V2ANS2.XGP[TEX,DEK]1 - www.SailDart.org

perm filename V2ANS2.XGP[TEX,DEK]1 blob sn#422980 filedate 1979-03-07 generic text, type T, neo UTF8
/LMAR=50/TMAR=50/RMAR=4095/BMAR=1/PMAR=0/XLINE=0/FONT#0=NGR13/USETI=0000587*TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX**TEX*

␈β	3␈↓ α∂␈εαANSWER␈αP␈α⎇A␈α␈GES␈αfor␈αTHE␈αAR␈α⎇T␈αOF␈αCOMPUTER␈αPR␈α␈OGRAMMING
␈β	←␈↓ ¬c␈εα(Volume␈α2)
␈β

␈↓ ∧←␈εα(second␈α
half␈αof␈αthe␈αansw␈α␈ers)
␈β
5␈↓ β%␈ε⊗⎇␈εα␈α1978␈αAddison↑Wesley␈αPublishing␈αCompan␈α␈y,␈αInc.
␈β⊃L␈↓ ε#␈ε∧56␈α↓2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα563
␈βαq␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.3␈α␈.2
␈ββ:␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈απsolution␈απis␈αλun␈α␈iqu␈α␈e␈αλsince␈απ7␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈α∧1␈α␈1␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈αβ13␈α	=␈α	100␈α␈1.␈α
The␈αλ\␈α␈con␈α␈struc␈α␈ti␈α↓v␈α}e"␈αλp␈α␈roo␈α␈f␈αλof␈αλTh␈α␈eorem
␈ββ↑␈↓ ¬?␈εε6␈↓ ε←␈εε10␈↓ λ
␈εε1␈α␈2
␈ββ←␈↓ ∧N␈εα(␈↓ λ&␈εα)
␈ββb␈↓ ↓H␈εβC␈αεtells␈απu␈α␈s␈απth␈α␈at␈αεthe␈αεan␈α␈sw␈α␈er␈αεi␈α↓s␈↓ ∧Z␈εβ(11␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓13␈↓ ¬4␈εβ)␈↓ ¬L␈εβ+␈αα6␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓(␈α↓7␈ε↔↓␈εβ␈αα13␈↓ εT␈εβ)␈↓ εz␈εβ+␈α↓5␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈αα(7␈ε↔␈α↓↓␈εβ␈α↓11␈↓ λ↓␈εβ)␈↓ λ7␈εβmod␈↓ λ|␈εβ1␈α␈001␈α␈.␈α
But␈αεthis␈αεansw␈α␈e␈α␈r
␈β∧	␈↓ ↓H␈εβis␈αp␈α␈erha␈α␈ps␈αn␈α␈ot␈αex␈α␈plicit␈αeno␈α␈ug␈α␈h!␈α∞By␈α(23␈α␈)␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ π∪␈ε	v␈↓ π9␈εβ=␈α1,␈↓ λ␈ε	v␈↓ λ1␈εβ=␈α(␈α↓6␈ε↔␈απ␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈α	8␈↓ 	v␈εβmo␈α␈d␈↓ 
:␈εβ11␈α
=␈α7␈α␈,
␈β∧∀␈↓ π"␈εε1␈↓ λ~␈εε2
␈β∧.␈↓ α↔␈εα(␈↓ βt␈εα)
␈β∧1␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α#␈εβ(5␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈απ2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ7␈↓ ∧π␈ε↔↓␈εβ␈αλ6␈↓ ∧.␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧r␈εβ13␈α	=␈α
6␈α␈,␈αso␈↓ ε∃␈ε	u␈↓ ε3␈εβ=␈α	6␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈1␈απ+␈αλ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈απ+␈απ1␈α	=␈α
5␈α␈12.
␈β∧;␈↓ ↓V␈εε3
␈β∧b␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβNo.␈α
Th␈α␈ere␈απis␈απat␈απmo␈α␈st␈απon␈α␈e␈απsuc␈α␈h␈↓ ¬6␈ε	u␈↓ ¬J␈εβ;␈α	th␈α␈e␈απad␈α␈dition␈α␈al␈απcon␈α␈dition␈↓ λ8␈ε	u␈↓ λa␈ε↔⊃␈↓ 	␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	<␈ε↔⊃␈↓ 	g␈ε	u␈↓ 
∂␈εβ(mod␈α␈ulo␈α1␈α␈)
␈β∧l␈↓ λL␈εε1␈↓ 	z␈εr
␈β¬	␈↓ ↓H␈εβis␈αεne␈α␈cessa␈α␈ry␈αεan␈α␈d␈αεsu␈α␈}cien␈α␈t␈α␈,␈αλan␈α␈d␈αεit␈αεfollo␈α␈ws␈αεtha␈α␈t␈αεsuch␈α¬a␈αεgen␈α␈era␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αεis␈αεno␈α␈t␈απv␈α}ery␈αεin␈α}teresting␈α␈.
␈β¬7␈↓ εt␈εα(␈↓ 	∨␈εα)
␈β¬:␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	u␈↓ α,␈ε↔⊃␈↓ αX␈ε	u␈↓ βα␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧β␈ε	m␈↓ ∧*␈εβ)␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈αtha␈α␈t␈↓ ¬}␈ε	u␈↓ ε≥␈ε↔⊃␈↓ εJ␈ε	u␈↓ π␈εβmod␈α␈ulo␈↓ πx␈εβgcd␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈ε	m␈↓ λ\␈εβ,␈↓ λk␈ε	m␈↓ 	∪␈εβ)␈↓ 	+␈εβ,␈α
so␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈dition
␈β¬E␈↓ αl␈εi␈↓ ∧ ␈εi␈↓ ε]␈εi␈↓ λR␈εi␈↓ 	π␈εj
␈β¬←␈↓ αJ␈εα(␈↓ ∧t␈εα)
␈β¬b␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓q␈ε↔⊃␈↓ α≡␈ε	u␈↓ αV␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ βN␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	m␈↓ ∧2␈εβ,␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧i␈εβ)␈↓ ¬
␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α
s␈α␈urely␈αho␈α␈ld␈α
if␈αthere␈αis␈α
a␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α⊂Fu␈α␈rthe␈α␈rmore␈αif
␈β¬l␈↓ ↓[␈εi␈↓ α1␈εj␈↓ ∧'␈εi␈↓ ∧]␈εj
␈βε	␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓f␈ε↔⊃␈↓ α∩␈ε	v␈↓ α-␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ β/␈ε	m␈↓ βW␈εβ)␈αfor␈αa␈α␈ll␈↓ ∧Q␈ε	j␈↓ ∧`␈εβ,␈αthen␈↓ ¬B␈ε	u␈↓ ¬↑␈ε↔␈␈↓ επ␈ε	v␈↓ ε$␈εβis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ λ
␈εβlcm␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε	m␈↓ λu␈εβ,␈↓ 	∧␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	0␈εβ,␈↓ 	?␈ε	m␈↓ 	g␈εβ)␈α=␈↓ 
(␈ε	m␈↓ 
F␈εβ;␈αhe␈α␈nce
␈βε∀␈↓ βK␈εj␈↓ λh␈εε1␈↓ 	[␈εr
␈βε1␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αis␈αat␈αm␈α␈ost␈αon␈α␈e␈αsolut␈α␈i␈α↓o␈α␈n.
␈βεX␈↓ α␈εβThe␈α∞p␈α␈roo␈α␈f␈α∂c␈α␈an␈α∞n␈α␈o␈α␈w␈α∞be␈α
comp␈α␈leted␈α∞in␈α
a␈α∞no␈α␈nco␈α␈nstru␈α␈ctiv␈α␈e␈α∞m␈α␈ann␈α␈er␈α∞by␈α
cou␈α␈n␈α␈tin␈α␈g␈α∞the
␈βπ␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞di{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈↓ βt␈ε	r␈↓ ∧α␈εβ-tup␈α␈les␈α∞(␈↓ ∧⎇␈ε	u␈↓ ¬≥␈εβ,␈↓ ¬,␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬X␈εβ,␈↓ ¬g␈ε	u␈↓ εε␈εβ)␈α∞satisfyin␈α␈g␈α∞th␈α␈e␈α∞con␈α␈dition␈α␈s␈α∞0␈ε↔␈α∞∀␈↓ 	d␈ε	u␈↓ 
⊃␈εβ<␈↓ 
@␈ε	m␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βπ␈↓ ¬⊂␈εε1␈↓ ¬z␈εr␈↓ 	w␈εj␈↓ 
]␈εj
␈βπ%␈↓ αR␈εα(␈↓ ∧}␈εα)
␈βπ(␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓t␈ε↔⊃␈↓ α$␈ε	u␈↓ α↑␈εβmod␈α␈ulo␈↓ βX␈εβgc␈α␈d␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε	m␈↓ ∧<␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	m␈↓ ∧s␈εβ)␈↓ ¬
␈εβ.␈α⊗If␈α∂t␈α␈his␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞i␈α↓s␈↓ π2␈ε	m␈↓ πO␈εβ,␈α⊂th␈α␈ere␈α∞m␈α␈ust␈α∞be␈α∞a␈α∞solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∞since
␈βπ2␈↓ ↓[␈εi␈↓ α8␈εj␈↓ ∧1␈εi␈↓ ∧g␈εj
␈βπO␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	u␈↓ ↓l␈εβmod␈↓ α1␈ε	m␈↓ αZ␈εβ,␈↓ αi␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β∃␈εβ,␈↓ β$␈ε	u␈↓ β=␈εβmod␈↓ ∧α␈ε	m␈↓ ∧*␈εβ)␈↓ ∧>␈εβtak␈α}es␈α	o␈α␈n␈↓ ¬>␈ε	m␈↓ ¬d␈εβd␈α␈isti␈α↓n␈α␈ct␈α	v␈α␈alu␈α␈es␈α	as␈↓ πc␈ε	u␈↓ λ␈εβgo␈α␈es␈α	fro␈α␈m␈↓ 	∪␈ε	a␈↓ 	,␈εβto␈↓ 	R␈ε	a␈↓ 	g␈εβ+␈↓ 

␈ε	m␈↓ 
*␈εβ.␈α
Assume
␈βπZ␈↓ αM␈εε1␈↓ ∧≡␈εr
␈βπw␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	u␈↓ α0␈εβ,␈↓ α?␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αk␈εβ,␈↓ αz␈ε	u␈↓ βK␈εβh␈α␈av␈α}e␈αb␈α␈een␈αch␈α␈osen␈αsa␈α␈ti␈α↓s␈α␈f␈α↓y␈α␈ing␈αth␈α␈e␈αgiv␈α}en␈αcon␈α␈dition␈α␈s;␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αn␈α␈o␈α␈w␈αpick
␈βλ↓␈↓ α#␈εε1␈↓ β
␈εr␈↓ β→␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βλ≠␈↓ αA␈εα(␈↓ ∧g␈εα)
␈βλ≡␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓p␈ε↔⊃␈↓ α≠␈ε	u␈↓ αM␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ β?␈εβg␈α␈cd␈↓ βq␈εβ(␈↓ β|␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ,␈↓ ∧3␈ε	m␈↓ ∧\␈εβ)␈↓ ∧z␈εβfo␈α␈r␈απ1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬n␈ε	j␈↓ εε␈εβ<␈↓ ε0␈ε	r␈↓ ε?␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈αεby␈αεth␈α␈e␈απge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈d␈απCh␈α␈inese␈αεRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r
␈βλ)␈↓ ↓[␈εr␈↓ α.␈εj␈↓ ∧_␈εj␈↓ ∧O␈εr
␈βλF␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αfor␈↓ βλ␈ε	r␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
el␈α↓e␈α␈men␈α}ts␈αthere␈αa␈α␈re
␈βλ|␈↓ αj␈εα(␈↓ ε6␈εα)␈↓ πa␈εα(␈↓ 
0␈εα)
␈βλ␈␈↓ ↓⎇␈ε	m␈↓ α%␈εβ/␈↓ α6␈εβlcm␈↓ αv␈εβg␈α␈cd␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε	m␈↓ β\␈εβ,␈↓ βk␈ε	m␈↓ ∧∪␈εβ),␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧h␈εβgcd␈↓ ¬~␈εβ(␈↓ ¬%␈ε	m␈↓ ¬t␈εβ,␈↓ εα␈ε	m␈↓ ε+␈εβ)␈↓ εK␈εβ=␈↓ εv␈ε	m␈↓ π≡␈εβ/␈↓ π/␈εβgcd␈↓ πm␈εβlcm␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε	m␈↓ λU␈εβ,␈↓ λd␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	⊂␈εβ,␈↓ 	∨␈ε	m␈↓ 	m␈εβ),␈↓ 
π␈ε	m
␈β	
␈↓ α→␈εr␈↓ βO␈εε1␈↓ ∧π␈εr␈↓ ¬B␈εr␈↓ ¬N␈ε~␈␈εε1␈↓ ε∨␈εr␈↓ π∩␈εr␈↓ λH␈εε1␈↓ 	;␈εr␈↓ 	H␈ε~␈␈εε1␈↓ 
$␈εr
␈β	'␈↓ εK␈εβ=␈↓ εv␈εβlcm␈↓ π*␈εβ(␈↓ π5␈ε	m␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πm␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ→␈εβ,␈↓ λ(␈ε	m␈↓ λP␈εβ)/␈↓ λl␈εβlcm␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	+␈ε	m␈↓ 	T␈εβ,␈↓ 	c␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
∂␈εβ,␈↓ 
≡␈ε	m␈↓ 
l␈εβ)
␈β	2␈↓ πQ␈εε1␈↓ λD␈εr␈↓ 	G␈εε1␈↓ 
:␈εr␈↓ 
G␈ε~␈␈εε1
␈β	f␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈ys␈αεto␈α¬do␈α¬this.␈α[Th␈α␈i␈α↓s␈αεp␈α␈roo␈α␈f␈αεis␈αεba␈α␈sed␈αεo␈α␈n␈αεid␈α␈en␈α␈tities␈αε(1␈α␈0),␈απ(11),␈απ(12␈α␈)␈α↓,␈απa␈α␈nd␈α¬(14)␈αεo␈α␈f␈αεSe␈α␈ction␈α¬4.5.2.]
␈β

␈↓ α␈εβA␈αcon␈α␈struc␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αpro␈α␈of␈α[␈α↓A.␈αS.␈αF␈α↓r␈α␈aen␈α␈k␈α␈el,␈ε⊂␈αProc␈α␈.␈αAme␈α␈r.␈αMa␈α␈th.␈αSo␈α␈c.␈ε∪␈α1␈α␈5␈εβ␈α(196␈α␈3),␈α7␈α␈90↑␈α␈791␈α␈]
␈β
5␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ralizi␈α↓n␈α␈g␈α(24)␈αcan␈αb␈α␈e␈α
g␈α␈iv␈α␈en␈αa␈α␈s␈α
follo␈α␈ws.␈α⊂Let␈↓ εn␈ε	M␈↓ π"␈εβ=␈↓ πO␈εβlcm␈↓ λβ␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	m␈↓ λ7␈εβ,␈↓ λF␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λr␈εβ,␈↓ 	↓␈ε	m␈↓ 	*␈εβ);␈α
w␈α␈e␈α
wish␈αto␈α|␈α␈nd
␈β
@␈↓ π␈εj␈↓ λ+␈εε1␈↓ 	≥␈εj
␈β
]␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓e␈εβ=␈↓ α⊂␈ε	v␈↓ α+␈ε	M␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β*␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βY␈εβ+␈↓ ∧↓␈ε	v␈↓ ∧≥␈ε	M␈↓ ∧N␈εβ+␈↓ ∧v␈ε	v␈↓ ¬∩␈εβ,␈αwhere␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ εL␈ε	v␈↓ εp␈εβ<␈↓ π≠␈ε	M␈↓ πD␈εβ/␈↓ πU␈ε	M␈↓ λ#␈εβ.␈αAssum␈α␈e␈αt␈α␈hat␈↓ 	{␈ε	v␈↓ 
⊗␈εβ,␈↓ 
+␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
W␈εβ,␈↓ 
l␈ε	v
␈β
g␈↓ α∨␈εr␈↓ αH␈εr␈↓ αT␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧⊂␈εε2␈↓ ∧9␈εε1␈↓ ¬¬␈εε1␈↓ ε[␈εj␈↓ π8␈εj␈↓ πq␈εj␈↓ π⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 

␈εε1␈↓ 
{␈εj␈↓ π␈ε~␈␈εε1
␈β∧␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈αalread␈α␈y␈αb␈α␈een␈α
dete␈α␈rmined␈α␈;␈αt␈α␈hen␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αso␈α␈l␈α↓v␈α}e␈αth␈α␈e␈αcon␈α␈gru␈α␈ence
␈βG␈↓ βG␈ε	v␈↓ βb␈ε	M␈↓ ∧8␈εβ+␈↓ ∧a␈ε	v␈↓ ¬!␈ε	M␈↓ ¬w␈εβ+␈↓ ε ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εN␈εβ+␈↓ εw␈ε	v␈↓ π≠␈ε↔⊃␈↓ πF␈ε	u␈↓ πn␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ λp␈ε	m␈↓ 	_␈εβ).
␈βQ␈↓ βV␈εj␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧o␈εj␈↓ ∧|␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬>␈εj␈↓ ¬J␈ε~␈␈εε2␈↓ πε␈εε1␈↓ πY␈εj␈↓ 	␈εj
␈βε␈↓ εβ␈εα(␈↓ λ-␈εα)
␈β	␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α⊗␈ε	v␈↓ αW␈ε	M␈↓ β.␈εβ+␈↓ βW␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧ε␈εβ+␈↓ ∧0␈ε	v␈↓ ∧V␈ε↔⊃␈↓ ¬α␈ε	u␈↓ ¬+␈ε↔⊃␈↓ ¬X␈ε	u␈↓ ε∂␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ πε␈εβgcd␈↓ π8␈εβ(␈↓ πC␈ε	m␈↓ πk␈εβ,␈↓ πy␈ε	m␈↓ λ"␈εβ)␈↓ λE␈εβfor␈↓ λz␈ε	i␈↓ 	∩␈εβ<␈↓ 	>␈ε	j␈↓ 	Y␈εβby␈αh␈α}yp␈α␈oth␈α␈esis,
␈β∪␈↓ α%␈εj␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ αt␈εj␈↓ β␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧>␈εε1␈↓ ¬∃␈εi␈↓ ¬k␈εj␈↓ π`␈εi␈↓ λ⊗␈εj
␈β0␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓p␈ε	c␈↓ απ␈εβ=␈↓ α1␈ε	u␈↓ αX␈ε↔␈␈εβ␈απ(␈↓ β␈ε	v␈↓ βL␈ε	M␈↓ ∧"␈εβ+␈↓ ∧K␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧y␈εβ+␈↓ ¬"␈ε	v␈↓ ¬=␈εβ)␈αis␈αa␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f
␈β;␈↓ αD␈εj␈↓ β~␈εj␈↓ β&␈ε~␈␈εε1␈↓ βi␈εj␈↓ βu␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬0␈εε1
␈βp␈↓ β;␈εα(␈↓ ππ␈εα)
␈βs␈↓ βπ␈εβlcm␈↓ βG␈εβg␈α␈cd␈↓ βy␈εβ(␈↓ ∧∧␈ε	m␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧<␈ε	m␈↓ ∧d␈εβ),␈↓ ∧}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬*␈εβ,␈↓ ¬9␈εβgcd␈↓ ¬k␈εβ(␈↓ ¬v␈ε	m␈↓ εD␈εβ,␈↓ εS␈ε	m␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π≤␈εβ=␈↓ πG␈εβg␈α␈cd␈↓ πy␈εβ(␈↓ λ∧␈ε	M␈↓ λR␈εβ,␈↓ λa␈ε	m␈↓ 		␈εβ)␈α
=␈↓ 	H␈ε	d␈↓ 	d␈εβ.
␈β⎇␈↓ ∧ ␈εε1␈↓ ∧X␈εj␈↓ ε∪␈εj␈↓ ε∨␈ε~␈␈εε1␈↓ εp␈εj␈↓ λ ␈εj␈↓ λ,␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ⎇␈εj␈↓ 	X␈εj
␈β
5␈↓ ↓H␈εβWe␈α
there␈α␈fore␈α∞m␈α}ust␈α
solv␈α␈e␈↓ ∧>␈ε	v␈↓ ∧Y␈ε	M␈↓ ¬5␈ε↔⊃␈↓ ¬d␈ε	c␈↓ ¬}␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ π␈ε	m␈↓ π(␈εβ).␈α∪B␈α↓y␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∞algo␈α␈rithm␈α
ther␈α␈e␈α∞is␈α∞a
␈β
@␈↓ ∧M␈εj␈↓ ∧v␈εj␈↓ ¬α␈ε~␈␈εε1␈↓ π≤␈εj
␈β
]␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ α@␈ε	c␈↓ αc␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ βw␈ε	c␈↓ ∧∂␈ε	M␈↓ ∧g␈ε↔⊃␈↓ ¬⊃␈ε	d␈↓ ¬6␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ε8␈ε	m␈↓ ε`␈εβ);␈αh␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αmay␈α
tak␈α}e
␈β
g␈↓ αL␈εj␈↓ ∧β␈εj␈↓ ∧,␈εj␈↓ ∧8␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬!␈εj␈↓ εT␈εj
␈β∞∨␈↓ ∧⎇␈ε	v␈↓ ¬!␈εβ=␈α
(␈↓ ¬W␈ε	c␈↓ ¬t␈ε	c␈↓ ε↓␈εβ)␈α↓/␈↓ ε≥␈ε	d␈↓ ε>␈εβmod␈↓ πβ␈εβ(␈↓ π∞␈ε	m␈↓ π6␈εβ/␈↓ πG␈ε	d␈↓ πc␈εβ).
␈β∞*␈↓ ¬␈εj␈↓ ¬c␈εj␈↓ ε-␈εj␈↓ π*␈εj␈↓ πV␈εj
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβNo␈α␈te␈αth␈α␈at,␈αas␈αin␈αth␈α␈e␈αno␈α␈nco␈α␈nstru␈α␈ctiv␈α␈e␈αp␈α␈roof,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ πE␈ε	m␈↓ πm␈εβ/␈↓ π}␈ε	d␈↓ λ#␈εβ=␈↓ λM␈ε	M␈↓ λv␈εβ/␈↓ 	ε␈ε	M␈↓ 	U␈εβ.
␈β∞l␈↓ πa␈εj␈↓ λ
␈εj␈↓ λj␈εj␈↓ 	#␈εj␈↓ 	/␈ε~␈␈εε1
␈β∂∩␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(After␈↓ αn␈ε	m␈↓ β ␈εβ=␈α	91␈α	=␈α	7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ13␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈αu␈α␈sed␈α
up␈α
all␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈α
of␈αt␈α␈w␈α␈o␈α
or␈α
more␈α
od␈α␈d␈α
prime␈α␈s
␈β∂≥␈↓ β
␈εε4
␈β∂:␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αless␈αtha␈α␈n␈α10␈α␈0,␈αso␈↓ ∧s␈ε	m␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬b␈εβm␈α␈ust␈αa␈α␈ll␈αb␈α␈e␈αprime␈α␈.␈α↓)
␈β∂E␈↓ ¬∂␈εε5
␈β∂w␈↓ α8␈ε	m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ7␈α␈9,␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ7␈α␈3,␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ71,␈↓ πL␈ε	m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ67,␈↓ 	(␈ε	m␈↓ 	g␈εβ=␈↓ 
⊃␈εβ61,
␈β⊂α␈↓ αU␈εε7␈↓ ∧1␈εε8␈↓ ε␈εε9␈↓ πh␈εε10␈↓ 	D␈εε11
␈β⊂)␈↓ α8␈ε	m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ5␈α␈9,␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ5␈α␈3,␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ47,␈↓ πL␈ε	m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ43,␈↓ 	(␈ε	m␈↓ 	g␈εβ=␈↓ 
⊃␈εβ41,
␈β⊂4␈↓ αU␈εε1␈α␈2␈↓ ∧1␈εε1␈α␈3␈↓ ε␈εε14␈↓ πh␈εε15␈↓ 	D␈εε16
␈β⊂\␈↓ α8␈ε	m␈↓ αw␈εβ=␈↓ β"␈εβ3␈α␈7,␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧S␈εβ=␈↓ ∧}␈εβ3␈α␈1,␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εY␈εβ29,␈↓ πL␈ε	m␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ5␈εβ23,␈↓ 	(␈ε	m␈↓ 	g␈εβ=␈↓ 
⊃␈εβ17,
␈β⊂f␈↓ αU␈εε1␈α␈7␈↓ ∧1␈εε1␈α␈8␈↓ ε␈εε19␈↓ πh␈εε20␈↓ 	D␈εε21
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
then␈α
w␈α␈e␈αare␈αstu␈α␈ck␈α(␈↓ ∧!␈ε	m␈↓ ∧←␈εβ=␈α
1␈αd␈α␈oes␈αn␈α␈o␈αgo␈α␈od␈α␈)␈α↓.
␈β⊃)␈↓ ∧=␈εε22
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα564␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.3.2
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβNo.␈αTh␈α␈e␈αobv␈α␈iou␈α␈s␈αup␈α␈per␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈,
␈βα←␈↓ εN␈ε↓Y
␈βα}␈↓ ∧j␈εε4␈↓ ¬π␈εε2␈↓ ¬$␈εε2␈↓ ¬R␈εε1␈↓ π'␈ε~b␈↓ π0␈εεlog␈↓ πb␈εε10␈α␈0␈ε~c
␈ββ∧␈↓ ∧Y␈εβ3␈↓ ∧v␈εβ5␈↓ ¬∀␈εβ7␈↓ ¬1␈εβ1␈↓ ¬B␈εβ1␈↓ ¬←␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ε∂␈εβ=␈↓ π⊗␈ε	p␈↓ λ∩␈εβ,
␈ββπ␈↓ πQ␈ε
p
␈ββ1␈↓ εG␈εp␈↓ εZ␈εεo␈α␈dd
␈ββI␈↓ ε<␈εp␈↓ εN␈εεprime
␈β∧#␈↓ ¬2␈εε4␈↓ εQ␈εε2
␈β∧'␈↓ ↓H␈εβis␈α∂a␈α␈ttaine␈α␈d␈α∂if␈α∂w␈α␈e␈α∞cho␈α␈ose␈↓ ∧8␈ε	m␈↓ ∧q␈εβ=␈↓ ¬!␈εβ3␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬X␈ε	m␈↓ ε⊂␈εβ=␈↓ εA␈εβ5␈↓ ε↑␈εβ,␈α⊂e␈α␈tc.␈α!(It␈α∂is␈α∂m␈α␈ore␈α∂d␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t,␈α∂ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α⊂to
␈β∧1␈↓ ∧U␈εε1␈↓ ¬t␈εε2
␈β∧N␈↓ ↓H␈εβm␈α␈aximize␈↓ α[␈ε	m␈↓ β
␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β6␈ε	m␈↓ βh␈εβwh␈α␈en␈↓ ∧=␈ε	r␈↓ ∧T␈εβi␈α↓s␈α	|␈α␈x␈α␈ed␈α␈,␈α
o␈α␈r␈α	to␈α	ma␈α␈ximize␈↓ π-␈ε	m␈↓ πZ␈εβ+␈↓ λ␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ,␈εβ+␈↓ λR␈ε	m␈↓ 	β␈εβas␈α	w␈α␈e␈α	w␈α␈ou␈α␈ld␈α	at␈α␈temp␈α␈t
␈β∧Y␈↓ αx␈εε1␈↓ βS␈εr␈↓ πI␈εε1␈↓ λn␈εr
␈β∧q␈↓ ∧L␈εm
␈β∧v␈↓ ↓H␈εβto␈α
do␈αwh␈α␈en␈αu␈α␈sing␈α
mod␈α␈uli␈↓ ∧;␈εβ2␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α↓)
␈β∧y␈↓ ∧c␈ε
j
␈β¬,␈↓ ¬∞␈εe␈↓ ¬g␈εf␈↓ ε∂␈εg␈↓ ε'␈εk␈↓ πα␈εf␈↓ π;␈εk␈↓ λi␈εg␈↓ 
G␈εe␈↓  ␈εf
␈β¬0␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃If␈↓ αh␈ε	e␈↓ ββ␈εβ=␈↓ β2␈ε	f␈↓ βK␈εβ+␈↓ βv␈ε	k␈↓ ∧ε␈ε	g␈↓ ∧⊗␈εβ,␈α∂the␈α␈n␈↓ ∧⎇␈εβ2␈↓ ¬&␈εβ=␈↓ ¬V␈εβ2␈↓ ¬s␈εβ(␈↓ ¬}␈εβ2␈↓ ε≤␈εβ)␈↓ εB␈ε↔⊃␈↓ εr␈εβ2␈↓ π_␈ε↔↓␈↓ π+␈εβ1␈↓ πW␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λX␈εβ2␈↓ λ␈␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈α↓.␈α∀S␈α␈o␈α∞if␈↓ 
6␈εβ2␈↓ 
`␈ε↔⊃␈↓ ∂␈εβ2
␈β¬T␈↓ αZ␈εg␈↓ ∧P␈εe␈↓ ∧←␈εεmod␈↓ ¬∪␈εg␈↓ ¬d␈εf␈↓ ¬u␈εεmod␈↓ ε)␈εg␈↓ πQ␈εg
␈β¬X␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈εβ2␈↓ αl␈ε↔␈␈εβ␈αε1),␈α
we␈α	ha␈α␈v␈α␈e␈↓ ∧@␈εβ2␈↓ ¬)␈ε↔⊃␈↓ ¬T␈εβ2␈↓ ε?␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ π@␈εβ2␈↓ πd␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈);␈αan␈α␈d␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
lat␈α␈ter␈α
qu␈α␈an␈α␈-
␈β¬{␈↓ ∧f␈εg
␈β¬␈␈↓ ↓H␈εβtities␈αl␈α↓ie␈αbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
z␈α␈ero␈αand␈↓ ∧V␈εβ2␈↓ ∧|␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ust␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ π→␈ε	e␈↓ π,␈εβmo␈α␈d␈↓ πp␈ε	g␈↓ λ␈εβ=␈↓ λ9␈ε	f␈↓ λN␈εβmod␈↓ 	∪␈ε	g␈↓ 	"␈εβ.␈α≥(b)␈αBy␈α
p␈α␈art␈α(a),
␈βε#␈↓ α%␈εd␈↓ βN␈εε(␈↓ βV␈εc␈↓ βa␈ε~␈␈εε1)␈↓ ∧∂␈εd␈↓ ∧↑␈εe␈↓ εJ␈εd␈↓ πr␈εε(␈↓ π{␈εc␈↓ λε␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ λ4␈εd␈↓ 	α␈εd␈↓ 
%␈εc␈↓ 
0␈εd
␈βε'␈↓ ↓H␈εβ(1␈απ+␈↓ α∃␈εβ2␈↓ α<␈εβ+␈↓ αe␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β∀␈εβ+␈↓ β=␈εβ2␈↓ ∧≡␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ(␈↓ ∧M␈εβ2␈↓ ∧q␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈α⊃␈εβ␈α(1␈αλ+␈↓ ε9␈εβ2␈↓ ε`␈εβ+␈↓ π
␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π8␈εβ+␈↓ πb␈εβ2␈↓ λB␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈α	(␈↓ λr␈εβ2␈↓ 	→␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=␈↓ 
∃␈εβ2␈↓ 
G␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α
⊃
␈βεK␈↓ ↓X␈εc␈↓ ↓c␈εe␈↓ αs␈εε1␈↓ ¬ ␈εf
␈βεO␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓u␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈ε↔␈α	⊃␈↓ αb␈εβ2␈↓ βπ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α	=␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ¬⊂␈εβ2␈↓ ¬4␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈βπε␈↓ α␈εα(␈↓ αg␈εα(␈↓ πl␈εα))
␈βπ	␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α_␈ε	u␈↓ α?␈ε↔␈␈↓ αs␈ε	v␈↓ β⊗␈εβ+␈↓ β?␈ε	m␈↓ βh␈εβ(␈↓ βs␈ε	v␈↓ ∧∃␈εβ+␈↓ ∧>␈ε	m␈↓ ∧g␈εβ(␈↓ ∧r␈ε	v␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬>␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬l␈εβ+␈↓ ε∃␈ε	m␈↓ εc␈ε	v␈↓ π#␈εβ)␈↓ π4␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π`␈εβ)␈↓ λ	␈ε	c␈↓ λ3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ`␈ε	c
␈βπ∀␈↓ α+␈εj␈↓ βα␈εε1␈↓ β[␈εε1␈↓ ∧↓␈εε2␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ¬↓␈εε3␈↓ ε1␈εj␈↓ ε=␈ε~␈␈εε2␈↓ εr␈εj␈↓ ε}␈ε~␈␈εε1␈↓ λ∃␈εε1␈↓ λ"␈εj
␈βπ∃␈↓ λl␈εε(␈↓ λt␈εj␈↓ 	␈ε~␈␈εε1)␈↓ 	.␈εj
␈βπ/␈↓ αX␈εβ=␈α	(␈↓ β
␈ε	u␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β]␈ε	v␈↓ βx␈εβ)␈↓ ∧β␈ε	c␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈ε	c␈↓ ¬<␈ε↔␈␈↓ ¬d␈ε	m␈↓ ε
␈ε	v␈↓ ε)␈ε	c␈↓ εG␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ εs␈ε	c␈↓ πU␈ε↔␈␈↓ π}␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βπ:␈↓ β ␈εj␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧∂␈εε1␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ε↓␈εε1␈↓ ε≤␈εε2␈↓ ε5␈εε1
␈βπ;␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εj␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬(␈εj␈↓ ε␈␈εε(␈↓ πλ␈εj␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1)␈↓ πB␈εj
␈βπW␈↓ π!␈ε↔␈␈↓ πI␈ε	m␈↓ πx␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ$␈ε	m␈↓ λs␈ε	v␈↓ 	3␈ε	c␈↓ 	]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈ε	c
␈βπa␈↓ πf␈εε1␈↓ λA␈εj␈↓ λM␈ε~␈␈εε2␈↓ 	↓␈εj␈↓ 	
␈ε~␈␈εε1␈↓ 	?␈εε1␈↓ 	L␈εj
␈βπb␈↓ 
⊗␈εε(␈↓ 
≡␈εj␈↓ 
*␈ε~␈␈εε1)␈↓ 
X␈εj
␈βλ	␈↓ αX␈ε↔⊃␈εβ␈α	(␈↓ β
␈ε	u␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β]␈ε	v␈↓ βx␈εβ)␈↓ ∧β␈ε	c␈↓ ∧-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈ε	c␈↓ ¬<␈ε↔␈␈↓ ¬d␈ε	v␈↓ ε␈ε	c␈↓ ε*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εV␈ε	c␈↓ π8␈ε↔␈␈↓ πa␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ∂␈ε↔␈␈↓ λ8␈ε	v␈↓ λy␈ε	c
␈βλ∀␈↓ β ␈εj␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧∂␈εε1␈↓ ∧≤␈εj␈↓ ¬s␈εε2␈↓ ε␈εε2␈↓ ε_␈εj␈↓ λG␈εj␈↓ λS␈ε~␈␈εε1
␈βλ∃␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εj␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)␈↓ ¬(␈εj␈↓ εb␈εε(␈↓ εk␈εj␈↓ εw␈ε~␈␈εε1)␈↓ π%␈εj␈↓ 	¬␈εε(␈↓ 	
␈εj␈↓ 	→␈ε~␈␈εε1)␈↓ 	G␈εj
␈βλ8␈↓ βα␈εα(␈↓ π3␈εα)
␈βλ;␈↓ αX␈εβ=␈↓ β∀␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β@␈εβ((␈↓ βV␈ε	u␈↓ β⎇␈ε↔␈␈↓ ∧&␈ε	v␈↓ ∧A␈εβ)␈↓ ∧L␈ε	c␈↓ ∧x␈ε↔␈␈↓ ¬!␈ε	v␈↓ ¬<␈εβ)␈↓ ¬G␈ε	c␈↓ ¬s␈ε↔␈␈↓ ε≤␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εJ␈ε↔␈␈↓ εs␈ε	v␈↓ πE␈ε	c␈↓ λ)␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	*␈ε	m␈↓ 	S␈εβ).
␈βλF␈↓ βi␈εj␈↓ ∧4␈εε1␈↓ ∧X␈εε1␈↓ ∧e␈εj␈↓ ¬/␈εε2␈↓ ¬S␈εε2␈↓ ¬`␈εj␈↓ πα␈εj␈↓ π∞␈ε~␈␈εε1␈↓ 	G␈εj
␈βλG␈↓ πQ␈εε(␈↓ πY␈εj␈↓ πe␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈↓ λ∀␈εj
␈βλv␈↓ α␈εβThis␈α
meth␈α␈od␈α
o␈α␈f␈αrewriting␈α
th␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αu␈α␈ses␈α
the␈α
sam␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈αa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈α
o␈α␈pera␈α␈-
␈β	≥␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈α
an␈α␈d␈α
fe␈α␈we␈α␈r␈α
con␈α␈stan␈α}ts;␈α∞bu␈α␈t␈α
the␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈f␈α
con␈α␈stan␈α}ts␈α
i␈α↓s␈α
fe␈α␈we␈α␈r␈α
on␈α␈l␈α↓y␈αif␈α
we␈αord␈α␈er␈α
the
␈β	E␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈li␈αso␈αth␈α␈at␈↓ β)␈ε	m␈↓ β[␈εβ<␈↓ ∧ε␈ε	m␈↓ ∧9␈εβ<␈↓ ∧d␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬∃␈εβ<␈↓ ¬@␈ε	m␈↓ ¬i␈εβ,␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈αw␈α␈e␈αw␈α␈ould␈αn␈α␈eed␈αa␈αtab␈α␈le␈αo␈α␈f␈↓ 

␈ε	m␈↓ 
6␈εβmod␈↓ 
{␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β	P␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧#␈εε2␈↓ ¬]␈εr␈↓ 
&␈εi␈↓ ↔␈εj
␈β	m␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αord␈α␈ering␈α
of␈αth␈α␈e␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓i␈αmig␈α␈h␈α␈t␈αsee␈α␈m␈αto␈αr␈α␈equ␈α␈i␈α↓re␈α
more␈α
com␈α␈pu␈α␈tation␈α
tha␈α␈n␈αif␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ade
␈β
∀␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓⎇␈εβthe␈αlarg␈α␈est,␈↓ β.␈ε	m␈↓ βc␈εβthe␈αne␈α␈xt␈αl␈α↓a␈α␈rgest␈α␈,␈α
etc.,␈α
since␈αth␈α␈ere␈αare␈αman␈α}y␈αmore␈αo␈α␈pera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈αbe
␈β
∨␈↓ ↓d␈εε1␈↓ βJ␈εε2
␈β
<␈↓ ↓H␈εβd␈α␈on␈α␈e␈α
mod␈α␈ulo␈↓ β␈ε	m␈↓ β>␈εβtha␈α␈n␈α
mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ¬␈ε	m␈↓ ¬)␈εβ;␈αb␈α␈ut␈α
sinc␈α␈e␈↓ εI␈ε	v␈↓ εn␈εβca␈α␈n␈α
be␈α	as␈α
large␈α	as␈↓ λu␈ε	m␈↓ 	$␈ε↔␈␈εβ␈αε1,␈α
w␈α␈e␈α
are␈α	bette␈α␈r
␈β
F␈↓ β(␈εr␈↓ ¬≥␈εε1␈↓ εX␈εj␈↓ 	⊃␈εj
␈β
c␈↓ ↓H␈εβo␈α␈{␈α∞with␈↓ αG␈ε	m␈↓ α⎇␈εβ<␈↓ β*␈ε	m␈↓ β`␈εβ<␈↓ ∧
␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧@␈εβ<␈↓ ∧n␈ε	m␈↓ ¬#␈εβi␈α↓n␈α(23)␈α
a␈α␈l␈α↓s␈α␈o.␈α⊃So␈αthis␈α
id␈α␈ea␈α
ap␈α␈pe␈α␈ars␈α
to␈αbe␈α
p␈α␈refera␈α␈ble␈α
to
␈β
n␈↓ αd␈εε1␈↓ βG␈εε2␈↓ ¬
␈εr
␈β␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
form␈α␈u␈α␈las␈α
i␈α↓n␈α	the␈α
tex␈α␈t,␈αa␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
th␈α␈e␈α
form␈α␈u␈α␈las␈α
in␈α
the␈α
te␈α␈xt␈α
are␈α
a␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈geo␈α␈us␈α
whe␈α␈n␈α
the
␈β3␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈li␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈αfo␈α␈rm␈α(14),␈αas␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αin␈α
Sec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α4.3␈α␈.␈α↓3␈α␈.
␈βj␈↓ ¬C␈εα(␈↓ 
∞␈εα)
␈βm␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈ε	m␈↓ α`␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β␈ε	m␈↓ β5␈ε	v␈↓ βa␈ε↔⊃␈↓ ∧∀␈ε	m␈↓ ∧h␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬∀␈ε	m␈↓ ¬T␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε␈εβ(␈α↓(␈↓ ε↔␈ε	u␈↓ ε@␈ε↔␈␈↓ εl␈ε	v␈↓ πλ␈εβ)␈↓ π∪␈ε	c␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πn␈ε	v␈↓ λ	␈εβ)␈↓ λ∀␈ε	c␈↓ λD␈ε↔␈␈↓ λp␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ 	!␈ε↔␈␈↓ 	M␈ε	v␈↓ 
∨␈ε	c␈↓ ␈ε↔⊃
␈βx␈↓ α(␈εj␈↓ α4␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ β)␈εε1␈↓ βD␈εj␈↓ ∧0␈εj␈↓ ∧<␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬0␈εε1␈↓ ε*␈εj␈↓ ε{␈εε1␈↓ π∨␈εε1␈↓ π+␈εj␈↓ π⎇␈εε2␈↓ λ ␈εε2␈↓ λ-␈εj␈↓ 	\␈εj␈↓ 	h␈ε~␈␈εε1
␈βy␈↓ 
+␈εε(␈↓ 
4␈εj␈↓ 
@␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈↓ 
n␈εj
␈β∩␈↓ αv␈εα(␈↓ ε∩␈εα)
␈β∃␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ α≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αH␈ε	m␈↓ βλ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β4␈εβ(␈↓ β?␈ε	u␈↓ βc␈ε↔␈␈↓ ∧	␈ε	v␈↓ ∧%␈εβ)␈↓ ∧0␈ε	c␈↓ ∧Y␈ε↔␈␈↓ ∧␈␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬+␈ε↔␈␈↓ ¬Q␈ε	v␈↓ ε#␈ε	c␈↓ πβ␈ε↔␈␈↓ π)␈ε	v␈↓ πi␈ε	m␈↓ λ=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λj␈ε	m␈↓ 	≤␈ε↔⊃␈↓ 	F␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	v␈ε↔⊃␈↓ 
!␈ε	u␈↓ 
E␈ε↔␈␈↓ 
k␈ε	v␈↓ ␈ε↔␈
␈β∨␈↓ ↓d␈εj␈↓ ↓p␈ε~␈␈εε2␈↓ αd␈εε1␈↓ βS␈εj␈↓ ∧_␈εε1␈↓ ∧<␈εε1␈↓ ∧H␈εj␈↓ ¬`␈εj␈↓ ¬l␈ε~␈␈εε2␈↓ π8␈εj␈↓ πD␈ε~␈␈εε1␈↓ λε␈εj␈↓ λ∩␈ε~␈␈εε2␈↓ 	ε␈εε1␈↓ 
4␈εj␈↓ 
z␈εε1
␈β ␈↓ ε/␈εε(␈↓ ε8␈εj␈↓ εD␈ε~␈␈εε2)␈↓ εr␈εj
␈β<␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈ε	m␈↓ α∪␈ε↔␈␈↓ α<␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αj␈ε↔␈␈↓ β∪␈ε	v␈↓ βT␈ε	m␈↓ ∧'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧T␈ε	m␈↓ ¬ε␈εβ(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ επ␈ε	m␈↓ ε0␈εβ).
␈βG␈↓ ↓V␈εε2␈↓ ↓␈␈εε1␈↓ β"␈εj␈↓ β.␈ε~␈␈εε1␈↓ βp␈εj␈↓ β|␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧p␈εε1␈↓ ε$␈εj
␈βt␈↓ α←␈εα(␈↓ πC␈εα)
␈βw␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε	u␈↓ α5␈ε↔ ␈↓ αk␈εβ(␈↓ α|␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε	v␈↓ βN␈ε	m␈↓ ∧$␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	v␈↓ ¬
␈εβ)␈↓ ¬_␈ε	m␈↓ ¬n␈εβ+␈↓ ε↔␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εC␈εβ)␈↓ εN␈ε	m␈↓ ε␈␈εβ+␈↓ π(␈ε	v␈↓ πT␈εβmod␈↓ λ→␈ε	m␈↓ λA␈εβ,␈↓ λa␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	
␈εβ,
␈β
↓␈↓ α∨␈εr␈↓ βB␈εr␈↓ βk␈εr␈↓ βw␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧[␈εr␈↓ ∧h␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬5␈εr␈↓ ¬A␈ε~␈␈εε2␈↓ εk␈εε1␈↓ π6␈εε1␈↓ λ5␈εr
␈β
≡␈↓ ε5␈ε	u␈↓ ε↑␈ε↔ ␈εβ␈α
(␈↓ π∀␈ε	v␈↓ π/␈ε	m␈↓ π`␈εβ+␈↓ λλ␈ε	v␈↓ λ$␈εβ)␈↓ λ4␈εβmod␈↓ λy␈ε	m␈↓ 	"␈εβ,␈↓ 	A␈ε	u␈↓ 	j␈ε↔ ␈↓ 
∃␈ε	v␈↓ 
6␈εβmo␈α␈d␈↓ 
z␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β
)␈↓ εH␈εε2␈↓ π#␈εε2␈↓ πL␈εε1␈↓ λ↔␈εε1␈↓ 	∃␈εε2␈↓ 	T␈εε1␈↓ 
$␈εε1␈↓ ↔␈εε1
␈β
V␈↓ α␈εα(
␈β
Y␈↓ α_␈εβThe␈αco␈α␈mpu␈α␈tation␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈αd␈α␈on␈α␈e␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αord␈α␈er,␈αif␈αw␈α␈e␈αwa␈α␈n␈α␈t␈αto␈αlet␈↓ 	N␈ε	u␈↓ 	y␈εβan␈α␈d␈↓ 
:␈ε	v␈↓ 
a␈εβsh␈α␈are
␈β
c␈↓ 	a␈εj␈↓ 
I␈εj
␈β
⎇␈↓ πβ␈εα)
␈β∞␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αmemo␈α␈ry␈αloc␈α␈ation␈α␈s,␈αa␈α␈s␈αthey␈α
can␈α
i␈α↓n␈α
(23).
␈β∞;␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈αw␈α␈e␈αre␈α␈de|␈α␈ne␈α
the␈α
\mo␈α␈d"␈α
op␈α␈erato␈α␈r␈αso␈αth␈α␈at␈α
i␈α↓t␈α
pro␈α␈du␈α␈ces␈αresid␈α␈ues␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈αsy␈α␈mmetr␈α␈i␈α↓ca␈α␈l
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβra␈α␈ng␈α␈e,␈α
th␈α␈e␈α	ba␈α␈si␈α↓c␈α	fo␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈α	(␈α↓2␈α␈),␈α
(3),␈α
(4␈α␈)␈α
fo␈α␈r␈α	arithm␈α␈etic␈α	and␈αλ(23),␈α	(24)␈α	for␈α	co␈α␈n␈α␈v␈α}ersion␈α	r␈α␈emain
␈β∂π␈↓ λ`␈εα(
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλsa␈α␈me,␈α	a␈α␈nd␈απthe␈αλn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ ∧A␈ε	u␈↓ ∧]␈εβin␈απ(␈α↓2␈α␈4)␈αλlies␈αλin␈αλth␈α␈e␈αλde␈α␈si␈α↓r␈α␈ed␈αλra␈α␈ng␈α␈e␈αλ(10).␈↓ λl␈εβHere␈αλ(2␈α␈4)␈αλis␈αλa␈ε⊂␈αλb␈α␈alan␈α␈ced
␈β∂.␈↓ λs␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε⊂m␈α␈i␈α↓x␈α}ed-ra␈α␈dix␈εβ␈αn␈α␈ota␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
g␈α␈en␈α␈eralizing␈α\␈α␈balan␈α␈ced␈αterna␈α␈ry"␈αn␈α␈ota␈α␈tion.␈↓ 	~␈εβThe␈αco␈α␈mpa␈α␈rison␈αo␈α␈f
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α
n␈α}um␈α}bers␈α
ma␈α␈y␈α
still␈α∞b␈α␈e␈α
do␈α␈ne␈α
fro␈α␈m␈α
left␈α
to␈α
righ␈α␈t␈α␈,␈α∞i␈α↓n␈αthe␈α
simp␈α␈le␈α
man␈α␈ne␈α␈r␈α∞d␈α␈escrib␈α␈ed␈α
in
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtext.␈αFurth␈α␈ermo␈α␈re,␈αit␈αis␈αpossib␈α␈l␈α↓e␈αto␈αreta␈α␈i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈↓ π⎇␈ε	u␈↓ λ'␈εβin␈αa␈αsin␈α␈gle␈αc␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈ord␈α␈,
␈β⊂␈↓ λ⊂␈εj
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβif␈αw␈α␈e␈αhav␈α}e␈αsi␈α↓g␈α␈ne␈α␈d␈αmag␈α␈nitu␈α␈de␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αwith␈α␈i␈α↓n␈α
the␈αco␈α␈mpu␈α␈ter,␈αev␈α␈en␈α
i␈α↓f␈↓ 	w␈ε	m␈↓ 
+␈εβis␈αalmos␈α␈t
␈β⊂3␈↓ 
∪␈εj
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβt␈α␈wice␈α
th␈α␈e␈αw␈α␈o␈α␈rd␈α
si␈α↓z␈α␈e.␈αBut␈α
the␈α
arith␈α␈metic␈α
op␈α␈eration␈α␈s␈αa␈α␈na␈α␈l␈α↓o␈α␈gou␈α␈s␈α
to␈α(1␈α␈1)␈α
and␈α
(1␈α␈2)␈α
are␈α
more
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβd␈α␈i}cu␈α␈l␈α↓t,␈αso␈α
it␈αap␈α␈pe␈α␈ars␈αth␈α␈at␈α
on␈α
most␈α
comp␈α␈ut␈α␈ers␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
i␈α↓d␈α␈ea␈α
w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
resu␈α␈lt␈αin␈αs␈α␈l␈α↓igh␈α}tly␈αslo␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈pera␈α␈tion.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.3.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα565
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y
␈βαL␈↓ ¬V␈ε↓∩␈↓ λ_␈ε↓∪
␈βαR␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧e␈εβ+␈αλ1␈↓ ¬p␈ε	m␈↓ ε ␈εβ+␈αλ1␈↓ π+␈ε	m␈↓ π[␈εβ+␈αλ1
␈βα]␈↓ ε␈εε1␈↓ πG␈εr
␈βαh␈↓ ¬,␈εβ=␈↓ ε]␈εβ,␈↓ εl␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π_␈εβ,␈↓ λ.␈εβ.
␈βαv␈↓ ∧A␈∧αv∧Aα←␈↓ ¬p␈∧αv¬pαj␈↓ π+␈∧αvπ+αj
␈ββ␈↓ ∧g␈εβ2␈↓ ε≤␈εβ2␈↓ πW␈εβ2
␈ββ8␈↓ β∞␈εm␈↓ β%␈εε+1
␈ββ?␈↓ ↓H␈εβNo␈α␈te␈αλthat␈αλ2␈↓ αm␈ε	t␈↓ α⎇␈ε↔↓␈↓ βX␈ε↔⊃␈↓ ∧α␈ε	t␈↓ ∧↔␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ¬→␈ε	m␈↓ ¬6␈εβ).␈αIn␈αλge␈α␈nera␈α␈l␈α	if␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π"␈εβis␈α	re␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αλprime␈αλto␈↓ 	S␈ε	m␈↓ 	p␈εβ,␈α
th␈α␈en␈αλw␈α␈e␈αλcan
␈ββN␈↓ β∞␈∧βNβ∞α>
␈ββP␈↓ β&␈εε2
␈ββc␈↓ ε
␈ε~0␈↓ εe␈ε~0␈↓ πM␈ε~0␈↓ 	$␈ε~0
␈ββg␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α(b␈α␈y␈αEuclid's␈αalgo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm)␈αa␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ¬|␈ε	v␈↓ ε≥␈εβ=␈α
(␈↓ εS␈ε	v␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π-␈εβ,␈↓ π;␈ε	v␈↓ πV␈εβ)␈αsuch␈αth␈α␈at␈↓ 	↓␈ε	v␈↓ 	∩␈ε	v␈↓ 	4␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ 
{␈ε	m␈↓ _␈εβ);
␈ββv␈↓ εe␈εε1␈↓ πJ␈εr
␈β∧␈↓ 	␈ε~0
␈β∧∂␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈en␈α
if␈↓ αy␈ε	u␈↓ β→␈εβi␈α↓s␈αkn␈α␈o␈α␈wn␈αto␈α
b␈α␈e␈α
a␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αof␈↓ εK␈ε	v␈↓ εi␈εβw␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ πl␈ε	u␈↓ λ␈εβ/␈↓ λ⊂␈ε	v␈↓ λ.␈εβ=␈↓ λ[␈ε	u␈↓ λo␈ε	v␈↓ 	π␈εβ,␈α
whe␈α␈re␈α
th␈α␈e␈α
latter␈αis
␈β∧6␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uted␈αwith␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓a␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ εs␈ε	v␈↓ π⊂␈εβis␈αn␈α␈ot␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime␈αto␈↓ 
	␈ε	m␈↓ 
'␈εβ,␈αd␈α␈ivision
␈β∧↑␈↓ ↓H␈εβis␈αm␈α␈u␈α␈ch␈αm␈α␈ore␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult.
␈β¬∂␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβOb␈α␈viou␈α␈s␈αfrom␈α(11␈α␈),␈αif␈αw␈α␈e␈αrepla␈α␈ce␈↓ ¬l␈ε	m␈↓ ε ␈εβb␈α␈y␈↓ εP␈ε	m␈↓ εm␈εβ.
␈β¬~␈↓ ελ␈εj
␈β¬=␈↓ αU␈εε2␈↓ ε5␈εn␈↓ ⊃␈εn
␈β¬A␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αD␈ε	x␈↓ αf␈ε↔␈␈↓ β␈ε	x␈↓ β&␈εβ=␈α
(␈↓ β\␈ε	x␈↓ βr␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈↓ ∧3␈ε	x␈↓ ∧N␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈α1␈↓ ε%␈εβ0␈↓ εF␈εβ)␈α	is␈α	eq␈α␈uiv␈α␈alen␈α␈t␈α	to␈αλ(␈↓ λH␈ε	x␈↓ λ↑␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α␈)␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	:␈ε↔⊃␈εβ␈α
0␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ␈ε	p␈↓ !␈εβ)
␈β¬i␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈↓ ↓x␈ε	p␈↓ α∩␈εβ=␈α	2␈αλa␈α␈nd␈απ5␈α␈.␈α
E␈α↓ith␈α␈er␈↓ ∧↔␈ε	x␈↓ ∧0␈εβor␈↓ ∧U␈ε	x␈↓ ∧i␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈απm␈α␈u␈α␈st␈αλb␈α␈e␈απa␈απm␈α␈ultiple␈απof␈↓ πV␈ε	p␈↓ πg␈εβ,␈α	a␈α␈nd␈απth␈α␈en␈απth␈α␈e␈αλo␈α␈the␈α␈r␈αλis␈απrelativ␈α␈ely
␈βε␈↓ α↑␈εn␈↓ πw␈εn␈↓ 	(␈εn␈↓ 
X␈εn
␈βε⊂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α
to␈↓ αM␈ε	p␈↓ αn␈εβ;␈αso␈α
eithe␈α␈r␈↓ ∧λ␈ε	x␈↓ ∧#␈εβor␈↓ ∧K␈ε	x␈↓ ∧c␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
be␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈le␈αo␈α␈f␈↓ πf␈ε	p␈↓ λπ␈εβ.␈αIf␈↓ λ<␈ε	x␈↓ λR␈εβmod␈↓ 	↔␈εβ2␈↓ 	A␈εβ=␈↓ 	l␈ε	x␈↓ 
β␈εβm␈α␈od␈↓ 
G␈εβ5␈↓ 
q␈εβ=␈α
0
␈βε4␈↓ ∧e␈εn␈↓ 	b␈εn␈↓ ∪␈εn
␈βε8␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αhav␈α}e␈↓ βh␈ε	x␈↓ β␈␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧D␈εβ1␈↓ ∧T␈εβ0␈↓ ∧␈␈εβ=␈α	0␈αor␈α1;␈αhen␈α␈ce␈αau␈α␈tomo␈α␈rph␈α␈s␈αhav␈α}e␈↓ λv␈ε	x␈↓ 	
␈εβmod␈↓ 	R␈εβ2␈↓ 	|␈ε↔≤␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
>␈εβmo␈α␈d␈↓ α␈εβ5␈↓ #␈εβ.
␈βε[␈↓ α␈␈εn␈↓ π␈εε2␈↓ πO␈εε3␈↓ λ9␈εε2␈↓ 	∀␈εε3␈↓ 
⊂␈εn
␈βε←␈↓ ↓H␈εβ(b␈α␈)␈α
If␈↓ α~␈ε	x␈↓ α5␈εβ=␈↓ α←␈ε	q␈↓ αn␈ε	p␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β<␈ε	r␈↓ βJ␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧=␈ε	r␈↓ ∧T␈εβ=␈α
0␈α	or␈α
1␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ ε/␈ε	r␈↓ εG␈ε↔⊃␈↓ εr␈ε	r␈↓ π⊗␈ε↔⊃␈↓ πA␈ε	r␈↓ π\␈εβ,␈α
so␈α
3␈↓ λ'␈ε	x␈↓ λK␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈↓ 	α␈ε	x␈↓ 	*␈ε↔⊃␈εβ␈α	(6␈↓ 	p␈ε	q␈↓ 	␈␈ε	p␈↓ 
 ␈ε	r␈↓ 
4␈εβ+␈αε3␈↓ 
l␈ε	r␈↓ 
z␈εβ)␈ε↔␈αε␈
␈βπβ␈↓ αβ␈εn␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ∧g␈εn␈↓ ε∨␈ε~0␈↓ π*␈εε2␈↓ λ,␈εε3␈↓ λg␈εε2␈↓ 	E␈εε2␈↓ 
∨␈εε3
␈βπ∧␈↓ εY␈εα(␈↓ λ9␈εα)
␈βππ␈↓ ↓H␈εβ(6␈↓ ↓c␈ε	q␈↓ ↓r␈ε	p␈↓ α∪␈ε	r␈↓ α)␈εβ+␈αλ2␈↓ αc␈ε	r␈↓ αq␈εβ)␈ε↔␈α
⊃␈↓ β0␈ε	r␈↓ βH␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ ∧J␈ε	p␈↓ ∧w␈εβ)␈α↓.␈α→(c)␈αLet␈↓ ε∩␈ε	c␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εe␈εβ3(␈↓ π↓␈ε	c␈↓ π∞␈ε	x␈↓ π∨␈εβ)␈↓ π>␈ε↔␈␈εβ␈αλ2(␈↓ λβ␈ε	c␈↓ λ⊂␈ε	x␈↓ λ!␈εβ)␈↓ λE␈εβ/␈↓ λV␈ε	x␈↓ λ⎇␈εβ=␈α	3␈↓ 	8␈ε	c␈↓ 	Y␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ 
∩␈ε	c␈↓ 
,␈ε	x␈↓ 
=␈εβ.
␈βπ/␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αSinc␈α␈e␈αt␈α␈he␈α
last␈↓ ∧3␈ε	k␈↓ ∧N␈εβdig␈α␈i␈α↓ts␈α
of␈α
an␈↓ ¬|␈ε	n␈↓ ε⊂␈εβ-d␈α␈igit␈αa␈α␈uto␈α␈morp␈α␈h␈α
form␈α
a␈↓ λ{␈ε	k␈↓ 	␈εβ-digit␈α
aut␈α␈omor␈α␈ph␈α␈,␈αit
␈βπV␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αsen␈α␈se␈αto␈αsp␈α␈eak␈αof␈αthe␈αt␈α␈wo␈ε↔␈α1␈εβ-digit␈αa␈α␈uto␈α␈morp␈α␈hs,␈↓ πf␈ε	x␈↓ λβ␈εβa␈α␈nd␈α1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	ε␈ε	x␈↓ 	↔␈εβ,␈αwhich␈αa␈α␈re␈α1␈α␈0-ad␈α␈i␈α↓c
␈βπ}␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α(cf.␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.1↑␈α␈31).␈αThe␈αset␈αo␈α␈f␈α10-ad␈α␈ic␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈αi␈α↓s␈αeq␈α␈uiv␈α␈alen␈α␈t␈αu␈α␈nd␈α␈er␈αmod␈α␈ula␈α␈r
␈βλ%␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αto␈αth␈α␈e␈αset␈αo␈α␈f␈αo␈α␈rdere␈α␈d␈αpa␈α␈i␈α↓rs␈α(␈↓ ¬|␈ε	u␈↓ ε≤␈εβ,␈↓ ε+␈ε	u␈↓ εJ␈εβ),␈αwhe␈α␈re␈↓ πK␈ε	u␈↓ πv␈εβis␈αa␈α2-ad␈α␈ic␈αn␈α}um␈α}ber␈αan␈α␈d␈↓ 
O␈ε	u␈↓ 
z␈εβis␈αa
␈βλ0␈↓ ε∂␈εε1␈↓ ε>␈εε2␈↓ π↑␈εε1␈↓ 
b␈εε2
␈βλM␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈-adic␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er.
␈β	C␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.3␈α␈.3
␈β
ε␈↓ ↓H␈ε∪1␈α␈.␈↓ α␈εβ27␈ε↔␈απα␈εβ␈απ47:␈↓ βP␈εβ18␈ε↔␈απα␈εβ␈απ42:␈↓ ¬∀␈εβ09␈ε↔␈απα␈εβ␈απ05:␈↓ εX␈εβ27␈α␈18␈ε↔␈απα␈εβ␈αλ4␈α␈742␈α␈:
␈β
5␈↓ αE␈εβ08␈↓ ∧	␈εβ04␈↓ ¬M␈εβ00␈↓ π⊃␈εβ126␈α␈9
␈β
]␈↓ αV␈εβ08␈↓ ∧~␈εβ04␈↓ ¬↑␈εβ00␈↓ π3␈εβ1␈α␈26␈α␈9
␈β∧␈↓ α5␈ε↔␈␈εβ15␈↓ ∧~␈εβ14␈↓ ¬=␈ε↔␈␈εβ45␈↓ π⊃␈ε↔␈␈εβ␈α↓0␈α␈04␈α␈5
␈β,␈↓ αV␈εβ49␈↓ ∧~␈εβ16␈↓ ¬↑␈εβ45␈↓ π3␈εβ0␈α␈75␈α␈6
␈βT␈↓ αg␈εβ4␈α␈9␈↓ ∧+␈εβ1␈α␈6␈↓ ¬o␈εβ4␈α␈5␈↓ πT␈εβ0␈α␈756
␈βw␈↓ αG␈∧wαGαA␈↓ ∧␈∧w∧αA␈↓ ¬O␈∧w¬OαA␈↓ π∃␈∧wπ∃α↓α
␈β∧␈↓ αE␈εβ126␈α␈9␈↓ ∧	␈εβ075␈α␈6␈↓ ¬M␈εβ004␈α␈5␈↓ π⊃␈εβ128␈α␈88␈α␈756
␈β#␈↓ ∧	␈ε↓p␈↓ ¬l␈ε↓p
␈β$␈↓ α␈ε↓p
␈β>␈↓ ∧-␈∧>∧-α↓α␈↓ ε⊂␈∧>ε⊂α↓S
␈β?␈↓ α0␈∧?α0α↓≤
␈βF␈↓ β&␈∧Fβ&α→␈↓ ¬↔␈∧F¬↔α→␈↓ π
␈∧Fπ
α→␈↓ λB␈∧FλBα→␈↓ 
⊃␈∧F
⊃α`
␈βH␈↓ β¬␈ε↔p␈↓ ∧u␈ε↔p␈↓ εi␈ε↔p␈↓ λ!␈ε↔p␈↓ 	o␈ε↔p
␈βI␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α0␈ε	Q␈↓ αP␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ β&␈ε	Q␈↓ β?␈ε↔c␈↓ βZ␈ε↔∀␈↓ ∧-␈ε	Q␈↓ ∧M␈εβ+␈↓ ¬↔␈ε	Q␈↓ ¬=␈εβ<␈↓ ε⊂␈ε	Q␈↓ ε0␈εβ+␈απ2␈↓ π
␈ε	Q␈↓ π*␈εβ+␈αλ1␈↓ πq␈εβ=␈↓ λB␈ε	Q␈↓ λd␈εβ+␈α	1,␈α∂so␈ε↔␈α
b␈↓ 
⊃␈ε	Q␈↓ 
0␈εβ+␈ε	␈αλR␈↓ 
p␈ε↔c␈α∞∀
␈βn␈↓ ↓v␈∧n↓vα→
␈βo␈↓ ↓U␈ε↔p
␈βq␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓v␈ε	Q␈↓ α∞␈ε↔c␈εβ␈απ+␈αλ1.
␈β
≡␈↓ 	I␈εQ␈↓ 
[␈εR
␈β
"␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αl␈ε	k␈↓ βπ␈ε↔∀␈εβ␈α	2,␈αth␈α␈e␈αresult␈αis␈αtru␈α␈e,␈αs␈α␈o␈αassum␈α␈e␈αthat␈↓ πC␈ε	k␈↓ π]␈εβ>␈α
2␈α␈.␈α
Let␈↓ λk␈ε	q␈↓ 	∞␈εβ=␈↓ 	9␈εβ2␈↓ 	h␈εβ,␈↓ 	⎇␈ε	r␈↓ 
∨␈εβ=␈↓ 
J␈εβ2␈↓ 
z␈εβ,␈αso
␈β
&␈↓ 	[␈ε
k␈↓ 
n␈ε
k
␈β
-␈↓ λw␈εk␈↓ 
λ␈εk
␈β
F␈↓ 	␈␈εR␈↓ 
c␈εQ
␈β
G␈↓ β∪␈∧
Gβ∪α$
␈β
H␈↓ αq␈ε↔p
␈β
J␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α␈ε	R␈↓ α:␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ β∪␈ε	Q␈↓ β6␈ε↔c␈εβ␈απand␈↓ ∧λ␈ε	Q␈↓ ∧4␈εβ=␈↓ ∧←␈ε	Q␈↓ ¬+␈εβ+␈↓ ¬O␈ε	R␈↓ ε→␈εβ.␈α
We␈αλm␈α}ust␈απsho␈α}w␈αλtha␈α␈t␈αλ1␈αα+␈αβ(␈↓ 	λ␈ε	R␈↓ 	/␈εβ+␈αβ1)␈↓ 	o␈εβ2␈↓ 
(␈ε↔∀␈↓ 
R␈εβ2␈↓ #␈εβ;
␈β
N␈↓ 
∩␈ε
k␈↓ 
u␈ε
k␈↓ ↓␈ε≠␈␈επ1
␈β
U␈↓ α#␈εk␈↓ β)␈εk␈↓ ∧≡␈εk␈↓ ∧u␈εk␈↓ ¬α␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬f␈εk␈↓ ¬s␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∨␈εk
␈β
m␈↓ 	`␈εR␈↓ ↓␈εε2␈↓ 
␈εR
␈β
r␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
ineq␈α␈ua␈α␈l␈α↓ity␈α	isn't␈α
clo␈α␈se␈α
at␈α	all,␈αo␈α␈ne␈α	way␈α	i␈α↓s␈α	to␈α
o␈α␈bser␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α	1␈αε+␈αε(␈↓ λc␈ε	R␈↓ 	
␈εβ+␈α¬1)␈↓ 	O␈εβ2␈↓ 
λ␈ε↔∀␈εβ␈α
1␈α¬+␈↓ 
p␈εβ2
␈β
u␈↓ 	s␈ε
k␈↓  ␈ε
k
␈β
|␈↓ λz␈εk
␈β∞→␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αε2␈↓ α∃␈ε	R␈↓ αC␈εβ<␈↓ αm␈ε	Q␈↓ β>␈εβwh␈α␈en␈↓ ∧⊃␈ε	k␈↓ ∧*␈εβ>␈α
2.␈α∂(Th␈α␈e␈απf␈α↓a␈α␈ct␈απtha␈α␈t␈απ2␈↓ ε]␈ε	R␈↓ π␈εβ<␈↓ π5␈ε	Q␈↓ λε␈εβis␈απrea␈α␈dily␈απpro␈α}v␈α␈ed␈αεby␈απin␈α␈du␈α␈ction
␈β∞$␈↓ α,␈εk␈↓ ββ␈εk␈↓ β⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ εt␈εk␈↓ πK␈εk␈↓ πY␈ε~␈␈εε1
␈β∞A␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α→␈ε	R␈↓ αk␈ε↔␈␈↓ β∪␈ε	R␈↓ βA␈ε↔∀␈εβ␈α	1␈αan␈α␈d␈↓ ∧H␈ε	Q␈↓ ∧s␈ε↔␈␈↓ ¬≠␈ε	Q␈↓ ¬n␈ε↔∃␈εβ␈α	2.)
␈β∞K␈↓ α0␈εk␈↓ α=␈εε+␈α↓1␈↓ β*␈εk␈↓ ∧↑␈εk␈↓ ¬2␈εk␈↓ ¬?␈ε~␈␈εε1
␈β∞n␈↓ ¬O␈εε2␈↓ εB␈εε2␈↓ π#␈εε2␈↓ λ∀␈εε2
␈β∞r␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβFor␈↓ αH␈ε	j␈↓ α`␈εβ=␈α
1,␈↓ β.␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βZ␈εβ,␈↓ βl␈ε	r␈↓ β{␈εβ,␈α	ca␈α␈lculate␈↓ ¬∃␈ε	U␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	j␈↓ ¬[␈εβ),␈↓ ¬y␈ε	j␈↓ επ␈ε	U␈↓ ε(␈εβ(␈↓ ε3␈ε	j␈↓ εO␈εβ),␈↓ εl␈ε	V␈↓ π	␈εβ(␈↓ π∀␈ε	j␈↓ π0␈εβ),␈↓ πM␈ε	j␈↓ π\␈ε	V␈↓ πz␈εβ(␈↓ λ¬␈ε	j␈↓ λ!␈εβ);␈α	an␈α␈d␈αλby␈αλr␈α␈ecurs␈α␈i␈α↓v␈α}ely␈αλcalling
␈β∞⎇␈↓ ¬*␈εe␈↓ ε≥␈εo␈↓ ε␈␈εe␈↓ πo␈εo
␈β∂~␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈tion␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈,␈αc␈α␈alculat␈α␈e
␈β∂Z␈↓ ¬Q␈εε2␈↓ εb␈εε2␈↓ πI␈εε2␈↓ λX␈εε2
␈β∂]␈↓ ¬
␈εα(␈↓ εz␈εα)(␈↓ λp␈εα)
␈β∂`␈↓ ∧⊂␈ε	W␈↓ ∧2␈εβ(␈↓ ∧=␈ε	j␈↓ ∧L␈εβ)␈↓ ∧`␈εβ=␈↓ ¬⊗␈ε	U␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε	j␈↓ ¬]␈εβ)␈αλ+␈↓ ε_␈ε	j␈↓ ε'␈ε	U␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	j␈↓ εo␈εβ)␈↓ π∩␈ε	V␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	j␈↓ πV␈εβ)␈απ+␈↓ λ⊃␈ε	j␈↓ λ ␈ε	V␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε	j␈↓ λe␈εβ)␈↓ λ|␈εβ,
␈β∂k␈↓ ¬,␈εe␈↓ ε=␈εo␈↓ π$␈εe␈↓ λ2␈εo
␈β⊂α␈↓ ¬Q␈εε2␈↓ εb␈εε2␈↓ πI␈εε2␈↓ λX␈εε2
␈β⊂¬␈↓ ¬
␈εα(␈↓ εz␈εα)(␈↓ λp␈εα)
␈β⊂λ␈↓ βo␈ε	W␈↓ ∧⊂␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ∧=␈ε	j␈↓ ∧L␈εβ)␈↓ ∧`␈εβ=␈↓ ¬⊗␈ε	U␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬B␈ε	j␈↓ ¬]␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε_␈ε	j␈↓ ε'␈ε	U␈↓ εH␈εβ(␈↓ εS␈ε	j␈↓ εo␈εβ)␈↓ π∩␈ε	V␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	j␈↓ πV␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ λ⊃␈ε	j␈↓ λ ␈ε	V␈↓ λ>␈εβ(␈↓ λI␈ε	j␈↓ λe␈εβ)␈↓ λ|␈εβ;
␈β⊂∩␈↓ ¬,␈εe␈↓ ε=␈εo␈↓ π$␈εe␈↓ λ2␈εo
␈β⊂L␈↓ ∧$␈εε2␈↓ ¬␈εε1␈↓ πf␈εε2␈↓ λB␈εε1
␈β⊂M␈↓ ¬⊃␈εα(␈↓ π␈εα)␈↓ λS␈εα(␈↓ 
B␈εα)
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α∞then␈α∞w␈α␈e␈α∂h␈α␈av␈α␈e␈↓ βc␈ε	W␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧∃␈ε	j␈↓ ∧1␈εβ)␈α∂=␈↓ ¬≥␈ε	W␈↓ ¬>␈εβ(␈↓ ¬I␈ε	j␈↓ ¬X␈εβ)␈α
+␈↓ ε_␈ε	W␈↓ ε9␈εβ(␈ε↔␈␈↓ εe␈ε	j␈↓ εt␈εβ)␈↓ π␈εβ,␈↓ π%␈ε	W␈↓ πL␈εβ(␈↓ πW␈ε	j␈↓ πs␈εβ)␈α∂=␈↓ λ←␈ε	W␈↓ 	␈εβ(␈↓ 	␈ε	j␈↓ 	~␈εβ)␈ε↔␈α
␈␈↓ 	Z␈ε	W␈↓ 	{␈εβ(␈ε↔␈␈↓ 
'␈ε	j␈↓ 
6␈εβ)␈↓ 
N␈εβ.␈α↔Also
␈β⊂Z␈↓ β␈␈εe␈↓ π@␈εo
␈β⊂↑␈↓ ¬␈∧⊂↑¬α
␈↓ λB␈∧⊂↑λBα
␈β⊂`␈↓ ¬␈εε2␈↓ λB␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈alculat␈α␈e␈↓ αR␈ε	W␈↓ αy␈εβ(0)␈α	=␈↓ βT␈ε	U␈↓ βo␈εβ(0)␈↓ ∧⊗␈ε	V␈↓ ∧.␈εβ(0␈α␈).␈αNo␈α}w␈αc␈α␈onst␈α␈ruct␈αd␈α␈i␈α↓{ere␈α␈nce␈αta␈α␈bles␈αfor␈↓ λr␈ε	W␈↓ 	#␈εβand␈↓ 	d␈ε	W␈↓ 
␈εβ,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αare
␈β⊃α␈↓ αn␈εe␈↓ 	
␈εe␈↓ 
␈εo
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈αwh␈α␈ose␈αre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αde␈α␈grees␈αa␈α␈re␈↓ ε)␈ε	r␈↓ εC␈εβan␈α␈d␈↓ π∧␈ε	r␈↓ π~␈ε↔␈␈εβ␈απ1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα566␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.3.3
␈βα+␈↓ α␈εβThis␈απm␈α␈etho␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεsize␈απof␈απth␈α␈e␈απn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈απb␈α␈eing␈απh␈α␈an␈α␈dled␈α␈,␈αλan␈α␈d␈απred␈α␈uc␈α␈es␈απthe␈αεn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αadd␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αa␈α␈nd␈αm␈α␈ultiplicatio␈α␈ns.␈α∞Its␈αon␈α␈l␈α↓y␈αdisa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ta␈α␈ge␈αis␈αa␈αlon␈α␈ger␈αp␈α␈rog␈α␈ram␈α(sinc␈α␈e␈αthe
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tro␈α␈l␈α∞is␈α∞so␈α␈mewh␈α␈at␈α
more␈α
com␈α␈plex␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
so␈α␈me␈α∞o␈α␈f␈α∞th␈α␈e␈α∞c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α
m␈α␈us␈α␈t␈α∞b␈α␈e␈α∞d␈α␈on␈α␈e␈α∞with
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈ned␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈bers␈α␈)␈α↓.
␈ββE␈↓ 	f␈εε2␈↓ 
≤␈εε2␈↓ 
R␈εε2
␈ββI␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∂p␈α␈ossibility␈α∞w␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α∞p␈α␈erh␈α␈aps␈α∞b␈α␈e␈α∂to␈α∞e␈α␈valu␈α␈ate␈↓ π{␈ε	W␈↓ λ0␈εβan␈α␈d␈↓ λt␈ε	W␈↓ 	*␈εβa␈α␈t␈↓ 	V␈εβ1␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
␈εβ2␈↓ 
)␈εβ,␈↓ 
A␈εβ4␈↓ 
↑␈εβ,␈↓ 
w␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ #␈εβ,
␈ββT␈↓ λ↔␈εe␈↓ 	⊂␈εo
␈ββm␈↓ ↓c␈εr␈↓ ↓{␈εε2
␈ββq␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈εβ2␈↓ ↓p␈εβ)␈↓ απ␈εβ;␈α⊂a␈α␈l␈α↓th␈α␈ou␈α␈gh␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s␈α∞i␈α↓n␈α}v␈α␈o␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈α
are␈α∞la␈α␈rger,␈α∂th␈α␈e␈α∞c␈α␈alculatio␈α␈ns␈α∞a␈α␈re␈α∞faste␈α␈r,␈α∂since␈α
all
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈αare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
by␈α
sh␈α␈i␈α↓ftin␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α
all␈αdiv␈α␈i␈α↓sion␈α␈s␈αa␈α␈re␈αb␈α␈y␈αb␈α␈inary␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈αo␈α␈f␈αthe
␈β∧<␈↓ α(␈εj␈↓ αP␈εk
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rm␈↓ α↔␈εβ2␈↓ α4␈εβ(␈↓ α?␈εβ2␈↓ αd␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).␈α→(Simp␈α␈le␈αpro␈α␈cedu␈α␈res␈αar␈α␈e␈αava␈α␈il␈α↓a␈α␈ble␈αfor␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
by␈α
such␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α↓)
␈β∧q␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSt␈α␈art␈αthe␈↓ β≥␈ε	q␈↓ β+␈εβ,␈↓ β:␈ε	r␈↓ βU␈εβseq␈α␈uen␈α␈ces␈αou␈α␈t␈αwith␈↓ ¬u␈ε	q␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈↓ ε\␈ε	q␈↓ π↓␈εβla␈α␈rge␈αen␈α␈ou␈α␈gh␈αso␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αineq␈α␈uality␈αin
␈β∧{␈↓ ε↓␈εε0␈↓ εh␈εε1
␈β¬_␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α∞3␈α∂is␈α∂v␈α␈alid.␈α⊗Then␈α∞w␈α␈e␈α∂will␈α∂|n␈α␈d␈α∞i␈α↓n␈α∞th␈α␈e␈α∂form␈α}ulas␈α∞ana␈α␈l␈α↓o␈α␈go␈α␈us␈α∂to␈α∞tho␈α␈se␈α∂p␈α␈reced␈α␈ing
␈β¬<␈↓ π8␈∧¬<π8α,
␈β¬=␈↓ π⊗␈ε↔p
␈β¬>␈↓ λ≥␈∧¬>λ≥αM
␈β¬?␈↓ π|␈ε↔p
␈β¬C␈↓ εq␈εε1␈α␈+␈↓ π8␈εε2␈↓ πD␈εQ␈↓ πc␈ε~␈␈↓ λ≥␈εε2␈↓ λ*␈εQ
␈β¬H␈↓ ¬/␈εα(␈↓ εT␈εα)
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈αλC␈απthat␈↓ β7␈ε	⊃␈↓ β↑␈ε↔!␈εβ␈α	0␈αλa␈α␈nd␈↓ ∧↑␈ε	⊃␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ¬;␈εβ1␈αα+␈α∧1␈α␈/(2␈↓ ε0␈ε	r␈↓ εI␈εβ)␈↓ ε`␈εβ2␈↓ πV␈ε
k␈↓ λ<␈ε
k␈↓ λH␈επ+1␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	Q␈↓ 	≡␈εβ/␈↓ 	/␈ε	Q␈↓ 	x␈εβ).␈α
The␈απfacto␈α␈r
␈β¬U␈↓ βH␈εε1␈↓ ∧o␈εε2␈↓ ε<␈εk␈↓ 	⊃␈εk␈↓ 	E␈εk␈↓ 	R␈εε+1
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓k␈εβ/␈↓ ↓|␈ε	Q␈↓ αP␈ε↔!␈εβ␈α1␈αa␈α␈s␈↓ βD␈ε	k␈↓ β←␈ε↔!␈α1␈εβ,␈α
so␈αw␈α␈e␈αcan␈αign␈α␈ore␈αit␈αi␈α↓f␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈↓ 	S␈ε	⊃␈↓ 	{␈εβ<␈α1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
j␈ε	∂␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β¬|␈↓ ∧t␈ε↓p␈↓ πz␈ε↓p
␈β¬⎇␈↓ ↓↑␈εk␈↓ α∩␈εk␈↓ α∨␈εε+1␈↓ 	d␈εε2
␈β¬␈␈↓ β?␈ε↓p
␈βε↔␈↓ ¬_␈∧ε↔¬_αα+␈↓ λ≡␈∧ε↔λ≡ααb
␈βε~␈↓ βc␈∧ε~βcαZ
␈βε≡␈↓ ε<␈∧ε≡ε<α5␈↓ 	?␈∧ε≡	?α5
␈βε ␈↓ ε~␈ε↔p␈↓ 	≡␈ε↔p
␈βε!␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αlarg␈α␈e␈↓ αI␈ε	k␈↓ αZ␈εβ.␈α∞No␈α␈w␈↓ βc␈εβ2␈↓ βt␈ε	Q␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ¬_␈εβ2␈↓ ¬)␈ε	Q␈↓ ¬T␈εβ+␈αλ2␈ε↔␈α␈d␈↓ ε<␈εβ2␈↓ εL␈ε	Q␈↓ εu␈ε↔e␈εβ␈απ+␈αλ2␈↓ πN␈ε↔∃␈↓ λ≡␈εβ(2␈↓ λ:␈ε	Q␈↓ λe␈εβ+␈απ2␈↓ 	?␈εβ2␈↓ 	P␈ε	Q␈↓ 	{␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈απ1␈↓ ␈ε↔∃
␈βε,␈↓ ∧
␈εk␈↓ ∧↔␈εε+1␈↓ ¬?␈εk␈↓ εb␈εk␈↓ λP␈εk␈↓ 	f␈εk
␈βεI␈↓ εd␈ε~␈␈εε1/␈α␈(␈α↓3␈↓ π+␈εR␈↓ πJ␈εε)
␈βεJ␈↓ ↓i␈∧εJ↓iα5␈↓ ¬%␈εα(␈↓ εG␈εα)
␈βεK␈↓ ↓H␈ε↔p
␈βεM␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ ↓z␈ε	Q␈↓ α∨␈εβ+␈α↓1␈αα+␈αα1␈α␈/(3␈↓ β4␈ε	R␈↓ βX␈εβ).␈α
Hen␈α␈ce␈↓ ∧T␈ε	⊃␈↓ ∧z␈ε↔∀␈↓ ¬1␈εβ1␈α↓+␈αα1/␈α␈(2␈↓ ε#␈ε	r␈↓ ε<␈εβ)␈↓ εS␈εβ2␈↓ πS␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈↓ λ ␈εβlg␈↓ λ@␈ε	⊃␈↓ λf␈εβ<␈α
0␈αεfor␈αεl␈α↓a␈α␈rge␈αεeno␈α␈ugh␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ.
␈βεQ␈↓ π>␈ε
k
␈βεW␈↓ α⊂␈εk␈↓ βK␈εk␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ε/␈εk␈↓ λP␈εε2
␈βεt␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αAlgorith␈α␈m␈α
C␈α
can␈α	also␈α
b␈α␈e␈α
mod␈α␈i|ed␈α	to␈α
d␈α␈e|n␈α␈e␈α
a␈α
seq␈α␈ue␈α␈nce␈↓ 	↓␈ε	q␈↓ 	→␈εβ,␈↓ 	-␈ε	q␈↓ 	E␈εβ,␈↓ 	Y␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 

