␈βα[␈↓ π↔␈ε↓Q
␈βα\␈↓ ∧@␈εε1␈↓ ¬p␈εr␈↓ λ*␈εi
␈βαa␈↓ p␈εi
␈βαu␈↓ λ#␈ε~0␈↓ λD␈εεmin␈↓ λn␈εε(␈↓ λv␈εk␈↓
␈εε,␈↓ ∀␈εk␈↓ !␈ε~␈␈εε1)
␈βαy␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓d␈ε⊂b␈α␈ad␈εβ␈αif␈αit␈αfalsely␈α
mak␈α}es␈↓ ∧1␈ε n␈↓ ∧P␈εβlook␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.␈αL␈α↓e␈α␈t␈↓ ε<␈εβ¬␈↓ εl␈εβ=␈↓ λ∀␈ε q␈↓ λ3␈εβ2␈↓ Z␈εβb␈α␈e␈αthe␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βα⎇␈↓ α␈ε
i
␈ββ∧␈↓ εS␈εn
␈ββλ␈↓ λ#␈εi
␈ββ␈↓ π9␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π↑␈εi␈↓ πi␈ε~∀␈↓ λα␈εr
␈ββ≥␈↓ λ
␈εx
␈ββ$␈↓ β3␈εε(␈↓ β;␈εn␈↓ βK␈ε~␈␈εε1)/2
␈ββ(␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈αof␈↓ β!␈ε x␈↓ ∧≥␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈.␈α
Th␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αb␈α␈ad␈↓ π∀␈ε x␈↓ π1␈εβwith␈α(␈↓ λ ␈εβ)␈α
=␈α
1␈αis␈↓ ≥␈εβ¬␈↓ D␈εβ,␈αtimes␈αan␈αe␈α␈xtra
␈ββ3␈↓ 4␈εn
␈ββ6␈↓ λ␈∧β6λα⊃
␈ββ8␈↓ λ␈εn
␈ββE␈↓ λp␈εx
␈ββL␈↓ αT␈εε1␈↓ ¬S␈εε1
␈ββP␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ αp␈εβif␈↓ β⊂␈ε k␈↓ β6␈εβ<␈↓ βb␈ε k␈↓ βr␈εβ.␈α≠(This␈αfac␈α␈tor␈↓ ¬o␈εβis␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈αt␈α␈o␈αen␈α␈sure␈αtha␈α␈t␈α(␈↓ λ␈εβ)␈α=␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓1␈αfor␈αa␈α␈n␈αev␈α}en
␈ββZ␈↓ β∨␈εε1
␈ββ↑␈↓ αT␈∧β↑αTα
␈↓ ¬S␈∧β↑¬Sα
␈↓ λj␈∧β↑λjα≠
␈ββ`␈↓ αT␈εε2␈↓ ¬S␈εε2␈↓ λj␈εn
␈ββh␈↓ λz␈ε
i
␈ββr␈↓ λ@␈εx
␈ββ|␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αthe␈↓ β!␈ε n␈↓ βJ␈εβwith␈↓ ∧⊗␈ε k␈↓ ∧9␈εβ<␈↓ ∧d␈ε k␈↓ ∧t␈εβ.)␈α~The␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αbad␈↓ πG␈ε x␈↓ πd␈εβwith␈α(␈↓ λS␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈αis␈↓ r␈εβ¬␈↓
#␈εβi␈α↓f␈↓
C␈ε k␈↓
h␈εβ=␈↓ ∪␈ε k␈↓ #␈εβ,
␈β∧π␈↓ β4␈εi␈↓ ∧%␈εi␈↓
λ␈εn␈↓
R␈εε1
␈β∧␈↓ λ?␈∧∧λ?α⊃
␈β∧
␈↓ λ?␈εn
␈β∧→␈↓ πk␈εx␈↓
$␈εx
␈β∧ ␈↓ βK␈εε(␈↓ βS␈εn␈↓ βc␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β∧!␈↓ β
␈εα(
␈β∧$␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈α
0.␈↓ β→␈εβIf␈↓ β9␈ε x␈↓ ∧4␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α (mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε≠␈ε n␈↓ ε9␈εβ),␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈α(␈↓ λβ␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α ␈␈εβ␈α↓1␈α
if␈↓ ≡␈ε k␈↓ @␈εβ=␈↓ k␈ε k␈↓ {␈εβ,␈α(␈↓
<␈εβ)␈α =␈α +␈α↓1
␈β∧/␈↓ ε/␈εi␈↓ ,␈εi
␈β∧2␈↓ πe␈∧∧2πeα≠␈↓
≡␈∧∧2
≡α≠
␈β∧4␈↓ πe␈εn␈↓
≡␈εn
␈β∧<␈↓ πu␈ε
i␈↓
.␈ε
i
␈β∧N␈↓ ␈εα)
␈β∧Q␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓b␈ε k␈↓ α∧␈εβ>␈↓ α/␈ε k␈↓ α?␈εβ,␈απan␈α␈d␈α¬a␈α¬con␈α}trad␈α␈i␈α↓c␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α¬i␈α↓f␈↓ ∧␈␈ε k␈↓ ¬"␈εβ<␈↓ ¬L␈ε k␈↓ ¬]␈εβ.␈α If␈↓ ε␈ε k␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εZ␈ε k␈↓ εj␈εβ,␈απthe␈α␈re␈αεa␈α␈re␈αεa␈α␈n␈α¬od␈α␈d␈α¬n␈α␈um␈α}ber␈α¬of␈↓ s␈ε k␈↓
∩␈εβequ␈α␈al␈αεto␈↓ π␈ε k␈↓ ↔␈εβ.
␈β∧[␈↓ ↓p␈εi␈↓ ¬∞␈εi␈↓ ε→␈εε1␈↓
α␈εi
␈β∧v␈↓ π!␈εε1
␈β∧y␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∂The␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αof␈α
a␈αba␈α␈d␈α
g␈α␈uess␈αi␈α↓s␈α>␈↓ π>␈εβo␈α␈nly␈αi␈α↓f␈↓ λ+␈ε n␈↓ λK␈εβi␈α↓s␈αa␈α
Car␈α␈micha␈α␈el␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β¬π␈↓ π!␈∧¬ππ!α
␈β¬ ␈↓ π!␈εε4
␈β¬!␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α⊃␈ε k␈↓ α5␈εβ<␈↓ α←␈ε k␈↓ αp␈εβ;␈α for␈αλex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈↓ ∧>␈ε n␈↓ ∧[␈εβ=␈α 7␈ε↔␈α∧↓␈εβ␈α∧1␈α␈3␈ε↔␈α∧↓␈εβ␈α∧1␈α␈9␈α =␈α
1␈α␈729␈α␈,␈α a␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αλma␈α␈de␈αλfam␈α␈ous␈αλb␈α␈y␈αλRam␈α␈an␈α␈u␈α␈jan
␈β¬+␈↓ α∨␈εr
␈β¬H␈↓ ↓H␈εβin␈α∞an␈α␈oth␈α␈er␈α∂co␈α␈n␈α␈tex␈α␈t.␈α⊗I␈α↓t␈α∞i␈α↓s␈α∞in␈α␈terest␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂to␈α∞co␈α␈mpa␈α␈re␈α∂th␈α␈e␈α∂p␈α␈roced␈α␈ure␈α∞of␈α∂th␈α␈is␈α∂ex␈α}ercise␈α∂with
␈β¬p␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αP␈↓ α{␈εβ;␈αLouis␈αM␈α␈on␈α␈i␈α↓er␈α
has␈α
sho␈α␈wn␈α
tha␈α␈t␈αev␈α␈e␈α␈ry␈↓ π≤␈ε x␈↓ π8␈εβtha␈α␈t␈αis␈αba␈α␈d␈αfor␈αAlg␈α␈orithm␈α
P␈αis␈αalso
␈βε_␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ad␈αfo␈α␈r␈αth␈α␈e␈αSo␈α␈l␈α↓o␈α}va␈α␈y-St␈α␈rassen␈αte␈α␈st,␈αth␈α␈erefore␈αAlgo␈α␈rithm␈αP␈αis␈αalway␈α␈s␈αbette␈α␈r.␈αHe␈αh␈α␈as␈αalso
␈βε?␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈αt␈α␈he␈α
abo␈α}v␈α␈e␈α
an␈α␈alyse␈α␈s␈αto␈α
ob␈α␈tain␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
close␈α␈d␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αfor␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈βεg␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ad␈↓ αλ␈ε x␈↓ α%␈εβin␈αg␈α␈ene␈α␈ral:
␈βπα␈↓ ππ␈ε↓Y
␈βπ␈↓ ¬∧␈ε↓∩␈↓ εX␈ε↓∪
␈βπ
␈↓ ¬o␈εr␈↓ ¬|␈εk
␈βπ⊃␈↓ ¬←␈εβ2␈↓ ε~␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βπ∃␈↓ ελ␈επ1
␈βπ!␈↓ π]␈ε~0
␈βπ'␈↓ ∧4␈ε b␈↓ ∧Z␈εβ=␈↓ ¬~␈εβ1␈απ+␈↓ πN␈ε q␈↓ πh␈εβ;
␈βπ2␈↓ ∧@␈εn
␈βπ5␈↓ ¬←␈∧π5¬←αv
␈βπ6␈↓ π]␈εi
␈βπ<␈↓ ¬{␈εr
␈βπ?␈↓ ¬j␈εβ2␈↓ ε∂␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈βπX␈↓ εs␈εε1␈ε~∀␈↓ π→␈εi␈↓ π$␈ε~∀␈↓ π=␈εr
␈βπ⎇␈↓ ¬:␈ε↓Y
␈βλε␈↓ ε9␈ε↓∩␈↓ λ"␈ε↓∪
␈βλ␈↓ εS␈ε n␈↓ εn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βλ≤␈↓ ∧@␈ε~0
␈βλ"␈↓ ∧3␈ε b␈↓ ∧Z␈εβ=␈↓ ¬∧␈ε ∞␈↓ εα␈εβg␈α␈cd␈↓ π+␈εβ,␈↓ πC␈ε n␈↓ πh␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λ8␈εβ.
␈βλ-␈↓ ¬⊂␈εn␈↓ πV␈εi
␈βλ0␈↓ εS␈∧λ0εSαU
␈βλ1␈↓ ∧@␈εn
␈βλ:␈↓ εu␈εβ2
␈βλS␈↓ ¬&␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬L␈εi␈↓ ¬W␈ε~∀␈↓ ¬p␈εr
␈β ↔␈↓ α$␈ε~0
␈β _␈↓
q␈εε1
␈β ≤␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α⊗␈ε b␈↓ α@␈εβis␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈α
b␈α␈ad␈↓ ∧␈␈ε x␈↓ ¬≥␈εβin␈αth␈α␈is␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈,␈α
an␈α␈d␈↓ πN␈ε ∞␈↓ πv␈εβis␈αeither␈α2␈α(i␈α↓f␈↓ @␈ε k␈↓ f␈εβ=␈↓
∩␈ε k␈↓
#␈εβ),␈αor␈↓
␈εβ(if
␈β &␈↓ πZ␈εn␈↓ O␈εε1
␈β *␈↓
q␈∧ *
qα
␈β +␈↓ α$␈εn
␈β ,␈↓
q␈εε2
␈β C␈↓ ↓H␈ε k␈↓ ↓j␈εβ<␈↓ α∃␈ε k␈↓ α0␈εβan␈α␈d␈↓ αq␈ε e␈↓ β∪␈εβis␈αod␈α␈d␈αfo␈α␈r␈αs␈α␈ome␈↓ ∧|␈ε i␈↓ ¬ ␈εβ),␈αor␈α1␈α
(␈α↓o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈α␈)␈α↓.
␈β N␈↓ ↓V␈εi␈↓ α⎇␈εi
␈β y␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε M␈↓ β␈εβbe␈αa␈αm␈α␈atrix␈αha␈α␈ving␈αo␈α␈ne␈αro␈α␈w␈αfor␈αeac␈α␈h␈αno␈α␈np␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
o␈α␈dd␈αn␈α}um␈α}ber␈αin␈αthe␈αra␈α␈nge
␈β
∧␈↓ αg␈εε1
␈β
!␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α∞∀␈↓ α↔␈ε n␈↓ α:␈ε↔∀␈↓ αj␈ε N␈↓ β↔␈εβan␈α␈d␈α∞ha␈α␈ving␈↓ ∧L␈ε N␈↓ ∧t␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞colu␈α␈mns␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ered␈α∞fro␈α␈m␈α∂2␈α∞to␈↓ λ}␈ε N␈↓ ≤␈εβ;␈α⊃th␈α␈e␈α∞en␈α␈try␈α∞in␈α∞ro␈α}w
␈β
I␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓k␈εβco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈↓ αd␈ε x␈↓ β∧␈εβi␈α↓s␈α∂1␈α∂if␈↓ βm␈ε n␈↓ ∧⊃␈εβp␈α␈asses␈α∂th␈α␈e␈↓ ¬6␈ε x␈↓ ¬W␈εβtest␈α∂of␈α∂Algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∂P␈↓ π␈␈εβ,␈α⊂oth␈α␈erwise␈α∂i␈α↓t␈α∂is␈α∂zero␈α␈.␈α_W␈α↓h␈α␈en
␈β
m␈↓ ∂␈εε1␈↓
$␈εα(␈↓
4␈εε1␈↓
v␈εα)
␈β
p␈↓ ↓H␈ε N␈↓ ↓p␈εβ=␈↓ α~␈ε q␈↓ α)␈ε n␈↓ αB␈εβ+␈↓ αh␈ε r␈↓ β␈εβan␈α␈d␈α 0␈ε↔␈α ∀␈↓ ∧∧␈ε r␈↓ ∧≠␈εβ<␈↓ ∧F␈ε n␈↓ ∧Z␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α kn␈α␈o␈α␈w␈α tha␈α␈t␈α
r␈α␈o␈α␈w␈↓ εw␈ε n␈↓ π∀␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α at␈α most␈↓ ∨␈ε q␈↓ .␈ε n␈↓ G␈εβ+␈↓ m␈εβmin␈↓
D␈ε n␈↓
X␈εβ,␈↓
g␈ε r␈↓ ␈εβ=
␈β
}␈↓ ∂␈∧
} ∂α
␈↓
4␈∧
}
4α
␈β␈↓ ∂␈εε4␈↓
4␈εε4
␈β∀␈↓ ↓K␈εε1␈↓ αr␈εε1␈↓ βJ␈εε1␈↓ β|␈εε3␈↓ ∧←␈εε1␈↓ ¬H␈εε3␈↓ ε+␈εε1
␈β∃␈↓ αb␈εα(␈↓ ∧≠␈εα)
␈β_␈↓ ↓\␈ε N␈↓ αα␈εβ+␈↓ α+␈εβmin␈↓ βα␈ε n␈↓ β≡␈ε↔␈␈↓ β[␈ε r␈↓ βi␈εβ,␈↓ ∧␈ε r␈↓ ∧0␈ε↔∀␈↓ ∧o␈ε N␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬←␈ε n␈↓ ¬|␈εβ<␈↓ ε;␈ε N␈↓ εe␈εβen␈α␈tr␈α␈i␈α↓es␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈α0␈α␈,␈αso␈αa␈α␈t␈αlea␈α␈st␈αhalf␈αof␈αthe
␈β&␈↓ ↓K␈∧&↓Kα
␈↓ αr␈∧&αrα
␈↓ βJ␈∧&βJα
␈↓ β|␈∧&β|α
␈↓ ∧←␈∧&∧←α
␈↓ ¬B␈∧&¬Bα~␈↓ ε+␈∧&ε+α
␈β(␈↓ ↓K␈εε4␈↓ αr␈εε4␈↓ βJ␈εε4␈↓ β|␈εε4␈↓ ∧←␈εε4␈↓ ¬B␈εε1␈α␈6␈↓ ε+␈εε2
␈β?␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈tries␈αin␈αth␈α␈e␈αmatrix␈α
are␈α1.␈αTh␈α␈u␈α␈s,␈αsome␈αco␈α␈lumn␈↓ π↓␈ε x␈↓ π(␈εβof␈↓ πO␈ε M␈↓ λ∧␈εβh␈α␈as␈αat␈αlea␈α␈st␈αhalf␈αof␈αits␈αen␈α␈t␈α␈ri␈α↓e␈α␈s
␈βJ␈↓ π⊃␈εε1␈↓ πl␈εε1
␈βg␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈l␈αt␈α␈o␈α1.␈αRemo␈α}ving␈α
colum␈α␈n␈↓ ∧}␈ε x␈↓ ¬%␈εβan␈α␈d␈αa␈α␈l␈α↓l␈αro␈α}w␈α↓s␈αin␈α
which␈α
this␈αcolu␈α␈mn␈αc␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α1␈αlea␈α␈v␈α␈es␈αa
␈βr␈↓ ¬
␈εε1
␈β∂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈↓ α5␈ε M␈↓ αi␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αsimilar␈αp␈α␈rop␈α␈erties;␈αa␈αrep␈α␈etition␈α
of␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
con␈α␈structio␈α␈n␈αp␈α␈rod␈α␈uces␈α
matrix
␈β→␈↓ αQ␈εε2
␈β2␈↓ εM␈εr
␈β3␈↓ >␈εε1
␈β6␈↓ ↓H␈ε M␈↓ ↓{␈εβwith␈↓ αF␈ε N␈↓ αl␈ε↔␈␈↓ β∀␈ε r␈↓ β-␈εβcolu␈α␈mns␈α
an␈α␈d␈α
few␈α␈er␈αth␈α␈an␈↓ ε∪␈ε N␈↓ ε,␈εβ/␈↓ ε<␈εβ2␈↓ εd␈εβro␈α}w␈α↓s␈α␈,␈αand␈α
with␈α
at␈α
least␈↓ N␈εβ(␈↓ Y␈ε N␈↓ ␈␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈α
en␈α␈t␈α␈ri␈α↓e␈α␈s
␈βA␈↓ ↓d␈εr
␈βD␈↓ >␈∧D >α
␈βF␈↓ >␈εε2
␈β↑␈↓ ↓H␈εβp␈α␈er␈αro␈α␈w␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈α
1.␈α~[Cf.␈ε⊂␈αP␈α↓r␈α␈oc.␈αIE␈α↓EE␈αSy␈α␈mp␈α␈.␈αFou␈α␈nd␈α␈ation␈α␈s␈αof␈αCo␈α␈mp.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈α19␈εβ␈α
(197␈α␈8),␈α7␈α␈8.]
␈β
β␈↓ α␈εα(
␈β
ε␈↓ α_␈εβA␈αsi␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈αth␈α␈e␈αexisten␈α␈ce␈αof␈αa␈ε⊂␈αsing␈α␈l␈α↓e␈εβ␈αin|␈α␈nite␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ ↑␈ε x␈↓
¬␈εβ<␈↓
2␈ε x␈↓
Y␈εβ<␈↓ ε␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓
␈β
⊃␈↓ m␈εε1␈↓
A␈εε2
␈β
.␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αλth␈α␈at␈αλth␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ∧α␈ε n␈↓ ∧∨␈εβ>␈α 1␈αλis␈α p␈α␈rime␈αλif␈α a␈α␈nd␈απonly␈απi␈α↓f␈αλit␈αλpa␈α␈sses␈αλthe␈↓ λP␈ε x␈↓ λi␈εβtest␈αλof␈αλAlgorith␈α␈m␈αλP␈α fo␈α␈r
␈β
R␈↓ ¬2␈εε1
␈β
S␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ π*␈εα)
␈β
V␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓b␈εβ=␈↓ α
␈ε x␈↓ α)␈εβ,␈↓ α=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αi␈εβ,␈↓ α}␈ε x␈↓ β_␈εβ=␈↓ βC␈ε x␈↓ βi␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧↑␈ε m␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ¬C␈ε↔b␈↓ ¬P␈εβlg␈↓ ¬o␈ε n␈↓ εβ␈ε↔c␈↓ ε≤␈ε↔b␈↓ ε)␈εβlg␈↓ εH␈ε n␈↓ ε]␈ε↔c␈απ␈␈εβ␈απ1␈↓ π6␈εβ.␈αIs␈αth␈α␈ere␈αa␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈↓ f␈ε x␈↓
␈εβ<␈↓
6␈ε x␈↓
[␈εβ<␈↓ ε␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓
␈β
`␈↓ α≤␈εε1␈↓ βR␈εm␈↓ u␈εε1␈↓
E␈εε2
␈β
d␈↓ ¬2␈∧
d¬2α
␈β
f␈↓ ¬2␈εε2
␈β
z␈↓ εX␈εα)
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈is␈αp␈α␈rop␈α␈erty␈α
bu␈α␈t␈αw␈α↓ith␈↓ ¬π␈ε m␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬X␈ε O␈↓ ¬q␈εβ(␈↓ ¬|␈εβlog␈↓ ε,␈ε n␈↓ ε@␈εβ)?
␈β∞3␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβNote␈α
th␈α␈at␈↓ β%␈ε x␈↓ β<␈εβm␈α␈od␈↓ ∧␈ε y␈↓ ∧≤␈εβ=␈↓ ∧F␈ε x␈↓ ∧←␈ε↔␈␈↓ ¬π␈ε y␈↓ ¬∨␈ε↔b␈↓ ¬,␈ε x␈↓ ¬=␈εβ/␈↓ ¬N␈ε y␈↓ ¬`␈ε↔c␈εβ␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈uted␈α
ea␈α␈sil␈α↓y␈α
on␈α
su␈α␈ch␈α
a␈αm␈α␈ach␈α␈ine,␈αa␈α␈nd
␈β∞[␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αget␈αsimp␈α␈l␈α↓e␈αc␈α␈onst␈α␈an␈α␈ts␈αlik␈α␈e␈α0␈α =␈↓ ¬l␈ε x␈↓ ε¬␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε x␈↓ ε?␈εβ,␈α1␈α =␈ε↔␈α
b␈↓ π&␈ε x␈↓ π7␈εβ/␈↓ πH␈ε x␈↓ πY␈ε↔c␈εβ,␈α2␈α =␈α
1␈απ+␈αλ1;␈αwe␈αca␈α␈n␈αtest␈↓
V␈ε x␈↓
q␈εβ>␈α
0
␈β∂β␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αte␈α␈sti␈α↓n␈α␈g␈αwh␈α␈ethe␈α␈r␈↓ βe␈ε x␈↓ β␈␈εβ=␈α
1␈α
or␈ε↔␈αb␈↓ ∧{␈ε x␈↓ ¬␈εβ/(␈↓ ¬(␈ε x␈↓ ¬A␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔c␈α
≤␈εβ␈α 0.
␈β∂+␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃First␈α
comp␈α␈ute␈↓ ∧≠␈ε l␈↓ ∧-␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ ∧e␈εβlg␈↓ ¬∧␈ε n␈↓ ¬_␈ε↔c␈εβ␈αin␈↓ ¬V␈ε O␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε)␈ε n␈↓ ε=␈εβ)␈αstep␈α␈s,␈αby␈α
re␈α␈pea␈α␈tedly␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
b␈α␈y␈α
2;␈αat␈α
the
␈β∂J␈↓ ¬k␈ε
l␈↓ ¬s␈επ+␈α␈1
␈β∂O␈↓ ∧8␈εl␈↓ ¬←␈εε2
␈β∂S␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈απtime␈αλc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ βc␈ε k␈↓ β⎇␈εβ=␈↓ ∧'␈εβ2␈↓ ∧G␈εβan␈α␈d␈↓ ¬∧␈ε A␈↓ ¬#␈ε↔ ␈↓ ¬N␈εβ2␈↓ ε≤␈εβin␈↓ ε?␈ε O␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ π∪␈ε n␈↓ π'␈εβ)␈απstep␈α␈s␈αλb␈α␈y␈απrepe␈α␈ated␈α␈l␈α↓y␈απs␈α␈etting␈↓
>␈ε k␈↓
X␈ε↔ ␈εβ␈α 2␈↓ ∪␈ε k␈↓ #␈εβ,
␈β∂v␈↓ α.␈εε2␈↓ !␈εm␈↓ ␈εm
␈β∂z␈↓ ↓H␈ε A␈↓ ↓j␈ε↔ ␈↓ α↔␈ε A␈↓ α:␈εβ.␈α⊃Fo␈α␈r␈α
the␈αmain␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈,␈α∞su␈α␈pp␈α␈ose␈αwe␈αkn␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ λF␈ε t␈↓ λ↑␈εβ=␈↓ ␈ε A␈↓ 8␈εβ,␈↓ O␈ε u␈↓ o␈εβ=␈α(␈↓
(␈ε A␈↓
F␈εβ+␈α 1␈↓ ↓␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β⊂"␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε v␈↓ α"␈εβ=␈↓ αM␈ε m␈↓ αj␈εβ!;␈αthe␈α␈n␈α
w␈α␈e␈αc␈α␈an␈α
inc␈α␈rease␈α
th␈α␈e␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ εs␈ε m␈↓ π~␈εβby␈α
1␈α
b␈α␈y␈α
setting␈↓ ↓␈ε m␈↓ '␈ε↔ ␈↓ R␈ε m␈↓ u␈εβ+␈απ1,␈↓
A␈ε t␈↓
W␈ε↔ ␈↓ ↓␈ε A␈↓ ↔␈ε t␈↓ #␈εβ,
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓k␈ε↔ ␈εβ␈α⊃(␈↓ α(␈ε A␈↓ αH␈εβ+␈α
1)␈↓ β∂␈ε u␈↓ β#␈εβ,␈↓ β<␈ε v␈↓ β]␈ε↔ ␈↓ ∧∞␈ε v␈↓ ∧ ␈ε m␈↓ ∧=␈εβ;␈α⊃an␈α␈d␈α∂w␈α␈e␈α∂ca␈α␈n␈ε⊂␈α∂d␈α␈ou␈α␈ble␈εβ␈α∂th␈α␈e␈α∂va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∂of␈↓ λF␈ε m␈↓ λr␈εβby␈α∞settin␈α␈g␈↓
↔␈ε m␈↓
D␈ε↔ ␈εβ␈α⊂2␈↓ ε␈ε m␈↓ #␈εβ,
␈β⊂m␈↓ α&␈εε2␈↓ ∧c␈εε2␈↓ ¬S␈εε2
␈β⊂n␈↓ β∂␈εα(␈↓ ∧F␈εα)␈↓
∨␈εα(
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓f␈ε↔ ␈↓ α∩␈ε u␈↓ α3␈εβ,␈↓ αH␈ε v␈↓ αd␈ε↔ ␈↓ β≠␈ε↔b␈↓ β(␈ε u␈↓ β<␈εβ/␈↓ βM␈ε t␈↓ βY␈ε↔c␈↓ βk␈εβmod␈↓ ∧0␈ε A␈↓ ∧R␈ε v␈↓ ∧p␈εβ,␈↓ ¬¬␈ε t␈↓ ¬≤␈ε↔ ␈↓ ¬G␈ε t␈↓ ¬`␈εβ,␈αpro␈α}vide␈α␈d␈αth␈α␈at␈↓ πI␈ε A␈↓ πk␈εβis␈αsu␈α␈}cien␈α}tly␈αlarg␈α␈e.␈↓
+␈εβCo␈α␈nside␈α␈r
␈β⊂w␈↓ λε␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓↓
␈β⊃⊃␈↓ λ∀␈εε2␈↓ λ!␈εm
␈β⊃⊗␈↓ λO␈εα)
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ αt␈ε u␈↓ β⊂␈εβin␈αλra␈α␈dix-␈↓ ∧␈ε A␈↓ ∧)␈εβno␈α␈tation␈α␈;␈↓ ¬6␈ε A␈↓ ¬T␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α b␈α␈e␈αλgre␈α␈ater␈αλtha␈α␈n␈↓ λF␈εβ.␈↓ λm␈εβNo␈α}w␈α if␈↓ S␈ε n␈↓ q␈εβ=␈α (␈↓
&␈ε a␈↓
C␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
o␈ε a␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β⊃#␈↓
6␈εl␈↓
␈␈εε0␈↓ ↔␈εε2
␈β⊃)␈↓ λ~␈εm
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα590␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.5.4
␈βα&␈↓ ε∀␈εj
␈βα*␈↓ ↓H␈εβlet␈↓ ↓w␈ε n␈↓ α∨␈εβ=␈α
(␈↓ αU␈ε a␈↓ αr␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β≡␈ε a␈↓ β:␈εβ)␈↓ βR␈εβ;␈α
i␈α↓f␈↓ ∧∧␈ε m␈↓ ∧+␈εβ=␈↓ ∧U␈ε n␈↓ ∧␈␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬?␈ε k␈↓ ¬X␈εβ=␈↓ εβ␈εβ2␈↓ ε*␈εβan␈α␈d␈↓ εj␈ε j␈↓ πα␈εβ>␈α
0␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
d␈α␈ecre␈α␈ase␈↓ 7␈ε j␈↓ Q␈εβb␈α␈y␈α
1␈α
b␈α␈y␈α
setting
␈βα5␈↓ α
␈εj␈↓ αe␈εl␈↓ β.␈εj␈↓ βE␈εε2␈↓ ∧h␈εj
␈βαO␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ¬D␈εα)
␈βαR␈↓ ↓H␈ε k␈↓ ↓a␈ε↔ ␈α
b␈↓ α→␈ε k␈↓ α)␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ,␈↓ αi␈ε m␈↓ β∂␈ε↔ ␈εβ␈α
2␈↓ βK␈ε m␈↓ βj␈εβ+␈↓ ∧~␈ε↔b␈↓ ∧'␈ε n␈↓ ∧;␈εβ/␈↓ ∧L␈ε k␈↓ ∧\␈ε↔c␈↓ ∧o␈εβm␈α␈od␈↓ ¬3␈εβ2␈↓ ¬P␈εβ.␈α
Hen␈α␈ce␈απw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈απcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ λ,␈ε n␈↓ λK␈εβ!␈απf␈α↓o␈α␈r␈↓ ␈ε j␈↓ $␈εβ=␈↓ N␈ε l␈↓ X␈εβ,␈↓ i␈ε l␈↓ u␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈α␈,␈↓
;␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓
g␈εβ,␈α 0␈απin
␈βαX␈↓
r␈ε↓␈␈↓ ⊃␈ε↓↓
␈βα\␈↓ λ?␈εj
␈βαr␈↓ ␈εB
␈βαu␈↓
Q␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈ε O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈ε n␈↓ α/␈εβ)␈α
step␈α␈s.␈α↔[␈α↓An␈α␈oth␈α␈er␈α
solutio␈α␈n,␈αd␈α␈ue␈α
to␈α Ju␈α␈l␈α↓ia␈α
Ro␈α␈binso␈α␈n,␈α
i␈α↓s␈α
to␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ ]␈ε n␈↓ q␈εβ!␈α =␈ε↔␈α
b␈↓
;␈ε B␈↓
a␈εβ/␈↓ ∨␈ε↔c
␈ββ
␈↓ ↓␈εn
␈ββ≥␈↓ β$␈εn␈↓ β4␈εε+1
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε B␈↓ α>␈εβ>␈α
(2␈↓ β∧␈ε n␈↓ β_␈εβ)␈↓ βZ␈εβ;␈αcf.␈ε⊂␈αAMM␈ε∪␈α8␈α␈0␈εβ␈α(19␈α␈73),␈α25␈α␈0-25␈α␈1,␈α266␈α␈.␈α↓]
␈ββ@␈↓ ¬#␈ε
l␈↓ ¬*␈επ+2
␈ββD␈↓ ¬⊗␈εε2
␈ββI␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂F␈α↓irst␈α⊂comp␈α␈ute␈↓ ∧)␈ε A␈↓ ∧R␈εβ=␈↓ ¬ε␈εβ2␈↓ ¬]␈εβas␈α⊂in␈α⊃(a␈α␈)␈α↓,␈α∩th␈α␈en␈α⊂|n␈α␈d␈α⊃t␈α␈he␈α⊂l␈α↓ea␈α␈st␈↓ &␈ε k␈↓ I␈ε↔∃␈εβ␈α∪0␈α⊂su␈α␈ch␈α⊂tha␈α␈t
␈ββl␈↓ ↓X␈εk␈↓ ↓e␈εε+␈α↓1␈↓ ∧x␈εk
␈ββp␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α␈εβ!␈↓ α~␈εβmo␈α␈d␈↓ α←␈ε n␈↓ βα␈εβ=␈α⊂0␈α␈.␈α↔If␈↓ ∧λ␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧E␈ε n␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧g␈εβ2␈↓ ¬¬␈εβ!␈α↓)␈ε↔␈α∂≤␈εβ␈α⊂1␈α␈,␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ ε7␈ε f␈↓ εG␈εβ(␈↓ εR␈ε n␈↓ εf␈εβ)␈α∂b␈α␈e␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈e;␈α⊃n␈α␈ote␈α∂t␈α␈hat␈α∞this␈α∂g␈α␈cd␈α∞can
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αco␈α␈mpu␈α␈ted␈αi␈α↓n␈↓ β7␈ε O␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈εβlog␈↓ ∧
␈ε n␈↓ ∧≡␈εβ)␈αsteps␈αby␈αE␈α↓u␈α␈clid's␈αalgo␈α␈rithm.␈α
Otherwise␈αw␈α␈e␈αw␈α↓ill␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αleas␈α␈t
␈β∧≡␈↓ βw␈ε↓␈␈↓ ∧I␈ε↓↓
␈β∧8␈↓ ∧≤␈εm
␈β∧<␈↓ '␈εα(
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈↓ α7␈ε m␈↓ αa␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧]␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬!␈ε n␈↓ ¬A␈εβ=␈α0,␈α
an␈α␈d␈αlet␈↓ ππ␈ε f␈↓ π↔␈εβ(␈↓ π"␈ε n␈↓ π6␈εβ)␈α=␈↓ πy␈εβgcd␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε m␈↓ λT␈εβ,␈↓ λc␈ε n␈↓ λw␈εβ).␈↓ 3␈εβN␈α␈ote␈αtha␈α␈t␈α
in␈αth␈α␈is
␈β∧P␈↓ ∧¬␈ε~b␈↓ ∧∂␈εm␈↓ ∧&␈εε/2␈ε~␈α␈c
␈β∧h␈↓ α∨␈εk␈↓ βA␈εk␈↓ βN␈εε+␈α↓1␈↓ εα␈εk
␈β∧l␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈↓ α∞␈εβ2␈↓ α5␈εβ<␈↓ α`␈ε m␈↓ βε␈ε↔∀␈↓ β1␈εβ2␈↓ βt␈εβ,␈αh␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈αd␈↓ ∧r␈ε m␈↓ ¬∂␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈α
∀␈↓ ¬q␈εβ2␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈ε↔␈αd␈↓ εh␈ε m␈↓ π¬␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈εβ!␈αis␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈rime␈αto␈↓
β␈ε n␈↓
↔␈εβ;␈αth␈α␈erefore
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α~␈ε↓↓
␈β¬␈↓ ↓l␈εm
␈β¬⊂␈↓ λ↓␈εα)
␈β¬∪␈↓ α-␈εβmod␈↓ αr␈ε n␈↓ β∂␈εβ=␈α
0␈α
i␈α↓{␈↓ β}␈ε m␈↓ ∧≠␈εβ!␈↓ ∧*␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧o␈ε n␈↓ ¬␈εβ=␈α 0.␈αF␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈↓ π∨␈ε n␈↓ π=␈ε↔≤␈εβ␈α 4.