␈εβof␈α
a␈α	si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈βε␈␈↓ 	
␈εε0␈↓ 	9␈εε1
␈βπ≤␈↓ ↓H␈εβty␈α␈pe␈αth␈α␈at␈αi␈α↓s␈αba␈α␈sed␈αon␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧≡␈εβ,␈αso␈αth␈α␈at␈↓ ¬$␈ε	n␈↓ ¬B␈ε↔→␈↓ ¬n␈ε	q␈↓ ε∂␈εβ+␈↓ ε8␈ε	q␈↓ πα␈εβafter␈αstep␈αC1␈α␈.␈α
This␈αmod␈α␈i|ca␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αl␈α↓e␈α␈ad␈α␈s
␈βπ'␈↓ ¬z␈εk␈↓ εD␈εk␈↓ εQ␈εε+1
␈βπD␈↓ ↓H␈εβto␈α
the␈αe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ate␈α(19␈α␈).
␈βπt␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAn␈α␈y␈απcom␈α␈mon␈απdiviso␈α␈r␈αλof␈αλ6␈↓ ∧q␈ε	q␈↓ ¬β␈εβ+␈↓ ¬'␈ε	d␈↓ ¬K␈εβand␈απ6␈↓ ε~␈ε	q␈↓ ε,␈εβ+␈↓ εP␈ε	d␈↓ εt␈εβm␈α␈ust␈αλa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αλdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αλth␈α␈eir␈αλdi{erenc␈α␈e␈↓ 
C␈ε	d␈↓ 
c␈ε↔␈␈↓ π␈ε	d␈↓ #␈εβ.
␈βπz␈↓ α␈ε↓␈␈↓ α%␈ε↓↓
␈βπ}␈↓ ¬7␈εε1␈↓ ε`␈εε2␈↓ 
S␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βλ∀␈↓ α→␈εε6
␈βλ≠␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈↓ α=␈εβd␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈α	are␈α	2,␈α
3,␈α
4,␈α
6,␈α
8␈α␈,␈α1␈α␈,␈α
2,␈α
4,␈α
6,␈α
1,␈α
3,␈α
5␈α␈,␈α2␈α␈,␈α
4,␈α
2,␈α
so␈α	we␈α	m␈α␈u␈α␈st␈α
on␈α␈ly␈α	sho␈α␈w␈α	tha␈α␈t
␈βλ,␈↓ α→␈εε2
␈βλC␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈α	most␈α	on␈α␈e␈α	of␈α	the␈α	g␈α␈iv␈α␈en␈α	n␈α}um␈α}bers␈α	is␈α	div␈α␈i␈α↓sib␈α␈l␈α↓e␈α	b␈α␈y␈α	ea␈α␈ch␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	primes␈α	2␈α␈,␈α
3,␈α
5␈α␈.␈αClearly␈α	o␈α␈nly
␈βλk␈↓ ↓H␈εβ6␈↓ ↓X␈ε	q␈↓ ↓n␈εβ+␈απ2␈α
is␈αev␈α}en,␈α
and␈α
o␈α␈nly␈α
6␈↓ ∧B␈ε	q␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈αis␈α
a␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈α3;␈αa␈α␈nd␈α
th␈α␈ere␈α
i␈α↓s␈α
at␈α
most␈α
on␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈αo␈α␈f
␈β	∩␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈,␈αsin␈α␈ce␈↓ α>␈ε	q␈↓ αa␈ε↔@⊃␈↓ β␈εβ3␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈α
5).
␈β	≥␈↓ αJ␈εk
␈β	>␈↓ ∧∩␈εk␈↓ πO␈εk␈↓ λy␈εk␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
∨␈εk
␈β	C␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε	t␈↓ α2␈ε↔∀␈εβ␈α∂6␈↓ αr␈ε	t␈↓ β9␈εβ+␈↓ βd␈ε	c␈↓ βq␈ε	k␈↓ ∧↓␈εβ3␈↓ ∧-␈εβf␈α↓o␈α␈r␈α∞some␈α∞co␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ εD␈ε	c␈↓ εQ␈εβ;␈α⊃so␈↓ π↔␈ε	t␈↓ π.␈εβ/␈↓ π>␈εβ6␈↓ πk␈ε↔∀␈↓ λ≠␈ε	t␈↓ λX␈εβ/␈↓ λh␈εβ6␈↓ 	6␈εβ+␈↓ 	a␈ε	c␈↓ 	n␈ε	k␈↓ 	}␈εβ/␈↓ 
∂␈εβ2␈↓ 
;␈ε↔∀␈↓ 
k␈ε	t␈↓ ␈εβ+
␈β	L␈↓ ↓Z␈ε↓P
␈β	M␈↓ α⊗␈εk␈↓ α|␈εk␈↓ β
␈ε~␈␈εε1␈↓ π ␈εk␈↓ λ%␈εk␈↓ λ2␈ε~␈␈εε1␈↓ 
u␈εε0
␈β	f␈↓ αm␈εj␈↓ ¬Z␈εk
␈β	j␈↓ ↓H␈ε	c␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	j␈↓ αL␈εβ/␈↓ α]␈εβ2␈↓ αy␈εβ)␈α
=␈↓ β8␈ε	M␈↓ β[␈εβ.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈↓ ∧C␈ε	t␈↓ ∧d␈ε↔∀␈↓ ¬∞␈ε	M␈↓ ¬8␈ε↔↓␈↓ ¬I␈εβ6␈↓ ¬g␈εβ.
␈β	u␈↓ ∧M␈εk
␈β	⎇␈↓ α␈εj␈↓ α␈ε~∃␈εε1
␈β
≥␈↓ 	X␈επ2
␈β
!␈↓ α\␈εk␈↓ 	6␈ε~␈␈↓ 	O␈εt␈↓ 	d␈εε/␈α␈2
␈β
%␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈εβ2␈↓ αv␈εβb␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓lest␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
2␈α
th␈α␈at␈α
ex␈α}ceed␈α␈s␈α
2␈↓ π]␈ε	K␈↓ πx␈εβ.␈α⊃Se␈α␈t␈↓ λM␈ε	a␈↓ λs␈ε↔ ␈↓ 	 ␈ε	|␈↓ 	⎇␈ε	u␈↓ 
'␈εβa␈α␈nd␈↓ 
i␈ε	b␈↓ ␈ε↔ 
␈β
0␈↓ λ]␈εt␈↓ 
⊂␈εt␈↓ 
u␈εt
␈β
D␈↓ αX␈επ2
␈β
I␈↓ ↓]␈εε(2␈↓ ↓r␈εK␈↓ απ␈ε~␈␈εε2␈ε~␈␈↓ αF␈εt␈↓ αP␈εε)␈↓ αc␈εε/2
␈β
M␈↓ ↓H␈ε	|␈↓ α⎇␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ βv␈ε	u␈↓ ∧ ␈εβ=␈α
0␈α
fo␈α␈r␈↓ ¬"␈ε	t␈↓ ¬:␈ε↔∃␈↓ ¬h␈ε	K␈↓ ε∧␈εβ.␈α∩We␈α
wan␈α}t␈α
to␈α
calcu␈α␈late␈α
the␈α
c␈α␈on␈α␈v␈α}olutio␈α␈ns␈↓ 
f␈ε	c␈↓ ␈εβ=
␈β
V␈↓ ↓H␈ε↓P
␈β
W␈↓ ∧	␈εt␈↓ 
r␈εr
␈β
t␈↓ αJ␈ε	a␈↓ αf␈ε	b␈↓ β.␈εβfor␈↓ βb␈ε	r␈↓ βy␈εβ=␈α
2␈↓ ∧5␈ε	K␈↓ ∧W␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬?␈ε	s␈↓ ¬L␈εβ,␈αwhen␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ε{␈ε	s␈↓ π∩␈εβ<␈↓ π=␈ε	K␈↓ πX␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}olutio␈α␈ns␈αc␈α␈an␈α
be␈α
fou␈α␈nd
␈β
␈␈↓ αZ␈εj␈↓ αr␈εr␈↓ α}␈ε~␈␈↓ β↔␈εj
␈βπ␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εj␈↓ α∨␈ε~∀␈↓ α9␈εr
␈β≡␈↓ π[␈εk
␈β"␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αu␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈ree␈αfast␈αFou␈α␈rier␈αtran␈α␈sforma␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αof␈αo␈α␈rder␈↓ πJ␈εβ2␈↓ πh␈εβ,␈αas␈αin␈αth␈α␈e␈αtext␈α␈'␈α↓s␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation
␈βI␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roce␈α␈du␈α␈re.␈α~[Th␈α␈e␈αorigin␈αo␈α␈f␈αthis␈αtrick␈αis␈αun␈α␈kn␈α␈o␈α␈wn␈α␈.␈α↓]
␈βz␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈ε	u␈↓ α
␈εβ∀␈↓ α4␈εβ=␈↓ α↑␈ε	u␈↓ α`␈εβ∂␈↓ βg␈εβ.␈αIn␈α	pa␈α␈rticular␈α␈,␈αif␈↓ ¬b␈ε	q␈↓ ¬z␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	w␈α␈e␈α	get␈↓ πE␈ε	u␈↓ πG␈εβ∂␈↓ λ\␈εβ,␈α
which␈α	av␈α}oids␈α	sh␈α␈u␈α␈␈␈ing
␈β∧␈↓ α∨␈εs
␈β¬␈↓ αq␈εε(␈↓ αz␈εq␈↓ βε␈εs␈↓ β⊃␈εε)␈↓ β≡␈εεmo␈α␈d␈↓ βR␈εK␈↓ πY␈εε(␈ε~␈␈↓ πz␈εr␈↓ λε␈εε)␈↓ λ∪␈εεmod␈↓ λG␈εK
␈β!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈αc␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈αin␈α␈v␈α␈e␈α␈rse␈αtran␈α␈sforms.
␈β3␈↓ ε≠␈ε↓P
␈βM␈↓ α"␈εε[␈↓ α)␈εj␈↓ α5␈εε]␈↓ λ9␈εε(␈↓ λA␈εs␈↓ λV␈εε...␈↓ λk␈εs␈↓ 	#␈εε)␈↓ 	7␈ε~↓␈εε(␈↓ 	F␈εt␈↓ 	⎇␈εε...␈↓ 
∩␈εt␈↓ 
I␈εε0␈↓ 
V␈εε...␈↓ 
k␈εε0␈↓ 
w␈εε)
␈βR␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈ε	A␈↓ α<␈εβ(␈↓ αG␈ε	s␈↓ β¬␈εβ,␈↓ β∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βA␈εβ,␈↓ βO␈ε	s␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧≤␈ε	t␈↓ ∧}␈εβ,␈↓ ¬
␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬9␈εβ,␈↓ ¬H␈ε	t␈↓ ¬←␈εβ)␈α	=␈↓ λ$␈ε	|␈↓ ␈ε↔α
␈βT␈↓ λK␈επ0␈↓ λu␈ε
k␈↓ 	↓␈ε≠␈␈επ1␈↓ 	+␈επ2␈↓ 	O␈ε
k␈↓ 	[␈ε≠␈␈επ1␈↓ 
≠␈ε
k␈↓ 
'␈ε≠␈␈↓ 
>␈ε
j␈↓ ␈επ2
␈β\␈↓ αR␈εk␈↓ α`␈ε~␈␈εε1␈↓ β[␈εk␈↓ βh␈ε~␈␈↓ ∧↓␈εj␈↓ ∧&␈εk␈↓ ∧3␈ε~␈␈↓ ∧L␈εj␈↓ ∧X␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬R␈εε0
␈βd␈↓ εA␈εε0␈ε~∀␈↓ εg␈εt␈↓ π≡␈εε,␈↓ π%␈εε...␈↓ π:␈εε,␈↓ πA␈εt␈↓ πx␈ε~∀␈εε␈α↓1
␈βf␈↓ ↓T␈ε↓P␈↓ αs␈ε↓P␈↓ ∧0␈ε↓P
␈βl␈↓ εp␈ε
k␈↓ ε|␈ε≠␈␈επ1␈↓ πJ␈ε
k␈↓ πV␈ε≠␈␈↓ πm␈ε
j
␈β
␈↓ α"␈εt␈↓ α,␈εp␈↓ β@␈εt␈↓ βI␈εq␈↓ λ↑␈εj␈↓  ␈εj
␈β
↓␈↓ ↓H␈εα(␈↓ α[␈εα)(␈↓ βp␈εα)
␈β
∧␈↓ α
␈ε	|␈↓ α:␈ε	u␈↓ β*␈ε	|␈↓ βU␈ε	v␈↓ ∧¬␈εβ=␈↓ ∧|␈ε	u␈↓ ¬≥␈ε	v␈↓ ¬8␈ε	S␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬i␈εβ,␈↓ ¬w␈ε	q␈↓ εε␈εβ),␈α
wh␈α␈ere␈↓ π↓␈ε	S␈↓ π⊗␈εβ(␈↓ π!␈ε	p␈↓ π2␈εβ,␈↓ πA␈ε	q␈↓ πO␈εβ)␈α
=␈α	0␈α	o␈α␈r␈↓ λN␈εβ2␈↓ λj␈εβ.␈αWe␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ 
β␈ε	S␈↓ 
↔␈εβ(␈↓ 
"␈ε	p␈↓ 
3␈εβ,␈↓ 
B␈ε	q␈↓ 
Q␈εβ)␈α	=␈↓ ⊂␈εβ2
␈β
∂␈↓ αM␈εp␈↓ βd␈εq␈↓ ¬∂␈εp␈↓ ¬,␈εq
␈β
↔␈↓ ↓z␈εp␈↓ β→␈εq␈↓ ∧V␈εp␈↓ ∧d␈εε,␈↓ ∧k␈εq
␈β
-␈↓ β↓␈εε2␈↓ β
␈εk␈↓ β<␈εj
␈β
2␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αexa␈α␈ctly␈↓ αp␈εβ2␈↓ β~␈εβ/␈↓ β+␈εβ2␈↓ βS␈εβv␈α␈alues␈αo␈α␈f␈↓ ∧←␈ε	p␈↓ ∧|␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬<␈ε	q␈↓ ¬K␈εβ.
␈β
b␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβAn␈α∞a␈α␈uto␈α␈mato␈α␈n␈α∞ca␈α␈nn␈α␈ot␈α∞h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬1␈ε	z␈↓ ¬W␈εβ=␈α∂1␈α
un␈α}ti␈α↓l␈α∞it␈α∞ha␈α␈s␈↓ πY␈ε	c␈↓ πt␈ε↔∃␈εβ␈α∂2␈α␈,␈α∂and␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α∞|rst␈α∞fo␈α␈r
␈β
l␈↓ ¬=␈εε2
␈β∞	␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓}␈εβa␈α␈t␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α
3␈↓ βπ␈ε	j␈↓ β∨␈ε↔␈␈εβ␈α	1.␈α⊃It␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈↓ ¬T␈ε	M␈↓ ε
␈εβca␈α␈nn␈α␈ot␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πJ␈ε	z␈↓ πb␈ε	z␈↓ πy␈ε	z␈↓ λ≡␈ε↔≤␈εβ␈α
00␈α␈0␈α
un␈α}til␈α∞time␈α
3␈α␈(␈↓ 
F␈ε	j␈↓ 
]␈ε↔␈␈εβ␈α	1).
␈β∞∀␈↓ ↓d␈εj␈↓ ¬q␈εj␈↓ πU␈εε2␈↓ πm␈εε1␈↓ λ∧␈εε0
␈β∞1␈↓ ↓H␈εβFu␈α␈rther␈α␈more,␈α∂if␈↓ β;␈ε	M␈↓ βr␈εβh␈α␈as␈↓ ∧0␈ε	z␈↓ ∧V␈ε↔≤␈εβ␈α∞0␈α∞at␈α∞time␈↓ ε≡␈ε	t␈↓ ε*␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α␈no␈α␈t␈α∞cha␈α␈ng␈α␈e␈α∞this␈α∞to␈↓ 	H␈ε	z␈↓ 	m␈εβ=␈α∂0␈α∞with␈α␈ou␈α␈t
␈β∞<␈↓ βX␈εj␈↓ ∧;␈εε0␈↓ 	S␈εε0
␈β∞Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈{␈α↓e␈α␈cting␈α	the␈α	ou␈α␈tpu␈α␈t;␈α
bu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈utp␈α␈ut␈α	can␈α␈no␈α␈t␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈{␈α↓e␈α␈cted␈α	by␈α	th␈α␈is␈α
v␈α␈alue␈α	of␈↓ 	T␈ε	z␈↓ 	v␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α
a␈α␈t␈α
leas␈α␈t
␈β∞c␈↓ 	←␈εε0
␈β∂␈↓ ↓H␈εβtime␈↓ α∃␈ε	t␈↓ α*␈εβ+␈↓ αT␈ε	j␈↓ αk␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈α
so␈α
w␈α␈e␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
h␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬>␈ε	t␈↓ ¬S␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε	j␈↓ ε∀␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ π→␈ε	n␈↓ π-␈εβ.␈α⊃Sin␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
|␈α␈rst␈α
arg␈α␈umen␈α}t␈α
w␈α␈e␈α
g␈α␈av␈α␈e
␈β∂(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α∞th␈α␈at␈α∞3␈α␈(␈↓ β_␈ε	j␈↓ β0␈ε↔␈␈εβ␈α
1)␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧3␈ε	t␈↓ ∧?␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α∞4␈α␈(␈↓ εL␈ε	j␈↓ εd␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α∞∀␈εβ␈α∞2␈↓ πx␈ε	n␈↓ λ␈εβ,␈α∞tha␈α␈t␈α∞is,␈↓ 	≤␈ε	j␈↓ 	4␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈ε↔␈α
∀␈↓ 
,␈ε	n␈↓ 
@␈εβ/␈α␈2,␈α∂i.e.,
␈β∂K␈↓ 	v␈εn
␈β∂O␈↓ ↓H␈ε	j␈↓ ↓`␈ε↔∀␈α	b␈↓ α↔␈ε	n␈↓ α+␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α∧+␈α∧1␈α␈.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈αλis␈α	th␈α␈e␈α	b␈α␈est␈αλpo␈α␈ssi␈α↓b␈α␈le␈α	b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈,␈α
sin␈α␈ce␈αλthe␈αλinp␈α␈uts␈↓ λX␈ε	u␈↓ λv␈εβ=␈↓ 	 ␈ε	v␈↓ 	;␈εβ=␈↓ 	e␈εβ2␈↓ 

␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α	r␈α␈equ␈α␈i␈α↓re
␈β∂w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	u␈α␈se␈α	of␈↓ α[␈ε	M␈↓ β␈εβfor␈α	all␈↓ βj␈ε	j␈↓ ∧α␈ε↔∀␈α
b␈↓ ∧:␈ε	n␈↓ ∧N␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈α∧+␈α¬1.␈α∀(For␈αλexa␈α␈mple,␈α	no␈α␈te␈α	from␈α	Ta␈α␈ble␈α	1␈αλtha␈α␈t␈↓ 	w␈ε	M␈↓ 
)␈εβi␈α↓s␈α	n␈α␈eed␈α␈ed
␈β⊂α␈↓ αw␈εj␈↓ 
∀␈εε2
␈β⊂∨␈↓ ↓H␈εβto␈α
m␈α␈ultiply␈α
t␈α␈wo␈α␈-bit␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈αa␈α␈t␈αti␈α↓m␈α␈e␈α3.)
␈β⊂L␈↓ ε#␈ε∃M␈α␈IX
␈β⊂O␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβWe␈α
can␈α\sw␈α␈eep␈αthro␈α␈ug␈α␈h"␈↓ ¬␈ε	K␈↓ ¬3␈εβl␈α↓ists␈α
o␈α␈f␈↓ εa␈εβ-lik␈α␈e␈α
ins␈α␈truction␈α␈s,␈α∞ex␈α}ecu␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
|rst␈α
in␈α␈-
␈β⊂r␈↓ ε→␈εε2
␈β⊂t␈↓ ∧@␈εα(
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβstr␈α␈uction␈απon␈απeach␈απl␈α↓ist,␈α	in␈↓ ∧'␈ε	O␈↓ ∧L␈ε	K␈↓ ∧j␈εβ+␈α∧(␈↓ ¬~␈ε	N␈↓ ¬?␈εβlo␈α␈g␈↓ ¬o␈ε	N␈↓ ε∞␈εβ)␈↓ ε-␈εβsteps␈αλa␈α␈s␈αλfoll␈α↓o␈α}ws:␈α∩(1)␈αλA␈αλrad␈α␈ix␈αλlist␈αλsort␈αλ(S␈α␈ection
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈.␈α↓2␈α␈.5)␈αwil␈α↓l␈αg␈α␈rou␈α␈p␈αto␈α␈geth␈α␈er␈αall␈αiden␈α}tical␈αinstru␈α␈ction␈α␈s,␈αi␈α↓n␈αtime␈↓ λ0␈ε	O␈↓ λH␈εβ(␈↓ λS␈ε	K␈↓ λv␈εβ+␈↓ 	∨␈ε	M␈↓ 	B␈εβ).␈α≠(2)␈αEac␈α␈h␈αset
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα567
␈βα&␈↓ π␈␈εε2
␈βα*␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	j␈↓ α␈εβiden␈α}tical␈α
instru␈α␈ction␈α␈s␈α
ca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
pe␈α␈rformed␈αin␈↓ πα␈ε	O␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈εβlog␈↓ πU␈ε	N␈↓ πt␈εβ)␈↓ λ∀␈εβ+␈↓ λ>␈ε	O␈↓ λV␈εβ(␈↓ λa␈ε	j␈↓ λp␈εβ)␈α
step␈α␈s,␈α∞a␈α␈nd␈αthe␈α␈re␈α
are
␈βαN␈↓ α
␈εε2
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	N␈↓ α⊗␈εβ)␈αse␈α␈ts.␈αA␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
sw␈α␈eep␈α␈s␈αwill␈α|␈α␈nish␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α
th␈α␈e␈αlists.␈αTh␈α␈e␈αr␈α␈emain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
de␈α␈tails
␈βαy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α	straigh␈α}tforwar␈α␈d;␈α
for␈α	ex␈α␈amp␈α␈le,␈α
arith␈α␈metic␈α	op␈α␈eratio␈α␈ns␈α	can␈αλbe␈α	sim␈α␈u␈α␈lated␈α	b␈α␈y␈α	co␈α␈n␈α␈v␈α}erting
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓d␈εβa␈α␈nd␈↓ α$␈ε	q␈↓ α>␈εβto␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α␈.␈α~[To␈αa␈α␈pp␈α␈ear.]
␈ββ[␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβIf␈α∂it␈α∂ta␈α␈k␈α␈es␈↓ β/␈ε	T␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε	n␈↓ βe␈εβ)␈α∂step␈α␈s␈α∂to␈α∞m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε ␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs,␈α⊂w␈α␈e␈α∞can␈α∞ac␈α␈comp␈α␈li␈α↓sh␈α∞th␈α␈e␈α∂m␈α}ulti-
␈β∧β␈↓ ↓H␈εβp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α∞o␈α␈f␈↓ α}␈ε	m␈↓ β≠␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞b␈α␈y␈↓ ∧⊂␈ε	n␈↓ ∧$␈εβ-bit␈α∞by␈α
brea␈α␈kin␈α␈g␈α∞the␈↓ εb␈ε	n␈↓ εv␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞in␈α␈to␈ε↔␈α∞d␈↓ 	π␈ε	n␈↓ 	≠␈εβ/␈↓ 	+␈ε	m␈↓ 	I␈ε↔e␈↓ 	d␈ε	m␈↓ 
↓␈εβ-bit␈α∞gro␈α␈up␈α␈s,
␈β∧+␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈ε↔␈α
d␈↓ α+␈ε	n␈↓ α?␈εβ/␈↓ αP␈ε	m␈↓ αm␈ε↔e␈↓ αz␈ε	T␈↓ β⊃␈εβ(␈↓ β≤␈ε	m␈↓ β:␈εβ)␈αε+␈↓ βs␈ε	O␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧↔␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ+␈↓ ∧Y␈ε	m␈↓ ∧w␈εβ)␈α
op␈α␈eration␈α␈s.␈αThe␈α
resu␈α␈l␈α↓ts␈α
of␈αth␈α␈is␈αsec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
there␈α␈fore␈α
giv␈α␈e␈α
an
␈β∧R␈↓ ↓H␈εβe␈α␈sti␈α↓m␈α␈ated␈α
ru␈α␈nn␈α␈ing␈α
time␈α
of␈↓ ∧W␈ε	O␈↓ ∧o␈εβ(␈↓ ∧{␈ε	n␈↓ ¬∀␈εβlog␈↓ ¬D␈ε	m␈↓ ¬g␈εβlog␈↓ ε↔␈εβlog␈↓ εG␈ε	m␈↓ εe␈εβ)␈α
on␈α
Tu␈α␈ring␈α
ma␈α␈chine␈α␈s,␈α∂o␈α␈r␈↓ 	g␈ε	O␈↓ 	␈␈εβ(␈↓ 

␈ε	n␈↓ 
#␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 
S␈ε	m␈↓ 
q␈εβ)␈α
on
␈β∧z␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es␈αwith␈αra␈α␈nd␈α␈om␈αac␈α␈cess␈αto␈αw␈α␈o␈α␈rds␈αof␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αsize,␈αor␈↓ λ'␈ε	O␈↓ λ?␈εβ(␈↓ λJ␈ε	n␈↓ λ↑␈εβ)␈αon␈α
po␈α␈i␈α↓n␈α}ter␈αmac␈α␈hine␈α␈s.
␈β¬0␈↓ εv␈εε2
␈β¬1␈↓ ¬|␈εα(␈↓ π|␈εα)
␈β¬4␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβThe␈α
b␈α␈est␈αu␈α␈pp␈α␈er␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α
k␈α␈no␈α␈wn␈α
is␈↓ ¬c␈ε	O␈↓ ελ␈ε	n␈↓ ε≤␈εβ(␈↓ ε'␈εβlog␈↓ εW␈ε	n␈↓ εk␈εβ)␈↓ πλ␈εβlog␈↓ π8␈εβlog␈↓ πh␈ε	n␈↓ λλ␈εβ,␈αdu␈α␈e␈αto␈α
M␈α␈.␈αJ.␈αFisch␈α␈er␈αa␈α␈nd␈α
L.
␈β¬\␈↓ ↓H␈εβJ␈α␈.␈α∞Sto␈α␈ckm␈α␈ey␈α␈e␈α␈r␈α∞[␈ε⊂J.␈α∞Co␈α␈mp.␈α
and␈α
S␈α␈yst.␈α
Sci.␈ε∪␈α∞9␈εβ␈α
(19␈α␈74),␈α∞317␈α␈↑33␈α␈1];␈α∂the␈α␈i␈α↓r␈α
con␈α␈struc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
w␈α␈ork␈α␈s
␈βεβ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tita␈α␈pe␈αTur␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αmac␈α␈hine␈α␈s,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αa␈α␈lso␈αon␈αp␈α␈oin␈α␈te␈α␈r␈αm␈α␈ach␈α␈i␈α↓n␈α␈es.␈αTh␈α␈e␈αbes␈α␈t␈αlo␈α␈w␈α␈er␈αb␈α␈ou␈α␈nd
␈βε+␈↓ ↓H␈εβk␈α␈no␈α}wn␈α
is␈↓ αW␈ε	O␈↓ αo␈εβ(␈↓ αz␈ε	n␈↓ β∪␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βC␈ε	n␈↓ βX␈εβ/␈↓ βh␈εβlog␈↓ ∧_␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ∧H␈ε	n␈↓ ∧\␈εβ),␈α∞d␈α␈ue␈αto␈α
M␈α␈.␈α
S.␈α
Paterso␈α␈n,␈α
M.␈α
J␈α␈.␈α
F␈α↓isch␈α␈er,␈α
an␈α␈d␈α
A.␈α
R.␈α
M␈α␈ey␈α␈e␈α␈r
␈βεS␈↓ ↓H␈εβ[␈ε⊂S␈α␈IA␈α↓M␈α␈/AM␈α␈S␈α	Proce␈α␈edin␈α␈gs␈ε∪␈α	7␈εβ␈α	(1␈α␈974␈α␈),␈α
97␈α␈↑11␈α␈1],␈α
a␈α␈pp␈α␈l␈α↓y␈α␈ing␈αλto␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓ta␈α␈pe␈α	Tu␈α␈ring␈αλmach␈α␈ines␈αλbu␈α␈t
␈βεz␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈αto␈αp␈α␈oin␈α␈t␈α␈er␈αmach␈α␈ines.
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.4
␈βλe␈↓ βM␈εα(␈↓ πz␈εα)
␈βλh␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβWe␈αc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ β↑␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧⊗␈ε	a␈↓ ∧=␈ε	b␈↓ ¬␈εβ+␈↓ ¬4␈ε	a␈↓ ε↓␈εβ)␈↓ ε⊃␈ε	b␈↓ εa␈εβ+␈↓ π	␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π6␈εβ+␈↓ π↑␈ε	a␈↓ λ␈ε	b␈↓ λ*␈εβ+␈↓ λR␈ε	a␈↓ λy␈εβb␈α␈y␈α
ad␈α␈din␈α␈g␈αa␈α␈nd␈α
m␈α}ulti-
␈βλr␈↓ ∧%␈εm␈↓ ∧I␈εm␈↓ ∧`␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬D␈εm␈↓ ¬[␈ε~␈␈εε2␈↓ ε≥␈εm␈↓ ε5␈ε~␈␈εε2␈↓ πm␈εε1␈↓ λ↔␈εε1␈↓ λb␈εε0
␈β	∂␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lying␈α
i␈α↓n␈α
the␈↓ β∞␈ε	B␈↓ β8␈εβsyste␈α␈m.
␈β	~␈↓ β!␈εj
␈β	a␈↓ ∧/␈εβT␈α↓.␈↓ ¬*␈εβ=␈α
2␈α␈0(cwt.␈↓ εs␈εβ=␈α
8(st.␈↓ λ≡␈εβ=␈α
1␈α␈4(lb.␈↓ 	@␈εβ=␈α	16␈αo␈α␈z.)))
␈β
⊂␈↓ α
␈εβS␈α␈tart␈αwith␈αzer␈α␈o␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ0␈↓ 
⊂␈εβ0
␈β
7␈↓ α
␈εβAdd␈α
3␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ0␈↓ 
⊂␈εβ3
␈β
←␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α24␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ4␈↓ 
⊂␈εβ8
␈βε␈↓ α
␈εβAdd␈α
9␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ0␈↓ π ␈εβ0␈↓ λ\␈εβ5␈↓ 
⊂␈εβ1
␈β.␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α60␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ2␈↓ π ␈εβ5␈↓ λ\␈εβ9␈↓ 	␈␈εβ12
␈βV␈↓ α
␈εβAdd␈α
12␈↓ ∧8␈εβ0␈↓ ¬l␈εβ2␈↓ π ␈εβ5␈↓ λK␈εβ10␈↓ 
⊂␈εβ8
␈β⎇␈↓ α
␈εβMu␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈αb␈α␈y␈α60␈↓ ∧8␈εβ8␈↓ ¬l␈εβ3␈↓ π ␈εβ1␈↓ λ\␈εβ0␈↓ 
⊂␈εβ0
␈β%␈↓ α
␈εβAdd␈α
37␈↓ ∧8␈εβ8␈↓ ¬l␈εβ3␈↓ π ␈εβ1␈↓ λ\␈εβ2␈↓ 
⊂␈εβ5
␈βz␈↓ ↓H␈εβ(Ad␈α␈dition␈αa␈α␈nd␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αb␈α␈y␈αa␈αcon␈α␈stan␈α␈t␈αin␈αa␈αmix␈α␈ed␈α␈-rad␈α␈i␈α↓x␈αsystem␈αa␈α␈re␈α
re␈α␈adily␈αd␈α␈one
␈β
"␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈ple␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α↓iza␈α␈tion␈αo␈α␈f␈αt␈α␈he␈αu␈α␈sua␈α␈l␈αca␈α␈rry␈αru␈α␈le;␈αc␈α␈f␈α↓.␈αex␈α}ercise␈α4.3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑9.)
␈β
\␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβWe␈α∞c␈α␈omp␈α␈ute␈ε↔␈α
b␈↓ β`␈ε	u␈↓ βt␈εβ/␈↓ ∧¬␈ε	B␈↓ ∧%␈ε↔c␈εβ,␈ε↔␈α∞bb␈↓ ∧c␈ε	u␈↓ ∧w␈εβ/␈↓ ¬λ␈ε	B␈↓ ¬(␈ε↔c␈εβ/␈↓ ¬E␈ε	B␈↓ ¬e␈ε↔c␈εβ,␈α∂e␈α␈tc.,␈α∂an␈α␈d␈α
the␈α
rem␈α␈aind␈α␈ers␈α
are␈↓ 	:␈ε	A␈↓ 	\␈εβ,␈↓ 	t␈ε	A␈↓ 
⊗␈εβ,␈α∞etc␈α␈.␈α∪The
␈β
g␈↓ ∧_␈εε0␈↓ ¬≠␈εε0␈↓ ¬Y␈εε1␈↓ 	P␈εε0␈↓ 
	␈εε1
␈β∞∧␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈αis␈αd␈α␈one␈α
i␈α↓n␈α
the␈↓ ∧∃␈ε	b␈↓ ∧8␈εβsy␈α␈stem.
␈β∞∞␈↓ ∧!␈εj
␈β∞U␈↓ ∧␈εβd.␈↓ ¬∀␈εβ=␈α	24(h␈α␈.␈↓ εC␈εβ=␈α
6␈α␈0(m.␈↓ πs␈εβ=␈α
60␈α
s.␈α↓))
␈β∂∧␈↓ αα␈εβSta␈α␈rt␈αw␈α↓ith␈↓ β#␈ε	u␈↓ ∧⊃␈εβ3␈↓ ¬E␈εβ9␈↓ εp␈εβ12␈↓ λ$␈εβ37
␈β∂+␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α1␈α␈6␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ5␈↓ π↓␈εβ4␈↓ λ$␈εβ32␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	5
␈β∂S␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α1␈α␈4␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ εp␈εβ21␈↓ λ$␈εβ45␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	2
␈β∂{␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α8␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ2␈↓ λ$␈εβ43␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	1
␈β⊂"␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈α2␈α␈0␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ0␈↓ λ5␈εβ8␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	3
␈β⊂J␈↓ αα␈εβDi␈α↓v␈α␈ide␈αb␈α␈y␈ε↔␈α1␈↓ ∧⊃␈εβ0␈↓ ¬E␈εβ0␈↓ π↓␈εβ0␈↓ λ5␈εβ0␈↓ 	∂␈εβRema␈α␈i␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈↓ 
7␈εβ=␈α	8
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε⊂An␈α␈sw␈α␈er:␈εβ␈α8␈αT.␈α3␈α
cwt.␈α1␈αst.␈α2␈αlb.␈α5␈αoz␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα568␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}4.4
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈α∂follo␈α␈wing␈α∂p␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈α⊂d␈α␈ue␈α∂to␈α∂G.␈α⊂L.␈α⊂S␈α␈teele␈α∂Jr.␈α∂and␈α∂J␈α␈on␈α∂L.␈α⊂White␈α∂ge␈α␈nera␈α␈l␈α↓ize␈α␈s
␈βαS␈↓ ↓H␈εβTa␈α␈ran␈α␈t␈α␈o's␈αalgorith␈α␈m␈αfor␈↓ ∧*␈ε	B␈↓ ∧I␈εβ=␈α
2␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈inally␈αp␈α␈ub␈α␈li␈α↓sh␈α␈ed␈αin␈ε⊂␈α
CA␈α␈CM␈ε∪␈α2␈εβ,␈α7␈α(Ju␈α␈ly␈α19␈α␈59),␈α27␈α␈.
␈ββ	␈↓ ↓O␈ε∪A1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε	M␈↓ ∧$␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ∧t␈ε	U␈↓ ¬∨␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈ββ∪␈↓ ¬	␈εε0
␈ββ>␈↓ ↓O␈ε∪A2.␈↓ α␈εβ[Don␈α␈e?]␈α≤If␈↓ β5␈ε	u␈↓ βT␈εβ<␈↓ ∧␈ε	∂␈↓ ∧→␈εβor␈↓ ∧C␈ε	u␈↓ ∧b␈εβ>␈α1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬Q␈ε	∂␈↓ ¬↑␈εβ,␈αgo␈αto␈αstep␈αA4.␈α≠(Oth␈α␈erwi␈α↓s␈α␈e␈αno␈↓ 	8␈ε	M␈↓ 	Z␈εβ-place␈αfra␈α␈ction
␈ββf␈↓ α␈εβwil␈α↓l␈αsat␈α␈i␈α↓sfy␈α
the␈αg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.)
␈β∧≤␈↓ ↓O␈ε∪A3.␈↓ α␈εβ[Tran␈α␈sform.]␈α~S␈α␈et␈↓ ∧∀␈ε	M␈↓ ∧@␈ε↔ ␈↓ ∧j␈ε	M␈↓ ¬∀␈εβ+␈αλ1,␈↓ ¬b␈ε	U␈↓ ε4␈ε↔ ␈α
b␈↓ εl␈ε	B␈↓ πα␈ε	u␈↓ π⊗␈ε↔c␈εβ,␈↓ π7␈ε	u␈↓ πU␈ε↔ ␈↓ π␈␈ε	B␈↓ λ⊗␈ε	u␈↓ λ/␈εβmod␈↓ λt␈εβ1␈α␈,␈↓ 	→␈ε	∂␈↓ 	/␈ε↔ ␈↓ 	Y␈ε	B␈↓ 	p␈ε	∂␈↓ 	⎇␈εβ,␈αan␈α␈d␈αret␈α␈urn
␈β∧&␈↓ ¬w␈ε~␈␈↓ ε⊃␈εM
␈β∧C␈↓ α␈εβto␈αA2.␈α≤(This␈α
tra␈α␈nsfo␈α␈rmation␈αre␈α␈turn␈α␈s␈α
u␈α␈s␈α
to␈αessen␈α}tially␈α
t␈α␈he␈αsame␈αstate␈αw␈α␈e␈αwe␈α␈re␈α
in
␈β∧k␈↓ α␈εβbe␈α␈fore:␈αth␈α␈e␈αre␈α␈mainin␈α␈g␈αp␈α␈rob␈α␈lem␈αi␈α↓s␈αto␈αcon␈α}v␈α␈ert␈↓ π∪␈ε	u␈↓ π2␈εβto␈↓ π\␈ε	U␈↓ λα␈εβwi␈α↓t␈α␈h␈αf␈α↓e␈α␈w␈α␈est␈αra␈α␈dix-␈↓ 
␈ε	B␈↓ 
,␈εβplace␈α␈s␈αso
␈β¬∪␈↓ α␈εβth␈α␈at␈ε↔␈αj␈↓ α↑␈ε	U␈↓ β↓␈ε↔␈␈↓ β+␈ε	u␈↓ β?␈ε↔j␈εβ␈α<␈↓ β␈␈ε	∂␈↓ ∧␈εβ.␈α∞No␈α␈te,␈α
h␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈αthat␈↓ εS␈ε	∂␈↓ εk␈εβmay␈αno␈α␈w␈αb␈α␈e␈ε↔␈α∃␈εβ␈α1;␈αi␈α↓n␈αth␈α␈i␈α↓s␈αc␈α␈ase␈αw␈α␈e␈αco␈α␈uld
␈β¬:␈↓ α␈εβgo␈α
i␈α↓m␈α␈med␈α␈i␈α↓a␈α␈tely␈αto␈αste␈α␈p␈αA4␈αins␈α␈tead␈α
of␈αstoring␈α
the␈αn␈α␈ew␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ 	 ␈ε	∂␈↓ 	-␈εβ.)
␈β¬m␈↓ ∧␈εε1␈↓ πX␈εε1
␈β¬p␈↓ ↓O␈ε∪A4.␈↓ α␈εβ[Rou␈α␈nd␈α␈.␈α↓]␈α↔If␈↓ βA␈ε	u␈↓ β↑␈ε↔∃␈↓ ∧≤␈εβ,␈αincre␈α␈ase␈↓ ¬-␈ε	U␈↓ ε↓␈εβb␈α␈y␈α
1␈α␈.␈α_(If␈↓ π␈ε	u␈↓ π*␈εβ=␈↓ πs␈εβe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α␈,␈αa␈α␈noth␈α␈er␈α
rou␈α␈nd␈α␈ing␈α
ru␈α␈l␈α↓e
␈β¬{␈↓ ¬B␈ε~␈␈↓ ¬\␈εM
␈β¬}␈↓ ∧␈∧¬}∧α
␈↓ πX␈∧¬}πXα
␈βε␈↓ ∧␈εε2␈↓ πX␈εε2
␈βε_␈↓ α␈εβsu␈α␈ch␈αas␈α\␈α␈increa␈α␈se␈↓ ∧∂␈ε	U␈↓ ∧c␈εβby␈α
1␈αon␈α␈ly␈αwhe␈α␈n␈αit␈αi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈"␈αmigh␈α}t␈αbe␈αp␈α␈referre␈α␈d.)
␈βε~␈↓ 
,␈∧ε~
,≠∂
␈βε"␈↓ ∧$␈ε~␈␈↓ ∧>␈εM
␈βεN␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tep␈α
A4␈αwill␈αn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈αincrea␈α␈se␈↓ ∧]␈ε	U␈↓ ¬1␈εβfro␈α␈m␈↓ ε␈ε	B␈↓ ε≡␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αto␈↓ π
␈ε	B␈↓ π ␈εβ;␈αfo␈α␈r␈αi␈α↓f␈↓ λλ␈ε	U␈↓ λZ␈εβ=␈↓ 	∧␈ε	B␈↓ 	"␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e
␈βεX␈↓ ∧r␈ε~␈␈↓ ¬␈εM␈↓ λ≥␈ε~␈␈↓ λ6␈εM
␈βεu␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓u␈εβ>␈α
0,␈αbu␈α␈t␈αn␈α␈o␈α(␈↓ β>␈ε	M␈↓ βh␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)-plac␈α␈e␈αfrac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αw␈α↓a␈α␈s␈αsu␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈αac␈α␈cura␈α␈te.␈α
Stee␈α␈l␈α↓e␈αan␈α␈d␈αWh␈α␈i␈α↓te␈αgo
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αto␈αc␈α␈ons␈α␈i␈α↓d␈α␈er␈α⎇o␈α␈ating␈α␈-po␈α␈i␈α↓n␈α}t␈αcon␈α}v␈α␈ersion␈α␈s␈αin␈αth␈α␈eir␈αp␈α␈ap␈α␈er␈α[to␈αap␈α␈pe␈α␈ar].
␈βπO␈↓ αu␈εk␈↓ βG␈εk␈↓ ∧ε␈εk
␈βπS␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃1␈α␈/␈↓ αe␈εβ2␈↓ β␈εβ=␈↓ β6␈εβ5␈↓ βT␈εβ/1␈↓ βv␈εβ0␈↓ ∧∪␈εβ.␈α~(b)␈αEv␈α␈e␈α␈ry␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈↓ π=␈ε	b␈↓ πV␈εβd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ λF␈ε	B␈↓ λ]␈εβ.
␈βλ∧␈↓ αX␈εn
␈βλ	␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβI{␈α1␈↓ αG␈εβ0␈↓ αp␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈α	∀␈↓ β]␈ε	c␈↓ βs␈εβ<␈↓ ∧≡␈ε	w␈↓ ∧6␈εβ,␈αc␈α␈f␈α↓.␈α(3).
␈βλ>␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈ε	␈↓ α≡␈ε	u␈↓ α=␈ε↔∀␈↓ αh␈ε	u␈↓ α|␈ε	x␈↓ β_␈ε↔∀␈↓ βC␈ε	␈↓ βU␈ε	u␈↓ βq␈εβ+␈↓ ∧~␈ε	u␈↓ ∧.␈εβ/␈↓ ∧?␈ε	w␈↓ ∧b␈ε↔∀␈↓ ¬∞␈ε	␈↓ ¬ ␈ε	u␈↓ ¬<␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αhen␈α␈ce␈ε↔␈αb␈↓ εt␈ε	␈↓ ππ␈ε	u␈↓ π≠␈ε↔c␈α
∀␈α
b␈↓ πj␈ε	u␈↓ π}␈ε	x␈↓ λ⊂␈ε↔c␈α
∀␈α
b␈↓ λ←␈ε	␈↓ λr␈ε	u␈↓ 	
␈εβ+␈α	1␈ε↔␈α␈c␈εβ.␈α
Furth␈α␈ermo␈α␈re,
␈βλf␈↓ ↓H␈εβin␈α
the␈αsp␈α␈ecial␈αcase␈α
cited␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e␈↓ ¬*␈ε	u␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ¬Y␈εβ<␈↓ ε∧␈ε	␈↓ ε⊗␈ε	u␈↓ ε1␈εβ+␈↓ εZ␈ε	␈↓ εw␈εβand␈ε↔␈α
b␈↓ πE␈ε	␈↓ πW␈ε	u␈↓ πk␈ε↔c␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	b␈↓ λ9␈ε	␈↓ λK␈ε	u␈↓ λg␈εβ+␈↓ 	⊂␈ε	␈↓ 	)␈ε↔␈␈↓ 	R␈ε	∂␈↓ 	←␈ε↔c␈εβ.
␈β	%␈↓ α←␈ε∃EN␈α␈T1␈↓ β[␈ε∃0
␈β	(␈↓ ↓g␈ε∪8.
␈β	M␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃U
␈β	u␈↓ α␈ε∃1H␈↓ α←␈ε∃MU␈α␈L␈↓ β[␈ε∃=1␈α␈//10␈α␈=
␈β
≤␈↓ α␈ε∃3H␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈β
D␈↓ α←␈ε∃MU␈α␈L␈↓ β[␈ε∃=-␈α␈10=
␈β
k␈↓ α←␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ β[␈ε∃5
␈β∪␈↓ α←␈ε∃AD␈α␈D␈↓ β[␈ε∃U
␈β;␈↓ α←␈ε∃JA␈α␈NN␈↓ β[␈ε∃2F
␈βb␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈βe␈↓ ¬*␈εβ(Can␈α
occu␈α␈r␈αon␈α␈ly␈αon
␈β
␈↓ α←␈ε∃DE␈α␈CA␈↓ β[␈ε∃1
␈β
␈↓ ¬r␈εβth␈α␈e␈α|rst␈αitera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,
␈β1␈↓ α←␈ε∃JM␈α␈P␈↓ β[␈ε∃3B
␈β4␈↓ ¬r␈εβby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α7.)
␈βY␈↓ α␈ε∃2H␈↓ α←␈ε∃ST␈α␈A␈↓ β[␈ε∃AN␈α␈SWER␈α␈,1
␈β\␈↓ ¬*␈εβ(Ma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αmin␈α␈u␈α␈s␈αz␈α␈ero.)
␈β
↓␈↓ α←␈ε∃LD␈α␈A␈↓ β[␈ε∃TE␈α␈MP
␈β
(␈↓ α←␈ε∃IN␈α␈C1␈↓ β[␈ε∃1
␈β
P␈↓ α←␈ε∃JA␈α␈P␈↓ β[␈ε∃1B
␈β
U␈↓ ¬O␈∧
U¬O≠∂
␈β∞¬␈↓ α?␈ε~0␈↓ ¬-␈ε~0
␈β∞ε␈↓ λ)␈εα(␈↓ 
u␈εα)
␈β∞	␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α.␈ε	x␈↓ αQ␈εβis␈αan␈αin␈α␈te␈α␈ger,␈↓ ∧_␈ε	x␈↓ ∧1␈ε↔␈␈↓ ∧Z␈ε	∂␈↓ ∧q␈ε↔∀␈↓ ¬≤␈ε	x␈↓ ¬=␈ε↔∀␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ,␈αthen␈α
(␈α↓1␈απ+␈αλ1␈α␈/␈↓ πH␈ε	n␈↓ π\␈εβ)␈↓ πg␈ε	x␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ5␈εβ(1␈απ+␈αλ1/␈↓ 	"␈ε	n␈↓ 	6␈εβ)␈↓ 	B␈ε	∂␈↓ 	V␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈↓ 
a␈ε	n␈↓ ␈ε↔∀
␈β∞,␈↓ ↓Y␈ε~0␈↓ α.␈ε~0
␈β∞0␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓g␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ α≤␈ε	x␈↓ α4␈εβ/␈↓ αE␈ε	n␈↓ αY␈ε↔c␈α	∀␈εβ␈α	(␈α↓1␈απ+␈απ1/␈↓ ∧π␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ)␈↓ ∧&␈ε	x␈↓ ∧7␈εβ.␈αH␈α↓e␈α␈nce␈αif␈↓ ¬M␈ε	␈↓ ¬j␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
f␈α↓r␈α␈action␈α
satisfyin␈α␈g
␈β∞|␈↓ β=␈ε~␈␈εε35
␈β∂α␈↓ α:␈εβ1␈α␈/10␈ε↔␈απ␈␈↓ β,␈εβ2␈↓ βy␈εβ<␈↓ ∧#␈ε	␈↓ ∧?␈εβ=␈α	(.␈α↓0␈α␈001␈α␈100␈α␈11␈α␈001␈α␈100␈α␈110␈α␈011␈α␈001␈α␈100␈α␈11␈α␈001␈α␈1␈↓ 	#␈εβ)␈↓ 	D␈εβ<␈α
1␈α␈/10␈α␈,
␈β∂
␈↓ 	.␈εε2
␈β∂T␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t␈↓ ββ␈ε	␈↓ β⊗␈ε	u␈↓ β1␈ε↔␈␈↓ βZ␈ε	∂␈↓ βp␈ε↔∀␈↓ ∧≠␈ε	v␈↓ ∧5␈ε↔∀␈↓ ∧`␈ε	␈↓ ∧r␈ε	u␈↓ ¬⊃␈εβat␈αth␈α␈e␈αen␈α␈d␈αof␈αth␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈,␈αwh␈α␈ere
␈β⊂"␈↓ βk␈εε7␈↓ 	4␈εε3
␈β⊂&␈↓ β&␈ε	∂␈↓ β=␈εβ=␈↓ ∧α␈εβ+␈αλ(.␈α↓1␈α␈00␈α␈010␈α␈001␈α␈010␈α␈100␈α␈011␈α␈001␈α␈00␈α␈010␈α␈101␈α␈000␈α␈1␈↓ λe␈εβ)␈↓ 	ε␈εβ<␈↓ 	D␈εβ.
␈β⊂0␈↓ λp␈εε2
␈β⊂4␈↓ βk␈∧⊂4βkα
␈↓ 	4␈∧⊂4	4α
␈β⊂6␈↓ βk␈εε8␈↓ 	4␈εε2
␈β⊂t␈↓ ∧T␈εα(␈↓ εH␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈↓ α)␈ε	u␈↓ α=␈εβ/␈α␈10␈ε↔␈αε␈␈εβ␈αε2␈α	<␈↓ βa␈ε	u␈↓ βu␈εβ/1␈α␈0␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧`␈ε	∂␈↓ ∧t␈εβ+␈αε(1/␈α␈10␈ε↔␈αε␈␈↓ ε⊗␈ε	␈↓ ε)␈εβ)␈↓ ε4␈ε	u␈↓ ε]␈ε↔∀␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π"␈ε↔∀␈↓ πM␈ε	␈↓ π←␈ε	u␈↓ π|␈εβ<␈↓ λ'␈ε	u␈↓ λ;␈εβ/1␈α␈0.␈αS␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ 	W␈ε	v␈↓ 	s␈εβis␈α
an␈α	in␈α␈teg␈α␈er,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈roof␈αis␈αcom␈α␈plete.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα569
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈hift␈α
righ␈α}t␈αo␈α␈ne;␈α↔(b␈α␈)␈α
E␈α↓x␈α␈tract␈α
left␈α
b␈α␈i␈α↓t␈α
o␈α␈f␈αea␈α␈ch␈α
g␈α␈rou␈α␈p;␈α↔(c)␈α
Sh␈α␈if␈α↓t␈α
re␈α␈sult␈α
of␈α
(b)␈α
righ␈α}t
␈βαR␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α␈;␈α↔(d␈α␈)␈α
Sh␈α␈ift␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈α	of␈α
(c)␈α
righ␈α}t␈α
on␈α␈e,␈α
an␈α␈d␈α
a␈α␈dd␈α	to␈α
re␈α␈sult␈α
o␈α␈f␈α
(␈α↓c␈α␈);␈α↔(e␈α␈)␈α
Su␈α␈btra␈α␈ct␈α
resu␈α␈lt␈α
of␈α
(d␈α␈)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αo␈α␈f␈α(a␈α␈).
␈ββ8␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α8␈εβ5␈↓ αM␈εβ.␈↓ αY␈εβ7␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂1
␈ββ←␈↓ α␈ε↔␈␈↓ α8␈εβ1␈α⊃0
␈β∧α␈↓ α8␈∧∧αα8α1
␈β∧⊂␈↓ α8␈εβ4␈α⊃7␈↓ αn␈εβ.␈↓ α{␈εβ7␈α⊂2␈α⊂1
␈β∧7␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ9␈α⊂4
␈β∧Z␈↓ α8␈∧∧Zα8αQ
␈β∧g␈↓ α8␈εβ3␈α⊃8␈α⊂3␈↓ β∂␈εβ.␈↓ β≤␈εβ2␈α⊂1
␈β¬∂␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ7␈α⊂6␈α⊂6
␈β¬2␈↓ α8␈∧¬2α8αr
␈β¬?␈↓ α8␈εβ3␈α⊃0␈α⊂6␈α⊂6␈↓ β0␈εβ.␈↓ β=␈εβ1
␈β¬g␈↓ α␈ε↔␈␈↓ αZ␈εβ6␈α⊂1␈α⊂3␈α⊃2
␈βε	␈↓ α8␈∧ε	α8α↓∩
␈βε↔␈↓ α8␈εβ2␈α⊃4␈α⊂5␈α⊂2␈α⊃9␈↓ ∧⊗␈ε⊂Answ␈α␈er:␈εβ␈α(24␈α␈529␈↓ ¬s␈εβ)␈↓ ε_␈ε⊂.
␈βε"␈↓ ¬}␈εε10
␈βεI␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβFirst␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}ert␈α
the␈α
te␈α␈rnar␈α␈y␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αto␈α
n␈α␈on␈α␈ary␈α
(ra␈α␈dix␈α
9␈α␈)␈αn␈α␈otat␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈αt␈α␈hen␈α
p␈α␈roc␈α␈eed␈α
a␈α␈s␈αin
␈βεp␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ctal-to-d␈α␈ecima␈α␈l␈αcon␈α}v␈α␈er␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
bu␈α␈t␈αwith␈α␈ou␈α␈t␈αd␈α␈ou␈α␈bling.␈αDe␈α␈cimal␈α
to␈α
non␈α␈ary␈α	i␈α↓s␈α
simil␈α↓a␈α␈r.␈αIn␈α
the
␈βπ_␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αe␈α␈xa␈α␈mple,␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e
␈βπb␈↓ ↓t␈εβ1␈↓ αλ␈εβ.␈↓ α∃␈εβ7␈α⊂6␈α⊂4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3
␈βλ
␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1
␈βλ-␈↓ ↓t␈∧λ-↓tα1
␈βλ:␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂6␈↓ α)␈εβ.␈↓ α6␈εβ6␈α⊂4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ π∞␈εβ9␈↓ π"␈εβ.␈↓ π/␈εβ8␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4
␈βλb␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃6␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π/␈εβ9
␈β	∧␈↓ ↓t␈∧	∧↓tαQ␈↓ εm␈∧	∧εmαQ
␈β	∩␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂5␈α⊃0␈↓ αK␈εβ.␈↓ αW␈εβ4␈α⊃7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂1␈α⊂8␈↓ πC␈εβ.␈↓ πP␈εβ7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4
␈β	:␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃5␈α⊂0␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂1␈α⊃8
␈β	\␈↓ ↓t␈∧	\↓tαr␈↓ εm␈∧	\εmαr
␈β	j␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂3␈α⊃5␈α⊂4␈↓ αl␈εβ.␈↓ αy␈εβ7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂3␈α⊂1␈α⊃6␈↓ πe␈εβ.␈↓ πq␈εβ6␈α⊃5␈α⊂4
␈β
⊃␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃3␈α⊂5␈α⊂4␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂3␈α⊃1␈α⊂6
␈β
4␈↓ ↓t␈∧
4↓tα↓∩␈↓ εm␈∧
4εmα↓∩
␈β
B␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂2␈α⊃1␈α⊂9␈α⊂3␈↓ β
␈εβ.␈↓ β~␈εβ2␈α⊂3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂4␈α⊂4␈α⊃8␈α⊂3␈↓ λε␈εβ.␈↓ λ∪␈εβ5␈α⊂4
␈β
i␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃2␈α⊂1␈α⊂9␈α⊃3␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂4␈α⊃4␈α⊂8␈α⊂3
␈β␈↓ ↓t␈∧↓tα↓3␈↓ εm␈∧εmα↓3
␈β→␈↓ ↓t␈εβ1␈α⊂0␈α⊃9␈α⊂7␈α⊂3␈α⊃9␈↓ β/␈εβ.␈↓ β;␈εβ3␈↓ εm␈εβ1␈α⊂6␈α⊂0␈α⊃4␈α⊂2␈α⊂8␈↓ λ'␈εβ.␈↓ λ4␈εβ4
␈βA␈↓ ↓H␈ε↔␈␈↓ α∃␈εβ1␈α⊃0␈α⊂9␈α⊂7␈α⊃3␈α⊂9␈↓ ε@␈εβ+␈↓ π∞␈εβ1␈α⊂6␈α⊃0␈α⊂4␈α⊂2␈α⊂8
␈βd␈↓ ↓t␈∧d↓tα↓S␈↓ εm␈∧dεmα↓S
␈βq␈↓ α∃␈εβ9␈α⊃8␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃5␈α⊂4␈↓ ∧∀␈ε⊂A␈α↓n␈α␈sw␈α␈er:␈εβ␈α(987␈α␈654␈↓ εα␈εβ)␈↓ ε'␈ε⊂.␈↓ εm␈εβ1␈α⊂7␈α⊂6␈α⊃4␈α⊂7␈α⊂2␈α⊂3␈↓ 	
␈ε⊂Answ␈α␈er␈α␈:␈εβ␈α(17␈α␈647␈α␈23␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈ε⊂.
␈β|␈↓ ε
␈εε10␈↓ ↔␈εε9
␈βJ␈↓ α␈ε∃BU␈α␈F␈↓ β≥␈ε∃AL␈α␈F␈↓ ∧→␈ε∃.  ␈α␈  
␈βM␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ π"␈εβ(␈α↓Ra␈α␈dix␈αp␈α␈oin␈α}t␈αo␈α␈n␈α|␈α␈rst␈αli␈α↓n␈α␈e)
␈βr␈↓ β≥␈ε∃OR␈α␈IG␈↓ ∧→␈ε∃*+3␈α␈9
␈β
→␈↓ α␈ε∃ST␈α␈ART␈↓ β≥␈ε∃JO␈α␈V␈↓ ∧→␈ε∃OFL␈α␈O
␈β
≤␈↓ π"␈εβE␈α↓n␈α␈sure␈α
o␈α␈v␈α␈er␈α␈⎇o␈α␈w␈αis␈αo{.
␈β
A␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T2␈↓ ∧→␈ε∃-40
␈β
D␈↓ π"␈εβSet␈αb␈α␈u{er␈αp␈α␈oin␈α␈ter.
␈β
h␈↓ α␈ε∃8H␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T3␈↓ ∧→␈ε∃10
␈β
k␈↓ π"␈εβSet␈αloo␈α␈p␈αco␈α␈un␈α}ter.
␈β∞⊂␈↓ α␈ε∃1H␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈T1
␈β∞∪␈↓ ∧→␈ε	m␈↓ π"␈εβB␈α↓e␈α␈gin␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈αro␈α␈utin␈α␈e.
␈β∞8␈↓ β≥␈ε∃EN␈α␈TX␈↓ ∧→␈ε∃0
␈β∞←␈↓ α␈ε∃2H␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧→␈ε∃CAR␈α␈RY
␈β∂
␈↓ β≥␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ π"␈εβ(␈α↓S␈α␈ee␈αex␈α}ercise␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.␈α↓1␈α␈↑13␈α␈,␈αwith
␈β∂-␈↓ λQ␈εε9
␈β∂.␈↓ β≥␈ε∃J1␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃2B␈↓ 	)␈ε∃W␈↓ 	r␈ε∃U
␈β∂1␈↓ πj␈ε	v␈↓ λ¬␈εβ=␈α
1␈↓ λ@␈εβ0␈↓ λi␈εβa␈α␈nd␈↓ 	G␈εβ=␈↓ 
π␈εβ.)
␈β∂V␈↓ β≥␈ε∃SL␈α␈AX␈↓ ∧→␈ε∃5
␈β∂Y␈↓ π"␈εβrA␈↓ πQ␈ε↔ ␈↓ π{␈εβnex␈α␈t␈αnin␈α␈e␈αdigits.
␈β∂}␈↓ β≥␈ε∃CH␈α␈AR
␈β⊂%␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈A␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+40␈α␈,2(␈α␈2:5)
␈β⊂(␈↓ π"␈εβStor␈α␈e␈αnex␈α␈t␈αnin␈α␈e␈αdigits.
␈β⊂M␈↓ β≥␈ε∃ST␈α␈X␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+41␈α␈,2
␈β⊂t␈↓ β≥␈ε∃IN␈α␈C2␈↓ ∧→␈ε∃2
␈β⊂w␈↓ π"␈εβI␈α↓n␈α␈crea␈α␈se␈αbu␈α␈{er␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}ter.
␈β⊃≤␈↓ β≥␈ε∃DE␈α␈C3␈↓ ∧→␈ε∃1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα570␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
}4.4
␈βα(␈↓ β≥␈ε∃J3␈α␈P␈↓ ∧→␈ε∃1B
␈βα+␈↓ π"␈εβRepea␈α␈t␈αten␈αtime␈α␈s.
␈βαP␈↓ β≥␈ε∃OU␈α␈T␈↓ ∧→␈ε∃BUF␈α␈+20␈α␈,2(␈α␈PRIN␈α␈TER␈α␈)
␈βαw␈↓ β≥␈ε∃J2␈α␈N␈↓ ∧→␈ε∃8B
␈βαz␈↓ π"␈εβRepea␈α␈t␈αun␈α}til␈αb␈α␈oth␈αline␈α␈s␈αprin␈α␈te␈α␈d.
␈βα|␈↓ ∪␈∧α|∪≠∂
␈ββ9␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	K␈↓ αf␈εβ(␈↓ αq␈ε	n␈↓ βε␈εβ)␈α
b␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
of␈α
ste␈α␈ps␈α
re␈α␈quired␈αto␈αcon␈α␈v␈α}ert␈α
a␈α␈n␈↓ λU␈ε	n␈↓ λi␈εβ-d␈α␈i␈α↓g␈α␈i␈α↓t␈αdec␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈ββ]␈↓ 
4␈εn
␈ββa␈↓ ↓H␈εβto␈α
bin␈α␈ary␈α
an␈α␈d␈α∞a␈α␈t␈α∞the␈α
same␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈α∞to␈α
comp␈α␈ute␈α
the␈α
bina␈α␈ry␈α∞re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈α∞1␈↓ 
#␈εβ0␈↓ 
D␈εβ.␈α∀Th␈α␈en
␈β∧¬␈↓ ∧w␈εα(␈↓ ¬P␈εα)
␈β∧λ␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αI␈ε	K␈↓ αe␈εβ(2␈↓ β↓␈ε	n␈↓ β∃␈εβ)␈ε↔␈α∀␈εβ␈α2␈↓ βh␈ε	K␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	n␈↓ ∧"␈εβ)␈αλ+␈↓ ∧←␈ε	O␈↓ ¬β␈ε	M␈↓ ¬%␈εβ(␈↓ ¬0␈ε	n␈↓ ¬E␈εβ)␈↓ ¬\␈εβ.␈ε⊂␈α≠Proof:␈εβ␈α
Giv␈α␈en␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ λz␈ε	U␈↓ 	 ␈εβ=␈α(␈↓ 	W␈ε	u␈↓ 
3␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
←␈ε	u␈↓ 
␈␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β∧∪␈↓ 	k␈εε2␈↓ 	w␈εn␈↓ 
π␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
r␈εε0␈↓ 
␈εε10
␈β∧,␈↓ λ←␈εn
␈β∧0␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αO␈ε	U␈↓ α|␈εβ=␈α
(␈↓ β2␈ε	u␈↓ ∧∞␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧]␈εβ)␈↓ ¬
␈εβand␈↓ ¬O␈ε	U␈↓ ¬{␈εβ=␈α(␈↓ ε2␈ε	u␈↓ π↓␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π-␈ε	u␈↓ πM␈εβ)␈↓ π⎇␈εβa␈α␈nd␈α1␈↓ λO␈εβ0␈↓ λp␈εβ,␈αin␈α2␈↓ 	=␈ε	K␈↓ 	X␈εβ(␈↓ 	d␈ε	n␈↓ 	x␈εβ)␈αsteps,␈αth␈α␈en
␈β∧;␈↓ αe␈εε1␈↓ βE␈εε2␈↓ βR␈εn␈↓ βb␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧M␈εn␈↓ ∧i␈εε1␈α␈0␈↓ ¬d␈εε0␈↓ εE␈εn␈↓ εU␈ε~␈␈εε1␈↓ π@␈εε0␈↓ πX␈εε1␈α␈0
␈β∧S␈↓ βO␈εn␈↓ ¬M␈εε2␈↓ ¬Y␈εn␈↓ εK␈εn␈↓ π~␈εn
␈β∧U␈↓ π{␈εα(␈↓ λT␈εα)
␈β∧X␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αR␈ε	U␈↓ α⎇␈εβ=␈α⊂1␈↓ β>␈εβ0␈↓ β←␈ε	U␈↓ ∧␈εβ+␈↓ ∧6␈ε	U␈↓ ∧g␈εβan␈α␈d␈α∞1␈↓ ¬<␈εβ0␈↓ ¬y␈εβ=␈α⊂1␈↓ ε:␈εβ0␈↓ εe␈ε↔↓␈εβ␈α
1␈↓ π	␈εβ0␈↓ π9␈εβin␈↓ πc␈ε	O␈↓ λπ␈ε	M␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈ε	n␈↓ λI␈εβ)␈↓ λo␈εβstep␈α␈s.␈α↔It␈α∂fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α∞tha␈α␈t
␈β∧b␈↓ βu␈εε1␈↓ ∧L␈εε0
␈β∧{␈↓ ↓␈␈εn␈↓ β1␈εn␈↓ ∧K␈εn␈↓ ∧[␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈εn␈↓ ε≤␈ε~␈␈εε2␈↓ λ←␈εn
␈β∧|␈↓ αf␈εα(␈↓ π)␈εα)␈↓ λ↓␈εα(␈↓ λ{␈εα)
␈β∧␈␈↓ ↓H␈ε	K␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈εβ2␈↓ α∂␈εβ)␈α
=␈↓ αN␈ε	O␈↓ αr␈ε	M␈↓ β∃␈εβ(␈↓ β ␈εβ2␈↓ βA␈εβ)␈απ+␈αλ2␈↓ ∧
␈ε	M␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈εβ2␈↓ ¬↓␈εβ)␈αλ+␈απ4␈↓ ¬M␈ε	M␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈εβ2␈↓ εA␈εβ)␈αλ+␈↓ ε⎇␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π>␈εβ=␈↓ πi␈ε	O␈↓ λ
␈ε	n␈↓ λ!␈ε	M␈↓ λC␈εβ(␈↓ λO␈εβ2␈↓ λo␈εβ)␈↓ 	π␈εβ.
␈β¬#␈↓ λy␈εn
␈β¬$␈↓ α␈εα(
␈β¬'␈↓ α_␈εβSimilarly␈α␈,␈αSch␈↓ βc␈εβ∪␈↓ βc␈εβo␈↓ βt␈εβn␈α␈ha␈α␈ge␈αh␈α␈as␈α
ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈αth␈α␈at␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
con␈α}v␈α␈ert␈α
a␈α(␈↓ λi␈εβ2␈↓ 	∂␈εβlg␈↓ 	/␈εβ1␈α␈0)-bit␈α
n␈α␈um␈α}ber␈↓ ⊃␈ε	U
␈β¬J␈↓ λ|␈ε
n␈↓ 	␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β¬O␈↓ ¬M␈εn␈↓ λo␈εε2␈↓ 
B␈εn␈↓ 
R␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β¬P␈↓ ∧o␈εα(␈↓ ¬h␈εα)␈↓ 	x␈εα(
␈β¬S␈↓ ↓H␈εβfro␈α␈m␈αb␈α␈inary␈αto␈αde␈α␈cimal,␈αin␈↓ ∧V␈ε	O␈↓ ∧{␈ε	n␈↓ ¬∂␈ε	M␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬<␈εβ2␈↓ ¬]␈εβ)␈↓ ε␈εβstep␈α␈s.␈α
Fi␈α↓rs␈α␈t␈αform␈↓ λ␈ε	V␈↓ λ"␈εβ=␈α1␈↓ λ↑␈εβ0␈↓ 	8␈εβi␈α↓n␈↓ 	`␈ε	O␈↓ 
∧␈ε	M␈↓ 
&␈εβ(␈↓ 
2␈εβ2␈↓ 
x␈εβ)␈αλ+
␈β¬v␈↓ αε␈εn␈↓ α⊗␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧C␈εn
␈β¬w␈↓ β!␈εα)␈↓ βy␈εα(
␈β¬z␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈εβ2␈↓ α<␈εβ)␈αε+␈↓ αu␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β6␈εβ=␈↓ βa␈ε	O␈↓ ∧¬␈ε	M␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈εβ2␈↓ ∧T␈εβ))␈α
step␈α␈s,␈αth␈α␈en␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ π!␈ε	U␈↓ πL␈εβ=␈α	(␈↓ λ↓␈ε	U␈↓ λ"␈εβmod␈↓ λg␈ε	V␈↓ λ}␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 	S␈ε	U␈↓ 	}␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ 
6␈ε	U␈↓ 
Q␈εβ/␈↓ 
b␈ε	V␈↓ 
z␈ε↔c␈εβ␈α
in
␈βε¬␈↓ π6␈εε0␈↓ 	i␈εε1
␈βε≡␈↓ α*␈εn
␈βε∨␈↓ ↓`␈εα(␈↓ π∧␈εα)
␈βε"␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓l␈ε	M␈↓ α∞␈εβ(␈↓ α→␈εβ2␈↓ α:␈εβ))␈αfu␈α␈rthe␈α␈r␈αs␈α␈teps,␈αth␈α␈en␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}ert␈↓ ¬k␈ε	U␈↓ ε_␈εβan␈α␈d␈↓ εY␈ε	U␈↓ ε{␈εβ.
␈βε-␈↓ ε↓␈εε0␈↓ εn␈εε1
␈βεW␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	U␈↓ αu␈εβ=␈↓ β$␈εβrou␈α␈nd␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧⊗␈ε	u␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧9␈ε	P␈↓ ∧Q␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓ ¬-␈ε	v␈↓ ¬L␈εβ=␈↓ ¬|␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ ε\␈εβ(␈↓ εg␈ε	U␈↓ πα␈εβ,␈↓ π⊃␈ε	p␈↓ π"␈εβ).␈α∀We␈α∞ma␈α␈y␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈↓ 
∃␈ε	u␈↓ 
7␈ε↔≤␈εβ␈α∞0,␈α∂so
␈βεb␈↓ βy␈εB␈↓ εQ␈εb
␈βεz␈↓ 
↓␈εe␈↓ 
␈ε~␈␈εε1
␈βε␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊃␈ε	U␈↓ α9␈ε↔≤␈εβ␈α0␈αand␈↓ βF␈ε	v␈↓ βc␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈.␈ε⊂␈α≥Case␈α1␈εβ,␈↓ ¬A␈ε	v␈↓ ¬←␈εβ<␈↓ ε␈ε	u␈↓ ε ␈εβ:␈α∂Det␈α␈ermine␈↓ π\␈ε	e␈↓ πv␈εβan␈α␈d␈↓ λ8␈ε	E␈↓ λ\␈εβsuch␈αth␈α␈at␈↓ 	t␈ε	b␈↓ 
>␈εβ<␈↓ 
k␈ε	u␈↓ ␈ε↔∀
␈βπ"␈↓ ↓U␈εe␈↓ α
␈εE␈↓ α∨␈ε~␈␈εε1␈↓ βm␈εE␈↓ ε:␈εE␈↓ εM␈ε~␈␈↓ εf␈εP␈↓ 	π␈εe␈↓ 	∩␈ε~␈␈↓ 	+␈εp␈↓ 
F␈εP␈↓ 
X␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπ#␈↓ ε∀␈εε1␈↓ λj␈εε1
␈βπ&␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓`␈εβ,␈↓ ↓w␈ε	B␈↓ αR␈ε↔∀␈↓ β␈ε	U␈↓ β(␈εβ<␈↓ βV␈ε	B␈↓ β␈␈εβ.␈α∩Th␈α␈en␈↓ ∧s␈ε	u␈↓ ¬∀␈ε↔∀␈↓ ¬B␈ε	U␈↓ ¬f␈εβ+␈↓ ε$␈ε	B␈↓ πε␈εβan␈α␈d␈↓ πI␈ε	U␈↓ πq␈ε↔∀␈↓ λ∨␈ε	u␈↓ λ<␈ε↔␈␈↓ λz␈ε	b␈↓ 	9␈εβ;␈α∂h␈α␈enc␈α␈e␈↓ 
/␈ε	B␈↓ ␈ε↔∀
␈βπ4␈↓ ε∀␈∧π4ε∀α
␈↓ λj␈∧π4λjα
␈βπ6␈↓ ε∀␈εε2␈↓ λj␈εε2
␈βπJ␈↓ ↓↑␈εP␈↓ ↓q␈ε~␈␈↓ α
␈εE␈↓ β
␈εP␈↓ β ␈ε~␈␈↓ β9␈εE␈↓ ∧,␈εp␈↓ ∧:␈ε~␈␈↓ ∧S␈εe␈↓ ¬>␈εp
␈βπN␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ α≤␈ε	U␈↓ αF␈εβ<␈↓ αw␈ε	B␈↓ βK␈ε	u␈↓ βn␈ε↔∀␈↓ ∧∨␈ε	b␈↓ ∧↑␈ε	u␈↓ ¬↓␈ε↔∀␈↓ ¬1␈ε	b␈↓ ¬L␈εβ.␈ε⊂␈α!C␈α␈ase␈α∞2␈εβ,␈↓ εt␈ε	v␈↓ π∀␈εβ>␈↓ πE␈ε	u␈↓ πY␈εβ:␈α∩Deter␈α␈mine␈↓ 	~␈ε	e␈↓ 	6␈εβan␈α␈d␈↓ 	z␈ε	E␈↓ 
 ␈εβsu␈α␈ch␈α∞tha␈α␈t
␈βπq␈↓ ↓U␈εe␈↓ ↓`␈ε~␈␈εε1␈↓ β$␈εe␈↓ β↑␈εE␈↓ βp␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬E␈εE␈↓ λ≥␈εE␈↓ λ/␈ε~␈␈↓ λH␈εP␈↓ 
q␈εe␈↓ 
|␈ε~␈␈↓ ∃␈εp
␈βπr␈↓ πv␈εε1␈↓ 
T␈εε1
␈βπu␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ α∀␈ε↔∀␈↓ αD␈ε	u␈↓ αg␈εβ<␈↓ β↔␈ε	b␈↓ β/␈εβ,␈↓ βH␈ε	B␈↓ ∧%␈εβ<␈↓ ∧U␈ε	U␈↓ ∧␈␈ε↔∀␈↓ ¬/␈ε	B␈↓ ¬W␈εβ.␈α⊗Th␈α␈en␈↓ εP␈ε	u␈↓ εs␈ε↔∃␈↓ π#␈ε	U␈↓ πH␈ε↔␈␈↓ λπ␈ε	B␈↓ λi␈εβand␈↓ 	.␈ε	U␈↓ 	X␈ε↔∃␈↓ 
λ␈ε	u␈↓ 
%␈εβ+␈↓ 
d␈ε	b␈↓ #␈εβ;
␈βλβ␈↓ πv␈∧λβπvα
␈↓ 
T␈∧λβ
Tα
␈βλε␈↓ πv␈εε2␈↓ 
T␈εε2
␈βλ→␈↓ α9␈εP␈↓ αL␈ε~␈␈εε1␈↓ β<␈εP␈↓ βO␈ε~␈␈↓ βh␈εE␈↓ ∧d␈εE␈↓ ∧v␈ε~␈␈↓ ¬∂␈εP␈↓ ¬w␈εP␈↓ ε
␈ε~␈␈↓ ε#␈εE␈↓ π
␈εp␈↓ π_␈ε~␈␈↓ π1␈εe␈↓ λ⊃␈εp
␈βλ≥␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α#␈ε	B␈↓ α{␈ε↔∀␈↓ β&␈ε	B␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	U␈↓ ∧&␈ε↔␈␈↓ ∧M␈ε	B␈↓ ¬"␈εβ)␈α	<␈↓ ¬a␈ε	B␈↓ ε5␈ε	u␈↓ εR␈ε↔∀␈↓ ε⎇␈ε	b␈↓ π<␈ε	u␈↓ πY␈εβ<␈↓ λ∧␈ε	b␈↓ λ∨␈εβ.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α	pro␈α␈v␈α}ed␈α	tha␈α␈t
␈βλ@␈↓ ↓↑␈εP␈↓ ↓q␈ε~␈␈εε1␈↓ αW␈εp
␈βλE␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ α ␈εβ<␈↓ αJ␈ε	b␈↓ αp␈εβwhen␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈↓ ∧β␈ε	v␈↓ ∧≡␈ε↔≤␈↓ ∧I␈ε	u␈↓ ∧]␈εβ.
␈βλi␈↓ βx␈εP␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧r␈εp
␈βλm␈↓ α␈εβCon␈α}v␈α␈er␈α␈sely,␈αif␈↓ βa␈ε	B␈↓ ∧:␈εβ<␈↓ ∧e␈ε	b␈↓ ¬␈εβ,␈αth␈α␈e␈αa␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈αpro␈α␈of␈αs␈α␈ugg␈α␈ests␈αtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αmost␈αli␈α↓k␈α}ely␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈β	∀␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αwhich␈↓ α]␈ε	u␈↓ α|␈ε↔≤␈↓ β'␈ε	v␈↓ βD␈εβw␈α↓ill␈αocc␈α␈ur␈αwh␈α␈en␈↓ ¬5␈ε	u␈↓ ¬U␈εβis␈αa␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈↓ π≤␈ε	b␈↓ π5␈εβan␈α␈d␈αa␈α␈t␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αtime␈αit␈αis␈αc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αto
␈β	8␈↓ ∧2␈εP␈↓ ∧E␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧x␈εp␈↓ ¬P␈εP␈↓ ¬b␈ε~␈␈εε1␈↓ ε∃␈εp␈↓ εs␈εp␈↓ πY␈εP␈↓ πl␈ε~␈␈εε1␈↓ 	)␈εP␈↓ 	<␈ε~␈␈εε1␈↓ 
H␈εp
␈β	9␈↓ εU␈εε1␈↓ π3␈εε1␈↓ λD␈εε1␈↓ 
∀␈εε1␈↓ λ␈εε1
␈β	<␈↓ ↓H␈εβa␈α
p␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈α
of␈↓ αi␈ε	B␈↓ α␈␈εβ.␈αWe␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ ∧≤␈ε	B␈↓ ∧j␈ε	b␈↓ ¬∂␈εβ<␈↓ ¬9␈ε	B␈↓ ελ␈ε	b␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εf␈ε	b␈↓ ππ␈ε↔␈␈↓ πC␈ε	B␈↓ λ_␈ε↔␈␈↓ λ↑␈εβ=␈α	(␈↓ 	∪␈ε	B␈↓ 	i␈εβ+␈↓ 
$␈εβ)(␈↓ 
;␈ε	b␈↓ 
\␈ε↔␈␈↓ _␈εβ);
␈β	J␈↓ εU␈∧	JεUα
␈↓ π3␈∧	Jπ3α
␈↓ λD␈∧	JλDα
␈↓ 
∀␈∧	J
∀α
␈↓ λ␈∧	Jλα
␈β	L␈↓ εU␈εε2␈↓ π3␈εε2␈↓ λD␈εε4␈↓ 
∀␈εε2␈↓ λ␈εε2
␈β	←␈↓ ∧Q␈ε~␈␈↓ ∧k␈εp␈↓ ε-␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ εS␈εP
␈β	`␈↓ ∧4␈εε1␈↓ εε␈εε1
␈β	d␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈α
1␈α
<␈↓ αr␈ε	␈↓ β∩␈εβ=␈α
1/␈α␈(1␈ε↔␈α	␈␈↓ ∧D␈ε	b␈↓ ∧x␈εβ)␈α∞<␈α
1␈αλ+␈↓ ε↔␈ε	B␈↓ εr␈εβ=␈↓ π!␈ε	␈␈↓ π5␈εβ.␈α∩There␈α
a␈α␈re␈α
i␈α↓n␈α}teger␈α␈s␈↓ 	j␈ε	e␈↓ 
∧␈εβan␈α␈d␈↓ 
G␈ε	E␈↓ 
l␈εβsu␈α␈ch
␈β	r␈↓ ∧4␈∧	r∧4α
␈↓ εε␈∧	rεεα
␈β	t␈↓ ∧4␈εε2␈↓ εε␈εε2
␈β
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α∪␈εβlog␈↓ αU␈ε	␈↓ αu␈εβ<␈↓ β%␈ε	e␈↓ β8␈εβlo␈α␈g␈↓ βy␈ε	b␈↓ ∧⊂␈ε↔␈␈↓ ∧;␈ε	E␈↓ ∧`␈εβ<␈↓ ¬⊂␈εβlog␈↓ ¬R␈ε	␈␈↓ ¬f␈εβ,␈α∂since␈α∞Wey␈α␈l␈α↓'s␈α∞th␈α␈eorem␈α∞(ex␈α}ercise␈α∞3.5␈α␈↑22␈α␈)␈α∂imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s
␈β
~␈↓ α=␈εB␈↓ βb␈εB␈↓ ¬;␈εB
␈β
3␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈ere␈αi␈α↓s␈αa␈α␈n␈αi␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈↓ ∧)␈ε	e␈↓ ∧B␈εβwith␈α0␈α<␈↓ ¬W␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε→␈ε	␈↓ ε7␈εβ<␈α(␈↓ εn␈ε	e␈↓ π↓␈εβlog␈↓ π=␈εβ)␈↓ πN␈εβm␈α␈od␈↓ λ∩␈εβ1␈α<␈↓ λ[␈εβlo␈α␈g␈↓ 	≤␈ε	␈␈↓ 	<␈εβ<␈α1␈αwhen␈↓ 
↑␈εβlo␈α␈g␈↓ ∨␈ε	b
␈β
B␈↓ εα␈εB␈↓ π+␈εB␈↓ 	¬␈εB␈↓ λ␈εB
␈β
V␈↓ ∧K␈εe␈↓ ∧⎇␈εE
␈β
Z␈↓ ↓H␈εβis␈α
irration␈α␈al.␈α∩He␈α␈nce␈↓ βq␈ε	␈↓ ∧⊂␈εβ<␈↓ ∧>␈ε	b␈↓ ∧V␈εβ/␈↓ ∧f␈ε	B␈↓ ¬≠␈εβ<␈↓ ¬I␈ε	␈␈↓ ¬↑␈εβ,␈α∞for␈α
so␈α␈me␈↓ π␈ε	e␈↓ π~␈εβan␈α␈d␈↓ π]␈ε	E␈↓ πt␈εβ.␈α≡(S␈α␈uc␈α␈h␈↓ λy␈ε	e␈↓ 	∪␈εβan␈α␈d␈↓ 	V␈ε	E␈↓ 	z␈εβmay␈αalso␈α
be
␈βα␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αa␈α␈pp␈α␈lying␈α
the␈α
theo␈α␈ry␈αo␈α␈f␈αcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈αfra␈α␈ction␈α␈s,␈αse␈α␈e␈αS␈α␈ection␈α
4.5.3.)␈α→No␈α}w␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈β%␈↓ αG␈εe␈↓ βS␈εE␈↓ ¬@␈εE␈↓ εE␈εe
␈β*␈↓ ↓H␈εβro␈α␈un␈α␈d␈↓ α.␈εβ(␈↓ α9␈ε	b␈↓ αQ␈εβ,␈↓ α`␈ε	P␈↓ αx␈εβ)␈α=␈↓ β=␈ε	B␈↓ βf␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
ro␈α␈un␈α␈d␈↓ ¬∨␈εβ(␈↓ ¬*␈ε	B␈↓ ¬S␈εβ,␈↓ ¬a␈ε	p␈↓ ¬r␈εβ)␈α
<␈↓ ε8␈ε	b␈↓ εP␈εβ.␈α≥[␈ε⊂CA␈α␈CM␈ε∪␈α11␈εβ␈α
(1␈α␈968␈α␈)␈α↓,␈α
47↑␈α␈50␈α␈;␈ε⊂␈α∂Proc␈α␈.␈α∞Am␈α␈er.
␈β4␈↓ α≥␈εB␈↓ ¬∀␈εb
␈βQ␈↓ ↓H␈ε⊂M␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α19␈εβ␈α
(196␈α␈8),␈α7␈α␈16␈α␈↑72␈α␈3.]
␈ββ␈↓ αy␈ε∃FO␈α␈FOF␈α␈OFO␈↓ λλ␈εα(␈↓ 
#␈εα)
␈βε␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε	m␈↓ αA␈εβ=␈α(␈↓ ∧∨␈εβ)␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε	c␈↓ ∧}␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ10/␈α␈16␈αmak␈α}es␈↓ π4␈ε	U␈↓ π[␈εβ=␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε	u␈↓ λ>␈ε	u␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ 	λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	4␈εβ(␈↓ 	@␈ε	u␈↓ 	←␈ε	u␈↓ 	␈␈εβ)␈↓ 
U␈εβ;␈α∞th␈α␈en
␈β⊃␈↓ α(␈εε1␈↓ ∧*␈εε1␈α␈6␈↓ ∧e␈εε1␈↓ λ2␈εε7␈↓ λR␈εε6␈↓ λi␈εε10␈↓ 	S␈εε1␈↓ 	r␈εε0␈↓ 

␈εε10␈↓ 
/␈εε25␈α␈6
␈β*␈↓ ¬V␈εε2␈↓ ε∃␈εε2
␈β+␈↓ α9␈ε∃FF␈α␈OOF␈α␈FOO␈↓ πp␈εα(␈↓ 
X␈εα)
␈β.␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓␈␈εβ=␈α∞(␈↓ β←␈εβ)␈↓ ∧β␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε	c␈↓ ∧A␈εβ=␈α∂1␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α	1␈↓ ¬F␈εβ0␈↓ ¬c␈εβ/1␈↓ ε∧␈εβ6␈↓ ε0␈εβm␈α␈ak␈α}es␈↓ π↔␈ε	U␈↓ π@␈εβ=␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	u␈↓ λ&␈ε	u␈↓ λF␈ε	u␈↓ λf␈ε	u␈↓ 	ε␈εβ)␈↓ 	*␈εβ(␈↓ 	5␈ε	u␈↓ 	U␈ε	u␈↓ 	t␈ε	u␈↓ 
∀␈ε	u␈↓ 
4␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈β8␈↓ ↓d␈εε2␈↓ βj␈εε1␈α␈6␈↓ ∧'␈εε2␈↓ λ~␈εε7␈↓ λ:␈εε6␈↓ λY␈εε5␈↓ λy␈εε4␈↓ 	⊃␈εε1␈α␈0␈↓ 	H␈εε3␈↓ 	h␈εε2␈↓ 
λ␈εε1␈↓ 
'␈εε0␈↓ 
?␈εε10␈↓ 
d␈εε65␈α␈536
␈βQ␈↓ ε⊂␈εε4␈↓ εN␈εε4
␈βR␈↓ αx␈ε∃FFF␈α␈FOO␈α␈OO
␈βU␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α
␈ε	m␈↓ α?␈εβ=␈α
(␈↓ ∧≡␈εβ)␈↓ ∧B␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε	c␈↓ ∧}␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	1␈↓ ¬␈␈εβ0␈↓ ε≤␈εβ/1␈↓ ε>␈εβ6␈↓ εh␈εβ|␈α␈nish␈α␈es␈α
the␈αjob␈α␈.␈α≥(␈α↓C␈α␈f␈α↓.␈α
ex␈α}ercise␈α
1␈α␈4.␈α⊃Th␈α␈is
␈β`␈↓ α'␈εε3␈↓ ∧)␈εε1␈α␈6␈↓ ∧e␈εε3
␈β⎇␈↓ ↓H␈εβte␈α␈chn␈α␈ique␈α
i␈α↓s␈αd␈α␈ue␈αto␈α
Ro␈α␈y␈αA.␈αKeir,␈αcirca␈α19␈α␈58␈α␈.␈α↓)
␈β∞␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.1
␈β∞P␈↓ ∧a␈ε~0␈↓ ¬/␈ε~0
␈β∞T␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβTest␈αwh␈α␈ethe␈α␈r␈αo␈α␈r␈αno␈α␈t␈↓ ∧;␈ε	u␈↓ ∧O␈ε	v␈↓ ∧p␈εβ<␈↓ ¬≠␈ε	u␈↓ ¬5␈ε	v␈↓ ¬G␈εβ,␈αsinc␈α␈e␈αthe␈αd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tors␈αare␈α
positiv␈α␈e␈α␈.
␈β∂	␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	c␈↓ αD␈εβ>␈α	1␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈αb␈α␈oth␈↓ ∧H␈ε	u␈↓ ∧\␈εβ/␈↓ ∧m␈ε	d␈↓ ¬␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬K␈ε	v␈↓ ¬]␈εβ/␈↓ ¬m␈ε	d␈↓ ε␈εβ,␈αthe␈α␈n␈↓ ε`␈ε	c␈↓ εm␈ε	d␈↓ π␈εβd␈α␈ivide␈α␈s␈αboth␈↓ λI␈ε	u␈↓ λh␈εβan␈α␈d␈↓ 	)␈ε	v␈↓ 	:␈εβ.
␈β∂:␈↓ ∧≡␈εe␈↓ εv␈ε~0␈↓ π∞␈ε~0␈↓ 	e␈εe␈↓ 
r␈εe␈↓ &␈ε~0
␈β∂>␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	p␈↓ α←␈εβbe␈αλp␈α␈rime.␈α
If␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧1␈εβi␈α↓s␈αλa␈απdivisor␈αλo␈α␈f␈↓ ¬w␈ε	u␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε$␈εβan␈α␈d␈↓ εb␈ε	u␈↓ ε|␈ε	v␈↓ π≤␈εβfor␈↓ πM␈ε	e␈↓ πc␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,␈α	the␈α␈n␈αλeithe␈α␈r␈↓ 	T␈ε	p␈↓ 	t␈ε↔∧␈↓ 
λ␈ε	u␈↓ 
$␈εβa␈α␈nd␈↓ 
b␈ε	p␈↓ ↓␈ε↔∧␈↓ ∃␈ε	v
␈β∂b␈↓ αβ␈εe␈↓ αC␈ε~0␈↓ β)␈εe␈↓ ∧l␈εe␈↓ ε
␈ε~0␈↓ εr␈ε~0
␈β∂f␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈↓ ↓r␈ε	p␈↓ α⊗␈ε↔∧␈↓ α/␈ε	u␈↓ αV␈εβan␈α␈d␈↓ β_␈ε	p␈↓ β<␈ε↔∧␈↓ βU␈ε	v␈↓ βg␈εβ;␈α
hen␈α␈ce␈↓ ∧[␈ε	p␈↓ ∧␈␈ε↔∧␈↓ ¬_␈εβgcd␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	u␈↓ ¬j␈εβ,␈↓ ¬x␈ε	v␈↓ ε⊂␈εβ)␈↓ ε!␈εβg␈α␈cd␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε	u␈↓ εx␈εβ,␈↓ ππ␈ε	v␈↓ π_␈εβ).␈α⊂The␈αcon␈α}v␈α␈er␈α␈se␈α
follo␈α␈ws␈αby␈αrev␈α}ersing
␈β⊂∞␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αarg␈α␈um␈α␈en␈α␈t.
␈β⊂>␈↓ ¬U␈ε~0␈↓ ¬{␈ε~0␈↓ 	.␈ε~0␈↓ 
{␈ε~0
␈β⊂B␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	d␈↓ αp␈εβ=␈↓ β#␈ε	g␈↓ β3␈ε	c␈↓ β@␈ε	d␈↓ βR␈εβ(␈↓ β]␈ε	u␈↓ βq␈εβ,␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧∩␈εβ),␈↓ ∧2␈ε	d␈↓ ∧X␈εβ=␈↓ ¬β␈εβgcd␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	u␈↓ ¬[␈εβ,␈↓ ¬j␈ε	v␈↓ ε↓␈εβ);␈α
th␈α␈e␈αansw␈α␈e␈α␈r␈αis␈↓ πl␈ε	w␈↓ λ∂␈εβ=␈α
(␈↓ λE␈ε	u␈↓ λY␈εβ/␈↓ λj␈ε	d␈↓ 	ε␈εβ)(␈↓ 	≤␈ε	v␈↓ 	4␈εβ/␈↓ 	E␈ε	d␈↓ 	a␈εβ)␈↓ 	l␈εβsign␈↓ 
%␈εβ(␈↓ 
0␈ε	v␈↓ 
B␈εβ),␈↓ 
b␈ε	w␈↓ ␈εβ=
␈β⊂M␈↓ αY␈εε1␈↓ ∧A␈εε2␈↓ λz␈εε1␈↓ 	T␈εε2
␈β⊂f␈↓ ↓p␈ε~0
␈β⊂j␈↓ ↓H␈ε↔j␈εβ(␈↓ ↓\␈ε	u␈↓ ↓v␈εβ/␈↓ απ␈ε	d␈↓ α#␈εβ)(␈↓ α9␈ε	v␈↓ αK␈εβ/␈↓ α[␈ε	d␈↓ αw␈εβ)␈ε↔␈α↓j␈εβ,␈αwith␈αa␈α\␈α␈divid␈α␈e␈αby␈α
zero"␈α
error␈αm␈α␈essag␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ πt␈ε	v␈↓ λ∞␈εβ=␈α
0.
␈β⊂u␈↓ α⊗␈εε2␈↓ αk␈εε1
␈β⊃≠␈↓ λs␈ε~0
␈β⊃∨␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈ε	d␈↓ α1␈εβ=␈α
10␈α␈,␈↓ β∩␈ε	t␈↓ β'␈εβ=␈α	17␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈ε↔␈απ␈␈εβ␈απ27␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈2␈α	=␈ε↔␈α
␈␈εβ20␈α␈5,␈↓ εA␈ε	d␈↓ εg␈εβ=␈α	5,␈↓ π6␈ε	w␈↓ πX␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ41,␈↓ λZ␈ε	w␈↓ 	α␈εβ=␈α
1␈α␈68.
␈β⊃*␈↓ α≤␈εε1␈↓ εQ␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα571
␈βα&␈↓ α\␈ε~00␈↓ β0␈ε~0␈↓ ∧λ␈ε~00␈↓ ∧Z␈ε~0␈↓ λB␈ε~00␈↓ 	∂␈ε~00␈↓ 
y␈ε~00
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	u␈↓ αr␈εβ=␈↓ β≤␈ε	u␈↓ β6␈εβ/␈↓ βG␈ε	d␈↓ βc␈εβ,␈↓ βv␈ε	v␈↓ ∧≡␈εβ=␈↓ ∧H␈ε	v␈↓ ∧`␈εβ/␈↓ ∧q␈ε	d␈↓ ¬
␈εβ;␈α
w␈α␈e␈α
wa␈α␈n␈α␈t␈α
t␈α␈o␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ π←␈εβgcd␈↓ λ⊃␈εβ(␈↓ λ≤␈ε	u␈↓ λ0␈ε	v␈↓ λT␈εβ+␈↓ λ{␈ε	u␈↓ 	≠␈ε	v␈↓ 	-␈εβ,␈↓ 	<␈ε	d␈↓ 	X␈εβ)␈α	=␈↓ 
↔␈εβg␈α␈cd␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈ε	u␈↓ 
h␈ε	v␈↓ ␈εβ+
␈βα5␈↓ βW␈εε1␈↓ ¬␈εε1␈↓ 	K␈εε1
␈βαN␈↓ ↓\␈ε~00␈↓ α9␈ε~00␈↓ αW␈ε~00␈↓ ε2␈ε~00␈↓ 
¬␈ε~00
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓h␈ε	v␈↓ ↓z␈εβ,␈↓ αλ␈ε	d␈↓ α%␈ε	u␈↓ αE␈ε	v␈↓ αc␈εβ).␈α∞I␈α↓f␈↓ β(␈ε	p␈↓ βE␈εβis␈αa␈αp␈α␈rime␈αth␈α␈at␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ε≡␈ε	u␈↓ ε>␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ π!␈ε	p␈↓ π>␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ 	*␈ε	u␈↓ 	J␈εβo␈α␈r␈↓ 	s␈ε	v␈↓ 
⊃␈εβ,␈α
so␈↓ 
Q␈ε	p␈↓ 
n␈εβd␈α␈oe␈α␈s
␈βα\␈↓ α_␈εε1
␈βαu␈↓ β∞␈ε~00␈↓ β`␈ε~00␈↓ 	↑␈ε~00
␈βαy␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈ide␈↓ αi␈ε	u␈↓ α⎇␈ε	v␈↓ β#␈εβ+␈↓ βL␈ε	u␈↓ βm␈ε	v␈↓ β}␈εβ.␈α∞A␈α
similar␈αa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈αh␈α␈olds␈αfo␈α␈r␈αprime␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isors␈αo␈α␈f␈↓ 	M␈ε	v␈↓ 	k␈εβ,␈αso␈αn␈α␈o␈αprime
␈ββ≥␈↓ α⎇␈ε~00␈↓ β≠␈ε~00
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ αi␈ε	u␈↓ β	␈ε	v␈↓ β2␈εβa{ect␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈en␈α
gcd␈α␈.
␈ββR␈↓ β↓␈εε2␈↓ ∧2␈εε2␈↓ ¬!␈εε2
␈ββV␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	N␈↓ α=␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ αv␈εβ)␈↓ β∀␈εβ+␈αλ(␈↓ βH␈ε	N␈↓ βn␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈↓ ∧&␈εβ)␈↓ ∧G␈εβ=␈α
2␈↓ ¬β␈ε	N␈↓ ¬5␈ε↔␈␈εβ␈απ(6␈↓ ¬y␈ε	N␈↓ ε∨␈ε↔␈␈εβ␈απ5).␈αIf␈αth␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈α
are␈↓ λm␈ε	n␈↓ 	↓␈εβ-␈α↓b␈α␈it␈αb␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers,
␈ββ}␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	n␈↓ ↓t␈εβ+␈απ1␈αbits␈αma␈α␈y␈αb␈α␈e␈αnec␈α␈essary␈α
to␈αrep␈α␈resen␈α}t␈↓ ε;␈ε	t␈↓ εG␈εβ.
␈β∧4␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβFor␈απm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈li␈α↓ca␈α␈tion␈απa␈α␈nd␈αεdivision␈αεthese␈αεqua␈α␈n␈α␈tities␈απwil␈α↓l␈απob␈α␈ey␈απth␈α␈e␈απru␈α␈l␈α↓e␈α␈s␈↓ 	:␈ε	x␈↓ 	L␈εβ/0␈αλ=␈↓ 
!␈εβsign␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔1␈εβ,
␈β∧[␈↓ ↓H␈εβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈ε↔␈αλα␈↓ αQ␈ε	x␈↓ αm␈εβ=␈↓ β_␈ε	x␈↓ β1␈ε↔α␈εβ␈αλ(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)␈α
=␈α
(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)/␈↓ ¬R␈ε	x␈↓ ¬m␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ ε:␈εβs␈α␈i␈α↓g␈α␈n␈↓ εs␈εβ(␈↓ ε}␈ε	x␈↓ π∂␈εβ)␈ε↔1␈εβ␈α↓,␈↓ πQ␈ε	x␈↓ πb␈εβ/(␈ε↔ε1␈εβ)␈α=␈α
0␈α␈,␈αpro␈α␈v␈α␈ided␈αth␈α␈at␈↓ 
y␈ε	x␈↓ ⊗␈εβis
␈β¬β␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nite␈α	an␈α␈d␈α	no␈α␈nze␈α␈ro,␈α
witho␈α␈ut␈α	cha␈α␈nge␈α	to␈α	th␈α␈e␈α
a␈α␈lgorith␈α␈ms␈α
d␈α␈escrib␈α␈ed.␈α
F␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α
the␈α	algo␈α␈-
␈β¬*␈↓ ↓H␈εβrith␈α␈ms␈αλca␈α␈n␈αλrea␈α␈dily␈αλb␈α␈e␈αλmod␈α␈i|ed␈απso␈αλth␈α␈at␈αλ0/␈α␈0␈α	=␈α
0␈ε↔␈αβα␈εβ␈αβ(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔ε1␈εβ␈α↓)␈ε↔␈αβα␈εβ␈α∧0␈αλ=␈α
\(0␈α␈/0)"␈α␈,␈α	where
␈β¬R␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλlatte␈α␈r␈αλis␈αλa␈αλr␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλo␈α␈f␈αλ\u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α␈";␈α	an␈α␈d␈αλso␈απtha␈α␈t␈αλif␈αλeithe␈α␈r␈αλop␈α␈eran␈α␈d␈αλis␈αλ\␈α␈un␈α␈de␈α␈|n␈α␈ed"
␈β¬z␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈sult␈α
will␈α
be␈α\un␈α␈de␈α␈|n␈α␈ed"␈αalso.␈α⊂S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
m␈α}ultiplication␈αan␈α␈d␈αdivision␈αsu␈α␈bro␈α␈utine␈α␈s
␈βε!␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈α∞yield␈α∞the␈α␈se␈α∂fairly␈α∞na␈α␈tural␈α∞rules␈α∂o␈α␈f␈α∂\e␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α∂a␈α␈ri␈α↓t␈α␈hmet␈α␈i␈α↓c,"␈α∂it␈α∂is␈α∂so␈α␈metimes␈α∞w␈α␈orth
␈βεI␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈αto␈αm␈α␈odify␈αth␈α␈e␈αad␈α␈dition␈αa␈α␈nd␈αsu␈α␈btr␈α␈action␈αo␈α␈pe␈α␈ration␈α␈s␈αso␈αt␈α␈hat␈αth␈α␈ey␈αsa␈α␈ti␈α↓sfy␈α
the␈αru␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈βεp␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓[␈ε↔ε␈αα1␈εβ␈α
=␈ε↔␈α	ε␈α↓1␈εβ,␈↓ β'␈ε	x␈↓ β:␈ε↔ε␈εβ␈αβ(␈ε↔␈1␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	π1␈εβ␈α↓,␈αλfor␈↓ ¬n␈ε	x␈↓ εε␈εβ|␈α␈nite;␈α	(␈ε↔ε1␈εβ)␈αα+␈αβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	ε1␈αβ␈␈εβ␈αα(␈ε↔π1␈εβ␈α↓)␈α	=␈ε↔␈α
ε1␈εβ,
␈βπ_␈↓ ↓H␈εβ(␈ε↔ε1␈εβ)␈αλ+␈αλ(␈ε↔π1␈εβ)␈α
=␈α	(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈ε↔ε␈α↓1␈εβ)␈α	=␈α
(0/␈α␈0);␈αan␈α␈d␈αif␈αe␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈αor␈αb␈α␈oth␈α
ope␈α␈ran␈α␈ds␈αis␈α(0/0␈α␈),␈αso
␈βπ@␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αresu␈α␈l␈α↓t.␈αEqu␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈αtests␈αa␈α␈nd␈αc␈α␈omp␈α␈arison␈α␈s␈αmay␈α
be␈αtre␈α␈ated␈α
i␈α↓n␈α
a␈αsimilar␈αma␈α␈nn␈α␈er.
␈βπh␈↓ α␈εβThe␈αab␈α␈o␈α␈v␈α}e␈αre␈α␈mark␈α␈s␈αa␈α␈re␈αin␈α␈dep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈αof␈α\o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w"␈αi␈α↓n␈α␈dica␈α␈tions.␈αIf␈ε↔␈α1␈εβ␈αis␈αbeing␈αu␈α␈sed
␈βλ∂␈↓ ↓H␈εβto␈α	s␈α␈ugg␈α␈est␈α	o␈α␈v␈α␈e␈α␈r⎇o␈α␈w,␈α	i␈α↓t␈α	is␈α	i␈α↓n␈α␈corre␈α␈ct␈α	to␈α	l␈α↓e␈α␈t␈α
1␈α␈/␈ε↔1␈εβ␈α	be␈α	eq␈α␈ual␈α	to␈α	zero␈α␈,␈α
lest␈α	i␈α↓n␈α␈acc␈α␈ura␈α␈te␈α
r␈α␈esults␈α	be
␈βλ7␈↓ ↓H␈εβre␈α␈gard␈α␈ed␈αλa␈α␈s␈α	t␈α␈rue␈αλan␈α␈sw␈α␈ers.␈α
It␈α	is␈αλfar␈αλbe␈α␈tter␈αλto␈αλrep␈α␈resen␈α}t␈α	o␈α}v␈α␈er⎇␈α␈o␈α␈w␈αλby␈απ(␈α↓0␈α␈/0␈α␈)␈α↓,␈α	a␈α␈nd␈αλt␈α␈o␈αλadh␈α␈ere␈αλto
␈βλ←␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α	con␈α}v␈α␈en␈α}tion␈α	th␈α␈at␈α	the␈α	resu␈α␈l␈α↓t␈α	of␈α	an␈α}y␈α	op␈α␈eration␈αλi␈α↓s␈α	u␈α␈nd␈α␈e|n␈α␈ed␈α	if␈α
a␈α␈t␈α
lea␈α␈st␈α
o␈α␈ne␈α	of␈α	the␈α	inp␈α␈ut␈α␈s
␈β	ε␈↓ ↓H␈εβis␈α	un␈α␈de|␈α␈ned␈α␈.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α	typ␈α␈e␈α
o␈α␈f␈α
o␈α␈v␈α}er⎇␈α␈o␈α␈w␈α
ind␈α␈ication␈α	h␈α␈as␈α	the␈α	ad␈α␈van␈α}tag␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α	|n␈α␈al␈α
resu␈α␈lts␈α
of␈α	an
␈β	.␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈αcalcu␈α␈lation␈α
rev␈α␈ea␈α␈l␈αe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈α
which␈α
an␈α␈swe␈α␈rs␈αare␈αd␈α␈e|n␈α␈ed␈αa␈α␈nd␈α
which␈α
are␈αn␈α␈ot.
␈β	←␈↓ αf␈ε~0␈↓ βT␈ε~0
␈β	c␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ/␈↓ αR␈ε	u␈↓ αv␈ε↔≤␈↓ β ␈ε	v␈↓ β2␈εβ/␈↓ βB␈ε	v␈↓ βZ␈εβ,␈αthe␈α␈n
␈β
/␈↓ βW␈ε~0␈↓ ∧"␈ε~0␈↓ ¬
␈ε~0␈↓ ¬"␈ε~0␈↓ ¬u␈ε~0␈↓ εu␈ε~0␈↓ π↑␈εε2␈↓ πj␈εn␈↓ λ>␈ε~0␈↓ 	⊃␈εε2␈↓ 	≥␈εn␈↓ 	l␈ε~0
␈β
5␈↓ αd␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈α
j␈↓ β2␈ε	u␈↓ βF␈ε	v␈↓ βe␈ε↔␈␈↓ ∧∞␈ε	u␈↓ ∧(␈ε	v␈↓ ∧9␈ε↔j␈εβ␈α
=␈↓ ∧v␈ε	u␈↓ ¬⊃␈ε	v␈↓ ¬(␈ε↔j␈εβ␈α↓(␈↓ ¬=␈ε	u␈↓ ¬Q␈εβ/␈↓ ¬a␈ε	u␈↓ ¬|␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εB␈ε	v␈↓ εS␈εβ/␈↓ εd␈ε	v␈↓ ε|␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α	<␈ε↔␈α
j␈↓ πM␈εβ2␈↓ π{␈εβ(␈↓ λε␈ε	u␈↓ λ~␈εβ/␈↓ λ*␈ε	u␈↓ λE␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ 	␈εβ2␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	9␈ε	v␈↓ 	J␈εβ/␈↓ 	[␈ε	v␈↓ 	r␈εβ)␈ε↔j␈εβ␈α↓;
␈ββ␈↓ 
*␈εα(
␈βε␈↓ ↓H␈εβt␈α␈w␈α␈o␈α
q␈α␈uan␈α}tities␈α∞d␈α␈i{␈α↓e␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈α
by␈αmore␈α
th␈α␈an␈α
u␈α␈nity␈α
c␈α␈ann␈α␈ot␈α
h␈α␈av␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
same␈α
\␈α␈⎇oo␈α␈r."␈↓ 
6␈εβIn␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈β.␈↓ ↓H␈εβw␈α␈o␈α␈rds,␈αthe␈α|␈α␈rst␈α2␈↓ β?␈ε	n␈↓ β↑␈εβbits␈αto␈αth␈α␈e␈αrigh␈α␈t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αbin␈α␈ary␈αp␈α␈oin␈α␈t␈αar␈α␈e␈αeno␈α␈ugh␈α
to␈αch␈α␈arac␈α␈terize␈αthe
␈βV␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αfract␈α␈i␈α↓o␈α␈n,␈α
wh␈α␈en␈αth␈α␈ere␈αare␈↓ ¬r␈ε	n␈↓ εε␈εβ-b␈α␈i␈α↓t␈αd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tors.␈α∂We␈αca␈α␈nn␈α␈ot␈αimpro␈α}v␈α␈e␈αth␈α␈i␈α↓s␈αto
␈βz␈↓ ¬C␈εε1␈↓ λ∂␈εε1␈↓ 
E␈εα)
␈β⎇␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	n␈↓ ↓t␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αbits,␈αfor␈αif␈↓ βU␈ε	n␈↓ βs␈εβ=␈α	4␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ¬b␈εβ=␈α
(.000␈α␈100␈α␈11␈↓ π,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πY␈εβ)␈↓ πp␈εβ,␈↓ λ.␈εβ=␈α
(.000␈α␈100␈α␈10␈↓ 	x␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
$␈εβ)␈↓ 
<␈εβ.
␈βλ␈↓ πd␈εε2␈↓ 
0␈εε2
␈β␈↓ ¬<␈∧¬<α~␈↓ λλ␈∧λλα~
␈β
␈↓ ¬<␈εε13␈↓ λλ␈εε14
␈β0␈↓ ∧c␈∧0∧cα⊃
␈β2␈↓ ∧;␈ε~0␈↓ ∧B␈ε↔p␈↓ ¬&␈ε~0␈α↓0␈↓ π⊗␈ε~0
␈β7␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβTo␈α
div␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈α
by␈α
(␈↓ βf␈ε	v␈↓ ∧␈εβ+␈↓ ∧*␈ε	v␈↓ ∧c␈εβ5␈↓ ∧y␈εβ)/␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬3␈εβ,␈α∞whe␈α␈n␈↓ ε#␈ε	v␈↓ εB␈εβan␈α␈d␈↓ π¬␈ε	v␈↓ π*␈εβare␈α
n␈α␈ot␈α
bo␈α␈th␈α
zero␈α␈,␈α∞m␈α␈ultiply␈α
b␈α␈y␈α
the
␈βX␈↓ βn␈∧Xβnα⊃
␈βY␈↓ βM␈ε↔p
␈βZ␈↓ βG␈ε~0␈↓ ∧!␈ε~00␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ¬9␈ε~0␈εε␈α↓2
␈β↑␈↓ ↓H␈εβre␈α␈ciproc␈α␈al,␈α(␈↓ αt␈ε	v␈↓ β␈ε↔␈␈↓ β5␈ε	v␈↓ βn␈εβ5␈↓ ∧∧␈εβ)␈↓ ∧∂␈ε	v␈↓ ∧-␈εβ/(␈↓ ∧I␈ε	v␈↓ ∧o␈ε↔␈␈εβ␈απ5␈↓ ¬(␈ε	v␈↓ ¬L␈εβ),␈αa␈α␈nd␈α
redu␈α␈ce␈αto␈αlo␈α}we␈α␈st␈αterms.
␈β
b␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.2
␈β∞8␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβSu␈α␈bs␈α␈ti␈α↓tu␈α␈te␈αmin␈α␈,␈αma␈α␈x,␈α+␈αcon␈α␈si␈α↓ste␈α␈n␈α␈tly␈αfo␈α␈r␈αg␈α␈cd␈α␈,␈αlcm,␈ε↔␈αα␈εβ.
␈β∞m␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβFor␈αprime␈↓ β*␈ε	p␈↓ β:␈εβ,␈αlet␈↓ β␈␈ε	u␈↓ ∧ ␈εβ,␈↓ ∧5␈ε	v␈↓ ∧↑␈εβ,␈↓ ∧r␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬3␈ε	v␈↓ ¬k␈εβbe␈αth␈α␈e␈αexp␈α␈on␈α␈en␈α␈ts␈αo␈α␈f␈↓ λ∃␈ε	p␈↓ λ1␈εβin␈αth␈α␈e␈αcan␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈-
␈β∞x␈↓ ∧∩␈εp␈↓ ∧C␈εε1␈↓ ∧P␈εp␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬R␈εp
␈β∂∃␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈α∂of␈↓ αH␈ε	u␈↓ α\␈εβ,␈↓ αu␈ε	v␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βV␈εβ,␈↓ βp␈ε	v␈↓ ∧∂␈εβ.␈α↔By␈α∂h␈α␈y␈α␈po␈α␈thes␈α␈i␈α↓s,␈↓ ε→␈ε	u␈↓ εJ␈ε↔∀␈↓ ε{␈ε	v␈↓ π.␈εβ+␈↓ πZ␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λ␈εβ+␈↓ λ6␈ε	v␈↓ λc␈εβ.␈α↔W␈α↓e␈α∂m␈α␈u␈α␈st␈α∂sh␈α␈o␈α␈w␈α∂tha␈α␈t
␈β∂∨␈↓ β∧␈εε1␈↓ β␈␈εn␈↓ ε,␈εp␈↓ π
␈εε1␈↓ π↔␈εp␈↓ λE␈εn␈↓ λU␈εp
␈β∂<␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓s␈ε↔∀␈↓ α ␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ αW␈εβ(␈↓ αb␈ε	u␈↓ ββ␈εβ,␈↓ β∩␈ε	v␈↓ β;␈εβ)␈αλ+␈↓ βx␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧P␈εβmin␈↓ ¬π␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε	u␈↓ ¬3␈εβ,␈↓ ¬B␈ε	v␈↓ ¬o␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈αthis␈αis␈αcertain␈α␈l␈α↓y␈αtru␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ 	)␈ε	u␈↓ 	V␈εβis␈αgre␈α␈ater␈αth␈α␈an
␈β∂G␈↓ ↓[␈εp␈↓ αu␈εp␈↓ β!␈εε1␈↓ β-␈εp␈↓ ¬&␈εp␈↓ ¬Q␈εn␈↓ ¬a␈εp␈↓ 	<␈εp
␈β∂d␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αequ␈α␈al␈αto␈αea␈α␈ch␈↓ β<␈ε	v␈↓ βd␈εβ,␈αo␈α␈r␈αi␈α↓f␈↓ ∧A␈ε	u␈↓ ∧m␈εβis␈αl␈α↓e␈α␈ss␈αtha␈α␈n␈αsom␈α␈e␈↓ εl␈ε	v␈↓ π∃␈εβ.
␈β∂o␈↓ βK␈εj␈↓ βW␈εp␈↓ ∧T␈εp␈↓ ε{␈εj␈↓ ππ␈εp
␈β⊂→␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε⊂So␈α␈lution␈α1␈α␈:␈εβ␈α
A␈αon␈α␈e-to-on␈α␈e␈αcorre␈α␈spon␈α␈de␈α␈nce␈αis␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αif␈αw␈α␈e␈αset␈↓ 	∀␈ε	u␈↓ 	2␈εβ=␈↓ 	↑␈εβg␈α␈cd␈↓ 
⊂␈εβ(␈↓ 
≠␈ε	d␈↓ 
-␈εβ,␈↓ 
<␈ε	n␈↓ 
P␈εβ),␈↓ 
p␈ε	v␈↓ ␈εβ=
␈β⊂<␈↓ λ_␈εe
␈β⊂=␈↓ ↓\␈εε2␈↓ ¬J␈εε2␈↓ λk␈εe
␈β⊂A␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβ/␈↓ ↓}␈εβl␈α↓cm␈↓ α2␈εβ(␈↓ α=␈ε	d␈↓ αP␈εβ,␈↓ α←␈ε	n␈↓ αs␈εβ)␈α
for␈α
each␈α
d␈α␈ivisor␈↓ ∧s␈ε	d␈↓ ¬⊂␈εβof␈↓ ¬6␈ε	n␈↓ ¬W␈εβ.␈ε⊂␈α_S␈α␈olu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
2:␈εβ␈αIf␈↓ π@␈ε	n␈↓ π]␈εβ=␈↓ λπ␈ε	p␈↓ λ.␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λZ␈ε	p␈↓ 	↓␈εβ,␈αthe␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
i␈α↓n␈α
e␈α␈ach
␈β⊂D␈↓ λ#␈επ1␈↓ λv␈ε
r
␈β⊂P␈↓ λk␈εr
␈β⊂Q␈↓ λ_␈εε1
␈β⊂i␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈αis␈α(2␈↓ αK␈ε	e␈↓ αk␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ β5␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βa␈εβ(␈α↓2␈↓ β⎇␈ε	e␈↓ ∧≥␈εβ+␈απ1).
␈β⊂s␈↓ αW␈εε1␈↓ ∧	␈εr
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α3.2.1.2↑␈α␈15(a␈α␈).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα572␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα+␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβSh␈α␈ift␈↓ α]␈ε	u␈↓ α|␈εβa␈α␈nd␈↓ β<␈ε	v␈↓ βX␈εβrigh␈α}t␈αu␈α␈n␈α␈til␈αn␈α␈either␈α
is␈αa␈α
m␈α␈ultiple␈α
of␈α3␈α␈,␈αreme␈α␈m␈α␈berin␈α␈g␈αt␈α␈he␈α
pro␈α␈per␈α
po␈α␈w␈α␈e␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
3␈α	tha␈α␈t␈α
wil␈α↓l␈α
a␈α␈pp␈α␈ear␈α	in␈α
th␈α␈e␈α
g␈α␈cd␈α␈.␈αE␈α↓a␈α␈ch␈α	sub␈α␈seq␈α␈uen␈α}t␈α
iteratio␈α␈n␈α
se␈α␈ts␈↓ λY␈ε	t␈↓ λn␈ε↔ ␈↓ 	→␈ε	u␈↓ 	2␈εβ+␈↓ 	Y␈ε	v␈↓ 	t␈εβor␈↓ 
≠␈ε	t␈↓ 
0␈ε↔ ␈↓ 
[␈ε	u␈↓ 
t␈ε↔␈␈↓ ≠␈ε	v
␈βαz␈↓ ↓H␈εβ(wh␈α␈i␈α↓c␈α␈hev␈α}er␈α
i␈α↓s␈α
a␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈α
3),␈αsh␈α␈if␈α↓ts␈↓ ¬Y␈ε	t␈↓ ¬o␈εβrigh␈α}t␈αu␈α␈n␈α␈til␈α
i␈α↓t␈α
is␈α
not␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈ltiple␈α
of␈α
3,␈αth␈α␈en␈α
re␈α␈place␈α␈s
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ax␈↓ απ␈εβ(␈↓ α∩␈ε	u␈↓ α&␈εβ,␈↓ α4␈ε	v␈↓ αF␈εβ)␈αby␈α
the␈α
result.
␈ββr␈↓ ∧7␈ε	u␈↓ ¬T␈ε	v␈↓ π+␈ε	t
␈β∧%␈↓ ∧_␈εβ1␈α␈363␈α␈4␈↓ ¬3␈εβ24␈α␈140␈↓ εN␈εβ105␈α␈06␈α␈,␈α3␈α␈502␈α␈;
␈β∧L␈↓ ∧_␈εβ1␈α␈363␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ3␈α␈502␈↓ εN␈εβ171␈α␈36␈α␈,␈α5␈α␈712␈α␈,␈α1␈α␈904␈α␈;
␈β∧t␈↓ ∧(␈εβ190␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ3␈α␈502␈↓ εN␈εβ540␈α␈6,␈α18␈α␈02;
␈β¬≤␈↓ ∧(␈εβ190␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ1␈α␈802␈↓ εN␈εβ102␈α␈,␈α3␈α␈4;
␈β¬C␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬D␈εβ1␈α␈802␈↓ εN␈εβ183␈α␈6,␈α61␈α␈2,␈α204␈α␈,␈α6␈α␈8;
␈β¬k␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬e␈εβ68␈↓ εN␈εβ102␈α␈,␈α3␈α␈4;
␈βε∩␈↓ ∧J␈εβ3␈α␈4␈↓ ¬e␈εβ34␈↓ εN␈εβ0.
␈βεk␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ce␈αtha␈α␈t␈↓ β[␈εβgcd␈↓ ∧
␈εβ(409␈α␈02,␈α¬241␈α␈40)␈α	=␈α
3␈α␈4␈αis␈αno␈α}w␈αo␈α}v␈α␈erwh␈α␈elming␈α␈.
␈βπ%␈↓ πR␈εε1
␈βπ)␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβThe␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
th␈α␈at␈α
both␈↓ ¬≥␈ε	u␈↓ ¬>␈εβand␈↓ εα␈ε	v␈↓ ε!␈εβar␈α␈e␈α∞ev␈α}en␈α
i␈α↓s␈↓ πb␈εβ;␈α∂the␈α
pro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
th␈α␈at␈α∞b␈α␈oth␈α
are
␈βπ7␈↓ πR␈∧π7πRα
␈βπ9␈↓ πR␈εε4
␈βπM␈↓ βd␈εε1
␈βπP␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiples␈αλof␈αλfou␈α␈r␈αλi␈α↓s␈↓ βz␈εβ;␈α
etc␈α␈.␈αTh␈α}us␈↓ ¬≤␈ε	A␈↓ ¬;␈εβh␈α␈as␈αλth␈α␈e␈αλdistribu␈α␈tion␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αλb␈α␈y␈αλth␈α␈e␈αλgen␈α␈eratin␈α␈g␈αλfun␈α␈ction
␈βπ↑␈↓ β↑␈∧π↑β↑α~
␈βπ`␈↓ β↑␈εε1␈α␈6
␈βλ&␈↓ πQ␈εβ3␈α␈/4
␈βλ8␈↓ ε↔␈εε2
␈βλ9␈↓ ∧I␈εε3␈↓ ¬∀␈εε3␈↓ ¬r␈εε3
␈βλ<␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬*␈ε	z␈↓ ¬@␈εβ+␈↓ ε	␈ε	z␈↓ ε+␈εβ+␈↓ εS␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πβ␈εβ=␈↓ λ%␈εβ.
␈βλJ␈↓ ∧I␈∧λJ∧Iα
␈↓ ¬
␈∧λJ¬
α~␈↓ ¬l␈∧λJ¬lα~␈↓ π2␈∧λJπ2αp
␈βλL␈↓ ∧I␈εε4␈↓ ¬
␈εε16␈↓ ¬l␈εε64
␈βλT␈↓ π2␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ πr␈ε	z␈↓ λ␈εβ/4
␈β	
␈↓ εe␈ε↓p
␈β	(␈↓ π	␈∧	(π	α↓"
␈β	-␈↓ β	␈εε1␈↓ π∩␈εε2␈↓ πV␈εε1␈↓ λ~␈εε1␈↓ λb␈εε2
␈β	1␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αme␈α␈an␈α
i␈α↓s␈↓ β→␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
the␈α
stan␈α␈da␈α␈rd␈αd␈α␈evia␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis␈↓ π*␈εβ+␈↓ πn␈ε↔␈␈↓ λ4␈εβ=␈↓ λr␈εβ.␈αIf␈↓ 	(␈ε	u␈↓ 	<␈εβ,␈↓ 	J␈ε	v␈↓ 	g␈εβa␈α␈re␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈-
␈β	?␈↓ β	␈∧	?β	α
␈↓ π∩␈∧	?π∩α
␈↓ πV␈∧	?πVα
␈↓ λ~␈∧	?λ~α
␈↓ λb␈∧	?λbα
␈β	A␈↓ β	␈εε3␈↓ π∩␈εε9␈↓ πV␈εε3␈↓ λ~␈εε9␈↓ λb␈εε3
␈β	T␈↓ π#␈εN
␈β	X␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈tly␈α
a␈α␈nd␈α	un␈α␈if␈α↓o␈α␈rmly␈α
d␈α␈istribu␈α␈ted␈α
with␈α	1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε+␈ε	u␈↓ ε?␈εβ,␈↓ εM␈ε	v␈↓ εh␈εβ<␈↓ π∪␈εβ2␈↓ π;␈εβ,␈α
then␈α	som␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈α
co␈α␈rrection␈α	term␈α␈s
␈β
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αne␈α␈eded␈α␈;␈αthe␈αm␈α␈ean␈αis␈αth␈α␈en␈αa␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y
␈β
3␈↓ ∧¬␈ε↓X
␈β
R␈↓ α↑␈εN␈↓ βB␈ε~␈␈εε2␈↓ ∧m␈εN␈↓ ¬∧␈ε~␈␈↓ ¬≡␈εk␈↓ ¬w␈εε2␈↓ π+␈εN␈↓ λ∂␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∨␈εN␈↓ 
β␈ε~␈␈εε2
␈β
T␈↓ ε;␈εε1␈↓ ε␈␈εε4
␈β
X␈↓ αB␈εβ(␈↓ αM␈εβ2␈↓ α⎇␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ β7␈εβ)␈↓ ∧Q␈εβ(␈↓ ∧\␈εβ2␈↓ ¬2␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ¬l␈εβ)␈↓ ε
␈εβ=␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ π∂␈εβ(␈↓ π~␈εβ2␈↓ πJ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λβ␈εβ)␈↓ λ<␈εβ+␈↓ λd␈ε	N␈↓ 	β␈εβ(␈↓ 	∞␈εβ2␈↓ 	>␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	x␈εβ)␈↓ 
)␈εβ.
␈β
f␈↓ ε;␈∧
fε;α
␈↓ ε␈␈∧
fε␈α
␈β
h␈↓ ε;␈εε3␈↓ ε␈␈εε3
␈β	␈↓ βm␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧∪␈εk␈↓ ∧ ␈ε~∀␈↓ ∧9␈εN
␈βb␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβWhen␈↓ αk␈ε	u␈↓ α␈␈εβ,␈↓ β
␈ε	v␈↓ β(␈εβare␈α	no␈α␈t␈α
b␈α␈oth␈α	e␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈α
eac␈α␈h␈α	of␈α
th␈α␈e␈α	case␈α␈s␈α
(ev␈α}en,␈α
o␈α␈dd␈α␈),␈α
(odd␈α␈,␈α
ev␈α␈e␈α␈n),␈α
(od␈α␈d,␈α
o␈α␈dd␈α␈)
␈βπ␈↓ 	(␈εε1
␈β
␈↓ ↓H␈εβis␈α∞equ␈α␈ally␈α∞pro␈α␈ba␈α␈ble,␈α∂an␈α␈d␈↓ ∧<␈ε	B␈↓ ∧a␈εβ=␈α∂1,␈α∂0,␈α∂0␈α∞in␈α∞the␈α␈se␈α∞cases.␈α∃Hen␈α␈ce␈↓ λP␈ε	B␈↓ λu␈εβ=␈↓ 	G␈εβon␈α∞t␈α␈he␈α∞av␈α}erag␈α␈e.
␈β_␈↓ 	(␈∧_	(α
␈β~␈↓ 	(␈εε3
␈β2␈↓ ↓H␈εβAc␈α␈tually,␈α	as␈α	in␈α	e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ6,␈α
a␈αλsmall␈α	corre␈α␈ction␈αλcou␈α␈l␈α↓d␈αλbe␈αλgiv␈α␈en␈αλto␈α	b␈α␈e␈α	strictly␈α	a␈α␈ccu␈α␈rate␈α	wh␈α␈en
␈βU␈↓ β¬␈εN
␈βY␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	u␈↓ α ␈εβ,␈↓ α/␈ε	v␈↓ αJ␈εβ<␈↓ αt␈εβ2␈↓ β≤␈εβ;␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬↑␈ε	B␈↓ ¬}␈εβ=␈α	1␈αis␈αa␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y
␈β
␈↓ ∧↑␈ε↓X
␈β
+␈↓ β7␈εN␈↓ ∧≠␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬F␈εN␈↓ ¬]␈ε~␈␈↓ ¬w␈εk␈↓ ε`␈εN␈↓ εx␈ε~␈␈↓ π⊃␈εk␈↓ λF␈εN␈↓ 	*␈ε~␈␈εε1
␈β
.␈↓ πV␈εε1␈↓ λ~␈εε1
␈β
1␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈εβ2␈↓ βV␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ ∧⊂␈εβ)␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈εβ2␈↓ ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ εP␈εβ2␈↓ π(␈εβ=␈↓ πn␈ε↔␈␈↓ λ*␈εβ(␈↓ λ5␈εβ2␈↓ λe␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	∨␈εβ)␈↓ 	P␈εβ.
␈β
?␈↓ πV␈∧
?πVα
␈↓ λ~␈∧
?λ~α
␈β
A␈↓ πV␈εε3␈↓ λ~␈εε3
␈β
c␈↓ ∧F␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧l␈εk␈↓ ∧y␈ε~∀␈↓ ¬∩␈εN
␈β∞:␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈ε	E␈↓ α0␈εβis␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αsub␈α␈tractio␈α␈n␈αcy␈α␈c␈α␈l␈α↓es␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ πI␈ε	u␈↓ πi␈εβ>␈↓ λ∃␈ε	v␈↓ λ'␈εβ,␈α
p␈α␈lus␈αon␈α␈e␈αi␈α↓f␈↓ 	c␈ε	u␈↓ 
β␈εβi␈α↓s␈αod␈α␈d␈αafte␈α␈r
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αB1.␈αIf␈αw␈α␈e␈αch␈α␈an␈α␈ge␈αth␈α␈e␈αinp␈α␈uts␈αfro␈α␈m␈α(␈↓ εβ␈ε	u␈↓ ε↔␈εβ,␈↓ ε&␈ε	v␈↓ ε7␈εβ)␈αto␈α(␈↓ π↓␈ε	v␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π!␈ε	u␈↓ π5␈εβ),␈αthe␈αv␈α␈alue␈α
of␈↓ 	
␈ε	C␈↓ 	3␈εβsta␈α␈ys␈αu␈α␈nch␈α␈an␈α␈ged␈α␈,
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈il␈α↓e␈↓ α≡␈ε	E␈↓ α@␈εβbeco␈α␈mes␈↓ βD␈ε	C␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧∞␈ε	E␈↓ ∧0␈εβor␈↓ ∧Y␈ε	C␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬#␈ε	E␈↓ ¬A␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈;␈αth␈α␈e␈αlatte␈α␈r␈αcase␈α
occu␈α␈rs␈αi{␈↓ λv␈ε	u␈↓ 	∃␈εβan␈α␈d␈↓ 	V␈ε	v␈↓ 	r␈εβare␈α
bo␈α␈th␈αo␈α␈dd
␈β∂-␈↓ ε¬␈εε1␈↓ εI␈εε2␈↓ πε␈εN
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈αstep␈α
B␈α↓1␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
this␈αha␈α␈s␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εZ␈εβ/␈α␈(␈↓ εu␈εβ2␈↓ π%␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓.␈αHen␈α␈ce
␈β∂?␈↓ ε¬␈∧∂?ε¬α
␈↓ εI␈∧∂?εIα
␈β∂A␈↓ ε¬␈εε3␈↓ εI␈εε3
␈β⊂¬␈↓ εe␈εε1␈↓ π)␈εε2␈↓ πf␈εN
␈β⊂	␈↓ ∧!␈ε	E␈↓ ∧c␈εβ=␈↓ ¬∞␈ε	C␈↓ ¬P␈ε↔␈␈↓ ¬y␈ε	E␈↓ ε9␈ε↔␈␈↓ ε⎇␈ε↔␈␈↓ π:␈εβ/␈α␈(␈↓ πU␈εβ2␈↓ λ¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈β⊂∪␈↓ ∧5␈εεa␈α␈ve␈↓ ¬$␈εεa␈α␈ve␈↓ ε␈εεav␈α␈e
␈β⊂↔␈↓ εe␈∧⊂↔εeα
␈↓ π)␈∧⊂↔π)α
␈β⊂→␈↓ εe␈εε3␈↓ π)␈εε3
␈β⊂w␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβThe␈αbina␈α␈ry␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α|rst␈α
g␈α␈ets␈α
to␈α
B6␈α
with␈↓ π⊂␈ε	u␈↓ π1␈εβ=␈α
1␈α␈963␈α␈,␈↓ λ8␈ε	v␈↓ λV␈εβ=␈α
1␈α␈35␈α␈9;␈α∞then␈↓ 
+␈ε	t␈↓ 
C␈ε↔ ␈εβ␈α
604␈α␈,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈02,␈αλ151␈α␈,␈α	etc␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αλg␈α␈cd␈απi␈α↓s␈απ302␈α␈.␈α
Usi␈α↓n␈α␈g␈απA␈α↓lg␈α␈orithm␈απX␈αλw␈α␈e␈αλ|␈α␈nd␈απth␈α␈at␈αλ2␈ε↔␈αα↓␈εβ␈αβ314␈α␈08␈ε↔␈αα␈␈εβ␈α∧2␈α␈3␈ε↔␈αβ↓␈εβ␈αβ2␈α␈718␈α	=␈α	302␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα573
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Tw␈α␈o␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αare␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈rime␈αi{␈αthey␈α
are␈αn␈α␈ot␈αb␈α␈oth␈α
divisib␈α␈l␈α↓e␈α
by␈α
an␈α␈y␈α
prime
␈βαR␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er.␈α∂(b␈α␈)␈απRearra␈α␈nge␈α␈men␈α}t␈απof␈απthe␈αεsum␈απin␈απ(a␈α␈),␈αλi␈α↓n␈αεterms␈απo␈α␈f␈απthe␈απd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tors␈↓ 	u␈ε	k␈↓ 
∞␈εβ=␈↓ 
9␈ε	p␈↓ 
[␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ π␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈βα\␈↓ 
I␈εε1␈↓ ↔␈εr
␈βαu␈↓ 	↓␈εε2␈↓ 	␈␈εε2
␈βαv␈↓ ↓H␈εα(␈↓ πr␈εα)
␈βαy␈↓ ↓T␈εβNo␈α␈te␈αεtha␈α␈t␈αεeach␈α¬of␈αεth␈α␈e␈αεsums␈αεin␈αε(a␈α␈)␈απa␈α␈nd␈α¬(b)␈αεis␈αεactu␈α␈all␈α↓y␈α¬|n␈α␈ite.␈↓ λ␈εβ(c)␈αε(␈↓ λA␈ε	n␈↓ λU␈εβ/␈↓ λf␈ε	k␈↓ λv␈εβ)␈↓ 	∞␈ε↔␈␈ααb␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	R␈εβ/␈↓ 	b␈ε	k␈↓ 	s␈ε↔c␈↓ 
∃␈εβ=␈↓ 
@␈ε	O␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	n␈↓ 
w␈εβ/␈↓ λ␈ε	k␈↓ _␈εβ),
␈βββ␈↓ α?␈ε↓P␈↓ ¬∞␈ε↓P␈↓ λp␈ε↓P
␈ββ≥␈↓ ∧K␈εε2
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβso␈↓ ↓q␈ε	q␈↓ α∃␈ε↔␈␈↓ βG␈ε	⊗␈↓ βY␈εβ(␈↓ βd␈ε	k␈↓ βt␈εβ)␈α↓(␈↓ ∧␈ε	n␈↓ ∧∨␈εβ/␈↓ ∧/␈ε	k␈↓ ∧@␈εβ)␈↓ ∧b␈εβ=␈↓ ε⊗␈ε	O␈↓ ε.␈εβ(␈↓ ε9␈ε	n␈↓ εM␈εβ/␈↓ ε↑␈ε	k␈↓ εn␈εβ)␈α=␈↓ π0␈ε	O␈↓ πH␈εβ(␈↓ πS␈ε	n␈↓ πg␈ε	H␈↓ λ␈εβ)␈α↓.␈α≠(d␈α␈)␈↓ 	G␈ε	⊗␈↓ 	Z␈εβ(␈↓ 	e␈ε	d␈↓ 	w␈εβ)␈α=␈↓ 
9␈ε	∞␈↓ 
b␈εβ.␈α≠[In
␈ββ,␈↓ ↓⎇␈εn␈↓ π|␈εn␈↓ 
E␈εε1␈↓ 
Q␈εn
␈ββ4␈↓ αe␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β
␈εk␈↓ β_␈ε~∀␈↓ β1␈εn␈↓ ¬4␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ ¬Z␈εk␈↓ ¬g␈ε~∀␈↓ ε␈εn␈↓ 	⊗␈εd␈↓ 	%␈ε~∧␈↓ 	1␈εn
␈ββN␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ct,␈αwe␈αh␈α␈av␈α}e␈αthe␈α
more␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αresult
␈β∧∞␈↓ ¬∀␈ε↓⊂␈↓ ¬B␈ε↓⊃
␈β∧⊗␈↓ ∧ ␈ε↓X␈↓ εb␈ε↓X␈↓ πc␈εs
␈β∧∨␈↓ π≤␈ε↓∩␈↓ πM␈ε↓∪
␈β∧!␈↓ ¬T␈εs
␈β∧%␈↓ ¬*␈ε	n␈↓ π5␈ε	n
␈β∧5␈↓ ε'␈εs
␈β∧;␈↓ ∧Y␈ε	⊗␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	d␈↓ ¬	␈εβ)␈↓ ¬h␈εβ=␈↓ ε∪␈ε	n␈↓ ε:␈ε↔␈␈↓ πv␈εβ+␈↓ λ∨␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λK␈εβ,
␈β∧I␈↓ ¬*␈∧∧I¬*α∃␈↓ π5␈∧∧Iπ5α∃
␈β∧S␈↓ ¬+␈ε	d␈↓ π7␈ε	p
␈β∧l␈↓ ∧$␈εd␈↓ ∧3␈ε~∧␈↓ ∧?␈εn
␈β¬J␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞in␈α
p␈α␈art␈α
(b),␈α∞where␈α
th␈α␈e␈α∞s␈α␈ums␈α
are␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
the␈α
prime␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈isors␈α
of␈↓ λ`␈ε	n␈↓ λt␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
is␈α∞e␈α␈qua␈α␈l␈α∞to
␈β¬m␈↓ ¬G␈εe
␈β¬n␈↓ ↓\␈εs␈↓ αe␈εs␈↓ ∧-␈εs␈↓ ε~␈εe
␈β¬r␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓g␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ αT␈ε	p␈↓ αr␈εβ)␈↓ βα␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β/␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ ∧≤␈ε	p␈↓ ∧9␈εβ)␈αif␈↓ ∧o␈ε	n␈↓ ¬␈εβ=␈↓ ¬6␈ε	p␈↓ ¬]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε	␈ε	p␈↓ ε0␈εβ.␈α↓]
␈β¬t␈↓ ε%␈ε
r
␈β¬u␈↓ ¬R␈επ1
␈βε↓␈↓ αe␈εε1␈↓ ∧-␈εr␈↓ ε~␈εr
␈βεα␈↓ ¬G␈εε1
␈βε≤␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α
Similarly,␈α	w␈α␈e␈αλ|␈α␈nd␈απtha␈α␈t␈αλa␈αλset␈αλof␈↓ ε(␈ε	k␈↓ εA␈εβin␈α}tegers␈αλis␈αλrelativ␈α}el␈α↓y␈απprime␈αλwith␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βε%␈↓ ↓v␈ε↓P
␈βε?␈↓ β
␈εk
␈βε@␈↓ ↓X␈εα/(␈↓ β~␈εα)
␈βεC␈↓ ↓H␈εβ1␈↓ αX␈εβ1/␈↓ αy␈ε	n␈↓ β&␈εβ.␈α∩Th␈α␈is␈α
pro␈α␈of␈α
of␈α
Th␈α␈eorem␈αD␈α
i␈α↓s␈αdu␈α␈e␈α
to␈α
F.␈α
Merte␈α␈ns,␈ε⊂␈α∞J␈α␈.␈α∞f␈↓ 	>␈ε⊂u␈↓ 	?␈ε⊂∪␈↓ 	P␈ε⊂r␈α
die␈α
re␈α␈i␈α↓n␈α␈e␈α
u␈α␈nd
␈βεV␈↓ α≤␈εn␈↓ α-␈ε~∃␈εε1
␈βεo␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈ng␈α␈ew.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α
77␈εβ␈α
(1␈α␈874␈α␈),␈α28␈α␈9↑2␈α␈91␈α␈.␈αT␈α↓h␈α␈e␈α
tec␈α␈hn␈α␈i␈α↓q␈α␈ue␈α
a␈α␈ctu␈α␈all␈α↓y␈α	giv␈α}es␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈ch␈α	stron␈α␈ger␈α
res␈α␈ult,
␈βπ∩␈↓ β≡␈ε~␈␈εε2␈↓ βX␈εε2
␈βπ∀␈↓ π>␈εα[␈↓ 	α␈εα)␈↓ 	]␈εα[␈↓  ␈εα)
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α¬tha␈α␈t␈απ6␈↓ β␈ε	→␈↓ βD␈ε	n␈↓ βe␈εβ+␈↓ ∧π␈ε	O␈↓ ∧∨␈εβ(␈↓ ∧*␈ε	n␈↓ ∧D␈εβlog␈↓ ∧t␈ε	n␈↓ ¬λ␈εβ)␈αεpairs␈αεof␈αεin␈α␈te␈α␈gers␈↓ ε}␈ε	u␈↓ π≠␈ε↔2␈↓ πH␈ε	f␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	n␈↓ πw␈εβ)␈α↓,␈↓ λ⊃␈ε	f␈↓ λ!␈εβ(␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λ@␈εβ)␈α↓+␈↓ λn␈ε	n␈↓ 	∞␈εβ,␈↓ 	∨␈ε	v␈↓ 	:␈ε↔2␈↓ 	g␈ε	g␈↓ 	v␈εβ(␈↓ 
↓␈ε	n␈↓ 
⊗␈εβ),␈↓ 
/␈ε	g␈↓ 
?␈εβ(␈↓ 
J␈ε	n␈↓ 
↑␈εβ)␈α↓+␈↓ ␈ε	n
␈βπ>␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈α
prime␈α␈,␈αfor␈αa␈α␈rbitrar␈α␈y␈↓ ¬<␈ε	f␈↓ ¬W␈εβan␈α␈d␈↓ ε_␈ε	g␈↓ ε'␈εβ.
␈βπu␈↓ αw␈εε2␈↓ ε\␈εε2␈↓ 	λ␈εε2
␈βπv␈↓ ∧%␈εε1␈↓ ∧e␈εε1
␈βπy␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃6␈α␈/␈↓ αe␈ε	→␈↓ β
␈εβti␈α↓m␈α␈es␈α
1␈α¬+␈↓ ∧;␈εβ+␈↓ ∧u␈εβ,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈α	4␈α␈9/(6␈↓ εI␈ε	→␈↓ εh␈εβ)␈ε↔␈α
→␈εβ␈α	.␈α↓8␈α␈274␈α␈6.␈α∃(b)␈α
6␈α␈/␈↓ λv␈ε	→␈↓ 	∨␈εβtime␈α␈s␈α
1␈α␈/1␈α¬+␈αε2␈α␈/4␈α¬+
␈βλπ␈↓ ∧%␈∧λπ∧%α
␈↓ ∧e␈∧λπ∧eα
␈βλ	␈↓ ∧%␈εε4␈↓ ∧e␈εε9
␈βλ≡␈↓ ∧≤␈εα(
␈βλ!␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈/9␈αε+␈↓ α'␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αT␈εβ,␈α
na␈α␈mely␈ε↔␈α
1␈εβ.␈↓ ∧(␈εβThis␈α
is␈αt␈α␈rue␈α
in␈α
sp␈α␈i␈α↓t␈α␈e␈α
of␈α
the␈α
res␈α␈ult␈α
of␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
12,␈α
an␈α␈d␈α
in␈α
spite␈α
o␈α␈f
␈βλE␈↓ 	O␈εα)
␈βλH␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfact␈αth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αof␈↓ ¬>␈εβln␈↓ ¬←␈εβgcd␈↓ ε⊃␈εβ(␈↓ ε≤␈ε	u␈↓ ε0␈εβ,␈↓ ε?␈ε	v␈↓ εP␈εβ)␈αis␈αa␈αsm␈α␈all␈α↓,␈α|␈α␈nite␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er.
␈β	∧␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	≠␈↓ α[␈εβ(␈↓ αg␈ε	n␈↓ α{␈εβ)␈αb␈α␈e␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αd␈α␈ivisors␈αo␈α␈f␈↓ π2␈ε	n␈↓ πF␈εβ.␈αThe␈α
answ␈α␈e␈α␈r␈αis
␈β	S␈↓ ∧)␈ε↓X␈↓ εg␈ε↓X␈↓ π[␈εε2
␈β	\␈↓ εQ␈ε↓∩␈↓ πE␈ε↓∪
␈β	↑␈↓ λ2␈εε2
␈β	b␈↓ ¬M␈εβ6␈↓ ε6␈εβ6␈↓ π+␈εβ1␈↓ λ∨␈ε	→
␈β	x␈↓ ∧b␈ε	≠␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	k␈↓ ¬⊂␈εβ)␈ε↔␈αλ↓␈↓ ε␈εβ=␈↓ πq␈εβ=␈↓ λB␈εβ.
␈β
ε␈↓ ¬7␈∧
ε¬7α=␈↓ ε.␈∧
εε.α ␈↓ π$␈∧
επ$α≥␈↓ λ∨␈∧
ελ∨α 
␈β

␈↓ ¬J␈εε2␈↓ ¬g␈εε2␈↓ εA␈εε2␈↓ π5␈εε2
␈β
⊂␈↓ ¬7␈ε	→␈↓ ¬V␈ε	k␈↓ ε.␈ε	→␈↓ π$␈ε	k␈↓ λ&␈εβ6
␈β
)␈↓ ∧)␈εk␈↓ ∧7␈ε~∃␈εε1␈↓ εh␈εk␈↓ εu␈ε~∃␈εε1
␈βε␈↓ ↓H␈εβ[Th␈α␈u␈α␈s,␈αλthe␈απav␈α␈e␈α␈rage␈απis␈ε⊂␈αλless␈εβ␈απtha␈α␈n␈απ2,␈α	a␈α␈l␈α↓t␈α␈hou␈α␈gh␈απth␈α␈ere␈απare␈απalways␈απat␈απleast␈απt␈α␈wo␈απco␈α␈mmo␈α␈n␈απdivisor␈α␈s
␈β.␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	u␈↓ α>␈εβa␈α␈nd␈↓ α}␈ε	v␈↓ β≠␈εβare␈α
not␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αp␈α␈rime.]
␈βe␈↓ αP␈εε1␈↓ β≠␈εε1␈↓ ¬↓␈εε1␈↓ ¬E␈εε1␈↓ ε`␈εε1␈↓ π@␈εε1␈↓ λ∧␈εε1
␈βi␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβ1␈απ+␈↓ αh␈εβ+␈↓ β9␈εβ+␈↓ βb␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧∩␈εβ=␈α	1␈απ+␈↓ ¬_␈εβ+␈↓ ¬\␈εβ+␈↓ ε¬␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ε3␈ε↔␈␈↓ εp␈εβ(1␈απ+␈↓ πW␈εβ+␈↓ λ≠␈εβ+␈↓ λD␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λq␈εβ).
␈βw␈↓ αP␈∧wαPα
␈↓ β∃␈∧wβ∃α~␈↓ ¬↓␈∧w¬↓α
␈↓ ¬E␈∧w¬Eα
␈↓ ε`␈∧wε`α
␈↓ π@␈∧wπ@α
␈↓ λ∧␈∧wλ∧α
␈βy␈↓ αP␈εε9␈↓ β∃␈εε2␈α␈5␈↓ ¬↓␈εε4␈↓ ¬E␈εε9␈↓ ε`␈εε4␈↓ π@␈εε4␈↓ λ∧␈εε9
␈β$␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈ε	v␈↓ α1␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ α⎇␈ε	v␈↓ β∞␈εβ/␈↓ β∨␈ε	u␈↓ β?␈εβ,␈↓ βS␈ε	v␈↓ βx␈εβ=␈ε↔␈α
π␈↓ ∧D␈ε	u␈↓ ∧X␈εβ/␈↓ ∧i␈ε	u␈↓ ¬∀␈εβ(th␈α␈e␈αsign␈αd␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s␈αo␈α␈n␈αwh␈α␈ether␈αth␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αiter␈α␈ation␈α␈s
␈β.␈↓ α≠␈εε1␈↓ β2␈εε3␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧|␈εε3
␈βK␈↓ ↓H␈εβis␈αe␈α␈v␈α␈en␈αor␈αod␈α␈d).␈α
This␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αfrom␈αthe␈αfact␈αth␈α␈at␈↓ πλ␈ε	v␈↓ π/␈εβan␈α␈d␈↓ πq␈ε	v␈↓ λ_␈εβa␈α␈re␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αprime␈αto␈αe␈α␈ach
␈βV␈↓ π↔␈εε1␈↓ π␈␈εε2
␈βs␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α(throu␈α␈gh␈α␈ou␈α␈t␈α
the␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m),␈α
and␈αth␈α␈at␈↓ εQ␈ε	v␈↓ εl␈ε	u␈↓ π␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ π[␈ε	v␈↓ πv␈ε	v␈↓ λλ␈εβ.␈α≥[Hen␈α␈ce␈↓ 	≠␈ε	v␈↓ 	6␈ε	u␈↓ 	V␈εβ=␈↓ 
∧␈εβlcm␈↓ 
8␈εβ(␈↓ 
C␈ε	u␈↓ 
W␈εβ,␈↓ 
f␈ε	v␈↓ 
w␈εβ)␈α
a␈α␈t
␈β}␈↓ ε`␈εε1␈↓ πj␈εε2␈↓ 	)␈εε1
␈β
≠␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
close␈αof␈α
the␈αalgorith␈α␈m,␈α∞b␈α␈ut␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓s␈αnot␈α
a␈α␈n␈α
esp␈α␈ecially␈α
e␈α␈}cien␈α}t␈α
way␈α
to␈αcom␈α␈pu␈α␈te␈α
the
␈β
B␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈st␈αcomm␈α␈on␈αm␈α}ultiple.␈αFor␈αa␈αge␈α␈nera␈α␈li␈α↓za␈α␈tion,␈αsee␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.6.1↑1␈α␈8.]
␈β
i␈↓ εF␈εε1␈↓ λ∃␈εε1
␈β
l␈↓ α␈εβG.␈α
E.␈α
Coll␈α↓in␈α␈s␈α
ha␈α␈s␈α
ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈α
th␈α␈at␈ε↔␈α
j␈↓ ¬e␈ε	u␈↓ ε¬␈ε↔j␈α	∀␈↓ εV␈ε	v␈↓ εg␈εβ/␈↓ εx␈ε	u␈↓ π_␈εβ,␈ε↔␈α
j␈↓ π4␈ε	u␈↓ πT␈ε↔j␈α	∀␈↓ λ%␈ε	u␈↓ λ9␈εβ/␈↓ λJ␈ε	u␈↓ λi␈εβ,␈αat␈α	the␈α
te␈α␈rmina␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
o␈α␈f
␈β
w␈↓ ¬x␈εε1␈↓ π␈εε3␈↓ πG␈εε2␈↓ λ]␈εε3
␈β
z␈↓ εF␈∧
zεFα
␈↓ λ∃␈∧
zλ∃α
␈β
|␈↓ εF␈εε2␈↓ λ∃␈εε2
␈β∞∀␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αX␈↓ β␈εβ,␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈αi␈α↓n␈αcertain␈αtr␈α␈i␈α↓v␈α␈ial␈α
c␈α␈ases,␈α
sin␈α␈ce␈αthe␈α|␈α␈na␈α␈l␈α
v␈α␈alue␈αo␈α␈f␈↓ 	5␈ε	q␈↓ 	P␈εβis␈αusu␈α␈ally␈ε↔␈α∃␈εβ␈α2␈α␈.
␈β∞;␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αbou␈α␈nd␈α␈s␈αthe␈αs␈α␈i␈α↓ze␈α
of␈ε↔␈αj␈↓ ∧/␈ε	u␈↓ ∧N␈ε↔j␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α
j␈↓ ¬-␈ε	u␈↓ ¬L␈ε↔j␈εβ␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈α␈out␈αth␈α␈e␈αex␈α}ecu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm.
␈β∞F␈↓ ∧B␈εε1␈↓ ¬@␈εε2
␈β∞v␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβApp␈α␈ly␈α⊂Algorith␈α␈m␈α⊂X␈α⊂to␈↓ ∧o␈ε	v␈↓ ¬⊃␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬W␈ε	m␈↓ ¬t␈εβ,␈α∩th␈α}us␈α⊂o␈α␈btain␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α⊂a␈α⊂v␈α␈alue␈↓ λu␈ε	x␈↓ 	⊗␈εβsuc␈α␈h␈α⊂tha␈α␈t␈↓ 
4␈ε	x␈↓ 
F␈ε	v␈↓ 
i␈ε↔⊃␈εβ␈α∩1
␈β∂≡␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	m␈↓ αf␈εβ)␈α↓.␈α~(Th␈α␈i␈α↓s␈αcan␈αb␈α␈e␈αdon␈α␈e␈αby␈αsimp␈α␈l␈α↓ify␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈αX␈αso␈αthat␈↓ 	8␈ε	u␈↓ 	X␈εβ,␈↓ 	m␈ε	v␈↓ 
λ␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ 
↑␈ε	t␈↓ ␈εβare
␈β∂)␈↓ 	K␈εε2␈↓ 	{␈εε2␈↓ 
h␈εε2
␈β∂F␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ot␈α∞c␈α␈omp␈α␈uted␈α␈,␈α∂sinc␈α␈e␈α∞the␈α␈y␈α∞a␈α␈re␈α∞ne␈α␈v␈α␈er␈α∞u␈α␈sed␈α
i␈α↓n␈α
th␈α␈e␈α∞an␈α␈sw␈α␈er.)␈α∨Then␈α
set␈↓ 	A␈ε	w␈↓ 	g␈ε↔ ␈↓ 
↔␈ε	u␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
A␈εβmod␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ.
␈β∂i␈↓ λ%␈εε2
␈β∂m␈↓ ↓H␈εβ[It␈αfollo␈α␈ws,␈α
a␈α␈s␈αi␈α↓n␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α30,␈αthat␈αth␈α␈is␈αproc␈α␈ess␈αrequ␈α␈ires␈↓ πn␈ε	O␈↓ λε␈εβ(␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ2␈εβ)␈αun␈α␈i␈α↓t␈α␈s␈α
o␈α␈f␈αti␈α↓m␈α␈e,␈α
wh␈α␈en␈αit␈αis
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈↓ β6␈ε	n␈↓ βJ␈εβ-b␈α␈it␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈αAn␈α
altern␈α␈ativ␈α␈e␈α
to␈αAlgo␈α␈rithm␈α
X␈αapp␈α␈ear␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
ex␈α}ercise␈α3␈α␈5.]
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈et␈↓ α⎇␈ε	t␈↓ β≥␈εβ=␈↓ βH␈ε	x␈↓ β`␈εβ+␈αλ2␈↓ ∧~␈ε	y␈↓ ∧4␈εβ+␈απ3␈↓ ∧m␈ε	z␈↓ ∧{␈εβ;␈αthen␈α
3␈↓ ¬l␈ε	t␈↓ ε
␈εβ+␈↓ ε3␈ε	y␈↓ εM␈εβ+␈απ2␈↓ πε␈ε	z␈↓ π≥␈εβ=␈α
1␈α␈,␈α5␈↓ π⎇␈ε	t␈↓ λ≠␈ε↔␈␈εβ␈αλ3␈↓ λU␈ε	y␈↓ λo␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈0␈↓ 	9␈ε	z␈↓ 	P␈εβ=␈α
3␈α␈.␈αEli␈α↓m␈α␈i␈α↓n␈α␈ate
␈β⊂Z␈↓ βπ␈εε1␈↓ ¬v␈εε1␈↓ λπ␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓Z␈εβ,␈α∞the␈α␈n␈α
14␈↓ αa␈ε	t␈↓ β␈ε↔␈␈εβ␈α	14␈↓ βL␈ε	z␈↓ βf␈εβ=␈α
6:␈α⊂No␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈.␈α≡(b)␈α
This␈α
time␈α
14␈↓ λβ␈ε	t␈↓ λ"␈ε↔␈␈εβ␈α	14␈↓ λn␈ε	z␈↓ 	λ␈εβ=␈α
0.␈α∩Divid␈α␈e␈α∞b␈α␈y␈α
14␈α␈,
␈β⊃α␈↓ αk␈εε1␈↓ λ
␈εε1
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβe␈α␈l␈α↓imin␈α␈ate␈↓ αX␈ε	t␈↓ αo␈εβ;␈αth␈α␈e␈αgen␈α␈eral␈αsolu␈α␈tion␈αis␈↓ ¬N␈ε	x␈↓ ¬i␈εβ=␈α	8␈↓ ε$␈ε	z␈↓ ε9␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈,␈↓ ππ␈ε	y␈↓ π"␈εβ=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ5␈↓ λ≡␈ε	z␈↓ λ,␈εβ,␈↓ λA␈ε	z␈↓ λY␈εβarb␈α␈i␈α↓tra␈α␈ry.
␈β⊃*␈↓ αb␈εε1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα574␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	u␈↓ αj␈εβ,␈↓ β␈ε	u␈↓ β∨␈εβ,␈↓ β5␈ε	u␈↓ βU␈εβ,␈↓ βk␈ε	v␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≤␈ε	v␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	v␈↓ ∧t␈εβbe␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈recision␈αvaria␈α␈bles,␈α
in␈αa␈α␈dd␈α␈i␈α↓t␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αto␈↓ 	h␈ε	u␈↓ 
λ␈εβan␈α␈d␈↓ 
J␈ε	v␈↓ 
[␈εβ.␈α∂The
␈βα6␈↓ α]␈εε1␈↓ β∪␈εε2␈↓ βH␈εε3␈↓ βy␈εε1␈↓ ∧*␈εε2␈↓ ∧[␈εε3
␈βαS␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈α	a␈α␈lgorith␈α␈m␈α	will␈α	ac␈α␈t␈α	th␈α␈e␈α	sa␈α␈me␈αλon␈↓ ε
␈ε	u␈↓ ε5␈εβand␈↓ εt␈ε	v␈↓ π↔␈εβas␈α	Algo␈α␈rithm␈αλL␈α	d␈α␈oes␈αλon␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
	␈εβa␈α␈nd␈↓ 
G␈ε	v␈↓ 
X␈εβ.␈αNe␈α␈w
␈βα]␈↓ ε ␈εε3␈↓ πα␈εε3
␈βαz␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiprec␈α␈i␈α↓sion␈αope␈α␈ration␈α␈s␈α
a␈α␈re␈α
t␈α␈o␈α
s␈α␈et␈↓ ¬[␈ε	t␈↓ ¬r␈ε↔ ␈↓ ε∨␈ε	A␈↓ ε5␈ε	u␈↓ εT␈εβ,␈↓ εj␈ε	t␈↓ π↓␈ε↔ ␈↓ π.␈ε	t␈↓ πB␈εβ+␈↓ πl␈ε	B␈↓ λα␈ε	v␈↓ λ≥␈εβ,␈↓ λ3␈ε	w␈↓ λW␈ε↔ ␈↓ 	∧␈ε	C␈↓ 	∨␈ε	u␈↓ 	>␈εβ,␈↓ 	T␈ε	w␈↓ 	x␈ε↔ ␈↓ 
%␈ε	w␈↓ 
F␈εβ+␈↓ 
o␈ε	D␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈ββ¬␈↓ εH␈εj␈↓ λ⊃␈εj␈↓ 	2␈εj␈↓ ↔␈εj
␈ββ"␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓s␈ε↔ ␈↓ α ␈ε	t␈↓ α,␈εβ,␈↓ αC␈ε	v␈↓ αj␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε	w␈↓ β=␈εβfo␈α␈r␈α
all␈↓ ∧"␈ε	j␈↓ ∧1␈εβ,␈α
i␈α↓n␈αstep␈αL4;␈α∞a␈α␈l␈α↓so␈αif␈↓ ε[␈ε	B␈↓ ε}␈εβ=␈α0␈αi␈α↓n␈αth␈α␈at␈α
step␈αto␈αset␈↓ 	c␈ε	t␈↓ 	{␈ε↔ ␈↓ 
(␈ε	u␈↓ 
P␈ε↔␈␈↓ 
z␈ε	q␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈ββ,␈↓ ↓[␈εj␈↓ αQ␈εj␈↓ 
;␈εj␈↓ ↔␈εj
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓p␈ε↔ ␈↓ α≠␈ε	v␈↓ α5␈εβ,␈↓ αI␈ε	v␈↓ αm␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε	t␈↓ β-␈εβfor␈α
all␈↓ ∧
␈ε	j␈↓ ∧&␈εβan␈α␈d␈α
for␈↓ ¬→␈ε	q␈↓ ¬1␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ ¬h␈ε	u␈↓ ελ␈εβ/␈↓ ε→␈ε	v␈↓ ε4␈ε↔c␈εβ.␈αA␈α
simil␈α↓a␈α␈r␈α
mod␈α␈i|ca␈α␈tion␈α
is␈α
ma␈α␈de␈α
to␈α	step␈α
L1
␈ββT␈↓ ↓[␈εj␈↓ α)␈εj␈↓ αX␈εj␈↓ ¬{␈εε3␈↓ ε'␈εε3
␈ββq␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	v␈↓ α
␈εβi␈α↓s␈αsm␈α␈all␈α↓.␈αThe␈α
i␈α↓n␈α␈ne␈α␈r␈αlo␈α␈op␈α(ste␈α␈ps␈αL2␈αan␈α␈d␈αL3)␈αis␈αun␈α␈ch␈α␈ang␈α␈ed␈α␈.
␈ββ|␈↓ ↓v␈εε3
␈β∧2␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	m␈↓ αJ␈ε	n␈↓ αg␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αthe␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lities␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
l␈α↓a␈α␈ttice-po␈α␈in␈α␈t␈α
mod␈α␈el␈αin␈α
th␈α␈e␈α
test␈α
are␈α
ex␈α␈act,␈αso␈α
w␈α␈e
␈β∧Y␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ βL␈ε	m␈↓ βs␈ε↔∃␈↓ ∧≡␈ε	n␈↓ ∧;␈εβ>␈α	0.␈ε⊂␈αVali␈α↓d␈α␈a␈αv␈α␈i␈εβ␈α↓,␈αth␈α␈e␈αfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αv␈α␈alues␈αh␈α␈av␈α}e␈αbe␈α␈en␈αob␈α␈tain␈α␈ed:
␈β¬⊗␈↓ 	m␈εt␈↓ 
V␈εt␈↓ 
←␈εε+␈α↓1
␈β¬~␈↓ α␈ε⊂Case␈α	1␈εβ,␈↓ β↓␈ε	m␈↓ β'␈εβ=␈↓ βR␈ε	n␈↓ βf␈εβ.␈α⊗F␈α↓ro␈α␈m␈α
(␈↓ ∧j␈ε	n␈↓ ∧}␈εβ,␈↓ ¬
␈ε	n␈↓ ¬!␈εβ)␈α
w␈α␈e␈α
go␈α
to␈α	(␈↓ εD␈ε	n␈↓ ε↑␈ε↔␈␈↓ πε␈ε	t␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π ␈ε	n␈↓ π4␈εβ)␈αwith␈α	prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈↓ 	?␈ε	t␈↓ 	K␈εβ/␈↓ 	\␈εβ2␈↓ 	|␈ε↔␈␈εβ␈απ5␈α␈/␈↓ 
E␈εβ2␈↓ ␈εβ+
␈β¬=␈↓ ↓z␈εε2␈↓ αε␈εt
␈β¬>␈↓ ε;␈εε1␈↓ εr␈εε7␈↓ π)␈εε2␈α␈7
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈/␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α⊂␈εβ,␈α
for␈α
2␈ε↔␈α∀␈↓ β%␈ε	t␈↓ β=␈εβ<␈↓ βj␈ε	n␈↓ β}␈εβ.␈α≥(Th␈α␈ese␈α
v␈α␈alu␈α␈es␈α
ar␈α␈e␈↓ εR␈εβ,␈↓ πλ␈εβ,␈↓ πL␈εβ,␈↓ πb␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ∀␈εβ.)␈α≥To␈α(0,␈↓ 	%␈ε	n␈↓ 	9␈εβ)␈α
th␈α␈e␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β¬P␈↓ ε5␈∧¬Pε5α~␈↓ εl␈∧¬Pεlα~␈↓ π"␈∧¬Pπ"α&
␈β¬R␈↓ ε5␈εε1␈α␈6␈↓ εl␈εε6␈α␈4␈↓ π"␈εε256
␈β¬e␈↓ α ␈εn␈↓ α1␈ε~␈␈εε1␈↓ β;␈εn␈↓ ∧1␈εε2␈↓ ∧=␈εn␈↓ ∧N␈ε~␈␈εε2
␈β¬i␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓k␈ε	n␈↓ ↓␈␈εβ/␈↓ α⊂␈εβ2␈↓ α←␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α␈/␈↓ β+␈εβ2␈↓ βU␈εβ+␈α	1␈α␈/␈↓ ∧ ␈εβ2␈↓ ∧s␈εβ.␈α∩To␈α
(␈↓ ¬O␈ε	n␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬r␈ε	k␈↓ εβ␈εβ)␈α
th␈α␈e␈α
prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α
is␈α
the␈α
sa␈α␈me␈α
as␈α
to␈α
(␈↓ 
~␈ε	k␈↓ 
*␈εβ,␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
M␈εβ).␈α∩The
␈βε
␈↓ ε.␈εn␈↓ ε>␈ε~␈␈εε1
␈βε⊃␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αtermina␈α␈tes␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈α1/␈↓ ε≥␈εβ2␈↓ εd␈εβ.
␈βεN␈↓ 	`␈εε1
␈βεQ␈↓ α␈ε⊂Case␈απ2␈εβ␈α␈,␈↓ α|␈ε	m␈↓ β"␈εβ=␈↓ βM␈ε	n␈↓ βc␈εβ+␈αβ1␈α␈.␈α⊂From␈απ(␈↓ ¬∩␈ε	n␈↓ ¬(␈εβ+␈αβ1,␈↓ ¬k␈ε	n␈↓ ¬␈␈εβ)␈αλw␈α␈e␈απge␈α␈t␈αλto␈απ(␈↓ π#␈ε	n␈↓ π7␈εβ,␈↓ πF␈ε	n␈↓ πZ␈εβ)␈απwith␈απpr␈α␈oba␈α␈bili␈α↓t␈α␈y␈↓ 	x␈εβwh␈α␈en␈↓ 
K␈ε	n␈↓ 
h␈εβ>␈α
1␈α␈,
␈βε`␈↓ 	`␈∧ε`	`α
␈βεb␈↓ 	`␈εε8
␈βεu␈↓ π<␈εt␈↓ πF␈εε+3␈↓ λK␈εε2␈↓ λW␈εt␈↓ λa␈εε+1
␈βεy␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
0␈α
whe␈α␈n␈↓ α`␈ε	n␈↓ α⎇␈εβ=␈α
1␈α␈;␈αto␈α
(␈↓ β␈␈ε	n␈↓ ∧→␈ε↔␈␈↓ ∧@␈ε	t␈↓ ∧L␈εβ,␈↓ ∧[␈ε	n␈↓ ∧o␈εβ)␈α
with␈α
p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α
1␈α␈1/␈↓ π,␈εβ2␈↓ πr␈ε↔␈␈εβ␈αε3/␈↓ λ:␈εβ2␈↓ 	π␈εβ,␈α
for␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ 
∩␈ε	t␈↓ 
'␈εβ<␈↓ 
Q␈ε	n␈↓ 
k␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈.
␈βπ≤␈↓ 	_␈εn␈↓ 	)␈εε+1␈↓ 
.␈εε2␈↓ 
:␈εn␈↓ 
J␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βπ≥␈↓ βW␈εε5␈↓ ∧¬␈εε1
␈βπ!␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈ese␈α
v␈α␈alues␈α	are␈↓ βm␈εβ,␈↓ ∧∃␈εβ,␈↓ ∧(␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧Z␈εβ.␈α↓)␈α⊗We␈α
get␈α	to␈α
(1,␈↓ εH␈ε	n␈↓ ε\␈εβ)␈α
with␈α	prob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈α	5/␈↓ 	λ␈εβ2␈↓ 	T␈ε↔␈␈εβ␈απ3␈α␈/␈↓ 
≥␈εβ2␈↓ 
p␈εβ,␈αfo␈α␈r
␈βπ/␈↓ βQ␈∧π/βQα~␈↓ ∧¬␈∧π/∧¬α
␈βπ1␈↓ βQ␈εε1␈α␈6␈↓ ∧¬␈εε4
␈βπD␈↓ ¬\␈εn␈↓ εN␈εε2␈↓ ε[␈εn␈↓ εk␈ε~␈␈εε1
␈βπH␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ>␈α	1;␈αto␈α(0,␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β≤␈εβ)␈αwith␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈α3␈α␈/␈↓ ¬K␈εβ2␈↓ ¬s␈ε↔␈␈εβ␈αλ1/␈↓ ε=␈εβ2␈↓ π⊃␈εβ.
␈βλ	␈↓ α␈ε⊂Case␈α
3␈εβ,␈↓ βα␈ε	m␈↓ β)␈ε↔∃␈↓ βT␈ε	n␈↓ βo␈εβ+␈αλ2␈α␈.␈α~Th␈α␈e␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ties␈αa␈α␈re␈αgiv␈α␈en␈α
by␈α
the␈αfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αtab␈α␈le:
␈βλ[␈↓ εU␈εm␈↓ εl␈ε~␈␈↓ π¬␈εn␈↓ π∃␈εε+␈α↓2␈↓ λ6␈εm␈↓ λM␈εε+1
␈βλ←␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧␈ε	n␈↓ ∧ ␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ3␈α␈/␈↓ εD␈εβ2␈↓ πC␈ε↔␈␈↓ πk␈ε	∞␈↓ λ∀␈εβ/␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λs␈εβ;
␈βλj␈↓ πw␈εn␈↓ λλ␈εε1
␈β	
␈↓ ¬s␈εt␈↓ ε↑␈εm␈↓ εv␈ε~␈␈↓ π∂␈εn␈↓ π∨␈εε+␈↓ π8␈εt␈↓ πB␈εε+1
␈β	∞␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	t␈↓ βy␈εβ,␈↓ ∧π␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε∧␈εβ+␈απ3/␈↓ εN␈εβ2␈↓ πh␈εβ,␈↓ λ>1␈α	<␈↓ 	β␈ε	t␈↓ 	_␈εβ<␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	W␈εβ;
␈β	9␈↓ ¬s␈εn␈↓ εe␈εm
␈β	=␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧↓␈εβ,␈↓ ∧∂␈ε	n␈↓ ∧#␈εβ)␈α↓:␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε
␈εβ+␈αλ1/␈↓ εT␈εβ2␈↓ ε|␈εβ,␈↓ πS␈ε	n␈↓ πp␈εβ>␈α
1␈α␈;
␈β	g␈↓ ¬s␈εn␈↓ εβ␈εε+1␈↓ π␈εm␈↓ π"␈ε~␈␈εε1
␈β	l␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧λ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧P␈ε	n␈↓ ∧d␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε0␈εβ+␈αλ1␈α␈/␈↓ εz␈εβ2␈↓ πH␈εβ;
␈β
⊗␈↓ ¬s␈εn␈↓ εβ␈εε+␈↓ ε≤␈εt
␈β
~␈↓ β∀␈εβ(␈↓ β∨␈ε	m␈↓ βD␈ε↔␈␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧λ␈ε↔␈␈↓ ∧1␈ε	t␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	n␈↓ ∧←␈εβ)␈α↓:␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε&␈εβ,␈↓ ε|1␈α	<␈↓ πA␈ε	t␈↓ πV␈εβ<␈↓ λ↓␈ε	m␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λN␈ε	n␈↓ λb␈εβ;
␈β
E␈↓ ¬s␈εm␈↓ ε
␈ε~␈␈εε1
␈β
I␈↓ β∀␈εβ(0,␈↓ β?␈ε	n␈↓ βS␈εβ):␈↓ ¬A␈εβ1␈α␈/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε0␈εβ.
␈β<␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Note:␈εβ␈α	Altho␈α␈ugh␈αεthese␈απex␈α␈act␈απp␈α␈rob␈α␈abiliti␈α↓e␈α␈s␈αλwill␈αλce␈α␈rtainly␈απimp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈απo␈α␈n␈απthe␈απlattice␈α␈-␈α↓p␈α␈oin␈α}t
␈βd␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ode␈α␈l␈α
con␈α␈sidered␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t,␈α∞th␈α␈ey␈αl␈α↓e␈α␈ad␈αto␈α
re␈α␈curre␈α␈nce␈αrelation␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
m␈α␈uc␈α␈h␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
com␈α␈-
␈β␈↓ ↓H␈εβp␈α␈lexity␈α␈;␈αan␈α␈d␈α
they␈α	wi␈α↓ll␈αn␈α␈ot␈α
pr␈α␈o␈α␈vid␈α␈e␈αth␈α␈e␈α
true␈α
b␈α␈eha␈α␈vior␈α
of␈α
Algorith␈α␈m␈α
B␈↓ 	≥␈εβ,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
for␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e
␈β3␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
th␈α␈at␈↓ βr␈εβgc␈α␈d␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ,␈↓ ∧R␈ε	v␈↓ ∧c␈εβ)␈α
=␈α	5␈α
is␈α
di{eren␈α}t␈α
from␈α
th␈α␈e␈α
pro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α	tha␈α␈t␈↓ 	Y␈εβgcd␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
⊗␈ε	u␈↓ 
*␈εβ,␈↓ 
9␈ε	v␈↓ 
J␈εβ)␈α
=␈α	7.]
␈βU␈↓ βe␈ε↓P␈↓ λT␈ε↓P
␈βo␈↓ ∧}␈ε~␈␈↓ ¬↔␈εk␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈εn␈↓ 	m␈ε~␈␈↓ 
ε␈εk
␈βs␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε	A␈↓ αj␈εβ=␈↓ β≥␈ε	a␈↓ β9␈εβ+␈↓ ∧m␈εβ2␈↓ ¬$␈ε	A␈↓ εS␈εβ+␈↓ ε␈␈εβ2␈↓ π9␈ε	b␈↓ πY␈εβ=␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ(␈εβ+␈↓ 	\␈εβ2␈↓ 
∪␈ε	A␈↓ ␈εβ+
␈β}␈↓ α!␈εn␈↓ α2␈εε+1
␈β␈␈↓ ¬9␈εε(␈↓ ¬B␈εn␈↓ ¬R␈εε+1)(␈↓ ε	␈εn␈↓ ε→␈ε~␈␈↓ ε2␈εk␈↓ ε?␈εε)␈↓ 
(␈εn␈↓ 
9␈εε(␈↓ 
A␈εn␈↓ 
Q␈ε~␈␈↓ 
k␈εk␈↓ 
x␈εε)
␈β
ε␈↓ ∧␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧1␈εk␈↓ ∧>␈ε~∀␈↓ ∧W␈εn␈↓ λz␈εε1␈ε~∀␈↓ 	 ␈εk␈↓ 	-␈ε~∀␈↓ 	F␈εn
␈β
≤␈↓ αE␈ε~␈␈↓ α↑␈εn␈↓ β;␈ε~␈␈↓ βT␈εn␈↓ λY␈ε~␈␈↓ λr␈εn
␈β
≥␈↓ ↓K␈εε1␈↓ ∧l␈εε1␈↓ ε≥␈εε1␈↓ π↑␈εε1
␈β
 ␈↓ ↓\␈ε	c␈↓ ↓i␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ α4␈εβ2␈↓ αo␈εβ)␈↓ β↓␈εβ+␈↓ β*␈εβ2␈↓ βe␈ε	b␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧'␈ε	a␈↓ ∧?␈εβ+␈↓ ∧|␈ε	A␈↓ ¬p␈εβ+␈↓ ε-␈εβ(␈↓ ε8␈ε	A␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π∞␈ε	a␈↓ π∨␈εβ)␈αλ+␈↓ πo␈ε	c␈↓ π|␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λH␈εβ2␈↓ 	α␈εβ);␈αno␈α}w␈αsu␈α␈bstitu␈α␈te␈αfo␈α␈r
␈β
+␈↓ εM␈εn
␈β
,␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬"␈εε(␈↓ ¬*␈εn␈↓ ¬:␈ε~␈␈εε1)
␈β
.␈↓ ↓K␈∧
.↓Kα
␈↓ ∧l␈∧
.∧lα
␈↓ ε≥␈∧
.ε≥α
␈↓ π↑␈∧
.π↑α
␈β
0␈↓ ↓K␈εε2␈↓ ∧l␈εε2␈↓ ε≥␈εε2␈↓ π↑␈εε2
␈β
H␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α?␈εβfrom␈α(36␈α␈).
␈β
T␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε(␈↓ ↓v␈εn␈↓ αε␈ε~␈␈εε1)
␈β∞	␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβThe␈α
path␈α␈s␈α∞de␈α␈scribed␈α
in␈α∞the␈α
hin␈α␈t␈α∞h␈α␈av␈α}e␈α∞the␈α∞sa␈α␈me␈α∞p␈α␈rob␈α␈ability,␈α∂b␈α␈ut␈α∞th␈α␈e␈α∞sub␈α␈sequ␈α␈en␈α}t
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rmina␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈απof␈απthe␈απa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈απh␈α␈as␈απa␈απdi{eren␈α}t␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity;␈αλth␈α␈us␈↓ λ.␈ε	∃␈↓ λJ␈εβ=␈↓ λu␈ε	k␈↓ 	λ␈εβ+␈αα1␈απwi␈α↓th␈αεprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β∞T␈↓ ↓X␈ε~␈␈↓ ↓q␈εk
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ αε␈εβti␈α↓m␈α␈es␈αλth␈α␈e␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈απtha␈α␈t␈↓ ∧␈␈ε	∃␈↓ ¬≠␈εβ=␈α
1.␈α
Let␈απthe␈απlatter␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity␈απb␈α␈e␈↓ 	α␈ε	p␈↓ 	∪␈εβ.␈α
We␈αλk␈α␈no␈α}w␈αλfrom␈απthe
␈β∞|␈↓ εq␈εε3␈↓ πt␈εε2␈↓ 	⊗␈εε1␈↓ 	X␈εε1
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβte␈α␈xt␈α
tha␈α␈t␈↓ αT␈ε	∃␈↓ αq␈εβ=␈α
0␈α	w␈α↓ith␈α	app␈α␈ro␈α␈x␈α␈i␈α↓m␈α␈ate␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈↓ π↓␈εβ;␈αh␈α␈enc␈α␈e␈↓ λ∞␈εβ=␈↓ λ8␈ε	p␈↓ λI␈εβ(1␈αε+␈↓ 	-␈εβ+␈↓ 	o␈εβ+␈↓ 
⊗␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
C␈εβ)␈α	=␈α
2␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈β∂∞␈↓ εq␈∧∂∞εqα
␈↓ πt␈∧∂∞πtα
␈↓ 	⊗␈∧∂∞	⊗α
␈↓ 	X␈∧∂∞	Xα
␈β∂⊂␈↓ εq␈εε5␈↓ πt␈εε5␈↓ 	⊗␈εε2␈↓ 	X␈εε4
␈β∂#␈↓ 	∂␈εε2
␈β∂$␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧G␈εε3␈↓ ¬	␈εε4␈↓ π∪␈εε1␈↓ πU␈εε1␈↓ λ_␈εε1
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
is␈↓ β%␈ε	p␈↓ β6␈εβ(1␈αε+␈↓ ∧≠␈εβ+␈↓ ∧↑␈εβ+␈↓ ¬ ␈εβ+␈↓ ¬H␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬u␈εβ)␈α	=␈↓ ε4␈ε	p␈↓ εE␈εβ(1␈αε+␈↓ π*␈εβ+␈↓ πl␈εβ+␈↓ λ/␈εβ+␈↓ λW␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	β␈εβ)␈↓ 	$␈εβ=␈α
4␈↓ 	`␈ε	p␈↓ 	q␈εβ.␈α_[Th␈α␈e␈αex␈α␈ac␈α␈t
␈β∂5␈↓ ∧∧␈∧∂5∧∧α
␈↓ ∧G␈∧∂5∧Gα
␈↓ ¬	␈∧∂5¬	α
␈↓ π∪␈∧∂5π∪α
␈↓ πU␈∧∂5πUα
␈↓ λ_␈∧∂5λ_α
␈β∂7␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧G␈εε4␈↓ ¬	␈εε8␈↓ π∪␈εε2␈↓ πU␈εε4␈↓ λ_␈εε8
␈β∂J␈↓ ¬d␈εn␈↓ 	
␈εn
␈β∂K␈↓ ∧D␈εε1␈↓ ¬λ␈εε6␈↓ ¬H␈εε1␈↓ π`␈εε1␈↓ λ$␈εε16␈↓ λq␈εε1
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ β<␈ε	∃␈↓ βY␈εβ=␈α	1␈αis␈↓ ∧\␈ε↔␈␈↓ ¬_␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬Y␈εβ)␈↓ ¬␈␈εβif␈↓ ε∨␈ε	m␈↓ εE␈εβ>␈↓ εp␈ε	n␈↓ π
␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈↓ πx␈ε↔␈␈↓ λA␈εβ(␈ε↔␈␈↓ 	α␈εβ)␈↓ 	(␈εβif␈↓ 	H␈ε	m␈↓ 	n␈εβ=␈↓ 
→␈ε	n␈↓ 
6␈ε↔∃␈εβ␈α	2.]
␈β∂]␈↓ ∧D␈∧∂]∧Dα
␈↓ ¬λ␈∧∂]¬λα
␈↓ ¬H␈∧∂]¬Hα
␈↓ π`␈∧∂]π`α
␈↓ λ$␈∧∂]λ$α~␈↓ λq␈∧∂]λqα
␈β∂←␈↓ ∧D␈εε5␈↓ ¬λ␈εε5␈↓ ¬H␈εε4␈↓ π`␈εε5␈↓ λ+␈εε5␈↓ λq␈εε4
␈β⊂␈↓ ¬H␈εm␈↓ εl␈εm␈↓ πβ␈εε+1
␈β⊂∂␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβSh␈α␈o␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈α	for␈α
|␈α␈x␈α␈ed␈↓ ∧+␈ε	v␈↓ ∧F␈εβan␈α␈d␈α	for␈↓ ¬8␈εβ2␈↓ ¬i␈εβ<␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε1␈εβ<␈↓ ε[␈εβ2␈↓ π)␈εβ,␈α
when␈↓ λ∩␈ε	m␈↓ λ9␈εβis␈α
larg␈α␈e,␈α
eac␈α␈h␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α␈-
␈β⊂7␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ift␈αcy␈α␈cle␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αre␈α␈du␈α␈ces␈ε↔␈αb␈↓ ¬a␈εβlg␈↓ ε↓␈ε	u␈↓ ε∃␈ε↔c␈εβ␈αb␈α␈y␈αt␈α␈w␈α␈o␈α␈,␈αo␈α␈n␈αthe␈α
av␈α␈e␈α␈rage.
␈β⊂s␈↓ ∧→␈εm␈↓ ∧0␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈+␈↓ ∧o␈ε∞␈↓ 	∀␈εN
␈β⊂w␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβExa␈α␈ctly␈α
(␈↓ β∪␈ε	N␈↓ β8␈ε↔␈␈↓ β`␈ε	m␈↓ β⎇␈εβ)␈↓ ∧λ␈εβ2␈↓ ¬%␈εβin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ε ␈ε	u␈↓ ε>␈εβin␈αt␈α␈he␈α
ran␈α␈ge␈α
1␈ε↔␈α	∀␈↓ λ<␈ε	u␈↓ λY␈εβ<␈↓ 	∧␈εβ2␈↓ 	7␈εβh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈αb␈↓ 
∩␈εβlg␈↓ 
1␈ε	u␈↓ 
E␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β⊂{␈↓ ∧z␈ε
m␈↓ ¬∂␈επ0
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈↓ α↔␈ε	u␈↓ α6␈εβha␈α␈s␈αb␈α␈een␈α
shifted␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈αu␈α␈n␈α␈til␈αi␈α↓t␈αis␈αod␈α␈d.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα575
␈βα∧␈↓ ∧Y␈ε↓P
␈βα≡␈↓ ∧	␈εε2␈↓ ∧⊗␈εN␈↓ ∧.␈ε~␈␈εε2␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εm␈↓ π∂␈ε~␈␈↓ π(␈εn
␈βα∨␈↓ π8␈εα(␈↓ 
A␈εα)
␈βα"␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβThe␈α
|␈α␈rst␈α
su␈α␈m␈α
i␈α↓s␈↓ βy␈εβ2␈↓ ε≤␈ε	m␈↓ ε9␈ε	n␈↓ εM␈εβ2␈↓ πD␈εβ(␈↓ πO␈ε	␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ∂␈ε	␈␈↓ λ#␈εβ)␈↓ λ/␈ε	N␈↓ λT␈εβ+␈↓ λ{␈ε	␈
␈↓ 	∀␈ε↔␈␈↓ 	;␈ε	␈↓ 	M␈ε	m␈↓ 	q␈ε↔␈␈↓ 
_␈ε	␈␈↓ 
-␈ε	n␈↓ 
M␈εβ.␈αS␈α␈ince
␈βα2␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ εα␈ε↓P
␈βα5␈↓ ∧␈␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬%␈εm␈↓ ¬<␈εε<␈↓ ¬U␈εn␈↓ ¬f␈εε<␈↓ ¬␈␈εN
␈βαL␈↓ βλ␈ε~␈␈↓ β!␈εm␈↓ ¬␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬1␈εn␈↓ λ(␈ε~␈␈↓ λA␈εm␈↓ 	]␈εε2␈↓ 
m␈εε1␈ε~␈␈↓ ∪␈εn
␈βαP␈↓ αZ␈ε	m␈↓ αw␈εβ2␈↓ βA␈εβ=␈α
2␈ε↔␈␈εβ(␈↓ ∧)␈ε	n␈↓ ∧=␈εβ+␈α↓1␈α␈)␈↓ ∧z␈εβ2␈↓ ¬G␈εβa␈α␈nd␈↓ π∀␈ε	m␈↓ π1␈εβ(␈↓ π=␈ε	m␈↓ πZ␈ε↔␈␈εβ1)␈↓ λ↔␈εβ2␈↓ λa␈εβ=␈α
4␈ε↔␈␈εβ(␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	j␈εβ+␈↓ 
␈ε	n␈↓ 
∨␈εβ+␈α↓2␈α␈)␈↓ 
\␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈βα`␈↓ ∧≥␈ε↓P
␈βαc␈↓ ↓n␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ α∪␈εm␈↓ α+␈εε<␈↓ αD␈εn␈↓ ε(␈εε0␈ε~∀␈↓ εN␈εm␈↓ εe␈εε<␈↓ ε}␈εn
␈βαz␈↓ βM␈εε2␈↓ βZ␈εN␈↓ βr␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬T␈ε~␈␈↓ ¬n␈εn␈↓ 	r␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ 
↔␈εn
␈βα{␈↓ ¬}␈εα(
␈βα}␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
sum␈α
on␈↓ αt␈ε	m␈↓ β≤␈εβis␈↓ β=␈εβ2␈↓ ¬0␈ε	n␈↓ ¬D␈εβ2␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε	␈
␈↓ ε.␈ε↔␈␈↓ εV␈ε	␈↓ εo␈εβ+␈απ(␈↓ π"␈ε	␈↓ π;␈εβ+␈↓ πc␈ε	␈␈↓ πx␈εβ)␈↓ λβ␈ε	N␈↓ λ"␈εβ)(2␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ(␈↓ 	α␈ε	n␈↓ 	≥␈εβ+␈απ1)␈↓ 	a␈εβ2␈↓ 
.␈ε↔␈␈↓ 
V␈ε	␈↓ 
i␈εβ(4␈ε↔␈αε␈
␈ββ∂␈↓ εO␈ε↓P
␈ββ⊃␈↓ ∧C␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧i␈εn␈↓ ∧y␈εε<␈↓ ¬∩␈εN
␈ββ)␈↓ ↓g␈εε2␈↓ β	␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ β/␈εn␈↓ ∧m␈εε2␈↓ ∧z␈εN␈↓ ¬∩␈ε~␈␈εε2␈↓ λπ␈ε~␈␈↓ λ ␈εn␈↓ 	m␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ 
∩␈εn
␈ββ*␈↓ ∧≥␈εα)␈↓ ¬8␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈ββ-␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	n␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α≡␈ε	n␈↓ α7␈εβ+␈α∧2)␈↓ αx␈εβ2␈↓ β?␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ βu␈ε	␈␈↓ ∧	␈ε	n␈↓ ∧2␈εβ=␈↓ ∧]␈εβ2␈↓ ¬D␈εβ(␈↓ ¬O␈ε	␈↓ ¬f␈εβ+␈↓ ε␈ε	␈␈↓ ε ␈εβ)␈↓ ε+␈ε	N␈↓ πb␈ε	n␈↓ πv␈εβ2␈↓ λ0␈εβ(2␈ε↔␈α¬␈␈εβ␈α∧(␈↓ 	α␈ε	n␈↓ 	~␈εβ+␈α¬1)␈↓ 	\␈εβ2␈↓ 
#␈εβ)␈α∧+␈↓ 
X␈ε	O␈↓ 
p␈εβ(1)␈↓ #␈εβ.
␈ββ?␈↓ εu␈εε0␈ε~∀␈↓ π≠␈εn␈↓ π,␈εε<␈↓ πE␈εN
␈ββW␈↓ λo␈ε~␈␈εε2␈↓ 