␈β¬#␈↓ ↓V␈ε~b␈↓ ↓←␈εm␈↓ ↓w␈εε/␈α␈2␈ε~c
␈β¬;␈↓ α␈εβTo␈α com␈α␈pu␈α␈te␈↓ βC␈ε m␈↓ βj␈εβwith␈α a␈α bo␈α␈un␈α␈ded␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α of␈α reg␈α␈i␈α↓ste␈α␈rs,␈α
w␈α␈e␈α can␈α u␈α␈se␈α F␈α↓ib␈α␈on␈α␈acci␈α n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β¬↑␈↓ πq␈ε~0␈↓ [␈εF␈↓
⊗␈ε~0␈↓
g␈εF
␈β¬b␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αAlgorith␈α␈m␈α6.2.1F␈↓ β{␈εβ).␈αS␈α␈up␈α␈pose␈αw␈α␈e␈αk␈α␈no␈α}w␈αth␈α␈at␈↓ εn␈ε s␈↓ π¬␈εβ=␈↓ π0␈ε F␈↓ πO␈εβ,␈↓ πc␈ε s␈↓ λ↓␈εβ=␈↓ λ,␈ε F␈↓ λp␈εβ,␈↓ ∧␈ε t␈↓ ~␈εβ=␈↓ E␈ε A␈↓ v␈εβ,␈↓
␈ε t␈↓
&␈εβ=␈↓
Q␈ε A␈↓ #␈εβ,
␈β¬e␈↓ j␈ε
j␈↓
v␈ε
j␈↓ ↓␈επ+1
␈β¬h␈↓ λw␈ε↓␈␈↓ )␈ε↓↓
␈β¬m␈↓ πC␈εj␈↓ λ>␈εj␈↓ λJ␈εε+1
␈βεα␈↓ ¬␈εε2␈↓ ⊃␈εm
␈βε¬␈↓ βε␈εε2␈↓ β∪␈εF␈↓ ¬ ␈εε2␈↓ ¬∃␈εF
␈βεε␈↓ βX␈ε~0␈↓ εK␈εm␈↓ λ<␈εε2␈↓ λI␈εm
␈βε
␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓h␈εβ=␈α
(␈↓ α!␈ε A␈↓ α@␈εβ+␈α 1␈↓ α{␈εβ)␈↓ β-␈εβ,␈↓ βD␈ε u␈↓ βk␈εβ=␈α
(␈↓ ∧$␈ε A␈↓ ∧C␈εβ+␈α 1␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬i␈ε v␈↓ επ␈εβ=␈↓ ε5␈ε A␈↓ εb␈εβ,␈↓ εy␈ε w␈↓ π≡␈εβ=␈α
(␈↓ πW␈ε A␈↓ πv␈εβ+␈α 1␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ`␈εβ,␈↓ <␈εβmod␈↓
↓␈ε n␈↓
!␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈α∞a␈α␈nd
␈βε
␈↓ β"␈ε
j␈↓ ¬%␈ε
j␈↓ ¬0␈επ+1
␈βε→␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α/␈ε↓↓
␈βε~␈↓ ␈εm
␈βε2␈↓ ↓V␈εε2␈α␈(␈↓ ↓k␈εm␈↓ αα␈εε+␈↓ α≠␈εs␈↓ α&␈εε)
␈βε:␈↓ αL␈εβ=␈α∂0.␈α⊗It␈α∞is␈α∂ea␈α␈sy␈α∞to␈α∂re␈α␈ach␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α∞state␈α∞of␈α∞a{airs␈α∂with␈↓ λG␈ε m␈↓ λs␈εβ=␈↓ $␈ε F␈↓ h␈εβ,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂su␈α␈i␈α↓ta␈α␈bly
␈βεE␈↓ 6␈εj␈↓ B␈εε+1
␈βεK␈↓ ↓d␈εm␈↓ ↓|␈εε+␈↓ α∃␈εs
␈βεc␈↓ λP␈εε2(␈↓ λe␈εm␈↓ λ|␈εε+␈↓ ∃␈εs␈↓ !␈εε)
␈βεg␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈↓ α~␈ε j␈↓ α)␈εβ,␈α
i␈α↓n␈↓ αh␈ε O␈↓ β␈εβ(␈↓ β␈εβlog␈↓ β;␈ε n␈↓ βO␈εβ)␈α
ste␈α␈ps;␈α
furth␈α␈ermo␈α␈re␈↓ ε␈ε A␈↓ ε"␈εβwi␈α↓ll␈α
b␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈rger␈αtha␈α␈n␈↓ λ?␈εβ2␈↓ )␈εβ.␈α⊂If␈↓ d␈ε s␈↓ }␈εβ=␈α1␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α
se␈α␈t
␈βπ∂␈↓ ↓H␈ε f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε n␈↓ ↓w␈εβ)␈α =␈↓ α5␈εβgcd␈↓ αg␈εβ(␈α↓2␈↓ ββ␈ε m␈↓ β"␈εβ+␈αβ1␈α␈,␈↓ βe␈ε n␈↓ βy␈εβ)␈απor␈↓ ∧0␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧b␈εβ(2␈↓ ∧⎇␈ε m␈↓ ¬≥␈εβ+␈αα2␈α␈,␈↓ ¬←␈ε n␈↓ ¬s␈εβ),␈αλw␈α↓h␈α␈iche␈α␈v␈α␈er␈απis␈ε↔␈απ≤␈εβ␈α 1,␈αλan␈α␈d␈απter␈α␈minate␈αεthe␈απa␈α␈lgorith␈α␈m.
␈βπ2␈↓ πw␈ε~0␈↓
s␈ε~0
␈βπ6␈↓ ↓H␈εβOt␈α␈herwise␈αw␈α␈e␈αredu␈α␈ce␈↓ ∧␈ε j␈↓ ∧~␈εβby␈α1␈αa␈α␈s␈αfollo␈α␈ws:␈αS␈α␈et␈↓ εA␈ε r␈↓ εZ␈ε↔ ␈↓ π¬␈ε s␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π'␈ε s␈↓ π>␈ε↔ ␈↓ πi␈ε s␈↓ λ¬␈ε↔␈␈↓ λ.␈ε s␈↓ λ<␈εβ,␈↓ λP␈ε s␈↓ λh␈ε↔ ␈↓ ∪␈ε r␈↓ !␈εβ,␈↓ 6␈ε r␈↓ N␈ε↔ ␈↓ y␈ε t␈↓
¬␈εβ,␈↓
~␈ε t␈↓
0␈ε↔ ␈α
b␈↓
g␈ε t␈↓
z␈εβ/␈↓
␈ε t␈↓ ⊗␈ε↔c␈εβ,
␈βπZ␈↓ ↓T␈ε~0␈↓ ∧α␈ε~0␈↓ ∧a␈ε~0
␈βπ[␈↓ ε&␈εα(␈↓ λπ␈εα)
␈βπ↑␈↓ ↓H␈ε t␈↓ ↓c␈ε↔ ␈↓ α∞␈ε r␈↓ α≤␈εβ,␈↓ α/␈ε r␈↓ αG␈ε↔ ␈↓ αr␈ε u␈↓ βε␈εβ,␈↓ β→␈ε u␈↓ β6␈ε↔ ␈α
b␈↓ βn␈ε u␈↓ ∧λ␈εβ/␈↓ ∧→␈ε u␈↓ ∧-␈ε↔c␈εβ,␈↓ ∧M␈ε u␈↓ ∧q␈ε↔ ␈↓ ¬≠␈ε r␈↓ ¬*␈εβ;␈α
the␈α␈n␈α
if␈↓ ε2␈ε↔b␈↓ ε?␈ε w␈↓ εW␈ε u␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε v␈↓ π∞␈ε t␈↓ π→␈ε↔c␈↓ π,␈εβmo␈α␈d␈↓ πp␈ε A␈↓ λ_␈εβmod␈↓ λ]␈ε n␈↓ λz␈ε↔≤␈εβ␈α 0,␈α
set␈↓ {␈ε m␈↓
!␈ε↔ ␈↓
L␈ε m␈↓
o␈εβ+␈↓ ∃␈ε s␈↓ #␈εβ,
␈βλε␈↓ ↓H␈ε w␈↓ ↓j␈ε↔ ␈↓ α∀␈ε w␈↓ α-␈ε u␈↓ αA␈εβ,␈↓ αU␈ε v␈↓ αp␈ε↔ ␈↓ β≠␈ε v␈↓ β,␈ε t␈↓ β8␈εβ.
␈βλ-␈↓ α␈εβ[Can␈αλth␈α␈is␈αλprob␈α␈lem␈αλbe␈αλso␈α␈lv␈α␈ed␈αλwith␈αλfe␈α␈we␈α␈r␈αλthan␈↓ π␈ε O␈↓ π#␈εβ(␈↓ π/␈εβlo␈α␈g␈↓ π←␈ε n␈↓ πs␈εβ)␈αλop␈α␈erat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns?␈α
Ca␈α␈n␈αλthe␈αλsm␈α␈allest,
␈βλU␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αthe␈αlarg␈α␈est,␈αprime␈αfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ ¬∧␈ε n␈↓ ¬#␈εβb␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈ted␈αin␈↓ π⊂␈ε O␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈εβlog␈↓ πc␈ε n␈↓ πw␈εβ)␈αop␈α␈eratio␈α␈ns?]
␈β G␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6
␈β
␈↓ α.␈εε2␈↓ ∧∩␈εε3␈↓ ∧q␈εε2
␈β
⊃␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ9␈↓ α≥␈ε x␈↓ αB␈εβ+␈αλ7␈↓ α{␈ε x␈↓ β∀␈εβ+␈αλ9;␈α→5␈↓ ∧↓␈ε x␈↓ ∧&␈εβ+␈αλ7␈↓ ∧←␈ε x␈↓ ¬¬␈εβ+␈απ2␈↓ ¬>␈ε x␈↓ ¬W␈εβ+␈αλ6␈α␈.
␈β
B␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Tru␈α␈e.␈α∨(b)␈α∞Fa␈α␈l␈α↓se␈α
i␈α↓f␈α∞th␈α␈e␈α∞alge␈α␈bra␈α␈i␈α↓c␈α∞s␈α␈ystem␈↓ π"␈ε S␈↓ πE␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∞\ze␈α␈ro␈α∞d␈α␈i␈α↓v␈α␈isors,"␈α∂n␈α␈on␈α␈zero
␈β
j␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α who␈α␈se␈α
p␈α␈rod␈α␈uct␈α is␈α
zero␈α␈,␈α
as␈α i␈α↓n␈α ex␈α}ercise␈α 1;␈α
oth␈α␈erwise␈α
tru␈α␈e.␈α∃(c)␈α
Tru␈α␈e␈α
wh␈α␈en␈↓
>␈ε m␈↓
e␈ε↔≤␈↓ ∂␈ε n␈↓ #␈εβ,
␈β∩␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈αfa␈α␈l␈α↓se␈αin␈α
gen␈α␈eral␈αwhe␈α␈n␈↓ ∧A␈ε m␈↓ ∧h␈εβ=␈↓ ¬∩␈ε n␈↓ ¬&␈εβ,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αmigh␈α␈t␈αc␈α␈anc␈α␈el.
␈βC␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβAssu␈α␈me␈αt␈α␈hat␈↓ βO␈ε r␈↓ βh␈ε↔∀␈↓ ∧∪␈ε s␈↓ ∧!␈εβ.␈αFor␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬;␈ε k␈↓ ¬U␈ε↔∀␈↓ ε␈ε r␈↓ ε≠␈εβth␈α␈e␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αis␈↓ λ∪␈ε m␈↓ λ<␈ε m␈↓ λe␈εβ(␈↓ λp␈ε k␈↓ λ␈εβ+␈αλ1␈α␈);␈αfor␈↓
⊗␈ε r␈↓
.␈ε↔∀␈↓
Y␈ε k␈↓
s␈ε↔∀␈↓ ∨␈ε s
␈βM␈↓ λ/␈εε1␈↓ λX␈εε2
␈βj␈↓ ↓H␈εβit␈α
is␈↓ α ␈ε m␈↓ α2␈ε m␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε r␈↓ α{␈εβ+␈αε1);␈αfor␈↓ ∧¬␈ε s␈↓ ∧≤␈ε↔∀␈↓ ∧F␈ε k␈↓ ∧`␈ε↔∀␈↓ ¬␈ε r␈↓ ¬∨␈εβ+␈↓ ¬G␈ε s␈↓ ¬←␈εβit␈αis␈↓ ε ␈ε m␈↓ εI␈ε m␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε r␈↓ π∩␈εβ+␈↓ π:␈ε s␈↓ πN␈εβ+␈απ1␈ε↔␈αε␈␈↓ λ4␈ε k␈↓ λE␈εβ).␈αTh␈α␈e␈α
l␈α↓e␈α␈ast␈α
up␈α␈per␈α
b␈α␈ou␈α␈nd
␈βu␈↓ α%␈εε1␈↓ αN␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εf␈εε2
␈β∩␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alid␈α
for␈αa␈α␈ll␈↓ α{␈ε k␈↓ β⊗␈εβis␈↓ β7␈ε m␈↓ β`␈ε m␈↓ ∧ ␈εβ(␈↓ ∧∀␈ε r␈↓ ∧)␈εβ+␈απ1).␈α_(Th␈α␈e␈αs␈α␈olv␈α␈er␈α
of␈α
this␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α
wil␈α↓l␈α
kn␈α␈o␈α␈w␈αh␈α␈o␈α␈w␈α
to␈αfa␈α␈ctor␈α
the
␈β≤␈↓ βS␈εε1␈↓ β|␈εε2
␈β5␈↓ β¬␈εε7␈↓ βd␈εε6␈↓ ∧C␈εε5␈↓ ¬!␈εε4␈↓ ε␈εε3␈↓ ε←␈εε2
␈β9␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε x␈↓ β→␈εβ+␈αλ2␈↓ βR␈ε x␈↓ βx␈εβ+␈απ3␈↓ ∧1␈ε x␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈↓ ¬⊂␈ε x␈↓ ¬5␈εβ+␈αλ3␈↓ ¬o␈ε x␈↓ ε∀␈εβ+␈αλ3␈↓ εM␈ε x␈↓ εs␈εβ+␈απ2␈↓ π,␈ε x␈↓ πE␈εβ+␈αλ1␈α␈.)
␈βf␈↓ εd␈εt
␈βj␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβIf␈α on␈α␈e␈α of␈α th␈α␈e␈α po␈α␈lyn␈α␈omials␈α h␈α␈as␈α few␈α␈er␈α th␈α␈an␈↓ εS␈εβ2␈↓ εv␈εβnon␈α␈zero␈αλcoe}␈α␈cien␈α␈ts,␈α the␈αλprod␈α␈uc␈α␈t␈α can␈αλbe
␈β
∩␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rmed␈αλby␈αλp␈α␈utting␈αλex␈α␈actly␈↓ ∧J␈ε t␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈αλzeros␈αλbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α e␈α␈ach␈αλof␈α th␈α␈e␈α c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts,␈α then␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈α␈ing
␈β
7␈↓ λ$␈ε∃A␈α␈ND
␈β
:␈↓ ↓H␈εβin␈α∞th␈α␈e␈α∞bina␈α␈ry␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞system␈α␈,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞|␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈α∞u␈α␈sing␈α∞a␈α∞log␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈↓ λp␈εβop␈α␈eration␈α
(prese␈α␈n␈α␈t␈α∞on
␈β
a␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αcom␈α␈pu␈α␈ters,␈α∞c␈α␈f.␈α∞S␈α␈ection␈α4.5.4␈α␈)␈α
to␈α
zero␈αou␈α␈t␈α
the␈αextr␈α␈a␈α
bits.␈α⊃Fo␈α␈r␈α
exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α∞if
␈β∞ ␈↓ ↓H␈ε t␈↓ ↓]␈εβ=␈α3␈α␈,␈αthe␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αbec␈α␈ome␈α(10␈α␈010␈α␈000␈α␈01␈↓ λp␈εβ)␈↓ ∂␈ε↔α␈εβ␈αλ(10␈α␈000␈α␈010␈α␈01␈↓
j␈εβ)␈↓ ␈εβ=
␈β∞∪␈↓ λ{␈εε2␈↓
u␈εε2
␈β∞-␈↓ ¬∃␈ε∃AND
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈001␈α␈001␈α␈011␈α␈001␈α␈00␈α␈100␈α␈1␈↓ ∧∂␈εβ)␈↓ ∧'␈εβ;␈α∂if␈α∞we␈↓ ¬a␈εβthis␈α∞re␈α␈sult␈α∞with␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α␈t␈α
(100␈α␈100␈α␈1␈↓
≤␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
I␈εβ10␈α␈01␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β∞;␈↓ ∧~␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλdesired␈αλa␈α␈nsw␈α␈er␈αλi␈α↓s␈αλob␈α␈taine␈α␈d.␈α
A␈α simil␈α↓a␈α␈r␈α te␈α␈chn␈α␈ique␈αλca␈α␈n␈α b␈α␈e␈αλused␈αλto␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈ly␈α p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β∂␈↓ ↓H␈εβwith␈απno␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts,␈α wh␈α␈en␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απkn␈α␈o␈α␈wn␈απtha␈α␈t␈αλthe␈απcoe␈α␈}cien␈α␈ts␈απwi␈α↓ll␈αλn␈α␈ot␈αλb␈α␈e␈αλto␈α␈o␈αλlarg␈α␈e.
␈β∂,␈↓ λM␈εn
␈β∂1␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβPolyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ ¬⊃␈ε n␈↓ ¬0␈εβc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}ted␈αa␈α␈s␈↓ πr␈ε U␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε x␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε x␈↓ λe␈εβ+␈↓ ∞␈ε U␈↓ 0␈εβ(␈↓ ;␈ε x␈↓ L␈εβ)␈αwhere␈α
deg␈α␈(␈↓
␈␈ε U␈↓ !␈εβ)
␈β∂;␈↓ λλ␈εε1␈↓ #␈εε0␈↓ ∃␈εε1
␈β∂T␈↓ ¬λ␈εn␈↓ π¬␈εn␈↓
¬␈εε2␈↓
⊃␈εn␈↓
g␈εn
␈β∂U␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ε∃␈εα)(␈↓ λ⊂␈εα)
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
d␈α␈eg(␈↓ αH␈ε U␈↓ αj␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ β1␈ε n␈↓ βE␈εβ;␈α⊂a␈α␈nd␈↓ ∧-␈ε U␈↓ ∧O␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε x␈↓ ∧k␈εβ)␈↓ ∧v␈ε x␈↓ ¬!␈εβ+␈↓ ¬L␈ε U␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈ε x␈↓ ε
␈εβ)␈↓ ε-␈ε V␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε x␈↓ εi␈εβ)␈↓ εt␈ε x␈↓ π∨␈εβ+␈↓ πI␈ε V␈↓ πh␈εβ(␈↓ πs␈ε x␈↓ λ¬␈εβ)␈↓ λ)␈εβ=␈↓ λX␈ε U␈↓ λz␈εβ(␈↓ ¬␈ε x␈↓ ↔␈εβ)␈↓ "␈ε V␈↓ A␈εβ(␈↓ L␈ε x␈↓ ]␈εβ)(␈↓ s␈ε x␈↓
+␈εβ+␈↓
U␈ε x␈↓
w␈εβ)␈α +
␈β∂c␈↓ α]␈εε0␈↓ ∧B␈εε1␈↓ ¬a␈εε0␈↓ ε@␈εε1␈↓ π\␈εε0␈↓ λm␈εε1␈↓ 4␈εε1
␈β∂|␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ πα␈εn
␈β∂⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β~␈εα)(␈↓ ∧t␈εα)
␈β⊂␈↓ ↓T␈ε U␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε x␈↓ α∩␈εβ)␈α +␈↓ αQ␈ε U␈↓ αs␈εβ(␈↓ α}␈ε x␈↓ β∂␈εβ)␈↓ β2␈ε V␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β]␈ε x␈↓ βn␈εβ)␈α +␈↓ ∧-␈ε V␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε x␈↓ ∧h␈εβ)␈↓ ¬␈ε x␈↓ ¬*␈εβ+␈↓ ¬U␈ε U␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εα␈ε x␈↓ ε∪␈εβ)␈↓ ε≡␈ε V␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε x␈↓ εZ␈εβ)(␈↓ εp␈ε x␈↓ π≠␈εβ+␈α
1␈α␈).␈α∨(T␈α↓h␈α␈is␈α∞equ␈α␈ation␈α
assu␈α␈mes␈α
tha␈α␈t
␈β⊂
␈↓ ↓i␈εε1␈↓ αf␈εε0␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ¬j␈εε0␈↓ ε1␈εε0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αis␈αb␈α␈eing␈αd␈α␈on␈α␈e␈αmod␈α␈ulo␈α2␈α␈.␈α↓)␈α→Th␈α}us␈αEqs.␈α4.3.3↑␈α␈3,␈α4,␈α5␈αho␈α␈ld.
␈β⊂O␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αS␈α␈.␈αA.␈αCo␈α␈ok␈αh␈α␈as␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αt␈α␈hat␈αAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.3C␈αcan␈α
be␈α
exten␈α␈de␈α␈d␈αin␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y,␈απand␈α¬ex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.6.4↑5␈α␈7␈αεdesc␈α␈ri␈α↓b␈α␈es␈αεa␈αεmeth␈α␈od␈αεr␈α␈equ␈α␈i␈α↓rin␈α␈g␈αεev␈α␈e␈α␈n␈αεfew␈α␈er␈αεope␈α␈ration␈α␈s␈απfo␈α␈r␈απla␈α␈rge␈↓ ∂␈ε n␈↓ #␈εβ.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβBu␈α␈t␈αλthes␈α␈e␈αλidea␈α␈s␈αλare␈αλn␈α␈ot␈αλu␈α␈seful␈αλfor␈αλ\␈α␈spa␈α␈rse"␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απ(␈α↓h␈α␈av␈α␈ing␈αλm␈α␈ostly␈αλz␈α␈ero␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts).
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα591
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.1
␈βαz␈↓ β0␈εε3␈↓ βN␈εε3␈↓ ∧D␈εε2␈↓ ∧b␈εε2␈↓ π␈εε3␈↓ ↑␈εε2
␈βα}␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε q␈↓ α≠␈εβ(␈↓ α&␈ε x␈↓ α7␈εβ)␈α
=␈α 1␈ε↔␈απ↓␈↓ β∨␈εβ2␈↓ β<␈ε x␈↓ βb␈εβ+␈απ0␈ε↔␈απ↓␈↓ ∧3␈εβ2␈↓ ∧P␈ε x␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ2␈↓ ¬X␈ε x␈↓ ¬p␈εβ+␈αλ8␈α =␈α
8␈↓ εn␈ε x␈↓ π∀␈ε↔␈␈εβ␈απ4␈↓ πM␈ε x␈↓ πf␈εβ+␈απ8;␈↓ λA␈ε r␈↓ λP␈εβ(␈↓ λ[␈ε x␈↓ λm␈εβ)␈α =␈α 28␈↓ M␈ε x␈↓ r␈εβ+␈αλ4␈↓
+␈ε x␈↓
D␈εβ+␈αλ8.
␈ββ5␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβThe␈α
mo␈α␈nic␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈α∞po␈α␈lyn␈α␈omials␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ed␈α
du␈α␈ring␈α
Euclid's␈α
algorith␈α␈m␈α∞h␈α␈as␈α
the
␈ββ]␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∂(1,␈α¬5,␈αε6,␈α¬6,␈αε1␈α␈,␈αε6,␈αε3␈α␈),␈α⊃(1␈α␈,␈αε2,␈αε5␈α␈,␈αε2,␈α¬2,␈αε4,␈α¬5),␈α⊂(1,␈αε5␈α␈,␈αε6,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε4␈α␈),␈α⊂(␈α↓1␈α␈,␈αε3,␈α¬4,␈αε6),␈α⊂0␈α␈.␈α↔Henc␈α␈e␈α∂the
␈β∧␈↓ ∧v␈εε3␈↓ ¬X␈εε2
␈β∧∧␈↓ ↓H␈εβg␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
diviso␈α␈r␈α∞is␈↓ ∧d␈ε x␈↓ ¬␈εβ+␈α 3␈↓ ¬G␈ε x␈↓ ¬n␈εβ+␈α
4␈↓ ε)␈ε x␈↓ εD␈εβ+␈α
6␈α␈.␈α∨(The␈α∞g␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α∞of␈α∞a
␈β∧,␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αan␈α␈d␈αits␈αrev␈α}erse␈αis␈αalwa␈α␈ys␈αsymm␈α␈etric,␈αin␈αthe␈αsen␈α␈se␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αa␈αun␈α␈i␈α↓t␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β∧S␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αi␈α↓ts␈αo␈α}w␈α↓n␈α
rev␈α}erse.)
␈β¬
␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αof␈αAlgorith␈α␈m␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈X␈αis␈αva␈α␈li␈α↓d␈α␈,␈αwi␈α↓th␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αo␈α}v␈α␈er␈↓ i␈ε S␈↓
␈εβsu␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈ted
␈β¬2␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αWhen␈α the␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
termina␈α␈tes,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πZ␈ε U␈↓ πu␈εβ(␈↓ λ␈ε x␈↓ λ∩␈εβ)␈α =␈↓ λQ␈ε u␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ|␈ε x␈↓
␈εβ),␈↓ ,␈ε V␈↓ D␈εβ(␈↓ O␈ε x␈↓ `␈εβ)␈α =␈↓
∨␈ε u␈↓
?␈εβ(␈↓
J␈ε x␈↓
[␈εβ).␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β¬<␈↓ λd␈εε2␈↓
2␈εε1
␈β¬Y␈↓ ↓H␈ε m␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈εβde␈α␈g␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε u␈↓ αj␈εβ),␈↓ β
␈ε n␈↓ β'␈εβ=␈↓ βR␈εβde␈α␈g␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε v␈↓ ∧ ␈εβ)␈α↓.␈αIt␈αis␈αea␈α␈sy␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αtha␈α␈t␈↓ λ←␈εβdeg␈↓ ⊃␈εβ(␈↓ ≤␈ε u␈↓ <␈εβ)␈αλ+␈↓ w␈εβdeg␈↓
)␈εβ(␈↓
5␈ε v␈↓
P␈εβ)␈α =␈↓ ∂␈ε n␈↓ #␈εβ,
␈β¬d␈↓ 0␈εε3␈↓
C␈εε1
␈βε↓␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε u␈↓ α$␈εβ)␈α+␈↓ αf␈εβd␈α␈eg␈↓ β↔␈εβ(␈↓ β#␈ε v␈↓ β>␈εβ)␈α⊃=␈↓ ∧␈ε m␈↓ ∧)␈εβ,␈α⊃a␈α␈fter␈α⊂ste␈α␈p␈α∂X3,␈α⊃th␈α␈roug␈α␈ho␈α␈ut␈α∂the␈α∂ex␈α␈e␈α␈cutio␈α␈n␈α⊂o␈α␈f␈α⊂th␈α␈e␈α⊂a␈α␈lgorith␈α␈m,
␈βε␈↓ α_␈εε3␈↓ β1␈εε2
␈βε%␈↓ ↔␈εα(␈↓
␈εα)
␈βε(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈↓ β≠␈ε m␈↓ βB␈ε↔∃␈↓ βn␈ε n␈↓ ∧α␈εβ.␈α
Henc␈α␈e␈αif␈↓ ¬≠␈ε m␈↓ ¬D␈εβan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε n␈↓ ε%␈εβare␈αgrea␈α␈ter␈αth␈α␈an␈↓ λ≥␈ε d␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λe␈εβdeg␈↓ #␈εβgcd␈↓ U␈εβ(␈↓ `␈ε u␈↓ t␈εβ,␈↓
β␈ε v␈↓
∀␈εβ)␈↓
7␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈βεP␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε U␈↓ α ␈εβ)␈α <␈↓ α←␈ε m␈↓ ββ␈ε↔␈␈↓ β+␈ε d␈↓ β=␈εβ,␈↓ βQ␈εβdeg␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε V␈↓ ∧&␈εβ)␈α <␈↓ ∧e␈ε n␈↓ ¬␈ε↔␈␈↓ ¬(␈ε d␈↓ ¬:␈εβ;␈αthe␈α
ex␈α␈act␈αd␈α␈eg␈α␈rees␈αa␈α␈re␈↓ λ␈ε m␈↓ λ/␈ε↔␈␈↓ λW␈ε d␈↓ λ⎇␈εβand␈↓ >␈ε n␈↓ X␈ε↔␈␈↓
↓␈ε d␈↓
≥␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ⊂␈ε d
␈βε[␈↓ λf␈εε1␈↓
⊂␈εε1␈↓ ␈εε1
␈βεx␈↓ ↓H␈εβis␈αthe␈αd␈α␈egree␈αof␈αthe␈αsec␈α␈on␈α␈d-last␈αno␈α␈nzer␈α␈o␈α
re␈α␈main␈α␈der.␈α∂If␈↓ πg␈ε d␈↓ λ¬␈εβ=␈↓ λ1␈εβmin␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε m␈↓ ⊃␈εβ,␈↓ ␈ε n␈↓ 4␈εβ),␈α
say␈↓
∩␈ε d␈↓
0␈εβ=␈↓
\␈ε n␈↓
p␈εβ,␈α∞w␈α␈e
␈βπ∨␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε U␈↓ α1␈εβ(␈↓ α=␈ε x␈↓ αN␈εβ)␈α =␈α
0␈αa␈α␈nd␈↓ βi␈ε V␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε x␈↓ ∧≡␈εβ)␈α =␈α 1.
␈βπD␈↓ βr␈εm␈↓ ε≠␈εn␈↓ λX␈εm␈↓
#␈εn
␈βπH␈↓ α␈εβWhen␈↓ αm␈ε u␈↓ β↓␈εβ(␈↓ β␈ε x␈↓ β≡␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε x␈↓ ∧⊃␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αan␈α␈d␈↓ ¬→␈ε v␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε x␈↓ ¬G␈εβ)␈α=␈↓ ε ␈ε x␈↓ ε3␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
th␈α␈e␈αiden␈α}tity␈α(␈↓ λF␈ε x␈↓ λw␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ B␈εβm␈α␈od␈↓
ε␈εβ(␈↓
⊃␈ε x␈↓
;␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=
␈βπk␈↓ ↓Y␈εm␈↓ ↓u␈εεmo␈α␈d␈↓ α(␈εn
␈βπo␈↓ ↓H␈ε x␈↓ αB␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞sh␈α␈o␈α␈ws␈α∞that␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞occu␈α␈rring␈α∞d␈α␈urin␈α␈g␈α∞the␈α∞ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∞a␈α␈re␈α∞mon␈α␈ic,
␈βλ∪␈↓ ε ␈εε2␈α␈1␈↓ λL␈εε13
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εβwith␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αcoe␈α␈}cien␈α␈ts.␈α∂Whe␈α␈n␈↓ ¬~␈ε u␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬:␈ε x␈↓ ¬K␈εβ)␈α=␈↓ ε∞␈ε x␈↓ εA␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈αa␈α␈nd␈↓ πJ␈ε v␈↓ π[␈εβ(␈↓ πf␈ε x␈↓ πx␈εβ)␈α=␈↓ λ;␈ε x␈↓ λn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓
@␈ε V␈↓
X␈εβ(␈↓
c␈ε x␈↓
u␈εβ)␈α=
␈βλ;␈↓ ↓Y␈εε11␈↓ α0␈εε8␈↓ αz␈εε6␈↓ βE␈εε3␈↓ ε␈εε1␈α␈9␈↓ εc␈εε1␈α␈6␈↓ π:␈εε1␈α␈4␈↓ λ⊂␈εε11␈↓ λg␈εε8␈↓ 2␈εε6␈↓ |␈εε3
␈βλ<␈↓
p␈εα(
␈βλ?␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α∨␈ε x␈↓ αB␈εβ+␈↓ αi␈ε x␈↓ β␈εβ+␈↓ β3␈ε x␈↓ βW␈εβ+␈αε1␈α an␈α␈d␈↓ ∧W␈ε U␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧}␈ε x␈↓ ¬∂␈εβ)␈α =␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ ¬z␈ε x␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εQ␈ε x␈↓ π↓␈εβ+␈↓ π(␈ε x␈↓ πX␈εβ+␈↓ π␈␈ε x␈↓ λ/␈εβ+␈↓ λV␈ε x␈↓ λz␈εβ+␈↓ ␈ε x␈↓ D␈εβ+␈↓ k␈ε x␈↓
∞␈εβ+␈↓
5␈ε x␈↓
F␈εβ)␈α↓.␈↓
|␈εβSee
␈βλc␈↓ ↑␈εα)
␈βλf␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αEq.␈α3.3.3↑2␈α␈9,␈αwhich␈α
giv␈α␈es␈αa␈α␈n␈αaltern␈α␈ativ␈α}e␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ λπ␈ε U␈↓ λ"␈εβ(␈↓ λ-␈ε x␈↓ λ?␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ ⊗␈ε V␈↓ .␈εβ(␈↓ 9␈ε x␈↓ J␈εβ).
␈β ≥␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈α
the␈α
qu␈α␈otien␈α}t␈↓ ∧&␈ε q␈↓ ∧5␈εβ(␈↓ ∧@␈ε x␈↓ ∧Q␈εβ)␈α∞d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s␈α∞o␈α␈nly␈α
on␈↓ εi␈ε v␈↓ εz␈εβ(␈↓ π¬␈ε x␈↓ π↔␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
|r␈α␈st␈↓ λu␈ε m␈↓ ≠␈ε↔␈␈↓ E␈ε n␈↓ g␈εβco␈α␈e}cien␈α}ts␈α∞o␈α␈f
␈β D␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε x␈↓ ↓x␈εβ),␈αt␈α␈he␈α
re␈α␈main␈α␈der␈↓ βj␈ε r␈↓ βy␈εβ(␈↓ ∧∧␈ε x␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α =␈↓ ∧T␈ε u␈↓ ∧h␈εβ(␈↓ ∧t␈ε x␈↓ ¬¬␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬=␈ε q␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬W␈ε x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ¬s␈ε v␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈ε x␈↓ ε!␈εβ)␈α
is␈α
u␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈α d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α a␈α␈nd␈α ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈β l␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε x␈↓ ↓u␈εβ)␈α↓.␈αHen␈α␈ce␈αeach␈αs␈α␈tep␈αof␈αthe␈αalgo␈α␈rithm␈αma␈α␈y␈αbe␈αrega␈α␈rde␈α␈d␈αas␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈ers;
␈β
∀␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αalgorith␈α␈m␈αis␈αm␈α␈uch␈α
mor␈α␈e␈αw␈α␈el␈α↓l-b␈α␈eha␈α␈v␈α␈ed␈α
tha␈α␈n␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈β
8␈↓ ε↔␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ε=␈εk␈↓
z␈ε~␈␈↓ ∪␈εn
␈β
<␈↓ α␈εβThe␈αλp␈α␈roba␈α␈bility␈α t␈α␈hat␈↓ ∧=␈ε n␈↓ ∧f␈εβ=␈↓ ¬⊃␈ε n␈↓ ¬)␈ε↔␈␈↓ ¬N␈ε k␈↓ ¬g␈εβis␈↓ εε␈ε p␈↓ εJ␈εβ(1␈ε↔␈α∧␈␈εβ␈α∧1/␈↓ π0␈ε p␈↓ πA␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈↓ λ≥␈ε t␈↓ λ2␈εβ=␈α
0␈αλwith␈αλpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓
i␈ε p␈↓ #␈εβ.
␈β
G␈↓ ∧P␈εε1
␈β
d␈↓ ↓H␈εβEa␈α␈ch␈αλsu␈α␈cceed␈α␈ing␈αλste␈α␈p␈αλh␈α␈as␈αλessen␈α}ti␈α↓a␈α␈ll␈α↓y␈απthe␈αλsa␈α␈me␈αλb␈α␈eha␈α␈vior;␈α he␈α␈nce␈αλw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈αλsee␈αλth␈α␈at␈αλa␈α␈n␈α␈y␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βπ␈↓ i␈εt␈↓
∀␈εn
␈β␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α
o␈α␈f␈α∞d␈α␈eg␈α␈rees␈↓ βr␈ε n␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≥␈ε n␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧T␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬↔␈ε n␈↓ ¬4␈εβ,␈ε↔␈α∞␈1␈εβ␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
wi␈α↓th␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α(␈↓ ␈ε p␈↓ #␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈↓ ↑␈εβ)␈↓ s␈εβ/␈↓
β␈ε p␈↓
%␈εβ.␈α⊃To␈α
|␈α␈nd
␈β⊗␈↓ ∧0␈εε1␈↓ ¬*␈εt
␈β3␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈αof␈↓ β}␈ε f␈↓ ∧∞␈εβ(␈↓ ∧→␈ε n␈↓ ∧9␈εβ,␈↓ ∧H␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧t␈εβ,␈↓ ¬β␈ε n␈↓ ¬ ␈εβ),␈α
let␈↓ ¬r␈ε S␈↓ ε→␈εβb␈α␈e␈αthe␈αsu␈α␈m␈αof␈↓ πp␈ε f␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε n␈↓ λ+␈εβ,␈↓ λ:␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λf␈εβ,␈↓ λu␈ε n␈↓ ∩␈εβ)␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s
␈β=␈↓ 5␈ε↓P
␈β>␈↓ ∧-␈εε1␈↓ ¬⊗␈εt␈↓ εβ␈εt␈↓ λ≡␈εε1␈↓ λ␈εt
␈βW␈↓
h␈εt␈↓ ∪␈εn
␈β[␈↓ ↓H␈ε n␈↓ ↓e␈εβ>␈↓ α∂␈ε n␈↓ α8␈εβ>␈↓ αc␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β∪␈εβ>␈↓ β>␈ε n␈↓ βd␈ε↔∃␈εβ␈α 0␈α ha␈α␈vin␈α␈g␈α a␈α giv␈α}en␈α v␈α␈alue␈α o␈α␈f␈↓ ε␈␈ε t␈↓ π␈εβ;␈α
th␈α␈en␈α t␈α␈he␈α av␈α}erag␈α␈e␈α is␈↓ k␈ε S␈↓
¬␈εβ(␈↓
⊂␈ε p␈↓
&␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈↓
]␈εβ)␈↓
q␈εβ/␈↓ α␈ε p␈↓ #␈εβ.
␈βe␈↓ α#␈εε1␈↓ βQ␈εt␈↓ {␈εt
␈βg␈↓ ¬Y␈ε↓␈␈↓ ¬x␈ε↓↓
␈βm␈↓ [␈εt
␈β↓␈↓ ¬g␈εn
␈β ␈↓ α␈εβLet␈↓ αE␈ε f␈↓ αU␈εβ(␈↓ α`␈ε n␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε n␈↓ βg␈εβ)␈α =␈↓ ∧&␈ε t␈↓ ∧2␈εβ;␈αλthen␈↓ ¬␈ε S␈↓ ¬/␈εβ=␈↓ εε␈εβ(␈↓ ε⊃␈ε t␈↓ ε∨␈εβ+␈αβ1␈α␈)␈α↓,␈αλso␈απth␈α␈e␈απav␈α␈e␈α␈rage␈απis␈↓ λ]␈ε n␈↓ λq␈εβ(1␈ε↔␈αα␈␈εβ␈αβ1/␈↓ T␈ε p␈↓ e␈εβ).␈α
Similarly,␈αλif
␈β∪␈↓ αs␈εε1␈↓ β]␈εt␈↓ ¬≤␈εt
␈β⊗␈↓ ¬t␈ε↓␈␈↓ ε∩␈ε↓↓␈↓ ε ␈ε↓␈␈↓ εd␈ε↓↓␈↓ α␈ε↓␈␈↓ ␈ε↓↓
␈β→␈↓ ¬k␈εt
␈β0␈↓ εα␈εn␈↓ ε.␈εn␈↓ ε>␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ⊂␈εn
␈β7␈↓ ↓H␈ε f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε n␈↓ αα␈εβ,␈↓ α⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α=␈εβ,␈↓ αL␈ε n␈↓ αi␈εβ)␈α =␈↓ β(␈ε n␈↓ βH␈εβ+␈↓ βj␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧⊃␈εβ+␈↓ ∧2␈ε n␈↓ ∧O␈εβ,␈απthen␈↓ ¬&␈ε S␈↓ ¬I␈εβ=␈↓ εr␈εβ,␈απand␈α¬th␈α␈e␈αεav␈α}era␈α␈ge␈αεis␈↓ .␈εβ(1␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈α␈/␈↓
␈ε p␈↓
≡␈εβ).␈α
Fina␈α␈ll␈α↓y␈α␈,
␈βB␈↓ ↓v␈εε1␈↓ α←␈εt␈↓ β;␈εε1␈↓ ∧F␈εt␈↓ ¬6␈εt
␈βD␈↓ λF␈ε↓␈␈↓
␈ε↓↓␈↓
3␈ε↓␈␈↓
x␈ε↓↓
␈βH␈↓ ε∧␈εε2␈↓ ε2␈εt␈↓ ε;␈ε~␈␈εε1␈↓ ∩␈εε2
␈β←␈↓ λT␈εn␈↓ λe␈εε+2␈↓
A␈εn␈↓
R␈εε+1
␈βf␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓f␈ε f␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε n␈↓ α ␈εβ,␈↓ α/␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α\␈εβ,␈↓ αj␈ε n␈↓ βπ␈εβ)␈α =␈α
(␈↓ βQ␈ε n␈↓ βk␈ε↔␈␈↓ ∧∩␈ε n␈↓ ∧1␈εβ)␈↓ ∧<␈ε n␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬ ␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬5␈εβ+␈αε(␈↓ ¬g␈ε n␈↓ ε/␈ε↔␈␈↓ εV␈ε n␈↓ εs␈εβ)␈↓ ε}␈ε n␈↓ π≠␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ πx␈ε S␈↓ λ≤␈εβ=␈↓ ␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ T␈ε n␈↓ o␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ ␈εβ+
␈βq␈↓ α∀␈εε1␈↓ α⎇␈εt␈↓ ∧%␈εε1␈↓ ∧O␈εε1␈↓ ¬z␈εt␈↓ ε∧␈ε~␈␈εε1␈↓ εi␈εt␈↓ π⊃␈εt␈↓ λ ␈εt
␈βs␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α␈ε↓↓␈↓ α~␈ε↓␈␈↓ α8␈ε↓↓␈↓ ∧o␈ε↓␈␈↓ ¬3␈ε↓↓
␈βv␈↓ λX␈εt␈↓ λa␈εε+2␈↓
E␈εt␈↓
N␈εε+␈α↓1
␈β
␈↓ ↓V␈εn␈↓ ↓f␈εε+1␈↓ α(␈εn␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ¬
␈εε+1
␈β
⊃␈↓ 7␈εε2␈↓
B␈εn␈↓
R␈εε+1
␈β
∩␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ +␈εα)
␈β
∃␈↓ αF␈εβ,␈αand␈α
the␈α
av␈α␈er␈α␈age␈αis␈↓ ¬H␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ¬|␈ε n␈↓ ε_␈εβ+␈απ1)␈↓ ε\␈ε p␈↓ εm␈εβ/(␈↓ π ␈ε p␈↓ π!␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ πm␈εβ+␈↓ λ"␈ε p␈↓ λ3␈εβ/␈α␈(␈↓ λN␈ε p␈↓ λg␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ D␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓
1␈ε p␈↓
x␈εβ)␈↓ β␈εβ.
␈β
%␈↓ ↓j␈εε2␈↓ α+␈εt␈↓ ¬∩␈εε2
␈β
>␈↓ α␈εβAs␈αa␈αcon␈α␈sequ␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αc␈α␈an␈αsee␈αth␈α␈at␈αif␈↓ ε$␈ε p␈↓ ε@␈εβi␈α↓s␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αt␈α␈here␈αi␈α↓s␈αv␈α␈ery␈αh␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αtha␈α␈t
␈β
e␈↓ ↓H␈ε n␈↓ α↔␈εβ=␈↓ αB␈ε n␈↓ αi␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αfor␈αall␈↓ ∧∩␈ε j␈↓ ∧!␈εβ.␈α≠(If␈αth␈α␈is␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αfa␈α␈i␈α↓ls␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αration␈α␈al␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈αit␈αfails␈αfo␈α␈r
␈β
p␈↓ ↓[␈εj␈↓ ↓g␈εε+1␈↓ αV␈εj
␈β∞
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓u␈ε p␈↓ αε␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
fur␈α␈ther␈α
ev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ce␈α
for␈α
the␈α
tex␈α␈t's␈αcla␈α␈i␈α↓m␈α
th␈α␈at␈α
Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αC␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
alway␈α␈s
␈β∞4␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α↔␈ε ∞␈↓ α9␈εβ=␈↓ αd␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β∀␈εβ=␈α 1.)
␈β∞?␈↓ α#␈εε2
␈β∞k␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβUsing␈α
the␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αdev␈α}elop␈α␈ed␈αin␈α
ex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α4,␈αwith␈↓ πV␈ε f␈↓ πf␈εβ(␈↓ πq␈ε n␈↓ λ⊂␈εβ,␈↓ λ∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λL␈εβ,␈↓ λZ␈ε n␈↓ λw␈εβ)␈α
=␈↓ 6␈ε ∞␈↓ h␈εβ,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t
␈β∞v␈↓ λ∧␈εε1␈↓ λn␈εt␈↓ B␈εn␈↓ [␈εε0
␈β∞|␈↓ R␈ε
t
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈αis␈α1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈↓ ∧0␈ε p␈↓ ∧L␈εβi␈α↓f␈↓ ∧l␈ε n␈↓ ¬ ␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α1␈α
i␈α↓f␈↓ ε∀␈ε n␈↓ ε1␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈β∂I␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAssu␈α␈ming␈α
that␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α}t␈αterms␈↓ εε␈ε u␈↓ ε~␈εβ(0)␈αan␈α␈d␈↓ π␈ε v␈↓ π≡␈εβ(0)␈α
are␈αn␈α␈on␈α␈zero␈α␈,␈αima␈α␈gine␈α
a␈α\␈α␈righ␈α␈t-to␈α␈-
␈β∂m␈↓ ε<␈εm␈↓ εT␈ε~␈␈↓ εm␈εn
␈β∂q␈↓ ↓H␈εβleft"␈απd␈α␈i␈α↓v␈α␈ision␈απalgo␈α␈rithm,␈↓ ∧&␈ε u␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧E␈ε x␈↓ ∧W␈εβ)␈α =␈↓ ¬∃␈ε v␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε x␈↓ ¬C␈εβ)␈↓ ¬N␈ε q␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε x␈↓ ¬z␈εβ)␈αα+␈↓ ε+␈ε x␈↓ ε⎇␈ε r␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε x␈↓ π(␈εβ),␈α wh␈α␈ere␈↓ λ!␈εβdeg␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε r␈↓ λm␈εβ)␈α <␈↓ ,␈εβd␈α␈eg␈↓ ↑␈εβ(␈↓ i␈ε v␈↓ z␈εβ).␈α
W␈α↓e␈απob␈α␈tain
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εβa␈αgcd␈αalgo␈α␈rithm␈αanlog␈α␈ou␈α␈s␈αto␈αAlgo␈α␈rithm␈α4.5.2B␈↓ εh␈εβ,␈αwhich␈αi␈α↓s␈αessen␈α␈t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈α
th␈α␈e␈α\␈α␈rev␈α␈ers␈α␈e"␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈αin␈α␈pu␈α␈ts␈α(cf.␈αex␈α}ercise␈α
2),␈αafte␈α␈rwards␈α
rev␈α}ersing␈α
the
␈β⊂h␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nsw␈α␈er␈αa␈α␈nd␈α
m␈α␈ultiply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈y␈αan␈α
ap␈α␈prop␈α␈riate␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈↓ πB␈ε x␈↓ πS␈εβ.
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α
un␈α␈i␈α↓ts␈αo␈α␈f␈↓ βK␈ε S␈↓ βj␈εβ(as␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αzero).
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα592␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβIf␈↓ α0␈ε u␈↓ αD␈εβ(␈↓ αO␈ε x␈↓ α`␈εβ)␈α
=␈↓ β&␈ε v␈↓ β8␈εβ(␈↓ βC␈ε x␈↓ βT␈εβ)␈↓ β←␈ε w␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε x␈↓ ∧∀␈εβ),␈α∂wh␈α␈ere␈↓ ¬→␈ε u␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε x␈↓ ¬I␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
while␈↓ ∩␈ε v␈↓ $␈εβ(␈↓ /␈ε x␈↓ @␈εβ)␈α
and␈↓
≠␈ε w␈↓
4␈εβ(␈↓
?␈ε x␈↓
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βαR␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈α∞th␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ εε␈ε m␈↓ ε0␈εβand␈↓ εs␈ε n␈↓ π∀␈εβsuch␈αtha␈α␈t␈↓ λ,␈ε m␈↓ λR␈ε↔↓␈↓ λd␈ε v␈↓ λu␈εβ(␈↓ ↓␈ε x␈↓ ∩␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ m␈ε n␈↓
␈ε↔↓␈↓
≤␈ε w␈↓
4␈εβ(␈↓
?␈ε x␈↓
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βαy␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.␈αNo␈α␈w␈↓ ∧3␈ε u␈↓ ∧G␈εβ(␈↓ ∧R␈ε x␈↓ ∧d␈εβ)␈αis␈αprimitiv␈α␈e␈α␈,␈αso␈α
we␈αh␈α␈av␈α}e
␈ββE␈↓ ¬{␈εα(␈↓ εu␈εα)␈↓ π,␈εα(␈↓ λ$␈εα)
␈ββH␈↓ ∧:␈ε u␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε x␈↓ ∧k␈εβ)␈α =␈ε↔␈α
ε␈↓ ¬V␈εβpp␈↓ επ␈ε m␈↓ ε,␈ε↔↓␈↓ ε=␈ε v␈↓ εN␈εβ(␈↓ εY␈ε x␈↓ εj␈εβ)␈↓ ππ␈εβpp␈↓ π8␈ε n␈↓ πS␈ε↔↓␈↓ πd␈ε w␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε x␈↓ λ→␈εβ)␈↓ λ0␈εβ.
␈β∧∨␈↓ π↓␈εα(␈↓ /␈εα)␈↓
β␈εα(
␈β∧"␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβWe␈α can␈αλexten␈α␈d␈α Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α E␈α as␈α follo␈α␈ws:␈α
L␈α↓e␈α␈t␈↓ π
␈ε u␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε x␈↓ πI␈εβ),␈↓ πc␈ε u␈↓ λα␈εβ(␈↓ λ∞␈ε x␈↓ λ∨␈εβ),␈↓ λ9␈ε u␈↓ λY␈εβ,␈↓ λg␈ε u␈↓ π␈εβ(␈↓ ∩␈ε x␈↓ $␈εβ)␈↓ D␈εβa␈α␈nd␈↓
∂␈ε v␈↓
*␈εβ(␈↓
5␈ε x␈↓
F␈εβ)␈α↓,␈↓
`␈ε v␈↓
|␈εβ(␈↓ π␈ε x␈↓ _␈εβ),
␈β∧-␈↓ π ␈εε1␈↓ πv␈εε2␈↓ λL␈εε3␈↓ λz␈εε4␈↓
≥␈εε1␈↓
o␈εε2
␈β∧G␈↓ α5␈εα)
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓c␈εβ,␈↓ ↓r␈ε v␈↓ α
␈εβ(␈↓ α_␈ε x␈↓ α*␈εβ)␈↓ αQ␈εβbe␈α⊃q␈α␈ua␈α␈dru␈α␈ples␈α⊃th␈α␈at␈α⊂satisfy␈α⊃th␈α␈e␈α⊃re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ π:␈ε u␈↓ πZ␈εβ(␈↓ πe␈ε x␈↓ πw␈εβ)␈↓ λα␈ε u␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε x␈↓ λ2␈εβ)␈α+␈↓ λu␈ε u␈↓ ∃␈εβ(␈↓ ␈ε x␈↓ 1␈εβ)␈↓ <␈ε v␈↓ N␈εβ(␈↓ Y␈ε x␈↓ j␈εβ)␈α∪=␈↓
<␈ε u␈↓
\␈ε u␈↓
|␈εβ(␈↓ π␈ε x␈↓ _␈εβ),
␈β∧U␈↓ ↓V␈εε3␈↓ α␈εε4␈↓ πN␈εε1␈↓ λ␈εε2␈↓
O␈εε3␈↓
o␈εε4
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε x␈↓ ↓␈␈εβ)␈↓ α␈ε u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε x␈↓ α;␈εβ)␈α
+␈↓ αz␈ε v␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε x␈↓ β2␈εβ)␈↓ β=␈ε v␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈ε x␈↓ βk␈εβ)␈α∂=␈↓ ∧4␈ε v␈↓ ∧P␈ε v␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε x␈↓ ¬π␈εβ)␈α↓.␈α∀The␈α∞ex␈α␈ten␈α␈ded␈α
algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∞starts␈α∞with␈α∞th␈α␈e␈α∞qu␈α␈ad␈α␈rup␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β∧|␈↓ ↓V␈εε1␈↓ β ␈εε2␈↓ ∧C␈εε3␈↓ ∧↑␈εε4
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧U␈εα(␈↓ πλ␈εα)
␈β¬→␈↓ ↓T␈εβ1␈α␈,␈αε0,␈↓ α∪␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ αQ␈εβ(␈↓ α\␈ε u␈↓ αp␈εβ),␈↓ β
␈εβp␈α␈p␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε u␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε x␈↓ βj␈εβ))␈↓ ∧⊗␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧a␈εβ0␈α␈,␈αε1,␈↓ ¬∨␈εβcon␈α}t␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε v␈↓ ¬z␈εβ),␈↓ ε∀␈εβp␈α␈p␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εD␈ε v␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε x␈↓ εr␈εβ))␈↓ π≥␈εβan␈α␈d␈α ma␈α␈nipu␈α␈lates␈α the␈α␈m␈α i␈α↓n␈αλsuch␈αλa␈α way
␈β¬A␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞to␈α
p␈α␈reserv␈α}e␈α
the␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns,␈α∞whe␈α␈re␈↓ εM␈ε u␈↓ εl␈εβ(␈↓ εw␈ε x␈↓ π ␈εβ)␈α
and␈↓ πd␈ε v␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε x␈↓ λ≤␈εβ)␈α∞ru␈α␈n␈α
thro␈α␈ug␈α␈h␈α
the␈α
sam␈α␈e␈α∞se␈α␈-
␈β¬K␈↓ ε`␈εε4␈↓ πs␈εε4
␈β¬h␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uen␈α␈ce␈α∞as␈↓ αd␈ε u␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε x␈↓ β∃␈εβ)␈α∂a␈α␈nd␈↓ βs␈ε v␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε x␈↓ ∧!␈εβ)␈α∂d␈α␈o␈α∞i␈α↓n␈α∞Algo␈α␈rithm␈α∞E␈↓ εO␈εβ.␈α⊗If␈↓ π∪␈ε a␈↓ π#␈ε u␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε x␈↓ π`␈εβ)␈α∂=␈↓ λ*␈ε q␈↓ λ9␈εβ(␈↓ λD␈ε x␈↓ λV␈εβ)␈↓ λa␈ε v␈↓ λ|␈εβ(␈↓ π␈ε x␈↓ _␈εβ)␈α
+␈↓ X␈ε b␈↓ e␈ε r␈↓ t␈εβ(␈↓ ␈␈ε x␈↓
⊃␈εβ),␈α∂we␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β¬s␈↓ π7␈εε4␈↓ λo␈εε4
␈βε
␈↓ ↓s␈εα(␈↓ β≥␈εα)␈↓ ∧6␈εα(␈↓ ¬V␈εα)␈↓ ε'␈εα(␈↓ πB␈εα)
␈βε⊂␈↓ ↓H␈ε a␈↓ ↓X␈ε v␈↓ ↓␈␈ε u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε x␈↓ α<␈εβ),␈↓ αU␈ε u␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε x␈↓ β∩␈εβ)␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β`␈ε q␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε x␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧⊗␈ε u␈↓ ∧B␈ε v␈↓ ∧]␈εβ(␈↓ ∧h␈ε x␈↓ ∧y␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬∪␈ε v␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε x␈↓ ¬K␈εβ)␈↓ ¬t␈εβ=␈↓ ε3␈ε r␈↓ εK␈εβ(␈↓ εW␈ε x␈↓ εh␈εβ),␈↓ πα␈ε r␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε x␈↓ π7␈εβ)␈↓ πN␈εβ,␈α∩wh␈α␈ere␈↓ λN␈ε r␈↓ λf␈εβ(␈↓ λq␈ε x␈↓ β␈εβ)␈↓ ∞␈ε u␈↓ "␈εβ(␈↓ -␈ε x␈↓ >␈εβ)␈α+␈↓
␈ε r␈↓
→␈εβ(␈↓
$␈ε x␈↓
5␈εβ)␈↓
A␈ε v␈↓
R␈εβ(␈↓
]␈ε x␈↓
n␈εβ)␈α∩=
␈βε≠␈↓ ↓g␈εε3␈↓ α∩␈εε1␈↓ αi␈εε2␈↓ ∧)␈εε3␈↓ ∧P␈εε1␈↓ ¬"␈εε2␈↓ ε?␈εε1␈↓ π∞␈εε2␈↓ λZ␈εε1␈↓
␈εε2
␈βε8␈↓ ↓H␈ε b␈↓ ↓U␈ε u␈↓ ↓u␈ε v␈↓ α⊂␈ε r␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε x␈↓ α;␈εβ),␈α
so␈α the␈α exte␈α␈nd␈α␈ed␈α algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α
c␈α␈an␈α pre␈α␈serv␈α␈e␈α the␈α d␈α␈esired␈α relation␈α␈s.␈αIf␈↓ o␈ε u␈↓
β␈εβ(␈↓
∞␈ε x␈↓
∨␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓
s␈ε v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε x␈↓ !␈εβ)
␈βεB␈↓ ↓h␈εε3␈↓ αβ␈εε3
␈βε←␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈αprime,␈αthe␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈αalgorith␈α␈m␈αev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α|n␈α␈ds␈↓ λS␈ε r␈↓ λa␈εβ(␈↓ λm␈ε x␈↓ λ}␈εβ)␈αof␈αde␈α␈gree␈αze␈α␈ro,␈α
a␈α␈nd
␈βπ∧␈↓ π2␈εα(
␈βππ␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αobt␈α␈ain␈↓ αd␈ε U␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β
␈ε x␈↓ β≠␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε r␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε x␈↓ ∧∃␈εβ),␈↓ ∧6␈ε V␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε x␈↓ ∧k␈εβ)␈α=␈↓ ¬/␈ε r␈↓ ¬H␈εβ(␈↓ ¬S␈ε x␈↓ ¬d␈εβ)␈α
as␈α
d␈α␈esired␈α␈.␈↓ π>␈εβIn␈αprac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈o␈α␈uld␈αdivid␈α␈e␈↓
c␈ε r␈↓
|␈εβ(␈↓ π␈ε x␈↓ _␈εβ),
␈βπ⊃␈↓ βl␈εε2␈↓ ¬;␈εε1␈↓
o␈εε1
␈βπ+␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ε∪␈εα)␈↓ ε(␈εα)
␈βπ.␈↓ ↓H␈ε r␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε x␈↓ ↓⎇␈εβ),␈α∂a␈α␈nd␈↓ αc␈ε b␈↓ αq␈ε u␈↓ β⊂␈ε v␈↓ β:␈εβb␈α␈y␈↓ βm␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧+␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε r␈↓ ¬␈εβ),␈↓ ¬&␈εβcon␈α}t␈↓ ¬d␈εβ(␈↓ ¬o␈ε r␈↓ ελ␈εβ)␈↓ ε∨␈εβ.␈↓ εS␈εβCo␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈α∂if␈α∞suc␈α␈h␈↓ λ⎇␈ε U␈↓ _␈εβ(␈↓ #␈ε x␈↓ 5␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓
⊃␈ε V␈↓
)␈εβ(␈↓
4␈ε x␈↓
F␈εβ)␈α∞ex␈α␈ist,
␈βπ9␈↓ ↓T␈εε2␈↓ β∧␈εε3␈↓ β∨␈εε3␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬{␈εε2
␈βπV␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε u␈↓ α(␈εβ(␈↓ α3␈ε x␈↓ αD␈εβ)␈αand␈↓ β≠␈ε v␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε x␈↓ βI␈εβ)␈αha␈α␈v␈α␈e␈αno␈α
comm␈α␈on␈αp␈α␈rime␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs,␈αsin␈α␈ce␈αthe␈α␈y␈αare␈αp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αan␈α␈d␈αh␈α␈av␈α␈e
␈βπ}␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs␈αof␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αde␈α␈gree.
␈βλ0␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβBy␈απsu␈α␈ccessiv␈α}ely␈απfacto␈α␈ring␈απp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απt␈α␈hat␈απa␈α␈re␈απred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈απin␈α}to␈απpo␈α␈lyn␈α␈omials␈απof␈απsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈r
␈βλW␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈αwe␈αm␈α␈ust␈αobta␈α␈in␈αa␈α|n␈α␈i␈α↓te␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αof␈αan␈α}y␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
in␈α}to␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α␈s.␈α∞The
␈βλ␈␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αthe␈ε⊂␈αc␈α␈on␈α␈te␈α␈n␈α␈t␈εβ␈αi␈α↓s␈αu␈α␈niqu␈α␈e.␈αTo␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈α␈t␈αmost␈αon␈α␈e␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β '␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞primitiv␈α␈e␈α∞p␈α␈art,␈α∂the␈α∞k␈α}ey␈α∞resu␈α␈lt␈α∂is␈α∞to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈α∞if␈↓ λ⊂␈ε u␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε x␈↓ λ@␈εβ)␈α∂is␈α∞an␈α∞irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α∞facto␈α␈r
␈β N␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε v␈↓ α↓␈εβ(␈↓ α␈ε x␈↓ α≥␈εβ)␈↓ α)␈ε w␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε x␈↓ α↑␈εβ),␈α
b␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈αa␈αu␈α␈nit␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αirredu␈α␈cible␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ ⊗␈ε v␈↓ '␈εβ(␈↓ 2␈ε x␈↓ D␈εβ),␈α
th␈α␈en␈↓
2␈ε u␈↓
F␈εβ(␈↓
Q␈ε x␈↓
b␈εβ)␈αi␈α↓s␈αa
␈β v␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈α of␈↓ αK␈ε w␈↓ αd␈εβ(␈↓ αo␈ε x␈↓ β␈εβ)␈α↓.␈α
This␈α can␈α b␈α␈e␈α pro␈α␈v␈α}ed␈α b␈α␈y␈α ob␈α␈servin␈α␈g␈α tha␈α␈t␈↓ πD␈ε u␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε x␈↓ πt␈εβ)␈α
is␈α a␈α facto␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ F␈ε v␈↓ W␈εβ(␈↓ b␈ε x␈↓ t␈εβ)␈↓ ␈␈ε w␈↓
_␈εβ(␈↓
#␈ε x␈↓
4␈εβ)␈↓
?␈ε U␈↓
Z␈εβ(␈↓
e␈ε x␈↓
w␈εβ)␈α =
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε r␈↓ ↓V␈ε w␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε x␈↓ α␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ αG␈ε w␈↓ α←␈εβ(␈↓ αk␈ε x␈↓ α|␈εβ)␈↓ βπ␈ε u␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε x␈↓ β8␈εβ)␈↓ βC␈ε V␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βf␈ε x␈↓ βw␈εβ)␈αby␈α
the␈αre␈α␈sult␈αof␈αex␈α}ercise␈α9,␈αwh␈α␈ere␈↓ πz␈ε r␈↓ λ∀␈εβis␈αa␈αn␈α␈onz␈α␈ero␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t.
␈β
P␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβThe␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
ro␈α␈w␈α
nam␈α␈es␈α∞n␈α␈eed␈α␈ed␈α∞w␈α␈o␈α␈uld␈α
be␈↓ εP␈ε A␈↓ εq␈εβ,␈↓ π ␈ε A␈↓ π+␈εβ,␈↓ πC␈ε B␈↓ πc␈εβ,␈↓ π{␈ε B␈↓ λ≠␈εβ,␈↓ λ2␈ε B␈↓ λR␈εβ,␈↓ λj␈ε B␈↓
␈εβ,␈↓ "␈ε B␈↓ B␈εβ,␈↓ Z␈ε C␈↓ |␈εβ,␈↓
∀␈ε C␈↓
7␈εβ,␈↓
O␈ε D␈↓
r␈εβ.␈α∀In
␈β
Z␈↓ εe␈εε1␈↓ π≡␈εε0␈↓ πV␈εε4␈↓ λ∞␈εε3␈↓ λF␈εε2␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 5␈εε0␈↓ p␈εε1␈↓
*␈εε0␈↓
f␈εε0
␈β
w␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ral,␈α∞let␈↓ αx␈ε u␈↓ β=␈εβ(␈↓ βH␈ε x␈↓ βY␈εβ)␈α=␈α
0␈α␈;␈α∞then␈αth␈α␈e␈α
ro␈α␈ws␈α
n␈α␈eed␈α␈ed␈αfor␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈roof␈α
a␈α␈re␈↓ ⊂␈ε A␈↓
α␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ ↓␈ε A␈↓ #␈εβ,
␈βα␈↓ β␈εj␈↓ β↔␈εε+2␈↓ %␈εn␈↓ @␈ε~␈␈↓ Z␈εn␈↓ ↔␈εε0
␈β
␈↓ 5␈επ2␈↓ i␈ε
j
␈β∨␈↓ ↓H␈ε B␈↓ α6␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ β4␈ε B␈↓ βT␈εβ,␈↓ βh␈ε C␈↓ ∧Y␈εβthro␈α␈ug␈α␈h␈↓ ¬W␈ε C␈↓ ¬z␈εβ,␈↓ ε∞␈ε D␈↓ π␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ π}␈ε D␈↓ λ"␈εβ,␈αetc␈α␈.
␈β*␈↓ ↓[␈εn␈↓ ↓v␈ε~␈␈↓ α∂␈εn␈↓ βG␈εε0␈↓ β}␈εn␈↓ ∧→␈ε~␈␈↓ ∧3␈εn␈↓ ¬m␈εε0␈↓ ε%␈εn␈↓ ε@␈ε~␈␈↓ εZ␈εn␈↓ λ∃␈εε0
␈β1␈↓ ↓k␈επ1␈↓ α∨␈ε
j␈↓ ∧∞␈επ2␈↓ ∧C␈ε
j␈↓ ε5␈επ3␈↓ εi␈ε
j
␈βQ␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α,␈ε n␈↓ αV␈εβ=␈α 0,␈αth␈α␈e␈α
tex␈α␈t'␈α↓s␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈α
(␈α↓2␈α␈4)␈α
sho␈α}ws␈α
that␈α
th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α
is␈ε↔␈α
ε␈↓ ε␈ε h␈↓ #␈εβ,
␈β[␈↓ ∧(␈ε↓Q
␈β\␈↓ α?␈εk␈↓ ⊗␈εk
␈βr␈↓ ¬5␈ε∞␈↓ ¬m␈εε(␈↓ ¬u␈ε∞␈↓ ε␈ε~␈␈εε1)
␈βt␈↓ βS␈εn
␈βy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απthis␈αλequ␈α␈als␈ε↔␈αλε␈↓ βE␈ε #␈↓ ∧⊃␈εβ/␈↓ ¬'␈ε #␈↓ ε9␈εβ.␈α
I␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλa␈απf␈α↓a␈α␈ctor␈αλo␈α␈f␈α p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βz␈↓ ¬?␈ε
j␈↓ ¬K␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬␈␈ε
j
␈β|␈↓ βc␈ε
k␈↓ βp␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β ␈↓ βS␈εk
␈β␈↓ ¬1␈εj
␈β␈↓ ∧J␈εε1␈α␈<␈↓ ∧o␈εj␈↓ ∧{␈εε<␈↓ ¬∃␈εk
␈β!␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈α
we␈α can␈α arti|␈α␈ciall␈α↓y␈α ass␈α␈ume␈α tha␈α␈t␈α
the␈α poly␈α␈no␈α␈mial␈α
zero␈α ha␈α␈s␈α
de␈α␈gree␈α
z␈α␈ero␈α
a␈α␈nd␈α use␈α the
␈βH␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈αform␈α}ula␈αwith␈↓ βb␈ε #␈↓ ∧β␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈βS␈↓ βm␈εk
␈βp␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∩Th␈α␈e␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε ␈α∞R␈εβ(␈↓ ∧?␈ε u␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈ε v␈↓ ∧s␈εβ)␈α∂o␈α␈f␈α∞Sy␈α␈l␈α↓v␈α}ester's␈α∞de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α∞is␈α∞called␈α∞t␈α␈he␈ε⊂␈α∞resu␈α␈ltan␈α}t␈εβ␈α∂o␈α␈f␈↓ _␈ε u
␈β
∪␈↓ ¬∧␈εεdeg␈↓ ¬*␈εε(␈↓ ¬2␈εu␈↓ ¬B␈εε)␈α↓(␈↓ ¬S␈εεdeg␈↓ ¬y␈εε(␈↓ ε↓␈εu␈↓ ε∩␈εε)␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ π~␈ε~␈␈εε1␈↓ λ_␈ε~0
␈β
↔␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε v␈↓ α≤␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
the␈α
qu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧y␈εβ)␈↓ εa␈ε #␈↓ εo␈εβ(␈↓ εz␈ε u␈↓ π∞␈εβ)␈↓ π?␈ε R␈εβ(␈↓ πb␈ε u␈↓ πv␈εβ,␈↓ λ∧␈ε u␈↓ λ∨␈εβ)␈α
i␈α↓s␈α
called␈α
the␈ε⊂␈α
discrimin␈α␈an␈α}t
␈β
;␈↓ β↔␈ε~0
␈β
?␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓r␈ε u␈↓ αε␈εβ,␈α⊂where␈↓ ββ␈ε u␈↓ β,␈εβi␈α↓s␈α∞the␈α∞deriv␈α␈ativ␈α␈e␈α∞of␈↓ ¬Y␈ε u␈↓ ¬m␈εβ.␈α⊗I␈α↓f␈↓ ε1␈ε u␈↓ εE␈εβ(␈↓ εQ␈ε x␈↓ εb␈εβ)␈α∂=␈↓ π-␈ε a␈↓ π>␈εβ(␈↓ πI␈ε x␈↓ πd␈ε↔␈␈↓ λ∂␈ε ␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λ>␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λj␈εβ(␈↓ λu␈ε x␈↓ ⊃␈ε↔␈␈↓ <␈ε ␈↓ d␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓
C␈ε v␈↓
T␈εβ(␈↓
←␈ε x␈↓
q␈εβ)␈α∂=
␈β
J␈↓ λ!␈εε1␈↓ M␈εm
␈β
c␈↓ ε≥␈εn␈↓ λq␈εm␈↓ λ␈εn␈↓ &␈εm
␈β
g␈↓ ↓H␈ε b␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓`␈ε x␈↓ ↓v␈ε↔␈␈↓ α≤␈ε ␈␈↓ α9␈εβ)␈↓ αJ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αv␈εβ(␈↓ β↓␈ε x␈↓ β↔␈ε↔␈␈↓ β=␈ε ␈␈↓ β↑␈εβ),␈α
w␈α␈e␈α h␈α␈av␈α␈e␈ε ␈αλR␈εβ␈α↓(␈↓ ¬~␈ε u␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ¬<␈ε v␈↓ ¬N␈εβ)␈α =␈↓ ε
␈ε a␈↓ ε-␈ε v␈↓ ε?␈εβ(␈↓ εJ␈ε ␈↓ εh␈εβ)␈↓ εy␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π%␈ε v␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε ␈↓ πj␈εβ)␈α =␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ λf␈εβ)␈↓ →␈ε b␈↓ =␈ε u␈↓ Q␈εβ(␈↓ \␈ε ␈␈↓ z␈εβ)␈↓
␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
7␈ε u␈↓
K␈εβ(␈↓
V␈ε ␈␈↓
w␈εβ)␈α =
␈β
p␈↓ α∩␈ε↓Q
␈β
q␈↓ α-␈εε1␈↓ βN␈εn␈↓ ε[␈εε1␈↓ πS␈εm␈↓ m␈εε1␈↓
f␈εn
␈β∞
␈↓ ↓X␈εn␈↓ ↓v␈εm
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε a␈↓ ↓h␈ε b␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε ␈↓ ∧#␈ε↔␈␈↓ ∧H␈ε ␈␈↓ ∧e␈εβ).␈α
I␈α↓t␈αλfollo␈α␈ws␈α t␈α␈hat␈αλthe␈αλp␈α␈olyn␈α␈omials␈αλof␈α d␈α␈egre␈α␈e␈↓ L␈ε m␈↓ i␈ε n␈↓
ε␈εβin␈↓
*␈ε y␈↓
E␈εβd␈α␈e|n␈α␈ed
␈β∞→␈↓ ∧∀␈εi␈↓ ∧Y␈εj
␈β∞!␈↓ α4␈εε1␈ε~∀␈↓ αZ␈εi␈↓ αe␈ε~∀␈↓ α}␈εm␈↓ β∃␈εε,1␈ε~∀␈↓ βB␈εj␈↓ βN␈ε~∀␈↓ βg␈εn
␈β∞6␈↓ λ&␈εm
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α th␈α␈e␈αλrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈αλresulta␈α␈n␈α␈ts␈αλwi␈α↓th␈↓ ¬≤␈ε v␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε x␈↓ ¬J␈εβ)␈αλof␈↓ ε↓␈ε u␈↓ ε∃␈εβ(␈↓ ε ␈ε y␈↓ ε7␈ε↔␈␈↓ ε\␈ε x␈↓ εn␈εβ),␈↓ π␈ε u␈↓ π∨␈εβ(␈↓ π*␈ε y␈↓ π@␈εβ+␈↓ πf␈ε x␈↓ πw␈εβ),␈↓ λ∀␈ε x␈↓ λ=␈ε u␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε y␈↓ λo␈εβ/␈↓ λ␈␈ε x␈↓ ⊃␈εβ),␈α an␈α␈d␈↓ l␈ε u␈↓
␈εβ(␈↓
␈ε y␈↓
≡␈ε x␈↓
/␈εβ)␈α h␈α␈av␈α␈e␈αλa␈α␈s
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α roo␈α␈ts␈α th␈α␈e␈α sum␈α␈s␈↓ ∧9␈ε ␈↓ ∧Z␈εβ+␈↓ ¬␈ε ␈␈↓ ¬≤␈εβ,␈α
d␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈↓ εP␈ε ␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π⊗␈ε ␈␈↓ π3␈εβ,␈α pro␈α␈du␈α␈cts␈↓ λL␈ε ␈↓ λh␈ε ␈␈↓ ¬␈εβ,␈α an␈α␈d␈α qu␈α␈otien␈α}ts␈↓
c␈ε ␈↓
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈ε ␈
␈β∞l␈↓ ∧K␈εi␈↓ ¬⊂␈εj␈↓ εa␈εi␈↓ π'␈εj␈↓ λ]␈εi␈↓ λy␈εj␈↓
t␈εi␈↓ ␈εj
␈β∂ε␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β&␈εα)
␈β∂ ␈↓ ↓T␈εβwh␈α␈en␈↓ α)␈ε v␈↓ α;␈εβ(0␈α␈)␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α 0␈↓ β2␈εβ.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α i␈α↓d␈α␈ea␈α ha␈α␈s␈α
b␈α␈een␈α used␈α b␈α␈y␈α
R␈α␈.␈α
G.␈α
K.␈α
Loos␈α to␈α
c␈α␈onstr␈α␈uct␈α algorith␈α␈ms␈α
fo␈α␈r
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αo␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈ebra␈α␈i␈α↓c␈α
n␈α␈um␈α}bers␈α[␈ε⊂S␈α␈IA␈α↓M␈α
J.␈αComp␈α␈ut␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈εβ␈α(␈ε⊂c␈εβ.␈α197␈α␈9),␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar].