␈εε3
␈ββX␈↓ 	∀␈εα(␈↓ 	q␈εε4␈↓ 
→␈εα)␈↓ 
`␈εε11
␈ββ[␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αth␈α␈e␈αcoe␈α␈}cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈α
(␈↓ ∧&␈ε	␈↓ ∧@␈εβ+␈↓ ∧i␈ε	␈␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬	␈ε	N␈↓ ¬4␈εβin␈αth␈α␈e␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis␈αf␈α↓o␈α␈un␈α␈d␈αto␈αb␈α␈e␈↓ λ↑␈εβ2␈↓ 	 ␈εβ4␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ(␈↓ 
α␈εβ)␈↓ 
0␈εβ=␈↓ 
⎇␈εβ.␈α∞A
␈ββi␈↓ 	q␈∧βi	qα
␈↓ 
`␈∧βi
`α~
␈ββk␈↓ 	q␈εε3␈↓ 
`␈εε27
␈β∧β␈↓ ↓H␈εβsimilar␈αa␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈αa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ies␈αto␈α
the␈αo␈α␈ther␈αsu␈α␈m.
␈β∧+␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Note:␈εβ␈α
Th␈α␈e␈ε⊂␈α	e␈α␈xac␈α␈t␈εβ␈α	v␈α␈alue␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	s␈α␈ums␈αλmay␈αλb␈α␈e␈α	o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ed␈αλafter␈αλsome␈αλted␈α␈ious␈αλcalcu␈α␈lation
␈β∧S␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αm␈α␈ean␈α␈s␈αof␈αthe␈αg␈α␈ene␈α␈ral␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a
␈β¬⊃␈↓ βP␈ε↓X␈↓ π␈ε↓X
␈β¬≤␈↓ ε␈εm␈↓ π⎇␈εk␈↓ λ$␈εm␈↓ λ;␈ε~␈␈↓ λT␈εk␈↓ λu␈εn␈↓ 	¬␈εε+␈↓ 	≡␈εk
␈β¬ ␈↓ ¬F␈ε	m␈↓ ¬c␈εβ!␈↓ ¬r␈ε	z␈↓ π`␈ε	m␈↓ λ⊂␈ε	n␈↓ λg␈ε	z
␈β¬/␈↓ π⎇␈∧¬/π⎇α∞␈↓ λ$␈∧¬/λ$α>
␈β¬1␈↓ ∧.␈εm␈↓ ∧Y␈εk
␈β¬6␈↓ ∧≡␈ε	k␈↓ ∧K␈ε	z␈↓ ∧o␈εβ=␈↓ εJ␈ε↔␈␈↓ 	/␈εβ,
␈β¬D␈↓ ∧.␈∧¬D∧.α_
␈β¬E␈↓ ¬≥␈∧¬E¬≥α↓"␈↓ π`␈∧¬Eπ`α↓L
␈β¬L␈↓ εα␈εm␈↓ ε→␈εε+␈α↓1␈↓ λ↑␈εk␈↓ λl␈εε+1
␈β¬N␈↓ ¬≥␈εβ(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬i␈ε	z␈↓ ¬w␈εβ)␈↓ πz␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λF␈ε	z␈↓ λS␈εβ)
␈β¬h␈↓ β<␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ βa␈εk␈↓ βo␈εε<␈↓ ∧λ␈εn␈↓ εs␈εε0␈ε~∀␈↓ π→␈εk␈↓ π&␈ε~∀␈↓ π?␈εm
␈βε@␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αfollo␈α␈ws␈αfrom␈α
summ␈α␈ation␈αb␈α␈y␈αp␈α␈arts.]
␈βεu␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβSo␈α␈lving␈α∞a␈α∂rec␈α␈urren␈α␈ce␈α∂similar␈α∂to␈α∞(34),␈α⊂w␈α␈e␈α∂|␈α␈nd␈α∞tha␈α␈t␈α∂the␈α∂n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∂o␈α␈f␈α∂ti␈α↓m␈α␈es␈α∂is␈↓ 
f␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈βπ␈↓ 
|␈εm␈↓ ∪␈εn
␈βπ→␈↓ λJ␈εn␈↓ 
∞␈εn
␈βπ~␈↓ ε'␈εε8␈↓ 	→␈εε128␈↓ 	s␈εε1
␈βπ≥␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	A␈↓ α`␈εβ=␈α
1,␈↓ β1␈ε	A␈↓ βl␈εβ=␈α
(␈↓ ∧#␈ε	n␈↓ ∧>␈εβ+␈αλ3)/␈α␈2,␈↓ ¬9␈ε	A␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ ε?␈ε↔␈␈εβ␈αλ(3␈↓ π∧␈ε	n␈↓ π∨␈εβ+␈αλ13␈α␈)/(9␈ε↔␈απ↓␈↓ λ9␈εβ2␈↓ λZ␈εβ)␈αλ+␈↓ 	C␈εβ(␈ε↔␈␈↓ 
β␈εβ)␈↓ 
*␈εβif␈↓ 
J␈ε	n␈↓ 
h␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈,
␈βπ(␈↓ α=␈εε00␈↓ βF␈εε0␈↓ βR␈εn␈↓ ¬N␈εn␈↓ ¬↑␈εn
␈βπ+␈↓ ε'␈∧π+ε'α
␈↓ 	→␈∧π+	→α&␈↓ 	s␈∧π+	sα
␈βπ-␈↓ ε'␈εε5␈↓ 	 ␈εε4␈α␈5␈↓ 	s␈εε4
␈βπA␈↓ α>␈εε8␈↓ βf␈εn␈↓ ∧6␈εε16␈↓ ¬β␈εε1␈↓ ¬∨␈εn
␈βπE␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α∂␈εβ=␈↓ αW␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈α␈/(3␈ε↔␈αλ↓␈↓ βV␈εβ2␈↓ βw␈εβ)␈αλ+␈↓ ∧S␈εβ(␈ε↔␈␈↓ ¬∀␈εβ)␈↓ ¬;␈εβif␈↓ ¬[␈ε	m␈↓ εβ␈εβ>␈↓ ε/␈ε	n␈↓ εM␈ε↔∃␈εβ␈α1␈α␈.␈α∞S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈αthe␈αcon␈α␈dition␈↓ 	D␈ε	u␈↓ 	c␈εβ=␈α
1␈αor␈↓ 
T␈ε	v␈↓ 
p␈εβ=␈α1
␈βπO␈↓ ↓]␈εm␈↓ ↓t␈εn
␈βπS␈↓ α>␈∧πSα>α
␈↓ ∧6␈∧πS∧6α~␈↓ ¬β␈∧πS¬βα
␈βπU␈↓ α>␈εε5␈↓ ∧6␈εε15␈↓ ¬β␈εε4
␈βπl␈↓ ↓H␈εβis␈α
ther␈α␈efore␈α
satis|␈α␈ed␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
a␈α␈bo␈α␈ut␈α
1.6␈α
times␈α
i␈α↓n␈αan␈α
av␈α}erag␈α␈e␈α∞r␈α␈un␈α␈,␈α∂it␈α
i␈α↓s␈α
no␈α␈t␈α∞w␈α␈o␈α␈rth␈α
mak␈α␈ing
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αsu␈α␈gg␈α␈ested␈α
test␈α
each␈α
time␈α
step␈α
B5␈αis␈αp␈α␈erform␈α␈ed.␈α_(Of␈αcou␈α␈rse␈α
the␈α
l␈α↓a␈α␈ttice␈αmo␈α␈de␈α␈l␈αi␈α↓s␈α
no␈α␈t
␈βλ;␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈l␈α↓e␈α␈tely␈α
a␈α␈ccu␈α␈rate,␈α
bu␈α␈t␈α
it␈α
seem␈α␈s␈α
reaso␈α␈na␈α␈ble␈α
to␈α	be␈α␈l␈α↓iev␈α}e␈α
th␈α␈at␈α
it␈α
is␈α
n␈α␈ot␈α
too␈α	ina␈α␈ccur␈α␈ate␈α
fo␈α␈r
␈βλc␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αapp␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈α␈.␈α↓)
␈βλz␈↓ βw␈ε↓P
␈β	∀␈↓ ∧h␈ε~␈␈↓ ¬↓␈εd␈↓ λl␈εd␈↓ 	2␈ε~␈␈εε1
␈β	∃␈↓ ε}␈εα(
␈β	_␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβ(a)␈↓ αD␈ε	F␈↓ β␈εβ(␈↓ β↔␈ε	x␈↓ β)␈εβ)␈α⊃=␈↓ ∧W␈εβ2␈↓ ¬∃␈εβpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α
that␈↓ π
␈ε	X␈↓ πC␈εβ<␈α∩1␈α∂an␈α␈d␈↓ λ[␈εβ2␈↓ λ{␈εβ/␈α␈(␈↓ 	↔␈ε	X␈↓ 	b␈ε↔␈␈εβ␈α1)␈α⊃<␈↓ 
n␈ε	x␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈β	#␈↓ αV␈εn␈↓ αf␈εε+␈α↓1␈↓ π"␈εn
␈β	'␈↓ 	2␈εn
␈β	)␈↓ ¬j␈ε↓P
␈β	+␈↓ ∧≥␈εd␈↓ ∧,␈ε~∃␈εε1
␈β	C␈↓ ∧;␈εd␈↓ εZ␈ε~␈␈↓ εt␈εd␈↓ λ?␈εd␈↓ λ←␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
V␈εd
␈β	D␈↓ ¬≤␈εα)␈↓ πα␈εα(
␈β	G␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓␈␈εβ>␈α⊃1␈α∂a␈α␈nd␈α∞(␈↓ β ␈ε	X␈↓ βR␈ε↔␈␈εβ␈α1␈α␈)/␈↓ ∧*␈εβ2␈↓ ∧Y␈εβ<␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬8␈εβ=␈↓ εJ␈εβ2␈↓ π∞␈ε	F␈↓ π1␈εβ(1/␈α␈(␈α↓1␈α	+␈↓ λ/␈εβ2␈↓ λN␈ε	x␈↓ 	¬␈εβ))␈α+␈↓ 	Q␈ε	F␈↓ 	t␈εβ(1␈α
+␈↓ 
E␈εβ2␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
v␈εβ)␈ε↔␈α
␈
␈β	Q␈↓ ↓←␈εn␈↓ β8␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ 	d␈εn
␈β	W␈↓ ∧{␈ε↓P
␈β	Y␈↓ ε⊂␈εd␈↓ ε≡␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β	q␈↓ ¬l␈ε~␈␈↓ ε¬␈εd␈↓ πT␈εd␈↓ 	u␈εd␈↓ 
∃␈ε~␈␈εε1
␈β	r␈↓ α⊃␈εα)␈↓ ε∀␈εα(␈↓ 
Q␈εα)
␈β	u␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓j␈εβ(␈α↓1␈α␈)␈↓ α≥␈εβ.␈α"(b␈α␈)␈↓ β␈ε	G␈↓ βL␈εβ(␈↓ βW␈ε	x␈↓ βh␈εβ)␈α⊃=␈α⊂1␈ε↔␈α
␈␈↓ ¬[␈εβ2␈↓ ε ␈ε	G␈↓ εF␈εβ(1/␈α␈(␈α↓1␈α	+␈↓ πD␈εβ2␈↓ πc␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈α↓)␈ε↔␈α
␈␈↓ λ@␈ε	G␈↓ λg␈εβ(1␈α␈/(1␈α
+␈↓ 	d␈εβ2␈↓ 
∧␈ε	x␈↓ 
;␈εβ))␈↓ 
]␈εβ.␈α!(␈α↓c␈α␈)
␈β
␈↓ ↓Z␈εn␈↓ β⊗␈εn␈↓ β&␈εε+1␈↓ ε6␈εn␈↓ λV␈εn
␈β
¬␈↓ αI␈ε↓P␈↓ 	*␈ε↓P
␈β
λ␈↓ ¬!␈εd␈↓ ¬0␈ε~∃␈εε1
␈β
∨␈↓ β9␈ε~␈␈↓ βR␈εd␈↓ λ⊗␈εd␈↓ 
~␈ε~␈␈↓ 
3␈εd
␈β
!␈↓ ¬P␈εα(␈↓ λj␈εα)␈↓ π␈εα(
␈β
$␈↓ ↓H␈ε	H␈↓ ↓m␈εβ(␈↓ ↓x␈ε	x␈↓ α
␈εβ)␈α	=␈↓ β)␈εβ2␈↓ βg␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αth␈α␈at␈↓ ¬\␈ε	Y␈↓ ε	␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε	x␈↓ εK␈εβan␈α␈d␈αε(1␈ε↔␈α↓␈␈↓ πF␈ε	Y␈↓ πj␈εβ)/␈↓ λ¬␈εβ2␈↓ λ.␈ε↔∀␈↓ λX␈ε	x␈↓ λ␈␈εβ=␈↓ 

␈εβ2␈↓ 
H␈εβm␈α␈ax␈↓ ∪␈εβ0␈α␈,
␈β
.␈↓ ↓]␈εn␈↓ ¬o␈εn␈↓ πY␈εn
␈β
6␈↓ αo␈εd␈↓ α⎇␈ε~∃␈εε1␈↓ 	P␈εd␈↓ 	↑␈ε~∃␈εε1
␈β
N␈↓ βI␈εd
␈β
O␈↓ βt␈εα)
␈β
R␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓y␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ αF␈ε	G␈↓ αl␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ β8␈εβ2␈↓ βW␈ε	x␈↓ βi␈εβ)␈↓ ∧␈εβ.
␈β
]␈↓ ↓↑␈εn␈↓ α\␈εn
␈β
z␈↓ α␈εβSt␈α␈arting␈αλwi␈α↓th␈↓ βU␈ε	G␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∀␈εβ)␈α
=␈↓ ∧S␈ε	x␈↓ ∧n␈εβw␈α␈e␈αλget␈α	ra␈α␈pid␈α	c␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce␈α␈s␈α	to␈α	a␈αλl␈α↓imiting␈αλdistribu␈α␈tion␈αλwhere
␈β¬␈↓ βk␈εε0
␈βI␈↓ αε␈εα(␈↓ βn␈εα)
␈βL␈↓ α∩␈ε	G␈↓ α+␈εβ(.1),␈↓ αj␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β⊗␈εβ,␈↓ β%␈ε	G␈↓ β>␈εβ(.9)␈↓ ∧β␈εβ=␈α
(.27␈α␈50,␈αε.4␈α␈346␈α␈,␈αε.554␈α␈4,␈αε.65␈α␈07,␈αε.7␈α␈310␈α␈,␈αε.799␈α␈5,␈αε.85␈α␈90,␈α¬.␈α↓9␈α␈114␈α␈,␈αε.958␈α␈1).
␈β	␈↓ λ∨␈ε↓R
␈β_␈↓ λ7␈εε1
␈β$␈↓ ∧*␈εα(␈↓ πj␈εα)
␈β'␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	ex␈α␈pect␈α␈ed␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈↓ ∧∂␈εβln␈↓ ∧6␈εβmax␈↓ ∧u␈εβ(␈↓ ¬␈ε	u␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬3␈ε	v␈↓ ¬R␈εβ)/␈↓ ¬x␈εβmax␈↓ ε7␈εβ(␈↓ εB␈ε	u␈↓ π␈εβ,␈↓ π≠␈ε	v␈↓ π←␈εβ)␈↓ λ␈εβis␈↓ λI␈ε	H␈↓ λo␈εβ(␈↓ λz␈ε	t␈↓ 	ε␈εβ)␈↓ 	⊗␈ε	d␈↓ 	)␈ε	t␈↓ 	5␈εβ/␈↓ 	E␈ε	t␈↓ 	Q␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α	Bren␈α}t␈α	ha␈α␈s
␈β2␈↓ ¬∀␈εn␈↓ ¬A␈εn␈↓ εV␈εn␈↓ εf␈εε+1␈↓ π)␈εn␈↓ π:␈εε+1␈↓ λ↑␈εn
␈β:␈↓ λ0␈εε0
␈βO␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈wn␈α
that␈αth␈α␈is␈αcan␈α
be␈αwritten
␈β
∞␈↓ αn␈ε↓Z␈↓ ∧Q␈ε↓Z␈↓ π?␈ε↓Z
␈β
∪␈↓ λ7␈ε
k
␈β
↔␈↓ β∩␈εε1␈↓ ∧u␈εε1/␈α␈3␈↓ πc␈εε1␈α␈/(1+␈↓ λ*␈εε2␈↓ λC␈εε)
␈β
_␈↓ εI␈ε↓X
␈β
'␈↓ β1␈ε	G␈↓ βW␈εβ(␈↓ βb␈ε	t␈↓ βn␈εβ)␈↓ ¬&␈ε	G␈↓ ¬M␈εβ(␈↓ ¬X␈ε	t␈↓ ¬d␈εβ)␈↓ λz␈ε	G␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	+␈ε	t␈↓ 	7␈εβ)
␈β
2␈↓ βG␈εn␈↓ ¬<␈εn␈↓ 	⊂␈εn
␈β
7␈↓ π∪␈ε~␈␈↓ π,␈εk
␈β
=␈↓ ∧β␈ε	d␈↓ ∧∃␈ε	t␈↓ ∧(␈ε↔␈␈↓ ¬z␈ε	d␈↓ ε
␈ε	t␈↓ ε ␈εβ+␈↓ πα␈εβ2␈↓ 	←␈ε	d␈↓ 	q␈ε	t␈↓ 	⎇␈εβ.
␈β
K␈↓ β1␈∧
Kβ1αI␈↓ ¬$␈∧
K¬$αM␈↓ λg␈∧
Kλgαo
␈β
U␈↓ βO␈ε	t␈↓ ¬$␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬e␈ε	t␈↓ λg␈ε	t␈↓ λs␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	>␈ε	t␈↓ 	J␈εβ)
␈β
↑␈↓ λ'␈ε
k␈↓ λ3␈επ+1
␈β
a␈↓ βα␈εε1␈α␈/3␈↓ ∧e␈εε0␈↓ πS␈εε1␈α␈/(1+␈↓ λ~␈εε2␈↓ λU␈εε)
␈β
n␈↓ εI␈εk␈↓ εV␈ε~∃␈εε1
␈β∞U␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβBy␈α	ind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
t␈α␈he␈α	len␈α␈gth␈α	is␈↓ ¬∀␈ε	m␈↓ ¬6␈εβ+␈ε↔␈α¬b␈↓ ¬i␈ε	n␈↓ ¬⎇␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ␈α	when␈↓ π	␈ε	m␈↓ π0␈ε↔∃␈↓ πZ␈ε	n␈↓ πn␈εβ,␈α
ex␈α␈c␈α␈ept␈α	th␈α␈at␈α	wh␈α␈en␈↓ 
β␈ε	m␈↓ 
)␈εβ=␈↓ 
T␈ε	n␈↓ 
q␈εβ=␈α
1
␈β∞|␈↓ ↓H␈εβth␈α␈ere␈αis␈ε⊂␈αno␈εβ␈α
pa␈α␈th␈αto␈α(0␈α␈,␈αε0).
␈β∂-␈↓ β>␈εn␈↓ ∧H␈εn
␈β∂.␈↓ β!␈εα(␈↓ ∧X␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	a␈↓ αu␈εβ=␈↓ β-␈εβ2␈↓ βV␈ε↔␈␈εβ␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧=␈εβ)␈↓ ∧d␈εβ/3;␈α
th␈α␈en␈↓ ¬i␈ε	a␈↓ ε¬␈εβ,␈↓ ε~␈ε	a␈↓ ε7␈εβ,␈↓ εL␈ε	a␈↓ εh␈εβ,␈↓ ε}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π0␈εβ=␈α0,␈α
1␈α␈,␈α
1,␈α3,␈α
5␈α␈,␈α
11␈α␈,␈α
21␈α␈,␈↓ 

␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
<␈εβ.␈α≤(Th␈α␈is
␈β∂<␈↓ αZ␈εn␈↓ ¬x␈εε0␈↓ ε*␈εε1␈↓ ε\␈εε2
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈αof␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈α
h␈α␈as␈αan␈αin␈α␈tere␈α␈sti␈α↓n␈α␈g␈αpa␈α␈ttern␈αof␈αzeros␈αan␈α␈d␈αon␈α␈es␈α
in␈αits␈αbina␈α␈ry␈αrepre␈α␈-
␈β∂⎇␈↓ λ{␈εn
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβse␈α␈n␈α␈tatio␈α␈n.␈α∀Note␈α∞th␈α␈at␈↓ ∧	␈ε	a␈↓ ∧7␈εβ=␈↓ ∧g␈ε	a␈↓ ¬6␈εβ+␈α	2␈↓ ¬q␈ε	a␈↓ ε7␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈↓ π∩␈ε	a␈↓ π<␈εβ+␈↓ πf␈ε	a␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λj␈εβ2␈↓ 	␈εβ.)␈α∨For␈↓ 
␈ε	m␈↓ 
,␈εβ>␈↓ 
[␈ε	n␈↓ 
o␈εβ,␈α∂l␈α↓e␈α␈t
␈β⊂␈↓ ∧_␈εn␈↓ ∧v␈εn␈↓ ¬ε␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε␈εn␈↓ ε⊃␈ε~␈␈εε2␈↓ π"␈εn␈↓ πv␈εn␈↓ λε␈εε+1
␈β⊂$␈↓ α/␈εm␈↓ αF␈εε+1
␈β⊂(␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α≡␈εβ2␈↓ αv␈ε↔␈␈↓ β"␈ε	a␈↓ βg␈εβ,␈↓ ∧↓␈ε	v␈↓ ∧#␈εβ=␈↓ ∧U␈ε	a␈↓ ¬≠␈εβ.␈α_F␈α↓o␈α␈r␈↓ ε␈ε	m␈↓ ε.␈εβ=␈↓ ε←␈ε	n␈↓ π∧␈εβ>␈α⊃0,␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ λ∃␈ε	u␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λk␈ε	a␈↓ 	1␈εβ,␈↓ 	K␈ε	v␈↓ 	m␈εβ=␈α⊃2␈↓ 
/␈ε	a␈↓ 
u␈εβ,␈α⊃o␈α␈r
␈β⊂3␈↓ β1␈εn␈↓ βB␈εε+2␈↓ ∧e␈εn␈↓ ∧u␈εε+2␈↓ λ{␈εn␈↓ 	␈εε+2␈↓ 
?␈εn␈↓ 
O␈εε+1
␈β⊂P␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓e␈εβ=␈α	2␈↓ α ␈ε	a␈↓ αf␈εβ,␈↓ αx␈ε	v␈↓ β∪␈εβ=␈↓ β>␈ε	a␈↓ ∧␈εβ(dep␈α␈end␈α␈ing␈α	o␈α␈n␈α	wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α	is␈α	l␈α↓a␈α␈rger).␈α
Ano␈α␈ther␈α	ex␈α␈am␈α␈ple␈α	for␈↓ 
β␈ε	m␈↓ 
)␈εβ=␈↓ 
T␈ε	n␈↓ 
q␈εβ>␈α
0
␈β⊂Z␈↓ α0␈εn␈↓ α@␈εε+1␈↓ βM␈εn␈↓ β]␈εε+␈α↓2
␈β⊂s␈↓ α@␈εn␈↓ αQ␈εε+1␈↓ ∧≥␈εn␈↓ ∧.␈εε+1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβis␈↓ ↓h␈ε	u␈↓ α¬␈εβ=␈↓ α0␈εβ2␈↓ α|␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈,␈↓ βH␈ε	v␈↓ βb␈εβ=␈↓ ∧
␈εβ2␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈αε2␈α␈;␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
ta␈α␈k␈α␈es␈α
m␈α␈ore␈α
sh␈α␈ifts,␈αan␈α␈d␈α
g␈α␈iv␈α␈es␈↓ λ}␈ε	C␈↓ 	"␈εβ=␈↓ 	L␈ε	n␈↓ 	f␈εβ+␈απ1␈α␈,␈↓ 
2␈ε	D␈↓ 
T␈εβ=␈α
2␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε	E␈↓ ↓h␈εβ=␈α
1␈α␈.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα576␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.2
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβThis␈αis␈αa␈α
pro␈α␈blem␈α
where␈α
it␈αap␈α␈pea␈α␈rs␈αto␈α
be␈αn␈α␈eces␈α␈sary␈α
to␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈ε⊂␈αmor␈α␈e␈εβ␈αtha␈α␈n␈α
w␈α↓a␈α␈s␈αask␈α}ed
␈βαS␈↓ ↓H␈εβju␈α␈st␈αλto␈απpro␈α}v␈α␈e␈απwhat␈απwas␈αλa␈α␈sk␈α␈ed␈α␈.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈αλu␈α␈s␈αλpro␈α}v␈α␈e␈απthe␈απfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g:␈ε⊂␈α	I␈α↓f␈↓ λ∃␈ε	u␈↓ λ1␈ε⊂an␈α␈d␈↓ λn␈ε	v␈↓ 	λ␈ε⊂a␈α␈re␈αλp␈α␈ositiv␈α␈e␈απi␈α↓n␈α}teg␈α␈ers,
␈βαz␈↓ ↓H␈ε⊂Algo␈α␈rithm␈αB␈α
d␈α␈oes␈ε↔␈α∀␈εβ␈α1␈α	+␈ε↔␈αλb␈↓ ∧S␈εβlg␈↓ ∧s␈εβm␈α␈ax␈↓ ¬1␈εβ(␈↓ ¬=␈ε	u␈↓ ¬Q␈εβ,␈↓ ¬←␈ε	v␈↓ ¬q␈εβ)␈ε↔c␈ε⊂␈αsub␈α␈traction␈αste␈α␈ps;␈α
and␈αif␈α
e␈α␈qu␈α␈ali␈α↓ty␈αh␈α␈olds␈α␈,␈α∞th␈α␈en
␈ββ"␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈εβlg␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	u␈↓ α∃␈εβ+␈↓ α>␈ε	v␈↓ αO␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	>␈ε↔␈α
b␈↓ β(␈εβlg␈↓ βG␈εβmax␈↓ ∧ε␈εβ(␈↓ ∧⊃␈ε	u␈↓ ∧%␈εβ,␈↓ ∧4␈ε	v␈↓ ∧F␈εβ)␈ε↔c␈ε⊂.
␈ββK␈↓ α␈εβFor␈αcon␈α}v␈α␈en␈α␈ienc␈α␈e,␈αlet␈αu␈α␈s␈αa␈α␈ssume␈αth␈α␈at␈↓ ε"␈ε	u␈↓ ε?␈ε↔∃␈↓ εj␈ε	v␈↓ ε|␈εβ;␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ πA␈ε	m␈↓ πg␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ λ∨␈εβlg␈↓ λ?␈ε	u␈↓ λS␈ε↔c␈εβ,␈↓ λt␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ=␈ε↔␈α	b␈↓ 	I␈εβl␈α↓g␈↓ 	i␈ε	v␈↓ 	z␈ε↔c␈εβ;␈αa␈α␈nd␈αlet␈αu␈α␈s
␈ββr␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈αth␈α␈e␈α\latt␈α␈i␈α↓ce␈α␈-poin␈α}t"␈αterm␈α␈i␈α↓n␈α␈olog␈α␈y,␈αsay␈α␈ing␈αth␈α␈at␈αw␈α␈e␈α
are␈α\␈α␈at␈αpo␈α␈in␈α␈t␈α(␈↓ 	␈ε	m␈↓ 	(␈εβ,␈↓ 	7␈ε	n␈↓ 	K␈εβ)."␈αThe␈α
proo␈α␈f␈αis
␈β∧~␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction␈αo␈α␈n␈↓ β:␈ε	m␈↓ β←␈εβ+␈↓ ∧π␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ.
␈β∧Q␈↓ α␈ε⊂Case␈α1␈εβ,␈↓ β∧␈ε	m␈↓ β+␈εβ=␈↓ βV␈ε	n␈↓ βk␈εβ.␈α~Clearly␈α␈,␈ε↔␈αb␈↓ ¬≠␈εβl␈α↓g␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	u␈↓ ¬\␈εβ+␈↓ ε¬␈ε	v␈↓ ε⊗␈εβ)␈ε↔␈α↓c␈εβ␈α
>␈ε↔␈α
b␈↓ εq␈εβlg␈↓ π⊂␈ε	u␈↓ π%␈ε↔c␈εβ␈αin␈αthis␈αca␈α␈se.␈α
If␈↓ 	→␈ε	u␈↓ 	7␈εβ=␈↓ 	b␈ε	v␈↓ 	␈␈εβthe␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αis
␈β∧y␈↓ ↓H␈εβtriv␈α␈i␈α↓a␈α␈l;␈α∞oth␈α␈erwise␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈ex␈α␈t␈α
su␈α␈btra␈α␈ction-sh␈α␈ift␈α
cy␈α}cl␈α↓e␈αtak␈α}es␈α
u␈α␈s␈α
to␈αa␈αpo␈α␈i␈α↓n␈α}t␈α
(␈↓ 	T␈ε	m␈↓ 	z␈ε↔␈␈↓ 
#␈ε	k␈↓ 
4␈εβ,␈↓ 
B␈ε	m␈↓ 
`␈εβ).␈α⊂By
␈β¬ ␈↓ ↓H␈εβin␈α␈du␈α␈ction,␈α
at␈α
m␈α␈ost␈↓ β\␈ε	m␈↓ β␈␈εβ+␈αε1␈α
furth␈α␈er␈α
su␈α␈btra␈α␈ction␈α
s␈α␈teps␈α
will␈α
be␈α
req␈α␈uired␈α␈;␈αb␈α␈ut␈α
if␈↓ 	␈␈ε	m␈↓ 
"␈εβ+␈απ1␈α	more
␈β¬D␈↓ ¬"␈ε~␈␈↓ ¬;␈εr
␈β¬E␈↓ ∧≤␈εα(␈↓ επ␈εα)
␈β¬H␈↓ ↓H␈ε⊂a␈α␈re␈εβ␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈α␈,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈αb␈↓ ∧α␈εβlg␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧M␈ε↔␈␈↓ ∧u␈ε	v␈↓ ¬ε␈εβ)␈↓ ¬∩␈εβ2␈↓ ¬N␈εβ+␈↓ ¬v␈ε	v␈↓ ε∪␈ε↔c␈εβ␈α
>␈ε↔␈α	b␈↓ εa␈εβlg␈↓ π↓␈ε	v␈↓ π∩␈ε↔c␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ λ∩␈ε	r␈↓ λ*␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α
is␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αo␈α␈f␈αrigh␈α}t
␈β¬l␈↓ λλ␈ε~␈␈↓ λ"␈εr
␈β¬p␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈ifts␈αthat␈αw␈α␈ere␈αmad␈α␈e.␈α∂Th␈α␈is␈α
is␈αimp␈α␈ossible,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈α(␈↓ π⊗␈ε	u␈↓ π2␈ε↔␈␈↓ π[␈ε	v␈↓ πm␈εβ)␈↓ πx␈εβ2␈↓ λ6␈εβ+␈↓ λ←␈ε	v␈↓ λ|␈εβ<␈α(␈↓ 	3␈ε	u␈↓ 	O␈ε↔␈␈↓ 	y␈ε	v␈↓ 

␈εβ)␈αλ+␈↓ 
G␈ε	v␈↓ 
c␈εβ=␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈βε↔␈↓ ↓H␈εβS␈α␈o␈αat␈αm␈α␈ost␈↓ αp␈ε	m␈↓ β_␈εβfurth␈α␈er␈αstep␈α␈s␈αare␈αn␈α␈eede␈α␈d.
␈βεO␈↓ α␈ε⊂Case␈α2␈εβ␈α␈,␈↓ β¬␈ε	m␈↓ β.␈εβ>␈↓ β[␈ε	n␈↓ βo␈εβ.␈α≠The␈αne␈α␈xt␈αsub␈α␈tract␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αstep␈αta␈α␈k␈α␈es␈αus␈αto␈α(␈↓ λW␈ε	m␈↓ λ|␈ε↔␈␈↓ 	&␈ε	k␈↓ 	6␈εβ,␈↓ 	E␈ε	n␈↓ 	Y␈εβ),␈α
an␈α␈d␈αat␈αmos␈α␈t
␈βεv␈↓ ↓H␈εβ1␈αλ+␈↓ α␈εβma␈α␈x␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε	m␈↓ α|␈ε↔␈␈↓ β'␈ε	k␈↓ β7␈εβ,␈↓ βF␈ε	n␈↓ βZ␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ ∧"␈ε	m␈↓ ∧M␈εβfurt␈α␈her␈α∞s␈α␈teps␈α
w␈α↓ill␈α∞be␈α
requ␈α␈ired.␈α∪No␈α␈w␈α
i␈α↓f␈↓ 	␈ε	m␈↓ 	7␈εβfu␈α␈rthe␈α␈r␈α∞step␈α␈s␈ε⊂␈α∞are
␈βπ~␈↓ ε∂␈ε~0␈↓ πF␈ε~␈␈↓ π←␈εr
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quired␈α␈,␈αth␈α␈en␈↓ β∨␈ε	u␈↓ β>␈εβh␈α␈as␈αbee␈α␈n␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αb␈α␈y␈↓ ¬{␈ε	u␈↓ ε∨␈εβ=␈α	(␈↓ εU␈ε	u␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π→␈ε	v␈↓ π*␈εβ)␈↓ π5␈εβ2␈↓ πw␈εβfo␈α␈r␈αso␈α␈me␈↓ λ}␈ε	r␈↓ 	⊗␈ε↔∃␈εβ␈α
1.␈αB␈α↓y␈α
i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈α␈,
␈βπA␈↓ α∞␈ε~0
␈βπE␈↓ ↓H␈ε↔b␈↓ ↓U␈εβlg␈↓ ↓n␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	u␈↓ α≠␈εβ+␈↓ αD␈ε	v␈↓ αU␈εβ)␈ε↔c␈α
∃␈↓ β!␈ε	m␈↓ β?␈εβ;␈αh␈α␈enc␈α␈e
␈βλ∩␈↓ πF␈ε~0
␈βλ∃␈↓ ∧B␈εα(␈↓ ε≥␈εα)
␈βλ_␈↓ α2␈ε↔b␈↓ α?␈εβlg␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε	u␈↓ β␈εβ+␈↓ β(␈ε	v␈↓ β:␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	=␈ε↔␈α	b␈↓ ∧∩␈εβl␈α↓g␈↓ ∧2␈εβ2␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	u␈↓ ∧u␈ε↔␈␈↓ ¬≡␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ)/2␈απ+␈↓ ε␈ε	v␈↓ ε)␈ε↔c␈α	∃␈α
b␈↓ εw␈εβlg␈↓ π⊗␈εβ2(␈↓ π2␈ε	u␈↓ πT␈εβ+␈↓ π|␈ε	v␈↓ λ∞␈εβ)␈ε↔c␈α	∃␈↓ λZ␈ε	m␈↓ λ}␈εβ+␈αλ1␈α	>␈ε↔␈α	b␈↓ 	x␈εβl␈α↓g␈↓ 
_␈ε	u␈↓ 
,␈ε↔c␈εβ.
␈βλ{␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβSu␈α␈bt␈α␈ract␈α
the␈↓ βM␈ε	k␈↓ β↑␈εβt␈α␈h␈α
colum␈α␈n␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈α
the␈α
2␈↓ ε∀␈ε	k␈↓ ε$␈εβth,␈α3␈↓ εh␈ε	k␈↓ εy␈εβth␈α␈,␈α4␈↓ π=␈ε	k␈↓ πM␈εβth␈α␈,␈αetc.,␈αfor␈↓ λ{␈ε	k␈↓ 	∃␈εβ=␈α	1,␈α2,␈α
3,␈↓ 
-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
←␈εβ.␈αThe
␈β	∧␈↓ 
'␈ε↓P
␈β	"␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sult␈α
is␈α	a␈α
trian␈α␈gu␈α␈lar␈α
m␈α␈atrix␈α	wi␈α↓th␈↓ ¬-␈ε	x␈↓ ¬S␈εβon␈α	th␈α␈e␈α
d␈α␈iago␈α␈na␈α␈l␈α
i␈α↓n␈α	c␈α␈olumn␈↓ λT␈ε	k␈↓ λd␈εβ,␈α
where␈↓ 	V␈ε	m␈↓ 	|␈εβ=␈↓ ¬␈ε	x␈↓ #␈εβ.
␈β	-␈↓ ¬<␈εk␈↓ ∃␈εd
␈β	5␈↓ 
M␈εd␈↓ 
\␈ε~∧␈↓ 
h␈εm
␈β	O␈↓ ↓H␈εβIt␈αλfollo␈α␈ws␈αλth␈α␈at␈↓ β_␈ε	x␈↓ βH␈εβ=␈↓ βs␈ε	⎇␈↓ ∧λ␈εβ(␈↓ ∧∪␈ε	m␈↓ ∧1␈εβ),␈α	so␈απthe␈αλd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈αλis␈↓ π↓␈ε	⎇␈↓ π⊗␈εβ(␈α↓1␈α␈)␈↓ π=␈ε	⎇␈↓ πS␈εβ(2␈α␈)␈↓ π␈␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ,␈ε	⎇␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε	n␈↓ λ`␈εβ).␈α∩[In␈αλge␈α␈nera␈α␈l␈α↓,␈α	\␈α␈Smith␈α␈'s
␈β	Z␈↓ β(␈εm
␈β	t␈↓ ε`␈εα(␈↓ π↑␈εα)
␈β	w␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t,␈α↓"␈αin␈αwhich␈αth␈α␈e␈α
(␈↓ ∧o␈ε	i␈↓ ∧|␈εβ,␈↓ ¬
␈ε	j␈↓ ¬→␈εβ)␈α
elem␈α␈en␈α␈t␈αi␈α↓s␈↓ εP␈ε	f␈↓ εl␈εβg␈α␈cd␈↓ π≡␈εβ(␈↓ π)␈ε	i␈↓ π6␈εβ,␈↓ πD␈ε	j␈↓ πS␈εβ)␈↓ πw␈εβfor␈αan␈αa␈α␈rbitrary␈αfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈↓ 
p␈ε	f␈↓ ␈εβ,␈α
is
␈β
␈↓ αB␈ε↓Q␈↓ βP␈ε↓P
␈β
∨␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈l␈α	to␈↓ ∧.␈ε	⊗␈↓ ∧@␈εβ(␈↓ ∧K␈ε	m␈↓ ∧i␈εβ/␈↓ ∧y␈ε	d␈↓ ¬␈εβ)␈↓ ¬↔␈ε	f␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε	d␈↓ ¬D␈εβ),␈α	by␈αλt␈α␈he␈αλsam␈α␈e␈αλargu␈α␈men␈α}t.␈αS␈α␈ee␈αλL.␈α	E.␈α	D␈α␈i␈α↓c␈α␈kson␈α␈,␈ε⊂␈α	History
␈β
1␈↓ αd␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ β	␈εm␈↓ β!␈ε~∀␈↓ β:␈εn␈↓ βv␈εd␈↓ ∧∧␈ε~∧␈↓ ∧⊃␈εm
␈β
K␈↓ ↓H␈ε⊂o␈α␈f␈αthe␈αTh␈α␈eory␈α
of␈αNum␈α}bers␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Ne␈α␈w␈αY␈α↓o␈α␈rk:␈αCh␈α␈elsea,␈α19␈α␈52),␈α122␈α␈↑1␈α␈23.]
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβTo␈α
dete␈α␈rmine␈↓ β`␈ε	A␈↓ ∧∧␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧G␈ε	r␈↓ ∧c␈εβsuc␈α␈h␈α
tha␈α␈t␈↓ ¬|␈ε	u␈↓ ε≥␈εβ=␈↓ εL␈ε	A␈↓ εb␈ε	v␈↓ ε|␈εβ+␈↓ π'␈ε	r␈↓ π5␈εβ,␈α∂0␈ε↔␈α
∀␈↓ λ→␈ε	r␈↓ λ5␈εβ<␈↓ λd␈ε	v␈↓ λu␈εβ,␈α∂u␈α␈sing␈α
ord␈α␈ina␈α␈ry␈α
l␈α↓o␈α␈ng
␈β'␈↓ β8␈εα(␈↓ ¬8␈εα)
␈β*␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈α␈,␈αta␈α␈k␈α␈es␈↓ β ␈ε	O␈↓ βD␈εβ(␈α↓1␈α¬+␈↓ ∧
␈εβlo␈α␈g␈↓ ∧=␈ε	A␈↓ ∧S␈εβ)(␈↓ ∧i␈εβlog␈↓ ¬→␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ)␈↓ ¬N␈εβun␈α␈its␈α
of␈α	ti␈α↓m␈α␈e.␈αIf␈α
th␈α␈e␈α
q␈α␈uotien␈α}ts␈α
d␈α␈uring␈α	th␈α␈e␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈↓ αβ␈ε	A␈↓ α%␈εβ,␈↓ α=␈ε	A␈↓ α←␈εβ,␈↓ αx␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β$␈εβ,␈↓ β=␈ε	A␈↓ βi␈εβ,␈α⊂the␈α␈n␈↓ ∧R␈ε	A␈↓ ∧s␈ε	A␈↓ ¬≠␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬G␈ε	A␈↓ εβ␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε	u␈↓ εG␈εβ,␈α⊂so␈↓ π␈εβlog␈↓ π<␈ε	A␈↓ πh␈εβ+␈↓ λ∪␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λC␈εβ+␈↓ λn␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	∨␈ε	A␈↓ 	Z␈ε↔∀␈↓ 
␈εβlog␈↓ 
;␈ε	u␈↓ 
O␈εβ.␈α⊗Also
␈β]␈↓ α_␈εε1␈↓ αR␈εε2␈↓ βR␈εm␈↓ ∧g␈εε1␈↓ ¬	␈εε2␈↓ ¬]␈εm␈↓ πR␈εε1␈↓ 	4␈εm
␈βz␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈ε	O␈↓ α1␈εβ(␈↓ α<␈εβlog␈↓ αl␈ε	u␈↓ β␈εβ).
␈β-␈↓ ∧#␈εu␈↓ ¬g␈εv␈↓ π
␈εu␈↓ π!␈εεmod␈↓ πU␈εv
␈β1␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβIn␈αgen␈α␈eral,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α(␈↓ ∧∩␈ε	a␈↓ ∧<␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬π␈εβm␈α␈od␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬V␈ε	a␈↓ ¬⎇␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈α=␈↓ ε|␈ε	a␈↓ πl␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
(cf.␈α
Eq.␈α4.3.2↑1␈α␈9),␈α
w␈α␈e␈α
|␈α␈nd
␈βT␈↓ α]␈εm␈↓ βU␈εn␈↓ ∧u␈εεgcd␈↓ ¬≠␈εε(␈↓ ¬#␈εm␈↓ ¬:␈εε,␈↓ ¬A␈εn␈↓ ¬R␈εε)
␈βY␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈εβg␈α␈cd␈↓ αB␈εβ(␈↓ αM␈ε	a␈↓ α|␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ βD␈ε	a␈↓ βl␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α	=␈↓ ∧d␈ε	a␈↓ ¬b␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓l␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers␈↓ λ}␈ε	a␈↓ 	∞␈εβ.
␈β
␈↓ ∧↔␈εε2
␈β

␈↓ β≥␈εα(␈↓ ¬.␈εα)
␈β
⊂␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβYes,␈α∂to␈↓ β¬␈ε	O␈↓ β)␈ε	n␈↓ β=␈εβ(␈↓ βH␈εβlog␈↓ βx␈ε	n␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧$␈εβ(␈↓ ∧/␈εβlog␈↓ ∧←␈εβlog␈↓ ¬∂␈ε	n␈↓ ¬#␈εβ)␈↓ ¬:␈εβ,␈α⊂e␈α␈v␈α␈en␈α∞if␈α∂w␈α␈e␈α∞also␈α∞ne␈α␈ed␈α∞to␈α∞com␈α␈pu␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∞sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∂o␈α␈f
␈β
7␈↓ ↓H␈εβp␈α␈artial␈α∞quo␈α␈tien␈α␈ts␈α∞tha␈α␈t␈α∂w␈α␈o␈α␈uld␈α∞be␈α∞co␈α␈mpu␈α␈ted␈α∞b␈α␈y␈α∂Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α∂a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α␈;␈α⊃see␈α∞A.␈α∂S␈α␈ch␈↓ 
=␈εβ∪␈↓ 
=␈εβo␈↓ 
N␈εβnh␈α␈ag␈α␈e,
␈β
←␈↓ ↓H␈ε⊂Ac␈α␈ta␈αIn␈α␈forma␈α␈ti␈α↓c␈α␈a␈ε∪␈α1␈εβ␈α
(19␈α␈71),␈α1␈α␈39↑␈α␈14␈α␈4.␈α_[␈α↓Bu␈α␈t␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
L␈αis␈αb␈α␈etter␈α
i␈α↓n␈α
p␈α␈ractice␈α
un␈α␈less␈↓ 
x␈ε	n␈↓ ⊗␈εβis
␈β∞π␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xtrem␈α␈ely␈αlarge␈α␈.␈α↓]
␈β∞>␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβKeep␈α	trac␈α␈k␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
mos␈α␈t␈αs␈α␈i␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈α
a␈α␈nd␈α	l␈α↓e␈α␈ast␈α
sign␈α␈i␈α↓|␈α␈can␈α}t␈α
w␈α␈ord␈α␈s␈α
of␈α
the␈α
o␈α␈pe␈α␈rand␈α␈s␈α
(the
␈β∞f␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈αλsi␈α↓g␈α␈ni|c␈α␈an␈α␈t␈αλis␈α	u␈α␈sed␈αλto␈αλgu␈α␈ess␈αλthe␈αλsign␈αλo␈α␈f␈↓ ε1␈ε	t␈↓ εE␈εβan␈α␈d␈αλthe␈αλleast␈αλsigni|␈α␈can␈α}t␈α	is␈αλto␈αλdete␈α␈rmine␈αλthe
␈β∂
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈mou␈α␈n␈α␈t␈α	of␈α
righ␈α}t␈α
shift),␈α
while␈α
b␈α␈uilding␈α	a␈α	2␈ε↔␈αεα␈εβ␈α¬2␈α
ma␈α␈trix␈↓ πG␈ε	A␈↓ πg␈εβo␈α␈f␈α
sing␈α␈l␈α↓e-p␈α␈recision␈α	in␈α␈teg␈α␈ers␈α
su␈α␈ch
␈β∂↔␈↓ α&␈ε↓␈␈↓ αD␈ε↓↓␈↓ βε␈ε↓␈␈↓ β>␈ε↓↓
␈β∂-␈↓ β$␈ε≠0
␈β∂1␈↓ α4␈εu␈↓ β∀␈εu␈↓ β*␈εw
␈β∂5␈↓ 	→␈ε~0␈↓ 	|␈ε~0
␈β∂9␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α⊂␈ε	A␈↓ α[␈εβ=␈↓ βL␈εβ,␈αwher␈α␈e␈↓ ∧@␈ε	w␈↓ ∧d␈εβis␈αthe␈αc␈α␈omp␈α␈uter␈αw␈α␈o␈α␈rd␈αsize␈αa␈α␈nd␈α
w␈α↓h␈α␈ere␈↓ 	¬␈ε	u␈↓ 	*␈εβan␈α␈d␈↓ 	k␈ε	v␈↓ 

␈εβare␈αsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈r
␈β∂F␈↓ β#␈ε≠0
␈β∂I␈↓ α5␈εv␈↓ β∃␈εv␈↓ β)␈εw
␈β∂`␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈↓ α∀␈ε	u␈↓ α2␈εβa␈α␈nd␈↓ αq␈ε	v␈↓ ββ␈εβ.␈α⊗(In␈α␈stead␈α	of␈α
d␈α␈ividin␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
sim␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α␈ted␈α	od␈α␈d␈α
o␈α␈pera␈α␈nd␈α	by␈α	2␈α␈,␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈α
th␈α␈e␈α
o␈α␈the␈α␈r
␈β⊂λ␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ne␈αby␈α2,␈αun␈α}ti␈α↓l␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αm␈α␈ultiples␈αo␈α␈f␈↓ ¬x␈ε	w␈↓ ε≥␈εβa␈α␈fter␈αex␈α␈actly␈↓ πb␈εβl␈α↓g␈↓ λα␈ε	w␈↓ λ&␈εβshifts.)␈α≠Exp␈α␈erimen␈α}ts␈αsho␈α}w
␈β⊂/␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αalgorith␈α␈m␈αrun␈α␈nin␈α␈g␈αfou␈α␈r␈αti␈α↓m␈α␈es␈αas␈αfast␈αa␈α␈s␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
L␈↓ λβ␈εβ,␈αon␈α
at␈αleast␈αo␈α␈ne␈αc␈α␈omp␈α␈uter.
␈β⊂g␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβ(So␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α
by␈αM␈α␈icha␈α␈el␈αPen␈α␈k.)
␈β⊃≡␈↓ ↓O␈ε∪Y1.␈↓ α␈εβ[Fi␈α↓n␈α␈d␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈α2.]␈α→Sa␈α␈me␈αas␈αste␈α␈p␈αB1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα577
␈βα*␈↓ ↓O␈ε∪Y2.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α≥S␈α␈et␈α
(␈↓ ∧λ␈ε	u␈↓ ∧(␈εβ,␈↓ ∧7␈ε	u␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧e␈ε	u␈↓ ¬¬␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(1,␈αε0␈α␈,␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε'␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α(␈↓ π␈ε	v␈↓ π(␈εβ,␈↓ π7␈ε	v␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε	v␈↓ π|␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(␈↓ λK␈ε	v␈↓ λ]␈εβ,␈αε1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	.␈ε	u␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 	Q␈ε	v␈↓ 	c␈εβ).␈α⊂If␈↓ 
*␈ε	u␈↓ 
K␈εβis␈α
o␈α␈dd␈α␈,
␈βα5␈↓ ∧≠␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ ∧x␈εε3␈↓ π≠␈εε1␈↓ πE␈εε2␈↓ πo␈εε3
␈βαR␈↓ α␈εβset␈α(␈↓ αK␈ε	t␈↓ αb␈εβ,␈↓ αp␈ε	t␈↓ βπ␈εβ,␈↓ β⊗␈ε	t␈↓ β,␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	(0,␈ε↔␈αε␈␈εβ1,␈ε↔␈α¬␈␈↓ ∧x␈ε	v␈↓ ¬	␈εβ)␈αan␈α␈d␈αgo␈α
to␈αY4.␈αOthe␈α␈rwi␈α↓se␈α
set␈α(␈↓ λN␈ε	t␈↓ λe␈εβ,␈↓ λt␈ε	t␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	→␈ε	t␈↓ 	0␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
(1␈α␈,␈αε0,␈↓ 
9␈ε	u␈↓ 
M␈εβ).
␈βα\␈↓ αU␈εε1␈↓ αz␈εε2␈↓ β ␈εε3␈↓ λX␈εε1␈↓ λ}␈εε2␈↓ 	#␈εε3
␈βββ␈↓ ↓O␈ε∪Y3.␈↓ α␈εβ[Halv␈α␈e␈↓ αu␈ε	t␈↓ β␈εβ.]␈α∨If␈↓ βa␈ε	t␈↓ ∧¬␈εβan␈α␈d␈↓ ∧I␈ε	t␈↓ ∧m␈εβare␈α
bo␈α␈th␈α∞e␈α␈v␈α␈en␈α␈,␈α∂set␈α∞(␈↓ π∪␈ε	t␈↓ π)␈εβ,␈↓ π8␈ε	t␈↓ πO␈εβ,␈↓ π]␈ε	t␈↓ πt␈εβ)␈ε↔␈α∞ ␈εβ␈α∞(␈↓ λG␈ε	t␈↓ λ↑␈εβ,␈↓ λl␈ε	t␈↓ 	β␈εβ,␈↓ 	∩␈ε	t␈↓ 	(␈εβ)/2;␈α∂oth␈α␈erwise␈α∞se␈α␈t
␈ββ∞␈↓ α␈␈εε3␈↓ βk␈εε1␈↓ ∧S␈εε2␈↓ π≥␈εε1␈↓ πB␈εε2␈↓ πg␈εε3␈↓ λQ␈εε1␈↓ λv␈εε2␈↓ 	≤␈εε3
␈ββ+␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	t␈↓ α.␈εβ,␈↓ α=␈ε	t␈↓ αS␈εβ,␈↓ αb␈ε	t␈↓ αx␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	(␈↓ βB␈ε	t␈↓ βY␈εβ+␈↓ β{␈ε	v␈↓ ∧␈εβ,␈↓ ∧≠␈ε	t␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧S␈ε	u␈↓ ∧g␈εβ,␈↓ ∧v␈ε	t␈↓ ¬
␈εβ)/␈α␈2.␈α(In␈α¬the␈α¬latter␈α¬case,␈↓ πQ␈ε	t␈↓ πg␈εβ+␈↓ λ	␈ε	v␈↓ λ ␈εβan␈α␈d␈↓ λ[␈ε	t␈↓ λr␈ε↔␈␈↓ 	∀␈ε	u␈↓ 	.␈εβwill␈αεbo␈α␈th␈α¬be␈α¬ev␈α␈en␈α␈.)
␈ββ5␈↓ α!␈εε1␈↓ αF␈εε2␈↓ αl␈εε3␈↓ βL␈εε1␈↓ ∧%␈εε2␈↓ ¬␈εε3␈↓ π[␈εε1␈↓ λe␈εε2
␈ββ\␈↓ ↓O␈ε∪Y4.␈↓ α␈εβ[Is␈↓ α8␈ε	t␈↓ αZ␈εβev␈α}en?]␈α→If␈↓ βl␈ε	t␈↓ ∧∞␈εβis␈αev␈α␈en␈α␈,␈αgo␈αb␈α␈ack␈α
to␈αY3.
␈ββg␈↓ αB␈εε3␈↓ βv␈εε3
␈β∧
␈↓ ↓O␈ε∪Y5.␈↓ α␈εβ[Reset␈↓ αn␈εβm␈α␈ax␈↓ β,␈εβ(␈↓ β8␈ε	u␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε	v␈↓ ∧↓␈εβ).␈α↓]␈α⊃If␈↓ ∧M␈ε	t␈↓ ∧m␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α	set␈αλ(␈↓ ¬v␈ε	u␈↓ ε∃␈εβ,␈↓ ε$␈ε	u␈↓ εD␈εβ,␈↓ εS␈ε	u␈↓ εs␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α	(␈↓ π=␈ε	t␈↓ πS␈εβ,␈↓ πb␈ε	t␈↓ πx␈εβ,␈↓ λπ␈ε	t␈↓ λ≡␈εβ);␈α	oth␈α␈erwise␈αλse␈α␈t␈αλ(␈↓ 
π␈ε	v␈↓ 
#␈εβ,␈↓ 
1␈ε	v␈↓ 
M␈εβ,␈↓ 
[␈ε	v␈↓ 
w␈εβ)␈ε↔␈α	 
␈β∧_␈↓ βK␈εε3␈↓ βu␈εε3␈↓ ∧W␈εε3␈↓ ε	␈εε1␈↓ ε7␈εε2␈↓ εf␈εε3␈↓ πF␈εε1␈↓ πl␈εε2␈↓ λ⊃␈εε3␈↓ 
⊗␈εε1␈↓ 
@␈εε2␈↓ 
j␈εε3
␈β∧5␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	v␈↓ α0␈ε↔␈␈↓ αY␈ε	t␈↓ αo␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ β∨␈ε	u␈↓ β;␈ε↔␈␈↓ βc␈ε	t␈↓ βz␈εβ,␈ε↔␈αε␈␈↓ ∧*␈ε	t␈↓ ∧A␈εβ).
␈β∧@␈↓ αc␈εε1␈↓ βm␈εε2␈↓ ∧4␈εε3
␈β∧f␈↓ ↓O␈ε∪Y6.␈↓ α␈εβ[Su␈α␈btra␈α␈ct.]␈α≤S␈α␈et␈α(␈↓ ∧ε␈ε	t␈↓ ∧≥␈εβ,␈↓ ∧,␈ε	t␈↓ ∧B␈εβ,␈↓ ∧Q␈ε	t␈↓ ∧h␈εβ)␈ε↔␈α ␈εβ␈α(␈↓ ¬5␈ε	u␈↓ ¬U␈εβ,␈↓ ¬d␈ε	u␈↓ ε∧␈εβ,␈↓ ε∩␈ε	u␈↓ ε2␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(␈↓ εz␈ε	v␈↓ π∃␈εβ,␈↓ π$␈ε	v␈↓ π?␈εβ,␈↓ πN␈ε	v␈↓ πi␈εβ)␈α↓.␈α∞The␈α␈n␈αif␈↓ 	¬␈ε	t␈↓ 	&␈εβ<␈α0␈α␈,␈α
set␈α(␈↓ 
9␈ε	t␈↓ 
P␈εβ,␈↓ 
↑␈ε	t␈↓ 
u␈εβ)␈ε↔␈α 
␈β∧q␈↓ ∧⊂␈εε1␈↓ ∧6␈εε2␈↓ ∧[␈εε3␈↓ ¬I␈εε1␈↓ ¬w␈εε2␈↓ ε&␈εε3␈↓ π	␈εε1␈↓ π3␈εε2␈↓ π]␈εε3␈↓ 	∂␈εε1␈↓ 
C␈εε1␈↓ 
h␈εε2
␈β¬∞␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	t␈↓ α4␈εβ+␈↓ α[␈ε	v␈↓ αl␈εβ,␈↓ α{␈ε	t␈↓ β_␈ε↔␈␈↓ β?␈ε	u␈↓ βS␈εβ).␈αIf␈↓ ∧∩␈ε	t␈↓ ∧2␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αg␈α␈o␈α
ba␈α␈ck␈α
to␈α	B3.␈αOth␈α␈erwise␈α
the␈α	algorith␈α␈m␈α
termin␈α␈ates␈α
with
␈β¬_␈↓ α!␈εε1␈↓ β¬␈εε2␈↓ ∧≤␈εε3
␈β¬1␈↓ β=␈εk
␈β¬5␈↓ α␈εβ(␈↓ α↔␈ε	u␈↓ α7␈εβ,␈↓ αF␈ε	u␈↓ αe␈εβ,␈↓ αt␈ε	u␈↓ β≠␈ε↔↓␈↓ β,␈εβ2␈↓ βJ␈εβ)␈αas␈αth␈α␈e␈αou␈α␈tpu␈α␈t.
␈β¬7␈↓ ¬R␈∧¬7¬R≠∂
␈β¬@␈↓ α*␈εε1␈↓ αY␈εε2␈↓ βπ␈εε3
␈β¬p␈↓ α␈εβIt␈α∞is␈α∂c␈α␈l␈α↓e␈α␈ar␈α∞tha␈α␈t␈α∞the␈α∞rela␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈α∞in␈α∞(16␈α␈)␈α∞are␈α∞pr␈α␈eserv␈α␈e␈α␈d,␈α∂an␈α␈d␈α∞th␈α␈at␈α∞0␈ε↔␈α∞∀␈↓ 	e␈ε	u␈↓ 
∧␈εβ,␈↓ 
∪␈ε	v␈↓ 
.␈εβ,␈↓ 
=␈ε	t␈↓ 
b␈ε↔∀␈↓ ∩␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈β¬{␈↓ 	x␈εε1␈↓ 
"␈εε1␈↓ 
G␈εε1
␈βε_␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α∃␈↓ α∀␈ε	u␈↓ α3␈εβ,␈↓ αB␈ε	v␈↓ α↑␈εβ,␈↓ αl␈ε	t␈↓ β⊂␈ε↔∃␈α
␈␈↓ β`␈ε	u␈↓ ∧↓␈εβafter␈α
ea␈α␈ch␈α
of␈α
step␈α␈s␈α∞Y2␈α␈↑Y6.␈α∩If␈↓ πA␈ε	u␈↓ πb␈εβis␈α∞o␈α␈dd␈α
a␈α␈fter␈α∞st␈α␈ep␈α
Y2,␈α∞the␈α␈n␈α
step
␈βε#␈↓ α'␈εε2␈↓ αQ␈εε2␈↓ αv␈εε2
␈βε@␈↓ ↓H␈εβY3␈αcan␈αbe␈αsi␈α↓m␈α␈pli|ed␈α␈,␈α
sin␈α␈ce␈↓ ∧Z␈ε	t␈↓ ∧|␈εβand␈↓ ¬>␈ε	t␈↓ ¬a␈εβa␈α␈re␈αb␈α␈oth␈αev␈α␈en␈αi{␈↓ π←␈ε	t␈↓ λ↓␈εβis␈αev␈α␈e␈α␈n;␈α
similarly␈α␈,␈α
if␈↓ 
.␈ε	v␈↓ 
K␈εβi␈α↓s␈αo␈α␈dd␈α␈,
␈βεJ␈↓ ∧d␈εε1␈↓ ¬H␈εε2␈↓ πi␈εε2
␈βεg␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α⊗␈ε	t␈↓ α9␈εβand␈↓ α|␈ε	t␈↓ β ␈εβare␈α
b␈α␈oth␈αev␈α␈en␈αi{␈↓ ¬#␈ε	t␈↓ ¬G␈εβis␈α
ev␈α␈e␈α␈n.␈α∩Th␈α}us,␈α∞a␈α␈s␈α
i␈α↓n␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
X,␈α
it␈α
i␈α↓s␈α
p␈α␈ossible␈α
to
␈βεr␈↓ α ␈εε1␈↓ βε␈εε2␈↓ ¬-␈εε1
␈βπ∂␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈pp␈α␈ress␈αall␈αc␈α␈alculat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns␈αin␈α␈v␈α␈o␈α␈lving␈↓ ¬B␈ε	u␈↓ ¬a␈εβ,␈↓ ¬v␈ε	v␈↓ ε⊃␈εβ,␈αan␈α␈d␈↓ εg␈ε	t␈↓ ε}␈εβ,␈αpro␈α␈v␈α␈ided␈α
that␈↓ λe␈ε	v␈↓ 	α␈εβis␈αod␈α␈d␈αafter␈αstep␈α
Y␈α↓2␈α␈.
␈βπ→␈↓ ¬U␈εε2␈↓ ε¬␈εε2␈↓ εq␈εε2
␈βπ6␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈is␈αcon␈α␈dition␈αi␈α↓s␈αo␈α␈ften␈αk␈α␈no␈α}wn␈αin␈αa␈α␈dv␈α␈an␈α␈ce␈α(e.g.,␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ π←␈ε	v␈↓ π⎇␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αan␈α␈d␈αw␈α␈e␈αa␈α␈re␈αtry␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto
␈βπZ␈↓ αc␈ε~␈␈εε1
␈βπ↑␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ αO␈ε	u␈↓ β∀␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ∧
␈ε	v␈↓ ∧≠␈εβ).
␈βλV␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.3
␈β	%␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβThe␈α
run␈α␈ning␈α
ti␈α↓m␈α␈e␈αi␈α↓s␈αa␈α␈bo␈α␈ut␈α19␈α␈.02␈↓ ¬d␈ε	T␈↓ εα␈εβ+␈αλ6,␈αjust␈αa␈α
tri␈α↓⎇␈α␈e␈αslo␈α␈w␈α␈er␈αth␈α␈an␈αProg␈α␈ram␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.2A.
␈β	P␈↓ α␈ε↓∩␈↓ π<␈ε↓∪
␈β	V␈↓ α&␈ε	Q␈↓ αL␈εβ(␈↓ αW␈ε	x␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈ε	x␈↓ β≡␈εβ,␈↓ β-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βY␈εβ,␈↓ βh␈ε	x␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧=␈ε	x␈↓ ∧\␈εβ)␈↓ ∧␈␈ε	Q␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬s␈εβ,␈↓ εα␈ε	x␈↓ ε≡␈εβ,␈↓ ε,␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε	x␈↓ π-␈εβ)
␈β	a␈↓ α<␈εn␈↓ αg␈εε1␈↓ β∩␈εε2␈↓ βx␈εn␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧L␈εn␈↓ ¬⊗␈εn␈↓ ¬&␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬f␈εε1␈↓ ε⊃␈εε2␈↓ εw␈εn␈↓ ππ␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β	l␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ πR␈εβ.
␈β
∧␈↓ α(␈ε	Q␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β≤␈εβ,␈↓ β*␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βW␈εβ,␈↓ βf␈ε	x␈↓ ∧+␈εβ,␈↓ ∧:␈ε	x␈↓ ∧Z␈εβ)␈↓ ¬∃␈ε	Q␈↓ ¬a␈εβ(␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ελ␈εβ,␈↓ ε↔␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εC␈εβ,␈↓ εR␈ε	x␈↓ π_␈εβ)
␈β
∂␈↓ α>␈εn␈↓ αO␈ε~␈␈εε1␈↓ β∂␈εε2␈↓ βu␈εn␈↓ ∧¬␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧I␈εn␈↓ ¬+␈εn␈↓ ¬;␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ¬|␈εε2␈↓ εb␈εn␈↓ εr␈ε~␈␈εε1
␈β
6␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈ε	Q␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	x␈↓ αZ␈εβ,␈↓ αh␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β∃␈εβ,␈↓ β$␈ε	x␈↓ βC␈εβ).
␈β
@␈↓ α"␈εn␈↓ αM␈εε1␈↓ β3␈εn
␈β
g␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβBy␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈αor␈αb␈α␈y␈αta␈α␈king␈α
the␈αd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈αo␈α␈f␈αthe␈αma␈α␈trix␈αp␈α␈rodu␈α␈ct␈αin␈αex␈α}ercise␈α2␈α␈.
␈β→␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβWhen␈α∞th␈α␈e␈↓ β,␈ε	x␈↓ β>␈εβ's␈α∂a␈α␈re␈α∂p␈α␈ositiv␈α␈e,␈α∂the␈↓ ¬c␈ε	q␈↓ ¬r␈εβ's␈α∂o␈α␈f␈α∂(9)␈α∞are␈α∞po␈α␈si␈α↓t␈α␈i␈α↓v␈α}e,␈α⊂a␈α␈nd␈↓ λ}␈ε	q␈↓ 	O␈εβ>␈↓ 	␈␈ε	q␈↓ 
B␈εβ;␈α⊂he␈α␈nce
␈β$␈↓ 	
␈εn␈↓ 	~␈εε+1␈↓ 
␈εn␈↓ 
≤␈ε~␈␈εε1
␈βA␈↓ ↓H␈εβ(9␈α␈)␈α
i␈α↓s␈α
a␈α␈n␈α
a␈α␈lterna␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
se␈α␈ri␈α↓e␈α␈s␈α
of␈α
d␈α␈ecrea␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈α
te␈α␈rms,␈α∞a␈α␈nd␈αit␈α
con␈α}v␈α␈erg␈α␈es␈α
i{␈↓ 	0␈ε	q␈↓ 	M␈ε	q␈↓ 
≠␈ε↔!␈α
1␈εβ.␈α⊃By
␈βK␈↓ 	<␈εn␈↓ 	Y␈εn␈↓ 	i␈εε+1
␈βd␈↓ 	ε␈εn
␈βh␈↓ ↓H␈εβin␈α␈du␈α␈ction,␈α
if␈α∞th␈α␈e␈↓ βD␈ε	x␈↓ βU␈εβ's␈α
are␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
than␈↓ ¬t␈ε	∂␈↓ ε↓␈εβ,␈α∞w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ π≠␈ε	q␈↓ πD␈ε↔∃␈↓ πq␈ε	c␈↓ π}␈εβ(1␈α	+␈↓ λM␈ε	∂␈↓ λZ␈εβ/␈α␈2␈↓ λ{␈εβ)␈↓ 	⊗␈εβ,␈α∞whe␈α␈re␈↓ 
∂␈ε	c␈↓ 
)␈εβis␈α
cho␈α␈sen
␈βs␈↓ π'␈εn
␈β␈↓ 
N␈εn
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβsm␈α␈all␈α∞e␈α␈no␈α␈ugh␈αto␈α
ma␈α␈k␈α␈e␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓n␈α␈equ␈α␈ality␈α
v␈α␈alid␈α
for␈↓ π¬␈ε	n␈↓ π%␈εβ=␈α
1␈α
a␈α␈nd␈α2.␈α⊃But␈α
if␈↓ 	B␈ε	x␈↓ 	o␈εβ=␈α1/␈↓ 
>␈εβ2␈↓ 
l␈εβth␈α␈en
␈β≠␈↓ 	R␈εn
␈β4␈↓ β
␈εn
␈β8␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓m␈ε↔∀␈εβ␈α
2␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ αz␈εβ2␈↓ β≠␈εβ.
␈βB␈↓ ↓T␈εn
␈βi␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβIt␈α∞s␈α␈u}ce␈α␈s␈α∞to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈↓ ∧w␈ε	A␈↓ ¬&␈εβ=␈↓ ¬U␈ε	B␈↓ ¬u␈εβ;␈α∂a␈α␈nd␈α
fro␈α␈m␈α∞th␈α␈e␈α
fact␈α
tha␈α␈t␈α∞0␈ε↔␈α
∀␈α
?␈↓ 	J␈ε	x␈↓ 	f␈εβ,␈↓ 	u␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
!␈εβ,␈↓ 
0␈ε	x␈↓ 
P␈ε↔?␈εβ␈α<␈α∞1
␈βt␈↓ ¬
␈εε1␈↓ ¬h␈εε1␈↓ 	Y␈εε1␈↓ 
?␈εn
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈α␈ev␈α␈er␈↓ α[␈ε	x␈↓ αw␈εβ,␈↓ βε␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β2␈εβ,␈↓ βA␈ε	x␈↓ βl␈εβa␈α␈re␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αw␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ π"␈ε	B␈↓ πK␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ1␈α␈/␈↓ λ$␈ε	X␈↓ λ@␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ 	␈ε	A␈↓ 	"␈εβ.
␈β
≤␈↓ αj␈εε1␈↓ βP␈εn␈↓ π5␈εε1␈↓ 	⊗␈εε1
␈β
C␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβOn␈α␈l␈α↓y␈α
1␈αε2␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β;␈ε	n␈↓ β]␈εβan␈α␈d␈↓ ∧!␈ε	n␈↓ ∧;␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧g␈εβ2␈α¬1.␈α∨(T␈α↓h␈α␈e␈α∞v␈α␈ariab␈α␈l␈α↓e␈↓ π␈ε	x␈↓ π6␈εβapp␈α␈ears␈α∞in␈α∞e␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ 	U␈ε	F␈↓ 	z␈ε	F␈↓ 
R␈εβter␈α␈ms;
␈β
N␈↓ π≠␈εk␈↓ 	h␈εk␈↓ 