␈β∂X␈↓ α␈εβIf␈αw␈α␈e␈αreplac␈α␈e␈αeac␈α␈h␈αro␈α␈w␈↓ ∧[␈ε A␈↓ ¬ε␈εβin␈αS␈α␈ylv␈α␈e␈α␈ster's␈αmatrix␈α
by
␈β∂c␈↓ ∧p␈εi
␈β⊂'␈↓ ↓p␈εβ(␈↓ ↓{␈ε b␈↓ α∪␈ε A␈↓ α;␈εβ+␈↓ αc␈ε b␈↓ α|␈ε A␈↓ βI␈εβ+␈↓ βr␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧ ␈εβ+␈↓ ∧I␈ε b␈↓ ¬:␈ε A␈↓ ε⊂␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εV␈ε a␈↓ εr␈ε B␈↓ π_␈εβ+␈↓ π@␈ε a␈↓ π]␈ε B␈↓ λ(␈εβ+␈↓ λP␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈␈εβ+␈↓ '␈ε a␈↓
≤␈ε B␈↓
p␈εβ),
␈β⊂2␈↓ απ␈εε0␈↓ α)␈εi␈↓ αo␈εε1␈↓ β⊃␈εi␈↓ β≤␈εε+1␈↓ ∧U␈εn␈↓ ∧p␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬/␈εi␈↓ ¬O␈εn␈↓ ¬j␈ε~␈␈εε1␈↓ εf␈εε0␈↓ πε␈εi␈↓ πP␈εε1␈↓ πp␈εi␈↓ π{␈εε+1␈↓ 7␈εn␈↓ R␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓
⊃␈εi␈↓
/␈εn␈↓
J␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊂:␈↓ ∧e␈επ2␈↓ ¬←␈επ2␈↓ G␈επ2␈↓
?␈επ2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
then␈α
d␈α␈el␈α↓e␈α␈te␈αro␈α␈ws␈↓ ∧↓␈ε B␈↓ ∧`␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ ¬↑␈ε B␈↓ ε ␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αla␈α␈st␈↓ πA␈ε n␈↓ πl␈εβcolu␈α␈mns␈α␈,␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
an␈↓
=␈ε n␈↓
d␈ε↔α␈↓
␈ε n
␈β⊃↓␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬q␈εε0␈↓ πT␈εε2␈↓
P␈εε1␈↓ ␈εε1
␈β⊃ ␈↓ ∧$␈επ2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t␈α
for␈α th␈α␈e␈α
re␈α␈sultan␈α}t␈α
ins␈α␈tead␈α o␈α␈f␈α
the␈α o␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈α (␈↓ πF␈ε n␈↓ πj␈εβ+␈↓ λ⊃␈ε n␈↓ λ1␈εβ)␈ε↔␈α¬α␈εβ␈αε(␈↓ λs␈ε n␈↓ _␈εβ+␈↓ >␈ε n␈↓ ↑␈εβ)␈α
d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t.
␈β⊃)␈↓ πY␈εε1␈↓ λ$␈εε2␈↓ ε␈εε1␈↓ Q␈εε2
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα593
␈βα+␈↓ ↓H␈εβIn␈α
some␈αca␈α␈ses␈αthe␈αre␈α␈sultan␈α}t␈αcan␈αb␈α␈e␈αev␈α␈alua␈α␈ted␈αe}␈α␈cien␈α␈tly␈αb␈α␈y␈αme␈α␈ans␈αo␈α␈f␈αth␈α␈is␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t;
␈βαS␈↓ ↓H␈εβse␈α␈e␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α12␈εβ␈α
(196␈α␈9),␈α23↑␈α␈30,␈α30␈α␈2↑3␈α␈03.
␈βα{␈↓ α␈εβJ.␈α∞T.␈α∞Sch␈α}wartz␈α∞h␈α␈as␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn␈α∞th␈α␈at␈α∞resu␈α␈ltan␈α}ts␈α∞and␈α
Stu␈α␈rm␈α∞seq␈α␈uen␈α␈ces␈α∞for␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈ββ∨␈↓ ε\␈εε2
␈ββ ␈↓ ¬a␈εα(␈↓ εh␈εα)
␈ββ#␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
d␈α␈eg␈α␈ree␈↓ αX␈ε n␈↓ αx␈εβcan␈αbe␈αev␈α␈alu␈α␈ated␈αwith␈↓ ¬I␈ε O␈↓ ¬m␈ε n␈↓ εα␈εβ(␈↓ ε
␈εβlog␈↓ ε=␈ε n␈↓ εQ␈εβ)␈↓ π↓␈εβo␈α␈per␈α␈ation␈α␈s␈α
a␈α␈s␈↓ λL␈ε n␈↓ λk␈ε↔!␈α1␈εβ␈α↓.␈α≠[\Proba␈α␈bilisti␈α↓c
␈ββK␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfor␈αv␈α␈e␈α␈ri␈α↓|␈α␈catio␈α␈n␈αof␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αiden␈α}tities,"␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar.]
␈ββ}␈↓ πv␈εα(␈↓ g␈εα)
␈β∧↓␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
sho␈α}w␈αby␈α
in␈α␈du␈α␈ction␈α
on␈↓ ¬Q␈ε j␈↓ ¬j␈εβtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αof␈↓ λα␈ε u␈↓ λG␈εβ(␈↓ λR␈ε x␈↓ λd␈εβ),␈↓ λ}␈ε g␈↓ <␈εβ,␈↓ K␈ε h␈↓ ⎇␈εβare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced
␈β∧␈↓ λ∃␈εj␈↓ λ!␈εε+␈α↓1␈↓
␈εj␈↓ ↔␈εε+1␈↓ [␈εj
␈β∧$␈↓ βJ␈εε1+␈↓ βp␈εp␈↓ ¬0␈εε2+␈↓ ¬V␈εp␈↓ ε(␈εp
␈β∧&␈↓ β1␈εα(␈↓ ε`␈εα)
␈β∧)␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αby␈↓ β=␈ε #␈↓ ∧␈ε w␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε x␈↓ ∧B␈εβ)␈↓ ∧M␈ε u␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε x␈↓ ¬λ␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬"␈ε #␈↓ ¬r␈ε g␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε~␈ε #␈↓ εD␈ε h␈↓ εx␈εβfor␈↓ π-␈ε j␈↓ πH␈ε↔∃␈εβ␈α2,␈α
whe␈α␈re␈↓ λ|␈ε p␈↓ $␈εβ=␈↓ P␈ε n␈↓ x␈εβ+␈↓
"␈ε n␈↓
J␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ ∧␈ε n␈↓ #␈εβ.
␈β∧,␈↓ β⎇␈ε
j␈↓ ¬c␈ε
j␈↓ ε5␈ε
j
␈β∧4␈↓ ∧`␈εj␈↓ ¬␈␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ ␈εj␈↓ c␈εε1␈↓
5␈εε2␈↓ ↔␈εj
␈β∧N␈↓ ↓H␈εα(␈↓ π\␈εα)
␈β∧Q␈↓ ↓T␈εβIn␈α
spite␈αof␈αth␈α␈is␈αgro␈α␈wth␈α␈,␈αth␈α␈e␈αbo␈α␈un␈α␈d␈α(26␈α␈)␈αremain␈α␈s␈αva␈α␈l␈α↓id␈α␈.
␈β¬β␈↓ r␈εk
␈β¬π␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε p␈↓ αc␈εβb␈α␈e␈α
a␈α prime␈α
o␈α␈f␈α
the␈α dom␈α␈ain,␈α
an␈α␈d␈α
let␈↓ εQ␈ε j␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εn␈ε k␈↓ π ␈εβb␈α␈e␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α
su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ a␈ε p␈↓
¬␈ε↔∧␈↓
≠␈ε v␈↓
C␈εβ=␈↓
n␈ε #␈↓
|␈εβ(␈↓ π␈ε v␈↓ _␈εβ),
␈β¬∩␈↓
*␈εn
␈β¬+␈↓ ↓Y␈εj␈↓ βq␈εk␈↓
`␈εs␈↓ _␈εs
␈β¬/␈↓ ↓H␈ε p␈↓ ↓j␈ε↔∧␈↓ α␈ε v␈↓ αE␈εβ.␈αLet␈↓ β∃␈ε P␈↓ β6␈εβ=␈↓ β`␈ε p␈↓ β}␈εβ.␈αBy␈α
Algo␈α␈rithm␈α R␈α
w␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α wri␈α↓te␈↓ πQ␈ε q␈↓ π`␈εβ(␈↓ πk␈ε x␈↓ π|␈εβ)␈α
=␈↓ λ;␈ε a␈↓ λ]␈εβ+␈↓ ∧␈ε P␈↓ ≤␈ε a␈↓ 8␈ε x␈↓ O␈εβ+␈↓ u␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓
"␈εβ+␈↓
I␈ε P␈↓
l␈ε a␈↓ π␈ε x␈↓ #␈εβ,
␈β¬:␈↓ α∂␈εn␈↓ α∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λK␈εε0␈↓ +␈εε1␈↓
{␈εs
␈β¬S␈↓ λ↓␈εn␈↓ λ∩␈εε+1␈↓ λ\␈εn␈↓ O␈εn␈↓ `␈ε~␈␈εε1
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α&␈ε s␈↓ α=␈εβ=␈↓ αh␈ε m␈↓ β
␈ε↔␈␈↓ β0␈ε n␈↓ βN␈ε↔∃␈εβ␈α 2.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈α
u␈α␈s␈α
lo␈α␈ok␈α at␈α th␈α␈e␈α coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α of␈↓ πp␈ε x␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λJ␈ε x␈↓ λl␈εβ,␈α
an␈α␈d␈↓ >␈ε x␈↓
∂␈εβin␈↓
4␈ε v␈↓
E␈εβ(␈↓
P␈ε x␈↓
b␈εβ)␈↓
m␈ε q␈↓
|␈εβ(␈↓ π␈ε x␈↓ _␈εβ),
␈β¬z␈↓ βT␈εε2
␈β¬}␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ α<␈ε P␈↓ αS␈ε a␈↓ αo␈ε v␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β=␈ε P␈↓ βa␈ε a␈↓ β⎇␈ε v␈↓ ∧H␈εβ+␈↓ ∧p␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈ε a␈↓ ¬L␈ε v␈↓ ¬r␈εβ+␈↓ ε~␈ε P␈↓ ε1␈ε a␈↓ εM␈ε v␈↓ π→␈εβ+␈↓ π@␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πm␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ λA␈ε a␈↓ λ]␈ε v␈↓ (␈εβ+␈↓ P␈ε P␈↓ h␈ε a␈↓
∧␈ε v␈↓
O␈εβ+␈↓
w␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ #␈εβ,
␈βε ␈↓ αc␈εε1␈↓ α}␈εn␈↓ βp␈εε2␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≤␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬@␈εε0␈↓ ¬[␈εn␈↓ εA␈εε1␈↓ ε\␈εn␈↓ εl␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λP␈εε0␈↓ λl␈εn␈↓ λ|␈ε~␈␈εε1␈↓ w␈εε1␈↓
∩␈εn␈↓
#␈ε~␈␈εε2
␈βε"␈↓ ¬α␈εε3␈↓ λy␈εj
␈βε&␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈απof␈αλwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αλis␈αλa␈απm␈α␈ultiple␈αλo␈α␈f␈↓ ∧j␈ε P␈↓ ¬∂␈εβ.␈α
We␈αλco␈α␈nclu␈α␈de␈απf␈α↓ro␈α␈m␈αλth␈α␈e␈αλ|␈α␈rst␈αλtha␈α␈t␈↓ λh␈ε p␈↓ λ␈ε↔∧␈↓ ≤␈ε a␈↓ 8␈εβ,␈α fro␈α␈m␈αλthe␈απseco␈α␈nd
␈βε0␈↓ +␈εε1
␈βεI␈↓ α≡␈εεmin␈↓ αH␈εε(␈↓ αQ␈εk␈↓ α↑␈εε,2␈↓ αq␈εj␈↓ α⎇␈εε)
␈βεJ␈↓ λs␈εα(
␈βεM␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α
␈ε p␈↓ β
␈ε↔∧␈↓ β∨␈ε a␈↓ β;␈εβ,␈α the␈α␈n␈αλf␈α↓r␈α␈om␈αλthe␈αλthird␈αλth␈α␈at␈↓ ε1␈ε P␈↓ εL␈ε↔∧␈↓ εa␈ε a␈↓ ε⎇␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈↓ πp␈ε P␈↓ λ␈ε↔∧␈↓ λ!␈ε r␈↓ λ/␈εβ(␈↓ λ:␈ε x␈↓ λL␈εβ).␈↓ λ␈␈εβIf␈↓ ≡␈ε m␈↓ C␈εβw␈α␈ere␈α o␈α␈nly␈↓
U␈ε n␈↓
m␈εβ+␈α¬1␈α␈,
␈βεX␈↓ β.␈εε0␈↓ εq␈εε0
␈βεq␈↓ ε∂␈ε~d␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈εε/2␈ε~e␈↓
W␈εε3
␈βεu␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αb␈α␈est␈αw␈α␈e␈α
cou␈α␈ld␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ¬}␈ε p␈↓ εT␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ πE␈ε r␈↓ πS␈εβ(␈↓ π↑␈ε x␈↓ πp␈εβ);␈αe.g.,␈αco␈α␈nside␈α␈r␈↓ V␈ε u␈↓ j␈εβ(␈↓ u␈ε x␈↓
π␈εβ)␈α =␈↓
E␈ε x␈↓
j␈εβ+␈αλ1␈α␈,
␈βπ→␈↓ αV␈εε2
␈βπ≥␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε x␈↓ ↓u␈εβ)␈α
=␈α 4␈↓ αE␈ε x␈↓ αf␈εβ+␈α∧2␈↓ β≠␈ε x␈↓ β0␈εβ+␈αβ1,␈↓ βw␈ε r␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊂␈ε x␈↓ ∧"␈εβ)␈α =␈α
1␈α␈8.␈α
On␈αλth␈α␈e␈αλo␈α␈ther␈αλh␈α␈an␈α␈d,␈α a␈α␈n␈αλa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈απbase␈α␈d␈αλo␈α␈n␈αλd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈α␈s
␈βπ@␈↓ λ!␈εεde␈α↓g␈↓ λG␈εε(␈↓ λP␈εv␈↓ λ↑␈εε)␈ε~␈␈↓ λ␈␈εεde␈α↓g␈↓ %␈εε(␈↓ .␈εr␈↓ :␈εε)␈ε~␈␈εε1
␈βπD␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αmatrices␈α
l␈α↓ik␈α␈e␈α
(21)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓2␈α␈2)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈d␈αto␈α
sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ πo␈ε #␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε r␈↓ λ⊗␈εβ)␈↓ h␈ε r␈↓ w␈εβ(␈↓
α␈ε x␈↓
∪␈εβ)␈αis␈αalway␈α␈s
␈βπh␈↓ βB␈εε(␈↓ βJ␈εεde␈α↓g␈↓ βp␈εε(␈↓ βy␈εu␈↓ ∧ ␈εε)␈ε~␈␈↓ ∧+␈εεdeg␈↓ ∧P␈εε(␈↓ ∧Y␈εv␈↓ ∧g␈εε))␈α↓(␈↓ ¬␈εεdeg␈↓ ¬&␈εε(␈↓ ¬.␈εv␈↓ ¬=␈εε)␈ε~␈␈↓ ¬↑␈εεde␈α↓g␈↓ ε∧␈εε(␈↓ ε
␈εr␈↓ ε→␈εε)␈ε~␈␈εε1)
␈βπi␈↓ εY␈εα)
␈βπl␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ β
␈ε #␈↓ β~␈εβ(␈↓ β&␈ε v␈↓ β7␈εβ)␈↓ εO␈εβ.
␈βλ#␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε c␈↓ αx␈εβ=␈↓ β$␈ε a␈↓ βK␈ε a␈↓ β{␈εβ+␈↓ ∧$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧S␈εβ+␈↓ ∧|␈ε a␈↓ ¬'␈ε a␈↓ ¬S␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ λ"␈ε c␈↓ λO␈εβ>␈α0␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ |␈ε i␈↓
λ␈εβ.␈α∂If␈↓
B␈ε c␈↓
p␈ε↔≤␈εβ␈α0
␈βλ-␈↓ αV␈εi␈↓ αa␈εj␈↓ β3␈εi␈↓ β>␈εε1␈↓ βZ␈εj␈↓ βf␈εε1␈↓ ¬␈εi␈↓ ¬↔␈εn␈↓ ¬6␈εj␈↓ ¬C␈εn␈↓ λ.␈εi␈↓ λ9␈εi␈↓
N␈εi␈↓
Y␈εj
␈βλJ␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αsome␈↓ αN␈ε i␈↓ αd␈ε↔≤␈↓ β∂␈ε j␈↓ β≡␈εβ,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αrep␈α␈lace␈αr␈α␈o␈α␈w␈↓ ¬P␈ε i␈↓ ¬h␈εβb␈α␈y␈α(␈↓ ε#␈ε a␈↓ εQ␈ε↔␈␈↓ εy␈ε c␈↓ πε␈ε a␈↓ π/␈εβ,␈↓ π=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πj␈εβ,␈↓ πy␈ε a␈↓ λ*␈ε↔␈␈↓ λS␈ε c␈↓ λ`␈ε a␈↓ ␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈↓
␈ε c␈↓
!␈εβ=␈↓
L␈ε c␈↓
n␈εβ/␈↓
␈␈ε c␈↓ #␈εβ;
␈βλU␈↓ ε2␈εi␈↓ ε=␈εε1␈↓ π⊗␈εj␈↓ π"␈εε1␈↓ λλ␈εi␈↓ λ∪␈εn␈↓ λo␈εj␈↓ λ{␈εn␈↓
X␈εi␈↓
b␈εj␈↓ ␈εj␈↓ ↔␈εj
␈βλr␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
doe␈α␈s␈α
not␈α
c␈α␈han␈α␈ge␈α
th␈α␈e␈α
va␈α␈lue␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t,␈α∞a␈α␈nd␈αi␈α↓t␈α
d␈α␈ecrea␈α␈ses␈α
the␈αvalu␈α␈e␈α
of␈α
the
␈β ∃␈↓ λ4␈εε2
␈β ~␈↓ ↓H␈εβu␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α w␈α␈e␈α
wish␈α to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ¬]␈ε c␈↓ ελ␈εβi␈α↓s␈α replac␈α␈ed␈α by␈↓ πY␈ε c␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ'␈ε c␈↓ λK␈εβ/␈↓ λ[␈ε c␈↓ λ}␈εβ.␈αTh␈α␈ese␈α
re␈α␈place␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β $␈↓ ¬i␈εi␈↓ ¬t␈εi␈↓ πe␈εi␈↓ πp␈εi␈↓ λg␈εi␈↓ λr␈εj
␈β )␈↓ λ4␈εi␈↓ λ?␈εj
␈β A␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αbe␈αdon␈α␈e␈α
in␈αa␈α
sy␈α␈stema␈α␈tic␈α
way␈αfor␈α
in␈α␈creas␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ π
␈ε i␈↓ π&␈εβan␈α␈d␈α
fo␈α␈r␈↓ λ≡␈ε j␈↓ λ9␈εβ<␈↓ λg␈ε i␈↓ λs␈εβ,␈α∞u␈α␈n␈α␈til␈↓ Z␈ε c␈↓
␈εβ=␈α0␈α
for␈αall
␈β L␈↓ f␈εi␈↓ q␈εj
␈β f␈↓ α3␈εα(
␈β i␈↓ ↓H␈ε i␈↓ ↓↑␈ε↔≤␈↓ αλ␈ε j␈↓ α↔␈εβ.␈↓ α?␈εβThe␈αλl␈α↓a␈α␈tter␈αλalgorith␈α␈m␈α is␈α c␈α␈all␈α↓e␈α␈d␈αλ\Sc␈α␈hmid␈α␈t'␈α↓s␈αλorth␈α␈ogo␈α␈na␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλpro␈α␈cess";␈α see␈ε⊂␈αλMath␈α␈.
␈β
␈↓ ¬h␈εε2␈↓ π∂␈εT
␈β
␈↓ ∧ ␈εα)
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε⊂An␈α␈na␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈ε∪␈α63␈εβ␈α
(190␈α␈7),␈α4␈α␈42␈α␈.␈↓ ∧7␈εβTh␈α␈en␈↓ ¬∞␈εβd␈α␈et␈↓ ¬<␈εβ(␈↓ ¬G␈ε A␈↓ ¬]␈εβ)␈↓ ¬}␈εβ=␈↓ ε)␈εβd␈α␈et␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε A␈↓ εx␈ε A␈↓ π!␈εβ)␈α =␈↓ π`␈ε c␈↓ λ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ7␈ε c␈↓ λd␈εβ.
␈β
≠␈↓ πl␈εε1␈α␈1␈↓ λC␈εn␈↓ λS␈εn
␈β
C␈↓ ¬{␈εm
␈β
G␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε f␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε x␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε x␈↓ βj␈εβ)␈α
=␈↓ ∧*␈ε g␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε x␈↓ ∧u␈εβ,␈↓ ¬∧␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬0␈εβ,␈↓ ¬?␈ε x␈↓ ¬←␈εβ)␈↓ ¬j␈ε x␈↓ ε~␈εβ+␈↓ εC␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εq␈εβ+␈↓ π~␈ε g␈↓ π4␈εβ(␈↓ π?␈ε x␈↓ π[␈εβ,␈↓ πj␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ⊗␈εβ,␈↓ λ%␈ε x␈↓ λE␈εβ),␈αand␈α
l␈α↓et␈↓ V␈ε g␈↓ f␈εβ(␈↓ q␈ε x␈↓
␈εβ,␈↓
≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
H␈εβ,␈↓
W␈ε x␈↓
v␈εβ)␈α
=
␈β
R␈↓ αt␈εε1␈↓ βZ␈εn␈↓ ∧7␈εm␈↓ ∧h␈εε2␈↓ ¬O␈εn␈↓ π'␈εε0␈↓ πN␈εε2␈↓ λ4␈εn␈↓
␈εε2␈↓
f␈εn
␈β
V␈↓ ¬{␈εε1
␈β
k␈↓ βλ␈εε2␈↓ ¬P␈εε2
␈β
o␈↓ ↓H␈ε g␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈ε x␈↓ α∪␈εβ,␈↓ α"␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αN␈εβ,␈↓ α]␈ε x␈↓ α⎇␈εβ)␈↓ β≤␈εβ+␈↓ βD␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βr␈εβ+␈↓ ∧~␈ε g␈↓ ∧4␈εβ(␈↓ ∧?␈ε x␈↓ ∧[␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬%␈ε x␈↓ ¬E␈εβ)␈↓ ¬\␈εβ;␈αth␈α␈e␈αlatt␈α␈er␈αis␈αno␈α␈t␈αiden␈α}tically␈αze␈α␈ro.␈αW␈α↓e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓
[␈ε a␈↓ ␈ε↔∀
␈β
y␈↓ ↓U␈εm␈↓ αε␈εε2␈↓ αl␈εn␈↓ ∧'␈εε0␈↓ ∧N␈εε2␈↓ ¬4␈εn␈↓
j␈εN
␈β∩␈↓ αe␈εn␈↓ αv␈ε~␈␈εε1
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε m␈↓ ↓e␈εβ(2␈↓ α↓␈ε N␈↓ α$␈εβ+␈α∧1␈↓ αZ␈εβ)␈↓ β ␈εβ+␈α∧(2␈↓ βa␈ε N␈↓ ∧∧␈εβ+␈α¬1␈α␈)␈↓ ∧F␈ε b␈↓ ∧i␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ ¬Z␈ε b␈↓ εε␈εβcou␈α␈n␈α␈ts␈α th␈α␈e␈α in␈α}teger␈αλsolution␈α␈s␈α o␈α␈f␈↓ <␈ε g␈↓ L␈εβ(␈↓ W␈ε x␈↓ s␈εβ,␈↓
α␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
.␈εβ,␈↓
=␈ε x␈↓
]␈εβ)␈α =␈α
0
␈β!␈↓ ∧R␈εN␈↓ ¬f␈εN␈↓ g␈εε2␈↓
M␈εn
␈β:␈↓ π}␈εn␈↓
m␈εn␈↓
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β>␈↓ ↓H␈εβwith␈α¬va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈α¬bou␈α␈nd␈α␈ed␈α¬by␈↓ ∧B␈ε N␈↓ ∧a␈εβ.␈α Hence␈↓ ¬P␈εβli␈α↓m␈↓ εN␈ε a␈↓ εu␈εβ/(2␈↓ π"␈ε N␈↓ πA␈εβ+␈α↓1␈↓ πs␈εβ)␈↓ λ_␈εβ=␈↓ λB␈εβl␈α↓im␈↓ @␈ε b␈↓ d␈εβ/(2␈↓
⊃␈ε N␈↓
0␈εβ+1␈↓
b␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βI␈↓ ¬}␈εN␈↓ ε⊗␈ε~!1␈↓ ε↑␈εN␈↓ λq␈εN␈↓ λ␈ε~!␈α↓1␈↓ L␈εN
␈βf␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αis␈αzero␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β≥␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Fo␈α␈r␈α⊃con␈α}v␈α␈en␈α␈ience␈α␈,␈α∪let␈α⊃u␈α␈s␈α⊃desc␈α␈ri␈α↓b␈α␈e␈α⊃th␈α␈e␈α⊃algo␈α␈rithm␈α⊃o␈α␈nly␈α⊂for␈↓ "␈ε A␈↓ K␈εβ=␈ε↔␈α∪f␈↓
⊂␈ε a␈↓
!␈εβ,␈↓
/␈ε b␈↓
=␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α≥The
␈βD␈↓ ↓H␈εβh␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses␈απi␈α↓m␈α␈ply␈απtha␈α␈t␈↓ ∧
␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε Q␈↓ ∧l␈ε U␈↓ ¬λ␈εβ)␈α =␈↓ ¬G␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬y␈εβ(␈↓ ε∧␈ε Q␈↓ ε&␈ε V␈↓ ε>␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α 0,␈αλan␈α␈d␈↓ π\␈εβdeg␈↓ λ∞␈εβ(␈↓ λ→␈ε Q␈↓ λ<␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ λ{␈εβde␈α␈g␈↓ -␈εβ(␈↓ 8␈ε Q␈↓ [␈εβ).␈α
If␈↓
↔␈εβd␈α␈eg␈↓
I␈εβ(␈↓
T␈ε Q␈↓
w␈εβ)␈α =
␈βO␈↓ ∧`␈εε1␈↓ ε~␈εε2␈↓ λ0␈εε1␈↓ N␈εε2␈↓
j␈εε1
␈βl␈↓ ↓H␈εβ0␈α␈,␈α
th␈α␈en␈↓ α;␈ε Q␈↓ αj␈εβis␈αjust␈αa␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αr␈α␈ation␈α␈al␈α
n␈α}um␈α}ber,␈αso␈αw␈α␈e␈αset␈↓ πz␈ε Q␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λI␈ε Q␈↓ λl␈εβ/␈↓ λ⎇␈ε Q␈↓ ␈εβ.␈α∞Oth␈α␈erwise␈αw␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βv␈↓ αQ␈εε1␈↓ λ`␈εε2␈↓ ∪␈εε1
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε Q␈↓ ↓t␈εβ=␈↓ α∨␈ε a␈↓ α0␈ε Q␈↓ αg␈εβ+␈↓ β∂␈ε b␈↓ β≥␈ε Q␈↓ βT␈εβ+␈↓ β⎇␈ε r␈↓ ∧∃␈εβ,␈↓ ∧*␈ε Q␈↓ ∧V␈εβ=␈↓ ¬↓␈ε a␈↓ ¬∩␈ε Q␈↓ ¬I␈εβ+␈↓ ¬r␈ε b␈↓ ¬␈␈ε Q␈↓ ε6␈εβ+␈↓ ε←␈ε r␈↓ εw␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πl␈ε r␈↓ λ⊂␈εβan␈α␈d␈↓ λQ␈ε r␈↓ λu␈εβare␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers;
␈β
≡␈↓ ↓↑␈εε1␈↓ αF␈εε1␈α␈1␈↓ β3␈εε1␈α␈2␈↓ ∧λ␈εε1␈↓ ∧@␈εε2␈↓ ¬(␈εε2␈α␈1␈↓ ε∃␈εε22␈↓ εk␈εε2␈↓ πx␈εε1␈↓ λ]␈εε2
␈β
;␈↓ ↓H␈εβit␈αfollo␈α␈ws␈αth␈α␈at
␈β∞
␈↓ αf␈ε Q␈↓ β ␈ε U␈↓ β+␈ε↔␈␈↓ βT␈ε Q␈↓ βw␈ε V␈↓ ∧_␈εβ=␈↓ ∧C␈ε a␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε Q␈↓ ¬∞␈ε U␈↓ ¬0␈ε↔␈␈↓ ¬Y␈ε Q␈↓ ελ␈ε V␈↓ ε ␈εβ)␈απ+␈↓ ε[␈ε b␈↓ εh␈εβ(␈↓ εt␈ε Q␈↓ π#␈ε U␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ πn␈ε Q␈↓ λ≡␈ε V␈↓ λ5␈εβ)␈αλ+␈↓ λq␈ε r␈↓ ␈ε U␈↓ ,␈ε↔␈␈↓ T␈ε r␈↓ m␈ε V␈↓
¬␈εβ.
␈β∞_␈↓ α|␈εε1␈↓ βj␈εε2␈↓ ∧t␈εε11␈↓ ¬o␈εε21␈↓ π
␈εε1␈α␈2␈↓ λ∧␈εε22␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ `␈εε2
␈β∞`␈↓ ↓H␈εβWe␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈↓ β}␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε Q␈↓ ∧j␈εβ)␈α
=␈↓ ¬)␈εβdeg␈↓ ¬[␈εβ(␈↓ ¬f␈ε Q␈↓ ε ␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α or␈↓ π∧␈εβd␈α␈eg␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε Q␈↓ πp␈εβ)␈α
=␈↓ λ/␈εβdeg␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε Q␈↓ ∂␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α␈.␈αIn␈α
th␈α␈e␈α
forme␈α␈r
␈β∞k␈↓ ∧Q␈εε11␈↓ ¬⎇␈εε1␈↓ πW␈εε12␈↓ β␈εε1
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase,␈↓ α↔␈εβde␈α␈g␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε Q␈↓ β∧␈ε U␈↓ β&␈ε↔␈␈↓ βN␈ε Q␈↓ β}␈ε V␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α <␈↓ ∧T␈εβdeg␈↓ ¬ε␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε Q␈↓ ¬A␈ε U␈↓ ¬\␈εβ),␈αby␈α
con␈α␈si␈α↓d␈α␈ering␈α
the␈α
terms␈αo␈α␈f␈αhigh␈α␈est␈αd␈α␈egree␈α
tha␈α␈t
␈β∂∩␈↓ αj␈εε11␈↓ βe␈εε2␈α␈1␈↓ ¬(␈εε1␈α␈1
␈β∂/␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rt␈αwith␈↓ αc␈ε a␈↓ αs␈εβ;␈αso␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αr␈α␈eplac␈α␈e␈α(␈↓ ¬'␈ε Q␈↓ ¬J␈εβ,␈↓ ¬Y␈ε Q␈↓ ¬|␈εβ)␈αby␈α
(␈↓ εM␈ε Q␈↓ ε⎇␈εβ,␈↓ π␈ε Q␈↓ π;␈εβ)␈αan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈β∂:␈↓ ¬>␈εε1␈↓ ¬o␈εε2␈↓ εc␈εε12␈↓ π"␈εε2␈α␈2
␈β∂X␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂W␈α↓e␈α
ma␈α␈y␈α
assu␈α␈me␈α
that␈↓ ¬β␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε U␈↓ ¬[␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈↓ ε~␈εβde␈α␈g␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε V␈↓ εo␈εβ).␈αIf␈↓ π/␈εβd␈α␈eg␈↓ πa␈εβ(␈ε R␈εβ)␈ε↔␈α ∃␈↓ λB␈εβd␈α␈eg␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε V␈↓ ↔␈εβ),␈αn␈α␈ote␈α
tha␈α␈t␈↓
G␈ε Q␈↓
i␈ε U␈↓ ␈ε↔␈
␈β∂c␈↓
]␈εε1
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε Q␈↓ ↓j␈ε V␈↓ α␈εβ=␈↓ α6␈ε Q␈↓ αY␈ε R␈ε↔␈απ␈␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε Q␈↓ βU␈ε↔␈␈↓ β⎇␈ε Q␈↓ ∧ ␈ε Q␈↓ ∧8␈εβ)␈↓ ∧C␈ε V␈↓ ∧f␈εβh␈α␈as␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αless␈αth␈α␈an␈↓ π∩␈εβde␈α␈g␈↓ πD␈εβ(␈↓ πO␈ε V␈↓ πg␈εβ)␈ε↔␈α ∀␈↓ λ&␈εβd␈α␈eg␈↓ λX␈εβ(␈↓ λc␈ε Q␈↓ ε␈ε R␈εβ),␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
rep␈α␈ea␈α␈t
␈β⊂
␈↓ ↓↑␈εε2␈↓ αL␈εε1␈↓ βA␈εε2␈↓ ∧∪␈εε1␈↓ λy␈εε1
␈β⊂#␈↓ π↑␈ε~0␈↓ λG␈ε~0␈↓
)␈ε~0␈↓ ≥␈ε~0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
pro␈α␈cess␈α
wi␈α↓th␈↓ βG␈ε U␈↓ βo␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
b␈α␈y␈ε ␈α
R␈εβ;␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈ε ␈αR␈εβ␈α∞=␈↓ πF␈ε Q␈↓ πd␈ε V␈↓ λ¬␈εβ+␈↓ λ/␈ε R␈↓ λM␈εβ,␈↓ λd␈ε U␈↓ ␈εβ=␈α∞(␈↓ F␈ε Q␈↓ g␈εβ+␈↓
⊃␈ε Q␈↓
0␈εβ)␈↓
;␈ε V␈↓
\␈εβ+␈↓ ε␈ε R␈↓ #␈εβ,
␈β⊂K␈↓ α|␈ε~0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈εβd␈α␈eg␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε R␈↓ βα␈εβ)␈α
<␈↓ βA␈εβdeg␈↓ βs␈εβ(␈ε R␈εβ),␈αso␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α
a␈αsolutio␈α␈n␈αwil␈α↓l␈αb␈α␈e␈αob␈α␈tained␈α␈.
␈β⊂w␈↓ α␈εβ(c)␈α⊃Th␈α␈e␈α
algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α
of␈α
(b)␈α
giv␈α␈es␈↓ ¬G␈ε V␈↓ ¬o␈εβ=␈↓ ε~␈ε U␈↓ ε5␈ε V␈↓ εZ␈εβ+␈ε ␈απR␈εβ,␈↓ π-␈εβd␈α␈eg␈↓ π←␈εβ(␈ε R␈εβ)␈α <␈↓ λ@␈εβd␈α␈eg␈↓ λr␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε V␈↓ ≤␈εβ);␈αb␈α␈y␈α
ho␈α␈mog␈α␈ene␈α␈i␈α↓ty␈α␈,
␈β⊃α␈↓ ¬Y␈εε1␈↓ εG␈εε2␈↓ ∂␈εε2
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε R␈εβ␈α =␈α
0␈α
an␈α␈d␈↓ αo␈ε U␈↓ β∃␈εβi␈α↓s␈αh␈α␈omo␈α␈gen␈α␈eou␈α␈s.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα594␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.6.1
␈βα*␈↓ α␈εβ(d)␈α⊂W␈α↓e␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ ¬ε␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬C␈ε V␈↓ ¬Z␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ε→␈εβdeg␈↓ εK␈εβ(␈↓ εV␈ε U␈↓ εr␈εβ).␈αIf␈↓ π2␈εβdeg␈↓ πd␈εβ(␈↓ πo␈ε V␈↓ λπ␈εβ)␈α
=␈α 0,␈αset␈↓ ∨␈ε W␈↓ I␈ε↔ ␈↓ t␈ε U␈↓
∂␈εβ;␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈βαR␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈α(␈α↓c␈α␈)␈α
to␈α|n␈α␈d␈↓ β"␈ε U␈↓ βI␈εβ=␈↓ βv␈ε Q␈↓ ∧∞␈ε V␈↓ ∧&␈εβ,␈α
so␈αtha␈α␈t␈↓ ¬0␈ε Q␈↓ ¬H␈ε V␈↓ ¬`␈ε V␈↓ εβ␈εβ=␈↓ ε0␈ε V␈↓ εH␈ε Q␈↓ ε`␈ε V␈↓ εx␈εβ,␈α
(␈↓ π→␈ε Q␈↓ π1␈ε V␈↓ πQ␈ε↔␈␈↓ π{␈ε V␈↓ λ∪␈ε Q␈↓ λ+␈εβ)␈↓ λ6␈ε V␈↓ λY␈εβ=␈α0.␈α⊂Th␈α␈i␈α↓s␈αimplies␈αtha␈α␈t
␈βαy␈↓ ↓H␈ε Q␈↓ ↓`␈ε V␈↓ α↓␈εβ=␈↓ α+␈ε V␈↓ αC␈ε Q␈↓ α[␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
set␈↓ ∧:␈ε U␈↓ ∧←␈ε↔ ␈↓ ¬ ␈ε V␈↓ ¬!␈εβ,␈↓ ¬5␈ε V␈↓ ¬V␈ε↔ ␈↓ ε↓␈ε Q␈↓ ε$␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈ββ!␈↓ α␈εβFor␈α⊃furth␈α␈er␈α⊃de␈α␈tails␈α∩a␈α␈bo␈α␈ut␈α⊃the␈α⊃su␈α␈bje␈α␈ct␈α⊃of␈α⊃this␈α⊃ex␈α␈e␈α␈rcise,␈α∪see␈α⊃P.␈α∩M␈α␈.␈α∩Co␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈α∪P␈α↓ro␈α␈c.
␈ββI␈↓ ↓H␈ε⊂Ca␈α␈m␈α␈br␈α␈i␈α↓d␈α␈ge␈α∂Phil.␈α∂Soc␈α␈.␈ε∪␈α⊂5␈α␈7␈εβ␈α∂(196␈α␈1),␈α⊂18↑␈α␈30.␈α↔The␈α∞con␈α␈si␈α↓d␈α␈era␈α␈bly␈α∂mo␈α␈re␈α∂di}c␈α␈ult␈α∂pro␈α␈blem␈α∂o␈α␈f
␈ββp␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hara␈α␈cterizin␈α␈g␈ε⊂␈α
all␈εβ␈α
string␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
such␈αtha␈α␈t␈↓ πβ␈ε U␈↓ π≡␈ε V␈↓ πB␈εβ=␈↓ πp␈ε V␈↓ λλ␈ε U␈↓ λ0␈εβha␈α␈s␈α
be␈α␈en␈α
so␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈αby␈αG.␈α∞M␈α␈.
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβBerg␈α␈man␈α
[P␈α↓h␈α␈.␈α↓D␈α␈.␈αth␈α␈esis,␈αHa␈α␈rva␈α␈rd␈αUn␈α␈i␈α↓v␈α}ersity,␈α19␈α␈67].
␈β∧G␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[P␈α↓.␈αM.␈αCo␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈αTra␈α␈nsac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αAme␈α␈r.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α10␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈63),␈α332␈α␈↑3␈α␈56.]
␈β∧n␈↓ π/␈ε~0␈↓ λ←␈ε~0␈↓ Q␈ε~0␈↓
u␈ε~0
␈β∧r␈↓ ↓M␈ε∪C1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αC␈ε u␈↓ αl␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε U␈↓ β9␈εβ,␈↓ βL␈ε u␈↓ βu␈ε↔ ␈↓ ∧∨␈ε U␈↓ ∧A␈εβ,␈↓ ∧T␈ε v␈↓ ∧y␈ε↔ ␈↓ ¬#␈ε V␈↓ ¬B␈εβ,␈↓ ¬U␈ε v␈↓ ¬z␈ε↔ ␈↓ ε$␈ε V␈↓ εC␈εβ,␈↓ εV␈ε z␈↓ εw␈ε↔ ␈↓ π"␈ε z␈↓ πE␈ε↔ ␈↓ πp␈ε w␈↓ λ≤␈ε↔ ␈↓ λF␈ε w␈↓ λu␈ε↔ ␈εβ␈α 1,␈↓ C␈ε z␈↓ f␈ε↔ ␈↓
⊃␈ε z␈↓
2␈ε↔ ␈↓
]␈ε w␈↓ ␈ε↔
␈β∧⎇␈↓ αW␈εε1␈↓ β,␈εε1␈↓ β←␈εε2␈↓ ∧5␈εε2␈↓ ∧c␈εε1␈↓ ¬6␈εε1␈↓ ¬d␈εε2␈↓ ε7␈εε2␈↓ εa␈εε1␈↓ λε␈εε1␈↓
≤␈εε2
␈β¬↓␈↓ π/␈εε2␈↓ λ←␈εε2␈↓ Q␈εε1␈↓
u␈εε1
␈β¬~␈↓ α␈ε w␈↓ α8␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ βλ␈ε n␈↓ β%␈ε↔ ␈εβ␈α 0.
␈β¬$␈↓ α"␈εε2
␈β¬E␈↓ ↓M␈ε∪C2.␈↓ α␈εβ(At␈α t␈α␈his␈α p␈α␈oin␈α␈t␈αλth␈α␈e␈αλi␈α↓d␈α␈en␈α␈tities␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλi␈α↓n␈απthe␈αλex␈α}ercise␈αλho␈α␈l␈α↓d␈α␈,␈α and␈απalso␈↓ ⊂␈ε u␈↓ 0␈ε v␈↓ U␈εβ=␈↓ ␈␈ε u␈↓
∨␈ε v␈↓
:␈εβ;␈↓
M␈ε v␈↓
q␈εβ=␈α
0
␈β¬P␈↓ #␈εε1␈↓ ?␈εε1␈↓
∩␈εε1␈↓
.␈εε2␈↓
[␈εε2
␈β¬m␈↓ α␈εβif␈α
and␈α on␈α␈l␈α↓y␈α if␈↓ βR␈ε u␈↓ β{␈εβ=␈α 0.)␈α↔If␈↓ ¬↓␈ε v␈↓ ¬&␈εβ=␈α 0,␈α
the␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α termina␈α␈tes␈α
with␈α
gc␈α␈rd(␈↓ |␈ε V␈↓
≠␈εβ,␈↓
*␈ε V␈↓
I␈εβ)␈α =␈↓ λ␈ε v␈↓ #␈εβ,
␈β¬w␈↓ βe␈εε1␈↓ ¬⊂␈εε2␈↓
∞␈εε1␈↓
<␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βε⊂␈↓ βo␈ε~0␈↓ ∧}␈ε~0
␈βε∀␈↓ α␈εβlclm(␈↓ αT␈ε V␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈ε V␈↓ β!␈εβ)␈α
=␈↓ βa␈ε z␈↓ β{␈ε V␈↓ ∧$␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧q␈ε z␈↓ ¬␈ε V␈↓ ¬*␈εβ.␈α~(Also,␈αb␈α␈y␈αsym␈α␈metry␈α␈,␈αgc␈α␈l␈α↓d␈α␈(␈↓ λI␈ε U␈↓ λk␈εβ,␈↓ λz␈ε U␈↓ ≤␈εβ)␈α
=␈↓ \␈εβlclm␈↓
→␈εβ(␈↓
$␈ε U␈↓
F␈εβ,␈↓
T␈ε U␈↓
v␈εβ)␈α
=
␈βε∨␈↓ αg␈εε1␈↓ β∃␈εε2␈↓ ∧∞␈εε1␈↓ ¬≥␈εε2␈↓ λ←␈εε1␈↓ ∂␈εε2␈↓
9␈εε1␈↓
j␈εε2
␈βε#␈↓ βo␈εε1␈↓ ∧}␈εε2
␈βε<␈↓ α␈ε U␈↓ α.␈ε w␈↓ αZ␈εβ=␈ε↔␈α ␈␈↓ β&␈ε U␈↓ βH␈ε w␈↓ βj␈εβ.␈α↓)
␈βεF␈↓ α!␈εε1␈↓ αD␈εε1␈↓ β;␈εε2␈↓ β↑␈εε2
␈βεd␈↓
≥␈εα(
␈βεg␈↓ ↓M␈ε∪C3.␈↓ α␈εβFind␈↓ α`␈ε Q␈↓ βλ␈εβa␈α␈nd␈ε ␈α∂R␈εβ␈α∂such␈α∂th␈α␈at␈↓ ¬⊂␈ε v␈↓ ¬<␈εβ=␈↓ ¬n␈ε Q␈↓ εε␈ε v␈↓ ε,␈εβ+␈ε ␈α
R␈εβ␈α↓,␈α⊂where␈↓ πm␈εβde␈α␈g␈↓ λ∨␈εβ(␈ε R␈εβ)␈α⊃<␈↓ ∂␈εβd␈α␈eg␈↓ A␈εβ(␈↓ L␈ε v␈↓ g␈εβ).␈↓
)␈εβW␈α↓e␈α∂h␈α␈av␈α␈e
␈βεr␈↓ ¬∨␈εε1␈↓ ε∃␈εε2␈↓ [␈εε2
␈βπ␈↓ πW␈ε~0
␈βπ␈↓ λα␈εα)
␈βπ∂␈↓ α␈ε u␈↓ α,␈εβ(␈↓ α7␈ε Q␈↓ αO␈ε v␈↓ αr␈εβ+␈ε ␈απR␈εβ)␈α
=␈↓ βp␈ε u␈↓ ∧⊂␈ε v␈↓ ∧+␈εβ,␈αso␈↓ ∧h␈ε u␈↓ ¬λ␈ε R␈εβ␈α
=␈α (␈↓ ¬↑␈ε u␈↓ ε¬␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε u␈↓ εN␈ε Q␈↓ εf␈εβ)␈↓ εq␈ε v␈↓ π∃␈εβ=␈↓ π@␈ε R␈↓ π]␈ε v␈↓ πy␈εβ.
␈βπ→␈↓ α∨␈εε1␈↓ α↑␈εε2␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧∨␈εε2␈↓ ∧|␈εε1␈↓ ¬q␈εε2␈↓ εA␈εε1␈↓ π␈εε2␈↓ πl␈εε2
␈βπ6␈↓ βU␈ε~0␈↓ ∧∞␈ε~0␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓ ¬@␈ε~0␈↓ πs␈ε~0␈↓ ∀␈ε~0␈↓ ↔␈ε~0
␈βπ:␈↓ ↓M␈ε∪C4.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈α
(␈↓ αO␈ε w␈↓ αr␈εβ,␈↓ βε␈ε w␈↓ β(␈εβ,␈↓ β<␈ε w␈↓ βa␈εβ,␈↓ βu␈ε w␈↓ ∧~␈εβ,␈↓ ∧.␈ε z␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬∧␈ε z␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬2␈ε z␈↓ ¬L␈εβ,␈↓ ¬`␈ε u␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε∪␈ε u␈↓ ε3␈εβ,␈↓ εF␈ε v␈↓ εb␈εβ,␈↓ εu␈ε v␈↓ π⊂␈εβ)␈ε↔␈α
␈εβ␈α (␈↓ πZ␈ε w␈↓ λε␈ε↔␈␈↓ λ-␈ε w␈↓ λP␈ε Q␈↓ λh␈εβ,␈↓ λ{␈ε w␈↓ '␈ε↔␈␈↓ N␈ε w␈↓ q␈ε Q␈↓
␈εβ,␈↓
≤␈ε w␈↓
?␈εβ,␈↓
S␈ε w␈↓
u␈εβ,␈↓ ␈ε z␈↓ #␈εβ,
␈βπE␈↓ αf␈εε1␈↓ β≤␈εε2␈↓ ∧9␈εε1␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ¬s␈εε1␈↓ ε&␈εε2␈↓ εU␈εε1␈↓ π∧␈εε2␈↓ λC␈εε1␈↓ d␈εε2␈↓
2␈εε1␈↓
i␈εε2
␈βπI␈↓ βU␈εε1␈↓ ∧∞␈εε2␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ¬@␈εε2␈↓ πs␈εε1␈↓ ∀␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βπ↑␈↓ α~␈ε~0␈↓ β≥␈ε~0␈↓ ∧!␈ε~0
␈βπb␈↓ α␈ε z␈↓ α&␈εβ,␈↓ α8␈ε z␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ αx␈ε Q␈↓ β⊂␈ε z␈↓ β*␈εβ,␈↓ β<␈ε z␈↓ βW␈ε↔␈␈↓ β{␈ε Q␈↓ ∧∪␈ε z␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧?␈ε u␈↓ ∧b␈ε↔␈␈↓ ¬π␈ε u␈↓ ¬'␈ε Q␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬P␈ε u␈↓ ¬p␈εβ,␈↓ εα␈ε v␈↓ ε≥␈εβ,␈↓ ε/␈ε v␈↓ εN␈ε↔␈␈↓ εr␈ε Q␈↓ π
␈ε v␈↓ π%␈εβ)␈αλand␈↓ πv␈ε n␈↓ λ∪␈ε↔ ␈↓ λ>␈ε n␈↓ λU␈εβ+␈αβ1.␈α
Go␈αλb␈α␈ack␈απto␈αλC2␈α␈.
␈βπd␈↓ ~␈∧πd~≠∂
␈βπl␈↓ αC␈εε1␈↓ βG␈εε2␈↓ ∧S␈εε2␈↓ ¬~␈εε1␈↓ ¬d␈εε1␈↓ ε⊃␈εε2␈↓ ε>␈εε1␈↓ π→␈εε2
␈βπq␈↓ α~␈εε2␈↓ β≥␈εε1␈↓ ∧!␈εε2
␈βλ⊃␈↓ α␈εβThis␈α
ex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αi␈α↓n␈α␈clud␈α␈es␈α
mos␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈α
the␈α
fea␈α␈tures␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
seen
␈βλ8␈↓ ↓H␈εβin␈α
pre␈α␈viou␈α␈s␈αex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈ns,␈αa␈α␈l␈α↓l␈αa␈α␈t␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αtime␈α␈,␈αso␈αit␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈ides␈α
new␈α
i␈α↓n␈α␈sigh␈α␈t␈α
in␈α␈to␈α
the␈α
spe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈βλ`␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ases␈αalread␈α␈y␈αcon␈α␈sidered␈α␈.␈α
To␈αpro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αv␈α␈alid,␈αn␈α␈ote␈α|rst␈αtha␈α␈t␈αd␈α␈eg(␈↓ N␈ε v␈↓ i␈εβ)␈αd␈α␈ecrea␈α␈ses␈αin
␈βλk␈↓ ]␈εε2
␈β λ␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈α C4␈α␈,␈α
so␈α th␈α␈e␈α algo␈α␈rithm␈α c␈α␈ertain␈α␈l␈α↓y␈αλtermin␈α␈ates.␈α
A␈α↓t␈αλthe␈α co␈α␈nc␈α␈l␈α↓u␈α␈sion␈α o␈α␈f␈α the␈α a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m,␈↓
r␈ε v␈↓ ⊗␈εβis
␈β ∩␈↓ ↓␈εε1
␈β +␈↓ πa␈εn␈↓
3␈εn
␈β /␈↓ ↓H␈εβa␈αλco␈α␈mmon␈αλrigh␈α}t␈α d␈α␈ivisor␈αλof␈↓ ∧A␈ε V␈↓ ∧i␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬'␈ε V␈↓ ¬F␈εβ,␈α si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε'␈ε w␈↓ εJ␈ε v␈↓ εo␈εβ=␈α (␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πV␈εβ)␈↓ πr␈ε V␈↓ λ→␈εβan␈α␈d␈ε↔␈α ␈␈↓ λy␈ε w␈↓ ≤␈ε v␈↓ @␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓
(␈εβ)␈↓
C␈ε V␈↓
b␈εβ;␈α
also
␈β :␈↓ ∧S␈εε1␈↓ ¬9␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εY␈εε1␈↓ λ∧␈εε1␈↓ ∂␈εε2␈↓ *␈εε1␈↓
V␈εε2
␈β W␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε d␈↓ α¬␈εβis␈αa␈α␈n␈α␈y␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αrigh␈α␈t␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈or␈αof␈↓ ¬R␈ε V␈↓ ¬|␈εβan␈α␈d␈↓ ε=␈ε V␈↓ ε\␈εβ,␈αit␈αi␈α↓s␈αa␈αrigh␈α}t␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ 5␈ε z␈↓ M␈ε V␈↓ t␈εβ+␈↓
≤␈ε z␈↓
4␈ε V␈↓
]␈εβ=␈↓ λ␈ε v␈↓ #␈εβ.
␈β a␈↓ ¬d␈εε1␈↓ εP␈εε2␈↓ @␈εε1␈↓ ←␈εε1␈↓
(␈εε2␈↓
G␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β }␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈↓ α+␈ε v␈↓ αQ␈εβ=␈↓ α⎇␈εβg␈α␈crd␈↓ β<␈εβ(␈↓ βG␈ε V␈↓ βf␈εβ,␈↓ βu␈ε V␈↓ ∧∀␈εβ).␈α∞Also␈αif␈↓ ¬!␈ε m␈↓ ¬J␈εβis␈αan␈α␈y␈αcom␈α␈mon␈αleft␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ ~␈ε V␈↓ E␈εβand␈↓
π␈ε V␈↓
&␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay
␈β
␈↓ α9␈εε1␈↓ βY␈εε1␈↓ ∧π␈εε2␈↓ -␈εε1␈↓
~␈εε2
␈β
&␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈e␈αwitho␈α␈ut␈αlos␈α␈s␈αof␈αg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓ty␈α
th␈α␈at␈↓ ¬}␈ε m␈↓ ε$␈εβ=␈↓ εO␈ε U␈↓ εq␈ε V␈↓ π→␈εβ=␈↓ πD␈ε U␈↓ πe␈ε V␈↓ λ∧␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α
of␈αv␈α␈alue␈α␈s
␈β
1␈↓ εd␈εε1␈↓ πβ␈εε1␈↓ πY␈εε2␈↓ πx␈εε2
␈β
I␈↓ πT␈εn␈↓ λ>␈ε~0␈↓ p␈εn␈↓
9␈ε~0
␈β
N␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε Q␈↓ α⊃␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈α
dep␈α␈en␈α␈d␈αo␈α␈n␈↓ ∧6␈ε U␈↓ ∧b␈εβan␈α␈d␈↓ ¬#␈ε U␈↓ ¬D␈εβ.␈αHe␈α␈nce␈↓ ε:␈ε m␈↓ εa␈εβ=␈α (␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πH␈εβ)␈↓ πd␈εβ(␈ε↔␈␈↓ λ⊂␈ε u␈↓ λ0␈ε z␈↓ λJ␈εβ)␈↓ λU␈ε V␈↓ λ}␈εβ=␈α (␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ e␈εβ)␈↓
↓␈εβ(␈↓
␈ε u␈↓
,␈ε z␈↓
F␈εβ)␈↓
Q␈ε V␈↓
{␈εβis␈αa
␈β
X␈↓ ∧K␈εε1␈↓ ¬8␈εε2␈↓ λ#␈εε2␈↓ λh␈εε1␈↓
∨␈εε2␈↓
d␈εε2
␈β
]␈↓ λ>␈εε1␈↓
9␈εε2
␈β
q␈↓ α␈␈ε~0
␈β
u␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiple␈αof␈↓ αq␈ε z␈↓ β␈ε V␈↓ β*␈εβ.
␈β␈↓ β≡␈εε1
␈β∧␈↓ α␈␈εε1
␈β≥␈↓ α␈εβIn␈α
pra␈α␈ctice,␈α∞i␈α↓f␈α
w␈α␈e␈α∞ju␈α␈st␈α∞wan␈α}t␈α∞to␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulate␈α
gcr␈α␈d(␈↓ π3␈ε V␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε V␈↓ λ␈εβ),␈α∂w␈α␈e␈α
may␈α
su␈α␈pp␈α␈ress␈α
the␈α
com␈α␈-
␈β'␈↓ πF␈εε1␈↓ πs␈εε2
␈β@␈↓ ∧+␈ε~0␈↓ ∧f␈ε~0␈↓ ¬q␈ε~0␈↓ ε!␈ε~0
␈βD␈↓ ↓H␈εβp␈α␈uta␈α␈tion␈αo␈α␈f␈↓ αx␈ε n␈↓ β␈εβ,␈↓ β!␈ε w␈↓ βD␈εβ,␈↓ βZ␈ε w␈↓ β|␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε w␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧M␈ε w␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬λ␈ε z␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬5␈ε z␈↓ ¬M␈εβ,␈↓ ¬c␈ε z␈↓ ¬⎇␈εβ,␈↓ ε∪␈ε z␈↓ ε-␈εβ.␈α∂Th␈α␈ese␈αad␈α␈dition␈α␈al␈αqu␈α␈an␈α␈tities␈αw␈α␈ere␈αa␈α␈dd␈α␈ed␈αto
␈βO␈↓ β7␈εε1␈↓ βp␈εε2␈↓ ¬∪␈εε1␈↓ ¬A␈εε2
␈βS␈↓ ∧+␈εε1␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ¬q␈εε1␈↓ ε!␈εε2
␈βl␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αp␈α␈rimarily␈αto␈αm␈α␈ak␈α␈e␈α
i␈α↓ts␈αv␈α␈alidity␈αm␈α␈ore␈αrea␈α␈dily␈αesta␈α␈blishe␈α␈d.
␈β∀␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∂No␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈α␈s␈α
of␈αstring␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials,␈α
such␈αa␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
ex␈α␈amp␈α␈le␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈β;␈↓ ↓H␈εβwith␈α
this␈αex␈α␈e␈α␈rcise,␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈α
from␈αma␈α␈trix␈αiden␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈αsuch␈α
as
␈βg␈↓ ↓i␈ε↓∩␈↓ αw␈ε↓∪␈↓ β
␈ε↓∩␈↓ ∧≠␈ε↓∪␈↓ ∧1␈ε↓∩␈↓ ¬?␈ε↓∪␈↓ ¬U␈ε↓∩␈↓ ε↑␈ε↓∪␈↓ εt␈ε↓∩␈↓ π⎇␈ε↓∪␈↓ λ∪␈ε↓∩␈↓ ≠␈ε↓∪␈↓ e␈ε↓∩␈↓
l␈ε↓∪
␈βn␈↓ αβ␈ε a␈↓ αc␈εβ1␈↓ β(␈ε b␈↓ ∧π␈εβ1␈↓ ∧M␈ε c␈↓ ¬+␈εβ1␈↓ ¬o␈εβ0␈↓ εJ␈εβ1␈↓ π∞␈εβ0␈↓ πh␈εβ1␈↓ λ,␈εβ0␈↓ π␈εβ1␈↓ ␈␈εβ1␈↓
X0
␈β
∧␈↓ ;␈εβ=␈↓ α␈εβ,
␈β
≠␈↓ αβ␈εβ1␈↓ αc␈εβ0␈↓ β'␈εβ1␈↓ ∧π␈εβ0␈↓ ∧K␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0␈↓ ¬o␈εβ1␈↓ ε*␈ε↔␈␈↓ εK␈ε c␈↓ π∞␈εβ1␈↓ πI␈ε↔␈␈↓ πj␈ε b␈↓ λ,␈εβ1␈↓ λf␈ε↔␈␈↓ π␈ε a␈↓ ␈␈εβ0␈↓
X1
␈β
L␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈i␈α↓s␈αide␈α␈n␈α␈tities␈αho␈α␈l␈α↓d␈α
ev␈α␈e␈α␈n␈αwh␈α␈en␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αis␈αn␈α␈ot␈αcom␈α␈m␈α␈uta␈α␈tiv␈α␈e.␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈β
␈␈↓ βh␈εβ(␈↓ βt␈ε a␈↓ ∧∧␈ε b␈↓ ∧⊃␈ε c␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧N␈ε a␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬∂␈ε c␈↓ ¬≤␈εβ)(1␈απ+␈↓ ¬s␈ε b␈↓ ε␈ε a␈↓ ε⊂␈εβ)␈α
=␈α (␈↓ εZ␈ε a␈↓ εk␈ε b␈↓ ε␈␈εβ+␈αλ1)(␈↓ πO␈ε c␈↓ π\␈ε b␈↓ πi␈ε a␈↓ λ↓␈εβ+␈↓ λ*␈ε a␈↓ λB␈εβ+␈↓ λj␈ε c␈↓ λw␈εβ).
␈β∞2␈↓ ↓H␈εβ(Co␈α␈mpa␈α␈re␈αth␈α␈i␈α↓s␈αwith␈αth␈α␈e␈α\c␈α␈on␈α␈tin␈α}uan␈α}t␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials"␈αof␈αS␈α␈ection␈α
4.5.3.)
␈β∞a␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[Cf.␈α⊂Eug␈↓ β␈εβ␈
␈↓ β
␈εβe␈↓ β≠␈εβne␈α∂Cah␈α␈en,␈ε⊂␈α⊃Th␈↓ ∧o␈ε⊂∞␈↓ ∧o␈ε⊂e␈↓ ∧}␈ε⊂orie␈α⊂d␈α␈es␈α⊂N␈α␈om␈α␈b␈α␈res␈ε∪␈α⊂1␈εβ␈α∂(P␈α↓a␈α␈ri␈α↓s:␈α∀A.␈α⊂Herma␈α␈nn␈α∂&␈α⊂|␈α␈ls,␈α⊃191␈α␈4),
␈β∂ ␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈36↑␈α␈338␈↓ α<␈εβ.]␈α→If␈αsu␈α␈ch␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
ex␈α␈i␈α↓sts,␈↓ ¬}␈ε D␈↓ ε!␈εβis␈αa␈α
gcrd␈α
b␈α␈y␈αth␈α␈e␈α
argu␈α␈men␈α}t␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
18␈α␈.␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβu␈α␈s␈αrega␈α␈rd␈↓ αZ␈ε A␈↓ α{␈εβan␈α␈d␈↓ β<␈ε B␈↓ β]␈εβas␈αa␈α
si␈α↓n␈α␈gle␈α2␈↓ ¬∂␈ε n␈↓ ¬*␈ε↔α␈↓ ¬S␈ε n␈↓ ¬r␈εβm␈α␈atrix␈↓ ε←␈ε C␈↓ π¬␈εβwh␈α␈ose␈α|␈α␈rst␈↓ λ+␈ε n␈↓ λJ␈εβro␈α␈ws␈αare␈αt␈α␈hose␈α
of␈↓
L␈ε A␈↓
b␈εβ,␈αa␈α␈nd
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ose␈α secon␈α␈d␈↓ β∩␈ε n␈↓ β0␈εβro␈α␈ws␈α
a␈α␈re␈α
th␈α␈ose␈α of␈↓ ¬-␈ε B␈↓ ¬C␈εβ.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈α␈,␈↓ εn␈ε P␈↓ π∂␈εβan␈α␈d␈↓ πN␈ε Q␈↓ πp␈εβcan␈α b␈α␈e␈α
co␈α␈m␈α␈bine␈α␈d␈α
in␈α}to␈α
a␈α 2␈↓
X␈ε n␈↓
r␈ε↔α␈↓ _␈ε n
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈ε ␈α
R␈εβ␈α↓;␈↓ α`␈ε X␈↓ βε␈εβan␈α␈d␈↓ βG␈ε Y␈↓ βj␈εβca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α}to␈αa␈α␈n␈↓ εY␈ε n␈↓ εt␈ε↔α␈εβ␈απ2␈↓ π-␈ε n␈↓ πK␈εβmatrix␈↓ λ8␈ε Z␈↓ λO␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αd␈α␈esired␈α
con␈α␈dition␈α␈s
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈α␈w␈αλred␈α␈uce␈αλto␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλequ␈α␈ation␈α␈s␈↓ ∧c␈ε C␈↓ ¬λ␈εβ=␈ε ␈α R␈↓ ¬I␈ε D␈↓ ¬b␈εβ,␈↓ ¬t␈ε D␈↓ ε⊗␈εβ=␈↓ εA␈ε Z␈↓ εX␈ε C␈↓ εs␈εβ.␈α
I␈α↓f␈αλw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈αλ|n␈α␈d␈αλa␈απ2␈↓ λv␈ε n␈↓ ∞␈ε↔α␈εβ␈αβ2␈↓ C␈ε n␈↓ ←␈εβi␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈αλmatrix
␈β⊂K␈↓ π9␈ε~␈␈εε1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε U␈↓ ↓m␈εβo␈α␈f␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈ε↔␈α ε␈εβ␈α↓1␈α suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈α the␈α l␈α↓a␈α␈st␈↓ ε∂␈ε n␈↓ ε-␈εβro␈α}ws␈α
of␈↓ π≡␈ε U␈↓ π←␈ε C␈↓ λβ␈εβare␈α all␈α
zero,␈α
th␈α␈en␈ε ␈α R␈εβ␈α
=␈α (|rst␈↓ _␈ε n
␈β⊂r␈↓ ¬a␈ε~␈␈εε1␈↓ λ{␈ε~␈␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈olumn␈α␈s␈αλof␈↓ αj␈ε U␈↓ β¬␈εβ),␈↓ β"␈ε D␈↓ βE␈εβ=␈α (|rst␈↓ ∧<␈ε n␈↓ ∧X␈εβro␈α}w␈α↓s␈αλo␈α␈f␈↓ ¬E␈ε U␈↓ εε␈ε C␈↓ ε!␈εβ),␈↓ ε>␈ε Z␈↓ ε←␈εβ=␈α (␈α↓|␈α␈rst␈↓ πV␈ε n␈↓ πr␈εβro␈α␈ws␈αλof␈↓ λ`␈ε U␈↓ !␈εβ)␈αλsolv␈α}es␈αλthe␈αλd␈α␈esired
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.␈αHen␈α␈ce,␈αfor␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αmay␈α
be␈αu␈α␈sed␈α(with␈↓
∪␈ε m␈↓
:␈εβ=␈α
2␈↓
u␈ε n␈↓ ␈εβ):
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα595
␈βα*␈↓ ↓H␈ε∪Algo␈α␈rithm␈αT␈εβ␈α(␈ε⊂Trian␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈εβ)␈ε∪.␈εβ␈α~Let␈↓ ¬J␈ε C␈↓ ¬p␈εβbe␈αan␈↓ εL␈ε m␈↓ εq␈ε↔α␈↓ π~␈ε n␈↓ π9␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈αo␈α␈f␈αin␈α␈teg␈α␈ers.␈α
Th␈α␈is␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α∃␈ε m␈↓ α6␈ε↔α␈↓ α[␈ε m␈↓ β↓␈εβin␈α␈te␈α␈ger␈αλmatrice␈α␈s␈↓ ∧o␈ε U␈↓ ¬∩␈εβand␈↓ ¬Q␈ε V␈↓ ¬q␈εβsu␈α␈ch␈αλtha␈α␈t␈↓ π␈ε U␈↓ π≠␈ε V␈↓ π<␈εβ=␈↓ πf␈ε I␈↓ π}␈εβa␈α␈nd␈↓ λ<␈ε V␈↓ λT␈ε C␈↓ λw␈εβis␈α \u␈α␈pp␈α␈er␈αλtriang␈α␈ular."
␈βαy␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈αen␈α␈tr␈α␈y␈αin␈αro␈α␈w␈↓ βV␈ε i␈↓ βn␈εβa␈α␈nd␈α
colum␈α␈n␈↓ ¬#␈ε j␈↓ ¬=␈εβof␈↓ ¬d␈ε V␈↓ ¬|␈ε C␈↓ ε"␈εβis␈αzer␈α␈o␈αif␈↓ π)␈ε i␈↓ π?␈εβ>␈↓ πi␈ε j␈↓ πx␈εβ.)
␈ββ9␈↓ ↓O␈ε∪T1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α$S␈α␈et␈↓ ∧π␈ε U␈↓ ∧4␈ε↔ ␈↓ ∧g␈ε V␈↓ ¬⊃␈ε↔ ␈↓ ¬D␈ε I␈↓ ¬S␈εβ,␈α⊃the␈↓ ε,␈ε m␈↓ εT␈ε↔α␈↓ π␈ε m␈↓ π-␈εβi␈α↓d␈α␈en␈α␈tity␈α∂matrix;␈α∪a␈α␈nd␈α∂set␈↓
,␈ε T␈↓
U␈ε↔ ␈↓ λ␈ε C␈↓ #␈εβ.
␈ββa␈↓ α␈εβ(Thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈αthe␈α
algorith␈α␈m␈αw␈α␈e␈αwi␈α↓ll␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε`␈ε T␈↓ π␈εβ=␈↓ π+␈ε V␈↓ πC␈ε C␈↓ πi␈εβa␈α␈nd␈↓ λ)␈ε U␈↓ λD␈ε V␈↓ λf␈εβ=␈α 1.)
␈β∧!␈↓ ↓O␈ε∪T2.␈↓ α␈εβ[Iterate␈απo␈α␈n␈↓ β'␈ε j␈↓ β6␈εβ.]␈α⊂Do␈απstep␈απT3␈απfo␈α␈r␈↓ ¬-␈ε j␈↓ ¬E␈εβ=␈α 1,␈αλ2,␈↓ ε3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εq␈εβmin␈↓ π(␈εβ(␈↓ π4␈ε m␈↓ πQ␈εβ,␈↓ π`␈ε n␈↓ πt␈εβ),␈αλan␈α␈d␈απtermin␈α␈ate␈απth␈α␈e␈αλa␈α␈lgorith␈α␈m.
␈β∧a␈↓ ↓O␈ε∪T3.␈↓ α␈εβ[Z␈α↓e␈α␈ro␈αλou␈α␈t␈αλcolum␈α␈n␈↓ ∧λ␈ε j␈↓ ∧↔␈εβ.]␈α∩P␈α↓e␈α␈rform␈αλth␈α␈e␈αλfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αλtra␈α␈nsform␈α␈ation␈αλz␈α␈ero␈αλor␈αλm␈α␈ore␈αλtimes␈αλu␈α␈n␈α␈til
␈β¬ ␈↓ α␈ε T␈↓ αC␈εβi␈α↓s␈α
zer␈α␈o␈α
for␈α
all␈↓ ∧⊗␈ε i␈↓ ∧/␈εβ>␈↓ ∧↑␈ε j␈↓ ∧m␈εβ:␈α∂Let␈↓ ¬E␈ε T␈↓ ¬}␈εβbe␈α
a␈α
n␈α␈onz␈α␈ero␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈α
of␈ε↔␈α
f␈↓ ␈ε T␈↓ *␈εβ,␈↓ 9␈ε T␈↓
≠␈εβ,␈↓
*␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓
V␈εβ,␈↓
e␈ε T␈↓ ≤␈ε↔g
␈β¬∪␈↓ α∨␈εi␈↓ α*␈εj␈↓ ¬X␈εk␈↓ ¬e␈εj␈↓ ∪␈εi␈↓ ≡␈εj␈↓
x␈εm␈↓ ⊂␈εj
␈β¬∀␈↓ L␈εε(␈↓ U␈εj␈↓ a␈εε+1)␈↓
∂␈εj
␈β¬0␈↓ α␈εβha␈α␈vin␈α␈g␈α
the␈α
s␈α␈mallest␈α
ab␈α␈solute␈α
v␈α␈alu␈α␈e.␈αIn␈α␈terc␈α␈han␈α␈ge␈α
ro␈α}ws␈↓ λ∩␈ε k␈↓ λ-␈εβa␈α␈nd␈↓ λm␈ε j␈↓ ε␈εβo␈α␈f␈↓ +␈ε T␈↓ M␈εβa␈α␈nd␈α of␈↓
2␈ε V␈↓
J␈εβ;␈αin␈α␈te␈α␈r-
␈β¬X␈↓ α␈εβch␈α␈an␈α␈ge␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α␈s␈↓ β|␈ε k␈↓ ∧_␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧X␈ε j␈↓ ∧r␈εβof␈↓ ¬→␈ε U␈↓ ¬4␈εβ.␈αTh␈α␈en␈α
sub␈α␈tract␈ε↔␈αb␈↓ π0␈ε T␈↓ πZ␈εβ/␈↓ πj␈ε T␈↓ λ⊗␈ε↔c␈εβ␈αtimes␈αro␈α}w␈↓ F␈ε j␈↓ `␈εβf␈α↓r␈α␈om␈αro␈α␈w␈↓
p␈ε i␈↓
|␈εβ,␈αin
␈β¬c␈↓ πC␈εi␈↓ πN␈εj␈↓ π}␈εj␈↓ λ
␈εj
␈βε␈↓ α␈εβma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈↓ β∩␈ε T␈↓ β5␈εβa␈α␈nd␈↓ βv␈ε V␈↓ ∧∞␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αa␈α␈dd␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈↓ λR␈ε i␈↓ λj␈εβto␈αcolum␈α␈n␈↓
␈ε j␈↓
#␈εβin␈αmatrix
␈βε'␈↓ α␈ε U␈↓ α'␈εβ,␈αfo␈α␈r␈↓ αo␈ε j␈↓ βλ␈εβ<␈↓ β2␈ε i␈↓ βH␈ε↔∀␈↓ βs␈ε m␈↓ ∧⊂␈εβ.