␈εn␈↓ 
≥␈ε~␈␈↓ 
6␈εk
␈β
k␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α'␈ε	x␈↓ αP␈εβan␈α␈d␈↓ β∪␈ε	x␈↓ βA␈εβc␈α␈an␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
b␈α␈e␈α
perm␈α␈u␈α␈ted␈α
in␈α␈to␈↓ εY␈ε	x␈↓ πα␈εβand␈↓ πF␈ε	x␈↓ πe␈εβ.␈α∪If␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λN␈εβan␈α␈d␈↓ 	⊃␈ε	x␈↓ 	?␈εβa␈α␈re␈α∞|␈α␈x␈α␈ed␈α
b␈α␈y␈α
the
␈β
u␈↓ α6␈εε1␈↓ β#␈εn␈↓ εh␈εε1␈↓ πU␈εn␈↓ λ4␈εε1␈↓ 	!␈εn
␈β∞∩␈↓ ↓H␈εβp␈α␈erm␈α␈u␈α␈tation␈α␈,␈αit␈αfollo␈α␈ws␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εF␈εβ,␈↓ ε[␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π≠␈ε	x␈↓ πl␈εβar␈α␈e␈αalso␈α|␈α␈x␈α␈ed␈α␈.␈α↓)
␈β∞≥␈↓ ε:␈εε2␈↓ π+␈εn␈↓ π;␈ε~␈␈εε1
␈β∞D␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThis␈αis␈αequ␈α␈ivalen␈α}t␈αto
␈β∂	␈↓ β4␈ε	Q␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	A␈↓ ∧W␈εβ,␈↓ ∧e␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	A␈↓ ¬C␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬}␈ε	X␈↓ ε→␈ε	Q␈↓ εf␈εβ(␈↓ εq␈ε	A␈↓ π<␈εβ,␈↓ πK␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ πw␈εβ,␈↓ λε␈ε	A␈↓ λ(␈εβ)␈↓ 	≠␈εβ1
␈β∂∀␈↓ βJ␈εn␈↓ βZ␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ ∧!␈εn␈↓ ∧1␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬6␈εε2␈↓ ε/␈εn␈↓ ε@␈ε~␈␈εε1␈↓ πε␈εn␈↓ π⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ λ≠␈εε1
␈β∂ ␈↓ λ@␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ 	;␈εβ,
␈β∂.␈↓ β4␈∧∂.β4α¬␈↓ 	⊂␈∧∂.	⊂α(
␈β∂7␈↓ βm␈ε	Q␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈ε	A␈↓ ∧j␈εβ,␈↓ ∧x␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬%␈εβ,␈↓ ¬4␈ε	A␈↓ ¬U␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ε⊃␈ε	X␈↓ ε,␈ε	Q␈↓ εS␈εβ(␈↓ ε↑␈ε	A␈↓ πβ␈εβ,␈↓ π∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π?␈εβ,␈↓ πM␈ε	A␈↓ πo␈εβ)␈↓ 	⊂␈ε	X
␈β∂B␈↓ ∧β␈εn␈↓ ∧∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧Y␈εn␈↓ ¬I␈εε2␈↓ εB␈εn␈↓ εs␈εn␈↓ πc␈εε1␈↓ 	'␈εn
␈β∂␈␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
by␈α
(␈α↓6␈α␈)␈αthis␈αis␈αequ␈α␈i␈α↓v␈α␈alen␈α}t␈αt␈α␈o
␈β⊂F␈↓ ∧*␈ε	Q␈↓ ∧w␈εβ(␈↓ ¬α␈ε	A␈↓ ¬$␈εβ,␈↓ ¬3␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬←␈εβ,␈↓ ¬n␈ε	A␈↓ ε∪␈εβ)␈αλ+␈↓ εO␈ε	X␈↓ εv␈ε	Q␈↓ πB␈εβ(␈↓ πM␈ε	A␈↓ πo␈εβ,␈↓ π}␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ*␈εβ,␈↓ λ9␈ε	A␈↓ 	¬␈εβ)
␈β⊂P␈↓ ∧A␈εn␈↓ ∧Q␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬↔␈εε2␈↓ εβ␈εn␈↓ εf␈εn␈↓ π␈εn␈↓ π≤␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ πc␈εε2␈↓ λN␈εn␈↓ λ←␈ε~␈␈εε1
␈β⊂\␈↓ βW␈ε	X␈↓ β|␈εβ=␈↓ 	∪␈εβ.
␈β⊂j␈↓ ∧*␈∧⊂j∧*α∧f
␈β⊂t␈↓ ∧=␈ε	Q␈↓ ∧d␈εβ(␈↓ ∧o␈ε	A␈↓ ¬⊃␈εβ,␈↓ ¬ ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬L␈εβ,␈↓ ¬[␈ε	A␈↓ ε␈εβ)␈αλ+␈↓ ε<␈ε	X␈↓ εc␈ε	Q␈↓ π/␈εβ(␈↓ π:␈ε	A␈↓ π\␈εβ,␈↓ πk␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ&␈ε	A␈↓ λr␈εβ)
␈β⊂}␈↓ ∧T␈εn␈↓ ¬∧␈εε1␈↓ ¬p␈εn␈↓ εS␈εn␈↓ εy␈εn␈↓ π
␈ε~␈␈εε1␈↓ πP␈εε1␈↓ λ<␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε1
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα578␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃By␈α	de|␈α␈nition␈α␈.␈α_(b␈α␈),␈α(d␈α␈)␈αPro␈α␈v␈α}e␈α
this␈α
when␈↓ π␈ε	n␈↓ π≡␈εβ=␈α	1,␈α
then␈α	app␈α␈ly␈α
(a)␈α
to␈α
ge␈α␈t␈αth␈α␈e␈α
resu␈α␈lt
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αgen␈α␈eral␈↓ αn␈ε	n␈↓ βα␈εβ.␈α~(c)␈αPro␈α␈v␈α}e␈αwhen␈↓ ¬λ␈ε	n␈↓ ¬%␈εβ=␈↓ ¬P␈ε	k␈↓ ¬h␈εβ+␈απ1,␈αthen␈α
ap␈α␈ply␈α(a).
␈ββα␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	A␈↓ αY␈εβ>␈α	0,␈αthe␈α␈n␈↓ βt␈ε	B␈↓ ∧≥␈εβ=␈α
0,␈↓ ∧m␈ε	B␈↓ ¬⊗␈εβ=␈↓ ¬A␈ε	A␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬w␈ε	B␈↓ ε!␈εβ=␈↓ εK␈ε	A␈↓ εm␈εβ,␈↓ π↓␈ε	B␈↓ π+␈εβ=␈↓ πU␈ε	A␈↓ πw␈εβ,␈↓ λ␈ε	B␈↓ λ5␈εβ=␈↓ λ`␈ε	A␈↓ 	↓␈εβ,␈↓ 	⊗␈ε	B␈↓ 	?␈εβ=␈↓ 	j␈ε	A␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
 ␈ε	m␈↓ 
G␈εβ=␈α	5.␈αIf
␈ββ
␈↓ αC␈εε0␈↓ ∧π␈εε0␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬V␈εε0␈↓ ε␈εε2␈↓ ε`␈εε1␈↓ π∃␈εε3␈↓ πk␈εε2␈↓ λ∨␈εε4␈↓ λu␈εε3␈↓ 	)␈εε5␈↓ 	␈␈εε4
␈ββ*␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓t␈εβ=␈α0␈α␈,␈αthen␈↓ β∩␈ε	B␈↓ β<␈εβ=␈↓ βh␈ε	A␈↓ ∧
␈εβ,␈↓ ∧∨␈ε	B␈↓ ∧J␈εβ=␈↓ ∧u␈ε	A␈↓ ¬↔␈εβ,␈↓ ¬,␈ε	B␈↓ ¬W␈εβ=␈↓ εβ␈ε	A␈↓ ε$␈εβ,␈↓ ε:␈ε	B␈↓ εd␈εβ=␈↓ π⊂␈ε	A␈↓ π2␈εβ,␈↓ πG␈ε	m␈↓ πo␈εβ=␈α
3.␈α
If␈↓ λc␈ε	A␈↓ 	⊂␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓1␈αan␈α␈d␈↓ 
;␈ε	A␈↓ 
g␈εβ=␈α1␈α␈,
␈ββ4␈↓ ↓]␈εε0␈↓ β%␈εε0␈↓ β⎇␈εε1␈↓ ∧3␈εε1␈↓ ¬␈εε2␈↓ ¬@␈εε2␈↓ ε_␈εε3␈↓ εM␈εε3␈↓ π%␈εε4␈↓ λy␈εε0␈↓ 
P␈εε1
␈ββQ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∩␈ε	B␈↓ α;␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ β∩␈ε	A␈↓ β:␈εβ+␈αε2␈α␈),␈↓ ∧⊂␈ε	B␈↓ ∧9␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ ¬π␈ε	B␈↓ ¬1␈εβ=␈↓ ¬[␈ε	A␈↓ εβ␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈,␈↓ εN␈ε	B␈↓ εw␈εβ=␈↓ π!␈ε	A␈↓ πC␈εβ,␈↓ πW␈ε	m␈↓ π⎇␈εβ=␈α
3␈α␈.␈αIf␈↓ λl␈ε	A␈↓ 	↔␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈α	and␈↓ 
=␈ε	A␈↓ 
h␈εβ>␈α
1␈α␈,
␈ββ\␈↓ α&␈εε0␈↓ β(␈εε2␈↓ ∧#␈εε1␈↓ ¬≠␈εε2␈↓ ¬q␈εε3␈↓ εa␈εε3␈↓ π7␈εε4␈↓ 	↓␈εε0␈↓ 
R␈εε1
␈ββy␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε	B␈↓ α?␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓2␈α␈,␈↓ β3␈ε	B␈↓ β]␈εβ=␈↓ ∧
␈ε	A␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈α␈,␈↓ ¬β␈ε	B␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε	A␈↓ ¬|␈εβ,␈↓ ε⊃␈ε	B␈↓ ε<␈εβ=␈↓ εh␈ε	A␈↓ π
␈εβ,␈↓ π∨␈ε	B␈↓ πJ␈εβ=␈↓ πv␈ε	A␈↓ λ_␈εβ,␈↓ λ.␈ε	m␈↓ λV␈εβ=␈α5␈α␈.␈α∞If␈↓ 	L␈ε	A␈↓ 	x␈εβ<␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
th␈α␈en
␈β∧∧␈↓ α(␈εε0␈↓ βF␈εε2␈↓ ∧∨␈εε1␈↓ ¬⊗␈εε3␈↓ ¬o␈εε2␈↓ ε%␈εε4␈↓ ε⎇␈εε3␈↓ π3␈εε5␈↓ λ␈εε4␈↓ 	a␈εε0
␈β∧!␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ ↓r␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈εβ1,␈↓ αd␈ε	B␈↓ β∞␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ β↑␈ε	B␈↓ ∧λ␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧U␈ε	A␈↓ ∧}␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈↓ ¬M␈ε	B␈↓ ¬w␈εβ=␈α
1␈α␈,␈↓ εG␈ε	B␈↓ εq␈εβ=␈↓ π≤␈ε	A␈↓ πF␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ λ∀␈ε	B␈↓ λ>␈εβ=␈↓ λj␈ε	A␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	B␈↓ 	J␈εβ=␈↓ 	u␈ε	A␈↓ 
↔␈εβ,␈↓ 
,␈ε	B␈↓ 
V␈εβ=␈↓ ↓␈ε	A␈↓ #␈εβ.
␈β∧+␈↓ ↓[␈εε0␈↓ αw␈εε1␈↓ βr␈εε2␈↓ ∧j␈εε0␈↓ ¬`␈εε3␈↓ ε[␈εε4␈↓ π2␈εε1␈↓ λ(␈εε5␈↓ λ␈␈εε2␈↓ 	4␈εε6␈↓ 
␈εε3␈↓ 
@␈εε7␈↓ ↔␈εε4
␈β∧H␈↓ ↓H␈εβ[Actu␈α␈ally,␈α
th␈α␈e␈α
las␈α␈t␈α
th␈α␈ree␈α	cases␈α	in␈α␈v␈α}olv␈α␈e␈α	eigh␈α}t␈α
su␈α␈bca␈α␈ses;␈α
if␈α
an␈α}y␈α	of␈α	the␈↓ 	↓␈ε	B␈↓ 	↔␈εβ'␈α↓s␈α	is␈α
se␈α␈t␈α
to␈α	zer␈α␈o,␈α
the
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αsh␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈αb␈α␈e␈α\␈α␈collap␈α␈sed␈αtog␈α␈ethe␈α␈r"␈αb␈α␈y␈αusin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αrule␈αof␈αex␈α}ercise␈α9(c).␈α
Fo␈α␈r␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈β¬↔␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓h␈ε	A␈↓ α∃␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈↓ β	␈ε	A␈↓ β6␈εβ=␈↓ βb␈ε	A␈↓ ∧∂␈εβ=␈α1,␈α
w␈α␈e␈αa␈α␈ctua␈α␈l␈α↓ly␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ εd␈ε	B␈↓ π∂␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ(␈↓ πh␈ε	A␈↓ λ∩␈εβ+␈αλ2),␈↓ λm␈ε	B␈↓ 	_␈εβ=␈↓ 	D␈ε	A␈↓ 	n␈εβ+␈α	1␈α␈,␈↓ 
>␈ε	m␈↓ 
f␈εβ=␈α1␈α␈.
␈β¬"␈↓ ↓⎇␈εε0␈↓ β≡␈εε1␈↓ βw␈εε3␈↓ εx␈εε0␈↓ π⎇␈εε2␈↓ 	␈εε1␈↓ 	Y␈εε4
␈β¬?␈↓ ↓H␈εβDo␈α␈ub␈α␈le␈αcollap␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈αoc␈α␈curs␈αwh␈α␈en␈↓ ¬⊃␈ε	A␈↓ ¬<␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓2␈α␈,␈↓ ε-␈ε	A␈↓ εX␈εβ=␈α	1.]
␈β¬J␈↓ ¬&␈εε0␈↓ εB␈εε1
␈β¬k␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓ 
o␈ε~0
␈β¬o␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	q␈↓ αr␈εβ=␈↓ β∨␈ε	Q␈↓ βE␈εβ(␈↓ βP␈ε	A␈↓ βr␈εβ,␈↓ ∧↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧-␈εβ,␈↓ ∧<␈ε	A␈↓ ∧b␈εβ),␈↓ ¬β␈ε	q␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ¬Z␈ε	Q␈↓ ε↓␈εβ(␈↓ ε␈ε	B␈↓ ε,␈εβ,␈↓ ε:␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εg␈εβ,␈↓ εv␈ε	B␈↓ π→␈εβ)␈α↓,␈↓ π:␈ε	p␈↓ πf␈εβ=␈↓ λ∪␈ε	Q␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	A␈↓ 	␈εβ,␈↓ 	≠␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	G␈εβ,␈↓ 	V␈ε	A␈↓ 	{␈εβ)␈α↓,␈αand␈↓ 
←␈ε	p␈↓ ␈εβ=
␈β¬z␈↓ αV␈εn␈↓ β5␈εn␈↓ βf␈εε1␈↓ ∧R␈εn␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε∨␈εε1␈↓ π	␈εn␈↓ πJ␈εn␈↓ λ)␈εn␈↓ λ9␈εε+1␈↓ λ␈␈εε0␈↓ 	k␈εn
␈β¬}␈↓ ¬∩␈εn␈↓ 
o␈εn
␈βε∪␈↓ 	k␈ε~0␈↓ 
7␈ε~0
␈βε↔␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ α∀␈εβ(␈↓ α∨␈ε	B␈↓ α?␈εβ,␈↓ αN␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αz␈εβ,␈↓ β	␈ε	B␈↓ β-␈εβ).␈αWe␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ ∧Q␈ε	X␈↓ ∧v␈εβ=␈α
(␈↓ ¬,␈ε	p␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬⎇␈ε	p␈↓ εJ␈ε	X␈↓ εx␈εβ)␈α↓/␈α␈(␈↓ π∨␈ε	q␈↓ πG␈εβ+␈↓ πm␈ε	q␈↓ λ6␈ε	X␈↓ λe␈εβ),␈↓ 	β␈ε	Y␈↓ 	%␈εβ=␈α	(␈↓ 	Z␈ε	p␈↓ 
␈εβ+␈↓ 
&␈ε	p␈↓ 
m␈ε	Y␈↓ ⊃␈εβ)/
␈βε!␈↓ ↓↑␈εn␈↓ ↓n␈εε+1␈↓ α2␈εε0␈↓ β≤␈εn␈↓ ¬;␈εm␈↓ ε
␈εm␈↓ ε$␈ε~␈␈εε1␈↓ εa␈εm␈↓ π+␈εm␈↓ πy␈εm␈↓ λ⊃␈ε~␈␈εε1␈↓ λM␈εm␈↓ ␈εn
␈βε&␈↓ 	k␈εn␈↓ 
7␈εn␈↓ 
G␈ε~␈␈εε1
␈βε:␈↓ ↓b␈ε~0␈↓ α3␈ε~0
␈βε>␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	q␈↓ ↓z␈εβ+␈↓ α$␈ε	q␈↓ αi␈ε	Y␈↓ β
␈εβ);␈α∞th␈α␈erefore␈αif␈↓ ∧↑␈ε	X␈↓ ¬→␈εβ=␈↓ ¬F␈ε	Y␈↓ ¬j␈εβ,␈α∞t␈α␈he␈α
sta␈α␈ted␈αrelation␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈↓ 	≡␈ε	X␈↓ 	G␈εβa␈α␈nd␈↓ 
	␈ε	Y␈↓ 
/␈εβh␈α␈olds␈αby
␈βεI␈↓ α⎇␈εn␈↓ ∧u␈εm␈↓ ¬Z␈εn
␈βεN␈↓ ↓b␈εn␈↓ α3␈εn␈↓ αC␈ε~␈␈εε1
␈βεf␈↓ ↓H␈εβ(8␈α␈).␈α
Co␈α␈n␈α␈v␈α}ersely,␈αi␈α↓f␈↓ βY␈ε	X␈↓ β}␈εβ=␈α
(␈↓ ∧5␈ε	q␈↓ ∧C␈ε	Y␈↓ ∧d␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	r␈↓ ¬≠␈εβ)/(␈↓ ¬B␈ε	s␈↓ ¬P␈ε	Y␈↓ ¬p␈εβ+␈↓ ε→␈ε	t␈↓ ε%␈εβ),␈ε↔␈αj␈↓ εN␈ε	q␈↓ ε]␈ε	t␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π→␈ε	r␈↓ π(␈ε	s␈↓ π6␈ε↔j␈εβ␈α	=␈α1␈α␈,␈αw␈α␈e␈αmay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αt␈α␈hat␈↓ 
P␈ε	s␈↓ 
g␈ε↔∃␈εβ␈α0␈α␈,
␈βπ∞␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
w␈α␈e␈αca␈α␈n␈αs␈α␈ho␈α␈w␈αt␈α␈hat␈α
the␈α
par␈α␈ti␈α↓a␈α␈l␈αquo␈α␈tien␈α␈ts␈α
of␈↓ εi␈ε	X␈↓ π∂␈εβan␈α␈d␈↓ πP␈ε	Y␈↓ πs␈εβev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α
a␈α␈gree,␈αb␈α␈y␈αin␈α␈du␈α␈ction
␈βπ1␈↓ 
<␈ε~0
␈βπ5␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈↓ ↓v␈ε	s␈↓ α∧␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αresult␈αis␈αc␈α␈l␈α↓e␈α␈ar␈αwhen␈↓ ¬α␈ε	s␈↓ ¬~␈εβ=␈α
0␈α␈,␈αb␈α␈y␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α9(d).␈αIf␈↓ λ¬␈ε	s␈↓ λ≥␈εβ>␈α	0,␈αlet␈↓ 	≥␈ε	q␈↓ 	5␈εβ=␈↓ 	`␈ε	a␈↓ 	q␈ε	s␈↓ 
ε␈εβ+␈↓ 
/␈ε	s␈↓ 
C␈εβ,␈αwhere
␈βπY␈↓ α~␈ε~0␈↓ ε$␈ε~0␈↓ 
¬␈ε~0
␈βπZ␈↓ ∧y␈εα(␈↓ πS␈εα)
␈βπ]␈↓ ↓H␈εβ0␈ε↔␈α	∀␈↓ α␈ε	s␈↓ α)␈εβ<␈↓ αT␈ε	s␈↓ αb␈εβ.␈αTh␈α␈en␈↓ βK␈ε	X␈↓ βp␈εβ=␈↓ ∧≠␈ε	a␈↓ ∧1␈εβ+␈αε1/␈↓ ¬¬␈εβ(␈↓ ¬⊂␈ε	s␈↓ ¬≡␈ε	Y␈↓ ¬=␈εβ+␈↓ ¬d␈ε	t␈↓ ¬p␈εβ)/␈α␈(␈↓ ε↔␈ε	s␈↓ ε+␈ε	Y␈↓ εI␈εβ+␈↓ εp␈ε	r␈↓ π¬␈ε↔␈␈↓ π,␈ε	a␈↓ π<␈ε	t␈↓ πH␈εβ)␈↓ π←␈εβ;␈αsin␈α␈ce␈↓ λC␈ε	s␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	r␈↓ λp␈ε↔␈␈↓ 	↔␈ε	a␈↓ 	(␈ε	t␈↓ 	4␈εβ)␈ε↔␈α¬␈␈↓ 	k␈ε	t␈↓ 	w␈ε	s␈↓ 
∃␈εβ=␈↓ 
?␈ε	s␈↓ 
M␈ε	r␈↓ 
a␈ε↔␈␈↓ 	␈ε	t␈↓ ∀␈ε	q␈↓ #␈εβ,
␈βλ␈↓ α∀␈ε~0
␈βλ∧␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αε␈ε	s␈↓ α$␈εβ<␈↓ αN␈ε	s␈↓ α\␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α	kn␈α␈o␈α␈w␈α	by␈αλind␈α␈uction␈αλan␈α␈d␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α	10␈α	th␈α␈at␈α	th␈α␈e␈α	part␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
q␈α␈uotien␈α}ts␈α	of␈↓ 
0␈ε	X␈↓ 
U␈εβan␈α␈d␈↓ ∀␈ε	Y
␈βλ,␈↓ ↓H␈εβe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α	ag␈α␈ree.␈α∃[␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈αThe␈α	fa␈α␈ct␈α
th␈α␈at␈↓ ¬}␈ε	m␈↓ ε%␈εβis␈α	always␈α	od␈α␈d␈α	in␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
1␈α␈0␈α	sho␈α}w␈α↓s␈α␈,␈α
by␈α	a␈α	close
␈βλT␈↓ ↓H␈εβin␈α␈spec␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈α
th␈α␈is␈α
p␈α␈roof,␈α
th␈α␈at␈↓ ∧⎇␈ε	X␈↓ ¬7␈εβ=␈↓ ¬d␈ε	Y␈↓ ε∀␈εβif␈α
a␈α␈nd␈αon␈α␈ly␈αi␈α↓f␈↓ πc␈ε	X␈↓ λ␈εβ=␈α(␈↓ λC␈ε	q␈↓ λQ␈ε	Y␈↓ λr␈εβ+␈↓ 	≤␈ε	r␈↓ 	+␈εβ)/(␈↓ 	R␈ε	s␈↓ 	←␈ε	Y␈↓ 
␈εβ+␈↓ 
*␈ε	t␈↓ 
6␈εβ),␈α
where
␈βλ↑␈↓ ¬∀␈εm␈↓ ¬w␈εn
␈βλw␈↓ β+␈εm␈↓ βB␈ε~␈␈↓ β[␈εn
␈βλ{␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓V␈ε	t␈↓ ↓j␈ε↔␈␈↓ α∩␈ε	r␈↓ α!␈ε	s␈↓ α8␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ β ␈εβ)␈↓ βl␈εβ.]
␈β	(␈↓ ¬_␈εε2␈↓ πd␈εε2
␈β	,␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈ince␈↓ β→␈ε	V␈↓ β<␈ε	V␈↓ ∧∞␈εβ=␈↓ ∧8␈ε	D␈↓ ∧V␈ε↔␈␈↓ ∧⎇␈ε	U␈↓ ¬%␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α	kn␈α␈o␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈↓ π∧␈ε	D␈↓ π"␈ε↔␈␈↓ πI␈ε	U␈↓ λ∨␈εβi␈α↓s␈α	a␈α	m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α	of␈↓ 	␈␈ε	V␈↓ 
H␈εβ;␈α
he␈α␈nce
␈β	6␈↓ β+␈εn␈↓ βN␈εn␈↓ β↑␈εε+␈α↓1␈↓ 
∩␈εn␈↓ 
"␈εε+1
␈β	;␈↓ ¬∀␈εn␈↓ π`␈εn␈↓ πp␈εε+1
␈β	T␈↓ ∧'␈∧	T∧'α~
␈β	U␈↓ ∧¬␈ε↔p
␈β	Z␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α∞i␈α↓n␈α␈du␈α␈ction␈↓ β∪␈ε	X␈↓ βJ␈εβ=␈α∂(␈↓ ∧'␈ε	D␈↓ ∧I␈ε↔␈␈↓ ∧u␈ε	U␈↓ ¬~␈εβ)/␈↓ ¬6␈ε	V␈↓ ¬Y␈εβ,␈α⊂wh␈α␈ere␈↓ εU␈ε	U␈↓ π
␈εβa␈α␈nd␈↓ πN␈ε	V␈↓ λ␈εβa␈α␈re␈α∂in␈α␈te␈α␈gers.␈α [Note␈α∞that␈α∞the
␈β	e␈↓ β*␈εn␈↓ ¬
␈εn␈↓ ¬H␈εn␈↓ εk␈εn␈↓ πa␈εn
␈β
α␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity␈↓ αD␈ε	V␈↓ β⊗␈εβ=␈↓ βA␈ε	A␈↓ βf␈εβ(␈↓ βq␈ε	U␈↓ ∧D␈ε↔␈␈↓ ∧m␈ε	U␈↓ ¬∩␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬M␈ε	V␈↓ ε!␈εβm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αi␈α↓t␈αu␈α␈nn␈α␈ece␈α␈ssary␈α
to␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αwh␈α␈en␈↓ 
C␈ε	V␈↓ ⊗␈εβis
␈β
␈↓ αW␈εn␈↓ αg␈εε+1␈↓ βV␈εn␈↓ ∧π␈εn␈↓ ∧↔␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬α␈εn␈↓ ¬`␈εn␈↓ ¬p␈ε~␈␈εε1␈↓ 
U␈εn␈↓ 
e␈εε+␈α↓1
␈β
)␈↓ ↓H␈εβb␈α␈eing␈α
dete␈α␈rmined␈α␈.]
␈β
K␈↓ ∧_␈∧
K∧_α~␈↓ εX␈∧
KεXα~
␈β
L␈↓ βv␈ε↔p␈↓ ε7␈ε↔p
␈β
Q␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂L␈α↓e␈α␈t␈↓ α}␈ε	Y␈↓ β ␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈↓ ∧_␈ε	D␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧T␈ε	U␈↓ ∧o␈εβ)/␈↓ ¬␈ε	V␈↓ ¬#␈εβ,␈↓ ¬3␈ε	Y␈↓ ¬`␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈↓ εX␈ε	D␈↓ εr␈ε↔␈␈↓ π∀␈ε	U␈↓ π:␈εβ)/␈↓ πV␈ε	V␈↓ πx␈εβ.␈α
The␈αεsta␈α␈ted␈αεid␈α␈en␈α␈tity␈αεo␈α␈bv␈α␈i␈α↓o␈α␈usly
␈β
\␈↓ ¬F␈εn␈↓ π*␈εn␈↓ πh␈εn
␈β
r␈↓ β}␈∧
rβ}α~␈↓ ¬∃␈∧
r¬∃α~
␈β
t␈↓ β]␈ε↔p␈↓ ∧t␈ε↔p
␈β
y␈↓ ↓H␈εβh␈α␈olds␈αb␈α␈y␈αre␈α␈placin␈α␈g␈↓ β}␈ε	D␈↓ ∧#␈εβb␈α␈y␈ε↔␈α␈␈↓ ¬∃␈ε	D␈↓ ¬9␈εβi␈α↓n␈α
the␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈α(a).␈αWe␈αh␈α␈av␈α}e
␈β8␈↓ ∧*␈ε	Y␈↓ ∧L␈εβ=␈α
(␈↓ ¬α␈ε	p␈↓ ¬"␈εβ/␈↓ ¬2␈ε	Y␈↓ ¬]␈εβ+␈↓ εε␈ε	p␈↓ εL␈εβ)/(␈↓ εs␈ε	q␈↓ π∂␈εβ/␈↓ π ␈ε	Y␈↓ πK␈εβ+␈↓ πt␈ε	q␈↓ λ6␈εβ),
␈βB␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ ¬F␈εn␈↓ ε⊗␈εn␈↓ ε&␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈␈εn␈↓ π3␈εn␈↓ λ␈εn␈↓ λ⊂␈ε~␈␈εε1
␈βw␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	p␈↓ αS␈εβan␈α␈d␈↓ β∀␈ε	q␈↓ β;␈εβare␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈α
i␈α↓n␈α
pa␈α␈rt␈α(c)␈αof␈αthis␈αex␈α}ercise;␈αhen␈α␈ce
␈β↓␈↓ α8␈εn␈↓ β ␈εn
␈β6␈↓ β\␈ε	Y␈↓ ∧	␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈↓ ∧`␈ε	q␈↓ ∧|␈εβ/␈↓ ¬
␈ε	q␈↓ ¬O␈εβ)(␈↓ ¬e␈ε	Y␈↓ εε␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εN␈εβ/␈↓ ε←␈ε	q␈↓ ε{␈εβ)/(␈↓ π"␈ε	Y␈↓ πB␈ε↔␈␈↓ πk␈ε	p␈↓ λ1␈εβ/␈↓ λA␈ε	q␈↓ 	∧␈εβ).
␈β@␈↓ βp␈εn␈↓ ∧l␈εn␈↓ ¬→␈εn␈↓ ¬)␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε>␈εn␈↓ εk␈εn␈↓ π{␈εn␈↓ λ␈ε~␈␈εε1␈↓ λM␈εn␈↓ λ↑␈ε~␈␈εε1
␈βu␈↓ ↓H␈εβBu␈α␈t␈αby␈α(12␈α␈),␈↓ βπ␈ε	p␈↓ βL␈εβ/␈↓ β]␈ε	q␈↓ ∧+␈εβan␈α␈d␈↓ ∧l␈ε	p␈↓ ¬␈εβ/␈↓ ¬≥␈ε	q␈↓ ¬E␈εβare␈αextre␈α␈mely␈αc␈α␈l␈α↓o␈α␈se␈αto␈↓ λ∪␈ε	X␈↓ λ/␈εβ;␈αsince␈↓ 	⊗␈ε	X␈↓ 	<␈ε↔≤␈↓ 	h␈ε	Y␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
⊗␈ε	Y␈↓ 
6␈ε↔␈␈↓ 
←␈ε	p␈↓ 
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈ε	q
␈β␈␈↓ β⊗␈εn␈↓ β'␈ε~␈␈εε1␈↓ βi␈εn␈↓ βy␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ∧|␈εn␈↓ ¬)␈εn␈↓ 
o␈εn␈↓ ≤␈εn
␈β
≤␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	Y␈↓ α'␈ε↔␈␈↓ αO␈ε	p␈↓ β∃␈εβ/␈↓ β&␈ε	q␈↓ βr␈εβwil␈α↓l␈αh␈α␈av␈α}e␈αt␈α␈he␈α
same␈α
sign␈α
a␈α␈s␈↓ εv␈ε	Y␈↓ π∃␈ε↔␈␈↓ π=␈ε	X␈↓ πc␈εβfor␈α
all␈αlarge␈↓ 	∃␈ε	n␈↓ 	)␈εβ.␈αThis␈α
pro␈α␈v␈α}es␈α
tha␈α␈t
␈β
'␈↓ α←␈εn␈↓ αo␈ε~␈␈εε1␈↓ β2␈εn␈↓ βB␈ε~␈␈εε1
␈β
>␈↓ λ≥␈∧
>λ≥α~
␈β
?␈↓ π|␈ε↔p
␈β
D␈↓ ↓H␈ε	Y␈↓ ↓x␈εβ<␈α
0␈αfor␈α
all␈α
l␈α↓a␈α␈rge␈↓ β⎇␈ε	n␈↓ ∧⊃␈εβ;␈α∞h␈α␈ence␈α0␈α
<␈↓ ¬Q␈ε	X␈↓ ε¬␈εβ<␈↓ ε3␈ε	X␈↓ εc␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	Y␈↓ π=␈εβ=␈α
2␈↓ λ≥␈ε	D␈↓ λ6␈εβ/␈↓ λG␈ε	V␈↓ λj␈εβ;␈↓ 	↓␈ε	V␈↓ 	1␈εβm␈α}ust␈α
b␈α␈e␈α
po␈α␈si␈α↓tiv␈α}e.
␈β
N␈↓ ↓[␈εn␈↓ ¬h␈εn␈↓ εJ␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ λY␈εn␈↓ 	∪␈εn
␈β
e␈↓ β␈∧
eβα~␈↓ εv␈∧
eεvα~␈↓ 	i␈∧
e	iα~
␈β
g␈↓ αk␈ε↔p␈↓ εU␈ε↔p␈↓ 	G␈ε↔p
␈β
k␈↓ ↓H␈εβAlso␈↓ α∩␈ε	U␈↓ α@␈εβ<␈↓ β␈ε	D␈↓ β%␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈↓ ∧␈ε	X␈↓ ∧<␈εβ>␈α	0.␈αHenc␈α␈e␈↓ ¬m␈ε	V␈↓ ε→␈εβ<␈α
2␈↓ εv␈ε	D␈↓ π∂␈εβ,␈αsince␈↓ πu␈ε	V␈↓ λ!␈ε↔∀␈↓ λK␈ε	A␈↓ λq␈ε	V␈↓ 	≥␈εβ<␈↓ 	i␈ε	D␈↓ 
	␈εβ+␈↓ 
2␈ε	U␈↓ 
⎇␈εβ.
␈β
v␈↓ α'␈εn␈↓ ∧"␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ λπ␈εn␈↓ λa␈εn␈↓ 	β␈εn␈↓ 
G␈εn␈↓ 
W␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β∞
␈↓ 
∪␈∧∞
∪α~
␈β∞∞␈↓ 	q␈ε↔p
␈β∞∪␈↓ α␈εβFinally,␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α}t␈α
to␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ ¬H␈ε	U␈↓ ¬v␈εβ>␈α
0.␈αS␈α␈ince␈↓ π≠␈ε	X␈↓ πL␈εβ<␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈↓ 	_␈ε	U␈↓ 	G␈εβ>␈↓ 
∪␈ε	D␈↓ 
2␈ε↔␈␈↓ 
Y␈ε	V␈↓ 
{␈εβ,␈αso
␈β∞≡␈↓ ¬]␈εn␈↓ π3␈εn␈↓ 	-␈εn␈↓ 
k␈εn
␈β∞5␈↓ ε⊃␈∧∞5ε⊃α~
␈β∞6␈↓ ¬p␈ε↔p
␈β∞;␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αneed␈αon␈α␈ly␈αco␈α␈nsid␈α␈er␈αth␈α␈e␈αcase␈↓ ¬⊗␈ε	V␈↓ ¬D␈εβ>␈↓ ε⊃␈ε	D␈↓ ε*␈εβ;␈αthen␈↓ π␈ε	U␈↓ π<␈εβ=␈↓ πh␈ε	A␈↓ λ∞␈ε	V␈↓ λ8␈ε↔␈␈↓ λ`␈ε	U␈↓ 	6␈ε↔∃␈↓ 	b␈ε	V␈↓ 
␈ε↔␈␈↓ 
5␈ε	U␈↓ ␈εβ>
␈β∞E␈↓ ¬)␈εn␈↓ π!␈εn␈↓ π⎇␈εn␈↓ λ ␈εn␈↓ λv␈εn␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε1␈↓ 	u␈εn␈↓ 
J␈εn␈↓ 
[␈ε~␈␈εε1
␈β∞\␈↓ ↓i␈∧∞\↓iα~
␈β∞]␈↓ ↓H␈ε↔p
␈β∞b␈↓ ↓i␈ε	D␈↓ α	␈ε↔␈␈↓ α2␈ε	U␈↓ α⎇␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αt␈α␈his␈αi␈α↓s␈αp␈α␈ositiv␈α␈e␈αa␈α␈s␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈αalrea␈α␈dy␈α
obs␈α␈erv␈α␈ed␈α␈.
␈β∞m␈↓ αG␈εn␈↓ αX␈ε~␈␈εε1
␈β∂∧␈↓ ε1␈∧∂∧ε1α~␈↓ λ`␈∧∂∧λ`α~
␈β∂¬␈↓ ε∂␈ε↔p␈↓ λ>␈ε↔p
␈β∂
␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α	I␈α↓n␈αεth␈α␈e␈αεrepe␈α␈ating␈αεcy␈α}cle␈απw␈α␈e␈αεha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε1␈ε	D␈↓ εK␈εβ+␈↓ εn␈ε	U␈↓ π≤␈εβ=␈↓ πG␈ε	A␈↓ πm␈ε	V␈↓ λ⊃␈εβ+␈α↓(␈↓ λ`␈ε	D␈↓ λz␈ε↔␈␈↓ 	≥␈ε	U␈↓ 	h␈εβ)␈α	>␈↓ 
'␈ε	V␈↓ 
J␈εβ;␈αλhe␈α␈nce
␈β∂∀␈↓ πβ␈εn␈↓ π\␈εn␈↓ π␈␈εn␈↓ 	2␈εn␈↓ 	B␈ε~␈␈εε1␈↓ 
9␈εn
␈β∂+␈↓ α↓␈∧∂+α↓α~␈↓ ε␈∧∂+εα~␈↓ λs␈∧∂+λsα~
␈β∂-␈↓ ↓`␈ε↔p␈↓ ¬j␈ε↔p␈↓ λR␈ε↔p
␈β∂1␈↓ ↓H␈ε↔b␈εβ(␈↓ α↓␈ε	D␈↓ α≤␈εβ+␈↓ α>␈ε	U␈↓ β
␈εβ)/␈↓ β&␈ε	V␈↓ βn␈ε↔c␈εβ␈α	=␈ε↔␈α
b␈↓ ∧<␈ε	A␈↓ ¬	␈εβ+␈↓ ¬,␈ε	V␈↓ ¬N␈εβ/(␈↓ ε␈ε	D␈↓ ε&␈εβ+␈↓ εI␈ε	U␈↓ εo␈εβ)␈ε↔c␈εβ␈α	=␈↓ π:␈ε	A␈↓ λ∂␈εβ=␈ε↔␈α
b␈εβ(␈↓ λs␈ε	D␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	0␈ε	U␈↓ 	V␈εβ)/␈↓ 	r␈ε	V␈↓ 
:␈ε↔c␈εβ.␈α
Th␈α␈u␈α␈s,
␈β∂<␈↓ αT␈εn␈↓ αd␈εε+1␈↓ β8␈εn␈↓ βH␈εε+␈α↓1␈↓ ∧Q␈εn␈↓ ∧a␈εε+␈α↓1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ε↑␈εn␈↓ πP␈εn␈↓ π`␈εε+1␈↓ 	F␈εn␈↓ 
∧␈εn␈↓ 
∀␈εε+␈α↓1
␈β∂Y␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ α∨␈εβi␈α↓s␈αde␈α␈termine␈α␈d␈αby␈↓ ∧#␈ε	U␈↓ ∧z␈εβand␈↓ ¬=␈ε	V␈↓ ε¬␈εβ;␈α
we␈αca␈α␈n␈αde␈α␈termine␈α(␈↓ λ4␈ε	U␈↓ λY␈εβ,␈↓ λh␈ε	V␈↓ 	␈εβ)␈α
fro␈α␈m␈α(␈↓ 	␈␈ε	U␈↓ 
J␈εβ,␈↓ 
Y␈ε	V␈↓ !␈εβ)
␈β∂d␈↓ ↓]␈εn␈↓ ↓m␈εε+1␈↓ ∧8␈εn␈↓ ∧H␈εε+1␈↓ ¬O␈εn␈↓ ¬←␈εε+␈α↓1␈↓ λI␈εn␈↓ λ{␈εn␈↓ 
∀␈εn␈↓ 
$␈εε+1␈↓ 
k␈εn␈↓ 
|␈εε+1
␈β∂{␈↓ ε+␈∧∂{ε+α~␈↓ 	-␈∧∂{	-α~
␈β∂|␈↓ ε
␈ε↔p␈↓ 	␈ε↔p
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈αp␈α␈eriod␈α␈.␈α∞In␈αfa␈α␈ct,␈αwhen␈α0␈α
<␈↓ ¬0␈ε	V␈↓ ¬↑␈εβ<␈↓ ε+␈ε	D␈↓ εL␈εβ+␈↓ εu␈ε	U␈↓ π'␈εβa␈α␈nd␈α0␈α<␈↓ λ0␈ε	U␈↓ λ`␈εβ<␈↓ 	-␈ε	D␈↓ 	F␈εβ,␈αthe␈αa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β⊂␈↓ ¬C␈εn␈↓ π␈εn␈↓ λE␈εn
␈β⊂"␈↓ ¬"␈∧⊂"¬"α~␈↓ λY␈∧⊂"λYα~
␈β⊂#␈↓ ¬␈ε↔p␈↓ λ7␈ε↔p
␈β⊂(␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈απthat␈αλ0␈αλ<␈↓ ∧∧␈ε	V␈↓ ∧V␈εβ<␈↓ ¬"␈ε	D␈↓ ¬>␈εβ+␈↓ ¬c␈ε	U␈↓ ε6␈εβan␈α␈d␈αλ0␈α	<␈↓ π8␈ε	U␈↓ λ
␈εβ<␈↓ λY␈ε	D␈↓ λw␈εβ;␈α	moreo␈α}v␈α␈er,␈αλi␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλpa␈α␈ir
␈β⊂3␈↓ ∧⊗␈εn␈↓ ∧'␈εε+1␈↓ ¬x␈εn␈↓ ελ␈εε+1␈↓ πM␈εn␈↓ π↑␈εε+1
␈β⊂J␈↓ ε↑␈∧⊂Jε↑α~␈↓ 	?␈∧⊂J	?α~
␈β⊂K␈↓ ε=␈ε↔p␈↓ 	≡␈ε↔p
␈β⊂L␈↓ ∧→␈ε~0␈↓ ∧F␈ε~0␈↓ εβ␈ε~0␈↓ π9␈ε~0␈↓ λd␈ε~0␈↓ 
M␈ε~0
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	U␈↓ α≡␈εβ,␈↓ α-␈ε	V␈↓ αv␈εβ)␈απfollo␈α␈ws␈αλ(␈↓ β}␈ε	U␈↓ ∧∨␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	V␈↓ ∧L␈εβ)␈αλwith␈απ0␈α	<␈↓ ¬k␈ε	V␈↓ ε∪␈εβ<␈↓ ε↑␈ε	D␈↓ εz␈εβ+␈↓ π≡␈ε	U␈↓ πG␈εβa␈α␈nd␈απ0␈α	<␈↓ λH␈ε	U␈↓ λs␈εβ<␈↓ 	?␈ε	D␈↓ 	X␈εβ,␈αλthen␈↓ 
2␈ε	U␈↓ 
\␈εβ=␈↓ π␈ε	U
␈β⊂Z␈↓ ↓h␈εn␈↓ ↓x␈εε+␈α↓1␈↓ α?␈εn␈↓ αP␈εε+1␈↓ ≤␈εn
␈β⊂q␈↓ 
α␈∧⊂q
αα~
␈β⊂s␈↓ α∨␈ε~0␈↓ 	a␈ε↔p
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	V␈↓ α.␈εβ=␈↓ αY␈ε	V␈↓ α|␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈α	(␈↓ β{␈ε	U␈↓ ∧!␈εβ,␈↓ ∧0␈ε	V␈↓ ∧S␈εβ)␈ε⊂␈α
is␈α
p␈α␈art␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
cy␈α}cle␈α
if␈α
an␈α␈d␈α	only␈α	if␈↓ λF␈εβ0␈αλ<␈↓ 	
␈ε	V␈↓ 	6␈εβ<␈↓ 
α␈ε	D␈↓ 
!␈εβ+␈↓ 
G␈ε	U␈↓ 
w␈ε⊂a␈α␈nd
␈β⊃α␈↓ αk␈εn␈↓ ∧⊃␈εn␈↓ ∧B␈εn␈↓ 	≤␈εn␈↓ 
]␈εn
␈β⊃→␈↓ βπ␈∧⊃→βπα~
␈β⊃~␈↓ αe␈ε↔p
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβ0␈α	<␈↓ α␈ε	U␈↓ α;␈εβ<␈↓ βπ␈ε	D␈↓ β ␈ε⊂.
␈β⊃*␈↓ α!␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα579
␈βα∨␈↓ βP␈ε↔␈␈↓ βq␈ε	V␈↓ ε?␈εβ(␈↓ εK␈ε	q␈↓ εg␈ε	X␈↓ π
␈ε↔␈␈↓ π3␈ε	p␈↓ πS␈εβ)(␈↓ πi␈ε	q␈↓ λ¬␈ε	Y␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λN␈ε	p␈↓ λn␈εβ)
␈βα*␈↓ ∧∧␈εn␈↓ ∧∀␈εε+1␈↓ εW␈εn␈↓ πB␈εn␈↓ πu␈εn␈↓ λ↑␈εn
␈βα5␈↓ α␈εβ(c)␈↓ ∧G␈εβ=␈↓ ∧q␈ε	X␈↓ ¬→␈ε	Y␈↓ ¬F␈εβ=␈↓ 	H␈εβ.
␈βα@␈↓ ¬λ␈εn␈↓ ¬,␈εn
␈βαD␈↓ βP␈∧αDβPαj␈↓ ¬t␈∧αD¬tαβQ
␈βαM␈↓ βs␈ε	V␈↓ ¬t␈εβ(␈↓ ¬␈␈ε	q␈↓ εA␈ε	X␈↓ εd␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	p␈↓ πS␈εβ)(␈↓ πi␈ε	q␈↓ λ+␈ε	Y␈↓ λK␈ε↔␈␈↓ λt␈ε	p␈↓ 	:␈εβ)
␈βαX␈↓ ∧ε␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ ε≠␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π≤␈εn␈↓ π-␈ε~␈␈εε1␈↓ πu␈εn␈↓ λ¬␈ε~␈␈εε1␈↓ 	β␈εn␈↓ 	∀␈ε~␈␈εε1
␈ββ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈ere␈αis␈αalso␈αa␈α
comp␈α␈an␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αide␈α␈n␈α␈tity,␈αn␈α␈amely
␈ββA␈↓ ε}␈εε2␈↓ 	m␈εn
␈ββD␈↓ εK␈εα(␈↓ λπ␈εα)
␈ββG␈↓ αH␈ε	V␈↓ α←␈ε	p␈↓ β␈ε	p␈↓ βM␈εβ+␈↓ βu␈ε	U␈↓ ∧⊃␈εβ(␈↓ ∧≤␈ε	p␈↓ ∧<␈ε	q␈↓ ¬¬␈εβ+␈↓ ¬.␈ε	p␈↓ ¬t␈ε	q␈↓ ε⊂␈εβ)␈αλ+␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε	U␈↓ π∩␈ε↔␈␈↓ π:␈ε	D␈↓ πS␈εβ)/␈↓ πo␈ε	V␈↓ λ∪␈ε	q␈↓ λ/␈ε	q␈↓ λ{␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 	b␈εβ)␈↓ 	}␈ε	U␈↓ 
#␈εβ.
␈ββQ␈↓ αo␈εn␈↓ β∂␈εn␈↓ β ␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧+␈εn␈↓ ∧H␈εn␈↓ ∧X␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬>␈εn␈↓ ¬N␈ε~␈␈εε1␈↓ ε␈εn␈↓ λ∨␈εn␈↓ λ;␈εn␈↓ λL␈ε~␈␈εε1␈↓ 
∪␈εn
␈β∧
␈↓ α␈εβ(d)␈α⊂If␈↓ αf␈ε	X␈↓ β⊗␈εβ=␈↓ βA␈ε	X␈↓ βz␈εβfo␈α␈r␈α
some␈↓ ∧␈␈ε	n␈↓ ¬≤␈ε↔≤␈↓ ¬F␈ε	m␈↓ ¬d␈εβ,␈α
then␈↓ εB␈ε	X␈↓ εh␈εβis␈α
an␈α	i␈α↓rra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈α
th␈α␈at␈α
satis|␈α␈es␈α
the
␈β∧_␈↓ α⎇␈εn␈↓ βX␈εm
␈β∧5␈↓ ↓H␈εβq␈α␈ua␈α␈drat␈α␈i␈α↓c␈αe␈α␈qua␈α␈tion␈α(␈↓ βn␈ε	q␈↓ ∧
␈ε	X␈↓ ∧-␈ε↔␈␈↓ ∧V␈ε	p␈↓ ∧v␈εβ)/␈α␈(␈↓ ¬≥␈ε	q␈↓ ¬←␈ε	X␈↓ εα␈ε↔␈␈↓ ε*␈ε	p␈↓ εp␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ π:␈ε	q␈↓ π]␈ε	X␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ)␈ε	p␈↓ λP␈εβ)/(␈↓ λw␈ε	q␈↓ 	@␈ε	X␈↓ 	c␈ε↔␈␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
X␈εβ)␈α↓.
␈β∧?␈↓ βz␈εn␈↓ ∧e␈εn␈↓ ¬)␈εn␈↓ ¬9␈ε~␈␈εε1␈↓ ε:␈εn␈↓ εJ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ πF␈εm␈↓ λ9␈εm␈↓ 	β␈εm␈↓ 	~␈ε~␈␈εε1␈↓ 
≠␈εm␈↓ 
3␈ε~␈␈εε1
␈β∧f␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβAs␈α⊃in␈α⊂ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α⊂9,␈α∩w␈α␈e␈α⊃ne␈α␈ed␈α⊃o␈α␈nly␈α⊂v␈α␈erify␈α⊂the␈α⊂stated␈α⊂iden␈α}tities␈α⊃whe␈α␈n␈↓ 	u␈ε	c␈↓ 
∪␈εβis␈α⊃th␈α␈e␈α⊃las␈α␈t
␈β¬∞␈↓ ↓H␈εβp␈α␈artial␈α⊃quo␈α␈tien␈α␈t,␈α∪an␈α␈d␈α⊃this␈α∩v␈α}eri|c␈α␈ation␈α⊃is␈α∩triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓.␈α≡No␈α␈w␈α∩Hu␈α␈rwitz's␈α∩ru␈α␈l␈α↓e␈α⊃giv␈α␈e␈α␈s␈α∩2␈α␈/␈↓ 
j␈ε	e␈↓ ␈εβ=
␈β¬5␈↓ ↓H␈ε↔?␈εβ␈α␈1,␈αε2␈α␈,␈αε1,␈αε2␈α␈,␈αε0,␈αε1␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε1,␈α¬1,␈αε0␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε2,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈α¬1,␈αε3,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε2␈α␈,␈αε5,␈↓ π,␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ πX␈ε↔?␈εβ.␈α
Tak␈α␈ing␈απthe␈απrecip␈α␈roca␈α␈l␈α↓,␈αλcollap␈α␈s-
␈β¬]␈↓ ↓H␈εβin␈α␈g␈αo␈α␈ut␈α
the␈α
zeros␈α
as␈αin␈α
ex␈α}ercise␈α9␈α␈,␈αan␈α␈d␈αt␈α␈akin␈α␈g␈αn␈α␈ote␈α
of␈αth␈α␈e␈αp␈α␈atte␈α␈rn␈αth␈α␈at␈α
ap␈α␈pea␈α␈rs,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd
␈βε␈↓ ¬T␈∧ε¬Tααj
␈βε∧␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αex␈α}ercise␈α16␈α␈)␈αtha␈α␈t␈↓ β{␈ε	e␈↓ ∧λ␈εβ/2␈α	=␈α	1␈απ+␈ε↔␈αλ?␈εβ␈α¬2,␈↓ ¬T␈εβ2␈↓ ¬d␈ε	m␈↓ ε	␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈αε3,␈αε1␈α␈,␈αε2␈↓ π!␈ε	m␈↓ πE␈εβ+␈αλ1,␈αε1␈α␈,␈αε3␈↓ λ>␈ε↔?␈εβ␈α␈,␈↓ λc␈ε	m␈↓ 		␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.␈α~[␈ε⊂S␈α␈chriften␈α
de␈α␈r
␈βε,␈↓ ↓H␈ε⊂p␈α␈h␈α␈y␈α␈s.-␈↓ α ␈ε⊂∪␈↓ α ␈ε⊂o␈↓ α0␈ε⊂k␈α␈o␈α␈n.␈αGesellsch␈α␈aft␈αzu␈αK␈↓ ∧y␈ε⊂∪␈↓ ∧y␈ε⊂o␈↓ ¬	␈ε⊂nigsb␈α␈erg␈ε∪␈α3␈α␈2␈εβ␈α(18␈α␈91),␈α59␈α␈↑62␈α␈.␈α↓]
␈βεZ␈↓ α␈εα(
␈βε]␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α_␈εβThis␈α∞p␈α␈roce␈α␈du␈α␈re␈α∞ma␈α␈i␈α↓n␈α}tains␈α
f␈α↓o␈α␈ur␈α∞in␈α}tegers␈α
(␈↓ εp␈ε	A␈↓ ππ␈εβ,␈↓ π∃␈ε	B␈↓ π,␈εβ,␈↓ π;␈ε	C␈↓ πU␈εβ,␈↓ πd␈ε	D␈↓ π⎇␈εβ)␈α∞wi␈α↓th␈α
th␈α␈e␈α∞in␈α␈v␈α␈arian␈α}t␈α∞mean␈α␈ing
␈βπ¬␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α
\␈α␈ou␈α␈r␈α
rema␈α␈i␈α↓n␈α␈ing␈αjob␈αi␈α↓s␈α
to␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fra␈α␈ction␈αfor␈α
(␈↓ 	π␈ε	A␈↓ 	≥␈ε	y␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	b␈ε	B␈↓ 	x␈εβ)/(␈↓ 
∨␈ε	C␈↓ 
:␈ε	y␈↓ 
U␈εβ+␈↓ 
␈␈ε	D␈↓ _␈εβ),
␈βπ)␈↓ ¬B␈εα)
␈βπ,␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	y␈↓ αG␈εβis␈αthe␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈αy␈α}et␈αto␈αco␈α␈me."␈↓ ¬h␈εβInitially␈αset␈↓ π≠␈ε	j␈↓ π4␈ε↔ ␈↓ π←␈ε	k␈↓ πz␈ε↔ ␈εβ␈α
0,␈α(␈↓ λV␈ε	A␈↓ λl␈εβ,␈↓ λ{␈ε	B␈↓ 	⊃␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	C␈↓ 	;␈εβ,␈↓ 	J␈ε	D␈↓ 	c␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α(␈↓ 
/␈ε	a␈↓ 
?␈εβ,␈↓ 
N␈ε	b␈↓ 
[␈εβ,␈↓ 
j␈ε	c␈↓ 
w␈εβ,␈↓ ε␈ε	d␈↓ _␈εβ);
␈βπT␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈α∂in␈α␈pu␈α␈t␈↓ αt␈ε	x␈↓ β∨␈εβan␈α␈d␈α∂se␈α␈t␈α⊂(␈↓ ∧'␈ε	A␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧L␈ε	B␈↓ ∧b␈εβ,␈↓ ∧q␈ε	C␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬~␈ε	D␈↓ ¬3␈εβ)␈ε↔␈α⊃ ␈εβ␈α⊂(␈↓ ε␈ε	A␈↓ ε!␈ε	x␈↓ εG␈εβ+␈↓ εr␈ε	B␈↓ πλ␈εβ,␈↓ π↔␈ε	A␈↓ π-␈εβ,␈↓ π<␈ε	C␈↓ πW␈ε	x␈↓ π⎇␈εβ+␈↓ λ(␈ε	D␈↓ λA␈εβ,␈↓ λP␈ε	C␈↓ λk␈εβ),␈↓ 	∂␈ε	j␈↓ 	.␈ε↔ ␈↓ 	←␈ε	j␈↓ 	x␈εβ+␈α1␈α␈,␈α⊃o␈α␈ne␈α∂o␈α␈r
␈βπ←␈↓ β∧␈εj␈↓ ε0␈εj␈↓ πf␈εj
␈βπy␈↓ π$␈εα(
␈βπ|␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ore␈αtimes␈αu␈α␈n␈α␈til␈↓ βB␈ε	C␈↓ βe␈εβ+␈↓ ∧
␈ε	D␈↓ ∧1␈εβhas␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αsign␈αa␈α␈s␈↓ εf␈ε	C␈↓ π↓␈εβ.␈↓ π0␈εβWh␈α␈en␈↓ λ⊂␈ε	j␈↓ λ(␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α
an␈α␈d␈αth␈α␈e␈αi␈α↓n␈α␈pu␈α␈t␈αha␈α␈s␈αno␈α␈t
␈βλ#␈↓ ↓H␈εβte␈α␈rmina␈α␈ted,␈αλw␈α␈e␈απkn␈α␈o␈α␈w␈αλth␈α␈at␈απ1␈α	<␈↓ ¬α␈ε	y␈↓ ¬≡␈εβ<␈ε↔␈α
1␈εβ;␈α	an␈α␈d␈απwhe␈α␈n␈↓ π␈ε	C␈↓ π*␈εβ+␈↓ πM␈ε	D␈↓ πn␈εβh␈α␈as␈απthe␈απsa␈α␈me␈απsi␈α↓g␈α␈n␈απas␈↓ 
⊂␈ε	C␈↓ 
2␈εβw␈α␈e␈αλk␈α␈no␈α}w
␈βλH␈↓ 	l␈εα)
␈βλK␈↓ ↓H␈εβth␈α␈erefo␈α␈re␈α	th␈α␈at␈αλ(␈↓ β#␈ε	A␈↓ β9␈ε	y␈↓ βO␈εβ+␈↓ βu␈ε	B␈↓ ∧␈εβ)/(␈↓ ∧2␈ε	C␈↓ ∧M␈ε	y␈↓ ∧c␈εβ+␈↓ ¬	␈ε	D␈↓ ¬"␈εβ)␈α	lies␈α	b␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αλ(␈↓ εu␈ε	A␈↓ π∂␈εβ+␈↓ π5␈ε	B␈↓ πK␈εβ)/(␈↓ πr␈ε	C␈↓ λ⊃␈εβ+␈↓ λ6␈ε	D␈↓ λO␈εβ)␈α	an␈α␈d␈↓ 	!␈ε	A␈↓ 	8␈εβ/␈↓ 	H␈ε	C␈↓ 	c␈εβ.␈↓ 
␈εβNo␈α␈w␈αλcome␈α␈s
␈βλr␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αge␈α␈nera␈α␈l␈αstep:␈αIf␈αno␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈r␈αl␈α↓ies␈αs␈α␈tri␈α↓c␈α␈tl␈α↓y␈α
be␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈α(␈↓ π7␈ε	A␈↓ πT␈εβ+␈↓ π⎇␈ε	B␈↓ λ∪␈εβ)/(␈↓ λ:␈ε	C␈↓ λ\␈εβ+␈↓ 	¬␈ε	D␈↓ 	≡␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 	t␈ε	A␈↓ 
␈εβ/␈↓ 
≠␈ε	C␈↓ 
6␈εβ,␈αout␈α␈pu␈α␈t
␈β	~␈↓ ↓H␈ε	X␈↓ ↓v␈ε↔ ␈αb␈↓ α/␈ε	A␈↓ αE␈εβ/␈↓ αU␈ε	C␈↓ αp␈ε↔c␈εβ,␈αan␈α␈d␈αs␈α␈et␈α(␈↓ ∧∪␈ε	A␈↓ ∧)␈εβ,␈↓ ∧8␈ε	B␈↓ ∧N␈εβ,␈↓ ∧]␈ε	C␈↓ ∧x␈εβ,␈↓ ¬π␈ε	D␈↓ ¬ ␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α
(␈↓ ¬l␈ε	C␈↓ εε␈εβ,␈↓ ε∃␈ε	D␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	A␈↓ ε[␈ε↔␈␈↓ π∧␈ε	X␈↓ π(␈ε	C␈↓ πC␈εβ,␈↓ πR␈ε	B␈↓ πp␈ε↔␈␈↓ λ→␈ε	X␈↓ λ=␈ε	D␈↓ λW␈εβ),␈↓ λw␈ε	k␈↓ 	⊃␈ε↔ ␈↓ 	=␈ε	k␈↓ 	U␈εβ+␈αλ1␈α␈;␈α
o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈β	%␈↓ ↓←␈εk␈↓ π≠␈εk␈↓ λ0␈εk
␈β	B␈↓ ↓H␈εβin␈α␈pu␈α␈t␈↓ α!␈ε	x␈↓ αG␈εβan␈α␈d␈αset␈α(␈↓ βG␈ε	A␈↓ β]␈εβ,␈↓ βl␈ε	B␈↓ ∧α␈εβ,␈↓ ∧⊃␈ε	C␈↓ ∧,␈εβ,␈↓ ∧;␈ε	D␈↓ ∧T␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
(␈↓ ¬≡␈ε	A␈↓ ¬4␈ε	x␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ε␈ε	B␈↓ ε⊗␈εβ,␈↓ ε%␈ε	A␈↓ ε;␈εβ,␈↓ εJ␈ε	C␈↓ εe␈ε	x␈↓ πλ␈εβ+␈↓ π0␈ε	D␈↓ πI␈εβ,␈↓ πX␈ε	C␈↓ πs␈εβ),␈↓ λ∪␈ε	j␈↓ λ+␈ε↔ ␈↓ λV␈ε	j␈↓ λl␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈αThe␈α
gen␈α␈eral␈αstep
␈β	L␈↓ α0␈εj␈↓ ¬D␈εj␈↓ εt␈εj
␈β	i␈↓ ↓H␈εβis␈α
re␈α␈pea␈α␈ted␈αad␈αi␈α↓n␈α␈|n␈α␈itum.␈α⊂Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α∞if␈α
at␈αan␈α␈y␈αtime␈αthe␈ε⊂␈α|n␈α␈al␈↓ λ5␈ε	x␈↓ λ↑␈εβis␈α
in␈α␈pu␈α␈t,␈α∞th␈α␈e␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β	t␈↓ λE␈εj
␈β
⊃␈↓ ↓H␈εβimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α	s␈α␈w␈α↓itch␈α␈es␈α	gea␈α␈rs:␈αIt␈α	ou␈α␈tpu␈α␈ts␈α
t␈α␈he␈α	con␈α}tin␈α␈ue␈α␈d␈α	fraction␈αλf␈α↓o␈α␈r␈α
(␈↓ 	β␈ε	A␈↓ 	→␈ε	x␈↓ 	:␈εβ+␈↓ 	`␈ε	B␈↓ 	v␈εβ)/(␈↓ 
≥␈ε	C␈↓ 
8␈ε	x␈↓ 
Y␈εβ+␈↓ 
␈␈ε	D␈↓ _␈εβ),
␈β
≠␈↓ 	(␈εj␈↓ 
G␈εj
␈β
8␈↓ ↓H␈εβu␈α␈sing␈αEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m,␈αan␈α␈d␈αtermin␈α␈ates.
␈β
`␈↓ α␈εβThe␈α∞fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈wing␈α∞t␈α␈ablea␈α␈u␈α∞sho␈α}ws␈α∂th␈α␈e␈α∞w␈α␈ork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∞for␈α∞the␈α∞req␈α␈uest␈α␈ed␈α∞ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α⊂wh␈α␈ere␈α∞the
␈β
f␈↓ α4␈ε↓␈␈↓ α␈␈ε↓↓
␈β␈↓ αG␈εB␈↓ αh␈εA
␈βλ␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈↓ β_␈εβb␈α␈egins␈α
at␈α
th␈α␈e␈αu␈α␈pp␈α␈er␈α
l␈α↓eft␈α
co␈α␈rner,␈αt␈α␈hen␈α
sh␈α␈if␈α↓t␈α␈s␈αrigh␈α}t␈αo␈α␈ne␈α
on␈α
in␈α␈pu␈α␈t,␈αdo␈α}w␈α↓n␈α	one
␈β_␈↓ αF␈εD␈↓ αg␈εC
␈β/␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈αou␈α␈tp␈α␈ut:
␈βn␈↓ αB␈∧nαBαλK
␈βp␈↓ αA␈∧pαAα␈↓ ␈∧pα
␈βz␈↓ αA␈∧zαA(α␈↓ ␈∧z(α
␈β↓␈↓ βα␈ε	x␈↓ βW␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧e␈εβ5␈↓ ¬Q␈εβ1␈↓ ε=␈εβ1␈↓ π)␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ 	↓␈εβ1␈↓ 	m␈εβ2␈↓ 
H␈ε↔1
␈β␈↓ β⊃␈εj
␈β"␈↓ αA␈∧"αAα␈↓ ␈∧"α
␈β,␈↓ ↓h␈∧,↓hα	%
␈β.␈↓ ↓h␈∧.↓hα␈↓ αA␈∧.αAα␈↓ ␈∧.α
␈β9␈↓ ↓h␈∧9↓h(α␈↓ αA␈∧9αA(α␈↓ ␈∧9(α
␈β@␈↓ α␈ε	X␈↓ α|␈εβ39␈↓ βh␈εβ97␈↓ ∧3␈ε↔␈␈εβ58␈↓ ¬∞␈ε↔␈␈εβ193
␈βJ␈↓ α#␈εk
␈β`␈↓ ↓h␈∧`↓h(α␈↓ αA␈∧`αA(α␈↓ ␈∧`(α
␈βg␈↓ ↓}␈ε↔␈␈εβ2␈↓ α[␈ε↔␈␈εβ25␈↓ βG␈ε↔␈␈εβ62␈↓ ∧T␈εβ37␈↓ ¬/␈εβ123
␈β
λ␈↓ ↓h␈∧
λ↓h(α␈↓ αA␈∧
λαA(α␈↓ ␈∧
λ(α
␈β
∂␈↓ α∨␈εβ2␈↓ ∧T␈εβ16␈↓ ¬@␈εβ53
␈β
0␈↓ ↓h␈∧
0↓h(α␈↓ αA␈∧
0αA(α␈↓ ␈∧
0(α
␈β
7␈↓ α∨␈εβ3␈↓ ∧e␈εβ5␈↓ ¬@␈εβ17␈↓ ε,␈εβ22␈↓ π_␈εβ39
␈β
W␈↓ ↓h␈∧
W↓h(α␈↓ αA␈∧
WαA(α␈↓ ␈∧
W(α
␈β
↑␈↓ α∨␈εβ7␈↓ ∧e␈εβ1␈↓ ¬Q␈εβ2␈↓ ε=␈εβ3␈↓ π)␈εβ5␈↓ λ∃␈εβ8
␈β
␈␈↓ ↓h␈∧
␈↓h(α␈↓ αA␈∧
␈αA(α␈↓ ␈∧
␈(α
␈β∞ε␈↓ α∨␈εβ1␈↓ ε=␈εβ1␈↓ π)␈εβ4␈↓ λ∃␈εβ5␈↓ λp␈εβ14
␈β∞&␈↓ ↓h␈∧∞&↓h(α␈↓ αA␈∧∞&αA(α␈↓ ␈∧∞&(α
␈β∞-␈↓ α∨␈εβ1␈↓ π)␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ3␈↓ 	↓␈εβ7
␈β∞N␈↓ ↓h␈∧∞N↓h(α␈↓ αA␈∧∞NαA(α␈↓ ␈∧∞N(α
␈β∞U␈↓ α∨␈εβ1␈↓ λ∃␈εβ2␈↓ 	↓␈εβ7␈↓ 	m␈εβ9␈↓ 
H␈εβ25
␈β∞v␈↓ ↓h␈∧∞v↓h(α␈↓ αA␈∧∞vαA(α␈↓ ␈∧∞v(α
␈β∞⎇␈↓ α∂␈εβ1␈α␈3␈↓ λ∃␈εβ1␈↓ 	↓␈εβ0␈↓ 	m␈εβ1␈↓ 
Y␈εβ2
␈β∂≥␈↓ ↓h␈∧∂≥↓h(α␈↓ αA␈∧∂≥αA(α␈↓ ␈∧∂≥(α
␈β∂$␈↓ α∨␈εβ2␈↓ 
Y␈εβ1
␈β∂E␈↓ ↓h␈∧∂E↓h(α␈↓ αA␈∧∂EαA(α␈↓ ␈∧∂E(α
␈β∂L␈↓ α∂␈ε↔1␈↓ 
Y␈εβ0
␈β∂m␈↓ ↓h␈∧∂m↓hα␈↓ αA␈∧∂mαAα␈↓ ␈∧∂mα
␈β∂w␈↓ ↓h␈∧∂w↓hα	%
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβM␈α␈.␈αMe␈α␈nd␈↓ αJ␈εβ␈
␈↓ αK␈εβe␈↓ αZ␈εβs␈αFra␈α␈nce␈αh␈α␈as␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αth␈α␈at␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αqu␈α␈otien␈α}ts␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈αper␈αqu␈α␈otien␈α}t␈αin␈α␈pu␈α␈t
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβis␈α
asy␈α␈mpt␈α␈otically␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α	bet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α
1/␈↓ ¬p␈ε	r␈↓ ε	␈εβa␈α␈nd␈↓ εI␈ε	r␈↓ εW␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πJ␈ε	r␈↓ πb␈εβ=␈α
2␈ε↔␈α␈b␈↓ λ*␈ε	K␈↓ λF␈εβ(␈ε↔j␈↓ λZ␈ε	a␈↓ λk␈ε	d␈↓ 	β␈ε↔␈␈↓ 	+␈ε	b␈↓ 	8␈ε	c␈↓ 	E␈ε↔j␈εβ␈α↓)/␈α␈2␈ε↔c␈εβ␈αε+␈απ1␈α
an␈α␈d␈↓ ⊃␈ε	K
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβis␈αth␈α␈e␈αfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αd␈α␈e|␈α␈ned␈αin␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α38;␈αth␈α␈i␈α↓s␈αbo␈α␈un␈α␈d␈αis␈αb␈α␈est␈αp␈α␈ossib␈α␈l␈α↓e␈α␈.␈α≠[␈ε⊂T␈α↓o␈α␈pics␈αi␈α↓n␈αNu␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε⊂Th␈α␈eory␈εβ␈α␈,␈αed.␈αby␈α
P␈α↓.␈αTu␈α␈r␈↓ ∧␈εβ∞␈↓ ∧␈εβa␈↓ ∧≤␈εβn,␈ε⊂␈αCo␈α␈l␈α↓loq␈α␈uia␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈αJ␈↓ π∩␈ε⊂∞␈↓ π∩␈ε⊂a␈↓ π"␈ε⊂nos␈αBo␈α␈l␈α↓y␈α␈ai␈ε∪␈α13␈εβ␈α(1␈α␈976␈α␈),␈α1␈α␈83↑␈α␈194␈α␈.␈α↓]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα580␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα+␈↓ α␈εβThe␈α∞abo␈α}v␈α␈e␈α∂a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α∞can␈α∞be␈α∂g␈α␈en␈α␈eralized␈α∞to␈α∂com␈α␈pu␈α␈te␈α∂th␈α␈e␈α∂con␈α}ti␈α↓n␈α}ue␈α␈d␈α∂frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α∂fo␈α␈r
␈βαS␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	a␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓u␈ε	y␈↓ α∂␈εβ+␈↓ α9␈ε	b␈↓ αF␈ε	x␈↓ α`␈εβ+␈↓ β	␈ε	c␈↓ β⊗␈ε	y␈↓ β1␈εβ+␈↓ βZ␈ε	d␈↓ βm␈εβ)/␈α␈(␈↓ ∧∪␈ε	A␈↓ ∧*␈ε	x␈↓ ∧;␈ε	y␈↓ ∧V␈εβ+␈↓ ∧␈␈ε	B␈↓ ¬∃␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬Y␈ε	C␈↓ ¬s␈ε	y␈↓ ε∞␈εβ+␈↓ ε8␈ε	D␈↓ εQ␈εβ)␈αfrom␈αth␈α␈ose␈αof␈↓ λ9␈ε	x␈↓ λW␈εβa␈α␈nd␈↓ 	→␈ε	y␈↓ 	7␈εβ(i␈α↓n␈αp␈α␈articu␈α␈lar,␈α
to
␈βαz␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈ute␈αsu␈α␈ms␈αan␈α␈d␈αp␈α␈rod␈α␈ucts␈α␈)␈α↓;␈αsee␈αR.␈αW.␈αG␈α␈ospe␈α␈r,␈αto␈α
app␈α␈ea␈α␈r.
␈ββ'␈↓ 
∧␈εε3
␈ββ+␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβIt␈αi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αd␈α␈i␈α↓}␈α␈cult␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ π⊗␈ε	f␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε	z␈↓ πJ␈εβ)␈α	=␈↓ λ	␈ε	z␈↓ λ↔␈εβ/␈α␈(2␈↓ λC␈ε	n␈↓ λ↑␈εβ+␈αλ1)␈απ+␈↓ 	S␈ε	O␈↓ 	k␈εβ(␈↓ 	v␈ε	z␈↓ 
⊃␈εβ)␈αis␈αan␈αo␈α␈dd
␈ββ6␈↓ π ␈εn
␈ββS␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈nct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α
wi␈α↓th␈α
a␈α
c␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈n␈α␈t␈α
po␈α␈w␈α␈er␈α
series␈α
in␈α
a␈α∞n␈α␈eigh␈α}bo␈α␈rhoo␈α␈d␈α
of␈α
the␈α
origin␈α␈,␈α∂a␈α␈nd␈α
th␈α␈at␈α
it
␈ββ{␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈tis|es␈αth␈α␈e␈αgiv␈α␈e␈α␈n␈αd␈α␈i␈α↓{eren␈α}tial␈αequ␈α␈ation␈α␈.␈αHen␈α␈ce
␈β∧;␈↓ βI␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ ε↔␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εk␈ε~␈␈εε1␈↓ λd␈ε~␈␈εε1
␈β∧@␈↓ α<␈ε	f␈↓ αS␈εβ(␈↓ α↑␈ε	z␈↓ αl␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
?␈↓ β<␈ε	z␈↓ βw␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	f␈↓ ∧6␈εβ(␈↓ ∧A␈ε	z␈↓ ∧O␈εβ)␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ ¬≡␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬O␈εβ=␈ε↔␈α	?␈↓ ε
␈ε	z␈↓ ε=␈εβ,␈αε3␈↓ ε]␈ε	z␈↓ π⊂␈εβ,␈↓ π∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πL␈εβ,␈α¬(2␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ⊃␈εβ+␈αλ1)␈↓ λV␈ε	z␈↓ 	⊃␈εβ+␈↓ 	:␈ε	f␈↓ 	z␈εβ(␈↓ 
¬␈ε	z␈↓ 
∪␈εβ)␈ε↔?␈εβ.
␈β∧K␈↓ αG␈εε0␈↓ ∧)␈εε1␈↓ 	D␈εn␈↓ 	T␈εε+1
␈β¬α␈↓ ¬h␈ε~␈␈εε1␈↓ ε;␈ε~␈␈εε1␈↓ λ=␈ε~␈␈εε1
␈β¬ε␈↓ ↓H␈εβIt␈α⊃remain␈α␈s␈α∩to␈α⊃pro␈α}v␈α␈e␈α⊃that␈↓ ∧S␈εβli␈α↓m␈↓ ¬J␈ε↔?␈↓ ¬Z␈ε	z␈↓ ε∞␈εβ,␈αε3␈↓ ε-␈ε	z␈↓ εa␈εβ,␈↓ εp␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π≤␈εβ,␈αε(2␈↓ πG␈ε	n␈↓ πf␈εβ+␈α
1␈α␈)␈↓ λ/␈ε	z␈↓ λc␈ε↔?␈εβ␈α∀=␈↓ 	=␈ε	f␈↓ 	T␈εβ(␈↓ 	←␈ε	z␈↓ 	m␈εβ).␈α&[A␈α↓c␈α␈tua␈α␈l␈α↓ly
␈β¬⊃␈↓ ¬↓␈εn␈↓ ¬∩␈ε~!1␈↓ 	G␈εε0
␈β¬.␈↓ ↓H␈εβEu␈α␈l␈α↓e␈α␈r,␈α
a␈α␈ge␈αλ24,␈α	o␈α␈btain␈α␈ed␈αλcon␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈αλfraction␈αλe␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈ns␈αλfor␈α	th␈α␈e␈αλcon␈α␈si␈α↓d␈α␈era␈α␈bly␈αλmore␈αλg␈α␈enera␈α␈l
␈β¬Q␈↓ ∧β␈ε~0␈↓ ¬¬␈εm␈↓ ε"␈εm␈↓ ε9␈ε~␈␈εε1␈↓ πV␈εε2
␈β¬V␈↓ ↓H␈εβd␈α␈i{␈α↓er␈α␈en␈α␈tial␈α
e␈α␈qu␈α␈ation␈↓ βs␈ε	f␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε	z␈↓ ∧(␈εβ)␈α	=␈↓ ∧g␈ε	a␈↓ ∧w␈ε	z␈↓ ¬"␈εβ+␈↓ ¬H␈ε	b␈↓ ¬U␈ε	f␈↓ ¬p␈εβ(␈↓ ¬{␈ε	z␈↓ ε	␈εβ)␈↓ ε∀␈ε	z␈↓ εd␈εβ+␈↓ π␈ε	c␈↓ π_␈ε	f␈↓ π2␈εβ(␈↓ π=␈ε	z␈↓ πK␈εβ)␈↓ πc␈εβ;␈α
bu␈α␈t␈α
h␈α␈e␈α	did␈α	no␈α␈t␈α
b␈α␈oth␈α␈er␈α
to␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e
␈β¬`␈↓ ¬`␈εn␈↓ π"␈εn
␈β¬e␈↓ β␈␈εn
␈β¬⎇␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce,␈απsince␈αεform␈α␈al␈απma␈α␈nipu␈α␈lation␈αεa␈α␈nd␈αεin␈α␈tu␈α␈iti␈α↓o␈α␈n␈αεw␈α␈ere␈απg␈α␈oo␈α␈d␈αεeno␈α␈ugh␈αεin␈αεth␈α␈e␈απe␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈tee␈α␈n␈α␈th
␈βε%␈↓ ↓H␈εβc␈α␈en␈α␈tu␈α␈ry.]
␈βεL␈↓ α␈εβThe␈α␈re␈αλare␈αλsev␈α}eral␈αλways␈αλto␈αλp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αλthe␈αλd␈α␈esired␈αλlimiti␈α↓n␈α␈g␈αλequ␈α␈ation␈α␈.␈α
F␈α↓irst,␈α	letting␈↓ 
C␈ε	f␈↓ 
↑␈εβ(␈↓ 
i␈ε	z␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βεV␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βεW␈↓ 
N␈εn
␈βεp␈↓ α;␈εk
␈βεt␈↓ α␈ε	a␈↓ α-␈ε	z␈↓ αH␈εβ,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αa␈α␈rgue␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈αth␈α␈e␈αequ␈α␈ation
␈βε␈␈↓ α⊂␈εn␈↓ α ␈εk
␈βππ␈↓ ↓n␈εk
␈βπ4␈↓ ∧w␈εε2␈↓ εi␈εε4
␈βπ:␈↓ ↓i␈εβ(2␈↓ α¬␈ε	n␈↓ α ␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ αe␈ε	a␈↓ β_␈εβ+␈αλ(2␈↓ β]␈ε	n␈↓ βx␈εβ+␈αλ3)␈↓ ∧=␈ε	a␈↓ ∧i␈ε	z␈↓ ¬␈εβ+␈αλ(2␈↓ ¬O␈ε	n␈↓ ¬k␈εβ+␈απ5)␈↓ ε/␈ε	a␈↓ ε\␈ε	z␈↓ ε⎇␈εβ+␈↓ π&␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βπD␈↓ αt␈εn␈↓ β∧␈εε1␈↓ ∧L␈εn␈↓ ∧]␈εε3␈↓ ε?␈εn␈↓ εO␈εε5
␈βπ[␈↓ 	$␈εε3␈↓ 