␈βε)␈↓ ∧>␈∧ε)∧>≠∂
␈βεu␈↓ εY␈εε1␈↓ εw␈εε2␈↓ πU␈εε1␈↓ πr␈εε0␈↓ λ≤␈εε1␈↓ λS␈εε2␈↓ ∂␈εε4␈↓ ,␈εε3␈↓
␈εε4␈↓
'␈εε5␈↓
Q␈εε1␈↓ λ␈εε2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈αλthe␈αλsta␈α␈ted␈απexa␈α␈mple,␈α th␈α␈e␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈απyields␈αλ(␈↓ ππ␈εβ)␈α =␈α
(␈↓ λα␈εβ)(␈↓ λc␈εβ),␈α (␈↓ <␈εβ)␈α
=␈α (␈↓
7␈εβ)␈α↓(␈↓ _␈εβ),
␈βπ
␈↓ εY␈εε3␈↓ εw␈εε4␈↓ πU␈εε3␈↓ πr␈εε2␈↓ λ≤␈εε0␈↓ λ9␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∂␈εε2␈↓ ,␈εε1␈↓
␈εε2␈↓
'␈εε3␈↓
Q␈εε0␈↓
o␈ε~␈␈εε1
␈βπ≤␈↓ ↓V␈εε1␈↓ α
␈εε2␈↓ αk␈εε1␈↓ β!␈εε0␈↓ βL␈εε1␈↓ βi␈εε2␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε4␈↓ ¬#␈εε3
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ α≥␈εβ)␈α
=␈α (␈↓ β2␈εβ)(␈↓ βy␈εβ)␈α¬+␈αε(␈↓ ∧l␈εβ)(␈↓ ¬4␈εβ).␈α∃(Actu␈α␈ally␈ε⊂␈α an␈α}y␈εβ␈α matrix␈α with␈α d␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈ε↔␈α ε␈εβ1␈α wo␈α␈uld
␈βπ4␈↓ ↓V␈εε0␈↓ ↓t␈ε~␈␈εε1␈↓ αk␈εε2␈↓ βλ␈ε~␈␈εε2␈↓ βL␈εε3␈↓ βi␈εε4␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε2␈↓ ¬#␈εε1
␈βπL␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αa␈αg␈α␈crd␈αin␈αth␈α␈is␈αpar␈α␈ti␈α↓c␈α␈ular␈αca␈α␈se.)
␈βλλ␈↓ πp␈εm
␈βλ␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβIt␈απm␈α␈ay␈αεbe␈αεhelp␈α␈ful␈απto␈αεcon␈α␈sider␈αεex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓2␈α␈↑2␈α␈2␈απwith␈↓ π←␈ε p␈↓ λ∞␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αεb␈α␈y␈απa␈αεsma␈α␈l␈α↓l␈αεn␈α␈um␈α}ber␈↓ ⊗␈ε ∂␈↓ #␈εβ.
␈βλL␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβNote␈αλtha␈α␈t␈α Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α R␈α is␈α use␈α␈d␈α on␈α␈ly␈α wh␈α␈en␈↓ εe␈ε m␈↓ ππ␈ε↔␈␈↓ π-␈ε n␈↓ πJ␈ε↔∀␈εβ␈α
1;␈α f␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈βλs␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αb␈α␈y␈α(␈α↓2␈α␈5)␈αwi␈α↓th␈↓ ∧G␈ε m␈↓ ∧n␈εβ=␈↓ ¬→␈ε n␈↓ ¬-␈εβ.␈α~[␈α↓Th␈α␈e␈αstated␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αis,␈αin␈αfact,␈αth␈α␈e␈αex␈α␈ec␈α␈ution␈αtime
␈β ≠␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bser␈α␈v␈α␈ed␈α in␈α p␈α␈ractice,␈α
n␈α␈ot␈α mere␈α␈l␈α↓y␈αλan␈α u␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈.␈αFor␈α more␈α d␈α␈etailed␈α info␈α␈rmatio␈α␈n␈α see␈α G.
␈β B␈↓ ↓H␈εβE.␈αCollins,␈ε⊂␈αProc.␈α19␈α␈68␈αS␈α␈um␈α␈mer␈αIns␈α␈t.␈αo␈α␈n␈αS␈α␈ym␈α␈b␈α␈olic␈αMa␈α␈th.␈αCo␈α␈mp.␈εβ,␈αRob␈α␈ert␈αG.␈αTob␈α␈ey,␈αed␈α␈.
␈β j␈↓ ↓H␈εβ(IBM␈αFed␈α␈eral␈αS␈α␈ystem␈α␈s␈αCen␈α␈ter␈α␈,␈αJ␈α␈un␈α␈e␈α196␈α␈9),␈α195␈α␈↑23␈α␈1.]
␈β
*␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβA␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈απof␈αλsign␈α␈s␈αλca␈α␈nn␈α␈ot␈αλco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλc␈α␈on␈α␈secut␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αλze␈α␈ros,␈α sin␈α␈ce␈↓ ⊂␈ε u␈↓ V␈εβ(␈↓ a␈ε x␈↓ r␈εβ)␈αλis␈αλa␈αλn␈α␈on␈α␈zero
␈β
5␈↓ #␈εk␈↓ 0␈εε+1
␈β
R␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈t␈αin␈α(29).␈αM␈α␈oreo␈α␈v␈α}er␈αw␈α␈e␈αc␈α␈ann␈α␈ot␈αha␈α␈v␈α␈e␈α\+,␈α0␈α␈,␈α+"␈αor␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ"␈αa␈α␈s␈αsub␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈es.
␈β
y␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈↓ βε␈ε V␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β)␈ε u␈↓ β=␈εβ,␈↓ βL␈ε a␈↓ β]␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧↔␈ε V␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε u␈↓ ∧N␈εβ,␈↓ ∧\␈ε b␈↓ ∧j␈εβ)␈αis␈α
cl␈α↓e␈α␈arly␈α
valid␈α
when␈↓ π5␈ε b␈↓ πK␈εβ=␈↓ πv␈ε a␈↓ λε␈εβ,␈αso␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
only␈α
v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α
it␈αa␈α␈s
␈β!␈↓ ↓H␈ε b␈↓ ↓a␈εβinc␈α␈reases.␈α∞Th␈α␈e␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ ∧w␈ε u␈↓ ¬⊗␈εβ(␈↓ ¬!␈ε x␈↓ ¬2␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α}e␈α|n␈α␈itely␈αma␈α␈n␈α␈y␈αroots,␈αan␈α␈d␈↓ π␈ε V␈↓ ≡␈εβ(␈↓ *␈ε u␈↓ >␈εβ,␈↓ L␈ε b␈↓ Z␈εβ)␈αc␈α␈han␈α␈ges␈αo␈α␈nly
␈β,␈↓ ¬
␈εj
␈βI␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε b␈↓ α8␈εβenc␈α␈oun␈α}ters␈αo␈α␈r␈αp␈α␈asses␈αsu␈α␈ch␈αroo␈α␈ts.␈α∞Let␈↓ εU␈ε x␈↓ εs␈εβb␈α␈e␈αa␈αroo␈α␈t␈αof␈αso␈α␈me␈α(p␈α␈ossibly␈αsev␈α}eral)␈↓ ∧␈ε u␈↓ #␈εβ.
␈βS␈↓ ↔␈εj
␈βp␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈en␈↓ α)␈ε b␈↓ αB␈εβinc␈α␈reases␈αfro␈α␈m␈↓ ∧≡␈ε x␈↓ ∧7␈ε↔␈␈↓ ∧a␈ε ∂␈↓ ∧z␈εβto␈↓ ¬#␈ε x␈↓ ¬5␈εβ,␈αthe␈αsign␈αse␈α␈que␈α␈nce␈αnea␈α␈r␈↓ λ≡␈ε j␈↓ λ9␈εβgoe␈α␈s␈αfrom␈α\␈α␈+␈α↓,␈ε↔␈αε␈εβ,␈ε↔␈α
␈␈εβ"␈αto
␈β_␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈+␈α↓,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αor␈αfrom␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈ε↔␈αε␈εβ␈α↓,␈α+"␈αto␈α\␈ε↔␈α␈␈␈εβ␈α↓,␈α0␈α␈,␈α+␈α↓"␈αif␈↓ π~␈ε j␈↓ π3␈εβ>␈α0␈α␈;␈α
a␈α␈nd␈αfrom␈α\+,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αto␈α\0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"
␈β;␈↓ πα␈ε~0␈↓ V␈ε~0
␈β?␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
from␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α
+␈α↓"␈αto␈α\0,␈α
+"␈α
if␈↓ ¬␈ε j␈↓ ¬'␈εβ=␈α0␈α␈.␈α≥(Sin␈α␈ce␈↓ εn␈ε u␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε x␈↓ π%␈εβ)␈αi␈α↓s␈αthe␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α␈ativ␈α␈e␈α␈,␈↓ B␈ε u␈↓ \␈εβ(␈↓ g␈ε x␈↓ y␈εβ)␈αi␈α↓s␈αneg␈α␈ativ␈α␈e
␈βg␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε u␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε x␈↓ αO␈εβ)␈αis␈αde␈α␈creasin␈α␈g.)␈α~Th␈α}us␈αthe␈αn␈α␈et␈αch␈α␈ang␈α␈e␈αi␈α↓n␈↓ π(␈ε V␈↓ πK␈εβi␈α↓s␈ε↔␈α␈␈↓ λ∞␈ε ∞␈↓ λ3␈εβ.␈αWh␈α␈en␈↓ (␈ε b␈↓ @␈εβi␈α↓n␈α␈crea␈α␈ses␈αfrom␈↓ ≠␈ε x
␈βr␈↓ λ~␈εj␈↓ λ&␈εε0
␈β
∂␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε x␈↓ α ␈εβ+␈↓ α2␈ε ∂␈↓ α?␈εβ,␈αa␈αsimilar␈αarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ ε_␈ε V␈↓ ε;␈εβrema␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αun␈α␈cha␈α␈ng␈α␈ed.
␈β
:␈↓ α␈εβ[L.␈α∂E.␈α∂Heind␈α␈el,␈ε⊂␈α⊂JA␈α␈CM␈ε∪␈α∞18␈εβ␈α∞(1␈α␈971␈α␈)␈α↓,␈α∂53␈α␈3↑5␈α␈48,␈α∂has␈α∞ap␈α␈plied␈α∞th␈α␈ese␈α∂id␈α␈eas␈α∞to␈α∞con␈α␈struc␈α␈t
␈β
a␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfo␈α␈r␈αiso␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
the␈α
re␈α␈al␈αz␈α␈eroes␈α
of␈α
a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ λA␈ε u␈↓ λU␈εβ(␈↓ λ`␈ε x␈↓ λq␈εβ),␈αin␈α
time␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α by
␈β∞ ␈↓ ↓H␈εβa␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αin␈αd␈α␈eg␈α␈(␈↓ βs␈ε u␈↓ ∧π␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
log␈↓ ¬∩␈ε N␈↓ ¬1␈εβ,␈αw␈α↓h␈α␈ere␈α
all␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈↓ π{␈ε y␈↓ λ!␈εβare␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αwi␈α↓t␈α␈h␈ε↔␈αj␈↓
(␈ε u␈↓
G␈ε↔j␈α
∀␈↓ ∧␈ε N␈↓ #␈εβ,
␈β∞∪␈↓ λ
␈εj␈↓
;␈εj
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
all␈αo␈α␈pera␈α␈tions␈αa␈α␈re␈αgu␈α␈ara␈α␈n␈α␈teed␈α
to␈αb␈α␈e␈αexa␈α␈ct.]
␈β∞p␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβIf␈↓ α*␈ε v␈↓ αB␈εβhas␈↓ αz␈ε n␈↓ β⊃␈ε↔␈␈εβ␈αα1␈απreal␈απroots␈απocc␈α␈urrin␈α␈g␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απt␈α␈he␈↓ π→␈ε n␈↓ π5␈εβre␈α␈al␈αλro␈α␈ots␈απof␈↓ λd␈ε u␈↓ λy␈εβ,␈αλth␈α␈en␈απ(by␈απc␈α␈onsid␈α␈ering
␈β∂_␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈n␈αch␈α␈ang␈α␈es)␈↓ β∪␈ε u␈↓ β'␈εβ(␈↓ β2␈ε x␈↓ βD␈εβ)␈↓ βT␈εβmod␈↓ ∧→␈ε v␈↓ ∧*␈εβ(␈↓ ∧5␈ε x␈↓ ∧G␈εβ)␈αh␈α␈as␈↓ ¬_␈ε n␈↓ ¬3␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈αrea␈α␈l␈αro␈α␈ots␈αlyin␈α␈g␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈αth␈α␈e␈↓ _␈ε n␈↓ 4␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αof␈↓
∨␈ε v␈↓
0␈εβ.
␈β∂Q␈↓ ∧a␈ε∞␈↓ ¬(␈ε∞␈↓ ¬`␈εε(1␈ε~␈␈↓ ε∞␈ε∞␈↓ εF␈εε)␈↓ π
␈ε∞␈↓ π ␈εε(1␈ε~␈␈↓ πN␈ε∞␈↓ πc␈εε)␈↓ πl␈εε...␈↓ λ↓␈εε(1␈ε~␈␈↓ λ/␈ε∞␈↓ λg␈εε)
␈β∂X␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβFirst␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ β⎇␈ε h␈↓ ∧$␈εβ=␈↓ ∧Q␈ε g␈↓ ¬→␈ε g␈↓ εN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈ε g␈↓ λo␈εβ.␈α⊂The␈α␈n␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αthe
␈β∂Y␈↓ ∧k␈ε
j␈↓ ∧w␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬3␈ε
j␈↓ ¬>␈ε≠␈␈επ2␈↓ ε_␈ε
j␈↓ ε$␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ π∀␈επ1␈↓ πX␈επ2␈↓ λ9␈ε
j␈↓ λE␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∂c␈↓ ∧␈εj
␈β∂j␈↓ ∧]␈εj␈↓ ¬$␈εj␈↓ ¬0␈ε~␈␈εε1␈↓ π
␈εε2
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ ββ␈ε g␈↓ β+␈εβo␈α␈n␈α∞th␈α␈e␈α∞left-ha␈α␈nd␈α
side␈α
of␈α∞(18␈α␈)␈α∞has␈α
the␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈↓ λ*␈ε ∞␈↓ λL␈εβ+␈↓ λv␈ε ∞␈↓ ∂␈ε x␈↓ ␈εβ,␈α∂whe␈α␈re␈↓
≠␈ε x␈↓
:␈εβ=␈↓
i␈ε ∞␈↓ ␈εβ+
␈β⊂
␈↓ β⊂␈εε2␈↓ λ6␈εε2␈↓ α␈εε1␈↓
u␈εε2
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓w␈εβ+␈↓ α"␈ε ∞␈↓ αh␈εβ+␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈↓ βV␈ε ∞␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε ∞␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧F␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧v␈εβ+␈↓ ¬ ␈ε ∞␈↓ ¬g␈εβ+␈α 1␈α␈)␈ε↔␈α ␈␈↓ ε`␈ε ∞␈↓ εx␈εβ(1␈ε↔␈α ␈␈↓ πG␈ε ∞␈↓ π`␈εβ)(␈↓ πv␈ε ∞␈↓ λ↔␈εβ+␈↓ λB␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λq␈εβ+␈↓ ≤␈ε ∞␈↓ b␈εβ+␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α ␈␈↓
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈ε↔␈
␈β⊂2␈↓ α.␈εj␈↓ α:␈ε~␈␈εε1␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧ε␈εε3␈↓ ¬,␈εj␈↓ ¬8␈ε~␈␈εε1␈↓ εl␈εε3␈↓ πS␈εε2␈↓ λα␈εε4␈↓ (␈εj␈↓ 4␈ε~␈␈εε1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε ∞␈↓ αε␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ αQ␈ε ∞␈↓ αj␈εβ)␈↓ α{␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β'␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βs␈ε ∞␈↓ ∧1␈εβ)(1)␈↓ ∧c␈εβ.␈αBut␈↓ ¬7␈ε x␈↓ ¬Q␈εβ=␈α
1,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
it␈αis␈α
seen␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
of␈↓
/␈ε ∞␈↓
w␈εβa␈α␈nd
␈β⊂Z␈↓ ↓T␈εj␈↓ ↓`␈ε~␈␈εε1␈↓ α]␈εε2␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈ε~␈␈εε2␈↓
;␈εj␈↓
G␈ε~␈␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α∞can␈α∞s␈α␈et␈↓ αt␈ε ∞␈↓ β@␈εβ=␈α⊂0␈α␈,␈α⊂etc␈α␈.␈α⊗A␈α∂s␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈α∞de␈α␈ri␈α↓v␈α␈ation␈α∞w␈α␈o␈α␈rks␈α∞for␈↓ λ6␈ε g␈↓ λP␈εβ,␈↓ λi␈ε g␈↓ α␈εβ,␈↓ ≠␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ G␈εβ,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞a␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α␈r
␈β⊃↓␈↓ β␈εj␈↓ β␈ε~␈␈εε1␈↓ λC␈εε3␈↓ λv␈εε4
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eriva␈α␈tion␈αw␈α␈or␈α␈ks␈αfor␈α(23␈α␈).
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα596␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβEach␈αcoe}␈α␈cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ ∧$␈ε u␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε x␈↓ ∧←␈εβ)␈αcan␈αbe␈αex␈α␈pre␈α␈ssed␈αa␈α␈s␈αa␈αde␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αon␈α␈e␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn
␈βα5␈↓ ∧7␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α
on␈α␈ly␈↓ β_␈ε #␈↓ β&␈εβ(␈↓ β1␈ε u␈↓ βE␈εβ),␈↓ βg␈ε #␈↓ βu␈εβ(␈↓ ∧␈ε v␈↓ ∧⊃␈εβ),␈α∞an␈α␈d␈α
zer␈α␈os.␈α⊃To␈α
use␈α
t␈α␈his␈α
fact,␈α∞m␈α␈odify␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
C␈α
a␈α␈s␈α
follo␈α␈ws:
␈βαv␈↓ ∧)␈εα(␈↓ ¬2␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβIn␈αste␈α␈p␈αC1,␈α
set␈↓ β/␈ε g␈↓ βK␈ε↔ ␈↓ βw␈εβgcd␈↓ ∧5␈ε #␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε u␈↓ ∧b␈εβ),␈↓ ∧|␈ε #␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε v␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ¬J␈εβan␈α␈d␈↓ ε␈ε h␈↓ ε(␈ε↔ ␈εβ␈α0.␈α∂In␈αstep␈αC3,␈α
if␈↓ λQ␈ε h␈↓ λm␈εβ=␈α0,␈α
set␈↓ v␈ε u␈↓
␈εβ(␈↓
∃␈ε x␈↓
'␈εβ)␈ε↔␈α ␈↓
j␈ε v␈↓
|␈εβ(␈↓ π␈ε x␈↓ _␈εβ),
␈ββ≥␈↓ ∧)␈ε∞
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε x␈↓ ↓u␈εβ)␈ε↔␈α
␈↓ α:␈ε r␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε x␈↓ αe␈εβ)/␈↓ β↓␈ε g␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β'␈ε h␈↓ βD␈ε↔ ␈↓ βq␈ε #␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε u␈↓ ∧≡␈εβ)␈↓ ∧6␈εβ/␈↓ ∧F␈ε g␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧l␈ε g␈↓ ¬λ␈ε↔ ␈↓ ¬6␈ε #␈↓ ¬C␈εβ(␈↓ ¬N␈ε u␈↓ ¬b␈εβ)␈α↓,␈α
an␈α␈d␈α
r␈α␈eturn␈αto␈αC2;␈α∞o␈α␈therwise␈αproc␈α␈eed␈αas␈α
in␈αthe
␈ββI␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nm␈α␈odi|␈α␈ed␈α algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m.␈αTh␈α␈e␈α
e{ect␈α of␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α new␈α i␈α↓n␈α␈iti␈α↓a␈α␈li␈α↓z␈α␈ation␈α is␈α
simply␈α to␈α replac␈α␈e␈↓
7␈ε u␈↓
V␈εβ(␈↓
a␈ε x␈↓
s␈εβ)␈α by
␈ββS␈↓
J␈εj
␈ββl␈↓ ε~␈εε2␈↓ ε'␈εj␈↓ ε3␈ε~␈␈εε4␈↓ λ'␈εε2␈↓ λ4␈εj␈↓ λ@␈ε~␈␈εε5
␈ββm␈↓ αQ␈εα(␈↓ βY␈εα)
␈ββp␈↓ ↓H␈ε u␈↓ ↓g␈εβ(␈↓ ↓r␈ε x␈↓ αβ␈εβ)/␈↓ α∨␈εβgc␈α␈d␈↓ α]␈ε #␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε u␈↓ β
␈εβ),␈↓ β$␈ε #␈↓ β2␈εβ(␈↓ β=␈ε v␈↓ βN␈εβ)␈↓ βp␈εβfor␈αall␈↓ ∧R␈ε j␈↓ ∧k␈ε↔∃␈εβ␈α 3;␈αth␈α␈u␈α␈s,␈↓ ε␈ε #␈↓ εd␈εβwill␈αb␈α␈eco␈α␈me␈↓ λ→␈ε #␈↓ λq␈εβin␈α
(28).
␈ββ{␈↓ ↓[␈εj
␈β∧d␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.2
␈β¬/␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβBy␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈ri␈α↓n␈α␈ciple␈α∞o␈α␈f␈α∞inclus␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞a␈α␈nd␈α
ex␈α␈clu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α∞(S␈α␈ection␈α
1.3.3),␈α∂t␈α␈he␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞poly␈α␈-
␈β¬5␈↓ ε∨␈ε↓␈␈↓ ε;␈ε↓↓
␈β¬9␈↓ ¬=␈ε↓P
␈β¬O␈↓ ε-␈εp
␈β¬S␈↓ εZ␈εn␈↓ εj␈ε~␈␈↓ πβ␈εk␈↓ πY␈εk␈↓ λ8␈εn␈↓ λH␈ε~␈␈↓ λb␈εp␈↓ ]␈εp
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α∂witho␈α␈ut␈α∂linea␈α␈r␈α∂facto␈α␈rs␈α⊂is␈↓ εI␈ε p␈↓ π⊃␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πN␈εβ)␈↓ πv␈εβ=␈↓ λ'␈ε p␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε p␈↓ ⊗␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈↓ R␈εβ)␈↓ k␈εβ.␈α↔The␈α∂sta␈α␈ted
␈β¬g␈↓ ε-␈εk
␈β¬j␈↓ ¬c␈εk␈↓ ¬p␈ε~∀␈↓ ε ␈εn
␈βε␈↓ ¬t␈εp␈↓ λb␈εε1
␈βε∧␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈α
th␈α␈erefore␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α (1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α 1␈α␈/␈↓ ¬X␈ε p␈↓ ¬i␈εβ)␈↓ εα␈εβ,␈α
which␈αis␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
th␈α␈an␈↓ λr␈εβ.␈α≥[In␈αfact,␈α
th␈α␈e␈α
sta␈α␈ted
␈βε∩␈↓ λb␈∧ε∩λbα
␈βε∀␈↓ λb␈εε2
␈βε(␈↓ ∧W␈εε1
␈βε+␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈αgre␈α␈ater␈αth␈α␈an␈↓ ∧s␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ ¬U␈ε n␈↓ ¬r␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈.]
␈βε:␈↓ ∧W␈∧ε:∧Wα
␈βε<␈↓ ∧W␈εε2
␈βε]␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃We␈απkn␈α␈o␈α␈w␈απtha␈α␈t␈↓ ∧∀␈ε u␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε x␈↓ ∧D␈εβ)␈αλh␈α␈as␈απa␈απrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈απas␈απa␈απp␈α␈rodu␈α␈ct␈απof␈απi␈α↓rr␈α␈edu␈α␈cible␈απpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials;
␈βπ∧␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈α␈se␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αun␈α␈its,␈α
since␈αth␈α␈ey␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αthe
␈βπ,␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈ding␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α
of␈↓ ∧∧␈ε u␈↓ ∧_␈εβ(␈↓ ∧#␈ε x␈↓ ∧5␈εβ).␈α∪T␈α↓h␈α␈erefo␈α␈re␈α∞w␈α␈e␈α∞ma␈α␈y␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈↓ λ8␈ε u␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε x␈↓ λi␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α∞a␈α
rep␈α␈resen␈α}tation
␈βπO␈↓ π7␈εe␈↓ λB␈εe
␈βπS␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈αa␈αprod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈αm␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈αi␈α↓r␈α␈redu␈α␈cible␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ εs␈ε p␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε x␈↓ π,␈εβ)␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π␈␈ε p␈↓ λ≠␈εβ(␈↓ λ&␈ε x␈↓ λ7␈εβ)␈↓ λX␈εβ,␈αwhere␈↓ N␈ε p␈↓ k␈εβ(␈↓ v␈ε x␈↓
π␈εβ),␈↓
'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓
T␈εβ,␈↓
i␈ε p␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε x␈↓ !␈εβ)
␈βπV␈↓ λL␈ε
r
␈βπW␈↓ πA␈επ1
␈βπ↑␈↓ πβ␈εε1␈↓ λ∞␈εr␈↓ ↑␈εε1␈↓
y␈εr
␈βπ{␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
d␈α␈istinct.␈α∂This␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion␈αis␈α
u␈α␈niqu␈α␈e,␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈α
for␈αth␈α␈e␈α
o␈α␈rder␈αof␈αthe␈αfacto␈α␈rs,␈α
so␈αthe
␈βλ#␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈n␈↓ β∃␈ε u␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε x␈↓ βE␈εβ)␈α↓,␈↓ βe␈ε v␈↓ βv␈εβ(␈↓ ∧↓␈ε x␈↓ ∧∪␈εβ),␈↓ ∧2␈ε w␈↓ ∧K␈εβ(␈↓ ∧V␈ε x␈↓ ∧g␈εβ)␈αa␈α␈re␈αsatis|␈α␈ed␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈ly␈αif
␈βλc␈↓ βy␈ε~b␈↓ ∧β␈εe␈↓ ∧→␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ ¬,␈ε~b␈↓ ¬5␈εe␈↓ ¬L␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ π⎇␈εe␈↓ λ↔␈εεmod␈↓ λK␈εε2␈↓ G␈εe␈↓ b␈εεmo␈α␈d␈↓
∃␈εε2
␈βλi␈↓ αI␈ε v␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε x␈↓ αw␈εβ)␈α =␈↓ β5␈ε p␈↓ βR␈εβ(␈↓ β]␈ε x␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧<␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧h␈ε p␈↓ ¬∧␈εβ(␈↓ ¬∂␈ε x␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ ¬@␈ε
r␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ εE␈ε w␈↓ ε↑␈εβ(␈↓ εi␈ε x␈↓ ε{␈εβ)␈α =␈↓ π9␈ε p␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε x␈↓ πr␈εβ)␈↓ λX␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧␈ε p␈↓ ␈εβ(␈↓ +␈ε x␈↓ <␈εβ)␈↓ R␈ε
r␈↓
"␈εβ.
␈βλj␈↓ ∧
␈επ1␈↓ λλ␈επ1
␈βλs␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧x␈εr␈↓ πI␈εε1␈↓ ∀␈εr
␈β .␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂The␈αgen␈α␈eratin␈α␈g␈α
fu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αfor␈α
th␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αof␈αmon␈α␈i␈α↓c␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈↓
v␈ε n␈↓ ⊗␈εβis
␈β R␈↓ αi␈εε2␈↓ ββ␈εε2
␈β V␈↓ ↓H␈εβ1␈απ+␈↓ α ␈ε p␈↓ α~␈ε z␈↓ α/␈εβ+␈↓ αX␈ε p␈↓ αu␈ε z␈↓ β↔␈εβ+␈↓ β@␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ βp␈εβ=␈α
1/␈α␈(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬ ␈ε p␈↓ ¬→␈ε z␈↓ ¬'␈εβ).␈αThe␈αg␈α␈enera␈α␈ting␈αfu␈α␈nction␈α
for␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈β z␈↓ ¬s␈εε2␈↓ <␈εε2␈↓
π␈εε2␈↓
!␈εε4
␈β }␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α of␈α
de␈α␈gree␈↓ β*␈ε n␈↓ βH␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
form␈↓ ¬:␈ε v␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ε␈εβ,␈α
where␈↓ εr␈ε v␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε x␈↓ π ␈εβ)␈α
is␈α
mon␈α␈i␈α↓c␈α␈,␈αis␈α
1␈αε+␈↓ ≡␈ε p␈↓ /␈ε z␈↓ O␈εβ+␈↓ v␈ε p␈↓
∀␈ε z␈↓
4␈εβ+␈↓
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ=
␈β
!␈↓ αQ␈εε2
␈β
%␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ α2␈ε p␈↓ αC␈ε z␈↓ α]␈εβ).␈αI␈α↓f␈α
th␈α␈e␈α
gen␈α␈era␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
fu␈α␈nction␈α for␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
mon␈α␈ic␈α
squ␈α␈arefree␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β
I␈↓
(␈εε2
␈β
M␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αd␈α␈egree␈↓ αW␈ε n␈↓ αw␈εβis␈↓ β_␈ε g␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε z␈↓ βA␈εβ),␈αth␈α␈en␈αby␈αp␈α␈art␈α(a)␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e␈α1/␈α␈(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ λ~␈ε p␈↓ λ+␈ε z␈↓ λ8␈εβ)␈α
=␈↓ λy␈ε g␈↓ λ␈εβ(␈↓ ∪␈ε z␈↓ !␈εβ)/(1␈ε↔␈απ␈␈↓
␈ε p␈↓
~␈ε z␈↓
5␈εβ).␈αH␈α↓e␈α␈nce
␈β
p␈↓ β ␈εε2␈↓ ε'␈εε2␈↓ π∂␈εε2␈↓ πi␈εε3␈↓ λ9␈εε2␈↓ λ↑␈εε3
␈β
t␈↓ ↓H␈ε g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε z␈↓ ↓p␈εβ)␈α=␈α(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ β↓␈ε p␈↓ β∩␈ε z␈↓ β,␈εβ)/(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧⊗␈ε p␈↓ ∧'␈ε z␈↓ ∧4␈εβ)␈α=␈α1␈απ+␈↓ ¬:␈ε p␈↓ ¬K␈ε z␈↓ ¬a␈εβ+␈α (␈↓ ε⊗␈ε p␈↓ ε;␈ε↔␈␈↓ εe␈ε p␈↓ εv␈εβ)␈↓ π↓␈ε z␈↓ π$␈εβ+␈αλ(␈↓ πX␈ε p␈↓ π}␈ε↔␈␈↓ λ(␈ε p␈↓ λE␈εβ)␈↓ λP␈ε z␈↓ λs␈εβ+␈↓ ≤␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ I␈εβ.␈α∂The␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis
␈β_␈↓ ↓Y␈εn␈↓ α$␈εn␈↓ α4␈ε~␈␈εε1␈↓ λ;␈ε~0
␈β→␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ πQ␈εα(␈↓ λi␈εα)
␈β≤␈↓ ↓H␈ε p␈↓ ↓m␈ε↔␈␈↓ α∪␈ε p␈↓ αb␈εβfor␈↓ β∀␈ε n␈↓ β1␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈↓ ∧∀␈εβCuriou␈α␈sly,␈α this␈α p␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α th␈α␈at␈↓ π∨␈εβg␈α␈cd␈↓ π]␈ε u␈↓ πq␈εβ(␈↓ π|␈ε x␈↓ λ
␈εβ),␈↓ λ'␈ε u␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε x␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ λ}␈εβ=␈α
1␈αλwith␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βA␈↓ π)␈εα(␈↓ λ8␈εα)
␈βD␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ α*␈ε p␈↓ α;␈εβ;␈αit␈αis␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αa␈α␈s␈αt␈α␈he␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ εw␈εβg␈α␈cd␈↓ π5␈ε u␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε x␈↓ πe␈εβ),␈↓ π␈␈ε v␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≤␈ε x␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λN␈εβ=␈α 1␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ l␈ε u␈↓
␈εβ(␈↓
␈ε x␈↓
≤␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓
s␈ε v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε x␈↓ !␈εβ)
␈βh␈↓ ¬↑␈εα)
␈βk␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈ε⊂␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈εβ,␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.6.1↑␈α␈5.
␈β≤␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε u␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε x␈↓ α⎇␈εβ)␈α∞=␈↓ βE␈ε u␈↓ βe␈εβ(␈↓ βp␈ε x␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧>␈ε u␈↓ ∧↑␈εβ(␈↓ ∧i␈ε x␈↓ ∧z␈εβ).␈α∀T␈α↓h␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∞a␈α␈t␈α∞most␈εβ␈α∞o␈α␈ne␈α∞su␈α␈ch␈↓ λ9␈ε v␈↓ λJ␈εβ(␈↓ λU␈ε x␈↓ λf␈εβ)␈α↓,␈α∂b␈α␈y␈α∞th␈α␈e␈α∞a␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈α∞o␈α␈f
␈β'␈↓ βX␈εε1␈↓ ∧R␈εr
␈βD␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈α∞4.3.2C␈↓ β6␈εβ.␈α∃Th␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∂a␈α␈t␈α∂lea␈α␈st␈εβ␈α∂o␈α␈ne␈α∞if,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂e␈α␈ach␈↓ πL␈ε j␈↓ π[␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α
solv␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞system␈α∞with
␈βN␈↓ !␈ε↓Q
␈βl␈↓ ↓H␈ε w␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈ε x␈↓ αε␈εβ)␈α
=␈α 1␈αan␈α␈d␈↓ β"␈ε w␈↓ βE␈εβ(␈↓ βQ␈ε x␈↓ βb␈εβ)␈α =␈α
0␈αfor␈↓ ∧q␈ε k␈↓ ¬␈ε↔≤␈↓ ¬5␈ε j␈↓ ¬D␈εβ.␈αA␈αsolutio␈α␈n␈αto␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αis␈↓ λY␈ε v␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε x␈↓ ⊂␈εβ)␈↓ {␈ε u␈↓
≠␈εβ(␈↓
&␈ε x␈↓
8␈εβ),␈αwhere
␈βv␈↓ ↓↑␈εj␈↓ β8␈εk␈↓ λg␈εε1␈↓
∞␈εk
␈β}␈↓ C␈εk␈↓ P␈ε~≤␈↓ i␈εj
␈β
→␈↓ ↓H␈ε v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε x␈↓ ↓␈␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ αV␈ε v␈↓ αr␈εβ(␈↓ α⎇␈ε x␈↓ β∞␈εβ)␈αcan␈α
be␈αfou␈α␈nd␈α
satisfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g
␈β
#␈↓ ↓V␈εε1␈↓ αe␈εε2
␈β
@␈↓ βY␈ε↓Q
␈β
↑␈↓ β⊃␈ε v␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε x␈↓ βI␈εβ)␈↓ ∧3␈ε u␈↓ ∧T␈εβ(␈↓ ∧←␈ε x␈↓ ∧p␈εβ)␈α
+␈↓ ¬6␈ε v␈↓ ¬R␈εβ(␈↓ ¬]␈ε x␈↓ ¬n␈εβ)␈↓ ¬y␈ε u␈↓ ε→␈εβ(␈↓ ε$␈ε x␈↓ ε5␈εβ)␈α =␈α
1,␈↓ π[␈εβdeg␈↓ λ
␈εβ(␈↓ λ_␈ε v␈↓ λ4␈εβ)␈α <␈↓ λs␈εβd␈α␈eg␈↓ %␈εβ(␈↓ 0␈ε u␈↓ O␈εβ),
␈β
i␈↓ β ␈εε1␈↓ ∧F␈εk␈↓ ¬E␈εε2␈↓ ε␈εj␈↓ λ'␈εε1␈↓ C␈εj
␈β
q␈↓ β{␈εk␈↓ ∧ ␈ε~≤␈↓ ∧"␈εj
␈β∞*␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αex␈α␈tensio␈α␈n␈αof␈αEuc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
(␈α↓e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.6.1↑3␈α␈).