␈εε5␈↓ 
␈␈εε2
␈βπa␈↓ π)␈εβ=␈α
1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ λ ␈ε	a␈↓ λ<␈ε	z␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λz␈ε	a␈↓ 	⊗␈ε	z␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	`␈ε	a␈↓ 	⎇␈ε	z␈↓ 
≡␈εβ+␈↓ 
G␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
s␈εβ)
␈βπl␈↓ λ/␈εε1␈↓ 		␈εε3␈↓ 	p␈εε5
␈βλ#␈↓ αV␈εk␈↓ λ&␈εk␈↓ λ3␈εε+1
␈βλ'␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ αK␈εβ)␈↓ αc␈ε	a␈↓ β]␈εβis␈α	a␈α	sum␈α	o␈α␈f␈α
term␈α␈s␈α
o␈α␈f␈α
th␈α␈e␈α	form␈↓ π¬␈ε	c␈↓ π≡␈εβ/(2␈↓ πK␈ε	n␈↓ πd␈εβ+␈α¬1␈↓ λ≠␈εβ)␈↓ λY␈εβ(2␈↓ λt␈ε	n␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	4␈ε	b␈↓ 	Z␈εβ)␈↓ 	j␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
↔␈εβ(2␈↓ 
2␈ε	n␈↓ 
K␈εβ+␈↓ 
r␈ε	b␈↓ _␈εβ),
␈βλ2␈↓ π⊃␈εk␈↓ 	@␈εk␈↓ 	M␈εε1␈↓ 
}␈εk␈↓ ␈εk
␈βλ3␈↓ αs␈εn␈↓ ββ␈εε(␈α↓2␈↓ β_␈εk␈↓ β%␈εε+␈α↓1␈α␈)
␈βλO␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α∞th␈α␈e␈↓ αg␈ε	c␈↓ β∞␈εβa␈α␈nd␈↓ βQ␈ε	b␈↓ ∧⊂␈εβa␈α␈re␈α∞p␈α␈ositiv␈α␈e␈α∞in␈α}tegers␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ λ-␈ε	n␈↓ λA␈εβ.␈α∀For␈α∞e␈α␈xam␈α␈ple,␈ε↔␈α∂␈␈↓ 
Q␈ε	a␈↓ ␈εβ=
␈βλY␈↓ αs␈εk␈↓ β]␈εk␈↓ βj␈εm␈↓ 
`␈εn␈↓ 
q␈εε7
␈βλr␈↓ αW␈εε4␈↓ εb␈εε4␈↓ π]␈εε2
␈βλv␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈/(2␈↓ α¬␈ε	n␈↓ α~␈εβ+␈α↓1␈↓ αL␈εβ)␈↓ αd␈εβ(2␈↓ β␈ε	n␈↓ β∃␈εβ+␈α↓3␈α␈)(2␈↓ βn␈ε	n␈↓ ∧β␈εβ+␈α↓5)(2␈↓ ∧]␈ε	n␈↓ ∧q␈εβ+␈α↓7)␈α↓+␈α↓1/␈α␈(2␈↓ ε∂␈ε	n␈↓ ε$␈εβ+␈α↓1␈↓ εW␈εβ)␈↓ εn␈εβ(2␈↓ π
␈ε	n␈↓ π∨␈εβ+␈α↓3␈↓ πR␈εβ)␈↓ πi␈εβ(␈α↓2␈↓ λ¬␈ε	n␈↓ λ~␈εβ+␈α↓7).␈α
Th␈α}us␈ε↔␈αεj␈↓ 	C␈ε	a␈↓ 
'␈ε↔j␈α	∀␈α
j␈↓ 
m␈ε	a␈↓ ~␈ε↔j␈εβ,
␈β	↓␈↓ 
|␈εn␈↓ 
␈εk
␈β	α␈↓ 	S␈εε(␈↓ 	[␈εn␈↓ 	k␈εε+1)␈↓ 
→␈εk
␈β	≡␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
j␈↓ α⊃␈ε	f␈↓ α,␈εβ(␈↓ α7␈ε	z␈↓ αE␈εβ)␈ε↔j␈α	∀␈↓ β
␈εβta␈α␈n␈↓ βB␈ε↔j␈↓ βL␈ε	z␈↓ βY␈ε↔j␈εβ␈αfor␈ε↔␈αj␈↓ ∧*␈ε	z␈↓ ∧8␈ε↔j␈εβ␈α	<␈↓ ∧u␈ε	→␈↓ ¬π␈εβ/2␈α␈.␈αTh␈α␈is␈αu␈α␈niform␈α
bo␈α␈un␈α␈d␈αo␈α␈n␈↓ λ_␈ε	f␈↓ λ3␈εβ(␈↓ λ>␈ε	z␈↓ λL␈εβ)␈α
mak␈α}es␈αth␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}erge␈α␈nce
␈β	)␈↓ α≠␈εn␈↓ λ"␈εn
␈β	F␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈α
v␈α}ery␈α	simp␈α␈le.␈αCa␈α␈reful␈α	stud␈α␈y␈α	o␈α␈f␈α
th␈α␈is␈α	argu␈α␈men␈α}t␈α	rev␈α␈e␈α␈als␈α	that␈α	th␈α␈e␈α	po␈α}w␈α␈er␈α	series␈α	for␈↓ 
n␈ε	f␈↓ λ␈εβ(␈↓ ∀␈ε	z␈↓ !␈εβ)
␈β	P␈↓ 
x␈εn
␈β	j␈↓ ¬'␈∧	j¬'αf
␈β	k␈↓ ¬¬␈ε↔p
␈β	m␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ctua␈α␈ll␈α↓y␈αcon␈α␈v␈α}erg␈α␈es␈α∞fo␈α␈r␈ε↔␈α∞j␈↓ ∧!␈ε	z␈↓ ∧/␈ε↔j␈εβ␈α
<␈↓ ∧s␈ε	→␈↓ ¬'␈εβ2␈↓ ¬7␈ε	n␈↓ ¬S␈εβ+␈απ1␈↓ ε␈εβ/2␈α␈;␈α∂this␈α
is␈α∞in␈α}teresting␈α␈,␈α∞since␈α
it␈α
sho␈α␈ws␈α
th␈α␈at␈α
the
␈β
∃␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈ri␈α↓ties␈α
o␈α␈f␈↓ β,␈ε	f␈↓ βF␈εβ(␈↓ βQ␈ε	z␈↓ β←␈εβ)␈α∞g␈α␈et␈α
farth␈α␈er␈α∞a␈α␈nd␈αf␈α↓a␈α␈rthe␈α␈r␈α∞a␈α␈way␈α
from␈α
th␈α␈e␈α
origin␈α
a␈α␈s␈↓ 	I␈ε	n␈↓ 	j␈εβgr␈α␈o␈α␈ws,␈α∞so␈α
the
␈β
∨␈↓ β6␈εn
␈β
<␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈α
fraction␈α
actu␈α␈ally␈αrep␈α␈resen␈α}ts␈↓ ¬w␈εβtan␈α␈h␈↓ ε?␈ε	z␈↓ εX␈ε⊂thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈εβ␈αthe␈αc␈α␈omp␈α␈lex␈αp␈α␈l␈α↓a␈α␈ne.
␈β
d␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈αp␈α␈roo␈α␈f␈αgiv␈α␈es␈αfu␈α␈rther␈αin␈α␈f␈α↓o␈α␈rmat␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αa␈αd␈α␈i{␈α↓e␈α␈ren␈α␈t␈αk␈α␈i␈α↓n␈α␈d:␈αIf␈αw␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈t
␈β~␈↓ ∧a␈ε↓X␈↓ π?␈ε↓X
␈β#␈↓ ¬/␈ε↓∩␈↓ ε*␈ε↓∪
␈β%␈↓ 	β␈εn␈↓ 	∀␈ε~␈␈↓ 	-␈εk
␈β)␈↓ ¬E␈εβ2␈↓ ¬V␈ε	n␈↓ ¬q␈ε↔␈␈↓ ε~␈ε	k␈↓ π|␈εβ(␈↓ λπ␈ε	n␈↓ λ#␈εβ+␈↓ λK␈ε	k␈↓ λ\␈εβ)!␈↓ λv␈ε	z
␈β9␈↓ εT␈εk
␈β?␈↓ β-␈ε	A␈↓ βS␈εβ(␈↓ β↑␈ε	z␈↓ βk␈εβ)␈α
=␈↓ ∧*␈ε	n␈↓ ∧>␈εβ!␈↓ εF␈ε	z␈↓ εa␈εβ/␈↓ εr␈ε	k␈↓ πα␈εβ!␈α	=␈↓ 	>␈εβ,
␈βJ␈↓ βB␈εn
␈βN␈↓ π|␈∧Nπ|α↓>
␈βW␈↓ ¬n␈ε	n␈↓ λ∩␈ε	k␈↓ λ"␈εβ!␈αε(␈↓ λ<␈ε	n␈↓ λW␈ε↔␈␈↓ 	␈ε	k␈↓ 	⊂␈εβ)!
␈βq␈↓ ∧M␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧s␈εk␈↓ ¬␈ε~∀␈↓ ¬→␈εn␈↓ π?␈εk␈↓ πM␈ε~∃␈εε0
␈β<␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en
␈βl␈↓ βa␈ε↓X
␈βv␈↓ ¬Y␈εα(␈↓ 	7␈εα)
␈βy␈↓ ∧≡␈εβ(␈↓ ∧)␈ε	n␈↓ ∧E␈εβ+␈↓ ∧n␈ε	k␈↓ ¬¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)!␈↓ ¬e␈εβ(4␈↓ ε␈ε	n␈↓ ε≤␈εβ+␈απ2)␈↓ ε`␈ε	k␈↓ εx␈εβ+␈αλ(␈↓ π,␈ε	n␈↓ πG␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ1␈ε	k␈↓ λA␈εβ)(␈↓ λW␈ε	n␈↓ λs␈ε↔␈␈↓ 	≠␈ε	k␈↓ 	,␈εβ)
␈β
␈↓ 	Z␈εn␈↓ 	j␈εε+1␈ε~␈␈↓ 
)␈εk
␈β
⊃␈↓ α>␈ε	A␈↓ β	␈εβ(␈↓ β∀␈ε	z␈↓ β"␈εβ)␈↓ β6␈εβ=␈↓ 	L␈ε	z
␈β
≤␈↓ αS␈εn␈↓ αc␈εε+␈α↓1
␈β
∨␈↓ ∧≡␈∧
∨∧≡α¬%
␈β
)␈↓ επ␈ε	k␈↓ ε↔␈εβ!␈αε(␈↓ ε1␈ε	n␈↓ εL␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ π6␈ε	k␈↓ πF␈εβ)!
␈β
B␈↓ βb␈εk␈↓ βo␈ε~∃␈εε0
␈β
o␈↓ ¬d␈εε2
␈β
u␈↓ β6␈εβ=␈α
(4␈↓ β⎇␈ε	n␈↓ ∧_␈εβ+␈αλ2)␈↓ ∧]␈ε	A␈↓ ¬α␈εβ(␈↓ ¬
␈ε	z␈↓ ¬≠␈εβ)␈αλ+␈↓ ¬V␈ε	z␈↓ ¬q␈ε	A␈↓ ε<␈εβ(␈↓ εG␈ε	z␈↓ εU␈εβ).
␈β
␈␈↓ ∧r␈εn␈↓ εε␈εn␈↓ ε⊗␈ε~␈␈εε1
␈β∞5␈↓ ↓H␈εβIt␈αfollo␈α␈ws,␈αby␈α
ind␈α␈uction␈α␈,␈αthat
␈β∞t␈↓ ∧↔␈ε↓∩␈↓ ε#␈ε↓∪
␈β∞{␈↓ ∧1␈εβ1␈↓ ∧X␈εβ3␈↓ ¬:␈εβ2␈↓ ¬K␈ε	n␈↓ ¬f␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εq␈ε	A␈↓ π⊗␈εβ(2␈↓ π2␈ε	z␈↓ π@␈εβ)␈απ+␈↓ π{␈ε	A␈↓ λ ␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ2␈↓ λ]␈ε	z␈↓ λk␈εβ)
␈β∂¬␈↓ πε␈εn␈↓ λ⊂␈εn
␈β∂⊃␈↓ βq␈ε	Q␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ εB␈εβ=␈↓ λz␈εβ,
␈β∂≠␈↓ ∧π␈εn
␈β∂∨␈↓ ∧1␈∧∂∨∧1α⊃␈↓ ∧X␈∧∂∨∧Xα⊃␈↓ ¬:␈∧∂∨¬:αf␈↓ εq␈∧∂∨εqααε
␈β∂&␈↓ πR␈εn␈↓ πb␈εε+1␈↓ λ⊗␈εn
␈β∂(␈↓ ∧2␈ε	z␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ¬f␈ε	z␈↓ πA␈εβ2␈↓ λλ␈ε	z
␈β∂]␈↓ ∧>␈ε↓∩␈↓ ε#␈ε↓∪
␈β∂c␈↓ ∧X␈εβ3␈↓ ¬:␈εβ2␈↓ ¬K␈ε	n␈↓ ¬f␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ εq␈ε	A␈↓ π⊗␈εβ(2␈↓ π2␈ε	z␈↓ π@␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ π{␈ε	A␈↓ λ ␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ2␈↓ λ]␈ε	z␈↓ λk␈εβ)
␈β∂n␈↓ πε␈εn␈↓ λ⊂␈εn
␈β∂y␈↓ βr␈ε	Q␈↓ ∧l␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ εB␈εβ=␈↓ λz␈εβ.
␈β⊂∧␈↓ ∧λ␈εn␈↓ ∧_␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊂π␈↓ ∧X␈∧⊂π∧Xα⊃␈↓ ¬:␈∧⊂π¬:αf␈↓ εq␈∧⊂πεqααε
␈β⊂∞␈↓ πR␈εn␈↓ πb␈εε+1␈↓ λ⊗␈εn
␈β⊂⊃␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ¬f␈ε	z␈↓ πA␈εβ2␈↓ λλ␈ε	z
␈β⊂T␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce
␈β⊂p␈↓ π≥␈ε	A␈↓ πC␈εβ(2␈↓ π↑␈ε	z␈↓ πl␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λ'␈ε	A␈↓ λM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	
␈ε	z␈↓ 	_␈εβ)
␈β⊂{␈↓ π2␈εn␈↓ λ=␈εn
␈β⊃↓␈↓ βc␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧6␈ε~␈␈εε1␈↓ ε/␈ε~␈␈εε1
␈β⊃ε␈↓ βD␈ε↔?␈↓ βU␈ε	z␈↓ ∧	␈εβ,␈α¬3␈↓ ∧(␈ε	z␈↓ ∧\␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬↔␈εβ,␈αε(2␈↓ ¬A␈ε	n␈↓ ¬]␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ ε!␈ε	z␈↓ εU␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ 	&␈εβ,
␈β⊃∃␈↓ π≥␈∧⊃∃π≥ααε
␈β⊃≡␈↓ π≥␈ε	A␈↓ πC␈εβ(2␈↓ π↑␈ε	z␈↓ πl␈εβ)␈αλ+␈↓ λ'␈ε	A␈↓ λM␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	
␈ε	z␈↓ 	_␈εβ)
␈β⊃)␈↓ π2␈εn␈↓ λ=␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα581
␈βα+␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
w␈α␈e␈α
wan␈α␈t␈α
to␈α
sho␈α␈w␈α
tha␈α␈t␈αth␈α␈is␈αratio␈α
ap␈α␈pro␈α␈ach␈α␈es␈↓ ππ␈εβta␈α␈nh␈↓ πO␈ε	z␈↓ π]␈εβ.␈αBy␈α
Eqs.␈α1␈α␈.2.9↑1␈α␈1␈αa␈α␈nd␈α
1␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓6␈α␈↑24␈α␈,
␈βαl␈↓ ∧=␈ε↓ ␈↓ πk␈ε↓!
␈βαn␈↓ βT␈ε↓X␈↓ ∧h␈ε↓X␈↓ λ;␈ε↓X
␈βαw␈↓ ¬6␈ε↓∩␈↓ ¬i␈ε↓∪␈↓ ¬␈␈ε↓∩␈↓ εz␈ε↓∪␈↓ λy␈ε↓∩␈↓ 
↓␈ε↓∪
␈βα⎇␈↓ ¬L␈ε	m␈↓ ε∃␈εβ2␈↓ ε&␈ε	n␈↓ εA␈ε↔␈␈↓ εj␈ε	k␈↓ 	∂␈εβ2␈↓ 	∨␈ε	n␈↓ 	;␈ε↔␈␈↓ 	d␈ε	m␈↓ 
O␈ε	n␈↓ 
c␈εβ!
␈ββ
␈↓ αβ␈εz␈↓ ∧ ␈εm␈↓ πY␈εk␈↓ 
*␈εm
␈ββ∪␈↓ ↓v␈ε	e␈↓ α∞␈ε	A␈↓ α4␈εβ(␈ε↔␈␈↓ α`␈ε	z␈↓ αn␈εβ)␈α	=␈↓ β-␈ε	n␈↓ βA␈εβ!␈↓ ∧∩␈ε	z␈↓ π⊂␈εβ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ1␈↓ πM␈εβ)␈↓ λ␈εβ=␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
u␈εβ.
␈ββ≡␈↓ α#␈εn
␈ββ"␈↓ 
K␈∧β"
Kα'
␈ββ+␈↓ ¬R␈ε	k␈↓ ε>␈ε	n␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 
K␈ε	m␈↓ 
h␈εβ!
␈ββE␈↓ βP␈εm␈↓ βg␈ε~∃␈εε0␈↓ ∧T␈εε0␈ε~∀␈↓ ∧z␈εk␈↓ ¬π␈ε~∀␈↓ ¬ ␈εn␈↓ λ6␈εm␈↓ λM␈ε~∃␈εε␈α↓0
␈β∧∩␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce
␈β∧ ␈↓ πT␈ε↓X
␈β∧+␈↓ 	B␈εk
␈β∧0␈↓ λ7␈εβ(␈↓ λB␈ε	n␈↓ λ↑␈εβ+␈↓ 	ε␈ε	k␈↓ 	↔␈εβ)!␈↓ 	1␈ε	x
␈β∧@␈↓ α␈␈εz␈↓ εj␈εn␈↓ π␈εε2␈↓ π_␈εn␈↓ π(␈εε+1
␈β∧F␈↓ αr␈ε	e␈↓ β
␈ε	A␈↓ β0␈εβ(␈ε↔␈␈↓ β\␈ε	z␈↓ βj␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧%␈ε	A␈↓ ∧K␈εβ(␈↓ ∧V␈ε	z␈↓ ∧c␈εβ)␈α
=␈↓ ¬"␈ε	R␈↓ ¬J␈εβ(␈↓ ¬U␈ε	z␈↓ ¬c␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε←␈εβ)␈↓ εz␈ε	x␈↓ 	y␈εβ.
␈β∧P␈↓ β∨␈εn␈↓ ∧:␈εn␈↓ ¬9␈εn
␈β∧T␈↓ λ⊃␈∧∧Tλ⊃α↓e
␈β∧]␈↓ λ⊃␈εβ(2␈↓ λ-␈ε	n␈↓ λH␈εβ+␈↓ λq␈ε	k␈↓ 		␈εβ+␈απ1)!␈↓ 	\␈ε	k␈↓ 	l␈εβ!
␈β∧w␈↓ πT␈εk␈↓ πa␈ε~∃␈εε␈α↓0
␈β¬7␈↓ β ␈εε2␈↓ β-␈εz␈↓ εB␈εε2␈↓ εO␈εz
␈β¬8␈↓ βw␈εα(␈↓ ¬{␈εα)␈↓ π→␈εα(␈↓ 	≥␈εα)
␈β¬;␈↓ ↓H␈εβWe␈αεn␈α␈o␈α␈w␈αεha␈α␈v␈α␈e␈αε(␈↓ β∪␈ε	e␈↓ β9␈ε↔␈␈εβ␈α↓1)␈↓ ∧β␈ε	A␈↓ ∧(␈εβ(2␈↓ ∧D␈ε	z␈↓ ∧R␈εβ)␈α↓+␈↓ ¬␈ε	A␈↓ ¬%␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ¬b␈ε	z␈↓ ¬p␈εβ)␈↓ ελ␈ε↔␈␈εβ␈α↓(␈↓ ε5␈ε	e␈↓ ε[␈εβ+␈α↓1)␈↓ π%␈ε	A␈↓ πJ␈εβ(␈α↓2␈↓ πf␈ε	z␈↓ πt␈εβ)␈ε↔␈α↓␈␈↓ λ"␈ε	A␈↓ λH␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	¬␈ε	z␈↓ 	∩␈εβ)␈↓ 	3␈εβ=␈α	2␈↓ 	n␈ε	R␈↓ 
∃␈εβ(2␈↓ 
1␈ε	z␈↓ 
?␈εβ);␈αλhe␈α␈nce
␈β¬F␈↓ ∧_␈εn␈↓ ¬∃␈εn␈↓ π:␈εn␈↓ λ7␈εn␈↓ 
¬␈εn
␈βε␈↓ λ-␈εβ2␈↓ λ=␈ε	R␈↓ λe␈εβ(2␈↓ 	␈ε	z␈↓ 	∞␈εβ)
␈βε␈↓ λT␈εn
␈βε⊃␈↓ β\␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ε(␈ε~␈␈εε1
␈βε↔␈↓ α7␈εβtanh␈↓ β␈ε	z␈↓ β∃␈ε↔␈␈απ?␈↓ βN␈ε	z␈↓ ∧α␈εβ,␈α¬3␈↓ ∧!␈ε	z␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬⊂␈εβ,␈αε(2␈↓ ¬:␈ε	n␈↓ ¬V␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ε~␈ε	z␈↓ εN␈ε↔?␈εβ␈α	=␈↓ 
3␈εβ.
␈βε%␈↓ π⊗␈∧ε%π⊗αβ~
␈βε,␈↓ π⊗␈εα(␈↓ 	(␈εα)
␈βε-␈↓ 	L␈εε2␈↓ 	Y␈εz
␈βε/␈↓ π"␈ε	A␈↓ πH␈εβ(2␈↓ πc␈ε	z␈↓ πq␈εβ)␈αλ+␈↓ λ,␈ε	A␈↓ λR␈εβ(␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 	∂␈ε	z␈↓ 	≥␈εβ)␈↓ 	4␈εβ(␈↓ 	?␈ε	e␈↓ 	k␈εβ+␈αλ1)
␈βε:␈↓ π7␈εn␈↓ λB␈εn
␈βεr␈↓ 
2␈εε2␈↓ 
>␈εz
␈βεv␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈αa␈α␈n␈αexa␈α␈ct␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αfor␈αthe␈αdi{eren␈α␈ce.␈αW␈α↓h␈α␈en␈ε↔␈αj␈↓ λ_␈ε	z␈↓ λ&␈ε↔j␈α
∀␈εβ␈α1␈α␈,␈αthe␈αfac␈α␈tor␈↓ 
%␈ε	e␈↓ 
Q␈εβ+␈αλ1␈αis
␈βπ≡␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αa␈α␈way␈αfro␈α␈m␈αzero␈α␈,␈ε↔␈αj␈↓ ∧N␈ε	R␈↓ ∧u␈εβ(␈α↓2␈↓ ¬⊃␈ε	z␈↓ ¬∨␈εβ)␈ε↔j␈α
∀␈↓ ¬g␈ε	e␈↓ ¬t␈ε	n␈↓ ελ␈εβ!/(2␈↓ ε>␈ε	n␈↓ εY␈εβ+␈αλ1)!,␈αan␈α␈d
␈βπ)␈↓ ∧e␈εn
␈βπa␈↓ ¬O␈ε↓ ␈↓ 
⊃␈ε↓!
␈βπl␈↓ ¬f␈ε↓∩␈↓ ε!␈ε↓∪␈↓ εg␈ε↓∩␈↓ πb␈ε↓∪␈↓ λ(␈ε↓∩␈↓ 	$␈ε↓∪
␈βπr␈↓ ¬|␈εβ2␈↓ ε
␈ε	n␈↓ ε⎇␈εβ2␈↓ π∞␈ε	n␈↓ π)␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ λ>␈εβ2␈↓ λO␈ε	n␈↓ λk␈ε↔␈␈εβ␈απ4
␈βλ¬␈↓ αP␈εε1
␈βλλ␈↓ α`␈ε↔j␈↓ αi␈ε	A␈↓ β∂␈εβ(2␈↓ β+␈ε	z␈↓ β9␈εβ)␈απ+␈↓ βt␈ε	A␈↓ ∧→␈εβ(␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ ∧V␈ε	z␈↓ ∧d␈εβ)␈ε↔j␈↓ ¬α␈ε↔∃␈↓ ¬,␈ε	n␈↓ ¬@␈εβ!␈↓ ε>␈ε↔␈␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ 	A␈ε↔␈␈↓ 	j␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓
␈βλ∪␈↓ α␈␈εn␈↓ ∧	␈εn
␈βλ⊗␈↓ αP␈∧λ⊗αPα
␈βλ_␈↓ αP␈εε2
␈βλ ␈↓ ε∧␈ε	n␈↓ π&␈ε	n␈↓ λg␈ε	n
␈βλ]␈↓ ¬0␈εβ(2␈↓ ¬L␈ε	n␈↓ ¬`␈εβ)!␈↓ λH␈εβ2␈↓ λ`␈εβ(2␈↓ λ{␈ε	n␈↓ 	∂␈εβ)!
␈βλo␈↓ εG␈εε1␈↓ π∩␈εε1
␈βλs␈↓ ¬α␈ε↔∃␈↓ ¬x␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ε←␈ε↔␈␈↓ π0␈ε↔␈␈↓ πY␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λ¬␈εβ)␈↓ λ→␈εβ=␈↓ 	'␈εβ.
␈β	↓␈↓ ¬0␈∧	↓¬0αE␈↓ εG␈∧	↓εGα
␈↓ π␈∧	↓πα~␈↓ λH␈∧	↓λHα⊃␈↓ λ`␈∧	↓λ`αE
␈β	β␈↓ εG␈εε4␈↓ π␈εε1␈α␈6
␈β	
␈↓ ¬C␈ε	n␈↓ ¬W␈εβ!␈↓ λH␈εβ3␈↓ λs␈ε	n␈↓ 	π␈εβ!
␈β	E␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αco␈α␈n␈α␈v␈α}ergen␈α␈ce␈αis␈αv␈α␈e␈α␈ry␈αrap␈α␈id,␈αev␈α␈e␈α␈n␈αfor␈αco␈α␈mplex␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ λ2␈ε	z␈↓ λ@␈εβ.
␈β	h␈↓ 	_␈εz
␈β	l␈↓ α␈εβTo␈απg␈α␈o␈απfrom␈αεthis␈απco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈αεfraction␈αεto␈αεthe␈απc␈α␈on␈α␈tin␈α}ued␈αεfractio␈α␈n␈απfor␈↓ 	␈ε	e␈↓ 	$␈εβ,␈αλw␈α␈e␈απh␈α␈av␈α}e␈↓ 
,␈εβtan␈α␈h␈↓ 
t␈ε	z␈↓ ␈εβ=
␈β
⊂␈↓ αB␈εε2␈↓ αO␈εz␈↓ 	v␈εε2␈↓ 
β␈εz
␈β
∀␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ2/␈α␈(␈↓ α5␈ε	e␈↓ αb␈εβ+␈αλ1);␈αh␈α␈enc␈α␈e␈αw␈α␈e␈αget␈αthe␈αco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed-fra␈α␈ction␈αrep␈α␈resen␈α}tation␈αfor␈α(␈↓ 	i␈ε	e␈↓ 
⊗␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α↓/␈α␈2␈αby
␈β
8␈↓ λ↑␈εε2␈↓ λk␈εz
␈β
<␈↓ ↓H␈εβsimp␈α␈le␈α∞ma␈α␈nip␈α␈ulation␈α␈s.␈α∪Hurwitz's␈α∞ru␈α␈le␈α∞g␈α␈i␈α↓v␈α}es␈α∞th␈α␈e␈α∞e␈α␈xp␈α␈ansio␈α␈n␈α∞o␈α␈f␈↓ λQ␈ε	e␈↓ λ␈␈εβ+␈α	1,␈α∂fro␈α␈m␈α∞wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈α∞w␈α␈e
␈β
c␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ay␈αsu␈α␈btr␈α␈act␈αu␈α␈nity.␈αFor␈↓ ∧6␈ε	n␈↓ ∧U␈εβod␈α␈d,
␈β%␈↓ α!␈ε~␈␈εε2/␈↓ αT␈εn␈↓ β.␈∧%β.α¬`
␈β+␈↓ α∀␈ε	e␈↓ αm␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ β.␈εβ1,␈α¬3␈↓ β↑␈ε	m␈↓ β{␈ε	n␈↓ ∧↔␈εβ+␈ε↔␈απb␈↓ ∧L␈ε	n␈↓ ∧`␈εβ/2␈ε↔c␈εβ,␈α¬(␈α↓1␈α␈2␈↓ ¬J␈ε	m␈↓ ¬n␈εβ+␈αλ6)␈↓ ε3␈ε	n␈↓ εG␈εβ,␈αε(3␈↓ εr␈ε	m␈↓ π⊗␈εβ+␈αλ2)␈↓ π[␈ε	n␈↓ πv␈εβ+␈ε↔␈αλb␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λ@␈εβ/␈α␈2␈ε↔c␈εβ,␈αε1␈↓ 	
␈ε↔?␈εβ,␈↓ 	u␈ε	m␈↓ 
≠␈ε↔∃␈εβ␈α
0.
␈βs␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α	d␈α␈erivatio␈α␈n␈αλhas␈αλbe␈α␈en␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλby␈αλC.␈α	S␈α␈.␈α	Da␈α␈vis,␈ε⊂␈α	J.␈α	Lon␈α␈do␈α␈n␈αλMath␈α␈.␈α	S␈α␈oc.␈ε∪␈α	2␈α␈0␈εβ␈αλ(194␈α␈5),
␈β≠␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈94↑␈α␈198␈α␈.
␈βL␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(b)␈ε↔␈α⊂?␈↓ αV␈ε	x␈↓ αy␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈αε1␈α␈,␈↓ βa␈ε	x␈↓ ∧∧␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈αε1␈α␈,␈↓ ∧l␈ε	x␈↓ ¬⊂␈ε↔␈␈εβ␈απ2,␈αε1␈α␈,␈↓ ¬w␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε$␈εβ,␈α¬1,␈↓ εR␈ε	x␈↓ π+␈ε↔␈␈εβ␈αλ2,␈α¬1,␈↓ λ∪␈ε	x␈↓ λG␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔?␈εβ.
␈βW␈↓ αe␈εε1␈↓ βp␈εε2␈↓ ∧|␈εε3␈↓ εa␈εε2␈↓ εn␈εn␈↓ ε}␈ε~␈␈εε1␈↓ λ"␈εε2␈↓ λ/␈εn
␈βp␈↓ ε∩␈∧pε∩α↓∂
␈βt␈↓ α␈εβ(c)␈α⊃1␈απ+␈ε↔␈απ?␈εβ1,␈αε1␈α␈,␈αε3,␈α¬1,␈αε5,␈α¬1,␈↓ ∧P␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧|␈ε↔?␈εβ␈α	=␈α
1␈απ+␈ε↔␈απ?␈↓ ε∩␈εβ2␈↓ ε#␈ε	m␈↓ εG␈εβ+␈αλ1,␈αε1␈↓ π ␈ε↔?␈εβ,␈↓ πf␈ε	m␈↓ λ
␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β
"␈↓ ¬T␈εα(␈↓ 	ε␈εα)
␈β
%␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβThe␈α
sum␈αfor␈α1␈ε↔␈αλ∀␈↓ ∧∂␈ε	k␈↓ ∧)␈ε↔∀␈↓ ∧S␈ε	N␈↓ ∧⎇␈εβis␈↓ ¬≡␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ¬`␈εβ(1␈απ+␈↓ ε,␈ε	x␈↓ ε=␈εβ)(␈↓ εS␈ε	N␈↓ εz␈εβ+␈απ1)/(␈↓ πZ␈ε	N␈↓ λ␈εβ+␈αλ1␈απ+␈↓ λj␈ε	x␈↓ λ{␈εβ)␈↓ 	∩␈εβ.
␈β
4␈↓ ¬I␈εb
␈β
S␈↓ ¬Z␈ε~0␈↓ λ↔␈ε~0
␈β
W␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	H␈↓ αs␈εβ=␈↓ β ␈ε	S␈↓ β5␈ε	G␈↓ βN␈εβ,␈↓ βe␈ε	g␈↓ βt␈εβ(␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧⊃␈εβ)␈α=␈α
(1␈α	+␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬6␈εβ)␈↓ ¬A␈ε	G␈↓ ¬`␈εβ(␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ¬⎇␈εβ),␈↓ ε∨␈ε	h␈↓ ε/␈εβ(␈↓ ε:␈ε	x␈↓ εL␈εβ)␈α=␈α
(1␈α	+␈↓ π`␈ε	x␈↓ πq␈εβ)␈↓ π|␈ε	H␈↓ λ≥␈εβ(␈↓ λ)␈ε	x␈↓ λ:␈εβ).␈α⊃Then␈α(35␈α␈)␈α∞imp␈α␈li␈α↓e␈α␈s␈α
tha␈α␈t
␈β
z␈↓ εX␈ε~␈␈εε2
␈β
{␈↓ π
␈εα(␈↓ λ#␈εα)␈↓ λ@␈εα(␈↓ 
⊗␈εα)
␈β
}␈↓ ↓H␈ε	h␈↓ ↓X␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	x␈↓ ↓|␈εβ+␈αλ1␈α␈)/(␈↓ α\␈ε	x␈↓ αu␈εβ+␈αλ2␈α␈)␈ε↔␈αλ␈␈↓ βi␈ε	h␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)/(␈↓ ∧=␈ε	x␈↓ ∧V␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈α
=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓(1␈απ+␈↓ ε;␈ε	x␈↓ εM␈εβ)␈↓ ε}␈ε	g␈↓ π→␈εβ1/(1␈απ+␈↓ λπ␈ε	x␈↓ λ_␈εβ)␈↓ λ/␈εβ/␈↓ λL␈εβ1␈απ+␈απ1/(1␈απ+␈↓ 	z␈ε	x␈↓ 
␈εβ)␈↓ 
"␈εβ.
␈β∞,␈↓ ∧
␈εε2␈↓ εq␈εε2␈↓ 	≤␈εε2
␈β∞-␈↓ ¬/␈εα(␈↓ εe␈εα)
␈β∞0␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈ε	⎇␈↓ α!␈εβ(␈↓ α-␈ε	x␈↓ α>␈εβ)␈α	=␈↓ α⎇␈ε	c␈↓ β
␈εβ/(␈↓ β&␈ε	c␈↓ β3␈ε	x␈↓ βH␈εβ+␈α¬1␈↓ β␈␈εβ)␈↓ ∧≠␈εβ+␈α∧(␈α↓2␈ε↔␈α∧␈␈↓ ¬ε␈ε	c␈↓ ¬∪␈εβ)/␈↓ ¬;␈εβ(␈↓ ¬F␈ε	c␈↓ ¬W␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)␈↓ ε→␈ε	x␈↓ ε/␈εβ+␈α∧1␈↓ ε}␈εβ,␈↓ π⊂␈ε	U␈↓ π+␈ε	⎇␈↓ πA␈εβ(␈↓ πL␈ε	x␈↓ π]␈εβ)␈α
=␈α	1/␈α␈(␈↓ λI␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	c␈↓ 	⊃␈εβ)␈↓ 	)␈εβ.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈↓ 
~␈ε	c␈↓ 
0␈ε↔∀␈εβ␈α
1,␈α	the
␈β∞Q␈↓ 
F␈∧∞Q
Fα⊃
␈β∞S␈↓ π-␈εε2␈↓ 
$␈ε↔p
␈β∞T␈↓ 
	␈εε1
␈β∞W␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈αof␈↓ β¬␈ε	⎇␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε	x␈↓ β7␈εβ)/␈↓ βS␈ε	U␈↓ βn␈ε	⎇␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	x␈↓ ∧ ␈εβ)␈αoc␈α␈curs␈αat␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬c␈εβ=␈α0␈αand␈αis␈α2␈↓ π ␈ε	c␈↓ πD␈ε↔∀␈εβ␈α2.␈α
W␈α↓h␈α␈en␈↓ λx␈ε	c␈↓ 	⊂␈ε↔∃␈↓ 	<␈ε	≡␈↓ 	Y␈εβ=␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
F␈εβ5␈↓ 
↑␈εβ+␈αλ1),
␈β∞f␈↓ 
	␈∧∞f
	α
␈β∞h␈↓ 
	␈εε2
␈β∞{␈↓ ε:␈εε2
␈β∞␈␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
min␈α␈i␈α↓m␈α}um␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
at␈↓ ∧,␈ε	x␈↓ ∧I␈εβ=␈α
1␈αan␈α␈d␈α
is␈ε↔␈α
∀␈↓ ε'␈ε	≡␈↓ εG␈εβ.␈α⊃Wh␈α␈en␈↓ πC␈ε	c␈↓ π\␈ε↔→␈εβ␈α1.312␈α␈66␈αthe␈α
v␈α␈alu␈α␈es␈α
at␈↓ 
Q␈ε	x␈↓ 
n␈εβ=␈α
0
␈β∂#␈↓ 	g␈εn␈↓ 
\␈εn
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ απ␈ε	x␈↓ α"␈εβ=␈α	1␈α
are␈α	nea␈α␈rl␈α↓y␈α	eq␈α␈ual␈α
a␈α␈nd␈α	the␈α
m␈α␈i␈α↓n␈α␈im␈α␈um␈α	i␈α↓s␈α
>␈α	3.2;␈α
the␈α	bou␈α␈nd␈α␈s␈α
(0.29␈↓ 	\␈εβ)␈↓ 	x␈ε	⎇␈↓ 
⊗␈ε↔∀␈↓ 
A␈ε	U␈↓ 
l␈ε	⎇␈↓ ␈ε↔∀
␈β∂J␈↓ α→␈εn
␈β∂N␈↓ ↓H␈εβ(0␈α␈.␈α↓3␈α␈1␈↓ α∞␈εβ)␈↓ α)␈ε	⎇␈↓ αK␈εβare␈αo␈α␈btain␈α␈ed.␈α∂S␈α␈till␈α
be␈α␈tter␈αbo␈α␈un␈α␈ds␈αcom␈α␈e␈αf␈α↓ro␈α␈m␈αw␈α␈ell␈α↓-ch␈α␈ose␈α␈n␈αl␈α↓in␈α␈ear␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ation␈α␈s
␈β∂X␈↓ αJ␈ε↓P
␈β∂v␈↓ ↓H␈ε	T␈↓ ↓←␈ε	g␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈α	=␈↓ αu␈ε	a␈↓ β⊃␈εβ/(␈↓ β-␈ε	x␈↓ βF␈εβ+␈↓ βn␈ε	c␈↓ ∧ε␈εβ).
␈β⊂␈↓ β¬␈εj␈↓ βz␈εj
␈β⊂'␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβBy␈α
the␈α
i␈α↓n␈α}terp␈α␈olation␈α
form␈α␈u␈α␈la␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α4␈α␈.␈α↓6␈α␈4↑1␈α␈5␈αwith␈↓ λ≤␈ε	x␈↓ λA␈εβ=␈α
0,␈↓ 	⊃␈ε	x␈↓ 	6␈εβ=␈↓ 	a␈ε	x␈↓ 	r␈εβ,␈↓ 
ε␈ε	x␈↓ 
+␈εβ=␈↓ 
V␈ε	x␈↓ 
n␈εβ+␈↓ ⊗␈ε	∂␈↓ #␈εβ,
␈β⊂2␈↓ λ,␈εε0␈↓ 	 ␈εε1␈↓ 
∃␈εε2
␈β⊂K␈↓ εH␈ε~0
␈β⊂L␈↓ π4␈εα(␈↓ 	λ␈εα)␈↓ 	d␈εε1␈↓ 
-␈εα(␈↓ 
o␈εα)
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβlettin␈α␈g␈↓ α/␈ε	∂␈↓ αE␈ε↔!␈εβ␈α
0␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α␈e␈αλthe␈α	g␈α␈ene␈α␈ral␈α	i␈α↓d␈α␈en␈α}ti␈α↓ty␈↓ ε1␈ε	R␈↓ εY␈εβ(␈↓ εd␈ε	x␈↓ εu␈εβ)␈α	=␈↓ π@␈ε	R␈↓ πg␈εβ(␈↓ πr␈ε	x␈↓ λ∧␈εβ)␈ε↔␈α∧␈␈↓ λ9␈ε	R␈↓ λa␈εβ(0)␈↓ 	∀␈εβ/␈↓ 	$␈ε	x␈↓ 	:␈εβ+␈↓ 	t␈ε	x␈↓ 
ε␈ε	R␈↓ 
9␈ε	∩␈↓ 
G␈εβ(␈↓ 
R␈ε	x␈↓ 
d␈εβ)␈↓ ∧␈εβfo␈α␈r
␈β⊂Z␈↓ πW␈εn␈↓ λP␈εn␈↓ 
≥␈εn
␈β⊂]␈↓ 	d␈∧⊂]	dα
␈β⊂↑␈↓ εH␈εn
␈β⊂←␈↓ 	d␈εε2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβso␈α␈me␈↓ α↔␈ε	∩␈↓ α&␈εβ(␈↓ α1␈ε	x␈↓ αB␈εβ)␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απ0␈απand␈↓ ∧'␈ε	x␈↓ ∧8␈εβ,␈α	wh␈α␈ene␈α␈v␈α␈er␈↓ ¬Y␈ε	R␈↓ ε	␈εβis␈απa␈αλfu␈α␈nctio␈α␈n␈αλwith␈απco␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ou␈α␈s␈αλseco␈α␈nd␈απd␈α␈erivativ␈α}e.
␈β⊃↓␈↓ ¬q␈εn
␈β⊃~␈↓ βo␈ε~0␈↓ ¬∞␈ε~␈␈↓ ¬'␈εn
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈αin␈αt␈α␈his␈αcase␈↓ βX␈ε	R␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧≠␈εβ)␈α
=␈↓ ∧Z␈ε	O␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧}␈εβ2␈↓ ¬8␈εβ).
␈β⊃-␈↓ βo␈εn
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα582␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈ε↔1␈εβ.␈α#[A.␈α⊂Kh␈α␈inch␈α␈i␈α↓n␈α␈,␈α⊃in␈ε⊂␈α∂Comp␈α␈os.␈α⊂M␈α␈ath␈α␈.␈ε∪␈α⊂1␈εβ␈α⊂(1␈α␈935␈α␈),␈α⊃361␈α␈↑38␈α␈2,␈α⊃p␈α␈ro␈α␈v␈α␈ed␈α∂th␈α␈at␈α∂the␈α∂sum
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α⊗␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ αC␈εβ+␈↓ αj␈ε	A␈↓ β~␈εβo␈α␈f␈α
the␈α	|rst␈↓ ∧;␈ε	n␈↓ ∧Y␈εβp␈α␈artia␈α␈l␈αq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α
o␈α␈f␈α
a␈α
rea␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈↓ λH␈ε	X␈↓ λm␈εβwil␈α↓l␈α
b␈α␈e␈α
a␈α␈symp␈α␈totica␈α␈l␈α↓ly
␈βα\␈↓ ↓]␈εε1␈↓ α␈␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓a␈εβlg␈↓ α↓␈ε	n␈↓ α∃␈εβ,␈αfor␈αa␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈αall␈↓ βv␈ε	X␈↓ ∧∩␈εβ.]
␈ββ␈↓ 
∀␈ε↓S
␈ββ)␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβAn␈α␈y␈α¬u␈α␈nion␈α¬of␈α¬i␈α↓n␈α}terv␈α␈als␈αεca␈α␈n␈αεb␈α␈e␈αεwritten␈α¬as␈α¬a␈αεu␈α␈nio␈α␈n␈αεo␈α␈f␈αεdisjoin␈α}t␈αεin␈α␈terv␈α␈als,␈απsinc␈α␈e␈↓ 
k␈ε	I␈↓ ␈εβ=
␈ββ4␈↓ 
u␈εk
␈ββ9␈↓ ↓H␈ε↓S␈↓ α↑␈ε↓S␈↓ λt␈ε↓S
␈ββ<␈↓ 
2␈εk␈↓ 
?␈ε~∃␈εε1
␈ββT␈↓ α→␈εα(␈↓ βp␈εα)
␈ββW␈↓ α%␈ε	I␈↓ αE␈ε↔∧␈↓ βZ␈ε	I␈↓ β|␈εβ,␈α∞a␈α␈nd␈αthis␈α
is␈α
a␈αdisjoin␈α␈t␈α
u␈α␈nion␈αin␈α
wh␈α␈ich␈↓ λ;␈ε	I␈↓ λ[␈ε↔∧␈↓ 	p␈ε	I␈↓ 
∪␈εβca␈α␈n␈α
b␈α␈e␈α
ex␈α␈-
␈ββb␈↓ α/␈εk␈↓ βd␈εj␈↓ λE␈εk␈↓ 	z␈εj
␈ββg␈↓ 
λ␈ε↓S
␈ββj␈↓ ↓f␈εk␈↓ ↓s␈ε~∃␈εε1␈↓ α|␈εε1␈ε~∀␈↓ β"␈εj␈↓ β.␈εε<␈↓ βG␈εk␈↓ 	∩␈εε1␈ε~∀␈↓ 	8␈εj␈↓ 	D␈εε<␈↓ 	]␈εk
␈β∧¬␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ressed␈αa␈α␈s␈αa␈α|␈α␈nite␈αun␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αof␈αd␈α␈isjoin␈α␈t␈αi␈α↓n␈α}terv␈α␈als.␈α
The␈α␈refore␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αtak␈α}e␈ε↔␈αI␈εβ␈α
=␈↓ 
+␈ε	I␈↓ 
B␈εβ,␈αwhere
␈β∧⊂␈↓ 
5␈εk
␈β∧(␈↓ ∧n␈εk
␈β∧-␈↓ ↓H␈ε	I␈↓ ↓j␈εβis␈αan␈α
in␈α␈terv␈α␈al␈αof␈αlen␈α␈gth␈↓ ∧@␈ε	∂␈↓ ∧M␈εβ/␈↓ ∧↑␈εβ2␈↓ ¬π␈εβc␈α␈on␈α␈ta␈α␈ining␈α
the␈↓ εa␈ε	k␈↓ εr␈εβth␈α
ration␈α␈al␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αin␈α[0,␈α¬1],␈αu␈α␈sing␈α
some
␈β∧7␈↓ ↓R␈εk
␈β∧T␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈um␈α␈eration␈α
of␈αth␈α␈e␈αration␈α␈als.␈αI␈α↓n␈α
this␈αca␈α␈se␈↓ ε)␈ε	⊗␈↓ ε;␈εβ(␈ε↔␈α↓I␈εβ␈α␈)␈ε↔␈α
∀␈↓ π∀␈ε	∂␈↓ π!␈εβ,␈αb␈α␈ut␈ε↔␈αk␈α␈I␈απ\␈↓ λ9␈ε	P␈↓ λ]␈ε↔k␈εβ␈α	=␈↓ 	!␈ε	n␈↓ 	@␈εβfor␈αall␈↓ 
"␈ε	n␈↓ 
6␈εβ.
␈β∧←␈↓ λL␈εn
␈β¬∧␈↓ ↓V␈ε∪26.␈↓ α␈εβThe␈α∂con␈α}tin␈α␈u␈α␈ed␈α⊂fra␈α␈ction␈α␈s␈ε↔␈α⊂?␈↓ ¬⊂␈ε	A␈↓ ¬2␈εβ,␈↓ ¬@␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬m␈εβ,␈↓ ¬|␈ε	A␈↓ ε≠␈ε↔?␈εβ␈α∂th␈α␈at␈α⊂a␈α␈pp␈α␈ear␈α⊂a␈α␈re␈α⊂p␈α␈recisely␈α∂tho␈α␈se␈α⊂for␈α∂which
␈β¬∞␈↓ ¬%␈εε1␈↓ ε⊃␈εt
␈β¬+␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓s␈εβ>␈α	1␈↓ α.␈εβ,␈↓ α?␈ε	A␈↓ αg␈εβ>␈α	1␈↓ β"␈εβ,␈αλa␈α␈nd␈↓ βo␈ε	Q␈↓ ∧∂␈εβ(␈↓ ∧~␈ε	A␈↓ ∧<␈εβ,␈↓ ∧K␈ε	A␈↓ ∧m␈εβ,␈↓ ∧{␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬(␈εβ,␈↓ ¬7␈ε	A␈↓ ¬U␈εβ)␈απis␈απa␈αεdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈απo␈α␈f␈↓ π&␈ε	n␈↓ π:␈εβ.␈α
Th␈α␈erefore␈αε(6)␈απc␈α␈omp␈α␈letes␈απt␈α␈he␈αεpro␈α␈of.
␈β¬6␈↓ ↓]␈εε1␈↓ αT␈εt␈↓ ∧¬␈εt␈↓ ∧/␈εε1␈↓ ∧`␈εε2␈↓ ¬L␈εt
␈β¬P␈↓ ↓H␈εα(
␈β¬S␈↓ ↓T␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈α	If␈↓ αI␈ε	m␈↓ αr␈εβ/␈↓ ββ␈ε	n␈↓ β ␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ β[␈ε	A␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧G␈ε	A␈↓ ∧f␈ε↔?␈εβ␈απa␈α␈nd␈↓ ¬:␈ε	m␈↓ ¬c␈εβ/␈↓ ¬t␈ε	n␈↓ ε⊃␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ εL␈ε	A␈↓ εk␈εβ,␈↓ εz␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π'␈εβ,␈↓ π5␈ε	A␈↓ πW␈ε↔?␈εβ,␈αλwh␈α␈ere␈↓ λU␈ε	m␈↓ 	¬␈εβa␈α␈nd␈↓ 	A␈ε	m␈↓ 	q␈εβare␈αεrelativ␈α␈ely
␈β¬↑␈↓ αf␈εε1␈↓ βq␈εε1␈↓ ∧]␈εt␈↓ ¬W␈εε2␈↓ εb␈εt␈↓ πK␈εε1␈↓ λq␈εε1␈↓ 	↑␈εε2
␈β¬{␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈αto␈↓ αO␈ε	n␈↓ αc␈εβ,␈αth␈α␈en␈↓ βD␈ε	m␈↓ βm␈ε	m␈↓ ∧∨␈ε↔⊃␈α
ε␈εβ␈α↓1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ ελ␈ε	n␈↓ ε≤␈εβ);␈αthis␈αrule␈αde␈α␈|n␈α␈es␈αth␈α␈e␈αcorr␈α␈espo␈α␈nd␈α␈enc␈α␈e.␈αW␈α↓h␈α␈en
␈βε¬␈↓ β`␈εε1␈↓ ∧	␈εε2
␈βε∨␈↓ λ≠␈εα)
␈βε"␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓s␈εβ=␈α	1␈αan␈α
an␈α␈alogo␈α␈us␈αsy␈α␈mmetry␈α
is␈αvalid,␈αac␈α␈cord␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αto␈α
(␈α↓3␈α␈8).
␈βε-␈↓ ↓]␈εε1
␈βεN␈↓ ¬j␈εe
␈βεR␈↓ ↓V␈ε∪27.␈↓ α␈εβFirst␈α
pro␈α}v␈α␈e␈α
th␈α␈e␈α
resu␈α␈l␈α↓t␈αf␈α↓o␈α␈r␈↓ ¬␈ε	n␈↓ ¬+␈εβ=␈↓ ¬Y␈ε	p␈↓ ¬u␈εβ,␈α∞th␈α␈en␈αfor␈↓ π∂␈ε	n␈↓ π/␈εβ=␈↓ π]␈ε	r␈↓ πl␈ε	s␈↓ πy␈εβ,␈α∞whe␈α␈re␈↓ λr␈ε	r␈↓ 	∞␈εβa␈α␈nd␈↓ 	P␈ε	s␈↓ 	k␈εβare␈αrelativ␈α␈ely
␈βεy␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime.␈αAl␈α↓t␈α␈erna␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈αuse␈α
the␈αfor␈α␈m␈α␈ulas␈αin␈αth␈α␈e␈αn␈α␈ext␈αex␈α}ercise.
␈βπ)␈↓ ↓V␈ε∪28.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈e␈α⊂left-ha␈α␈nd␈α⊂s␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈α⊂is␈α⊃m␈α}ultiplicativ␈α␈e␈α∂(␈α↓se␈α␈e␈α⊂ex␈α␈e␈α␈rcise␈α⊂1.2.4↑␈α␈31),␈α∩a␈α␈nd␈α∂i␈α↓t␈α⊂is␈α⊂ea␈α␈si␈α↓ly
␈βπQ␈↓ ↓H␈εβe␈α␈valu␈α␈ated␈α
when␈↓ β<␈ε	n␈↓ β↑␈εβis␈α∞a␈α∞po␈α}we␈α␈r␈α∞of␈α∞a␈α∞p␈α␈rime.␈α∨(c)␈α∞From␈α∞(a),␈α∂w␈α␈e␈α∞h␈α␈av␈α}e␈ε⊂␈α∞M␈↓ 	;␈ε⊂∪␈↓ 	;␈ε⊂o␈↓ 	L␈ε⊂b␈α␈ius's␈α∞in␈α␈v␈α}ersion
␈βπZ␈↓ β[␈ε↓P␈↓ ε8␈ε↓P
␈βπx␈↓ ↓H␈ε⊂fo␈α␈rm␈α␈ula␈εβ:␈αIf␈↓ αm␈ε	f␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β≤␈εβ)␈α	=␈↓ ∧2␈ε	g␈↓ ∧B␈εβ(␈↓ ∧M␈ε	d␈↓ ∧←␈εβ),␈αth␈α␈en␈↓ ¬K␈ε	g␈↓ ¬Z␈εβ(␈↓ ¬e␈ε	n␈↓ ¬z␈εβ)␈α	=␈↓ π⊂␈ε	⊗␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	n␈↓ πA␈εβ/␈↓ πR␈ε	d␈↓ πd␈εβ)␈↓ πo␈ε	f␈↓ π␈␈εβ(␈↓ λ
␈ε	d␈↓ λ≤␈εβ)␈α↓.
␈βλ␈↓ ∧↓␈εd␈↓ ∧⊂␈ε~∧␈↓ ∧≤␈εn␈↓ ε↑␈εd␈↓ εm␈ε~∧␈↓ εz␈εn
␈βλ∩␈↓ λ≥␈ε↓P
␈βλ,␈↓ εG␈εε2␈↓ 	]␈εε2
␈βλ-␈↓ ¬≥␈εα((␈↓ εT␈εα)␈↓ π/␈εα)
␈βλ0␈↓ ↓V␈ε∪29.␈↓ α␈εβThe␈α
s␈α␈um␈α
is␈α
ap␈α␈pro␈α}ximate␈α␈l␈α↓y␈↓ ¬5␈εβ(12␈↓ ¬g␈εβln␈↓ ε	␈εβ2␈α␈)/␈↓ ε5␈ε	→␈↓ εf␈εβln␈↓ ππ␈ε	N␈↓ π&␈εβ!␈↓ π;␈εβ/␈↓ πL␈ε	N␈↓ πs␈ε↔␈␈↓ λ⎇␈ε	β␈↓ 	∩␈εβ(␈↓ 	≥␈ε	d␈↓ 	/␈εβ)/␈↓ 	K␈ε	d␈↓ 	s␈εβ+␈α	1␈α␈.␈α↓4␈α␈7;␈α∞here
␈βλ?␈↓ ↓H␈ε↓P
␈βλC␈↓ λC␈εd␈↓ λR␈ε~∃␈εε1
␈βλY␈↓ βλ␈εε2␈↓ π4␈ε~0
␈βλ↑␈↓ α(␈ε	β␈↓ α<␈εβ(␈↓ αG␈ε	d␈↓ αZ␈εβ)/␈↓ αu␈ε	d␈↓ β"␈εβco␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rges␈α
to␈α∞t␈α␈he␈α
con␈α␈stan␈α}t␈α∞va␈α␈lue␈ε↔␈α
␈␈↓ π'␈ε	⊂␈↓ π;␈εβ(2)/␈↓ πr␈ε	⊂␈↓ λ␈εβ(2),␈α∞while␈↓ 	_␈εβln␈↓ 	9␈ε	N␈↓ 	X␈εβ!␈α∞=␈↓ 
≥␈ε	N␈↓ 
B␈εβln␈↓ 
c␈ε	N␈↓ ␈ε↔␈
␈βλp␈↓ ↓n␈εd␈↓ ↓|␈ε~∃␈εε1
␈β		␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓n␈εβ+␈↓ α↔␈ε	O␈↓ α/␈εβ(␈↓ α:␈εβlog␈↓ αj␈ε	N␈↓ β	␈εβ)␈αb␈α␈y␈αStirling␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tion.
␈β	9␈↓ ↓V␈ε∪30.␈↓ α␈εβThe␈α	mod␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α	algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
a{ec␈α␈ts␈α
the␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
if␈α
an␈α␈d␈α
o␈α␈nly␈α
if␈α
th␈α␈e␈α
follo␈α␈wing␈α
d␈α␈ivision
␈β	a␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈αin␈αth␈α␈e␈αu␈α␈nmo␈α␈di|␈α␈ed␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
wo␈α␈uld␈α
hav␈α}e␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈α1␈α␈,␈αand␈α
in␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
case␈αit␈αav␈α}oid␈α␈s
␈β
λ␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞foll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈α∞div␈α␈i␈α↓sio␈α␈n␈α∞step.␈α∃Th␈α␈e␈α∂p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α∞th␈α␈at␈α∞a␈α∞giv␈α␈en␈α
division␈α∞ste␈α␈p␈α∞i␈α↓s␈α∞av␈α}oide␈α␈d␈α∞is
␈β
0␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈rob␈α␈ability␈αth␈α␈at␈↓ βx␈ε	A␈↓ ∧%␈εβ=␈α1␈αan␈α␈d␈αth␈α␈at␈αth␈α␈is␈αqu␈α␈otien␈α␈t␈αi␈α↓s␈αp␈α␈rece␈α␈ded␈αby␈αan␈αev␈α}en␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈β
:␈↓ ∧
␈εk
␈β
W␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uo␈α␈ti␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈αλe␈α␈qua␈α␈l␈αλto␈αλ1␈α␈.␈α
B␈α↓y␈απth␈α␈e␈αλsy␈α␈mmetr␈α␈y␈αλco␈α␈nd␈α␈iti␈α↓o␈α␈n,␈αλthis␈αλis␈αλth␈α␈e␈αλp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈απtha␈α␈t␈↓ 
λ␈ε	A␈↓ 
4␈εβ=␈α	1␈αλa␈α␈nd
␈β
b␈↓ 
≥␈εk
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβis␈ε⊂␈αfollo␈α␈w␈α␈ed␈εβ␈αb␈α␈y␈αan␈αe␈α␈v␈α␈en␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αqu␈α␈otien␈α␈ts␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈α1.␈αTh␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αha␈α␈pp␈α␈ens␈αif␈αa␈α␈nd␈αo␈α␈nly
␈β'␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓h␈ε	X␈↓ α=␈εβ>␈↓ αi␈ε	≡␈↓ β∧␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α=␈α0.61␈α␈8␈↓ ∧A␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧m␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ ¬d␈ε	≡␈↓ εβ␈εβis␈αthe␈αgolde␈α␈n␈αrat␈α␈i␈α↓o␈α␈:␈α∞For␈↓ λe␈ε	A␈↓ 	∩␈εβ=␈α1␈αa␈α␈nd␈↓ 
≤␈ε	A␈↓ 
p␈εβ>␈α1
␈β1␈↓ ↓␈␈εk␈↓ α␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λz␈εk␈↓ 
2␈εk␈↓ 
?␈εε+1
␈βK␈↓ ↓v␈εε2␈↓ λ}␈εε5␈↓ 
Q␈εε2
␈βN␈↓ ↓H␈εβi{␈↓ α∪␈ε↔∀␈↓ αA␈ε	X␈↓ β↔␈εβ<␈α
1;␈↓ βm␈ε	A␈↓ ∧≤␈εβ=␈↓ ∧J␈ε	A␈↓ ¬∨␈εβ=␈↓ ¬L␈ε	A␈↓ ε!␈εβ=␈α
1␈α
a␈α␈nd␈↓ π0␈ε	A␈↓ λ∧␈εβ>␈α
1␈α
i{␈↓ 	≠␈ε↔∀␈↓ 	I␈ε	X␈↓ 
 ␈εβ<␈↓ 
a␈εβ;␈α∂e␈α␈tc.
␈βY␈↓ αX␈εk␈↓ αe␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧α␈εk␈↓ ∧←␈εk␈↓ ∧l␈εε+␈α↓1␈↓ ¬b␈εk␈↓ ¬o␈εε+2␈↓ πE␈εk␈↓ πR␈εε+3␈↓ 	`␈εk␈↓ 	m␈ε~␈␈εε1
␈β\␈↓ ↓v␈∧\↓vα
␈↓ λ}␈∧\λ}α
␈↓ 
Q␈∧\
Qα
␈β↑␈↓ ↓v␈εε3␈↓ λ}␈εε8␈↓ 
Q␈εε3
␈βv␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈α	we␈α	sav␈α}e␈α
a␈α␈pp␈α␈ro␈α␈xima␈α␈tely␈↓ ∧m␈ε	F␈↓ ¬3␈εβ(1)␈ε↔␈α¬␈␈↓ εε␈ε	F␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε	≡␈↓ εo␈ε↔␈␈εβ␈αε1)␈ε↔␈α	→␈εβ␈α
1␈ε↔␈α¬␈␈↓ λ#␈εβlg␈↓ λB␈ε	≡␈↓ λ↑␈ε↔→␈εβ␈α
0␈α␈.␈α↓3␈α␈06␈α	of␈α
th␈α␈e␈α
d␈α␈ivision
␈β␈↓ ¬␈εk␈↓ ¬
␈ε~␈␈εε1␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈ε~␈␈εε1
␈β→␈↓ 	λ␈εε2
␈β~␈↓ πh␈εα(␈↓ 	∃␈εα)
␈β≥␈↓ ↓H␈εβste␈α␈ps.␈α∩Th␈α␈e␈α
av␈α}erage␈α
n␈α}um␈α}ber␈α
of␈α
step␈α␈s␈α
i␈α↓s␈α
ap␈α␈pr␈α␈o␈α␈xima␈α␈tely␈↓ πt␈εβ(12␈↓ λ&␈εβln␈↓ λG␈ε	≡␈↓ λZ␈εβ)/␈↓ λv␈ε	→␈↓ 	'␈εβln␈↓ 	H␈ε	n␈↓ 	\␈εβ,␈α∞wh␈α␈en␈↓ 
L␈ε	v␈↓ 
j␈εβ=␈↓ _␈ε	n
␈βE␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	u␈↓ α(␈εβi␈α↓s␈αrelativ␈α}ely␈αprime␈αto␈↓ ∧e␈ε	n␈↓ ∧y␈εβ.␈α
Kro␈α␈neck␈α}er␈α[␈ε⊂␈α↓Vo␈α␈rl␈α↓e␈α␈sun␈α␈gen␈↓ πv␈ε⊂u␈↓ πw␈ε⊂∪␈↓ λλ␈ε⊂ber␈αZah␈α␈l␈α↓en␈α}the␈α␈orie␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Leip␈α␈zi␈α↓g␈α␈:
␈βm␈↓ ↓H␈εβTe␈α␈ub␈α␈ner,␈α⊂1␈α␈901␈α␈),␈α⊂118␈α␈]␈α∂ob␈α␈serv␈α␈e␈α␈d␈α∂th␈α␈at␈α∂t␈α␈his␈α∂ch␈α␈oice␈α∞of␈α∂least␈α∞rema␈α␈i␈α↓n␈α␈der␈α∞in␈α∂a␈α␈bso␈α␈l␈α↓u␈α␈te␈α∂v␈α␈alue
␈β
∀␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓wa␈α␈ys␈α	giv␈α␈e␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
sh␈α␈orte␈α␈st␈α
p␈α␈ossible␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈f␈α
iteratio␈α␈ns,␈α
o␈α␈v␈α}er␈α	all␈α
algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hms␈α	tha␈α␈t␈α
re␈α␈place
␈β
<␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓j␈εβb␈α␈y␈α∞(␈ε↔ε␈↓ αI␈ε	u␈↓ α]␈εβ)␈↓ αn␈εβmo␈α␈d␈↓ β3␈ε	v␈↓ βR␈εβat␈α∞ea␈α␈ch␈α∞itera␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.␈α∀For␈α∞furth␈α␈er␈α∞resu␈α␈l␈α↓t␈α␈s␈α∂se␈α␈e␈α∞N.␈α∂G.␈α∞d␈α␈e␈α∞B␈α↓ru␈α␈ijn␈α∞an␈α␈d␈α∞W.
␈β
c␈↓ ↓H␈εβM␈α␈.␈αZ␈α↓a␈α␈ring,␈ε⊂␈αNieu␈α␈w␈αArch␈α␈i␈α↓e␈α␈f␈αv␈α␈oo␈α␈r␈αWisku␈α␈nd␈α␈e␈α(3)␈ε∪␈α1␈εβ␈α(19␈α␈53),␈α10␈α␈5↑1␈α␈12;␈αG.␈αJ.␈αR␈α␈i␈α↓eg␈α␈er,␈ε⊂␈αNotice␈α␈s
␈β∞␈↓ ↓H␈ε⊂Am␈α␈er.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α22␈εβ␈α
(197␈α␈5),␈αA-␈α↓6␈α␈16;␈ε∪␈α23␈εβ␈α
(197␈α␈6),␈αA-␈α↓4␈α␈74.
␈β∞3␈↓ α␈εβOn␈α
man␈α}y␈α
comp␈α␈ute␈α␈rs,␈αthe␈α
mod␈α␈i␈α↓|␈α␈ed␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αm␈α␈ak␈α␈e␈α␈s␈αeac␈α␈h␈αd␈α␈ivision␈α
step␈α
l␈α↓o␈α␈ng␈α␈er;␈αthe
␈β∞Z␈↓ ↓H␈εβid␈α␈ea␈αo␈α␈f␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α1,␈αwhich␈αsa␈α␈v␈α␈es␈ε⊂␈αa␈α␈l␈α↓l␈εβ␈αd␈α␈ivision␈αsteps␈αwhen␈αth␈α␈e␈αqu␈α␈otien␈α}t␈αi␈α↓s␈αun␈α␈i␈α↓ty␈α␈,␈αw␈α␈ould␈αbe
␈β∂α␈↓ ↓H␈εβp␈α␈refera␈α␈ble␈αin␈αsu␈α␈ch␈αca␈α␈ses.
␈β∂+␈↓ λ`␈∧∂+λ`α⊃␈↓ 
_␈∧∂+
_α⊃␈↓ ∪␈∧∂+∪α⊃
␈β∂-␈↓ λ?␈ε↔p␈↓ λ|␈εn␈↓ 	w␈ε↔p␈↓ 
4␈εn␈↓ 
q␈ε↔p
␈β∂.␈↓ πp␈εα(␈↓ 
D␈εα)
␈β∂1␈↓ ↓V␈ε∪31.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	a␈↓ αk␈εβ=␈α
0␈α␈,␈↓ β8␈ε	a␈↓ β]␈εβ=␈α
1,␈↓ ∧*␈ε	a␈↓ ∧y␈εβ=␈α
2␈↓ ¬4␈ε	a␈↓ ¬W␈εβ+␈↓ ¬|␈ε	a␈↓ εA␈εβ;␈α	then␈↓ π≤␈ε	a␈↓ πE␈εβ=␈↓ π|␈εβ(1␈αα+␈↓ λ`␈εβ2␈↓ λq␈εβ)␈↓ 	∂␈ε↔␈␈εβ␈αβ(␈α↓1␈ε↔␈αα␈␈↓ 
_␈εβ2␈↓ 
)␈εβ)␈↓ 
P␈εβ/2␈↓ ∪␈εβ2␈↓ #␈εβ,
␈β∂<␈↓ αU␈εε0␈↓ βH␈εε1␈↓ ∧:␈εn␈↓ ∧J␈εε+1␈↓ ¬D␈εn␈↓ ε␈εn␈↓ ε≤␈ε~␈␈εε1␈↓ π,␈εn
␈β∂Y␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αw␈α␈orst␈αcase␈α(i␈α↓n␈αth␈α␈e␈αsen␈α␈se␈αo␈α␈f␈αTheo␈α␈rem␈αF␈α↓)␈αoccu␈α␈rs␈αwh␈α␈en␈↓ λF␈ε	u␈↓ λe␈εβ=␈↓ 	⊂␈ε	a␈↓ 	8␈εβ+␈↓ 	a␈ε	a␈↓ 
'␈εβ,␈↓ 
<␈ε	v␈↓ 
X␈εβ=␈↓ β␈ε	a␈↓ #␈εβ,
␈β∂d␈↓ 	 ␈εn␈↓ 	q␈εn␈↓ 
↓␈ε~␈␈εε1␈↓ ∪␈εn
␈β⊂↓␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈ε↔∃␈εβ␈α	2.
␈β⊂(␈↓ α␈εβThis␈α	re␈α␈sult␈α	is␈α	d␈α␈ue␈α	to␈αλA.␈α	Dup␈α␈r␈↓ ¬'␈εβ∞␈↓ ¬(␈εβe␈↓ ¬@␈εβ[␈ε⊂J.␈α	d␈α␈e␈α	M␈α␈ath.␈ε∪␈α	1␈α␈1␈εβ␈α	(18␈α␈46␈α␈)␈α↓,␈α	41␈α␈↑64␈α␈]␈α↓,␈α	who␈αλalso␈α	in␈α}v␈α␈estiga␈α␈ted
␈β⊂P␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ore␈αλg␈α␈enera␈α␈l␈αλ\look␈α␈-ah␈α␈ead␈α␈"␈αλpr␈α␈oced␈α␈ure␈α␈s␈αλsugg␈α␈ested␈απby␈απJ.␈αλBi␈α↓n␈α␈et.␈α
See␈απP␈α↓.␈αλBach␈α␈man␈α␈n,␈ε⊂␈αλNi␈α↓e␈α␈dere
␈β⊂w␈↓ ↓H␈ε⊂Zah␈α␈len␈α␈th␈α␈eorie␈ε∪␈α1␈εβ␈α(Leipzig:␈αTeub␈α␈ne␈α␈r,␈α19␈α␈02),␈α99↑␈α␈118␈α␈,␈αfor␈αa␈αd␈α␈i␈α↓sc␈α␈ussion␈αo␈α␈f␈αe␈α␈arly␈αan␈α␈alyse␈α␈s␈αo␈α␈f
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβEu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈αalgorith␈α␈m.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.3␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα583
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪32.␈↓ α␈εβ(b)␈↓ αE␈ε	Q␈↓ β→␈εβ(␈↓ β$␈ε	x␈↓ β@␈εβ,␈↓ βO␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β{␈εβ,␈↓ ∧
␈ε	x␈↓ ∧V␈εβ)␈↓ ∧a␈ε	Q␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬9␈ε	x␈↓ ε¬␈εβ,␈↓ ε∀␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εA␈εβ,␈↓ εO␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈απco␈α␈rrespo␈α␈nd␈α␈s␈απto␈απMorse␈απc␈α␈ode␈απse␈α␈que␈α␈nce
␈βα5␈↓ α\␈εm␈↓ αs␈ε~␈␈εε1␈↓ β3␈εε1␈↓ ∧→␈εm␈↓ ∧1␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬λ␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬H␈εm␈↓ ¬`␈εε+2␈↓ ε←␈εm␈↓ εv␈εε+␈↓ π∂␈εn
␈βαR␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αl␈α↓e␈α␈ngth␈α(␈↓ αa␈ε	m␈↓ βπ␈εβ+␈↓ β0␈ε	n␈↓ βD␈εβ)␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓ch␈αa␈αd␈α␈ash␈αoccu␈α␈pies␈αp␈α␈osition␈α␈s␈↓ π←␈ε	m␈↓ λ	␈εβa␈α␈nd␈α(␈↓ λV␈ε	m␈↓ λ{␈εβ+␈αλ1);␈α
th␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αterm
␈βαy␈↓ ↓H␈εβc␈α␈orresp␈α␈on␈α␈ds␈α∂to␈α∞the␈α∞op␈α␈po␈α␈si␈α↓te␈α∞case␈α␈.␈α!(Al␈α↓t␈α␈erna␈α␈ti␈α↓v␈α}ely,␈α⊂u␈α␈se␈α∂ex␈α}ercise␈α∂2␈α␈.␈α↔Th␈α␈e␈α∂mo␈α␈re␈α∂g␈α␈enera␈α␈l
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβid␈α␈en␈α␈tity
␈ββq␈↓ ↓i␈ε	Q␈↓ α@␈εβ(␈↓ αK␈ε	x␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β"␈εβ,␈↓ β1␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧␈ε	Q␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε	x␈↓ ¬π␈εβ,␈↓ ¬⊗␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬C␈εβ,␈↓ ¬Q␈ε	x␈↓ ε∨␈εβ)␈α	=␈↓ ε]␈ε	Q␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε	x␈↓ πX␈εβ,␈↓ πg␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ∀␈εβ,␈↓ λ"␈ε	x␈↓ λp␈εβ)␈↓ λ{␈ε	Q␈↓ 	!␈εβ(␈↓ 	,␈ε	x␈↓ 	y␈εβ,␈↓ 
λ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 
4␈εβ,␈↓ 
C␈ε	x␈↓ ∪␈εβ)
␈ββ|␈↓ ↓␈␈εm␈↓ α⊗␈εε+␈↓ α0␈εn␈↓ αZ␈εε1␈↓ β@␈εm␈↓ βX␈εε+␈↓ βq␈εn␈↓ ∧#␈εk␈↓ ∧J␈εm␈↓ ∧b␈εε+1␈↓ ¬a␈εm␈↓ ¬x␈εε+␈↓ ε⊃␈εk␈↓ εt␈εm␈↓ π␈εε+␈↓ π$␈εk␈↓ πL␈εε1␈↓ λ2␈εm␈↓ λI␈εε+␈↓ λb␈εk␈↓ 	⊃␈εn␈↓ 	<␈εm␈↓ 	S␈εε+1␈↓ 
R␈εm␈↓ 
j␈εε+␈↓ β␈εn
␈β∧~␈↓ ¬C␈εk
␈β∧ ␈↓ ∧R␈εβ+␈απ(␈ε↔␈α↓␈␈εβ1␈↓ ¬7␈εβ)␈↓ ¬P␈ε	Q␈↓ ε#␈εβ(␈↓ ε.␈ε	x␈↓ εJ␈εβ,␈↓ εY␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π¬␈εβ,␈↓ π∀␈ε	x␈↓ πa␈εβ)␈↓ πl␈ε	Q␈↓ λ←␈εβ(␈↓ λj␈ε	x␈↓ 	]␈εβ,␈↓ 	k␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
_␈εβ,␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
w␈εβ).
␈β∧*␈↓ ¬f␈εm␈↓ ¬⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ ε>␈εε1␈↓ π$␈εm␈↓ π;␈ε~␈␈εε1␈↓ λα␈εn␈↓ λ∩␈ε~␈␈↓ λ,␈εk␈↓ λ9␈ε~␈␈εε1␈↓ λy␈εm␈↓ 	⊂␈εε+␈↓ 	*␈εk␈↓ 	7␈εε+2␈↓ 
6␈εm␈↓ 
M␈εε+␈↓ 
f␈εn
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αap␈α␈pea␈α␈red␈αin␈αEu␈α␈ler's␈αp␈α␈ap␈α␈er.)
␈β¬∨␈↓ 	F␈ε~0␈↓ 
!␈ε~0
␈β¬$␈↓ ↓V␈ε∪33.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈e␈α∂ne␈α␈w␈α⊂re␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns␈α∂are␈↓ ¬{␈ε	x␈↓ ε≤␈εβ=␈↓ εN␈ε	m␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε	d␈↓ π∞␈εβ,␈↓ π'␈ε	y␈↓ πJ␈εβ=␈α⊂(␈↓ λπ␈ε	n␈↓ λ%␈ε↔␈␈↓ λP␈ε	m␈↓ λm␈εβ)␈α↓/␈↓ 		␈ε	d␈↓ 	≤␈εβ,␈↓ 	5␈ε	x␈↓ 	]␈εβ=␈↓ 
∞␈ε	y␈↓ 
7␈εβ=␈↓ 
i␈ε	d␈↓ ␈εβ=
␈β¬G␈↓ λλ␈ε~0␈↓ 
∩␈ε~0
␈β¬H␈↓ βl␈εε1
␈β¬K␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	m␈↓ α"␈εβ,␈↓ α1␈ε	n␈↓ αM␈ε↔␈␈↓ αv␈ε	m␈↓ β∪␈εβ),␈α
fo␈α␈r␈↓ β|␈ε	n␈↓ ∧≠␈εβ<␈↓ ∧G␈ε	m␈↓ ∧o␈εβ<␈↓ ¬~␈ε	n␈↓ ¬.␈εβ.␈α≠(␈α↓b␈α␈)␈αThe␈αrelation␈α(␈↓ πR␈ε	n␈↓ πf␈εβ/␈↓ πw␈ε	x␈↓ λ∂␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ λK␈ε	y␈↓ λh␈ε↔∀␈↓ 	∀␈ε	x␈↓ 	0␈εβ<␈↓ 	\␈ε	n␈↓ 	p␈εβ/␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
$␈εβd␈α␈e|n␈α␈es␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ.
␈β¬Y␈↓ βl␈∧¬Yβlα
␈β¬[␈↓ βl␈εε2
␈β¬o␈↓ β&␈ε~0
␈β¬s␈↓ ↓H␈εβ(c)␈α
Co␈α␈un␈α}t␈α
the␈↓ β∃␈ε	x␈↓ β7␈εβsa␈α␈tisf␈α↓y␈α␈ing␈α
(b␈α␈).␈α↔(d)␈α
A␈α
pa␈α␈i␈α↓r␈α
o␈α␈f␈αin␈α}teger␈α␈s␈↓ πM␈ε	x␈↓ πg␈εβ>␈↓ λ∩␈ε	y␈↓ λ-␈εβ>␈α
0,␈↓ λ|␈εβgcd␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	9␈ε	x␈↓ 	K␈εβ,␈↓ 	Y␈ε	y␈↓ 	l␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈,␈αcan␈α	be
␈βε~␈↓ ↓H␈εβu␈α␈niqu␈α␈ely␈α¬wri␈α↓tte␈α␈n␈αεin␈α¬the␈α¬f␈α↓o␈α␈rm␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧s␈εβ=␈↓ ¬≡␈ε	Q␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬s␈εβ,␈↓ ε↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	x␈↓ εc␈εβ),␈↓ ε␈␈ε	y␈↓ π~␈εβ=␈↓ πE␈ε	Q␈↓ λ_␈εβ(␈↓ λ#␈ε	x␈↓ λ?␈εβ,␈↓ λN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λz␈εβ,␈↓ 		␈ε	x␈↓ 	V␈εβ),␈απwhe␈α␈re␈↓ 
L␈ε	x␈↓ 
q␈ε↔∃␈εβ␈α
2
␈βε$␈↓ 	␈ε↓P
␈βε%␈↓ ¬4␈εm␈↓ ¬f␈εε1␈↓ εL␈εm␈↓ π[␈εm␈↓ πr␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λ3␈εε1␈↓ 	→␈εm␈↓ 	0␈ε~␈␈εε1␈↓ 
[␈εε1
␈βεB␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	m␈↓ α.␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈↓ αj␈εβ;␈α
here␈↓ βE␈ε	y␈↓ βX␈εβ/␈↓ βh␈ε	x␈↓ ∧β␈εβ=␈ε↔␈α	?␈↓ ∧>␈ε	x␈↓ ∧e␈εβ,␈↓ ∧t␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬/␈ε	x␈↓ ¬K␈ε↔?␈εβ␈α␈.␈α_(e)␈αIt␈α
su}c␈α␈es␈αto␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αt␈α␈hat␈↓ 
!␈ε	T␈↓ 
9␈εβ(␈↓ 
D␈ε	k␈↓ 
T␈εβ,␈↓ 
c␈ε	n␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βεM␈↓ ∧M␈εm␈↓ ¬>␈εε1
␈βεU␈↓ 	&␈εε1␈ε~∀␈↓ 	L␈εk␈↓ 	Y␈ε~∀␈↓ 	r␈εn␈↓ 
β␈εε/␈α␈2
␈βεo␈↓ ↓H␈εβ2␈ε↔␈α␈b␈↓ ↓e␈ε	n␈↓ ↓y␈εβ/2␈ε↔c␈εβ␈α
+␈↓ α]␈ε	h␈↓ αm␈εβ(␈↓ αx␈ε	n␈↓ β␈εβ)␈α↓.␈α↔For␈α∂1␈ε↔␈α∂∀␈↓ ∧L␈ε	k␈↓ ∧l␈ε↔∀␈↓ ¬≥␈ε	n␈↓ ¬1␈εβ/2␈α∂th␈α␈e␈α∂co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α∂fra␈α␈ction␈α␈s␈↓ λG␈ε	k␈↓ λX␈εβ/␈↓ λh␈ε	n␈↓ 	␈εβ=␈ε↔␈α⊂?␈↓ 	N␈ε	x␈↓ 	j␈εβ,␈↓ 	y␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
%␈εβ,␈↓ 
4␈ε	x␈↓ 
[␈ε↔?␈εβ␈α∞run
␈βεy␈↓ 	]␈εε1␈↓ 
D␈εm
␈βπ⊗␈↓ ↓H␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈αλall␈α
se␈α␈qu␈α␈ence␈α␈s␈α	(␈↓ ∧∞␈ε	x␈↓ ∧*␈εβ,␈↓ ∧9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧f␈εβ,␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬≠␈εβ)␈α	such␈αλtha␈α␈t␈↓ ε?␈ε	m␈↓ εf␈ε↔∃␈εβ␈α	1,␈↓ π4␈ε	x␈↓ πY␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈↓ λ'␈ε	x␈↓ λW␈ε↔∃␈εβ␈α	2,␈↓ 	%␈ε	Q␈↓ 	R␈εβ(␈↓ 	]␈ε	x␈↓ 	y␈εβ,␈↓ 
λ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
5␈εβ,␈↓ 
C␈ε	x␈↓ 
j␈εβ)␈ε↔␈α¬∧␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ;
␈βπ!␈↓ ∧≡␈εε1␈↓ ¬∧␈εm␈↓ πC␈εε1␈↓ λ6␈εm␈↓ 	;␈εm␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
S␈εm
␈βπ>␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	T␈↓ α ␈εβ(␈↓ α+␈ε	k␈↓ α;␈εβ,␈↓ αJ␈ε	n␈↓ α↑␈εβ)␈α	=␈α
2␈απ+␈αλ(␈↓ βi␈ε	m␈↓ ∧
␈ε↔␈␈εβ␈αλ1).
␈βπT␈↓ π@␈ε↓P
␈βπr␈↓ ↓V␈ε∪34.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃D␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈↓ βK␈ε	x␈↓ βf␈εβan␈α␈d␈↓ ∧&␈ε	y␈↓ ∧B␈εβb␈α␈y␈↓ ∧q␈εβg␈α␈cd␈↓ ¬"␈εβ(␈↓ ¬.␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬N␈ε	y␈↓ ¬`␈εβ)␈α
yield␈α␈s␈↓ εR␈ε	g␈↓ εb␈εβ(␈↓ εm␈ε	n␈↓ π↓␈εβ)␈α	=␈↓ λ↔␈ε	h␈↓ λ'␈εβ(␈↓ λ2␈ε	n␈↓ λF␈εβ/␈↓ λW␈ε	d␈↓ λj␈εβ);␈α
ap␈α␈ply␈α	ex␈α␈e␈α␈rcise␈α
28␈α␈(c),
␈βλ∧␈↓ πf␈εd␈↓ πt␈ε~∧␈↓ λ↓␈εn
␈βλ∨␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αu␈α␈se␈αthe␈αsym␈α␈metry␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈αp␈α␈rimed␈αan␈α␈d␈αu␈α␈np␈α␈ri␈α↓m␈α␈ed␈αva␈α␈riables.␈α≤(b␈α␈)␈α
For␈α|x␈α}ed␈↓ 
X␈ε	y␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈βλ@␈↓ π≤␈∧λ@π≤α'␈↓ 

␈∧λ@

α'
␈βλA␈↓ εz␈ε↔p␈↓ 	i␈ε↔p
␈βλB␈↓ ¬G␈ε~0␈↓ ε;␈ε~0
␈βλF␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓T␈εβ,␈α
th␈α␈e␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αwi␈α↓t␈α␈h␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈ε	d␈↓ ¬	␈ε↔∃␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬Z␈εβha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εM␈εβ<␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π0␈ε	d␈↓ πB␈εβ;␈α∞h␈α␈en␈α␈ce␈α
t␈α␈here␈αare␈↓ 	F␈ε	O␈↓ 	↑␈εβ(␈↓ 