␈β∞=␈↓ "␈ε↓Q
␈β∞W␈↓ λH␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓
E␈εn␈↓
`␈ε~␈␈↓
z␈εa
␈β∞[␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈α¬u␈α␈niqu␈α␈e␈αεfac␈α␈torizatio␈α␈n␈α¬theo␈α␈rem␈α¬giv␈α␈es␈α¬the␈α¬iden␈α}tity␈α¬(␈α↓1␈ε↔␈α␈␈␈↓ λ∨␈ε p␈↓ λ0␈ε z␈↓ λ=␈εβ)␈↓ λw␈εβ=␈↓ z␈εβ(1␈ε↔␈␈↓
7␈ε z␈↓
U␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈β∞]␈↓ π␈ε
n␈↓ ⊗␈ε
p
␈β∞m␈↓ D␈εn␈↓ T␈ε~∃␈εε1
␈β∂α␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈αtak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αlog␈α␈arithm␈α␈s,␈αth␈α␈is␈αcan␈α
be␈αrewritten
␈β∂*␈↓ βB␈ε↓P␈↓ ¬G␈ε↓P
␈β∂D␈↓ ∧]␈εj␈↓ εq␈εk␈↓ ε}␈εj
␈β∂E␈↓ πz␈εα(␈↓ ≥␈εα)
␈β∂H␈↓ ∧ ␈ε G␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε z␈↓ ∧i␈εβ)/␈↓ ¬∧␈ε j␈↓ ¬≥␈εβ=␈↓ ε9␈ε a␈↓ εc␈ε z␈↓ π
␈εβ/␈↓ π≠␈ε j␈↓ π3␈εβ=␈↓ π↑␈εβln␈↓ λε␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λs␈ε p␈↓ ∧␈ε z␈↓ ⊃␈εβ)␈↓ )␈εβ.
␈β∂S␈↓ ∧6␈εp␈↓ εH␈εk␈↓ εV␈εp
␈β∂[␈↓ βh␈εj␈↓ βt␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ ¬m␈εk␈↓ ¬z␈εε,␈↓ ε↓␈εj␈↓ ε
␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β∂w␈↓ π∞␈ε↓P
␈β⊂⊃␈↓ λY␈ε~␈␈εε1␈↓
*␈εm
␈β⊂∩␈↓ ␈εα(␈↓
L␈εα)
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αεsta␈α␈ted␈α¬iden␈α}tity␈α¬no␈α␈w␈α¬yields␈α¬the␈α¬an␈α␈sw␈α␈er␈↓ ε∩␈ε G␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εA␈ε z␈↓ εO␈εβ)␈α =␈↓ πv␈ε ⊗␈↓ λλ␈εβ(␈↓ λ∀␈ε m␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε m␈↓ ¬␈εβln␈↓ ,␈εβ1/(1␈ε↔␈␈↓
␈ε p␈↓
≤␈ε z␈↓
A␈εβ)␈↓
X␈εβ,␈απfrom
␈β⊂ ␈↓ ε(␈εp
␈β⊂$␈↓ ∧(␈ε↓P
␈β⊂(␈↓ π4␈εm␈↓ πK␈ε~∃␈εε1
␈β⊂>␈↓ ¬r␈ε~␈␈εε1␈↓ ε)␈εd␈↓ λ[␈εn
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈↓ βC␈ε a␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧␈␈ε ⊗␈↓ ¬⊃␈εβ(␈↓ ¬≤␈ε n␈↓ ¬0␈εβ/␈↓ ¬A␈ε d␈↓ ¬S␈εβ)␈↓ ¬↑␈ε n␈↓ ε_␈ε p␈↓ ε8␈εβ;␈αth␈α␈u␈α␈s␈↓ π↔␈εβl␈α↓im␈↓ λ␈ε a␈↓ λ9␈εβ/␈↓ λJ␈ε p␈↓ λv␈εβ=␈α1␈α␈/␈↓ C␈ε n␈↓ W␈εβ.␈α∞To␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αthe
␈β⊂M␈↓ βS␈εn␈↓ βc␈εp␈↓ πF␈εp␈↓ πS␈ε~!␈α↓1␈↓ λ≠␈εn␈↓ λ+␈εp
␈β⊂S␈↓ ∧I␈ε↓P␈↓ πj␈ε↓P␈↓ d␈ε↓P
␈β⊂U␈↓ ∧N␈εd␈↓ ∧\␈ε~∧␈↓ ∧i␈εn
␈β⊂m␈↓ ε#␈εn␈↓ ε3␈εj␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εt␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈εt␈↓ λ|␈εm␈↓ ;␈ε~␈␈↓ T␈εt
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈ted␈αid␈α␈en␈α␈tity␈α␈,␈α
no␈α␈te␈αthat␈↓ ¬=␈ε ⊗␈↓ ¬P␈εβ(␈↓ ¬[␈ε n␈↓ ¬o␈εβ)␈↓ ¬z␈ε g␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε z␈↓ ε?␈εβ)␈↓ εJ␈ε n␈↓ π↓␈ε j␈↓ π>␈εβ=␈↓ λS␈ε g␈↓ λc␈εβ(␈↓ λn␈ε z␈↓ ∪␈εβ)␈↓ ≡␈ε m␈↓
C␈ε ⊗␈↓
V␈εβ(␈↓
a␈ε n␈↓
u␈εβ)␈α=
␈β⊃∧␈↓ ∧o␈εn␈↓ ∧␈␈εε,␈↓ ¬ε␈εj␈↓ ¬∩␈ε~∃␈εε1␈↓ λ⊂␈εm␈↓ λ(␈ε~∃␈εε1␈↓
␈εn␈↓
~␈ε~∧␈↓
'␈εm
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε z␈↓ ↓p␈εβ).
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα597
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε a␈↓ βπ␈εβbe␈αλt␈α␈he␈αλn␈α}um␈α}ber␈απof␈αλmo␈α␈nic␈αλp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈απof␈αλd␈α␈egree␈↓ λ≠␈ε n␈↓ λ7␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ *␈ε p␈↓ C␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ ≡␈ε r
␈βα4␈↓ ¬X␈ε↓P␈↓ λ=␈ε↓P
␈βα5␈↓ αU␈εn␈↓ αf␈εp␈↓ αs␈εr
␈βαN␈↓ π∀␈εn␈↓ π>␈εr␈↓ Y␈εk␈↓
␈εk
␈βαO␈↓ λ1␈εα(␈↓
8␈εα)
␈βαR␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α
fac␈α␈tors.␈αTh␈α␈en␈↓ ∧6␈ε↔G␈↓ ∧Y␈εβ(␈↓ ∧d␈ε z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬␈ε w␈↓ ¬→␈εβ)␈α =␈↓ εM␈ε a␈↓ ππ␈ε z␈↓ π%␈ε w␈↓ πS␈εβ=␈↓ π}␈εβe␈α␈xp␈↓ ≤␈ε G␈↓ @␈εβ(␈↓ K␈ε z␈↓ f␈εβ)␈↓ q␈ε w␈↓
↔␈εβ/␈↓
(␈ε k␈↓
D␈εβ,␈α
where
␈βα]␈↓ ∧K␈εp␈↓ ε\␈εn␈↓ εm␈εp␈↓ εz␈εr␈↓ 2␈εp
␈βαe␈↓ ¬}␈εn␈↓ ε∞␈εε,␈↓ ε∃␈εr␈↓ ε!␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ λc␈εk␈↓ λq␈ε~∃␈εε1
␈βαz␈↓ ↓H␈ε G␈↓ ↓w␈εβis␈αthe␈α
gen␈α␈eratin␈α␈g␈αfun␈α␈ction␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
4;␈αcf.␈αEq.␈α1.2␈α␈.␈α↓9␈α␈↑34␈α␈.␈αWe␈αh␈α␈av␈α␈e
␈ββ∧␈↓ ↓↑␈εp
␈ββ5␈↓ ↓d␈ε↓P␈↓ ε.␈ε↓P
␈ββO␈↓ βπ␈εn␈↓ πJ␈εk␈↓ πx␈εk
␈ββQ␈↓ ε"␈εα(␈↓ λ⊃␈εα)␈↓ λV␈εα(␈↓
~␈εα)
␈ββT␈↓ αF␈ε A␈↓ αy␈ε z␈↓ β!␈εβ=␈↓ βK␈ε d␈↓ β↑␈ε↔G␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε z␈↓ ∧→␈εβ/␈↓ ∧)␈ε p␈↓ ∧:␈εβ,␈↓ ∧I␈ε w␈↓ ∧b␈εβ)/␈↓ ∧}␈ε d␈↓ ¬
␈ε w␈↓ ¬+␈ε↔j␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π
␈ε G␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε z␈↓ πW␈εβ/␈↓ πg␈ε p␈↓ λε␈εβ)␈↓ λ"␈εβexp␈↓ λb␈εβln␈↓ λ}␈εβ(1/␈α␈(1␈ε↔␈απ␈␈↓ v␈ε z␈↓
∧␈εβ))
␈ββ↑␈↓ α[␈εn␈↓ αk␈εp␈↓ βr␈εp␈↓ ¬5␈εw␈↓ ¬I␈εε=1␈↓ π#␈εp
␈ββf␈↓ α
␈εn␈↓ α~␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ εT␈εk␈↓ εa␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈ββk␈↓ ε.␈ε↓P
␈β∧¬␈↓ λ6␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ[␈εn␈↓ λz␈εn
␈β∧π␈↓ ε"␈εα(␈↓ π,␈εα(␈↓ ∃␈εα)␈↓
¬␈εα)
␈β∧
␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π⊂␈εβln␈↓ π8␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ%␈ε p␈↓ λl␈ε z␈↓
␈εβ)␈↓ !␈ε ⎇␈↓ 6␈εβ(␈↓ A␈ε n␈↓ U␈εβ)␈α↓/␈↓ q␈ε n␈↓
⊃␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓
n␈ε z␈↓
|␈εβ),
␈β∧≤␈↓ εT␈εn␈↓ εd␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β∧f␈↓ ¬¬␈ε~␈␈εε2␈↓ -␈εr
␈β∧k␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α$␈ε A␈↓ α`␈εβ=␈↓ β␈ε H␈↓ β7␈εβ+␈απ1/2␈↓ ∧⊃␈ε p␈↓ ∧)␈εβ+␈↓ ∧Q␈ε O␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε p␈↓ ¬+␈εβ)␈αfo␈α␈r␈↓ ¬t␈ε n␈↓ ε⊃␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ ≤␈εβ2␈↓ C␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
coe␈α␈}cien␈α}t
␈β∧u␈↓ α9␈εn␈↓ αI␈εp␈↓ β ␈εn
␈β¬∞␈↓ ↓|␈εn␈↓ π>␈ε~␈␈εε2␈↓ ↔␈εε3
␈β¬∩␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε z␈↓ α↔␈εβin␈↓ α=␈ε↔G␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε z␈↓ αx␈εβ/␈↓ β ␈ε p␈↓ β~␈εβ,␈αε2␈α␈)␈α↓,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ ∧M␈ε n␈↓ ∧h␈εβ+␈απ1␈αε+␈αλ(␈↓ ¬[␈ε n␈↓ ¬v␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α↓/␈↓ εJ␈ε p␈↓ εb␈εβ+␈↓ π
␈ε O␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε p␈↓ πd␈εβ).␈α→(Th␈α␈e␈αv␈α␈arian␈α␈ce␈αis␈αo␈α␈f␈αord␈α␈er␈↓ β␈ε n␈↓ #␈εβ,
␈β¬≥␈↓ αR␈εp
␈β¬:␈↓ ↓H␈εβh␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er:␈αset␈↓ β¬␈ε w␈↓ β'␈εβ=␈α
4␈α␈.␈α↓)
␈β¬x␈↓ ε5␈εp
␈β¬|␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβFor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ β∀␈ε s␈↓ β,␈εβ<␈↓ βY␈ε p␈↓ βj␈εβ,␈↓ β␈␈ε x␈↓ ∧→␈ε↔␈␈↓ ∧B␈ε s␈↓ ∧\␈εβis␈αa␈αfact␈α␈or␈αof␈↓ ε$␈ε x␈↓ εK␈ε↔␈␈↓ εu␈ε x␈↓ π∩␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ λ∃␈ε p␈↓ λ&␈εβ)␈αb␈α␈y␈αFerma␈α␈t's␈α
t␈α␈heo␈α␈rem.␈α∞So
␈βε≤␈↓ λP␈εp
␈βε ␈↓ ↓Y␈εp
␈βε!␈↓ ∧M␈εα(␈↓ π␈␈εα)␈↓ ␈εα(
␈βε$␈↓ ↓H␈ε x␈↓ ↓n␈ε↔␈␈↓ α↔␈ε x␈↓ α3␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ ∧→␈εβlcm␈↓ ∧Y␈ε x␈↓ ∧r␈ε↔␈␈εβ␈απ0,␈↓ ¬:␈ε x␈↓ ¬R␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε~␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εG␈εβ,␈↓ εV␈ε x␈↓ εn␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ π"␈ε p␈↓ π:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ λ∀␈εβ=␈↓ λ>␈ε x␈↓ λ↑␈εβ.␈↓ ␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αTh␈α␈erefo␈α␈re␈αthe
␈βε*␈↓ βE␈ε↓α␈↓ β←␈ε↓β
␈βε3␈↓ λP␈∧ε3λPα∞
␈βεD␈↓ βQ␈εp
␈βεK␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tirl␈α↓in␈α␈g␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ βx␈εβa␈α␈re␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓es␈αo␈α␈f␈↓ ¬i␈ε p␈↓ εε␈εβex␈α}cep␈α␈t␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ πH␈ε k␈↓ πc␈εβ=␈α1,␈↓ λ6␈ε k␈↓ λQ␈εβ=␈↓ λ}␈ε p␈↓ ∂␈εβ.␈α∞E␈α↓q␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α1.2.6␈α␈↑41
␈βεX␈↓ λ:␈ε↓λ␈↓ λZ␈ε↓␈
␈βε[␈↓ βR␈εk
␈βεr␈↓ λL␈εp
␈βεw␈↓
x␈εα)
␈βεz␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈ws␈αth␈α␈at␈αthe␈α
same␈αsta␈α␈temen␈α}t␈αis␈αvalid␈αfo␈α␈r␈αStirli␈α↓n␈α␈g␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ λw␈εβof␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αkin␈α␈d.
␈βπ
␈↓ λL␈εk
␈βπ<␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α facto␈α␈rs␈α
o␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
r␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
a␈α␈re␈α
re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α prime,␈α
a␈α␈nd␈α eac␈α␈h␈α
is␈α a␈α
d␈α␈ivisor␈α of␈↓ r␈ε u␈↓
ε␈εβ(␈↓
⊃␈ε x␈↓
"␈εβ)␈α↓,␈α
so␈α th␈α␈eir
␈βπd␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ β4␈ε u␈↓ βH␈εβ(␈↓ βT␈ε x␈↓ βe␈εβ).␈αOn␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αha␈α␈nd␈α␈,
␈βλ!␈↓ π;␈ε↓Q
␈βλ;␈↓ ε⊃␈εp
␈βλ<␈↓ λ6␈εα(␈↓ 8␈εα)
␈βλ?␈↓ β&␈ε u␈↓ β:␈εβ(␈↓ βF␈ε x␈↓ βW␈εβ)␈↓ ∧*␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬X␈ε v␈↓ ¬i␈εβ(␈↓ ¬t␈ε x␈↓ εε␈εβ)␈↓ ε&␈ε↔␈␈↓ εO␈ε v␈↓ ε`␈εβ(␈↓ εk␈ε x␈↓ ε⎇␈εβ)␈α =␈↓ λB␈ε v␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε x␈↓ λo␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ +␈ε s␈↓ D␈εβ,
␈βλR␈↓ π]␈εε0␈ε~∀␈↓ λβ␈εs␈↓ λ∂␈εε<␈↓ λ(␈εp
␈β ~␈↓ ↓H␈εβso␈α
i␈α↓t␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈αthe␈αrigh␈α}t-ha␈α␈nd␈αsid␈α␈e␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.5.2↑␈α␈2.
␈β ]␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThe␈α
v␈α␈ecto␈α␈r␈α(18)␈αis␈αthe␈αo␈α␈nly␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈αwh␈α␈ose␈↓ εl␈ε k␈↓ ε|␈εβth␈αc␈α␈omp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈αis␈αno␈α␈nze␈α␈ro.
␈β
∨␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβFor␈α⊂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∩s␈α␈tart␈α⊂with␈↓ ¬λ␈ε x␈↓ ¬*␈ε↔ ␈εβ␈α∩1,␈↓ ελ␈ε y␈↓ ε,␈ε↔ ␈εβ␈α∩1;␈α∩the␈α␈n␈α⊂rep␈α␈eate␈α␈dly␈α⊂se␈α␈t␈ε ␈α⊂R␈εβ[␈↓ ]␈ε x␈↓ n␈εβ]␈ε↔␈α∩ ␈↓
;␈ε y␈↓
N␈εβ,␈↓
h␈ε x␈↓ ␈ε↔
␈β
F␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε x␈↓ ↓o␈εβmod␈↓ α4␈εβ1␈α␈01,␈↓ αz␈ε y␈↓ β⊗␈ε↔ ␈εβ␈α 51␈↓ βb␈ε y␈↓ βz␈εβm␈α␈od␈↓ ∧>␈εβ10␈α␈1,␈αon␈α␈e␈αh␈α␈u␈α␈nd␈α␈red␈αtimes␈α␈.
␈β¬␈↓
b␈εε[1␈α␈]
␈β ␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβThe␈α∞ma␈α␈trix␈↓ βD␈ε Q␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧⊃␈ε I␈↓ ∧.␈εβbelo␈α␈w␈α∞ha␈α␈s␈α∂a␈α∞n␈α}ull␈α∂sp␈α␈ace␈α∞g␈α␈enera␈α␈ted␈α∞b␈α␈y␈α∞the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞v␈α␈ec␈α␈tors␈↓
P␈ε v␈↓ ␈εβ=
␈β,␈↓ βp␈εε[2]
␈β0␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈α¬0,␈αε0),␈↓ β←␈ε v␈↓ ∧∀␈εβ=␈α
(0,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1).␈αThe␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis
␈βε␈↓ ∧M␈εε6␈↓ ¬≠␈εε5␈↓ ¬j␈εε4␈↓ π ␈εε2
␈β␈↓ ∧1␈εβ(␈↓ ∧<␈ε x␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬
␈ε x␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬X␈ε x␈↓ ¬}␈εβ+␈↓ ε&␈ε x␈↓ ε?␈εβ+␈αλ1␈α␈)(␈↓ π∂␈ε x␈↓ π4␈εβ+␈↓ π]␈ε x␈↓ πu␈εβ+␈αλ1).
␈βa␈↓ βL␈ε p␈↓ βf␈εβ=␈α 2
␈βg␈↓ λn␈ε p␈↓ λ␈εβ=␈α
5
␈βy␈↓ α∪␈ε↓0␈↓ ¬A␈ε↓1
␈β␈␈↓ πQ␈ε↓0␈↓
I␈ε↓1
␈β
∃␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧ ␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β
$␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ0␈↓ ⊃␈εβ0␈↓ G␈εβ0␈↓ ⎇␈εβ0␈↓
3␈εβ0
␈β
:␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β
=␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧ ␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β
@␈↓ πQ␈ε↓B␈↓
I␈ε↓C
␈β
K␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ4␈↓ λ[␈εβ0␈↓ ⊃␈εβ0␈↓ G␈εβ0␈↓ ⎇␈εβ1␈↓
3␈εβ0
␈β
P␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β
U␈↓ πQ␈ε↓B␈↓
I␈ε↓C
␈β
e␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧ ␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β
k␈↓ πQ␈ε↓B␈↓
I␈ε↓C
␈β
s␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ ⊃␈εβ0␈↓ G␈εβ4␈↓ ⎇␈εβ3␈↓
3␈εβ4
␈β
{␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞␈↓ πQ␈ε↓B␈↓
I␈ε↓C
␈β∞␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧ ␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈β∞⊃␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞⊗␈↓ πQ␈ε↓B␈↓
I␈ε↓C
␈β∞≠␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ1␈↓ λ[␈εβ4␈↓ ⊃␈εβ4␈↓ G␈εβ4␈↓ ⎇␈εβ2␈↓
3␈εβ1
␈β∞&␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞,␈↓ πQ␈ε↓B␈↓
I␈ε↓C
␈β∞4␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧ ␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈β∞<␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞A␈↓ πQ␈ε↓B␈↓
I␈ε↓C
␈β∞B␈↓ πo␈εβ2␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ ⊃␈εβ3␈↓ G␈εβ4␈↓ ⎇␈εβ3␈↓
3␈εβ2
␈β∞Q␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞W␈↓ πQ␈ε↓@␈↓
I␈ε↓A
␈β∞[␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧ ␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β∞g␈↓ α∪␈ε↓@␈↓ ¬A␈ε↓A
␈β∞j␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ4␈↓ ⊃␈εβ0␈↓ G␈εβ1␈↓ ⎇␈εβ3␈↓
3␈εβ2
␈β∂β␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧ ␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈β∂⊃␈↓ πo␈εβ3␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ2␈↓ ⊃␈εβ1␈↓ G␈εβ4␈↓ ⎇␈εβ2␈↓
3␈εβ1
␈β∂+␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧ ␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈β∂a␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβRemo␈α}ving␈α
th␈α␈e␈αtrivial␈αfa␈α␈ctor␈↓ ¬%␈ε x␈↓ ¬7␈εβ,␈αth␈α␈e␈αma␈α␈trix␈↓ εq␈ε Q␈↓ π⊂␈ε↔␈␈↓ π8␈ε I␈↓ πR␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αh␈α␈as␈αa␈α
n␈α␈u␈α␈ll␈αspa␈α␈ce␈αg␈α␈enera␈α␈ted
␈β⊂λ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈)␈αand␈α
(0,␈αε3␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈α¬2,␈αε1).␈αThe␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈αis
␈β⊂↑␈↓ ∧⊗␈εε2␈↓ ¬]␈εε5␈↓ ε<␈εε4␈↓ π
␈εε3␈↓ πi␈εε2
␈β⊂c␈↓ βh␈ε x␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε x␈↓ ∧*␈εβ+␈αλ3␈↓ ∧c␈ε x␈↓ ∧|␈εβ+␈αλ4)(␈↓ ¬L␈ε x␈↓ ¬q␈εβ+␈αλ2␈↓ ε*␈ε x␈↓ εP␈εβ+␈↓ εy␈ε x␈↓ π≡␈εβ+␈αλ4␈↓ πW␈ε x␈↓ π⎇␈εβ+␈↓ λ%␈ε x␈↓ λ>␈εβ+␈αλ3␈α␈)␈α↓.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα598␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α TO␈α EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓
b4.6.2
␈βα&␈↓ β}␈εε4␈↓ ∧P␈εε4
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε p␈↓ αG␈εβ=␈α
2␈α␈,␈α(␈↓ β"␈ε x␈↓ β:␈εβ+␈απ1␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧∀␈εβ=␈↓ ∧>␈ε x␈↓ ∧c␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈αIf␈↓ ¬R␈ε p␈↓ ¬l␈εβ=␈α 8␈↓ ε'␈ε k␈↓ ε>␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ π␈ε Q␈↓ π+␈ε↔␈␈↓ πS␈ε I␈↓ πm␈εβis␈αth␈α␈e␈αz␈α␈ero␈αm␈α␈atrix,␈αso␈α
the␈α␈re␈αare
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈ur␈αfac␈α␈tors.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αoth␈α␈er␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ ¬'␈ε p␈↓ ¬C␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈ββ≥␈↓ ∧↓␈ε p␈↓ ∧≠␈εβ=␈α
8␈↓ ∧V␈ε k␈↓ ∧n␈εβ+␈αλ3␈↓ ε,␈ε p␈↓ εF␈εβ=␈α
8␈↓ πα␈ε k␈↓ π→␈εβ+␈αλ5␈↓ λW␈ε p␈↓ λr␈εβ=␈α 8␈↓ -␈ε k␈↓ E␈εβ+␈απ7
␈ββ6␈↓ βB␈ε↓0␈↓ ¬N␈ε↓1␈↓ ¬n␈ε↓0␈↓ πy␈ε↓1␈↓ λ→␈ε↓0␈↓
$␈ε↓1
␈ββU␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ F␈εβ0␈↓
∞␈εβ0
␈ββw␈↓ βB␈ε↓B␈↓ ¬N␈ε↓C␈↓ ¬n␈ε↓B␈↓ πy␈ε↓C␈↓ λ→␈ε↓B␈↓
$␈ε↓C
␈ββ⎇␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧π␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ ε2␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ F␈εβ0␈↓ m␈ε↔␈␈εβ1
␈β∧␈↓ βB␈ε↓@␈↓ ¬N␈ε↓A␈↓ ¬n␈ε↓@␈↓ πy␈ε↓A␈↓ λ→␈ε↓@␈↓
$␈ε↓A
␈β∧∃␈↓ α4␈ε Q␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ α|␈ε I␈↓ β∀␈εβ=
␈β∧$␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧O␈ε↔␈␈εβ2␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ %␈ε↔␈␈εβ2␈↓
∞␈εβ0
␈β∧L␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬↔␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πB␈ε↔␈␈εβ2␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ F␈εβ0␈↓ m␈ε↔␈␈εβ1
␈β¬↔␈↓
h␈εε4
␈β¬_␈↓ πI␈εα(
␈β¬≠␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α∩␈ε Q␈↓ α-␈ε↔␈␈↓ αQ␈ε I␈↓ αh␈εβha␈α␈s␈αλran␈α␈k␈απ2,␈α so␈απthe␈α␈re␈αλar␈α␈e␈αλ4␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈αβ2␈α =␈α 2␈αλfac␈α␈tors.␈↓ πU␈εβBut␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απeasy␈απto␈απpro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈at␈↓
W␈ε x␈↓
x␈εβ+␈αβ1
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβis␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αsince␈αit␈αh␈α␈as␈αno␈α
l␈α↓in␈α␈ear␈αfac␈α␈tors␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈αof␈↓
t␈ε x␈↓ ⊃␈εβin
␈β¬j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈αλfac␈α␈tor␈αλof␈α d␈α␈egre␈α␈e␈α t␈α␈w␈α␈o␈αλm␈α␈u␈α␈st␈α b␈α␈e␈α less␈αλth␈α␈an␈αλor␈αλequ␈α␈al␈α t␈α␈o␈α 2␈αλin␈αλab␈α␈solut␈α␈e␈α v␈α␈alue␈αλb␈α␈y␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ20␈α␈.
␈βε
␈↓
%␈εk
␈βε∩␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α a␈α␈l␈α↓l␈↓ α/␈ε k␈↓ αI␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈α H.␈α P.␈α F.␈α S␈α␈wi␈α↓n␈α␈ne␈α␈rton␈α␈-␈α↓D␈α␈y␈α␈er␈αλha␈α␈s␈α e␈α␈xh␈α␈i␈α↓b␈α␈ited␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλof␈αλdeg␈α␈ree␈↓
∀␈εβ2␈↓
;␈εβth␈α␈at␈αλare
␈βε9␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α the␈α in␈α␈te␈α␈gers,␈α bu␈α␈t␈α they␈αλsplit␈α comp␈α␈letely␈α in␈α}to␈α li␈α↓n␈α␈ear␈α a␈α␈nd␈αλqua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈αλfactor␈α␈s
␈βε]␈↓ πK␈εε8␈↓ λ=␈εε6␈↓ /␈εε4␈↓
2␈εε2
␈βεa␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈α
ev␈α}ery␈α
p␈α␈rime.␈α⊃F␈α↓o␈α␈r␈α
deg␈α␈ree␈α
8␈α␈,␈α∞his␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈αi␈α↓s␈↓ π:␈ε x␈↓ π`␈ε↔␈␈εβ␈α 16␈↓ λ,␈ε x␈↓ λR␈εβ+␈α
8␈α␈8␈↓ ≡␈ε x␈↓ E␈εβ+␈α 1␈α␈92␈↓
!␈ε x␈↓
G␈εβ+␈α 144␈α␈,
␈βπα␈↓ βJ␈∧παβJα⊃␈↓ ∧+␈∧πα∧+α⊃
␈βπ∧␈↓ β(␈ε↔p␈↓ ∧ ␈ε↔p
␈βπλ␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
roots␈ε↔␈α
ε␈↓ βJ␈εβ2␈↓ βa␈ε↔ε␈↓ ∧+␈εβ3␈↓ ∧B␈ε↔ε␈↓ ∧j␈ε i␈↓ ¬α␈εβ[see␈ε⊂␈α
Ma␈α␈th.␈αCo␈α␈mp␈α␈.␈ε∪␈α24␈εβ␈α
(197␈α␈0),␈α73␈α␈3↑7␈α␈34].␈αAcco␈α␈rding␈α
to␈α
the
␈βπ0␈↓ ↓H␈εβth␈α␈eor␈α␈em␈α of␈αλF␈α↓ro␈α␈ben␈α␈ius␈α c␈α␈i␈α↓te␈α␈d␈α in␈αλex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α 33␈α␈,␈α
an␈α}y␈α irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α p␈α␈olyn␈α␈omial␈α o␈α␈f␈α deg␈α␈ree␈↓
9␈ε n␈↓
U␈εβw␈α↓h␈α␈ose
␈βπU␈↓
/␈εα)
␈βπX␈↓ ↓H␈εβGa␈α␈lois␈αgrou␈α␈p␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αno␈↓ ∧<␈ε n␈↓ ∧P␈εβ-␈α↓c␈α␈y␈α␈cles␈αwill␈αh␈α␈av␈α}e␈αfacto␈α␈rs␈αmod␈α␈ulo␈αalmo␈α␈st␈αall␈αprimes.
␈βλ∞␈↓ ∧s␈∧λ∞∧sα2␈↓ ¬b␈∧λ∞¬bα⊃␈↓ π9␈∧λ∞π9α2␈↓ λ(␈∧λ∞λ(α⊃␈↓ ␈␈∧λ∞ ␈α2␈↓
n␈∧λ∞
nα⊃
␈βλ∂␈↓ ∧R␈ε↔p␈↓ ¬A␈ε↔p␈↓ π_␈ε↔p␈↓ λπ␈ε↔p␈↓ ↑␈ε↔p␈↓
M␈ε↔p
␈βλ⊃␈↓ β8␈εα(␈↓ ¬s␈εα)␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ λ9␈εα)␈↓ λE␈εα(␈↓
␈␈εα)
␈βλ∀␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε p␈↓ α&␈εβ=␈α
8␈↓ αa␈ε k␈↓ αs␈εβ+␈αα1␈α␈:␈↓ βD␈ε x␈↓ β]␈εβ+␈αλ(1␈απ+␈↓ ∧s␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬%␈εβ)/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε␈ε x␈↓ ε#␈εβ+␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πk␈εβ)/␈↓ λ(␈εβ2␈↓ λQ␈ε x␈↓ λj␈ε↔␈␈εβ␈απ(1␈απ+␈↓ ␈␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓
1␈εβ)␈α↓/␈↓
n␈εβ2␈↓ ␈ε↔α
␈βλ:␈↓ βα␈∧λ:βαα2␈↓ βq␈∧λ:βqα⊃␈↓ εR␈∧λ:εRα2␈↓ λ]␈∧λ:λ]α2
␈βλ<␈↓ αa␈ε↔p␈↓ βP␈ε↔p␈↓ ¬t␈εε2␈↓ ε0␈ε↔p␈↓ π␈␈εε2␈↓ λ<␈ε↔p
␈βλ>␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧α␈εα)␈↓ ¬V␈εα(␈↓ πV␈εα)␈↓ πb␈εα(␈↓ a␈εα)
␈βλA␈↓ ↓T␈ε x␈↓ ↓l␈ε↔␈␈εβ␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βα␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ β4␈εβ)/␈↓ βq␈εβ2␈↓ ∧∞␈εβ.␈↓ ∧'␈ε p␈↓ ∧A␈εβ=␈α
8␈↓ ∧|␈ε k␈↓ ¬∂␈εβ+␈αβ3:␈↓ ¬b␈ε x␈↓ ελ␈ε↔␈␈↓ εR␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π∧␈ε x␈↓ π≤␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ πn␈ε x␈↓ λ∪␈ε↔␈␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ∂␈ε x␈↓ (␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ m␈εβ.␈↓
ε␈ε p␈↓
!␈εβ=␈α 8␈↓
\␈ε k␈↓
o␈εβ+␈αβ5␈α␈:
␈βλg␈↓ αC␈∧λgαCα2␈↓ β|␈∧λgβ|α2␈↓ π#␈∧λgπ#α⊃␈↓ ∞␈∧λg ∞α⊃
␈βλh␈↓ α"␈ε↔p␈↓ β[␈ε↔p␈↓ πα␈ε↔p␈↓ λl␈ε↔p
␈βλi␈↓ ↓e␈εε2␈↓ β≡␈εε2␈↓ εE␈εε2␈↓ λ0␈εε2
␈βλj␈↓ ↓H␈εα(␈↓ αu␈εα)␈↓ β↓␈εα(␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ε(␈εα(␈↓ λε␈εα)␈↓ λ∩␈εα(␈↓ p␈εα)
␈βλm␈↓ ↓T␈ε x␈↓ ↓y␈ε↔␈␈↓ αC␈ε↔␈␈εβ1␈↓ β
␈ε x␈↓ β2␈ε↔␈␈↓ β|␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧:␈εβ.␈↓ ∧`␈ε p␈↓ ∧}␈εβ=␈α
8␈↓ ¬<␈ε k␈↓ ¬U␈εβ+␈α 7:␈↓ ε4␈ε x␈↓ εY␈ε↔␈␈↓ π#␈εβ2␈↓ π4␈ε x␈↓ πM␈εβ+␈αλ1␈↓ λ≡␈ε x␈↓ λD␈εβ+␈↓ ∞␈εβ2␈↓ ≡␈ε x␈↓ 7␈εβ+␈αλ1␈↓ |␈εβ.␈α∩Th␈α␈e␈α
latte␈α␈r
␈β ∃␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αalso␈α
hold␈α␈s␈αo␈α␈v␈α␈er␈αth␈α␈e␈α|␈α␈eld␈αof␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈β H␈↓ ∧d␈εε(␈↓ ∧l␈εp␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)/2␈↓
␈εε(␈↓
∪␈εp␈↓
!␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β L␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβThe␈αεg␈α␈cd␈αεis␈αε1␈αεwh␈α␈en␈αε(␈↓ ∧∀␈ε s␈↓ ∧+␈εβ+␈↓ ∧M␈ε t␈↓ ∧Y␈εβ)␈↓ ¬K␈ε↔⊃␈εβ␈α 0␈αεor␈ε↔␈αε␈␈εβ1␈αεfor␈αεall␈↓ π@␈ε i␈↓ πM␈εβ;␈αλit␈απis␈↓ λ↔␈ε w␈↓ λ0␈εβ(␈↓ λ;␈ε x␈↓ λL␈εβ)␈αεw␈α↓h␈α␈en␈α¬(␈↓ ;␈ε s␈↓ Q␈εβ+␈↓ s␈ε t␈↓ ␈␈εβ)␈↓
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
1
␈β W␈↓ ∧∨␈εi␈↓ F␈εi
␈β t␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α all␈↓ α%␈ε i␈↓ α2␈εβ.␈α
To␈α g␈α␈et␈α a␈αλlo␈α␈w␈α␈er␈αλbou␈α␈nd␈αλo␈α␈n␈↓ ¬)␈ε P␈↓ ¬@␈εβ,␈α
let␈↓ ε␈ε k␈↓ ε~␈εβ=␈α 2.␈αTh␈α␈e␈α \␈α␈ba␈α␈d"␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αλof␈↓ ∩␈ε t␈↓ &␈εβsatisfy␈↓
␈ε t␈↓
#␈ε↔⊃␈α ␈␈↓
n␈ε s␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈β }␈↓
z␈εε1
␈β
↔␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εp␈↓ ∧|␈ε~␈␈εε1)/2
␈β
_␈↓ αq␈εα(␈↓ ∧Z␈εα)
␈β
≠␈↓ ↓H␈ε t␈↓ ↓]␈ε↔⊃␈α ␈␈↓ α)␈ε s␈↓ αJ␈εβor␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε s␈↓ β%␈εβ+␈↓ βL␈ε t␈↓ βX␈εβ)/(␈↓ β␈␈ε s␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧C␈ε t␈↓ ∧O␈εβ)␈↓ ¬M␈ε↔⊃␈εβ␈α 1.␈αFu␈α␈rtherm␈α␈ore␈α (␈↓ πi␈ε s␈↓ λπ␈εβ+␈↓ λ-␈ε t␈↓ λ9␈εβ)/(␈↓ λ`␈ε s␈↓ λ⎇␈εβ+␈↓ $␈ε t␈↓ 0␈εβ)␈α run␈α␈s␈α
th␈α␈roug␈α␈h␈α all
␈β
&␈↓ α4␈εε2␈↓ β∪␈εε1␈↓ ∧
␈εε2␈↓ πt␈εε1␈↓ λk␈εε2
␈β
C␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αex␈α}cept␈α
0␈αa␈α␈nd␈α
1␈αa␈α␈s␈↓ ∧5␈ε t␈↓ ∧L␈εβru␈α␈ns␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈α
all␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αo␈α␈ther␈α
tha␈α␈n␈ε↔␈α␈␈↓ λl␈ε s␈↓ ∂␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
␈␈↓ p␈ε s␈↓
λ␈εβ,␈αmod␈α␈ulo␈↓ ∩␈ε p␈↓ #␈εβ.
␈β
M␈↓ λw␈εε1␈↓ {␈εε2
␈β
g␈↓ λα␈εα(
␈β
j␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈αt␈α␈here␈αare␈αa␈α␈t␈αmost␈α2␈απ+␈αλ(␈↓ ¬↓␈ε p␈↓ ¬~␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α␈)/2␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ1␈αbad␈αva␈α␈lues.␈↓ λ∞␈εβIf␈↓ λ0␈ε t␈↓ λF␈ε↔⊃␈α␈␈↓ ∪␈ε s␈↓ 7␈εβan␈α␈d␈↓ y␈ε t␈↓
∂␈ε↔⊃␈α␈␈↓
\␈ε s␈↓ ␈εβare
␈β
u␈↓ ∨␈εε1␈↓
h␈εε2
␈β∞␈↓ βs␈εε(␈↓ β|␈εp␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β∂␈↓
a␈εα)
␈β∩␈↓ ↓H␈εβb␈α␈oth␈α
ba␈α␈d,␈αthen␈α
(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ βh␈εβ)␈↓ ∧Z␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈;␈αth␈α}us␈↓ ¬s␈ε P␈↓ ε∀␈ε↔∃␈εβ␈α 1/2␈απ+␈απ1/(2␈↓ π]␈ε p␈↓ πn␈εβ)␈αwh␈α␈en␈↓ λ[␈ε p␈↓ λv␈ε↔⊃␈εβ␈α 3␈α (mod␈α␈ulo␈α4␈α␈).
␈β;␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIt␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓s␈α
th␈α␈at␈α
with␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
>␈α
1␈ε↔␈αε␈␈↓ π)␈ε ∂␈↓ π@␈εβw␈α␈e␈α
w␈α↓ill␈α|␈α␈nd␈α a␈α
roo␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ w␈ε w␈↓
∂␈εβ(␈↓
~␈ε x␈↓
,␈εβ)␈α
mod␈α␈ulo
␈β↑␈↓ ∧,␈εε2␈↓ ¬⊂␈εε3␈↓ ¬b␈εε3␈↓ εE␈εε2
␈β←␈↓ α)␈εα(␈↓ ε]␈εα)␈↓ λb␈εα(
␈βb␈↓ ↓H␈ε p␈↓ ↓g␈εβin␈↓ α⊃␈ε O␈↓ α5␈εβ(␈↓ α@␈εβlog␈↓ αk␈εβ(1/␈↓ β↔␈ε ∂␈↓ β$␈εβ))(␈↓ βE␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βv␈ε k␈↓ ∧ε␈εβ)(␈↓ ∧≤␈ε k␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈εβlog␈↓ ∧t␈ε p␈↓ ¬¬␈εβ)␈↓ ¬&␈εβ+␈↓ ¬Q␈ε k␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε)␈ε p␈↓ ε:␈εβ)␈↓ εR␈εβ)␈↓ εx␈εβu␈α␈nits␈α∞of␈α∞time.␈↓ λn␈εβTh␈α␈e␈α∞f␈α↓a␈α␈ctor␈↓
→␈εβlog␈↓
C␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓
p␈ε ∂␈↓
⎇␈εβ)␈α∞is
␈β
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∂o␈α␈f␈α∂ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈α∂trials␈α∞ne␈α␈ede␈α␈d␈α∞per␈α∞red␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α∂while␈↓ λk␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ≠␈ε k␈↓ :␈εβis␈α∂th␈α␈e␈α∞max␈α␈im␈α␈um
␈β2␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλo␈α␈f␈α re␈α␈du␈α␈ction␈α␈s,␈α si␈α↓n␈α␈ce␈αλth␈α␈e␈αλd␈α␈egree␈απi␈α↓s␈αλa␈α␈t␈αλw␈α␈orst␈αλh␈α␈alv␈α␈ed␈απwhen␈απa␈αλn␈α␈on␈α}tri␈α↓v␈α␈ial␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈βU␈↓ αd␈εε2␈↓ βH␈εε3␈↓ πV␈εε(␈↓ π↑␈εp␈↓ πl␈ε~␈␈εε1)/2␈↓
<␈εε3␈↓ ␈εε2
␈βY␈↓ ↓H␈εβis␈αfou␈α␈nd␈α␈;␈↓ αT␈ε k␈↓ αp␈εβ(␈↓ α|␈εβlo␈α␈g␈↓ β,␈ε p␈↓ β=␈εβ)␈↓ βa␈εβu␈α␈nits␈αof␈αtime␈αwil␈α↓l␈αev␈α␈aluat␈α␈e␈α
(␈↓ ε|␈ε x␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π?␈ε t␈↓ πK␈εβ)␈↓ λ9␈εβmo␈α␈d␈↓ λ⎇␈ε w␈↓ ⊗␈εβ(␈↓ !␈ε x␈↓ 3␈εβ),␈α
wh␈α␈il␈α↓e␈↓
,␈ε k␈↓
I␈εβ(␈↓
T␈εβlog␈↓ ∧␈ε p␈↓ ∃␈εβ)
␈β}␈↓ ∧Q␈εα)
␈β
↓␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈}ce␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αthe␈αgcd␈α␈.␈↓ ∧w␈εβOn␈αthe␈αot␈α␈her␈αha␈α␈nd␈α␈,␈αthe␈αtru␈α␈e␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈αis␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
bette␈α␈r
␈β
(␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈απth␈α␈ese␈αλ\␈α␈wo␈α␈rst-case␈α␈"␈αλest␈α␈i␈α↓m␈α␈ates.␈α
Su␈α␈pp␈α␈ose␈απtha␈α␈t␈αλea␈α␈ch␈αλline␈α␈ar␈αλfa␈α␈ctor␈↓ λ}␈ε x␈↓ ∩␈ε↔␈␈↓ 6␈ε s␈↓ T␈εβh␈α␈as␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β
3␈↓ A␈εi
␈β
L␈↓ β}␈εε(␈↓ ∧ε␈εp␈↓ ∧∀␈ε~␈␈εε1)/2
␈β
M␈↓ ↓K␈εε1
␈β
P␈↓ ↓i␈εβof␈α∞d␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
(␈↓ β"␈ε x␈↓ β=␈εβ+␈↓ βg␈ε t␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧e␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α∞fo␈α␈r␈α∞ea␈α␈ch␈↓ ε2␈ε t␈↓ ε>␈εβ,␈α∂ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞b␈α␈eha␈α␈vior␈α
for␈α∞o␈α␈ther␈↓ ∃␈ε s
␈β
[␈↓ ␈εj
␈β
↑␈↓ ↓K␈∧
↑↓Kα
␈β
`␈↓ ↓K␈εε2
␈β
x␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α ␈ε t␈↓ α∀␈εβ.␈αThe␈α␈n␈αif␈αw␈α␈e␈αen␈α␈cod␈α␈e␈αeac␈α␈h␈↓ ¬
␈ε s␈↓ ¬+␈εβby␈α
a␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αof␈α0's␈αan␈α␈d␈α1's␈αacc␈α␈ordin␈α␈g␈αas␈↓
␈ε x␈↓
$␈ε↔␈␈↓
M␈ε s␈↓
n␈εβd␈α␈oe␈α␈s
␈β∞α␈↓ ¬∃␈εi␈↓
X␈εi
␈β∞≠␈↓ ∧6␈εε(␈↓ ∧>␈εp␈↓ ∧L␈ε~␈␈εε1)/2
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α∞d␈α␈oesn␈α␈'␈α↓t␈α
divid␈α␈e␈α∞(␈↓ βZ␈ε x␈↓ βu␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε t␈↓ ∧+␈εβ)␈↓ ¬≥␈ε↔␈␈εβ␈α 1␈α∞fo␈α␈r␈α∞the␈α
suc␈α␈cessiv␈α␈e␈↓ πu␈ε t␈↓ λ↓␈εβ's␈α∞tried␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈btain␈α
a␈α
rand␈α␈om
␈β∞G␈↓ ↓H␈εβb␈α␈inar␈α␈y␈αtrie␈αwith␈↓ β:␈ε k␈↓ βU␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈α(cf.␈αSe␈α␈ction␈α
6.3).␈αT␈α↓h␈α␈e␈αco␈α␈st␈αasso␈α␈ciated␈α
wi␈α↓th␈α
an␈α
i␈α↓n␈α}tern␈α␈al␈αno␈α␈de␈αo␈α␈f
␈β∞j␈↓ π␈εε2␈↓ πd␈εε3␈↓ λ5␈εε3␈↓ →␈εε2
␈β∞k␈↓ εb␈εα(␈↓ &␈εα)
␈β∞n␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
trie,␈α
h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ β@␈ε d␈↓ β←␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈αas␈αde␈α␈scend␈α␈an␈α}ts,␈α
is␈↓ εJ␈ε O␈↓ εn␈ε d␈↓ π
␈εβ(␈↓ π_␈εβlog␈↓ πH␈ε p␈↓ πY␈εβ)␈↓ πy␈εβ+␈↓ λ#␈ε d␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈εβlog␈↓ λ⎇␈ε p␈↓ ∞␈εβ)␈↓ 2␈εβ.␈α∂Th␈α␈e␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αto
␈β∞t␈↓ ∧⊃␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ ¬h␈ε↓␈␈↓ εε␈ε↓↓␈↓ π*␈ε↓␈␈↓ πI␈ε↓↓␈↓ ↓␈ε↓␈␈↓ ∨␈ε↓↓␈↓
w␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓↓
␈β∞x␈↓ ¬<␈ε↓P␈↓ λU␈ε↓P
␈β∂∞␈↓ ∧∨␈εn␈↓ ¬v␈εn␈↓ π8␈εn␈↓ ∂␈εn␈↓ ¬␈εn
␈β∂∩␈↓ ¬↓␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ¬&␈εn␈↓ λ~␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ?␈εn
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈curre␈α␈nces␈↓ β2␈ε A␈↓ βd␈εβ=␈↓ ∧F␈εβ+␈↓ ∧p␈εβ2␈↓ ε∀␈ε A␈↓ ε7␈εβ,␈↓ εM␈ε B␈↓ ε⎇␈εβ=␈↓ π←␈εβ+␈↓ λ ␈εβ2␈↓ -␈ε B␈↓ N␈εβ,␈α
is␈↓
π␈ε A␈↓
9␈εβ=␈α2␈↓ #␈εβ,
␈β∂!␈↓ βH␈εn␈↓ ε)␈εk␈↓ εa␈εn␈↓ A␈εk␈↓
≤␈εn
␈β∂#␈↓ α:␈ε↓␈␈↓ αX␈ε↓↓
␈β∂&␈↓ ∧!␈εε2␈↓ ¬w␈εk␈↓ π:␈εε3␈↓ ⊂␈εk␈↓ π␈εε2
␈β∂=␈↓ αH␈εn
␈β∂A␈↓ α)␈εε4
␈β∂E␈↓ ↓H␈ε B␈↓ ↓x␈εβ=␈↓ αf␈εβ,␈α∞b␈α␈y␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α5.2.2↑3␈α␈6.␈α⊃Hen␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
sum␈αof␈α
cos␈α␈ts␈α
i␈α↓n␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αran␈α␈do␈α␈m␈α
trie←
␈β∂O␈↓ ↓[␈εn
␈β∂S␈↓ α)␈∧∂Sα)α
␈β∂U␈↓ α)␈εε3␈↓ αI␈εε3
␈β∂m␈↓ πg␈εε2␈↓ λK␈εε3␈↓ ∀␈εε3␈↓ x␈εε2
␈β∂n␈↓ πK␈εα(␈↓
∧␈εα)
␈β∂q␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ting␈α th␈α␈e␈α
time␈α to␈α f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ ¬
␈ε w␈↓ ¬#␈εβ(␈↓ ¬.␈ε x␈↓ ¬?␈εβ)␈ε⊂␈α
com␈α␈pletely␈εβ␈α␈←␈α↓is␈↓ π2␈ε O␈↓ πW␈ε k␈↓ πt␈εβ(␈↓ π␈␈εβlog␈↓ λ/␈ε p␈↓ λ@␈εβ)␈↓ λ]␈εβ+␈↓ ∧␈ε k␈↓ ␈εβ(␈↓ ,␈εβlo␈α␈g␈↓ \␈ε p␈↓ m␈εβ)␈↓
~␈εβu␈α␈nd␈α␈er␈α
th␈α␈is
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εβp␈α␈laus␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αassu␈α␈mption␈α␈.
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβWe␈α
m␈α␈ay␈α assu␈α␈me␈α that␈↓ ∧F␈ε u␈↓ ∧c␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α an␈α␈d␈α that␈↓ ε.␈ε p␈↓ εI␈εβis␈α odd␈α␈.␈αBerlek␈α␈amp␈α␈'␈α↓s␈α meth␈α␈od␈α ap␈α␈plied␈α to␈α the
␈β⊂s␈↓ βε␈εε2␈↓ %␈εε(␈↓ -␈εp␈↓ ;␈ε~␈␈εε1)/2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε x␈↓ β~␈ε↔␈␈↓ βC␈ε u␈↓ βb␈εβtell␈α↓s␈αus␈αtha␈α␈t␈αa␈αsqu␈α␈are␈αroo␈α␈t␈αex␈α␈i␈α↓st␈α␈s␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈↓ ⊃␈ε u␈↓
λ␈εβmo␈α␈d␈↓
L␈ε p␈↓
g␈εβ=␈α1␈α␈;
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβlet␈αu␈α␈s␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈αthis␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αho␈α␈lds.
␈β∪(
␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α T␈α␈O␈α EXER␈α␈CISES␈↓
v␈εα599
␈βα'␈↓ βb␈εe
␈βα+␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε p␈↓ αb␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
=␈↓ βQ␈εβ2␈↓ βt␈ε↔↓␈↓ ∧¬␈ε q␈↓ ∧∀␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬ ␈ε q␈↓ ¬$␈εβis␈αodd␈α␈.␈α
Zasse␈α␈nh␈α␈aus's␈αfacto␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αsug␈α␈gests␈αthe
␈βαS␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αsqu␈α␈are-ro␈α␈ot␈αex␈α␈traction␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m:␈αSe␈α␈t␈↓ ε|␈ε t␈↓ π∩␈ε↔ ␈εβ␈α 0.␈αEvalu␈α␈ate
␈ββ∨␈↓ β
␈εq␈↓ βw␈εε2␈↓ ε∞␈εε2␈↓ ε~␈εq␈↓ ππ␈εε2
␈ββ"␈↓ α≠␈εα(␈↓ ∧H␈εα)␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ πX␈εα)
␈ββ%␈↓ ↓i␈εβgc␈α␈d␈↓ α'␈εβ(␈↓ α2␈ε x␈↓ αK␈εβ+␈↓ αs␈ε t␈↓ α␈␈εβ)␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ βf␈ε x␈↓ ∧␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε u␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧l␈εβgcd␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε x␈↓ ¬N␈εβ+␈↓ ¬w␈ε t␈↓ εβ␈εβ)␈↓ ε.␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ εv␈ε x␈↓ π≠␈ε↔␈␈↓ πD␈ε u␈↓ πd␈εβ,
␈ββN␈↓ ¬W␈εε4␈↓ ¬d␈εq␈↓ εQ␈εε2␈↓ λg␈εε8␈↓ λt␈εq␈↓ a␈εε2
␈ββQ␈↓ ∧h␈εα(␈↓ π"␈εα)␈↓ πx␈εα(␈↓
1␈εα)
␈ββT␈↓ ∧6␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε x␈↓ ¬↔␈εβ+␈↓ ¬@␈ε t␈↓ ¬L␈εβ)␈↓ ¬w␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε?␈ε x␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π
␈ε u␈↓ π.␈εβ,␈↓ πF␈εβg␈α␈cd␈↓ λ∧␈εβ(␈↓ λ∂␈ε x␈↓ λ'␈εβ+␈↓ λP␈ε t␈↓ λ\␈εβ)␈↓ π␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ O␈ε x␈↓ u␈ε↔␈␈↓
≥␈ε u␈↓
=␈εβ,␈↓
U␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εβ,
␈β∧&␈↓ ↓H␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α|n␈α␈ding␈α
the␈α|␈α␈rst␈αcase␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αgcd␈α
i␈α↓s␈αn␈α␈ot␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ~␈ε p␈↓ λ+␈εβ)␈α↓.␈αIf␈αthe␈αg␈α␈cd␈αis␈↓
∧␈ε x␈↓
≥␈ε↔␈␈↓
F␈ε v␈↓
W␈εβ,␈αth␈α␈en
␈β∧I␈↓ ∧B␈εε2
␈β∧K␈↓ ↓i␈∧∧K↓iα∃
␈β∧M␈↓ ↓H␈ε↔p␈↓ ↓i␈ε u␈↓ αε␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ αR␈ε v␈↓ αc␈εβ.␈αIf␈αthe␈α
gcd␈α
i␈α↓s␈↓ ∧1␈ε x␈↓ ∧V␈ε↔␈␈↓ ∧␈␈ε u␈↓ ¬∪␈εβ,␈αset␈↓ ¬[␈ε t␈↓ ¬p␈ε↔ ␈↓ ε≠␈ε t␈↓ ε.␈εβ+␈αλ1␈α
and␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion.
␈β∧r␈↓ βu␈εk␈↓ ∧h␈εε2␈↓ ∂␈εk␈↓ ≤␈εε+␈α↓1␈↓
)␈εε2
␈β∧v␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIf␈α(␈↓ β∨␈ε x␈↓ β6␈εβ+␈↓ β↑␈ε t␈↓ βi␈εβ)␈↓ ∧π␈εβmod␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε x␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬"␈ε u␈↓ ¬6␈εβ)␈α
=␈↓ ¬u␈ε a␈↓ εε␈ε x␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εE␈ε b␈↓ εR␈εβ,␈α
then␈α w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈α
(␈↓ λ9␈ε x␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λx␈ε t␈↓ ∧␈εβ)␈↓ H␈εβm␈α␈od␈↓
␈εβ(␈↓
↔␈ε x␈↓
;␈ε↔␈␈↓
c␈ε u␈↓
w␈εβ)␈α =
␈β¬→␈↓ ¬4␈εε2␈↓ ¬@␈εk␈↓ ε4␈εε2␈↓ λK␈εε2␈↓ _␈εε2␈↓ ↔␈εq
␈β¬≥␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε b␈↓ ↓g␈εβ+␈↓ α⊂␈ε a␈↓ α ␈ε t␈↓ α,␈εβ)␈↓ α7␈ε x␈↓ αP␈εβ+␈απ(␈↓ ββ␈ε b␈↓ β⊂␈ε t␈↓ β$␈εβ+␈↓ βL␈ε a␈↓ β]␈ε u␈↓ βq␈εβ),␈αan␈α␈d␈α
(␈↓ ∧\␈ε x␈↓ ∧t␈εβ+␈↓ ¬≥␈ε t␈↓ ¬)␈εβ)␈↓ ¬S␈εβmo␈α␈d␈↓ ε↔␈εβ(␈↓ ε#␈ε x␈↓ εH␈ε↔␈␈↓ εp␈ε u␈↓ π∧␈εβ)␈α
=␈α 2␈↓ πT␈ε a␈↓ πd␈ε b␈↓ πq␈ε x␈↓ λ
␈εβ+␈αλ(␈↓ λ>␈ε b␈↓ λ←␈εβ+␈↓ π␈ε a␈↓ $␈ε u␈↓ 8␈εβ);␈αh␈α␈en␈α␈ce␈α(␈↓
?␈ε x␈↓
X␈εβ+␈↓ ␈ε t␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β¬A␈↓ α2␈εε2␈↓ α>␈εq
␈β¬E␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε x␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α≠␈ε t␈↓ α'␈εβ)␈↓ αK␈εβ,␈↓ αe␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β≤␈εβare␈α⊂e␈α␈asy␈α⊂to␈α∂eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈α⊂e␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈α␈,␈α∩a␈α␈nd␈α⊂t␈α␈he␈α⊂ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∂for␈α⊂|x␈α}ed␈↓
F␈ε t␈↓
b␈εβt␈α␈ak␈α␈e␈α␈s
␈β¬i␈↓ αC␈εε3
␈β¬j␈↓ ↓`␈εα(␈↓ αP␈εα)
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε O␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈εβlog␈↓ α'␈ε p␈↓ α8␈εβ)␈↓ αh␈εβun␈α␈its␈α
of␈αtime.␈α⊂Th␈α␈e␈α
sq␈α␈uar␈α␈e␈α
ro␈α␈ot␈α
will␈α
be␈αfou␈α␈nd␈αwh␈α␈en␈↓ λ\␈ε t␈↓ λt␈εβ=␈α0␈αwith␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βε⊂␈↓ ↓z␈εe␈↓ α∧␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βε∀␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α*␈εβ;␈αth␈α}us␈αit␈αwi␈α↓ll␈αalway␈α␈s␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈αimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α
when␈↓ πv␈ε p␈↓ λ
␈εβmo␈α␈d␈↓ λQ␈εβ4␈α =␈α
3.␈αIf␈αw␈α␈e␈αch␈α␈oose␈↓
x␈ε t␈↓ ∂␈εβa␈α␈t
␈βε<␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αλinstea␈α␈d␈αλof␈α inc␈α␈reasin␈α␈g␈α it␈αλsequ␈α␈en␈α␈tially,␈α ex␈α}ercise␈αλ14␈αλgiv␈α␈es␈αλa␈αλri␈α↓g␈α␈orou␈α␈s␈α p␈α␈roo␈α␈f␈α th␈α␈at␈α e␈α␈ach
␈βεc␈↓ ↓H␈ε t␈↓ ↓←␈εβgiv␈α␈es␈αsucce␈α␈ss␈αat␈αlea␈α␈st␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αha␈α␈lf␈αof␈αth␈α␈e␈αtime;␈αbu␈α␈t␈αfor␈αp␈α␈ractica␈α␈l␈αpu␈α␈rpo␈α␈ses␈αth␈α␈i␈α↓s␈αrand␈α␈om
␈βπ␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hoice␈αisn␈α␈'t␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈α␈.
␈βπ4␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∞squ␈α␈are-ro␈α␈ot␈α∞me␈α␈thod␈α
h␈α␈as␈α∞b␈α␈een␈α
sug␈α␈gested␈α
b␈α␈y␈α∞D.␈α∞S␈α␈ha␈α␈nk␈α␈s.␈α∀Whe␈α␈n␈↓
.␈ε e␈↓
I␈εβ>␈α∞1␈α
it
␈βπS␈↓ λj␈ε
e␈↓ λu␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βπW␈↓ λ↑␈εε2
␈βπ[␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quires␈απa␈α␈n␈απau␈α␈xiliary␈απco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧u␈ε z␈↓ ¬
␈εβ(de␈α␈pen␈α␈din␈α␈g␈απon␈α␈l␈α↓y␈αεon␈↓ π!␈ε p␈↓ π2␈εβ)␈απsu␈α␈ch␈απth␈α␈at␈↓ λP␈ε z␈↓ ␈ε↔⊃␈α ␈␈εβ␈α↓1␈α (mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ π␈ε p␈↓ _␈εβ).
␈βπ␈␈↓ β8␈εq
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈↓ αb␈ε z␈↓ αy␈εβ=␈↓ β$␈ε n␈↓ βI␈εβmod␈↓ ∧∞␈ε p␈↓ ∧(␈εβwil␈α↓l␈α
w␈α␈o␈α␈rk␈α f␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
o␈α␈ne␈α ha␈α␈l␈α↓f␈α of␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ ≠␈ε n␈↓ /␈εβ;␈α
on␈α␈ce␈↓
␈ε z␈↓
$␈εβis␈α
k␈α␈no␈α␈wn␈α␈,
␈βλ*␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αrequ␈α␈ires␈αno␈α
more␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓listic␈αcalcu␈α␈lation␈α␈:
␈βλ]␈↓ ∧k␈εε(␈↓ ∧s␈εq␈↓ ∧␈␈εε+1)/2␈↓ π↔␈εq
␈βλa␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αE␈ε y␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β␈ε z␈↓ β→␈εβ,␈↓ β.␈ε r␈↓ βF␈ε↔ ␈↓ βp␈ε e␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε v␈↓ ∧,␈ε↔ ␈↓ ∧W␈ε u␈↓ ¬L␈εβmod␈↓ ε⊃␈ε p␈↓ ε"␈εβ,␈↓ ε6␈ε w␈↓ εX␈ε↔ ␈↓ πα␈ε u␈↓ π(␈εβmod␈↓ πm␈ε p␈↓ π}␈εβ.
␈β ∂␈↓
E␈ε
k
␈β ∪␈↓
8␈εε2
␈β ↔␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈2.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε w␈↓ αO␈εβ=␈α 1,␈αsto␈α␈p;␈↓ βo␈ε v␈↓ ∧␈εβis␈α
the␈α
an␈α␈sw␈α␈er.␈αOther␈α␈w␈α↓ise␈α
|n␈α␈d␈α
the␈α
sma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t␈↓ λr␈ε k␈↓
␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓
␈ε w␈↓
W␈εβmo␈α␈d␈↓ ≤␈ε p
␈β ?␈↓ α␈εβis␈αequ␈α␈al␈αto␈α1.␈αIf␈↓ βs␈ε k␈↓ ∧
␈εβ=␈↓ ∧7␈ε r␈↓ ∧F␈εβ,␈αstop␈α(th␈α␈ere␈αis␈αno␈α
an␈α␈swe␈α␈r);␈αo␈α␈therwise␈αse␈α␈t
␈β
␈↓ ε#␈ε
r␈↓ ε/␈ε≠␈␈↓ εE␈ε
k␈↓ π0␈ε
r␈↓ π<␈ε≠␈␈↓ πR␈ε
k␈↓ π←␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λG␈ε
r␈↓ λS␈ε≠␈␈↓ λj␈ε
k
␈β
⊂␈↓ ε⊗␈εε2␈↓ π$␈εε2␈↓ λ;␈εε2
␈β
⊗␈↓ ∧7␈εβ(␈↓ ∧B␈ε y␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈ε r␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬↓␈ε v␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε w␈↓ ¬:␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α
(␈↓ ε∧␈ε y␈↓ εR␈εβ,␈↓ εa␈ε k␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈ε v␈↓ π⊃␈ε y␈↓ λ↓␈εβ,␈↓ λ⊂␈ε w␈↓ λ(␈ε y␈↓ λv␈εβ)
␈β
h␈↓ α␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αs␈α␈tep␈αS␈α␈2.
␈β
j␈↓ ∧J␈∧
j∧J≠∂
␈β(␈↓ ↔␈εε2
␈β,␈↓ α␈εβThe␈αvalidity␈αof␈α
this␈α
algo␈α␈rithm␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
fro␈α␈m␈α
the␈α
in␈α}varia␈α␈n␈α␈t␈α
co␈α␈ngru␈α␈en␈α␈ces␈↓
≡␈ε u␈↓
2␈ε w␈↓
W␈ε↔⊃␈↓ ¬␈ε v␈↓ #␈εβ,
␈βK␈↓ ↓g␈ε
r␈↓ ↓r␈ε≠␈␈επ1␈↓ β=␈ε
r␈↓ βI␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βO␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ β0␈εε2␈↓ ␈εε2
␈βP␈↓ β␈εε1
␈βS␈↓ ↓H␈ε y␈↓ α!␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1,␈↓ β_␈ε w␈↓ βw␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α(mod␈α␈ulo␈↓ ¬D␈ε p␈↓ ¬U␈εβ).␈α⊃On␈α
th␈α␈e␈α
av␈α}erag␈α␈e,␈α∞step␈αS2␈α
will␈α
requ␈α␈i␈α↓re␈αabo␈α␈ut␈↓ ∪␈ε e
␈βa␈↓ β␈∧aβα
␈βd␈↓ β␈εε4
␈β{␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α
m␈α␈od␈↓ βq␈ε p␈↓ ∧α␈εβ.␈α∃Referen␈α␈ce:␈ε⊂␈α
P␈α↓ro␈α␈c.␈α
S␈α␈econ␈α␈d␈α Ma␈α␈nitob␈α␈a␈α Con␈α␈f␈α↓.␈α Num␈α␈er.␈α
Ma␈α␈th.␈εβ␈α (197␈α␈2),
␈β#␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈8↑6␈α␈2.␈↓ α1␈εβA␈αrelated␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αwas␈α
p␈α␈ub␈α␈li␈α↓s␈α␈hed␈αb␈α␈y␈αA.␈α
Ton␈α␈ell␈α↓i,␈ε⊂␈α
G␈↓ λ∞␈ε⊂∪␈↓ λ∞␈ε⊂o␈↓ λ∨␈ε⊂ttin␈α␈ger␈αNach␈α␈rich␈α␈te␈α␈n␈εβ␈α(189␈α␈1),
␈βJ␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈44↑␈α␈346␈α␈.
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈ub␈α␈stitute␈α poly␈α␈no␈α␈mials␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ε⊃␈ε p␈↓ ε,␈εβfo␈α␈r␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈αin␈α the␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈αfo␈α␈r␈↓ H␈ε n␈↓ f␈εβ=␈α 1.␈α⊗(b)␈α
The
␈β
␈↓
2␈ε
n
␈β
$␈↓ λS␈εk␈↓
$␈εp
␈β
(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈αfo␈α␈r␈↓ αP␈ε n␈↓ αm␈εβ=␈α
1␈α
c␈α␈arries␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
to␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α |n␈α␈i␈α↓te␈α |eld.␈α⊗(c)␈α
Sin␈α␈ce␈↓ π}␈ε x␈↓ λ→␈εβ=␈↓ λC␈ε _␈↓ λj␈εβfor␈α
so␈α␈me␈↓ o␈ε k␈↓ ␈␈εβ,␈↓
∪␈ε x␈↓
K␈εβ=␈↓
u␈ε x␈↓ ⊃␈εβin
␈β
G␈↓
Q␈ε
m
␈β
L␈↓
C␈εp
␈β
P␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλ|␈α␈eld␈αλd␈α␈e|n␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈↓ β`␈ε f␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε x␈↓ ∧␈εβ).␈α
Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α the␈απelemen␈α}ts␈↓ π0␈ε y␈↓ πK␈εβth␈α␈at␈αλsa␈α␈tisf␈α↓y␈απth␈α␈e␈αλequ␈α␈ation␈↓
0␈ε y␈↓
o␈εβ=␈↓ ~␈ε y
␈β
o␈↓
F␈ε
m
␈β
s␈↓
8␈εp
␈β
w␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈α|eld␈αare␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αad␈α␈dition,␈αa␈α␈nd␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n;␈αso␈αif␈↓
'␈ε x␈↓
f␈εβ=␈↓ ∩␈ε x␈↓ #␈εβ,
␈β∞↔␈↓ "␈ε
m
␈β∞≠␈↓ ∀␈εp
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈ε _␈↓ α.␈εβ(being␈α
a␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αin␈↓ ¬↓␈ε x␈↓ ¬≥␈εβwi␈α↓th␈α
i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts)␈αsa␈α␈ti␈α↓s|␈α␈es␈↓ ∧␈ε _␈↓ A␈εβ=␈↓ k␈ε _␈↓ {␈εβ.
␈β∞U␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε _␈↓ αH␈εβis␈αa␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈αroo␈α␈t,␈αe␈α␈ach␈α
no␈α␈nzero␈α
elemen␈α}t␈αis␈αsome␈α
po␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ !␈ε _␈↓ 1␈εβ.␈αHence␈α
the␈αo␈α␈rde␈α␈r
␈β∞y␈↓ ∧↔␈εε2␈↓ ¬)␈εε3
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αb␈α␈e␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈α1␈↓ ∧π␈εβ3␈↓ ∧+␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α =␈↓ ¬→␈εβ2␈↓ ¬=␈ε↔↓␈εβ␈αλ3␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ ε\␈ε ⎇␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε f␈↓ π
␈εβ)␈αelem␈α␈en␈α␈ts␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
orde␈α␈r␈↓ P␈ε f␈↓ `␈εβ.
␈β∂K␈↓ α↑␈ε f␈↓ β!␈ε ⎇␈↓ β6␈εβ(␈↓ βA␈ε f␈↓ βQ␈εβ)␈↓ ∧`␈ε f␈↓ ¬+␈ε ⎇␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε f␈↓ ¬[␈εβ)␈↓ εi␈ε f␈↓ π=␈ε ⎇␈↓ πR␈εβ(␈↓ π↑␈ε f␈↓ πm␈εβ)␈↓ ␈ε f␈↓ h␈ε ⎇␈↓ }␈εβ(␈↓
␈ε f␈↓
→␈εβ)
␈β∂}␈↓ α]␈εβ1␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ3␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εq␈εβ7␈↓ π[␈εβ6␈↓ ␈εβ21␈↓ u␈εβ12
␈β⊂%␈↓ α]␈εβ2␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ6␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εa␈εβ1␈α␈4␈↓ π[␈εβ6␈↓ ␈εβ42␈↓ u␈εβ12
␈β⊂M␈↓ α]␈εβ4␈↓ β6␈εβ2␈↓ ∧W␈εβ1␈α␈2␈↓ ¬@␈εβ4␈↓ εa␈εβ2␈α␈8␈↓ πJ␈εβ12␈↓ ␈εβ84␈↓ u␈εβ24
␈β⊂u␈↓ α]␈εβ8␈↓ β6␈εβ4␈↓ ∧W␈εβ2␈α␈4␈↓ ¬@␈εβ8␈↓ εa␈εβ5␈α␈6␈↓ πJ␈εβ24␈↓ λ{␈εβ168␈↓ u␈εβ48
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓αβλ ⊂⊃∩∪ !01@ABCPQRSXYZpp/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=(),./0123456789ACEFGHIMNOPRSTUVW[↑abcdefghilmnoprstuwyy/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=¬ε
∞∂∪∀!"&'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}␈␈/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=2566/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+,./0123456789<=[]acdegilmnoprvxx/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=+,01233/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=β
∞∂⊂⊃∩∃⊗_→≠≡#ABCDEFGHIKMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnpqrstuvwxyz|⎇⎇/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=
∞∩∃⊗ABCDEFKMNPQRTabcdefgijklmnopqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=eijklmnprtt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ACEINORSTWXX/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=∞∪'(),-./123689:;ABCEFGHIJKLMNPRSTVWZabcdefghiklmnopqrstuvwxyz||/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789ACFSTYghilmortt/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]= ()*+,-./01234589:=ABCDEFGHIJLMNOPRSTUVWXYY/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓α∧επ⊃∀∃_→≤ !)12?@GI\bcdefghijkpxx/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=↓∧∀∃≤!01bcdee/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.123456CEINOSTT