␈ε	n␈↓ 
≡␈ε	d␈↓ 
1␈εβ/␈↓ 
B␈ε	y␈↓ 
T␈εβ)␈α
su␈α␈ch
␈βλO␈↓ πε␈ε↓p
␈βλj␈↓ π*␈∧λjπ*α8
␈βλs␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈tatio␈α␈ns.␈α↔No␈α}w␈α∂sum␈α∂fo␈α␈r␈α∂0␈α⊂<␈↓ ¬g␈ε	t␈↓ εα␈ε↔∀␈↓ ε3␈ε	y␈↓ εU␈εβ<␈↓ π*␈ε	n␈↓ π>␈εβ/␈↓ πO␈ε	d␈↓ πa␈εβ.␈α!(c)␈α∂If␈↓ λd␈ε	s␈↓ λr␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε	y␈↓ 	⊂␈εβ)␈α∂is␈α∂th␈α␈e␈α∂giv␈α␈en␈α∞su␈α␈m,
␈βλ|␈↓ α∃␈ε↓P␈↓ λ+␈ε↓P
␈β	~␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ αk␈ε	s␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε	d␈↓ β⊗␈εβ)␈α
=␈↓ β[␈ε	y␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	H␈↓ ∧2␈ε↔␈␈↓ ∧\␈ε	H␈↓ ¬↓␈εβ)␈α=␈↓ ¬F␈ε	k␈↓ ¬V␈εβ(␈↓ ¬a␈ε	y␈↓ ¬t␈εβ),␈α
say␈α␈;␈α∂h␈α␈en␈α␈ce␈↓ π;␈ε	s␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε	y␈↓ πf␈εβ)␈α
=␈↓ 	↓␈ε	k␈↓ 	⊃␈εβ(␈↓ 	≥␈ε	y␈↓ 	/␈εβ/␈↓ 	@␈ε	d␈↓ 	R␈εβ).␈α⊃No␈α␈w␈↓ 
F␈ε	k␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	y␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈β	%␈↓ ∧∞␈εε2␈↓ ∧≠␈εy␈↓ ∧r␈εy
␈β	+␈↓ ∧.␈ε↓P␈↓ εZ␈ε↓P␈↓ 	=␈ε↓P
␈β	-␈↓ α;␈εd␈↓ αJ␈ε~∧␈↓ αW␈εy␈↓ λQ␈εd␈↓ λ`␈ε~∧␈↓ λm␈εy
␈β	E␈↓ ε→␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈β	F␈↓ αA␈εε1
␈β	I␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓`␈εβln␈↓ α↓␈εβ2␈ε↔␈α¬␈␈↓ αV␈εβ+␈↓ α|␈ε	O␈↓ β∀␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ βA␈ε	y␈↓ βS␈εβ).␈α∃(d)␈↓ ¬8␈ε	⎇␈↓ ¬N␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε	y␈↓ ¬k␈εβ)/␈↓ επ␈ε	y␈↓ ε/␈εβ=␈↓ λ→␈ε	⊗␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε	d␈↓ λI␈εβ)/␈↓ λd␈ε	y␈↓ λw␈ε	d␈↓ 	∪␈εβ=␈↓ 
,␈ε	⊗␈↓ 
>␈εβ(␈↓ 
I␈ε	d␈↓ 
[␈εβ)␈α↓/␈↓ 
w␈ε	c␈↓ ∧␈ε	d␈↓ #␈εβ.
␈β	W␈↓ αA␈∧	WαAα
␈β	Y␈↓ αA␈εε4
␈β	[␈↓ αn␈ε↓P␈↓ εg␈ε↓P
␈β	\␈↓ ∧T␈εε1␈ε~∀␈↓ ∧z␈εy␈↓ ¬	␈ε~∀␈↓ ¬"␈εn␈↓ π␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π&␈εy␈↓ π4␈ε~∀␈↓ πN␈εn␈↓ π↑␈εε,␈↓ πi␈εd␈↓ πx␈ε~∧␈↓ λ∧␈εy␈↓ 	c␈εc␈↓ 	n␈εd␈↓ 	⎇␈ε~∀␈↓ 
⊗␈εn
␈β	u␈↓ ∧y␈εε2␈↓ λI␈εε2␈↓ 	E␈εε2
␈β	v␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ε
␈εα)␈↓ 
v␈εα(
␈β	y␈↓ ↓T␈εβS␈α␈imil␈α↓a␈α␈rly,␈↓ βx␈ε	≠␈↓ ∧.␈εβ(␈↓ ∧9␈ε	y␈↓ ∧K␈εβ)/␈↓ ∧g␈ε	y␈↓ ¬∪␈εβ=␈↓ ¬B␈ε	O␈↓ ¬Z␈εβ(1).␈↓ ε4␈εβ(e)␈↓ πo␈ε	⊗␈↓ λ↓␈εβ(␈↓ λ␈ε	k␈↓ λ≤␈εβ)␈α↓/␈↓ λ8␈ε	k␈↓ λb␈εβ=␈α∞6/␈↓ 	2␈ε	→␈↓ 	Z␈εβ+␈↓ 
¬␈ε	O␈↓ 
≥␈εβ(1/␈↓ 
I␈ε	n␈↓ 
]␈εβ)␈↓ α␈εβsee
␈β
β␈↓ ∧λ␈ε~␈␈εε1
␈β
	␈↓ ∧;␈ε↓P
␈β
␈↓ β∀␈εε1␈ε~∀␈↓ β:␈εy␈↓ βI␈ε~∀␈↓ βb␈εn␈↓ π
␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π2␈εk␈↓ π@␈ε~∀␈↓ πY␈εn
␈β
#␈↓ εc␈εε2␈↓ 
s␈εε2
␈β
$␈↓ β←␈εα)␈↓ 	e␈εα(␈↓ 
␈␈εα)
␈β
'␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈αλ4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈↑10␈α␈(d)␈↓ βk␈εβ;␈α	an␈α␈d␈↓ ¬C␈ε	⊗␈↓ ¬U␈εβ(␈↓ ¬a␈ε	k␈↓ ¬q␈εβ)␈↓ εα␈εβlo␈α␈g␈↓ ε2␈ε	k␈↓ εB␈εβ/␈↓ εS␈ε	k␈↓ εy␈εβ=␈↓ π#␈ε	O␈↓ π;␈εβ(␈α↓1␈α␈).␈αHen␈α␈ce␈↓ λU␈ε	h␈↓ λs␈εβ(␈↓ λ}␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ)␈α	=␈↓ 	Q␈ε	n␈↓ 	q␈εβ(3␈↓ 
∩␈εβl␈α↓n␈↓ 
4␈εβ2␈α␈)/␈↓ 
`␈ε	→␈↓ ␈ε↔α
␈β
2␈↓ λd␈εd
␈β
7␈↓ ε4␈ε↓P
␈β
:␈↓ ∧a␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬π␈εk␈↓ ¬∀␈ε~∀␈↓ ¬-␈εn
␈β
Q␈↓ 
∪␈εε2
␈β
R␈↓ 	ε␈εα(␈↓ 
 ␈εα)␈↓ 
@␈εα(
␈β
U␈↓ ↓H␈εβln␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	n␈↓ αβ␈εβ/␈↓ α∪␈ε	d␈↓ α&␈εβ)␈α
+␈↓ αf␈ε	O␈↓ α}␈εβ(␈↓ β	␈ε	n␈↓ β≥␈εβ)␈α∂for␈↓ βn␈ε	d␈↓ ∧⊂␈ε↔∃␈εβ␈α⊂1.␈α⊗So␈↓ ¬#␈ε	h␈↓ ¬4␈εβ(␈↓ ¬?␈ε	n␈↓ ¬S␈εβ)␈α∂=␈α⊂2␈↓ π⊗␈ε	⊗␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈ε	d␈↓ πF␈εβ)␈↓ πQ␈ε	h␈↓ πk␈εβ(␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ
␈εβ/␈↓ λ≠␈ε	c␈↓ λ(␈ε	d␈↓ λ;␈εβ)␈α∂=␈↓ 	∩␈εβ(6␈↓ 	3␈εβln␈↓ 	T␈εβ2)/␈↓ 
↓␈ε	→␈↓ 
,␈ε	n␈↓ 
L␈εβln␈↓ 
m␈ε	n␈↓ ␈ε↔␈
␈β
`␈↓ πa␈εc
␈β
h␈↓ εZ␈εc␈↓ εe␈εd␈↓ εt␈ε~∧␈↓ π␈εn
␈β
j␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ α~␈ε↓P␈↓ λ∧␈ε↓P␈↓ λ↑␈ε↓P
␈β
⎇␈↓ α@␈ε~0
␈β∧␈↓ ∧→␈εε2
␈β¬␈↓ αF␈εα)␈↓ β~␈εα(␈↓ ∧&␈εα)
␈βλ␈↓ ↓s␈ε↔␈␈↓ αY␈εβ+␈↓ βα␈ε	O␈↓ β&␈ε	n␈↓ β:␈ε	≠␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	n␈↓ ∧∞␈εβ)␈↓ ∧2␈εβ,␈αwher␈α␈e␈αth␈α␈e␈αrema␈α␈ining␈α
sum␈α␈s␈αare␈↓ λ4␈εβ=␈↓ 	@␈ε	⊗␈↓ 	R␈εβ(␈↓ 	]␈ε	d␈↓ 	p␈εβ)␈↓ 
␈εβl␈α↓n␈↓ 
≤␈εβ(␈↓ 
'␈ε	c␈↓ 
4␈ε	d␈↓ 
G␈εβ)/␈↓ 
b␈ε	c␈↓ 
o␈ε	d␈↓ ␈εβ=
␈β∪␈↓ βI␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β≠␈↓ 	∧␈εc␈↓ 	∂␈εd␈↓ 	≥␈ε~∧␈↓ 	*␈εn
␈β≥␈↓ α-␈ε↓P␈↓ β≤␈ε↓P␈↓ ¬←␈ε↓P
␈β0␈↓ αS␈ε~0
␈β;␈↓ ↓H␈εβ0␈α∂a␈α␈nd␈↓ αj␈εβ=␈↓ β}␈ε	⊗␈↓ ∧⊂␈εβ(␈↓ ∧≠␈ε	d␈↓ ∧-␈εβ)␈↓ ∧>␈εβln␈↓ ∧←␈ε	c␈↓ ∧l␈εβ/␈↓ ∧⎇␈ε	c␈↓ ¬
␈ε	d␈↓ ¬-␈εβ=␈↓ ε6␈ε	β␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε	d␈↓ εh␈εβ)/␈↓ π∧␈ε	d␈↓ π⊗␈εβ.␈α"[It␈α⊂is␈α⊂w␈α␈e␈α␈l␈α↓l␈α∂kn␈α␈o␈α␈wn␈α∂tha␈α␈t␈↓ 
≠␈ε	≠␈↓ 
P␈εβ(␈↓ 
[␈ε	n␈↓ 
o␈εβ)␈α⊃=
␈βF␈↓ 
+␈ε~␈␈εε1
␈βN␈↓ βB␈εc␈↓ βL␈εd␈↓ β[␈ε~∧␈↓ βh␈εn␈↓ ε¬␈εd␈↓ ε∀␈ε~∧␈↓ ε ␈εn
␈βh␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈εβlog␈↓ αK␈ε	n␈↓ α←␈εβ);␈αc␈α␈f.␈αHa␈α␈rdy␈αa␈α␈nd␈α
W␈α↓rig␈α␈h␈α␈t,␈ε⊂␈αTheo␈α␈ry␈αo␈α␈f␈αNu␈α␈m␈α␈b␈α␈ers␈εβ,␈ε↔␈αx␈εβ22.9␈α␈.␈α↓]
␈β≤␈↓ ↓V␈ε∪35.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αP␈α↓ro␈α␈c.␈αNat.␈αAcad␈α␈.␈αS␈α␈ci.␈ε∪␈α72␈εβ␈α(19␈α␈75),␈α47␈α␈20↑␈α␈472␈α␈2.
␈βO␈↓ ↓V␈ε∪36.␈↓ α␈εβWork␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αthe␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αbac␈α␈kwar␈α␈ds,␈αw␈α␈e␈αwan␈α␈t␈αto␈αcho␈α␈ose␈↓ λ-␈ε	k␈↓ λH␈εβ,␈↓ λ]␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	∨␈ε	k␈↓ 	o␈εβso␈αtha␈α␈t␈↓ 
a␈ε	u␈↓ ␈ε↔⊃
␈βZ␈↓ λ<␈εε1␈↓ 	-␈εn␈↓ 	>␈ε~␈␈εε1␈↓ 
t␈εk
␈βt␈↓ βa␈εα(␈↓ εg␈εα)
␈βw␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓w␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α$␈ε	F␈↓ αn␈ε	F␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈↓ βx␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ∧n␈εβgc␈α␈d␈↓ ¬ ␈εβ(␈↓ ¬+␈ε	u␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ ¬⎇␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε*␈εβ,␈↓ ε9␈ε	u␈↓ ε\␈εβ)␈↓ ε}␈εβfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ πu␈ε	i␈↓ λ␈εβ<␈↓ λ6␈ε	n␈↓ λJ␈εβ,␈αwith␈↓ 	)␈ε	u␈↓ 	V␈εβ=␈↓ 
↓␈ε	F␈↓ 
0␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
]␈ε	F
␈β
α␈↓ ↓Z␈εk␈↓ α6␈εk␈↓ β↓␈εk␈↓ ¬>␈εi␈↓ ¬I␈εε+1␈↓ εL␈εn␈↓ 	=␈εn␈↓ 
∪␈εk␈↓ 
o␈εk
␈β
	␈↓ ↓f␈επ1␈↓ αB␈ε
i␈↓ αM␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ β
␈ε
i␈↓ 
∨␈επ1␈↓ 
{␈ε
n␈↓ ␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β
∨␈↓ ↓H␈εβa␈αminim␈α␈u␈α␈m,␈α∞wh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈↓ ∧#␈ε	k␈↓ ∧3␈εβ's␈α
are␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e,␈↓ ε⊗␈ε	k␈↓ ε>␈ε↔∃␈εβ␈α3,␈α
and␈↓ πU␈ε	k␈↓ πy␈εβ+␈↓ λ#␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ λR␈εβ+␈↓ λ|␈ε	k␈↓ 	M␈εβ=␈↓ 	{␈ε	N␈↓ 
"␈εβ+␈↓ 
L␈ε	n␈↓ 
i␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈.
␈β
)␈↓ ε%␈εε1␈↓ πd␈εε1␈↓ 	␈εn␈↓ 	≠␈ε~␈␈εε1
␈β
F␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
solutio␈α␈n␈α
is␈↓ β)␈ε	k␈↓ βM␈εβ=␈↓ βx␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧(␈εβ=␈↓ ∧R␈ε	k␈↓ ¬ ␈εβ=␈α
2␈α␈,␈↓ ¬o␈ε	u␈↓ ε≤␈εβ=␈↓ εF␈ε	F␈↓ π@␈εβ.␈α↔[See␈ε⊂␈α
CA␈α␈CM␈ε∪␈α
1␈α␈3␈εβ␈α
(197␈α␈0),␈α4␈α␈33↑␈α␈436␈α␈,
␈β
Q␈↓ β7␈εε2␈↓ ∧a␈εn␈↓ ∧q␈ε~␈␈εε1␈↓ εα␈εn␈↓ εY␈εN␈↓ εq␈ε~␈␈↓ π
␈εn␈↓ π~␈εε+3
␈β
n␈↓ ↓H␈εβ4␈α␈47↑␈α␈448␈α␈.]
␈β∞!␈↓ ↓V␈ε∪37.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈ε⊂␈αP␈α↓ro␈α␈c.␈αAmer.␈αMa␈α␈th.␈αSo␈α␈c.␈ε∪␈α7␈εβ␈α
(195␈α␈6),␈α101␈α␈4↑1␈α␈021␈α␈;␈αc␈α␈f␈α↓.␈αalso␈αe␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α6␈α␈.1↑1␈α␈8.
␈β∞Q␈↓ ¬t␈ε~␈␈εε1
␈β∞U␈↓ ↓V␈ε∪38.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	m␈↓ αn␈εβ=␈ε↔␈α
d␈↓ β&␈ε	n␈↓ β:␈εβ/␈↓ βJ␈ε	≡␈↓ β]␈ε↔e␈εβ,␈α
so␈α	that␈↓ ∧k␈ε	m␈↓ ¬λ␈εβ/␈↓ ¬→␈ε	n␈↓ ¬6␈εβ=␈↓ ¬a␈ε	≡␈↓ ε∨␈εβ+␈↓ εF␈ε	∂␈↓ ε\␈εβ=␈ε↔␈α	?␈↓ π↔␈ε	x␈↓ π3␈εβ,␈↓ πB␈ε	x␈↓ π↑␈εβ,␈↓ πm␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ→␈ε↔?␈εβ␈α	where␈α	0␈α	<␈↓ 	W␈ε	∂␈↓ 	m␈εβ<␈α	1/␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
M␈εβ.␈αLet␈↓ ≤␈ε	k
␈β∞`␈↓ π&␈εε1␈↓ πQ␈εε2
␈β∞y␈↓ ¬`␈εε1␈ε~␈␈↓ εε␈εk␈↓ ππ␈εk␈↓ λ#␈ε~␈␈↓ λ=␈εk␈↓ 	>␈εk
␈β∞z␈↓ ¬A␈εα(␈↓ πg␈εα)/(␈↓ 	x␈εα)
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈α	minimal␈α	suc␈α␈h␈α	that␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧)␈ε↔∃␈εβ␈α	2;␈α
the␈α␈n␈↓ ¬M␈ε	≡␈↓ ε_␈εβ+␈αε(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε|␈εβ)␈↓ π∀␈ε	F␈↓ πZ␈ε	∂␈↓ λ⊃␈ε	≡␈↓ λO␈ε↔␈␈εβ␈αε(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	3␈εβ)␈↓ 	K␈ε	F␈↓ 	k␈ε	∂␈↓ 

␈ε↔∃␈εβ␈α	2,␈α
he␈α␈nce
␈β∂π␈↓ ∧∩␈εk␈↓ π'␈εk␈↓ π4␈ε~␈␈εε1␈↓ 	]␈εk
␈β∂≡␈↓ λD␈∧∂≡λDα⊃
␈β∂∨␈↓ λ#␈ε↔p
␈β∂ ␈↓ β'␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬≡␈εk␈↓ εQ␈εε2␈↓ ε↑␈εk␈↓ εk␈εε+2␈↓ πT␈ε~␈␈εε2
␈β∂$␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓d␈εβis␈αev␈α␈en␈αa␈α␈nd␈↓ β∀␈ε	≡␈↓ βV␈εβ=␈α2␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧C␈ε	≡␈↓ ∧`␈ε↔∀␈↓ ¬␈ε	≡␈↓ ¬+␈ε	F␈↓ ¬q␈ε	∂␈↓ ελ␈εβ=␈α
(␈↓ ε>␈ε	≡␈↓ π_␈ε↔␈␈↓ πA␈ε	≡␈↓ πz␈εβ)␈↓ λ¬␈ε	∂␈↓ λ∩␈εβ/␈↓ λD␈εβ5␈↓ λU␈εβ.␈α~[␈ε⊂Ann␈α␈.␈αPolon␈α␈.␈αMat␈α␈h.␈ε∪␈α1
␈β∂/␈↓ ¬>␈εk␈↓ ¬K␈εε+2
␈β∂L␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈954␈α␈),␈α2␈α␈03↑␈α␈206␈α␈.␈α↓]
␈β∂␈␈↓ ↓V␈ε∪39.␈↓ α␈εβAt␈α
least␈α287␈αat␈α
b␈α␈ats;␈ε↔␈α∞?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε95␈ε↔␈α␈?␈εβ␈α=␈α
96␈α␈/28␈α␈7␈α=␈α
.33␈α␈449␈α␈477␈↓ λ8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λe␈εβ,␈α
an␈α␈d␈α
n␈α␈o␈α
frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
with
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβd␈α␈en␈α␈omina␈α␈tor␈α<␈α	287␈α
l␈α↓ies␈αin␈αth␈α␈e␈αin␈α␈terv␈α␈al␈α[.␈α↓3␈α␈335␈α␈,␈αε.334␈α␈5]␈α	=␈α
[␈ε↔?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε666␈ε↔␈α␈?␈εβ,␈ε↔␈α?␈εβ␈α¬2,␈αε1␈α␈,␈αε94,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε3␈ε↔?␈εβ].
␈β⊂O␈↓ α␈εβTo␈αsolv␈α␈e␈αthe␈αge␈α␈nera␈α␈l␈α
qu␈α␈estion␈αof␈αthe␈αfraction␈αin␈α[␈↓ π[␈ε	a␈↓ πl␈εβ,␈↓ πz␈ε	b␈↓ λλ␈εβ]␈α
with␈αsma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t␈α
de␈α␈no␈α␈minato␈α␈r,
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈α
0␈α	<␈↓ αl␈ε	a␈↓ β¬␈εβ<␈↓ β0␈ε	b␈↓ βF␈εβ<␈α
1␈α␈,␈αno␈α␈te␈αth␈α␈at␈α
in␈α
terms␈α
of␈α
regu␈α␈lar␈α
con␈α}tin␈α␈ue␈α␈d-frac␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
rep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈α␈s
␈β⊃~␈↓ ε>␈εj␈↓ πa␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈ε↔␈α?␈↓ αX␈ε	x␈↓ αt␈εβ,␈↓ ββ␈ε	x␈↓ β∨␈εβ,␈↓ β-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βZ␈ε↔?␈εβ␈α	<␈ε↔␈α	?␈↓ ∧/␈ε	y␈↓ ∧K␈εβ,␈↓ ∧Z␈ε	y␈↓ ∧v␈εβ,␈↓ ¬¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬2␈ε↔?␈εβ␈α
i{␈α(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε3␈εβ)␈↓ εJ␈ε	x␈↓ εo␈εβ<␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πV␈εβ)␈↓ πm␈ε	y␈↓ λ∀␈εβfor␈αth␈α␈e␈αsmallest␈↓ 
↓␈ε	j␈↓ 
≠␈εβwith␈↓ 
f␈ε	x␈↓ ␈ε↔≤
␈β⊃)␈↓ αg␈εε1␈↓ β∩␈εε2␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧j␈εε2␈↓ εY␈εj␈↓ π⎇␈εj␈↓ 
v␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα584␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.3
␈βα*␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓c␈εβ,␈α∞where␈αwe␈α
p␈α␈lace␈α
\␈ε↔␈α␈1␈εβ␈α↓"␈αafter␈α
th␈α␈e␈α
last␈α
pa␈α␈rtial␈α
quo␈α␈tien␈α␈t␈α
o␈α␈f␈α∞a␈αration␈α␈al␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber.␈α⊃Th␈α␈u␈α␈s␈α
if
␈βα5␈↓ ↓W␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓c␈εβ=␈ε↔␈α?␈↓ α ␈ε	x␈↓ α<␈εβ,␈↓ αK␈ε	x␈↓ αg␈εβ,␈↓ αv␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β"␈ε↔?␈εβ␈αan␈α␈d␈↓ ∧↓␈ε	b␈↓ ∧~␈εβ=␈ε↔␈α?␈↓ ∧W␈ε	y␈↓ ∧s␈εβ,␈↓ ¬α␈ε	y␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬-␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬Y␈ε↔?␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αif␈↓ εb␈ε	j␈↓ ε⎇␈εβi␈α↓s␈αmin␈α␈i␈α↓m␈α␈al␈α
with␈↓ λp␈ε	x␈↓ 	⊗␈ε↔≤␈↓ 	C␈ε	y␈↓ 	↑␈εβ,␈α
the␈αfra␈α␈ction␈α␈s
␈βα]␈↓ α0␈εε1␈↓ α[␈εε2␈↓ ∧f␈εε1␈↓ ¬∩␈εε2␈↓ λ␈␈εj␈↓ 	R␈εj
␈βαz␈↓ ↓H␈εβin␈α∂[␈↓ ↓|␈ε	a␈↓ α
␈εβ,␈↓ α≠␈ε	b␈↓ α)␈εβ]␈α⊂h␈α␈av␈α}e␈α⊂th␈α␈e␈α⊂fo␈α␈rm␈↓ ∧'␈ε	c␈↓ ∧D␈εβ=␈ε↔␈α⊃?␈↓ ¬π␈ε	x␈↓ ¬#␈εβ,␈↓ ¬2␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬↑␈εβ,␈↓ ¬m␈ε	x␈↓ ε.␈εβ,␈↓ ε=␈ε	z␈↓ εT␈εβ,␈↓ εc␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∂␈εβ,␈↓ π≡␈ε	z␈↓ πA␈ε↔?␈εβ␈α∂wh␈α␈ere␈ε↔␈α⊂?␈↓ λV␈ε	z␈↓ λm␈εβ,␈↓ λ|␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 	)␈εβ,␈↓ 	7␈ε	z␈↓ 	Z␈ε↔?␈εβ␈α∂li␈α↓e␈α␈s␈α⊂b␈α␈et␈α␈w␈α␈een
␈ββ∧␈↓ ¬⊗␈εε1␈↓ ¬|␈εj␈↓ ελ␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ εH␈εj␈↓ π)␈εm␈↓ λa␈εj␈↓ 	B␈εm
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε↔?␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓t␈εβ,␈↓ αβ␈ε	x␈↓ αD␈εβ,␈↓ αS␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ α␈␈ε↔?␈εβ␈αa␈α␈nd␈ε↔␈α?␈↓ βl␈ε	y␈↓ ∧λ␈εβ,␈↓ ∧↔␈ε	y␈↓ ∧X␈εβ,␈↓ ∧g␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬∀␈ε↔?␈εβ␈α
i␈α↓n␈α␈clusiv␈α}e.␈αLet␈↓ ε}␈ε	Q␈↓ πC␈εβ=␈α	0.␈αThe␈αd␈α␈eno␈α␈mina␈α␈tor
␈ββ,␈↓ ↓h␈εj␈↓ α∩␈εj␈↓ α≡␈εε+1␈↓ β|␈εj␈↓ ∧&␈εj␈↓ ∧3␈εε+1␈↓ π∀␈ε~␈␈εε1
␈ββq␈↓ α
␈ε	Q␈↓ αR␈εβ(␈↓ α]␈ε	x␈↓ αy␈εβ,␈↓ βλ␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β5␈εβ,␈↓ βC␈ε	x␈↓ ∧¬␈εβ)␈↓ ∧⊂␈ε	Q␈↓ ¬λ␈εβ(␈↓ ¬∪␈ε	z␈↓ ¬*␈εβ,␈↓ ¬9␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬f␈εβ,␈↓ ¬t␈ε	z␈↓ ε↔␈εβ)␈απ+␈↓ εR␈ε	Q␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε	x␈↓ πA␈εβ,␈↓ πP␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π|␈εβ,␈↓ λ␈ε	x␈↓ λM␈εβ)␈↓ λX␈ε	Q␈↓ 	*␈εβ(␈↓ 	5␈ε	z␈↓ 	r␈εβ,␈↓ 
↓␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
.␈εβ,␈↓ 
<␈ε	z␈↓ 
←␈εβ)
␈ββ|␈↓ α ␈εj␈↓ α,␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ αm␈εε1␈↓ βS␈εj␈↓ β←␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧&␈εm␈↓ ∧=␈ε~␈␈↓ ∧V␈εj␈↓ ∧b␈εε+␈α↓1␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ε␈εm␈↓ εh␈εj␈↓ εt␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ π5␈εε1␈↓ λ≠␈εj␈↓ λ'␈ε~␈␈εε2␈↓ λn␈εm␈↓ 	¬␈ε~␈␈↓ 	≡␈εj␈↓ 	A␈εj␈↓ 	M␈εε+1␈↓ 
H␈εm
␈β∧A␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈ε	c␈↓ απ␈εβis␈αminimized␈αwh␈α␈en␈↓ ∧!␈ε	m␈↓ ∧H␈εβ=␈↓ ∧s␈ε	j␈↓ ¬
␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬N␈ε	z␈↓ ¬n␈εβ=␈α
(␈↓ ε$␈ε	j␈↓ ε?␈εβo␈α␈dd␈ε↔␈α)␈↓ π+␈ε	y␈↓ πN␈εβ+␈αλ1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ8␈ε	∞␈↓ 	↔␈εβ;␈↓ 	,␈ε	x␈↓ 	O␈εβ+␈απ1␈ε↔␈αλ␈␈↓ 
9␈ε	∞␈↓ _␈εβ).
␈β∧L␈↓ ¬Y␈εj␈↓ π:␈εj␈↓ λD␈εy␈↓ λ}␈ε~1␈↓ 	;␈εj␈↓ 
E␈εx␈↓ 
␈␈ε~1
␈β∧S␈↓ λQ␈ε
j␈↓ λ\␈επ+1␈↓ 
R␈ε
j␈↓ 
]␈επ+1
␈β∧i␈↓ ↓H␈εβ[An␈α␈othe␈α␈r␈αway␈αto␈α
deriv␈α}e␈αthis␈αmeth␈α␈od␈α
come␈α␈s␈αf␈α↓r␈α␈om␈αth␈α␈e␈αtheo␈α␈ry␈αin␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈.␈α↓]
␈β¬≤␈↓ ↓V␈ε∪40.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αcan␈α
pro␈α}v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αth␈α␈at␈↓ ¬v␈ε	p␈↓ ε∩␈ε	q␈↓ ε-␈ε↔␈␈↓ εU␈ε	p␈↓ εm␈ε	q␈↓ π∞␈εβ=␈α
1␈αa␈α␈t␈αeac␈α␈h␈αno␈α␈de␈α␈,␈αh␈α␈enc␈α␈e␈↓ 	}␈ε	p␈↓ 
!␈εβa␈α␈nd␈↓ 
a␈ε	q␈↓ ␈εβare
␈β¬'␈↓ εε␈εr␈↓ ε≡␈εl␈↓ εe␈εl␈↓ εy␈εr␈↓ 
∞␈εl␈↓ 
m␈εl
␈β¬?␈↓ ¬≠␈ε~0␈↓ ¬A␈ε~0␈↓ λY␈ε~0␈↓ 	V␈ε~0␈↓ 
1␈ε~0␈↓ 
W␈ε~0
␈β¬D␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈αprime.␈α⊂S␈α␈ince␈↓ ∧!␈ε	p␈↓ ∧2␈εβ/␈↓ ∧C␈ε	q␈↓ ∧]␈εβ<␈↓ ¬
␈ε	p␈↓ ¬"␈εβ/␈↓ ¬2␈ε	q␈↓ ¬T␈εβimplies␈α
t␈α␈hat␈↓ π⊂␈ε	p␈↓ π!␈εβ/␈↓ π2␈ε	q␈↓ πL␈εβ<␈α
(␈↓ λ¬␈ε	p␈↓ λ≡␈εβ+␈↓ λH␈ε	p␈↓ λ←␈εβ)/(␈↓ 	ε␈ε	q␈↓ 	≥␈εβ+␈↓ 	G␈ε	q␈↓ 	\␈εβ)␈α<␈↓ 
 ␈ε	p␈↓ 
7␈εβ/␈↓ 
H␈ε	q␈↓ 
]␈εβ,␈α
i␈α↓t␈αis
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈α	clea␈α␈r␈α	tha␈α␈t␈α	the␈αλlabe␈α␈l␈α↓s␈αλon␈αλall␈α	l␈α↓e␈α␈f␈α↓t␈αλdesc␈α␈end␈α␈an␈α}ts␈α	of␈↓ π_␈ε	p␈↓ π)␈εβ/␈↓ π9␈ε	q␈↓ πQ␈εβare␈αλless␈α	th␈α␈an␈↓ 	␈ε	p␈↓ 	≥␈εβ/␈↓ 	.␈ε	q␈↓ 	=␈εβ,␈α	while␈α	th␈α␈e␈α	lab␈α␈els
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβo␈α␈n␈α
all␈α
its␈α
ri␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
d␈α␈escen␈α␈da␈α␈n␈α␈ts␈α
a␈α␈re␈α
grea␈α␈ter.␈αThe␈α␈refore␈α
ea␈α␈ch␈α
ra␈α␈tiona␈α␈l␈αn␈α}um␈α}ber␈α
o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
at␈α
mos␈α␈t
␈βε:␈↓ ↓H␈εβo␈α␈nce␈α
as␈αa␈αlab␈α␈el.
␈βεb␈↓ α␈εβIt␈αremain␈α␈s␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αtha␈α␈t␈αe␈α␈ach␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αd␈α␈oes␈αap␈α␈pea␈α␈r.␈αI␈α↓f␈↓ λ≠␈ε	p␈↓ λ,␈εβ/␈↓ λ=␈ε	q␈↓ λU␈εβ=␈ε↔␈α
?␈↓ 	⊃␈ε	a␈↓ 	-␈εβ,␈↓ 	<␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	h␈εβ,␈↓ 	w␈ε	a␈↓ 
∪␈εβ,␈α¬1␈ε↔?␈εβ,␈αwhere
␈βεm␈↓ 	 ␈εε1␈↓ 
ε␈εr
␈βπ
␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈↓ α∃␈ε	a␈↓ α=␈εβis␈α
a␈α
p␈α␈ositiv␈α␈e␈α
in␈α␈te␈α␈ger,␈α∞o␈α␈ne␈α
c␈α␈an␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
b␈α␈y␈α
ind␈α␈uctio␈α␈n␈α
th␈α␈at␈α
the␈αnod␈α␈e␈α
lab␈α␈eled␈↓ 
Y␈ε	p␈↓ 
j␈εβ/␈↓ 
z␈ε	q␈↓ ⊗␈εβis
␈βπ∀␈↓ α%␈εi
␈βπ1␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αgo␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αleft␈↓ βj␈ε	a␈↓ ∧⊃␈εβti␈α↓m␈α␈es,␈αthen␈α
righ␈α␈t␈↓ ε⊂␈ε	a␈↓ ε7␈εβtimes,␈αth␈α␈en␈αleft␈↓ λ ␈ε	a␈↓ λG␈εβtimes,␈αetc.
␈βπ<␈↓ βz␈εε1␈↓ ε∨␈εε2␈↓ λ0␈εε3
␈βπY␈↓ α␈εβ[P␈α↓e␈α␈i␈α↓rc␈α␈e␈α∂co␈α␈mm␈α␈u␈α␈nicate␈α␈d␈α∞this␈α∂c␈α␈onstr␈α␈uction␈α∞in␈α∞a␈α∞l␈α↓e␈α␈tter␈α∂d␈α␈ated␈α∞J␈α␈uly␈α∞17,␈α∂190␈α␈3,␈α⊂b␈α␈ut␈α∞he
␈βλ↓␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ev␈α␈e␈α␈r␈α
p␈α␈ub␈α␈l␈α↓ish␈α␈ed␈αit;␈α∞an␈α␈d␈αdu␈α␈ring␈αth␈α␈e␈α
n␈α␈ext␈αfew␈α
y␈α}ears␈αhe␈αoc␈α␈casion␈α␈ally␈αam␈α␈u␈α␈sed␈αhimself␈αby
␈βλ(␈↓ ↓H␈εβm␈α␈akin␈α␈g␈αra␈α␈ther␈αcryp␈α␈tic␈αrem␈α␈ark␈α␈s␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αit␈αwithou␈α␈t␈αrev␈α}ealing␈αth␈α␈e␈αun␈α␈de␈α␈rl␈α↓y␈α␈ing␈αmech␈α␈an␈α␈ism.
␈βλP␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈α
C.␈α∞S.␈α∞Peirce,␈ε⊂␈α∞T␈α↓h␈α␈e␈α∞N␈α␈ew␈α∞Elemen␈α}ts␈α∞of␈α∞M␈α␈ath␈α␈ema␈α␈ti␈α↓c␈α␈s␈ε∪␈α∞3␈εβ␈α∞(Th␈α␈e␈α∞Ha␈α␈gue␈α␈:␈α⊃Mo␈α␈uto␈α␈n,␈α∞197␈α␈6),
␈βλx␈↓ ↓H␈εβ7␈α␈81↑␈α␈784␈α␈,␈α8␈α␈26␈α␈↑82␈α␈9;␈αalso␈ε∪␈α1␈εβ,␈α20␈α␈7↑2␈α␈11;␈αan␈α␈d␈αh␈α␈is␈ε⊂␈αColl␈α↓e␈α␈cted␈α
P␈α↓a␈α␈pers␈ε∪␈α4␈εβ␈α(1␈α␈933␈α␈),␈α2␈α␈76↑␈α␈280␈α␈.]
␈β	+␈↓ ↓V␈ε∪41.␈↓ α␈εβ(We␈α
assu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈↓ ∧∪␈ε	x␈↓ ∧1␈εβ>␈α
0␈α␈.␈α↓)␈α≥Ap␈α␈ply␈α
Eu␈α␈cli␈α↓d␈α␈'s␈α
algorith␈α␈m␈α
to␈α
g␈α␈et␈α
a␈α
co␈α␈n␈α␈tin␈α␈u␈α␈ed␈α
fra␈α␈ction
␈β	S␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓i␈εβ=␈ε↔␈α⊃?␈↓ α,␈ε	a␈↓ αH␈εβ,␈↓ αW␈ε	a␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β.␈ε↔?␈εβ;␈α⊃here␈↓ ∧&␈ε	a␈↓ ∧Q␈εβmay␈α∞equ␈α␈al␈α⊂0␈α␈,␈α⊃bu␈α␈t␈↓ εf␈ε	a␈↓ πα␈εβ,␈↓ π≤␈ε	a␈↓ π8␈εβ,␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λλ␈εβm␈α␈us␈α␈t␈α⊂b␈α␈e␈ε↔␈α∂∃␈εβ␈α⊃1.␈α_Let␈↓ 
4␈ε	p␈↓ 
a␈εβ=␈α⊃1␈α␈,
␈β	]␈↓ α;␈εε1␈↓ αf␈εε2␈↓ ∧5␈εε1␈↓ εv␈εε2␈↓ π,␈εε3␈↓ 
D␈εε0
␈β	z␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓n␈εβ=␈α∂0␈α␈,␈↓ αF␈ε	p␈↓ αq␈εβ=␈α∞0,␈↓ βI␈ε	q␈↓ βo␈εβ=␈α∂1␈α␈,␈↓ ∧G␈ε	p␈↓ ¬↔␈εβ=␈↓ ¬F␈ε	a␈↓ ¬b␈ε	p␈↓ επ␈εβ+␈↓ ε2␈ε	p␈↓ εs␈εβ,␈↓ π␈ε	q␈↓ πW␈εβ=␈↓ λε␈ε	a␈↓ λ"␈ε	q␈↓ λC␈εβ+␈↓ λn␈ε	q␈↓ 	,␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞st␈α␈op␈α∞a␈α␈t␈α∞the
␈β
¬␈↓ ↓T␈εε0␈↓ αV␈εε1␈↓ βU␈εε1␈↓ ∧W␈εj␈↓ ∧c␈εε+1␈↓ ¬V␈εj␈↓ ¬r␈εj␈↓ εA␈εj␈↓ εM␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ π↔␈εj␈↓ π#␈εε+1␈↓ λ⊗␈εj␈↓ λ.␈εj␈↓ λz␈εj␈↓ 	ε␈ε~␈␈εε1
␈β
"␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈gest␈↓ α3␈ε	j␈↓ αL␈εβsuc␈α␈h␈αth␈α␈at␈↓ β←␈ε	p␈↓ β{␈εβ/␈↓ ∧␈ε	q␈↓ ∧.␈εβi␈α↓s␈α
repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ble.␈αIf␈↓ εD␈ε	p␈↓ ε`␈εβ/␈↓ εp␈ε	q␈↓ π∩␈ε↔≤␈↓ π<␈ε	x␈↓ πN␈εβ,␈α|␈α␈nd␈α
th␈α␈e␈αlarg␈α␈est␈↓ 	H␈ε	b␈↓ 	↑␈ε↔∃␈εβ␈α
0␈α
su␈α␈ch␈α
tha␈α␈t
␈β
,␈↓ βo␈εj␈↓ ∧_␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ ε|␈εj
␈β
I␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	b␈↓ ↓`␈ε	p␈↓ α∧␈εβ+␈↓ α.␈ε	p␈↓ αp␈εβ)/(␈↓ β↔␈ε	b␈↓ β$␈ε	q␈↓ βE␈εβ+␈↓ βo␈ε	q␈↓ ∧-␈εβ)␈α
=␈↓ ∧r␈ε	p␈↓ ¬β␈εβ/␈↓ ¬∀␈ε	q␈↓ ¬0␈εβis␈α
rep␈α␈resen␈α}table.␈α⊃By␈α
th␈α␈e␈α
th␈α␈eory␈αof␈α
the␈α
Pierce␈α
tre␈α␈e␈α
it
␈β
T␈↓ ↓p␈εj␈↓ α>␈εj␈↓ αJ␈ε~␈␈εε1␈↓ β0␈εj␈↓ β{␈εj␈↓ ∧π␈ε~␈␈εε1
␈β
q␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈αth␈α␈at␈↓ β␈ε	p␈↓ β≤␈εβ/␈↓ β-␈ε	q␈↓ βQ␈εβis␈αthe␈αn␈α␈eare␈α␈st␈α
r␈α␈epres␈α␈en␈α␈ta␈α␈ble␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
o␈α␈n␈αon␈α␈e␈αside␈αo␈α␈f␈↓ 	@␈ε	x␈↓ 	]␈εβan␈α␈d␈↓ 
∨␈ε	p␈↓ 
0␈εβ/␈↓ 
A␈ε	q␈↓ 
\␈εβis␈αthe
␈β
|␈↓ β⊂␈εj␈↓ β9␈εj
␈β→␈↓ ↓H␈εβn␈α␈eare␈α␈st␈α∞repre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈ble␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞on␈α∞th␈α␈e␈α∞oth␈α␈er␈α∞side;␈α⊂a␈α␈l␈α↓l␈α∞oth␈α␈er␈α∞rep␈α␈resen␈α}table␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α∞are
␈β@␈↓ ↓H␈εβfu␈α␈rthe␈α␈r␈α∂a␈α␈way␈α
beca␈α␈use␈α∞o␈α␈f␈α∞the␈α∞n␈α␈atu␈α␈re␈α∞of␈α∞sym␈α␈metric␈α∞ord␈α␈er.␈α∀The␈α␈refore␈α∞ro␈α␈un␈α␈d(␈↓ 
→␈ε	x␈↓ 
*␈εβ)␈α∂is␈↓ 
h␈ε	p␈↓ ∧␈εβ/␈↓ ∀␈ε	q
␈βK␈↓ 
x␈εj␈↓  ␈εj
␈βh␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈↓ ↓r␈ε	p␈↓ αβ␈εβ/␈↓ α∀␈ε	q␈↓ α#␈εβ,␈α∞wh␈α␈ichev␈α}er␈α
is␈α
cl␈α↓o␈α␈ser.␈α≥(I␈α↓t␈α
freq␈α␈ue␈α␈n␈α␈tly␈α
h␈α␈app␈α␈en␈α␈s␈α
that␈↓ λ∩␈ε	b␈↓ λ,␈εβ=␈α
0␈α␈;␈α∂in␈α
th␈α␈is␈α
case␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β∂␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓Y␈εβ/␈↓ ↓i␈ε	q␈↓ α↓␈εβ=␈↓ α,␈ε	p␈↓ αm␈εβ/␈↓ α}␈ε	q␈↓ β<␈εβ,␈αso␈↓ βy␈ε	p␈↓ ∧∃␈εβ/␈↓ ∧%␈ε	q␈↓ ∧I␈εβwill␈αauto␈α␈matica␈α␈ll␈α↓y␈α
be␈αclo␈α␈ser.)
␈β~␈↓ α<␈εj␈↓ αH␈ε~␈␈εε1␈↓ β
␈εj␈↓ β⊗␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧	␈εj␈↓ ∧1␈εj
␈βC␈↓ ↓V␈ε∪42.␈↓ α␈εβSe␈α␈e␈αM.␈αS.␈αWaterm␈α␈an,␈ε⊂␈αBIT␈ε∪␈α17␈εβ␈α(19␈α␈77␈α␈)␈α↓,␈α46␈α␈5↑4␈α␈78␈α␈.
␈β
@␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.5␈α␈.4
␈β∞∀␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	d␈↓ αU␈εβisn't␈αprime␈α␈,␈αits␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈αfactor␈α␈s␈αa␈α␈re␈αca␈α␈st␈αout␈αb␈α␈efore␈↓ λ≤␈ε	d␈↓ λC␈εβi␈α↓s␈αtried␈α␈.
␈β∞≡␈↓ α=␈εk␈↓ λ+␈εk
␈β∞G␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβNo;␈αth␈α␈e␈αalgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αw␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α
fail␈αi␈α↓f␈↓ ¬V␈ε	p␈↓ ε≡␈εβ=␈↓ εI␈ε	p␈↓ εb␈εβ,␈αg␈α␈i␈α↓v␈α␈ing␈α\␈α␈1"␈αa␈α␈s␈αa␈αsp␈α␈uriou␈α␈s␈αprime␈αfa␈α␈ctor.
␈β∞Q␈↓ ¬f␈εt␈↓ ¬o␈ε~␈␈εε1␈↓ εY␈εt
␈β∞z␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αG␈ε	P␈↓ αh␈εβb␈α␈e␈α	th␈α␈e␈α	p␈α␈rodu␈α␈ct␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	|␈α␈rst␈α	16␈α␈8␈α	p␈α␈rimes.␈α∀(␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αAlth␈α␈ou␈α␈gh␈↓ 	
␈ε	P␈↓ 	.␈εβis␈α	a␈α	larg␈α␈e␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er,
␈β∂"␈↓ ↓H␈εβit␈α
is␈α
c␈α␈onsid␈α␈erab␈α␈ly␈α
fa␈α␈ster␈α
on␈αma␈α␈n␈α␈y␈αcom␈α␈pu␈α␈ters␈α
to␈αcalcu␈α␈late␈α
th␈α␈is␈α
gc␈α␈d␈α
th␈α␈an␈αto␈α
d␈α␈o␈αthe␈α168
␈β∂I␈↓ ↓H␈εβd␈α␈ivision␈α␈s,␈αif␈αw␈α␈e␈αjust␈αwan␈α}t␈αto␈αtest␈αwh␈α␈eth␈α␈er␈αor␈αn␈α␈ot␈↓ π␈ε	n␈↓ π+␈εβi␈α↓s␈αp␈α␈rime.)
␈β∂⎇␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβIn␈αth␈α␈e␈αno␈α␈tation␈α
of␈αex␈α␈e␈α␈rcise␈α3.1↑␈α␈11,
␈β⊂=␈↓ β+␈ε↓X␈↓ εm␈ε↓X␈↓ πn␈ε↓Y
␈β⊂F␈↓ λ/␈ε↓∩␈↓ 	*␈ε↓∪
␈β⊂L␈↓ εL␈εβ1␈↓ 	⊂␈ε	k
␈β⊂\␈↓ βu␈ε~d␈↓ β␈␈εεlg␈↓ ∧↔␈εεma␈α␈x␈↓ ∧F␈εε(␈↓ ∧O␈ε⊗␈↓ ∧]␈εε+1,␈↓ ¬
␈ε∃␈↓ ¬~␈εε)␈ε~e
␈β⊂b␈↓ βd␈εβ2␈↓ ¬,␈ε	P␈↓ ¬D␈εβ(␈↓ ¬O␈ε	⊗␈↓ ¬a␈εβ,␈↓ ¬p␈ε	∃␈↓ εβ␈εβ)␈α
=␈↓ π&␈ε	f␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	l␈↓ πJ␈εβ)␈↓ λE␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	@␈εβ,
␈β⊂p␈↓ εF␈∧⊂pεFα≡␈↓ 		␈∧⊂p		α≡
␈β⊂z␈↓ εF␈ε	m␈↓ 		␈ε	m
␈β⊃∪␈↓ β0␈ε⊗␈↓ β?␈εε,␈↓ βJ␈ε∃␈↓ εp␈εl␈↓ εw␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ π[␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λ↓␈εk␈↓ λ∞␈εε<␈↓ λ'␈εl
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα585
␈βα∧␈↓ β∩␈ε↓P
␈βα≡␈↓ ∧%␈ε~d␈↓ ∧/␈εεlg␈↓ ∧G␈εεma␈α␈x␈↓ ∧v␈εε(␈↓ ∧␈␈εl␈↓ ¬ε␈ε~␈␈↓ ¬ ␈ε∃␈↓ ¬0␈εε,␈↓ ¬7␈ε∃␈↓ ¬F␈εε)␈ε~␈α↓e␈↓ εi␈εk␈↓ εv␈εε+␈↓ π∂␈ε∩
␈βα"␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α*␈ε	f␈↓ α9␈εβ(␈↓ αD␈ε	l␈↓ αN␈εβ)␈α=␈↓ ∧∃␈εβ2␈↓ ¬Y␈εβ.␈α⊂If␈↓ ε∃␈ε	l␈↓ ε+␈εβ=␈↓ εX␈εβ2␈↓ π≠␈εβ,␈α
where␈α0␈α<␈↓ λ↑␈ε	∩␈↓ λx␈ε↔∀␈εβ␈α1,␈α∞w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ 
P␈ε	f␈↓ 
`␈εβ(␈↓ 
k␈ε	l␈↓ 
t␈εβ)␈α=
␈βα5␈↓ β8␈εε1␈ε~∀␈↓ β↑␈ε∃␈↓ βn␈ε~∀␈↓ ∧π␈εl
␈βαL␈↓ ↓Q␈εε2␈↓ α%␈ε~␈␈↓ α>␈ε∩␈↓ β8␈ε~␈␈εε2␈↓ β↑␈ε∩␈↓ εk␈ε~␈␈↓ π∧␈ε∩␈↓ π}␈ε~␈␈εε␈α↓2␈↓ λ$␈ε∩
␈βαM␈↓ ≤␈εε9
␈βαP␈↓ ↓H␈ε	l␈↓ ↓]␈εβ(␈α↓3␈ε↔␈αλ↓␈↓ α∀␈εβ2␈↓ αR␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈ε↔␈α	↓␈↓ β(␈εβ2␈↓ βj␈εβ),␈α∞wh␈α␈ere␈α
th␈α␈e␈α
fun␈α␈ction␈α
3␈ε↔␈αλ↓␈↓ εZ␈εβ2␈↓ π_␈ε↔␈␈εβ␈α	2␈ε↔␈α	↓␈↓ πn␈εβ2␈↓ λ=␈εβrea␈α␈che␈α␈s␈α∞a␈αmax␈α␈im␈α␈um␈α
o␈α␈f
␈βα↑␈↓ ≤␈∧α↑≤α
␈βα`␈↓ ≤␈εε8
␈βαx␈↓ ↓H␈εβa␈α␈t␈↓ ↓q␈ε	∩␈↓ α␈εβ=␈↓ α7␈εβlg␈↓ αQ␈εβ(4/␈α␈3)␈αan␈α␈d␈αha␈α␈s␈αa␈αminim␈α␈u␈α␈m␈αof␈α1␈αat␈↓ εE␈ε	∩␈↓ ε↑␈εβ=␈α0␈αan␈α␈d␈α1.␈α∞There␈α␈fore␈αthe␈αav␈α␈er␈α␈age␈αv␈α␈alue
␈ββ≠␈↓ ↓␈␈ε~d␈↓ α	␈εεlg␈↓ α!␈εεma␈α␈x␈↓ αP␈εε(␈↓ αY␈ε⊗␈↓ αg␈εε+␈α↓1␈α␈,␈↓ β∀␈ε∃␈↓ β$␈εε)␈ε~␈α↓e
␈ββ∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓o␈εβ2␈↓ βB␈εβlies␈αb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α1␈α␈.0␈αan␈α␈d␈α1.12␈α␈5␈αtimes␈αth␈α␈e␈αav␈α}erage␈α
valu␈α␈e␈αof␈↓ 	S␈ε	⊗␈↓ 	m␈εβ+␈↓ 
⊗␈ε	∃␈↓ 
)␈εβ,␈αand␈α
the
␈ββG␈↓ ↓H␈εβre␈α␈sult␈αfollo␈α␈ws.
␈ββn␈↓ α␈εα(
␈ββq␈↓ α_␈εβAlgorith␈α␈m␈αB␈αis␈αa␈αre␈α␈|n␈α␈emen␈α}t␈αof␈αPollard␈α␈'␈α↓s␈αorigina␈α␈l␈α
a␈α␈lgorith␈α␈m,␈αw␈α↓h␈α␈ich␈αw␈α↓a␈α␈s␈αba␈α␈sed␈αon
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβe␈α␈x␈α␈ercise␈α3␈α␈.␈α↓1␈α␈-6(b)␈αinstea␈α␈d␈αof␈αth␈α␈e␈α(␈α↓y␈α}et␈αun␈α␈disco␈α}v␈α␈ere␈α␈d)␈αresu␈α␈l␈α↓t␈αin␈αex␈α}ercise␈α3.1↑␈α␈7.␈α∂He␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α␈ed
␈β∧<␈↓ λE␈εε2
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈αth␈α␈e␈αlea␈α␈st␈↓ β→␈ε	n␈↓ β9␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧O␈ε	X␈↓ ¬
␈εβ=␈↓ ¬9␈ε	X␈↓ ¬l␈εβha␈α␈s␈αav␈α}erage␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε↔␈α_␈εβ␈α(␈↓ λ3␈ε	→␈↓ λR␈εβ/␈α␈12)␈↓ 	∂␈ε	Q␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	m␈↓ 	O␈εβ);␈α
th␈α␈i␈α↓s␈αcon␈α␈stan␈α}t
␈β∧K␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ∧r␈εn␈↓ ¬P␈εn
␈β∧d␈↓ ↓Z␈εε2
␈β∧h␈↓ ↓H␈ε	→␈↓ ↓g␈εβ/␈α␈12␈αλi␈α↓s␈αλex␈α␈plaine␈α␈d␈α	b␈α␈y␈αλEq.␈α	4.5.3␈α␈-␈α↓2␈α␈1.␈α
Hence␈αλth␈α␈e␈α	av␈α}erag␈α␈e␈α	v␈α␈alue␈αλof␈αλ3␈↓ λW␈ε	n␈↓ λt␈εβin␈αλhis␈αλorigina␈α␈l␈α	meth␈α␈od
␈β¬␈↓ α←␈εε5␈α␈/2
␈β¬
␈↓ β&␈∧¬
β&α≡␈↓ ∧e␈∧¬
∧eα≡
␈β¬∂␈↓ ↓H␈εβis␈ε↔␈α_␈εβ␈α(␈↓ α ␈ε	→␈↓ α2␈εβ/2␈↓ αS␈εβ)␈↓ β∧␈ε↔p␈↓ β&␈ε	m␈↓ βM␈εβ=␈α
3.09␈α␈2␈↓ ∧D␈ε↔p␈↓ ∧e␈ε	m␈↓ ¬β␈εβ.␈α~Rich␈α␈ard␈αBren␈α}t␈αob␈α␈serv␈α}es␈αth␈α␈at,␈αa␈α␈s␈↓ 	↓␈ε	m␈↓ 	(␈ε↔!␈α
1␈εβ,␈αthe␈αd␈α␈ensity
␈β¬→␈↓ ↓H␈ε↓Q
␈β¬3␈↓ ε←␈εε3␈↓ π→␈εε2
␈β¬4␈↓ α=␈εα(␈↓ βC␈εα)␈↓ ∧7␈εα(␈↓ π1␈εα)
␈β¬7␈↓ αI␈εβ1␈ε↔␈α¬␈␈↓ β¬␈ε	k␈↓ β⊗␈εβ/␈↓ β&␈ε	m␈↓ βY␈εβ=␈↓ ∧β␈εβexp␈↓ ∧C␈ε↔␈␈↓ ∧d␈ε	l␈↓ ∧n␈εβ(␈↓ ∧y␈ε	l␈↓ ¬π␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/␈α␈2␈↓ ¬j␈ε	m␈↓ ε␈εβ+␈↓ ε2␈ε	O␈↓ εJ␈εβ(␈↓ εU␈ε	l␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε	m␈↓ π&␈εβ)␈↓ πF␈εβap␈α␈pro␈α␈ach␈α␈es␈α	a␈α	no␈α␈rmal␈α	d␈α␈i␈α↓strib␈α␈ution␈α␈,
␈β¬J␈↓ ↓j␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ α∂␈εk␈↓ α≥␈εε<␈↓ α6␈εl
␈β¬`␈↓ λ[␈ε~␈␈↓ λu␈ε∩␈↓ 	k␈ε~␈␈εε2␈↓ 
⊃␈ε∩
␈β¬d␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αw␈α␈e␈αmay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ∧@␈ε	∩␈↓ ∧Z␈εβis␈αu␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈αd␈α␈istribu␈α␈ted.␈αThen␈α
3␈ε↔␈αλ↓␈↓ λK␈εβ2␈↓ 	λ␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈ε↔␈απ↓␈↓ 	Z␈εβ2␈↓ 
(␈εβta␈α␈k␈α␈es␈αthe
␈βε␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α3/(4␈↓ β]␈εβln␈↓ β}␈εβ2),␈αa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αav␈α␈e␈α␈rage␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αitera␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αne␈α␈ede␈α␈d␈αby␈αAlgo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈αB
␈βε∃␈↓ ∧L␈ε↓p
␈βε0␈↓ ∧p␈∧ε0∧pαR
␈βε5␈↓ ∧0␈εε1
␈βε6␈↓ αx␈εα(␈↓ ∧@␈εα)
␈βε7␈↓ εb␈∧ε7εbα≡
␈βε8␈↓ εA␈ε↔p
␈βε9␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omes␈αλto␈ε↔␈αλ_␈↓ β∧␈εβ3␈α␈/(4␈↓ βF␈εβl␈α↓n␈↓ βh␈εβ2␈α␈)␈α∧+␈↓ ∧p␈ε	→␈↓ ¬β␈ε	m␈↓ ¬ ␈εβ/2␈↓ ¬K␈εβ=␈α	1.98␈α␈3␈↓ εb␈ε	m␈↓ π␈εβ.␈α
A␈α	similar␈αλan␈α␈alysis␈αλof␈α	t␈α␈he␈αλmore␈αλg␈α␈enera␈α␈l
␈βεG␈↓ ∧0␈∧εG∧0α
␈βεI␈↓ ∧0␈εε2
␈βε↑␈↓ πu␈∧ε↑πuα≡
␈βε←␈↓ πS␈ε↔p
␈βε`␈↓ ↓H␈εβm␈α␈etho␈α␈d␈αin␈αthe␈αa␈α␈nsw␈α␈er␈αto␈αex␈α}ercise␈α3.1↑␈α␈7␈αgiv␈α␈e␈α␈s␈ε↔␈α_␈εβ␈α	1.926␈↓ πu␈ε	m␈↓ λ∩␈εβ,␈αwh␈α␈en␈↓ λ}␈ε	p␈↓ 	_␈εβ=␈α
2.47␈α␈71␈αis␈αcho␈α␈sen
␈βπ∧␈↓ ∧j␈εε2␈↓ ε?␈εε2
␈βπ¬␈↓ πW␈εα)
␈βπλ␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈op␈α␈ti␈α↓m␈α␈all␈α↓y␈α␈"␈αa␈α␈s␈αthe␈αro␈α␈ot␈αof␈α(␈↓ ∧Y␈ε	p␈↓ ∧}␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ ¬H␈εβln␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ εβ␈εβ=␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εS␈ε↔␈␈↓ ε|␈ε	p␈↓ π∀␈εβ+␈αλ1␈α␈.
␈βπE␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈ε	x␈↓ α#␈εβmo␈α␈d␈↓ αg␈εβ3␈α
=␈α
0;␈↓ βR␈ε	x␈↓ βi␈εβmod␈↓ ∧.␈εβ5␈α	=␈α
0,␈α1␈α␈,␈α4;␈↓ ¬c␈ε	x␈↓ ¬z␈εβmod␈↓ ε?␈εβ7␈α	=␈α
0,␈α1␈α␈,␈α6;␈↓ πu␈ε	x␈↓ λ␈εβmod␈↓ λP␈εβ8␈α	=␈α
1,␈α3␈α␈,␈α5,␈α7␈α␈;␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
F␈εβ>␈α
103␈α␈.
␈βπh␈↓ ¬?␈εε2␈↓ λ
␈εε2
␈βπl␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α|rst␈αtry␈α
i␈α↓s␈↓ β*␈ε	x␈↓ βD␈εβ=␈α
10␈α␈5;␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓1␈α␈05␈↓ ¬3␈εβ)␈↓ ¬S␈ε↔␈␈εβ␈απ105␈α␈41␈α	=␈α
4␈α␈84␈α	=␈α
2␈↓ πy␈εβ2␈↓ λ↔␈εβ.␈αThis␈αw␈α␈ould␈α
also␈αha␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈een
␈βλ∀␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈un␈α␈d␈αb␈α␈y␈αAlgorith␈α␈m␈αC␈αin␈αa␈αrela␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αsh␈α␈ort␈αtime.␈αTh␈α␈u␈α␈s␈α105␈α␈41␈α	=␈α	83␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ1␈α␈27.
␈βλQ␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβLet␈α
us␈α
co␈α␈un␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α
(␈↓ ε8␈ε	x␈↓ εI␈εβ,␈↓ εX␈ε	y␈↓ εk␈εβ)␈α
of␈α
th␈α␈e␈αc␈α␈on␈α␈grue␈α␈nce␈↓ 	
␈ε	N␈↓ 	2␈ε↔⊃␈εβ␈α	(␈↓ 	h␈ε	x␈↓ 	␈␈ε↔␈␈↓ 
'␈ε	y␈↓ 
9␈εβ)(␈↓ 
P␈ε	x␈↓ 
g␈εβ+␈↓ ∂␈ε	y␈↓ !␈εβ)
␈βλx␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	p␈↓ αZ␈εβ),␈α
where␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ ∧&␈ε	x␈↓ ∧8␈εβ,␈↓ ∧F␈ε	y␈↓ ∧d␈εβ<␈↓ ¬⊃␈ε	p␈↓ ¬"␈εβ.␈α⊂S␈α␈i␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε∪␈ε	N␈↓ ε>␈ε↔@⊃␈↓ εk␈εβ0␈αan␈α␈d␈↓ πJ␈ε	p␈↓ πh␈εβis␈αprime,␈↓ λt␈ε	x␈↓ 	
␈εβ+␈↓ 	7␈ε	y␈↓ 	U␈ε↔@⊃␈↓ 
α␈εβ0.␈α∂F␈α↓o␈α␈r␈α
e␈α␈ach
␈β	 ␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓b␈ε↔@⊃␈↓ α
␈εβ0␈α
ther␈α␈e␈αis␈αa␈αu␈α␈niq␈α␈ue␈↓ ∧%␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ¬E␈ε	p␈↓ ¬V␈εβ)␈αs␈α␈uch␈α
tha␈α␈t␈↓ ε␈␈ε	N␈↓ π'␈ε↔⊃␈↓ πR␈ε	u␈↓ πf␈ε	v␈↓ πw␈εβ.␈αThe␈α
con␈α␈gru␈α␈ence␈α␈s␈↓ 
λ␈ε	x␈↓ 
!␈ε↔␈␈↓ 
I␈ε	y␈↓ 
e␈ε↔⊃␈↓ ∂␈ε	u␈↓ #␈εβ,
␈β	H␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓↑␈εβ+␈↓ αβ␈ε	y␈↓ α∨␈ε↔⊃␈↓ αJ␈ε	v␈↓ αd␈εβn␈α␈o␈α␈w␈α	un␈α␈iqu␈α␈el␈α↓y␈αλd␈α␈etermin␈α␈e␈↓ ¬E␈ε	x␈↓ ¬\␈εβmod␈↓ ε!␈ε	p␈↓ ε:␈εβand␈↓ εy␈ε	y␈↓ π⊃␈εβmo␈α␈d␈↓ πU␈ε	p␈↓ πf␈εβ,␈α
sinc␈α␈e␈↓ λH␈ε	p␈↓ λb␈εβis␈α	od␈α␈d.␈α
T␈α↓h␈α}us␈αλthe␈α	sta␈α␈ted
␈β	o␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ong␈α␈rue␈α␈nce␈αh␈α␈as␈αexa␈α␈ctly␈↓ ∧'␈ε	p␈↓ ∧@␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α(␈↓ ε≡␈ε	x␈↓ ε/␈εβ,␈↓ ε>␈ε	y␈↓ εQ␈εβ).␈α∂If␈α(␈↓ π!␈ε	x␈↓ π3␈εβ,␈↓ πB␈ε	y␈↓ πT␈εβ)␈α
is␈αa␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α
so␈αis␈α(␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
≥␈εβ,␈↓ 
+␈ε	p␈↓ 
E␈ε↔␈␈↓ 
n␈ε	y␈↓ ↓␈εβ)␈αif
␈β
∪␈↓ βh␈εε2␈↓ ∧:␈εε2
␈β
↔␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓c␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈α
sin␈α␈ce␈α
(␈↓ β
␈ε	p␈↓ β#␈ε↔␈␈↓ βJ␈ε	y␈↓ β]␈εβ)␈↓ β⎇␈ε↔⊃␈↓ ∧(␈ε	y␈↓ ∧G␈εβ;␈α
and␈α	if␈α
(␈↓ ¬C␈ε	x␈↓ ¬T␈εβ,␈↓ ¬c␈ε	y␈↓ ¬␈␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
(␈↓ ε←␈ε	x␈↓ εp␈εβ,␈↓ ε␈␈ε	y␈↓ π≠␈εβ)␈α
ar␈α␈e␈α
solu␈α␈tions␈α	wi␈α↓th␈↓ 	:␈ε	y␈↓ 	←␈ε↔≤␈↓ 

␈ε	y␈↓ 
&␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈β
!␈↓ ¬s␈εε1␈↓ π∂␈εε2␈↓ 	I␈εε1␈↓ 
~␈εε2
␈β
:␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ α-␈εε2
␈β
>␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ ↓p␈ε↔⊃␈↓ α≠␈ε	y␈↓ α:␈εβ;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈↓ β(␈ε	y␈↓ βM␈εβ=␈↓ βx␈ε	p␈↓ ∧∞␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε	y␈↓ ∧Q␈εβ.␈α
Th␈α␈u␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α	n␈α␈um␈α}ber␈α	of␈α	di{eren␈α}t␈↓ λ
␈ε	x␈↓ λ'␈εβvalu␈α␈es␈α
a␈α␈mon␈α␈g␈α	the␈α	so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈β
I␈↓ β7␈εε1␈↓ ∧D␈εε2
␈β
N␈↓ ↓Z␈εε1␈↓ α-␈εε2
␈β
b␈↓ ∧U␈εε2␈↓ 	*␈εε2
␈β
f␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓d␈εβ,␈↓ ↓s␈ε	y␈↓ α¬␈εβ)␈αis␈α(␈↓ αH␈ε	p␈↓ α`␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)/␈α␈2␈αif␈↓ βq␈ε	N␈↓ ∧→␈ε↔⊃␈↓ ∧C␈ε	x␈↓ ∧l␈εβhas␈αn␈α␈o␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈α␈,␈αo␈α␈r␈α(␈↓ π≡␈ε	p␈↓ π6␈εβ+␈αλ1␈α␈)/2␈αif␈↓ λF␈ε	N␈↓ λn␈ε↔⊃␈↓ 	→␈ε	x␈↓ 	B␈εβh␈α␈as␈αsolut␈α␈i␈α↓o␈α␈ns.
␈β#␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αi␈α↓s␈αto␈αk␈α}eep␈αt␈α␈wo␈αind␈α␈i␈α↓c␈α␈es␈αfor␈αeach␈αmo␈α␈du␈α␈l␈α↓u␈α␈s,␈αone␈αfor␈αth␈α␈e␈αcu␈α␈rren␈α}t␈αw␈α␈ord
␈βK␈↓ ↓H␈εβp␈α␈osition␈α
a␈α␈nd␈α
on␈α␈e␈α
f␈α↓o␈α␈r␈αth␈α␈e␈α
curre␈α␈n␈α␈t␈α
bit␈αp␈α␈osition␈α␈;␈αload␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
t␈α␈w␈α␈o␈α
wo␈α␈rds␈α
of␈α
the␈α
tab␈α␈le␈αa␈α␈nd␈α
d␈α␈oing
␈βr␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈αind␈α␈ex␈α␈e␈α␈d␈αshift␈αcom␈α␈man␈α␈d␈αwil␈α↓l␈αbrin␈α␈g␈αthe␈αta␈α␈ble␈αen␈α␈t␈α␈ri␈α↓e␈α␈s␈α
in␈α}to␈αpro␈α␈per␈αalign␈α␈men␈α}t.␈α≤(Ma␈α␈n␈α␈y
␈β~␈↓ ↓H␈εβc␈α␈omp␈α␈uters␈αh␈α␈av␈α}e␈αspe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l␈αfa␈α␈cil␈α↓ities␈αfor␈αsu␈α␈ch␈αb␈α␈it␈αman␈α␈ipu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.)
␈βW␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβ(We␈αλmay␈απas␈α␈sume␈απtha␈α␈t␈↓ ∧J␈ε	N␈↓ ∧r␈εβ=␈α
2␈↓ ¬.␈ε	M␈↓ ¬X␈εβis␈αλev␈α}en.)␈α⊃Th␈α␈e␈αλfollo␈α␈wing␈απalgorith␈α␈m␈αλu␈α␈ses␈αλan␈απau␈α␈xiliary
␈β}␈↓ ↓H␈εβta␈α␈ble␈↓ α≠␈ε	X␈↓ α6␈εβ[␈α↓1␈α␈]␈α↓,␈↓ αn␈ε	X␈↓ β	␈εβ[␈α↓2␈α␈]␈α↓,␈↓ βA␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ βm␈εβ,␈↓ ∧α␈ε	X␈↓ ∧≥␈εβ[␈↓ ∧&␈ε	M␈↓ ∧I␈εβ],␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬G␈ε	X␈↓ ¬b␈εβ[␈↓ ¬l␈ε	k␈↓ ¬|␈εβ]␈αrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈s␈αt␈α␈he␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈ality␈αof␈α2␈↓ 	0␈ε	k␈↓ 	G␈εβ+␈αλ1.
␈β
;␈↓ α→␈ε∪S␈α␈1.␈↓ αP␈εβSet␈↓ β
␈ε	X␈↓ β%␈εβ[␈↓ β/␈ε	k␈↓ β?␈εβ]␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	1␈αfor␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬⊂␈ε	k␈↓ ¬*␈ε↔∀␈↓ ¬U␈ε	M␈↓ ¬w␈εβ.␈αAlso␈αset␈↓ π
␈ε	j␈↓ π"␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ πr␈ε	p␈↓ λ␈ε↔ ␈εβ␈α
1␈α␈,␈↓ λ\␈ε	p␈↓ λv␈ε↔ ␈εβ␈α
3␈α␈,␈↓ 	F␈ε	q␈↓ 	↑␈ε↔ ␈εβ␈α	4.␈α~(Du␈α␈ring
␈β
←␈↓ π∪␈εε2
␈β
c␈↓ αP␈εβthis␈αalgo␈α␈rithm␈↓ ∧)␈ε	p␈↓ ∧C␈εβ=␈α	2␈↓ ∧}␈ε	j␈↓ ¬∀␈εβ+␈απ1,␈↓ ¬a␈ε	q␈↓ ¬y␈εβ=␈α
2␈↓ ε5␈ε	j␈↓ εK␈εβ+␈απ2␈↓ π∧␈ε	j␈↓ π∨␈εβ;␈αt␈α␈he␈αin␈α␈t␈α␈eger␈αv␈α␈ariab␈α␈les␈↓ 	g␈ε	j␈↓ 	v␈εβ,␈↓ 

␈ε	k␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
/␈ε	p␈↓ 
@␈εβ,␈↓ 
T␈ε	q␈↓ 
n␈εβm␈α␈ay
␈β∞
␈↓ αP␈εβread␈α␈i␈α↓ly␈α
be␈αma␈α␈nip␈α␈ulated␈α
in␈αind␈α␈ex␈αre␈α␈gisters.)
␈β∞G␈↓ α→␈ε∪S␈α␈2.␈↓ αP␈εβI␈α↓f␈↓ αr␈ε	X␈↓ β
␈εβ[␈↓ β⊗␈ε	j␈↓ β%␈εβ]␈α
=␈α	0,␈αgo␈αto␈αS␈α␈4.␈αOth␈α␈erwise␈αou␈α␈tpu␈α␈t␈↓ π≡␈ε	p␈↓ π/␈εβ,␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αis␈αprime,␈αan␈α␈d␈αse␈α␈t␈↓ 
!␈ε	k␈↓ 
;␈ε↔ ␈↓ 
f␈ε	q␈↓ 
t␈εβ.
␈β∂∧␈↓ α→␈ε∪S␈α␈3.␈↓ αP␈εβI␈α↓f␈↓ αr␈ε	k␈↓ β␈ε↔∀␈↓ β6␈ε	M␈↓ βX␈εβ,␈αth␈α␈en␈αse␈α␈t␈↓ ∧l␈ε	X␈↓ ¬λ␈εβ[␈↓ ¬⊃␈ε	k␈↓ ¬"␈εβ]␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ ε∧␈ε	k␈↓ ε≥␈ε↔ ␈↓ εH␈ε	k␈↓ ε`␈εβ+␈↓ πλ␈ε	p␈↓ π→␈εβ,␈αand␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈i␈α↓s␈αste␈α␈p.
␈β∂A␈↓ α→␈ε∪S␈α␈4.␈↓ αP␈εβSet␈↓ β
␈ε	j␈↓ β"␈ε↔ ␈↓ βM␈ε	j␈↓ βc␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ ∧1␈ε	p␈↓ ∧K␈ε↔ ␈↓ ∧u␈ε	p␈↓ ¬∞␈εβ+␈απ2,␈↓ ¬[␈ε	q␈↓ ¬s␈ε↔ ␈↓ ε≡␈ε	q␈↓ ε4␈εβ+␈αλ2␈↓ εm␈ε	p␈↓ πε␈ε↔␈␈εβ␈απ2.␈αI␈α↓f␈↓ πu␈ε	j␈↓ λ
␈ε↔∀␈↓ λ8␈ε	M␈↓ λZ␈εβ,␈αreturn␈α
to␈αS␈α␈2.
␈β∂C␈↓ 
N␈∧∂C
N≠∂
␈β∂}␈↓ ↓H␈εβA␈α	major␈α	pa␈α␈rt␈α
o␈α␈f␈α
this␈α
c␈α␈alcula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α
c␈α␈ou␈α␈l␈α↓d␈α	b␈α␈e␈α
ma␈α␈de␈α	no␈α␈ti␈α↓c␈α␈eab␈α␈l␈α↓y␈α	fa␈α␈ster␈α
if␈↓ 	
␈ε	q␈↓ 	%␈εβ(i␈α↓n␈α␈stea␈α␈d␈α
o␈α␈f␈↓ 
G␈ε	j␈↓ 
V␈εβ)␈α
w␈α␈ere
␈β⊂&␈↓ ↓H␈εβte␈α␈sted␈α
aga␈α␈i␈α↓n␈α␈st␈↓ β≤␈ε	M␈↓ βI␈εβi␈α↓n␈α
step␈α
S4␈α␈,␈αa␈α␈nd␈α
if␈αa␈αn␈α␈ew␈αloop␈α
w␈α␈ere␈αa␈α␈pp␈α␈end␈α␈ed␈α
tha␈α␈t␈αou␈α␈tpu␈α␈ts␈α2␈↓ 
*␈ε	j␈↓ 
@␈εβ+␈απ1␈αfo␈α␈r
␈β⊂M␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αrem␈α␈aining␈↓ β⊃␈ε	X␈↓ β-␈εβ[␈↓ β6␈ε	j␈↓ βE␈εβ]␈αtha␈α␈t␈αequ␈α␈al␈α1,␈αsup␈α␈pressin␈α␈g␈αth␈α␈e␈αman␈α␈i␈α↓p␈α␈ula␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈↓ λ{␈ε	p␈↓ 	↔␈εβa␈α␈nd␈↓ 	X␈ε	q␈↓ 	f␈εβ.
␈β⊂w␈↓ α␈εβFurth␈α␈er␈απdiscu␈α␈ssi␈α↓o␈α␈n␈απof␈αλsiev␈α}e␈αλm␈α␈etho␈α␈ds␈απf␈α↓o␈α␈r␈αλg␈α␈ene␈α␈rating␈απpr␈α␈i␈α↓m␈α␈es␈αλap␈α␈pe␈α␈ars␈απi␈α↓n␈απex␈α}ercise␈απ5.2.3↑
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈5␈αan␈α␈d␈αin␈αS␈α␈ection␈α
7.1.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα586␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα&␈↓ α<␈εε2
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβIf␈↓ α+␈ε	p␈↓ αR␈εβis␈α
a␈αλdiviso␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ ∧≤␈ε	n␈↓ ∧9␈εβfor␈α	so␈α␈me␈α	pr␈α␈i␈α↓m␈α␈e␈↓ ε_␈ε	p␈↓ ε)␈εβ,␈α
the␈α␈n␈↓ πε␈ε	p␈↓ π ␈εβi␈α↓s␈α	a␈αλdivisor␈α	o␈α␈f␈↓ λj␈ε	∃␈↓ λ⎇␈εβ(␈↓ 	λ␈ε	n␈↓ 	≤␈εβ),␈α
bu␈α␈t␈α	no␈α␈t␈α
o␈α␈f␈↓ 
T␈ε	n␈↓ 
l␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α␈.
␈βαR␈↓ ↓H␈εβIf␈↓ ↓j␈ε	n␈↓ α	␈εβ=␈↓ α6␈ε	p␈↓ αR␈ε	p␈↓ αo␈εβ,␈αwhere␈↓ βf␈ε	p␈↓ ∧
␈εβ<␈↓ ∧:␈ε	p␈↓ ∧c␈εβa␈α␈re␈αprime␈α␈s,␈α
the␈α␈n␈↓ ε↑␈ε	p␈↓ πβ␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αis␈α
a␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ 	∨␈ε	∃␈↓ 	2␈εβ(␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	R␈εβ)␈αan␈α␈d␈αth␈α␈erefore
␈βα\␈↓ αF␈εε1␈↓ αb␈εε2␈↓ βv␈εε1␈↓ ∧J␈εε2␈↓ εn␈εε2
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓d␈ε	p␈↓ απ␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
0␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ ∧∂␈ε	p␈↓ ∧2␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈).␈αS␈α␈ince␈↓ ¬a␈ε	p␈↓ επ␈ε↔⊃␈εβ␈α	1,␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
mea␈α␈ns␈↓ π|␈ε	p␈↓ λ∨␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α
i␈α↓s␈α
a␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈↓ 
G␈ε	p␈↓ 
j␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,
␈ββ∧␈↓ ↓W␈εε1␈↓ ↓t␈εε2␈↓ ∧∨␈εε2␈↓ ¬q␈εε2␈↓ λ␈εε1␈↓ 
W␈εε2
␈ββ≡␈↓ ε~␈εα(
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈tra␈α␈dictin␈α␈g␈α
the␈αassu␈α␈mption␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬*␈εβ<␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬t␈εβ.␈↓ ε&␈εβValue␈α␈s␈α
of␈↓ π<␈ε	n␈↓ π]␈εβfor␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈↓ λu␈ε	∃␈↓ 	λ␈εβ(␈↓ 	∪␈ε	n␈↓ 	'␈εβ)␈α∞p␈α␈rop␈α␈erly␈α
d␈α␈ivide␈α␈s
␈ββ,␈↓ ¬⊃␈εε1␈↓ ¬g␈εε2
␈ββI␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓b␈ε↔␈␈εβ␈αε1␈α	are␈α
ca␈α␈l␈α↓led␈α	\Ca␈α␈rmicha␈α␈el␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs.␈α↓"␈α
For␈α
ex␈α␈am␈α␈ple,␈αh␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
som␈α␈e␈α
sma␈α␈l␈α↓l␈α
Ca␈α␈rmicha␈α␈el
␈ββp␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α	wi␈α↓th␈α	u␈α␈p␈α	to␈α	six␈α	prime␈α	facto␈α␈rs:␈α3␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬11␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬17,␈α
5␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬17,␈α
7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬11␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬13␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬41,␈α
5␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α¬7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε1␈α␈7␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε1␈α␈9␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈αε73␈α␈,
␈β∧∃␈↓ ∧␈εα)
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβ5␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ7␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ17␈ε↔␈απ↓␈εβ␈απ73␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ8␈α␈9␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ10␈α␈7.
␈β∧I␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	k␈↓ αp␈εβbe␈α
the␈αo␈α␈rder␈α
of␈↓ ∧S␈ε	x␈↓ ∧{␈εβmod␈α␈ulo␈↓ ¬q␈ε	n␈↓ ε¬␈εβ,␈αa␈α␈nd␈α
let␈↓ π
␈ε	∃␈↓ π(␈εβbe␈αth␈α␈e␈αleast␈α
comm␈α␈on␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈αall
␈β∧S␈↓ αX␈εp␈↓ ∧b␈εp
␈β∧p␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈↓ αα␈ε	k␈↓ α≡␈εβ'␈α↓s.␈α∞Th␈α␈en␈↓ β$␈ε	∃␈↓ βC␈εβis␈αa␈αd␈α␈i␈α↓v␈α␈isor␈αof␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬4␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αb␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈αo␈α␈f␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α(␈↓ πg␈ε	n␈↓ λβ␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α↓/␈↓ λY␈ε	p␈↓ λj␈εβ,␈α
so␈↓ 	)␈ε	∃␈↓ 	G␈εβ=␈↓ 	s␈ε	n␈↓ 
⊂␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈.␈α∂S␈α␈ince
␈β∧{␈↓ α⊃␈εp
␈β¬∀␈↓ ↓Y␈ε⎇␈↓ ↓j␈εε(␈↓ ↓s␈εn␈↓ αβ␈εε)
␈β¬_␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ α⊃␈εβmo␈α␈d␈↓ αU␈ε	n␈↓ αs␈εβ=␈α	1,␈↓ βA␈ε	⎇␈↓ βV␈εβ(␈↓ βa␈ε	n␈↓ βu␈εβ)␈α
is␈α
a␈α	m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α
o␈α␈f␈↓ ¬j␈ε	k␈↓ ε⊂␈εβfo␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓l␈↓ εn␈ε	p␈↓ ε␈␈εβ,␈α
so␈↓ π9␈ε	⎇␈↓ πO␈εβ(␈↓ πZ␈ε	n␈↓ πn␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ λ-␈ε	∃␈↓ λ@␈εβ.␈αBut␈↓ 	∪␈ε	⎇␈↓ 	)␈εβ(␈↓ 	4␈ε	n␈↓ 	H␈εβ)␈α	<␈↓ 
π␈ε	n␈↓ 
 ␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈α
wh␈α␈en
␈β¬"␈↓ ¬x␈εp
␈β¬'␈↓ ↓Y␈εp
␈β¬?␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓h␈εβis␈α
n␈α␈ot␈αprime␈α␈.␈α≥(An␈α␈oth␈α␈er␈αway␈αto␈αcar␈α␈ry␈αout␈αth␈α␈e␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈α
is␈αto␈αcon␈α␈struct␈αan␈αe␈α␈l␈α↓e␈α␈men␈α␈t␈↓ 
s␈ε	x␈↓ ⊃␈εβo␈α␈f
␈β¬g␈↓ ↓H␈εβo␈α␈rder␈↓ α∨␈ε	n␈↓ α:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
f␈α↓ro␈α␈m␈αth␈α␈e␈↓ ∧π␈ε	x␈↓ ∧%␈εβ's,␈αby␈α
the␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αof␈αex␈α}ercise␈α3␈α␈.␈α↓2␈α␈.␈α↓1␈α␈.2↑1␈α␈5.)
␈β¬r␈↓ ∧↔␈εp
␈βε≤␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ βg␈ε	U␈↓ ∧P␈ε	V␈↓ ¬7␈ε	A␈↓ ε%␈ε	P␈↓ ε␈␈ε	S␈↓ πc␈ε	T␈↓ 	¬␈εβOu␈α␈tp␈α␈ut
␈βεK␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧l␈εβ1␈↓ ¬S␈εβ0␈↓ ε)␈εβ9␈α␈92␈↓ πα␈εβ0␈↓ πX␈εβ←
␈βεs␈↓ βT␈εβ1␈α␈981␈↓ ∧:␈εβ198␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ1␈↓ ε)␈εβ9␈α␈92␈↓ πα␈εβ1␈↓ π7␈εβ19␈α␈81
␈βπ⊗␈↓ λq␈εε2␈↓ 	c␈εε2
␈βπ~␈↓ βT␈εβ1␈α␈983␈↓ ∧l␈εβ4␈↓ ¬2␈εβ4␈α␈95␈↓ ε)␈εβ9␈α␈93␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ?␈εβ99␈↓ λ`␈εβ3␈↓ 	π␈ε↔⊃␈εβ␈α	+␈↓ 	S␈εβ2
␈βπB␈↓ βT␈εβ1␈α␈983␈↓ ∧K␈εβ99␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ2␈↓ επ␈εβ981␈α␈09␈↓ πα␈εβ1␈↓ πH␈εβ9␈α␈91
␈βπf␈↓ λq␈εε2␈↓ 	c␈εε2
␈βπj␈↓ βT␈εβ1␈α␈981␈↓ ∧l␈εβ4␈↓ ¬2␈εβ4␈α␈95␈↓ εJ␈εβ2␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ`␈εβ2␈↓ 	π␈ε↔⊃␈εβ␈α	+␈↓ 	S␈εβ2
␈βλ⊃␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧:␈εβ198␈α␈1␈↓ ¬S␈εβ1␈↓ επ␈εβ990␈α␈99␈↓ πα␈εβ1␈↓ π7␈εβ19␈α␈81
␈βλ5␈↓ λq␈εε2␈↓ 	c␈εε0
␈βλ9␈↓ βT␈εβ1␈α␈984␈↓ ∧l␈εβ1␈↓ ¬!␈εβ19␈α␈84␈↓ επ␈εβ991␈α␈01␈↓ πα␈εβ0␈↓ πi␈εβ1␈↓ λ≡␈εβ9␈α␈910␈↓ λ`␈εβ1␈↓ 	π␈ε↔⊃␈εβ␈α	+␈↓ 	S␈εβ2
␈βλh␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	fact␈α␈orization␈αλ19␈α␈9␈ε↔␈α¬↓␈εβ␈α∧991␈αλi␈α↓s␈α	e␈α␈vide␈α␈n␈α␈t␈α	from␈αλthe␈α	|␈α␈rst␈α	or␈α	la␈α␈st␈α	ou␈α␈tpu␈α␈ts.␈αTh␈α␈e␈α	sho␈α␈rtness␈αλof␈α	the
␈β	⊂␈↓ ↓H␈εβc␈α␈y␈α␈cle,␈απan␈α␈d␈α¬the␈α¬app␈α␈ear␈α␈anc␈α␈e␈αεof␈αεth␈α␈e␈αεw␈α␈ell-kn␈α␈o␈α␈wn␈α¬n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αε19␈α␈84,␈απa␈α␈re␈αεpr␈α␈oba␈α␈bly␈α¬just␈αεc␈α␈oincid␈α␈enc␈α␈es.
␈β	A␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβThe␈αfollo␈α␈wi␈α↓n␈α␈g␈αalgorith␈α␈m␈αma␈α␈k␈α␈es␈αuse␈αo␈α␈f␈αan␈αau␈α␈xili␈α↓a␈α␈ry␈α(␈↓ λπ␈ε	m␈↓ λ,␈εβ+␈αλ1)␈ε↔␈αλα␈εβ␈αλ(␈↓ 	-␈ε	m␈↓ 	R␈εβ+␈αλ1)␈αma␈α␈trix␈αo␈α␈f
␈β	h␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈gle-pre␈α␈cisi␈α↓o␈α␈n␈α	in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ ∧'␈ε	E␈↓ ∧S␈εβ,␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬+␈ε	j␈↓ ¬:␈εβ,␈↓ ¬H␈ε	k␈↓ ¬b␈ε↔∀␈↓ ε
␈ε	m␈↓ ε*␈εβ;␈α
a␈α	single-p␈α␈recision␈α	v␈α}ector␈α	(␈↓ 	+␈ε	b␈↓ 	D␈εβ,␈↓ 	S␈ε	b␈↓ 	k␈εβ,␈↓ 	z␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
&␈εβ,␈↓ 
5␈ε	b␈↓ 
X␈εβ)␈α↓;␈α
a␈α␈nd
␈β	s␈↓ ∧:␈εj␈↓ ∧F␈εk␈↓ 	7␈εε0␈↓ 	←␈εε1␈↓ 
A␈εm
␈β
⊂␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple-p␈α␈recision␈αv␈α}ecto␈α␈r␈α(␈↓ ∧`␈ε	x␈↓ ∧⎇␈εβ,␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬'␈εβ,␈↓ ¬6␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬c␈εβ,␈↓ ¬q␈ε	x␈↓ ε_␈εβ)␈αwi␈α↓th␈α
en␈α}tri␈α↓e␈α␈s␈αi␈α↓n␈α
the␈αra␈α␈ng␈α␈e␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ 	d␈ε	x␈↓ 

␈εβ<␈↓ 
4␈ε	N␈↓ 
S␈εβ.
␈β
~␈↓ ∧p␈εε0␈↓ ¬≠␈εε1␈↓ ε↓␈εm␈↓ 	s␈εk
␈β
?␈↓ ↓Q␈ε∪F1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α~S␈α␈et␈↓ βx␈ε	b␈↓ ∧_␈ε↔ ␈α
␈␈εβ1␈αfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ¬x␈ε	i␈↓ ε∞␈ε↔∀␈↓ ε9␈ε	m␈↓ εV␈εβ;␈αthe␈α␈n␈αset␈↓ πj␈ε	j␈↓ λα␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈β
J␈↓ ∧∧␈εi
␈β
o␈↓ ↓Q␈ε∪F2.␈↓ α␈εβ[Nex␈α␈t␈αsolu␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.]␈α~Get␈αthe␈αne␈α␈xt␈αout␈α␈pu␈α␈t␈α(␈↓ εH␈ε	x␈↓ εY␈εβ,␈↓ εh␈ε	e␈↓ π↓␈εβ,␈↓ π⊂␈ε	e␈↓ π(␈εβ,␈↓ π7␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πc␈εβ,␈↓ πr␈ε	e␈↓ λ⊗␈εβ)␈αpro␈α␈du␈α␈ced␈αb␈α␈y␈αA␈α↓lg␈α␈orithm␈αE␈↓ #␈εβ.
␈β
y␈↓ εt␈εε0␈↓ π≤␈εε1␈↓ π}␈εm
␈β⊗␈↓ α␈εβ(It␈αi␈α↓s␈αc␈α␈on␈α␈v␈α}en␈α␈i␈α↓en␈α}t␈αto␈αreg␈α␈ard␈α
A␈α↓lg␈α␈orithm␈α␈s␈αE␈αa␈α␈nd␈αF␈αas␈αc␈α␈orou␈α␈tines.)␈α→Se␈α␈t␈↓ 	d␈ε	k␈↓ 	}␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈.
␈βE␈↓ ↓Q␈ε∪F3.␈↓ α␈εβ[Sea␈α␈rch␈αfor␈αo␈α␈dd␈α␈.␈α↓]␈α~If␈↓ ∧:␈ε	k␈↓ ∧U␈εβ>␈↓ ¬↓␈ε	m␈↓ ¬*␈εβg␈α␈o␈αto␈αstep␈αF5.␈α
Oth␈α␈erwise␈αif␈↓ λB␈ε	e␈↓ λg␈εβis␈αev␈α}en,␈αse␈α␈t␈↓ 
∀␈ε	k␈↓ 
/␈ε↔ ␈↓ 
Z␈ε	k␈↓ 
s␈εβ+␈αλ1
␈βP␈↓ λN␈εk
␈βm␈↓ α␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αt␈α␈his␈αstep␈α␈.
␈β≤␈↓ ↓Q␈ε∪F4.␈↓ α␈εβ[Li␈α↓n␈α␈ear␈αd␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α␈ce?]␈α≠If␈↓ ∧y␈ε	b␈↓ ¬≥␈ε↔∃␈εβ␈α0,␈αth␈α␈en␈αse␈α␈t␈↓ εp␈ε	i␈↓ πλ␈ε↔ ␈↓ π4␈ε	b␈↓ πM␈εβ,␈↓ πb␈ε	x␈↓ π}␈ε↔ ␈εβ␈α(␈↓ λ5␈ε	x␈↓ λO␈ε	x␈↓ λa␈εβ)␈↓ λq␈εβmod␈↓ 	6␈ε	N␈↓ 	U␈εβ,␈↓ 	j␈ε	e␈↓ 

␈ε↔ ␈↓ 
9␈ε	e␈↓ 
Y␈εβ+␈↓ α␈ε	E
␈β'␈↓ ¬¬␈εk␈↓ π@␈εk␈↓ λE␈εi␈↓ 	v␈εr␈↓ 
E␈εr␈↓ ⊗␈εi␈↓  ␈εr
␈βD␈↓ α␈εβfor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ β
␈ε	r␈↓ β$␈ε↔∀␈↓ βQ␈ε	m␈↓ βn␈εβ;␈α∞s␈α␈et␈↓ ∧:␈ε	k␈↓ ∧U␈ε↔ ␈↓ ¬α␈ε	k␈↓ ¬≠␈εβ+␈αλ1␈α
a␈α␈nd␈αre␈α␈turn␈αto␈αF3.␈α∂Oth␈α␈erwise␈α
s␈α␈et␈↓ 	H␈ε	b␈↓ 	l␈ε↔ ␈↓ 
→␈ε	j␈↓ 
(␈εβ,␈↓ 
>␈ε	x␈↓ 
e␈ε↔ ␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈βO␈↓ 	T␈εk␈↓ 
N␈εj
␈βl␈↓ α␈ε	E␈↓ αB␈ε↔ ␈↓ αn␈ε	e␈↓ β∩␈εβfo␈α␈r␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ∧
␈ε	r␈↓ ∧&␈ε↔∀␈↓ ∧R␈ε	m␈↓ ∧o␈εβ;␈αset␈↓ ¬9␈ε	j␈↓ ¬R␈ε↔ ␈↓ ¬}␈ε	j␈↓ ε∀␈εβ+␈α	1␈αan␈α␈d␈αreturn␈αto␈αF2.␈α≠(In␈αthe␈αlatter␈αc␈α␈ase␈αw␈α␈e
␈βv␈↓ α∨␈εj␈↓ α,␈εr␈↓ αz␈εr
␈β
∪␈↓ α␈εβha␈α␈v␈α␈e␈α¬a␈αεn␈α␈ew␈αεline␈α␈arly␈α¬i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αεso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈,␈αλm␈α␈od␈α␈ulo␈α¬2,␈απwho␈α␈se␈αε|␈α␈rst␈αεo␈α␈dd␈α¬com␈α␈po␈α␈nen␈α}t␈αεis␈↓ 
␈␈ε	e␈↓ _␈εβ.)
␈β
≡␈↓ ␈εk
␈β
C␈↓ ↓Q␈ε∪F5.␈↓ α␈εβ[Try␈αto␈αfa␈α␈ctor.]␈α→(No␈α␈w␈↓ ∧Y␈ε	e␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬ε␈ε	e␈↓ ¬∨␈εβ,␈↓ ¬3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ¬`␈εβ,␈↓ ¬t␈ε	e␈↓ ε"␈εβare␈αev␈α}en.)␈α→Se␈α␈t
␈β
M␈↓ ∧e␈εε0␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ε␈εm
␈β
␈␈↓ ε8␈εe␈↓ εM␈εε/2
␈β∞␈↓ ¬x␈εe␈↓ ε
␈εε/2␈↓ π$␈εe␈↓ πD␈εε/␈α␈2
␈β∞β␈↓ ¬$␈εα(␈↓ π]␈εα)
␈β∞ε␈↓ ∧↑␈ε	y␈↓ ∧y␈ε↔ ␈↓ ¬0␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬m␈εβ)␈↓ ε'␈ε	p␈↓ εf␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π∪␈ε	p␈↓ π.␈ε
m␈↓ πn␈εβmod␈↓ λ3␈ε	N␈↓ λR␈εβ.
␈β∞π␈↓ εα␈επ0␈↓ εB␈επ1
␈β∞∃␈↓ ε8␈εε1␈↓ π$␈εm
␈β∞I␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	x␈↓ αG␈εβ=␈↓ αr␈ε	y␈↓ β∂␈εβor␈α
if␈↓ βV␈ε	x␈↓ βn␈εβ+␈↓ ∧⊗␈ε	y␈↓ ∧2␈εβ=␈↓ ∧]␈ε	N␈↓ ∧{␈εβ,␈αretur␈α␈n␈αto␈α
F2.␈αOth␈α␈erwise␈α
comp␈α␈ute␈↓ λ{␈εβgc␈α␈d␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	P␈ε↔␈␈↓ 	x␈ε	y␈↓ 
␈εβ,␈↓ 
→␈ε	N␈↓ 
8␈εβ),␈αwhich
␈β∞p␈↓ α␈εβis␈αa␈αpro␈α␈pe␈α␈r␈αfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ ∧:␈ε	N␈↓ ∧X␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αte␈α␈rmina␈α␈te␈αthe␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m.
␈β∞r␈↓ λ9␈∧∞rλ9≠∂
␈β∂'␈↓ ↓H␈εβIt␈α
can␈α
be␈α
sho␈α}wn␈αth␈α␈at␈α
this␈αalg␈α␈orithm␈α
|n␈α␈ds␈α
a␈αfac␈α␈tor,␈αwhe␈α␈nev␈α}er␈αo␈α␈ne␈α
i␈α↓s␈α
ded␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αfrom␈α
the
␈β∂O␈↓ ↓H␈εβg␈α␈i␈α↓v␈α}en␈αo␈α␈utp␈α␈uts␈αo␈α␈f␈αA␈α↓lg␈α␈orithm␈αE.
␈β∂|␈↓ αX␈εε2
␈β⊂␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε	f␈↓ α≤␈εβ(␈↓ α'␈ε	p␈↓ α8␈εβ,␈↓ αG␈ε	p␈↓ αd␈ε	d␈↓ αw␈εβ)␈α	=␈α
2␈α␈/(␈↓ βb␈ε	p␈↓ βw␈εβ+␈α¬1)␈α¬+␈↓ ∧d␈ε	f␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	p␈↓ ¬⊂␈εβ,␈↓ ¬≡␈ε	d␈↓ ¬1␈εβ)/␈↓ ¬M␈ε	p␈↓ ¬]␈εβ,␈α
since␈αλ1/(␈↓ εl␈ε	p␈↓ π↓␈εβ+␈α¬1)␈α	is␈α	the␈α	p␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈α	th␈α␈at␈↓ 
∪␈ε	A␈↓ 
2␈εβis␈α	a␈α	m␈α␈u␈α␈l-
␈β⊂#␈↓ 	j␈εε2␈↓  ␈εε2
␈β⊂$␈↓ λo␈εε1
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβtip␈α␈l␈α↓e␈απo␈α␈f␈↓ α2␈ε	p␈↓ αC␈εβ.␈↓ α[␈ε	f␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	p␈↓ βπ␈εβ,␈↓ β⊗␈ε	p␈↓ β'␈ε	d␈↓ β9␈εβ)␈α
=␈α	1/(␈↓ ∧%␈ε	p␈↓ ∧8␈εβ+␈αα1)␈απwhe␈α␈n␈↓ ¬Q␈ε	d␈↓ ¬i␈εβmo␈α␈d␈↓ ε-␈ε	p␈↓ εH␈ε↔≤␈εβ␈α	0.␈↓ π≠␈ε	f␈↓ π+␈εβ(2,␈α¬4␈↓ πf␈ε	k␈↓ πx␈εβ+␈αβ3␈α␈)␈α
=␈↓ 	ε␈εβsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ 	T␈ε	A␈↓ 	y␈ε↔␈␈εβ␈αα(4␈↓ 
8␈ε	k␈↓ 
J␈εβ+␈αβ3␈α␈)␈↓ 
␈ε	B
␈β⊂6␈↓ λo␈∧⊂6λoα
␈β⊂8␈↓ λo␈εε3
␈β⊂K␈↓ π%␈εε2␈↓ λk␈εε2
␈β⊂L␈↓ ε#␈εε2
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈αa␈α
m␈α}ultiple␈α
of␈α
4;␈↓ ∧G␈ε	f␈↓ ∧V␈εβ(␈α↓2␈α␈,␈αε8␈↓ ¬∩␈ε	k␈↓ ¬(␈εβ+␈απ5)␈α	=␈↓ ε>␈εβsinc␈α␈e␈↓ π∞␈ε	A␈↓ π8␈ε↔␈␈εβ␈αε(8␈↓ π{␈ε	k␈↓ λ∩␈εβ+␈αε5)␈↓ λU␈ε	B␈↓ 	α␈εβcan␈α␈no␈α␈t␈αb␈α␈e␈α
a␈α
m␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β⊂]␈↓ ε#␈∧⊂]ε#α
␈β⊂←␈↓ ε#␈εε3
␈β⊂r␈↓ 
β␈εε2
␈β⊂s␈↓ ∧¬␈εε1␈↓ ∧M␈εε1␈↓ ¬∃␈εε1␈↓ ¬\␈εε1␈↓ ε*␈εε1␈↓ π\␈εε4
␈β⊂t␈↓ 	)␈εα(␈↓ 
}␈εα)
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∞8;␈↓ α~␈ε	f␈↓ α*␈εβ(2,␈αε8␈↓ αe␈ε	k␈↓ α␈␈εβ+␈α	1)␈α∞=␈↓ ∧∨␈εβ+␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬.␈εβ+␈↓ ¬v␈εβ+␈↓ εJ␈εβ+␈↓ εu␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ π)␈εβ=␈↓ πl␈εβ.␈↓ λ∀␈ε	f␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε	p␈↓ λ@␈εβ,␈↓ λN␈ε	d␈↓ λa␈εβ)␈α∞=␈↓ 	5␈εβ2␈↓ 	E␈ε	p␈↓ 	V␈εβ/(␈↓ 	r␈ε	p␈↓ 
→␈ε↔␈␈εβ␈α	1),␈αε0␈↓ _␈εβif
␈β⊃¬␈↓ ∧¬␈∧⊃¬∧¬α
␈↓ ∧M␈∧⊃¬∧Mα
␈↓ ¬∃␈∧⊃¬¬∃α
␈↓ ¬\␈∧⊃¬¬\α
␈↓ ε$␈∧⊃¬ε$α~␈↓ π\␈∧⊃¬π\α
␈β⊃π␈↓ ∧¬␈εε3␈↓ ∧M␈εε3␈↓ ¬∃␈εε3␈↓ ¬\␈εε6␈↓ ε$␈εε12␈↓ π\␈εε3
␈β⊃~␈↓ ↓Z␈εε(␈↓ ↓b␈εp␈↓ ↓p␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	d␈↓ α=␈εβmod␈↓ βα␈ε	p␈↓ β≤␈εβ=␈α	(␈α↓1␈α␈,␈↓ βq␈ε	p␈↓ ∧	␈ε↔␈␈εβ␈αλ1),␈αresp␈α␈ectiv␈α␈ely␈α␈,␈αfo␈α␈r␈αodd␈↓ π⊗␈ε	p␈↓ π'␈εβ.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα587
␈βα&␈↓ αv␈εε2␈↓ β}␈εε2␈↓ 
_␈εε2␈α␈(␈↓ 
-␈εp␈↓ 
:␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈↓ α↑␈ε	P␈↓ β␈ε↔⊃␈↓ β6␈ε	k␈↓ βG␈ε	N␈↓ βf␈ε	Q␈↓ ∧∪␈εβ(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ ¬∃␈ε	p␈↓ ¬&␈εβ)␈αεfor␈αεan␈α␈y␈αεp␈α␈rime␈αεdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈↓ πd␈ε	p␈↓ π{␈εβof␈↓ λ≥␈ε	V␈↓ λ5␈εβ,␈απw␈α␈e␈απh␈α␈av␈α}e␈απ1␈ε↔␈αλ⊃␈↓ 
␈ε	P␈↓ ␈ε↔⊃
␈βαN␈↓ α~␈εε2␈↓ α2␈εε(␈↓ α:␈εp␈↓ αH␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ ∧	␈εε(␈↓ ∧⊃␈εp␈↓ ∧∨␈ε~␈␈εε1)/2
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	k␈↓ ↓c␈ε	N␈↓ αα␈ε	Q␈↓ α'␈εβ)␈↓ β→␈ε↔⊃␈εβ␈α	(␈↓ βN␈ε	k␈↓ β←␈ε	N␈↓ β}␈εβ)␈↓ ∧p␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ ¬q␈ε	p␈↓ εα␈εβ),␈αi␈α↓f␈↓ εA␈ε	P␈↓ εb␈ε↔@⊃␈↓ π␈εβ0.
␈ββ¬␈↓ ∧$␈∧β¬∧$α~␈↓ π
␈∧β¬π
α~␈↓ 	⊗␈∧β¬	⊗α~
␈ββε␈↓ ∧β␈ε↔p␈↓ εi␈ε↔p␈↓ λu␈ε↔p
␈ββπ␈↓ βπ␈εn␈↓ βW␈εn␈↓ 
;␈εε2
␈ββλ␈↓ ε∧␈εε1␈↓ λ⊂␈εε1
␈ββ␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈ε	U␈↓ α>␈εβ=␈α(␈↓ αv␈ε	a␈↓ β ␈ε↔␈␈↓ βJ␈ε	b␈↓ βg␈εβ)/␈↓ ∧$␈ε	D␈↓ ∧=␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ¬6␈ε	a␈↓ ¬R␈εβ=␈↓ ε∀␈εβ(␈↓ ε∨␈ε	P␈↓ ε?␈εβ+␈↓ π
␈ε	D␈↓ π#␈εβ),␈↓ πE␈ε	b␈↓ π↑␈εβ=␈↓ λ ␈εβ(␈↓ λ+␈ε	P␈↓ λK␈ε↔␈␈↓ 	⊗␈ε	D␈↓ 	/␈εβ),␈↓ 	Q␈ε	D␈↓ 	v␈εβ=␈↓ 
$␈ε	P␈↓ 
Q␈ε↔␈␈εβ␈αλ4␈↓ ␈ε	Q␈↓ #␈εβ.
␈ββ⊃␈↓ ∧¬␈ε↓␈␈↓ ∧S␈ε↓↓
␈ββ∃␈↓ βL␈ε↓P
␈ββ⊗␈↓ α!␈εn
␈ββ→␈↓ ε∧␈∧β→ε∧α
␈↓ λ⊂␈∧β→λ⊂α
␈ββ≠␈↓ ε∧␈εε2␈↓ λ⊂␈εε2
␈ββ+␈↓ ∧+␈εn
␈ββ/␈↓ α2␈εn␈↓ αC␈ε~␈␈εε1␈↓ ∧x␈εn␈↓ ¬	␈ε~␈␈εε2␈↓ ¬/␈εk␈↓ ¬<␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬{␈εk␈↓ πG␈εε(␈↓ πP␈εp␈↓ π]␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈ββ3␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈en␈↓ α"␈εβ2␈↓ αi␈ε	U␈↓ β≥␈εβ=␈↓ ∧a␈ε	P␈↓ ¬b␈ε	D␈↓ ελ␈εβ;␈α⊂so␈↓ εM␈ε	U␈↓ ε}␈ε↔⊃␈↓ π.␈ε	D␈↓ λ3␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 	5␈ε	p␈↓ 	F␈εβ)␈α∞if␈↓ 
α␈ε	p␈↓ 
!␈εβis␈α∞an␈α∞o␈α␈dd
␈ββ=␈↓ α}␈εn␈↓ εb␈εp
␈ββ@␈↓ 	l␈ε↓␈␈↓ 
∀␈ε↓↓
␈ββC␈↓ ∧∪␈εε2␈↓ ∧ ␈εk␈↓ ∧-␈εε+1
␈ββD␈↓ 	3␈ε↓P
␈ββE␈↓ βr␈εk
␈ββZ␈↓ 	␈␈εn
␈ββ↑␈↓ ∧L␈εn␈↓ ¬↔␈εn␈↓ λ'␈εn␈↓ λ7␈ε~␈␈εε1␈↓ 
:␈εn␈↓ 
J␈ε~␈␈εε2␈↓ 
p␈εk␈↓ ⊗␈εk
␈ββb␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈α␈,␈αif␈↓ βe␈ε	V␈↓ ∧⊃␈εβ=␈↓ ∧;␈ε	a␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	b␈↓ ¬0␈εβ=␈↓ ¬[␈ε	U␈↓ ε-␈ε↔␈␈↓ εT␈ε	Q␈↓ εl␈ε	U␈↓ π8␈εβ,␈α
the␈α␈n␈↓ λ⊗␈εβ2␈↓ λ]␈ε	V␈↓ 		␈εβ=␈↓ 
"␈ε	P␈↓ 
⎇␈ε	D␈↓ #␈εβ,
␈ββl␈↓ βw␈εn␈↓ ¬p␈εn␈↓ ε␈εε+␈α↓1␈↓ π↓␈εn␈↓ π∩␈ε~␈␈εε1␈↓ λo␈εn
␈ββr␈↓ 	z␈εε2␈↓ 
π␈εk
␈ββt␈↓ 	Y␈εk
␈β∧¬␈↓ α|␈εn
␈β∧	␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α
␈ε	V␈↓ α7␈ε↔⊃␈↓ αe␈ε	P␈↓ β→␈ε↔⊃␈↓ βG␈ε	P␈↓ β↑␈εβ.␈α⊃Th␈α␈u␈α␈s␈α
if␈↓ ∧o␈ε	U␈↓ ¬∨␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α␈,␈α∞w␈α␈e␈α
|n␈α␈d␈α
t␈α␈hat␈↓ πW␈ε	U␈↓ λ%␈εβmo␈α␈d␈↓ λi␈ε	p␈↓ 	π␈εβ=␈α0.␈α⊃If␈↓ 
α␈ε	U␈↓ 
2␈ε↔⊃␈εβ␈α1,␈α∞w␈α␈e
␈β∧∀␈↓ α≥␈εp␈↓ ¬¬␈εp␈↓ πl␈εp␈↓ πz␈εε+1␈↓ 
↔␈εp
␈β∧-␈↓ 	→␈εn␈↓ 	)␈ε~␈␈εε1
␈β∧1␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈αtha␈α␈t␈α
(␈↓ α`␈ε	Q␈↓ αx␈ε	U␈↓ βA␈εβ)␈↓ βQ␈εβmod␈↓ ∧⊗␈ε	p␈↓ ∧2␈εβ=␈α0;␈α
h␈α␈ere␈αif␈↓ ¬o␈ε	Q␈↓ ε∪␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈αo␈α␈f␈↓ π}␈ε	p␈↓ λ∞␈εβ,␈↓ λ$␈ε	U␈↓ λU␈ε↔⊃␈↓ 	↓␈ε	P␈↓ 	Z␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ 
\␈ε	p␈↓ 
l␈εβ)␈α
fo␈α␈r
␈β∧;␈↓ β
␈εp␈↓ β≠␈ε~␈␈εε1␈↓ λ9␈εn
␈β∧X␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓i␈εβ>␈α∞0,␈α∞so␈↓ αk␈ε	U␈↓ β≡␈εβi␈α↓s␈α
nev␈α}er␈α∞a␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈le␈α∞o␈α␈f␈↓ ¬k␈ε	p␈↓ ¬|␈εβ;␈α∂if␈↓ ε6␈ε	Q␈↓ ε\␈εβis␈α∞n␈α␈ot␈α
a␈α∞m␈α␈u␈α␈ltiple␈α∞o␈α␈f␈↓ 	
␈ε	p␈↓ 	≠␈εβ,␈↓ 	2␈ε	U␈↓ 
↓␈εβmo␈α␈d␈↓ 
E␈ε	p␈↓ 
d␈εβ=␈α∞0␈α␈.
␈β∧c␈↓ β↓␈εn␈↓ 	H␈εp␈↓ 	V␈ε~␈␈εε1
␈β∧{␈↓ πz␈εe
␈β∧|␈↓ λM␈εe
␈β¬␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈erefo␈α␈re␈α⊂a␈α␈s␈α∂i␈α↓n␈α∞Theo␈α␈rem␈α∂L␈↓ ∧b␈εβ,␈↓ ∧|␈ε	U␈↓ ¬ ␈εβmod␈↓ ¬e␈ε	N␈↓ ε∀␈εβ=␈α⊂0␈α∂i␈α↓f␈↓ π	␈ε	N␈↓ π8␈εβ=␈↓ πj␈ε	p␈↓ λ⊂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ<␈ε	p␈↓ λc␈εβ,␈↓ λ⎇␈εβgc␈α␈d␈↓ 	/␈εβ(␈↓ 	:␈ε	N␈↓ 	Y␈εβ,␈↓ 	h␈ε	Q␈↓ 
␈εβ)␈α⊂=␈α⊃1␈α␈,␈α⊃a␈α␈nd
␈β¬β␈↓ λ¬␈επ1␈↓ λX␈ε
r
␈β¬␈↓ ¬⊃␈εt
␈β¬∂␈↓ λM␈εr
␈β¬⊂␈↓ πz␈εε1
␈β¬ ␈↓ β<␈εe␈↓ βR␈ε~␈␈εε1
␈β¬%␈↓ β∨␈εα(␈↓ ∧w␈εα)
␈β¬(␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓c␈εβ=␈↓ α∀␈εβl␈α↓c␈α␈m␈↓ β+␈ε	p␈↓ βG␈ε
j␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	p␈↓ ∧)␈εβ+␈↓ ∧T␈ε	∂␈↓ ∧l␈εβ)␈↓ ¬β␈εβ.␈α↔U␈α↓n␈α␈de␈α␈r␈α∂the␈α∂a␈α␈ssum␈α␈ption␈α␈s␈α∂of␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∂e␈α␈x␈α␈ercise,␈α⊂th␈α␈e␈α∂ran␈α␈k␈α∂o␈α␈f
␈β¬2␈↓ αH␈εε1␈ε~∀␈↓ αn␈εj␈↓ αz␈ε~∀␈↓ β∪␈εr␈↓ ∧∪␈εj␈↓ ∧`␈εj
␈β¬9␈↓ β<␈εj
␈β¬O␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈arition␈αof␈↓ β⊃␈ε	N␈↓ β<␈εβis␈↓ β↑␈ε	N␈↓ ∧¬␈εβ+␈αλ1␈α␈;␈α
h␈α␈enc␈α␈e␈↓ ¬1␈ε	N␈↓ ¬\␈εβis␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈αto␈↓ πε␈ε	Q␈↓ π*␈εβand␈↓ πl␈ε	t␈↓ λ∧␈εβis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈↓ 	m␈ε	N␈↓ 
∀␈εβ+␈αλ1.␈α
Al␈α↓so␈α␈,
␈β¬w␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αassu␈α␈mption␈α␈s␈αof␈α
th␈α␈is␈α
ex␈α}ercise␈αi␈α↓m␈α␈ply␈αth␈α␈at␈α
e␈α␈ach␈↓ π≡␈ε	p␈↓ πF␈εβis␈α
o␈α␈dd␈αan␈α␈d␈αea␈α␈ch␈↓ 	:␈ε	∂␈↓ 	←␈εβis␈ε↔␈α
ε␈εβ1␈α␈,␈α∞so␈↓ 
t␈ε	t␈↓ ␈ε↔∀
␈βε␈↓ α⊂␈ε↓Q
␈βε↓␈↓ π.␈εj␈↓ 	F␈εj
␈βε↔␈↓ αH␈εe␈↓ α↑␈ε~␈␈εε1
␈βε→␈↓ πv␈εe␈↓ λ[␈εe␈↓ λp␈ε~␈␈εε1
␈βε~␈↓ ↓X␈εε1␈ε~␈␈↓ ↓}␈εr␈↓ ∧z␈εr
␈βε≠␈↓ βT␈εε1␈↓ ∧↑␈εε2
␈βε≡␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α7␈ε	p␈↓ β∧␈εβ(␈↓ β∂␈ε	p␈↓ β-␈εβ+␈↓ βd␈ε	p␈↓ ∧␈εβ)␈α	=␈α
2␈α␈(␈↓ ∧o␈εβ)␈↓ ¬ε␈ε	N␈↓ ¬%␈εβ;␈αλhen␈α␈ce␈↓ ε∂␈ε	r␈↓ ε'␈εβ=␈α	1␈απan␈α␈d␈↓ π&␈ε	t␈↓ π;␈εβ=␈↓ πe␈ε	p␈↓ λ∞␈εβ+␈↓ λ1␈ε	∂␈↓ λJ␈ε	p␈↓ 	⊗␈εβ.␈α
Finally,␈αλth␈α␈erefo␈α␈re,
␈βε∨␈↓ αS␈ε
j
␈βε!␈↓ λ↓␈επ1␈↓ λe␈επ1
␈βε)␈↓ β∨␈εj␈↓ βt␈εj␈↓ λ=␈εε1
␈βε-␈↓ βT␈∧ε-βTα
␈↓ ∧↑␈∧ε-∧↑α
␈βε/␈↓ βT␈εε3␈↓ ∧↑␈εε3␈↓ πv␈εε1␈↓ λ[␈εε1
␈βε0␈↓ αH␈εj
␈βεF␈↓ ↓H␈ε	e␈↓ ↓j␈εβ=␈α	1␈αa␈α␈nd␈↓ αq␈ε	∂␈↓ β∩␈εβ=␈α
1.
␈βεQ␈↓ ↓T␈εε1␈↓ α⎇␈εε1
␈βεo␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∪If␈α∞this␈α∞test␈α∂fo␈α␈r␈α∂p␈α␈ri␈α↓m␈α␈ali␈α↓t␈α␈y␈α∂is␈α∞to␈α∞be␈α∞an␈α}y␈α∞goo␈α␈d,␈α⊂w␈α␈e␈α∞m␈α␈u␈α␈st␈α∂ch␈α␈oo␈α␈se␈↓ 
␈ε	P␈↓ 
&␈εβan␈α␈d␈↓ 
j␈ε	Q␈↓ ⊃␈εβin
␈βπ↔␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αa␈αway␈αtha␈α␈t␈α
th␈α␈e␈α
te␈α␈st␈α
will␈α
pro␈α␈bab␈α␈ly␈αwo␈α␈rk.␈α⊂Leh␈α␈mer␈αsug␈α␈gests␈αtak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ 	W␈ε	P␈↓ 	{␈εβ=␈α1␈αso␈αtha␈α␈t
␈βπ?␈↓ ↓H␈ε	D␈↓ ↓l␈εβ=␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ4␈↓ αl␈ε	Q␈↓ β∧␈εβ,␈α
a␈α␈nd␈αch␈α␈oo␈α␈si␈α↓n␈α␈g␈↓ ∧d␈ε	Q␈↓ ¬	␈εβs␈α␈o␈αthat␈↓ ¬|␈εβgc␈α␈d␈↓ ε.␈εβ(␈↓ ε9␈ε	N␈↓ εX␈εβ,␈↓ εg␈ε	Q␈↓ ε␈␈ε	D␈↓ π_␈εβ)␈α=␈α1␈α␈.␈α≤(I␈α↓f␈αthe␈αlatt␈α␈er␈α
c␈α␈ond␈α␈ition␈αfails,
␈βπf␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α	kn␈α␈o␈α␈w␈α
alrea␈α␈dy␈α	th␈α␈at␈↓ ∧
␈ε	N␈↓ ∧3␈εβis␈α	not␈α	prime,␈α
u␈α␈nless␈ε↔␈α
j␈↓ ε]␈ε	Q␈↓ εu␈ε	D␈↓ π∞␈ε↔j␈α
∃␈↓ πK␈ε	N␈↓ πj␈εβ.)␈α⊗Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α
the␈α	deriv␈α␈ation
␈βλ
␈↓ π9␈εε(␈↓ πB␈εN␈↓ πZ␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βλ∞␈↓ ↓H␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈α∞sho␈α␈ws␈α∞tha␈α␈t␈α∂w␈α␈e␈α∞wi␈α↓ll␈α∂wa␈α␈n␈α␈t␈↓ ¬%␈ε	∂␈↓ ¬L␈εβ=␈α⊂1␈α␈,␈α⊂th␈α␈at␈α∂is,␈↓ π ␈ε	D␈↓ λ0␈ε↔⊃␈α∂␈␈εβ␈α↓1␈α∞(␈α↓m␈α␈od␈α␈ulo␈↓ 
#␈ε	N␈↓ 
B␈εβ).␈α⊗Th␈α␈is
␈βλ_␈↓ ¬1␈εε1
␈βλ5␈↓ ↓H␈εβis␈αano␈α␈the␈α␈r␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αthat␈αd␈α␈etermin␈α␈es␈α
th␈α␈e␈α
c␈α␈ho␈α␈i␈α↓ce␈αo␈α␈f␈↓ π5␈ε	Q␈↓ πM␈εβ.␈α⊂Fu␈α␈rtherm␈α␈ore,␈α
if␈↓ 	V␈ε	D␈↓ 	{␈εβsatis|e␈α␈s␈α
th␈α␈is
␈βλ]␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈n,␈αan␈α␈d␈αif␈↓ βC␈ε	U␈↓ ∧≤␈εβm␈α␈od␈↓ ∧`␈ε	N␈↓ ¬λ␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α␈,␈αw␈α␈e␈αk␈α␈no␈α}w␈αth␈α␈at␈↓ π)␈ε	N␈↓ πS␈εβis␈ε⊂␈αno␈α␈t␈εβ␈αprime.
␈βλh␈↓ βY␈εN␈↓ βp␈εε+1
␈β	ε␈↓ α␈ε⊂Exa␈α␈mple:␈εβ␈α
I␈α↓f␈↓ βE␈ε	P␈↓ βh␈εβ=␈α1␈αa␈α␈nd␈↓ ∧s␈ε	Q␈↓ ¬↔␈εβ=␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓1␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈αthe␈αFibon␈α␈acc␈α␈i␈α
seq␈α␈uen␈α␈ce,␈α
with␈↓ 
B␈ε	D␈↓ 
f␈εβ=␈α5␈α␈.
␈β	*␈↓ α.␈εε11
␈β	.␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ince␈↓ α≡␈εβ5␈↓ αQ␈ε↔⊃␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈α23␈α␈)␈α↓,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
atte␈α␈mpt␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α
th␈α␈at␈α
23␈α
is␈α
prime␈α
b␈α␈y␈α
us␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
the
␈β	V␈↓ ↓H␈εβFibo␈α␈na␈α␈cci␈αsequ␈α␈enc␈α␈e:
␈β
*␈↓ ↓W␈ε↔h␈↓ ↓b␈ε	F␈↓ α
␈εβmod␈↓ αO␈εβ2␈α␈3␈ε↔i␈εβ␈α	=␈α
0,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε2,␈αε3␈α␈,␈αε5,␈αε8␈α␈,␈αε13␈α␈,␈αε21␈α␈,␈αε11,␈α¬9,␈αε2␈α␈0,␈αε6,␈α¬3,␈αε9␈α␈,␈αε12,␈α¬21,␈α¬10,␈αε8␈α␈,␈αε18␈α␈,␈αε3,␈αε2␈α␈1,␈αε1␈α␈,␈αε22␈α␈,␈αε0,␈↓ 
h␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ∀␈εβ,
␈β
5␈↓ ↓t␈εn
␈β
␈␈↓ ↓H␈εβso␈απ2␈α␈4␈αλis␈απthe␈απran␈α␈k␈απof␈αλa␈α␈pp␈α␈ariti␈α↓o␈α␈n␈απof␈αλ2␈α␈3␈απand␈απth␈α␈e␈απtest␈αλw␈α␈or␈α␈ks.␈α
Ho␈α␈w␈α␈ev␈α}er,␈α	th␈α␈e␈απF␈α↓ib␈α␈ona␈α␈cci␈αλse␈α␈que␈α␈nce
␈β&␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ann␈α␈ot␈α
b␈α␈e␈α
use␈α␈d␈α
in␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α
wa␈α␈y␈α
to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈α
the␈α
p␈α␈rimality␈α
o␈α␈f␈α1␈α␈3␈α
or␈α
1␈α␈7,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ 	≡␈ε	F␈↓ 	C␈εβm␈α␈od␈↓ 
π␈εβ13␈α	=␈α	0␈α
a␈α␈nd
␈β1␈↓ 	0␈εε7
␈βJ␈↓ πc␈εε(␈↓ πl␈εp␈↓ πz␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈βN␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ ↓l␈εβmod␈↓ α1␈εβ1␈α␈7␈α
=␈α
0.␈αW␈α↓h␈α␈en␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧)␈ε↔⊃␈α
ε␈εβ1␈α
(m␈α␈odu␈α␈lo␈α10␈α␈)␈α↓,␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ πS␈εβ5␈↓ λG␈εβm␈α␈od␈↓ 	␈ε	p␈↓ 	&␈εβ=␈α
1,␈αs␈α␈o␈↓ 
 ␈ε	F␈↓ 
q␈εβ(no␈α␈t
␈βY␈↓ ↓Z␈εε9␈↓ 
2␈εp␈↓ 
@␈ε~␈␈εε1
␈βv␈↓ ↓H␈ε	F␈↓ α∞␈εβ)␈αis␈αdivisib␈α␈l␈α↓e␈αb␈α␈y␈↓ βy␈ε	p␈↓ ∧
␈εβ.
␈β␈↓ ↓Z␈εp␈↓ ↓h␈εε+1
␈β/␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβLet␈↓ αK␈ε	f␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	q␈↓ αt␈εβ)␈α=␈α
2␈↓ βO␈εβlg␈↓ βn␈ε	q␈↓ ∧ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1.␈α⊂W␈α↓h␈α␈en␈↓ ¬;␈ε	q␈↓ ¬V␈εβ=␈α2␈αor␈α
3␈α␈,␈α∞th␈α␈e␈α
tree␈αha␈α␈s␈α
at␈αmost␈↓ 	+␈ε	f␈↓ 	;␈εβ(␈↓ 	F␈ε	q␈↓ 	U␈εβ)␈α
n␈α␈od␈α␈es.␈α⊂W␈α↓h␈α␈en
␈βW␈↓ ↓H␈ε	q␈↓ ↓a␈εβ>␈α3␈αis␈αprime␈α␈,␈α
let␈↓ βe␈ε	q␈↓ β}␈εβ=␈α1␈απ+␈↓ ∧k␈ε	q␈↓ ¬
␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ ¬6␈ε	q␈↓ ¬X␈εβwh␈α␈ere␈↓ ε8␈ε	t␈↓ εO␈ε↔∃␈εβ␈α2␈αan␈α␈d␈↓ πY␈ε	q␈↓ πq␈εβ,␈↓ λπ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ3␈εβ,␈↓ λH␈ε	q␈↓ λj␈εβa␈α␈re␈αpr␈α␈i␈α↓m␈α␈e.␈α∞Th␈α␈e␈αsize␈αo␈α␈f
␈β`␈↓ βR␈ε↓P
␈βa␈↓ ∧w␈εε1␈↓ ¬B␈εt␈↓ πe␈εε1␈↓ λT␈εt
␈β}␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αtree␈αis␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
1␈απ+␈↓ β⎇␈ε	f␈↓ ∧
␈εβ(␈↓ ∧_␈ε	q␈↓ ∧2␈εβ)␈α	=␈α
2␈αλ+␈↓ ¬2␈ε	f␈↓ ¬B␈εβ(␈↓ ¬M␈ε	q␈↓ ¬d␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔␈αλ␈␈↓ εY␈ε	t␈↓ εn␈εβ<␈↓ π→␈ε	f␈↓ π)␈εβ(␈↓ π4␈ε	q␈↓ πC␈εβ).␈α~[␈ε⊂SIAM␈αJ.␈αComp␈α␈utin␈α␈g␈ε∪␈α7␈εβ␈α(197␈α␈5),
␈β
	␈↓ ∧$␈εk
␈β
&␈↓ ↓H␈εβ2␈α␈14↑␈α␈220␈↓ α<␈εβ.]
␈β
[␈↓ ≡␈ε
␈β
\␈↓ α≥␈εα(␈↓ βY␈εα)
␈β
←␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈ε	x␈↓ α)␈ε	G␈↓ αB␈εβ(␈↓ αN␈ε	␈↓ α`␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ β~␈ε	F␈↓ β1␈εβ(␈↓ β<␈ε	␈↓ βN␈εβ)␈↓ βp␈εβis␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ ¬h␈ε	n␈↓ ε¬␈ε↔∀␈↓ ε0␈ε	x␈↓ εL␈εβwh␈α␈ose␈α
seco␈α␈nd␈α␈-␈α↓la␈α␈rgest␈α
prime␈α
facto␈α␈r␈αis␈ε↔␈α∀␈↓ ␈ε	x
␈β∞β␈↓ ¬r␈ε
␈β∞π␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
whose␈α
l␈α↓a␈α␈rgest␈αp␈α␈rime␈αfacto␈α␈r␈αi␈α↓s␈α>␈↓ ¬`␈ε	x␈↓ ε␈εβ.␈αHe␈α␈nce
␈β∞V␈↓ β
␈ε~0␈↓ ∧E␈εt␈↓ ∧O␈εε+␈↓ ∧h␈εd␈↓ ∧w␈εt␈↓ ¬j␈εt␈↓ ε5␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ εZ␈εt
␈β∞X␈↓ ∧
␈εα(␈↓ ¬␈␈εα)␈↓ εd␈εα(␈↓ π	␈εα(␈↓ λ∀␈εα)␈↓ λh␈εα(␈↓ 	s␈εα))
␈β∞[␈↓ α`␈ε	x␈↓ αq␈ε	G␈↓ β⊂␈εβ(␈↓ β≠␈ε	t␈↓ β'␈εβ)␈↓ β8␈ε	d␈↓ βJ␈ε	t␈↓ β`␈εβ=␈↓ ∧⊗␈ε	→␈↓ ∧)␈εβ(␈↓ ∧4␈ε	x␈↓ ¬␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ ¬;␈ε	→␈↓ ¬N␈εβ(␈↓ ¬Y␈ε	x␈↓ ¬t␈εβ)␈↓ ε∪␈ε↔↓␈↓ ε#␈ε	x␈↓ εp␈ε	G␈↓ π∃␈ε	t␈↓ π!␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π⎇␈ε	t␈↓ λ	␈εβ)␈↓ λ(␈ε↔␈␈↓ λQ␈ε	F␈↓ λt␈ε	t␈↓ 	␈εβ/␈α␈(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	\␈ε	t␈↓ 	h␈εβ)␈↓ 
␈εβ.
␈β∂≤␈↓ ¬O␈ε↓R
␈β∂+␈↓ ¬g␈εε1
␈β∂6␈↓ π>␈ε~␈␈εε1
␈β∂7␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ π&␈εα)
␈β∂8␈↓ ¬∞␈∧∂8¬∞α~
␈β∂:␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α	p␈α␈rob␈α␈ability␈α	th␈α␈at␈↓ βy␈ε	p␈↓ ∧B␈ε↔∀␈↓ ∧l␈ε↔p␈↓ ¬∞␈ε	p␈↓ ¬0␈εβis␈↓ ¬y␈ε	F␈↓ ε≤␈ε	t␈↓ ε(␈εβ/2(1␈ε↔␈α∧␈␈↓ π∂␈ε	t␈↓ π≠␈εβ)␈↓ π2␈ε	t␈↓ πj␈ε	d␈↓ π|␈ε	t␈↓ λλ␈εβ.␈α∀[Cu␈α␈rious␈α␈l␈α↓y␈α␈,␈α
it␈α	ca␈α␈n␈α	b␈α␈e␈α	sh␈α␈o␈α␈wn
␈β∂E␈↓ ∧	␈εt␈↓ ∧∪␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬≥␈εt
␈β∂M␈↓ ¬`␈εε0
␈β∂Q␈↓ ∧β␈ε↓R
␈β∂`␈↓ ∧≠␈εε1
␈β∂l␈↓ ∧D␈εα(␈↓ ¬S␈εα)
␈β∂o␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈α∞th␈α␈is␈α∞also␈α∞eq␈α␈uals␈↓ ∧-␈ε	F␈↓ ∧P␈ε	t␈↓ ∧\␈εβ/(1␈ε↔␈α	␈␈↓ ¬<␈ε	t␈↓ ¬H␈εβ)␈↓ ¬e␈ε	d␈↓ ¬w␈ε	t␈↓ εβ␈εβ,␈α∂the␈α∞a␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α∞v␈α␈alue␈α∞o␈α␈f␈↓ λY␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 		␈ε	p␈↓ 	#␈εβ/␈↓ 	3␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	d␈ε	x␈↓ 	u␈εβ,␈α∂an␈α␈d␈α∞it␈α∞also
␈β∂y␈↓ 	→␈εt
␈β⊂↓␈↓ ∧∀␈εε0
␈β⊂∩␈↓ 	)␈ε~0
␈β⊂⊗␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈ls␈α∞Golom␈α␈b␈α␈'s␈α∞con␈α␈stan␈α}t␈↓ ∧M␈ε	∃␈↓ ∧n␈εβi␈α↓n␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α∞1.3.3␈α␈↑23␈α␈.␈α∀The␈α
deriv␈α␈ativ␈α␈e␈↓ 	⊂␈ε	G␈↓ 	/␈εβ(0)␈α∞c␈α␈an␈α∞b␈α␈e␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn
␈β⊂)␈↓ αI␈ε↓R
␈β⊂8␈↓ αa␈εε1
␈β⊂C␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε2␈↓ 	∞␈ε␈
␈β⊂D␈↓ β
␈εα(␈↓ ∧↔␈εα)␈↓ εT␈εε1␈↓ πX␈εε1
␈β⊂G␈↓ ↓H␈εβto␈αequ␈α␈al␈↓ αs␈ε	F␈↓ β⊗␈ε	t␈↓ β"␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧␈ε	t␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧#␈ε	t␈↓ ∧Z␈ε	d␈↓ ∧l␈ε	t␈↓ ¬β␈εβ=␈↓ ¬/␈ε	F␈↓ ¬F␈εβ(1)␈αλ+␈αλ2␈↓ ε.␈ε	F␈↓ εF␈εβ(␈↓ εe␈εβ)␈αλ+␈αλ3␈↓ π2␈ε	F␈↓ πI␈εβ(␈↓ πh␈εβ)␈αλ+␈↓ λ$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λU␈εβ=␈↓ 	↓␈ε	e␈↓ 	≥␈εβ.␈α∞Th␈α␈e␈αth␈α␈i␈α↓rd␈α␈-larges␈α␈t
␈β⊂V␈↓ εT␈∧⊂VεTα
␈↓ πX␈∧⊂VπXα
␈β⊂X␈↓ ∧6␈ε↓R␈↓ εT␈εε2␈↓ πX␈εε3
␈β⊂Z␈↓ αZ␈εε0
␈β⊂g␈↓ ∧N␈ε
␈β⊂r␈↓ λ
␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	9␈ε~0
␈β⊂t␈↓ ∧\␈εα(␈↓ ¬β␈εα(␈↓ ε␈εα)␈↓ ε↑␈εα(␈↓ πg␈εα))
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime␈α
fac␈α␈tor␈α
h␈α␈as␈↓ β>␈ε	H␈↓ βY␈εβ(␈↓ βd␈ε	␈↓ βw␈εβ)␈α	=␈↓ ∧h␈ε	H␈↓ ¬∂␈ε	t␈↓ ¬≠␈εβ/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬u␈ε	t␈↓ ε↓␈εβ)␈↓ ε≡␈ε↔␈␈↓ εE␈ε	G␈↓ εj␈ε	t␈↓ εv␈εβ/(1␈ε↔␈α¬␈␈↓ πP␈ε	t␈↓ π[␈εβ)␈↓ π␈␈ε	t␈↓ λ6␈ε	d␈↓ λH␈ε	t␈↓ λ↑␈εβan␈α␈d␈↓ 	≡␈ε	H␈↓ 	?␈εβ(0)␈α	=␈ε↔␈α
1␈εβ.␈αSe␈α␈e␈α
D.
␈β⊃	␈↓ ∧G␈εε0
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβE.␈αKn␈α␈u␈α␈th␈αa␈α␈nd␈α
L␈α↓.␈αTrab␈α␈b␈αPard␈α␈o,␈ε⊂␈αTheo␈α␈retical␈αCom␈α␈p.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈α3␈εβ␈α(19␈α␈76␈α␈)␈α↓,␈α32␈α␈1↑3␈α␈48␈α␈.␈α↓]
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα588␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα'␈↓ αx␈εD
␈βα+␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈ε	M␈↓ α:␈εβ=␈↓ αg␈εβ2␈↓ β∀␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αis␈αa␈αm␈α␈ultiple␈αof␈αall␈↓ ¬v␈ε	p␈↓ ε∀␈εβfo␈α␈r␈α
wh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αthe␈αord␈α␈er␈αof␈α
2␈αmo␈α␈du␈α␈lo␈↓ 	{␈ε	p␈↓ 
_␈εβd␈α␈i␈α↓v␈α␈ides␈↓ 
␈ε	D␈↓ #␈εβ.
␈βαK␈↓ εr␈εq␈↓ 	K␈εe
␈βαS␈↓ ↓H␈εβTo␈αex␈α␈tend␈αth␈α␈i␈α↓s␈αi␈α↓d␈α␈ea,␈α
let␈↓ ∧2␈ε	a␈↓ ∧Z␈εβ=␈α2␈α
a␈α␈nd␈↓ ¬g␈ε	a␈↓ ε4␈εβ=␈↓ εb␈ε	a␈↓ ε|␈ε
j␈↓ π
␈εβmod␈↓ πR␈ε	N␈↓ πq␈εβ,␈α
wher␈α␈e␈↓ λi␈ε	q␈↓ 	
␈εβ=␈↓ 	:␈ε	p␈↓ 	V␈ε
j␈↓ 	a␈εβ,␈↓ 	x␈ε	p␈↓ 
 ␈εβis␈α
th␈α␈e␈↓ 
}␈ε	j␈↓ 
␈εβth
␈βα]␈↓ ∧A␈εε1␈↓ ¬v␈εj␈↓ εβ␈εε+1␈↓ λu␈εj␈↓ 
π␈εj
␈βαd␈↓ εr␈εj␈↓ 	K␈εj
␈βαv␈↓ 	s␈εq
␈βαz␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rime,␈αand␈↓ αp␈ε	e␈↓ β∩␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ βJ␈εβlo␈α␈g␈↓ βz␈εβ1␈α␈000␈α␈/␈↓ ∧M␈εβlog␈↓ ∧⎇␈ε	p␈↓ ¬→␈ε↔c␈εβ;␈αl␈α↓e␈α␈t␈↓ ¬k␈ε	A␈↓ ε
␈εβ=␈↓ ε5␈ε	a␈↓ εj␈εβ.␈αNo␈α␈w␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈↓ λS␈ε	b␈↓ λu␈εβ=␈↓ 	∨␈εβgcd␈↓ 	Q␈εβ(␈↓ 	]␈ε	A␈↓ 
ε␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ 
O␈ε	N␈↓ 
m␈εβ)␈αfo␈α␈r
␈ββ¬␈↓ α|␈εj␈↓ ¬
␈εj␈↓ εD␈εε169␈↓ λ←␈εq
␈ββ≡␈↓ ∧~␈εε3␈↓ ¬∪␈εε5␈↓ 	Q␈εε1␈α␈009
␈ββ"␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈αp␈α␈rimes␈↓ α`␈ε	q␈↓ αz␈εβb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈α
1␈↓ ∧
␈εβ0␈↓ ∧2␈εβa␈α␈nd␈α
1␈↓ ¬β␈εβ0␈↓ ¬ ␈εβ.␈αOne␈α
way␈α
to␈α
do␈α
this␈αis␈αto␈α
star␈α␈t␈αwith␈↓ 	;␈ε	A␈↓ 
	␈εβm␈α␈od␈↓ 
M␈ε	N␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈ββE␈↓ ¬.␈εε4␈↓ π∧␈εε2
␈ββI␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈α
to␈α
m␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈ly␈α
altern␈α␈ately␈α
b␈α␈y␈↓ ¬↔␈ε	A␈↓ ¬@␈εβmo␈α␈d␈↓ ε∧␈ε	N␈↓ ε.␈εβa␈α␈nd␈↓ εn␈ε	A␈↓ π⊗␈εβmo␈α␈d␈↓ πZ␈ε	N␈↓ πy␈εβ.␈α_(A␈αsimilar␈α
meth␈α␈od␈α
wa␈α␈s␈αu␈α␈sed
␈ββq␈↓ ↓H␈εβin␈α
th␈α␈e␈α1␈α␈920␈α␈s␈αby␈α
D.␈α
N.␈αLehm␈α␈er,␈αbu␈α␈t␈αh␈α␈e␈αd␈α␈idn␈α␈'␈α↓t␈α
pu␈α␈blish␈α
it.␈α↓)␈α_As␈α
wi␈α↓t␈α␈h␈αAlgo␈α␈rithm␈α
B␈αw␈α␈e␈α
can
␈β∧∃␈↓ λ↑␈εε30␈↓ λw␈εr␈↓ 	K␈εk
␈β∧→␈↓ ↓H␈εβa␈α␈v␈α␈oid␈αmost␈αof␈αthe␈αgcd␈α␈'␈α↓s␈αb␈α␈y␈αbatc␈α␈hing␈α␈;␈α
e.g.,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ π	␈ε	b␈↓ π←␈εβ=␈↓ λ␈εβgc␈α␈d␈↓ λ=␈εβ(␈↓ λH␈ε	A␈↓ 	␈ε↔␈␈↓ 	5␈ε	A␈↓ 	X␈εβ,␈↓ 	g␈ε	N␈↓ 
ε␈εβ),␈αwe␈αmigh␈α}t
␈β∧#␈↓ π∃␈εε3␈α␈0␈ε~␈␈↓ πG␈εk
␈β∧<␈↓ ¬↑␈εε3␈α␈0␈↓ ¬w␈εr␈↓ εK␈εε2␈α␈9␈↓ π⊂␈εε30␈↓ π*␈εr␈↓ π}␈εε2␈α␈3␈↓ λu␈εε30␈↓ 	∞␈εr
␈β∧@␈↓ ↓H␈εβtry␈αba␈α␈tche␈α␈s␈αof␈α8,␈α
c␈α␈omp␈α␈utin␈α␈g␈↓ ∧m␈ε	c␈↓ ¬⊂␈εβ=␈α(␈↓ ¬H␈ε	A␈↓ ε␈ε↔␈␈↓ ε5␈ε	A␈↓ εd␈εβ)(␈↓ εz␈ε	A␈↓ π>␈ε↔␈␈↓ πg␈ε	A␈↓ λ↔␈εβ)␈↓ λ'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λT␈εβ(␈↓ λ←␈ε	A␈↓ 	#␈ε↔␈␈↓ 	L␈ε	A␈↓ 	b␈εβ)␈↓ 	s␈εβmo␈α␈d␈↓ 
7␈ε	N␈↓ 
V␈εβ,␈α
th␈α␈en
␈β∧K␈↓ ∧y␈εr
␈β∧h␈↓ ↓H␈εβg␈α␈cd␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	c␈↓ α≥␈εβ,␈↓ α,␈ε	N␈↓ αK␈εβ)␈αfor␈α3␈α␈3␈α	<␈↓ βj␈ε	r␈↓ ∧α␈ε↔∀␈εβ␈α	33␈α␈34.
␈β∧r␈↓ α⊃␈εr
␈β¬≤␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβAlgorith␈α␈m␈α
P␈αfail␈α↓s␈αon␈α␈ly␈αwhen␈αth␈α␈e␈αran␈α␈dom␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈↓ πh␈ε	x␈↓ λε␈εβdo␈α␈es␈α
n␈α␈ot␈αrev␈α␈e␈α␈al␈α
th␈α␈e␈αf␈α↓a␈α␈ct␈αtha␈α␈t
␈β¬;␈↓ 
∧␈ε
j
␈β¬?␈↓ ¬+␈εq␈↓ 	w␈εε2␈↓ 
∂␈εq
␈β¬C␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓i␈εβis␈α
non␈α␈prime␈α␈.␈α∩Sa␈α␈y␈↓ βs␈ε	x␈↓ ∧∩␈εβis␈ε⊂␈α
ba␈α␈d␈εβ␈α
if␈↓ ¬~␈ε	x␈↓ ¬=␈εβmo␈α␈d␈↓ ε↓␈ε	n␈↓ ε"␈εβ=␈α
1␈α
or␈α
if␈α∞o␈α␈ne␈α
of␈α
the␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ 	f␈ε	x␈↓ 
)␈εβis␈ε↔␈α
⊃␈α
␈␈εβ␈α↓1
␈β¬k␈↓ ↓H␈εβ(m␈α␈odu␈α␈lo␈↓ αI␈ε	n␈↓ α]␈εβ)␈α
fo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ βh␈ε	j␈↓ ∧␈εβ<␈↓ ∧+␈ε	k␈↓ ∧;␈εβ.␈αSin␈α␈ce␈α	1␈α	is␈α
b␈α␈ad␈α␈,␈α
we␈α	h␈α␈av␈α}e␈↓ π#␈ε	p␈↓ πL␈εβ=␈α	(␈↓ λα␈ε	b␈↓ λ#␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/(␈↓ 	↓␈ε	n␈↓ 	~␈ε↔␈␈εβ␈α¬2)␈α	<␈↓ 
⊂␈ε	b␈↓ 
,␈εβ/(␈↓ 
H␈ε	n␈↓ 
a␈ε↔␈␈εβ␈α¬1),
␈β¬v␈↓ π2␈εn␈↓ λ∞␈εn␈↓ 
≤␈εn
␈βε∪␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈ε	b␈↓ αO␈εβi␈α↓s␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αba␈α␈d␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬&␈εβsuc␈α␈h␈αtha␈α␈t␈α1␈ε↔␈α	∀␈↓ ε␈␈ε	x␈↓ π→␈εβ<␈↓ πD␈ε	n␈↓ πX␈εβ,␈αwhen␈↓ λC␈ε	n␈↓ λb␈εβi␈α↓s␈αn␈α␈ot␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.
␈βε≥␈↓ α4␈εn
␈βε7␈↓ ∧T␈εn␈↓ ∧e␈ε~␈␈εε1
␈βε;␈↓ α␈εβEv␈α␈ery␈α
b␈α␈ad␈↓ β-␈ε	x␈↓ βI␈εβsatis|e␈α␈s␈↓ ∧C␈ε	x␈↓ ¬∀␈ε↔⊃␈εβ␈α	1␈α	(mod␈α␈ulo␈↓ εZ␈ε	n␈↓ εn␈εβ).␈αWhen␈↓ πm␈ε	p␈↓ λλ␈εβi␈α↓s␈α
prime,␈αth␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αsolu␈α␈-
␈βε↑␈↓ ∧:␈εq␈↓ ε(␈εe␈↓ λ≠␈εe
␈βεb␈↓ ↓H␈εβtio␈α␈ns␈αto␈αt␈α␈he␈αcon␈α␈gru␈α␈enc␈α␈e␈↓ ∧)␈ε	x␈↓ ∧P␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α
(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε↔␈ε	p␈↓ ε3␈εβ)␈αfo␈α␈r␈α1␈ε↔␈α
∀␈↓ πD␈ε	x␈↓ π←␈ε↔∀␈↓ λ
␈ε	p␈↓ λ1␈εβi␈α↓s␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈α␈s
␈βπε␈↓ βr␈εe␈↓ β⎇␈ε~␈␈εε1␈↓ εq␈εe␈↓ ε|␈ε~␈␈εε1␈↓ 	␈␈εe␈↓ 

␈ε~␈␈εε1
␈βππ␈↓ α←␈εα(␈↓ ¬␈εα)␈↓ 	D␈εα(␈↓ ↔␈εα)
␈βπ
␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	q␈↓ ↓⎇␈ε	y␈↓ α→␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈↓ αk␈εβmod␈α␈ulo␈↓ βb␈ε	p␈↓ ∧#␈εβ(␈↓ ∧.␈ε	p␈↓ ∧F␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬"␈εβfor␈α0␈ε↔␈α	∀␈↓ ε~␈ε	y␈↓ ε6␈εβ<␈↓ ε`␈ε	p␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	p␈↓ πE␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈α↓,␈αn␈α␈amely␈↓ 	∩␈εβgcd␈↓ 	P␈ε	q␈↓ 	←␈εβ,␈↓ 	n␈ε	p␈↓ 
/␈εβ(␈↓ 
;␈ε	p␈↓ 
S␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ #␈εβ,
␈βπ-␈↓ ∧b␈εy
␈βπ1␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ce␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧!␈εβby␈↓ ∧Q␈ε	a␈↓ ∧|␈εβwh␈α␈ere␈↓ ¬\␈ε	a␈↓ ¬x␈εβis␈αa␈αp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αroo␈α␈t.
␈βπT␈↓ β1␈εe
␈βπU␈↓ ∧π␈εe
␈βπY␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	n␈↓ αn␈εβ=␈↓ β≥␈ε	n␈↓ βG␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ βs␈ε	n␈↓ ∧≥␈εβ,␈α∂wh␈α␈ere␈α∞th␈α␈e␈↓ ¬T␈ε	n␈↓ ε␈εβa␈α␈re␈α∞distin␈α␈ct␈α∞prime␈α␈s.␈α∀Acco␈α␈rding␈α
to␈α∞th␈α␈e␈α∞Ch␈α␈inese
␈βπ\␈↓ β;␈επ1␈↓ ∧⊃␈ε
r
␈βπd␈↓ ¬g␈εi
␈βπi␈↓ ∧π␈εr
␈βπj␈↓ β1␈εε1
␈βπ⎇␈↓ 	␈εn␈↓ 	⊃␈ε~␈␈εε1
␈βλ↓␈↓ ↓H␈εβre␈α␈maind␈α␈er␈αtheo␈α␈rem,␈α
the␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈α
solu␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αto␈α
th␈α␈e␈αcon␈α␈grue␈α␈nce␈↓ λo␈ε	x␈↓ 	B␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 
␈ε	n␈↓ !␈εβ)
␈βλ␈↓ ↓k␈ε↓Q␈↓ λ≤␈ε↓Q
␈βλ$␈↓ ∧ ␈εe␈↓ ∧5␈ε~␈␈εε1
␈βλ&␈↓ β~␈εα(␈↓ ¬R␈εα)
␈βλ)␈↓ ↓H␈εβis␈↓ αh␈εβgcd␈↓ β&␈ε	n␈↓ βC␈ε↔␈␈εβ␈α	1,␈↓ ∧␈ε	n␈↓ ∧[␈εβ(␈↓ ∧f␈ε	n␈↓ ¬␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈↓ ¬↑␈εβ,␈α∞an␈α␈d␈α
th␈α␈is␈α
i␈α↓s␈α
a␈α␈t␈α
most␈↓ 	∀␈εβ(␈↓ 	∨␈ε	n␈↓ 	E␈ε↔␈␈εβ␈α	1)␈α
since␈↓ 
k␈ε	n␈↓ ⊗␈εβis
␈βλ+␈↓ ∧+␈ε
i
␈βλ3␈↓ ∧y␈εi␈↓ 	2␈εi␈↓ 
␈␈εi
␈βλ9␈↓ ∧ ␈εi
␈βλ;␈↓ α
␈εε1␈ε~∀␈↓ α3␈εi␈↓ α=␈ε~∀␈↓ αW␈εr␈↓ λ>␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ λd␈εi␈↓ λn␈ε~∀␈↓ 	π␈εr
␈βλP␈↓ λ]␈εe
␈βλR␈↓ λ9␈εε2
␈βλU␈↓ ↓H␈εβre␈α␈l␈α↓a␈α␈tiv␈α␈ely␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
to␈↓ β←␈ε	n␈↓ βy␈ε↔␈␈εβ␈απ1.␈αIf␈α
som␈α␈e␈↓ ¬8␈ε	e␈↓ ¬X␈εβ>␈α
1␈α␈,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ π%␈ε	n␈↓ πI␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈ε↔␈αλ∀␈↓ λI␈ε	n␈↓ λr␈εβ,␈α
hen␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α
o␈α␈f
␈βλX␈↓ λg␈ε
i
␈βλ`␈↓ ¬D␈εi␈↓ π8␈εi
␈βλd␈↓ λ9␈∧λdλ9α
␈βλf␈↓ λ9␈εε9␈↓ λ]␈εi
␈βλz␈↓ βq␈εε2␈↓ ε,␈εε2␈↓ πλ␈εε1
␈βλ⎇␈↓ ↓H␈εβso␈α␈lution␈α␈s␈αi␈α↓s␈αa␈α␈t␈αmost␈↓ ∧α␈ε	n␈↓ ∧⊗␈εβ;␈αin␈αth␈α␈i␈α↓s␈αca␈α␈se␈↓ ¬X␈ε	b␈↓ ¬}␈ε↔∀␈↓ ε<␈ε	n␈↓ εY␈ε↔∀␈↓ π_␈εβ(␈↓ π#␈ε	n␈↓ π?␈ε↔␈␈εβ␈απ1),␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈↓ λi␈ε	n␈↓ 	ε␈ε↔∃␈εβ␈α
9␈α␈.
␈β	λ␈↓ ¬d␈εn
␈β	␈↓ βq␈∧	βqα
␈↓ ε,␈∧	ε,α
␈↓ πλ␈∧	πλα
␈β	
␈↓ βq␈εε9␈↓ ε,␈εε9␈↓ πλ␈εε4
␈β	%␈↓ α␈εβThe␈α␈refore␈α
w␈α␈e␈αmay␈αassu␈α␈me␈α
th␈α␈at␈↓ ¬c␈ε	n␈↓ ε∧␈εβis␈α
th␈α␈e␈α
pr␈α␈odu␈α␈ct␈↓ π`␈ε	n␈↓ λ¬␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ1␈ε	n␈↓ λ↑␈εβo␈α␈f␈α
distinct␈αprimes.␈α⊂L␈α↓e␈α␈t
␈β	0␈↓ πs␈εε1␈↓ λE␈εr
␈β	D␈↓ 	G␈ε≠0
␈β	I␈↓ αt␈εk␈↓ 	:␈εk␈↓ 	`␈ε~0␈↓ 
t␈ε~0
␈β	M␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓r␈εβ=␈α
1␈αλ+␈↓ αc␈εβ2␈↓ β
␈ε	q␈↓ β!␈εβ,␈α∞wh␈α␈ere␈↓ ∧~␈ε	k␈↓ ∧B␈ε↔∀␈↓ ∧p␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬#␈ε↔∀␈↓ ¬Q␈ε	k␈↓ ¬l␈εβ.␈α⊃The␈α␈n␈↓ ε←␈εβgc␈α␈d␈↓ π⊃␈εβ(␈↓ π≤␈ε	n␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈,␈↓ λα␈ε	n␈↓ λ)␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)␈α
=␈↓ 	)␈εβ2␈↓ 	Q␈ε	q␈↓ 	k␈εβ,␈α
where␈↓ 
d␈ε	k␈↓ ␈εβ=
␈β	P␈↓ β␈ε
i
␈β	S␈↓ 	G␈ε
i
␈β	W␈↓ ↓[␈εi␈↓ β⊗␈εi␈↓ ∧)␈εε1␈↓ ¬`␈εr␈↓ λ∃␈εi
␈β	\␈↓ 	`␈εi␈↓ 
t␈εi
␈β	p␈↓ β*␈ε~0␈↓ 	G␈εq␈↓ 
W␈ε~0
␈β	t␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓n␈↓ ↓␈␈εβ(␈↓ α
␈ε	k␈↓ α≠␈εβ,␈↓ α)␈ε	k␈↓ αC␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ β≠␈ε	q␈↓ β?␈εβ=␈↓ βj␈εβgcd␈↓ ∧≤␈εβ(␈↓ ∧'␈ε	q␈↓ ∧6␈εβ,␈↓ ∧E␈ε	q␈↓ ∧\␈εβ).␈α
Mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ¬v␈ε	n␈↓ ε∀␈εβ,␈αthe␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈αof␈↓ λ∧␈ε	x␈↓ λ!␈εβsu␈α␈ch␈αtha␈α␈t␈↓ 	6␈ε	x␈↓ 	↑␈ε↔⊃␈εβ␈α1␈αis␈↓ 
H␈ε	q␈↓ 
a␈εβ;␈α
a␈α␈nd
␈β	␈␈↓ α8␈εi␈↓ ∧Q␈εi␈↓ ε	␈εi
␈β
β␈↓ β*␈εi␈↓ 
W␈εi
␈β
∀␈↓ ∧g␈ε
j
␈β
_␈↓ ∧[␈εε2␈↓ ∧s␈εq␈↓ ε∨␈εj␈↓ ε:␈ε~0␈↓ λ→␈ε~0
␈β
≤␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α
o␈α␈f␈↓ β≤␈ε	x␈↓ β8␈εβsu␈α␈ch␈α	tha␈α␈t␈↓ ∧I␈ε	x␈↓ ¬λ␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α	i␈α↓s␈↓ ε∂␈εβ2␈↓ ε+␈ε	q␈↓ εO␈εβfo␈α␈r␈α
0␈ε↔␈α	∀␈↓ πF␈ε	j␈↓ π↑␈εβ<␈↓ λλ␈ε	k␈↓ λ#␈εβ,␈αo␈α␈therwise␈α
0␈α␈.␈αSin␈α␈ce␈↓ 
D␈ε	k␈↓ 
]␈ε↔∃␈↓ λ␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈β
%␈↓ ∧R␈ε↓P
␈β
&␈↓ ↔␈εε1
␈β
+␈↓ ε:␈εi␈↓ λ→␈εi
␈β
?␈↓ β&␈ε~0␈↓ βt␈ε~0␈↓ ¬q␈εj␈↓ ¬⎇␈εr
␈β
@␈↓ ∧¬␈εα(␈↓ ε	␈εα)
␈β
C␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈↓ αG␈ε	b␈↓ αm␈εβ=␈↓ β↔␈ε	q␈↓ β8␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ βe␈ε	q␈↓ ∧⊃␈εβ1␈απ+␈↓ ¬`␈εβ2␈↓ ε∃␈εβ.
␈β
N␈↓ αS␈εn
␈β
S␈↓ β&␈εε1␈↓ βt␈εr
␈β
V␈↓ ∧x␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬≡␈εj␈↓ ¬*␈εε<␈↓ ¬C␈εk
␈β
↑␈↓ ¬O␈επ1
␈β
n␈↓ 	!␈εk␈↓ 	9␈εε+␈↓ 	R␈ε~↓↓↓␈↓ 	g␈εε+␈↓ 
␈εk
␈β
o␈↓ λ≥␈εε1␈↓ 
S␈εε1
␈β
r␈↓ α␈εβTo␈αco␈α␈mplete␈αth␈α␈e␈αpro␈α␈of,␈α
it␈αsu}␈α␈ces␈αto␈αsh␈α␈o␈α␈w␈α
t␈α␈hat␈↓ πF␈ε	b␈↓ πm␈ε↔∀␈↓ λ.␈ε	q␈↓ λL␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λx␈ε	q␈↓ 	⊂␈εβ2␈↓ 
#␈εβ=␈↓ 
d␈ε	⎇␈↓ 
y␈εβ(␈↓ ∧␈ε	n␈↓ _␈εβ),
␈β
u␈↓ 
␈ε
r
␈β
v␈↓ 	-␈επ1
␈β
|␈↓ ¬'␈ε↓P␈↓ λy␈ε↓P
␈β
⎇␈↓ πR␈εn␈↓ λ:␈εε1␈↓ 	∧␈εr
␈β␈↓ λ≥␈∧λ≥α
␈↓ 
S␈∧
Sα
␈βα␈↓ λ≥␈εε4␈↓ 
S␈εε4
␈β⊗␈↓ εF␈εj␈↓ εR␈εr␈↓ π
␈εk␈↓ π$␈εε+␈↓ π=␈ε~↓↓↓␈↓ πR␈εε+␈↓ πl␈εk␈↓ 
↔␈εj␈↓ 
#␈εr␈↓ 
↑␈εk␈↓ 
v␈εr
␈β↔␈↓ ∧f␈εα(␈↓ ε↑␈εα)/␈↓ λ7␈εα(␈↓ 
0␈εα)/
␈β~␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈↓ α∃␈ε	⎇␈↓ α*␈εβ(␈↓ α5␈ε	n␈↓ αI␈εβ)␈α
<␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αα1.␈α
We␈αεhav␈α}e␈↓ ∧r␈εβ1␈α↓+␈↓ ε5␈εβ2␈↓ ε|␈εβ2␈↓ λ
␈ε↔∀␈↓ λC␈εβ1␈αα+␈↓ 
π␈εβ2␈↓ 
N␈εβ2␈↓ ␈εβ=
␈β≤␈↓ πx␈ε
r
␈β≥␈↓ π→␈επ1␈↓ 
j␈επ1
␈β,␈↓ ¬M␈εε0␈ε~∀␈↓ ¬s␈εj␈↓ ¬␈␈εε<␈↓ ε_␈εk␈↓ 	∨␈εε0␈ε~␈α␈∀␈↓ 	D␈εj␈↓ 	P␈εε<␈↓ 	j␈εk
␈β4␈↓ ε$␈επ1␈↓ 	v␈επ1
␈βE␈↓ α¬␈εr␈↓ β*␈εr␈↓ ∧2␈εk␈↓ ∧I␈εr␈↓ ∧q␈εr␈↓ ε>␈εr␈↓ εJ␈ε~␈␈εε1
␈βF␈↓ ∧β␈εα/(␈↓ ¬J␈εα)
␈βI␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(␈↓ ↓t␈εβ2␈↓ α→␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈αλ+␈αλ(␈↓ β→␈εβ2␈↓ β>␈ε↔␈␈εβ␈αλ2)␈↓ ∧!␈εβ2␈↓ ∧U␈εβ(␈↓ ∧`␈εβ2␈↓ ¬¬␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ ¬`␈ε↔∀␈εβ␈α1␈α␈/␈↓ ε-␈εβ2␈↓ εp␈εβ,␈αso␈αth␈α␈e␈αres␈α␈ult␈αfollo␈α␈ws␈αu␈α␈nless␈↓ 
⊗␈ε	r␈↓ 
/␈εβ=␈α
2␈αa␈α␈nd
␈βL␈↓ ∧>␈επ1
␈βp␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓l␈εβ=␈↓ α↔␈ε	k␈↓ α2␈εβ.␈α
If␈↓ αc␈ε	r␈↓ α{␈εβ=␈α
2,␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈απ9␈αλsho␈α}ws␈αλthat␈↓ ¬{␈ε	n␈↓ ε∩␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈απi␈α↓s␈αλn␈α␈ot␈αλa␈αλm␈α}ultiple␈αλof␈αλb␈α␈oth␈↓ 	-␈ε	n␈↓ 	P␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈αλan␈α␈d␈↓ 
K␈ε	n␈↓ 
n␈ε↔␈␈εβ␈α∧1␈α␈.
␈β{␈↓ ↓V␈εε1␈↓ α%␈εε2␈↓ 	@␈εε1␈↓ 
↑␈εε2
␈β∀␈↓ ¬}␈ε~0␈↓ π3␈ε~0␈↓ 

␈ε~0␈↓ 
&␈ε~0␈↓ 
k␈εε1
␈β_␈↓ ↓H␈εβTh␈α}us␈αif␈↓ α<␈ε	k␈↓ αa␈εβ=␈↓ β␈ε	k␈↓ β3␈εβw␈α␈e␈αcan␈α␈no␈α␈t␈αh␈α␈av␈α␈e␈αb␈α␈oth␈↓ ¬o␈ε	q␈↓ ε∀␈εβ=␈↓ ε?␈ε	q␈↓ εd␈εβa␈α␈nd␈↓ π%␈ε	q␈↓ πJ␈εβ=␈↓ πu␈ε	q␈↓ λ∞␈εβ;␈αit␈αfoll␈α↓o␈α}ws␈αth␈α␈at␈↓ 	{␈ε	q␈↓ 
↔␈ε	q␈↓ 
<␈ε↔∀␈↓ 
{␈ε	q␈↓ ∀␈ε	q
␈β"␈↓ αK␈εε1␈↓ β≠␈εε2␈↓ εK␈εε1␈↓ λ↓␈εε2␈↓ π␈εε1␈↓  ␈εε2
␈β&␈↓ 
k␈∧&
kα
␈β'␈↓ ¬}␈εε1␈↓ π3␈εε2␈↓ 

␈εε1␈↓ 
&␈εε2
␈β(␈↓ 
k␈εε3
␈β<␈↓ α\␈εε1
␈β?␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	b␈↓ α.␈ε↔∀␈↓ αm␈ε	⎇␈↓ βα␈εβ(␈↓ β
␈ε	n␈↓ β!␈εβ)␈αi␈α↓n␈α
this␈αca␈α␈se.
␈βJ␈↓ α∀␈εn
␈βN␈↓ α\␈∧Nα\α
␈βP␈↓ α\␈εε6
␈β␈␈↓ α␈εβ[␈ε⊂Referen␈α␈ce:␈α
J.␈α	Num␈α}ber␈α	Th␈α␈eory␈εβ␈αλ(␈ε⊂␈α↓c␈εβ␈α␈.␈α19␈α␈79),␈α
t␈α␈o␈α	ap␈α␈pea␈α␈r.␈αThe␈α	a␈α␈bo␈α}v␈α␈e␈α	p␈α␈roof␈α	sh␈α␈o␈α␈ws␈α	tha␈α␈t␈↓ ␈ε	p
␈β
␈↓ ≤␈εn
␈β
$␈↓ α0␈εε1
␈β
'␈↓ ↓H␈εβis␈αλn␈α␈ear␈↓ αH␈εβon␈α␈l␈α↓y␈απin␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλca␈α␈ses,␈α	wh␈α␈en␈↓ ¬≠␈ε	n␈↓ ¬9␈εβ=␈α	(1␈αβ+␈αβ2␈↓ ε7␈ε	q␈↓ εP␈εβ)(1␈αα+␈α∧4␈↓ π.␈ε	q␈↓ πG␈εβ)␈αλo␈α␈r␈αλ(1␈αβ+␈αβ2␈↓ λS␈ε	q␈↓ λl␈εβ)(1␈αα+␈α∧2␈↓ 	J␈ε	q␈↓ 	c␈εβ)(1␈αβ+␈αβ2␈↓ 
B␈ε	q␈↓ 
Z␈εβ).␈αFo␈α␈r
␈β
2␈↓ εC␈εε1␈↓ π:␈εε1␈↓ λ←␈εε1␈↓ 	V␈εε2␈↓ 
N␈εε3
␈β
5␈↓ α0␈∧
5α0α
␈β
7␈↓ α0␈εε4
␈β
K␈↓ π≠␈εε1
␈β
O␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xam␈α␈ple,␈αwhen␈↓ β-␈ε	n␈↓ βL␈εβ=␈α4␈α␈993␈α␈9␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ99␈α␈877␈αw␈α␈e␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ εE␈ε	b␈↓ εl␈εβ=␈↓ π+␈εβ(␈α↓4␈α␈99␈α␈38␈ε↔␈αλ↓␈εβ␈αλ99␈α␈876␈α␈)␈αan␈α␈d␈↓ 	O␈ε	p␈↓ 	y␈ε↔→␈εβ␈α.␈α↓2␈α␈499␈α␈925␈α␈.
␈β
Y␈↓ εQ␈εn␈↓ 	←␈εn
␈β
]␈↓ π≠␈∧
]π≠α
␈β
←␈↓ π≠␈εε4
␈β
v␈↓ ↓H␈εβS␈α␈ee␈αth␈α␈e␈αne␈α␈xt␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αfor␈αfur␈α␈ther␈αrem␈α␈ark␈α␈s.␈α↓]
␈β∞*␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Th␈α␈e␈α
pro␈α␈ofs␈α
are␈α
simple␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈αp␈α␈erh␈α␈aps␈α
for␈α
th␈α␈e␈α
recipro␈α␈city␈α
law.␈αLet␈↓ 	}␈ε	p␈↓ 
→␈εβ=␈↓ 
C␈ε	p␈↓ 
e␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ⊃␈ε	p
␈β∞5␈↓ 
S␈εε1␈↓ !␈εs
␈β∞R␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	q␈↓ α ␈εβ=␈↓ αK␈ε	q␈↓ αi␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β⊗␈ε	q␈↓ β.␈εβ,␈αwhe␈α␈re␈αthe␈↓ ∧\␈ε	p␈↓ ¬↓␈εβan␈α␈d␈↓ ¬B␈ε	q␈↓ ¬e␈εβare␈αp␈α␈rime.␈αThen
␈β∞]␈↓ αW␈εε1␈↓ β"␈εr␈↓ ∧k␈εi␈↓ ¬N␈εj
␈β∂∀␈↓ β∧␈ε↓Y␈↓ ∧4␈ε↓Y
␈β∂≥␈↓ α␈ε↓∩␈↓ α;␈ε↓∪␈↓ β2␈ε↓∩␈↓ βj␈ε↓∪␈↓ εc␈ε↓∩␈↓ π≠␈ε↓∪␈↓ 
~␈ε↓∩␈↓ 
I␈ε↓∪
␈β∂#␈↓ α&␈ε	p␈↓ βL␈ε	p␈↓ ε}␈ε	q␈↓ 
5␈ε	q
␈β∂.␈↓ β\␈εi␈↓ π
␈εj
␈β∂1␈↓ λ-␈εβε
␈β∂2␈↓ λa␈εε(␈↓ λi␈εp␈↓ 	↓␈ε~␈␈εε1)(␈↓ 	7␈εq␈↓ 	M␈ε~␈␈εε1)/4
␈β∂4␈↓ ¬*␈εε(␈↓ ¬3␈εp␈↓ ¬J␈ε~␈␈εε1)(␈↓ ε↓␈εq␈↓ ε⊗␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈4
␈β∂9␈↓ αZ␈εβ=␈↓ ∧	␈εβ=␈↓ ∧b␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬∨␈εβ)␈↓ π:␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ λ"␈εβ)␈↓ 
←␈εβ,
␈β∂:␈↓ λw␈ε
i␈↓ 	B␈ε
j
␈β∂;␈↓ ¬@␈ε
i␈↓ ε␈ε
j
␈β∂<␈↓ λE␈ε
i␈↓ λO␈επ,␈↓ λV␈ε
j
␈β∂H␈↓ α&␈∧∂Hα&α⊃␈↓ βL␈∧∂HβLα≠␈↓ ε⎇␈∧∂Hε⎇α≠␈↓ 
4␈∧∂H
4α⊃
␈β∂Q␈↓ α'␈ε	q␈↓ βM␈ε	q␈↓ ε⎇␈ε	p␈↓ 
4␈ε	p
␈β∂\␈↓ βY␈εj␈↓ π
␈εi
␈β∂k␈↓ β
␈εi␈↓ β↔␈εε,␈↓ β≡␈εj␈↓ ∧<␈εi␈↓ ∧G␈εε,␈↓ ∧N␈εj
␈β⊂&␈↓ ∧[␈ε↓P
␈β⊂D␈↓ ↓H␈εβso␈α	w␈α␈e␈α
nee␈α␈d␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α	v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α	that␈↓ ¬"␈εβ(␈↓ ¬.␈ε	p␈↓ ¬N␈ε↔␈␈εβ␈αε1)(␈↓ ε≤␈ε	q␈↓ ε:␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α↓/␈α␈4␈ε↔␈α	⊃␈εβ␈α
(␈↓ π↑␈ε	p␈↓ πu␈ε↔␈␈εβ␈αε1)(␈↓ λC␈ε	q␈↓ λX␈ε↔␈␈εβ␈αε1)/4␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈α2).␈αBu␈α␈t
␈β⊂O␈↓ ¬=␈εi␈↓ ε(␈εj
␈β⊂T␈↓ ↓H␈ε↓P␈↓ ∧H␈ε↓P␈↓ ε≡␈ε↓P
␈β⊂W␈↓ ¬↓␈εi␈↓ ¬␈εε,␈↓ ¬∩␈εj
␈β⊂o␈↓ ∧<␈εα(␈↓ εε␈εα)(␈↓ π\␈εα)
␈β⊂r␈↓ α⊂␈εβ(␈↓ α≠␈ε	p␈↓ α:␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)(␈↓ βπ␈ε	q␈↓ β$␈ε↔␈␈εβ␈αε1)/␈α␈4␈α	=␈↓ ∧x␈εβ(␈↓ ¬β␈ε	p␈↓ ¬#␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/2␈↓ εP␈εβ(␈↓ ε\␈ε	q␈↓ εy␈ε↔␈␈εβ␈α¬1)/␈α␈2␈↓ πq␈εβi␈α↓s␈α	od␈α␈d␈α	i{␈α
an␈α	o␈α␈dd␈α	n␈α}um␈α}ber␈α	of␈α	the
␈β⊂⎇␈↓ α*␈εi␈↓ β∪␈εj␈↓ ¬∪␈εi␈↓ εh␈εj
␈β⊃¬␈↓ ↓n␈εi␈↓ ↓x␈εε,␈↓ ↓␈␈εj␈↓ ∧n␈εi␈↓ εD␈εj
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓h␈εβa␈α␈nd␈α¬a␈α␈n␈αεo␈α␈dd␈α¬n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α¬of␈αεth␈α␈e␈↓ ∧O␈ε	q␈↓ ∧l␈εβare␈ε↔␈α¬⊃␈εβ␈α
3␈α	(m␈α␈odu␈α␈lo␈α4),␈απa␈α␈nd␈α¬th␈α␈i␈α↓s␈α¬ho␈α␈l␈α↓d␈α␈s␈αεi{␈αε(␈↓ 	ε␈ε	p␈↓ 	↔␈ε↔␈␈εβ1)(␈↓ 	←␈ε	q␈↓ 	n␈ε↔␈␈εβ1)/4␈α¬is␈αεo␈α␈dd␈α␈.
␈β⊃)␈↓ ↓W␈εi␈↓ ∧[␈εj
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.5.4␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα589
␈βα&␈↓ 
␈␈εk
␈βα*␈↓ α␈εβ(b)␈αAs␈αin␈αex␈α}ercise␈α22␈α␈,␈αw␈α␈e␈αma␈α␈y␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈↓ ε}␈ε	n␈↓ π≠␈εβ=␈↓ πF␈ε	n␈↓ πk␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λ_␈ε	n␈↓ λB␈εβwhere␈αt␈α␈he␈↓ 	\␈ε	n␈↓ 
β␈εβ=␈α
1␈απ+␈↓ 
o␈εβ2␈↓ ⊗␈ε	q
␈βα.␈↓ ␈ε
i
␈βα5␈↓ πY␈εε1␈↓ λ+␈εr␈↓ 	o␈εi␈↓ "␈εi
␈βαI␈↓ 	W␈ε≠0
␈βαN␈↓ 	J␈εk␈↓ 	p␈ε~0
␈βαR␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αdistinc␈α␈t␈αprimes,␈αan␈α␈d␈↓ ∧1␈ε	k␈↓ ∧W␈ε↔∀␈↓ ¬β␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬5␈ε↔∀␈↓ ¬a␈ε	k␈↓ ¬|␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αlet␈↓ εu␈εβgc␈α␈d␈↓ π'␈εβ(␈↓ π2␈ε	n␈↓ πN␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈,␈↓ λ↔␈ε	n␈↓ λ=␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=␈↓ 	9␈εβ2␈↓ 	a␈ε	q␈↓ 
π␈εβa␈α␈nd␈αwe␈αcall
␈βαX␈↓ 	W␈ε
i
␈βα[␈↓ π↔␈ε↓Q
␈βα\␈↓ ∧@␈εε1␈↓ ¬p␈εr␈↓ λ*␈εi
␈βαa␈↓ 	p␈εi
␈βαu␈↓ λ#␈ε~0␈↓ λD␈εεmin␈↓ λn␈εε(␈↓ λv␈εk␈↓ 	
␈εε,␈↓ 	∀␈εk␈↓ 	!␈ε~␈␈εε1)
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓d␈ε⊂b␈α␈ad␈εβ␈αif␈αit␈αfalsely␈α
mak␈α}es␈↓ ∧1␈ε	n␈↓ ∧P␈εβlook␈α
p␈α␈ri␈α↓m␈α␈e.␈αL␈α↓e␈α␈t␈↓ ε<␈εβ¬␈↓ εl␈εβ=␈↓ λ∀␈ε	q␈↓ λ3␈εβ2␈↓ 	Z␈εβb␈α␈e␈αthe␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈βα⎇␈↓ 	α␈ε
i
␈ββ∧␈↓ εS␈εn
␈ββλ␈↓ λ#␈εi
␈ββ␈↓ π9␈εε1␈ε~␈α␈∀␈↓ π↑␈εi␈↓ πi␈ε~∀␈↓ λα␈εr
␈ββ≥␈↓ λ
␈εx
␈ββ$␈↓ β3␈εε(␈↓ β;␈εn␈↓ βK␈ε~␈␈εε1)/2
␈ββ(␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αso␈α␈l␈α↓u␈α␈tions␈αof␈↓ β!␈ε	x␈↓ ∧≥␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈.␈α
Th␈α␈e␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αb␈α␈ad␈↓ π∀␈ε	x␈↓ π1␈εβwith␈α(␈↓ λ ␈εβ)␈α
=␈α
1␈αis␈↓ 	≥␈εβ¬␈↓ 	D␈εβ,␈αtimes␈αan␈αe␈α␈xtra
␈ββ3␈↓ 	4␈εn
␈ββ6␈↓ λ␈∧β6λα⊃
␈ββ8␈↓ λ␈εn
␈ββE␈↓ λp␈εx
␈ββL␈↓ αT␈εε1␈↓ ¬S␈εε1
␈ββP␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ αp␈εβif␈↓ β⊂␈ε	k␈↓ β6␈εβ<␈↓ βb␈ε	k␈↓ βr␈εβ.␈α≠(This␈αfac␈α␈tor␈↓ ¬o␈εβis␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈αt␈α␈o␈αen␈α␈sure␈αtha␈α␈t␈α(␈↓ 	λ␈εβ)␈α=␈ε↔␈α
␈␈εβ␈α↓1␈αfor␈αa␈α␈n␈αev␈α}en
␈ββZ␈↓ β∨␈εε1
␈ββ↑␈↓ αT␈∧β↑αTα
␈↓ ¬S␈∧β↑¬Sα
␈↓ λj␈∧β↑λjα≠
␈ββ`␈↓ αT␈εε2␈↓ ¬S␈εε2␈↓ λj␈εn
␈ββh␈↓ λz␈ε
i
␈ββr␈↓ λ@␈εx
␈ββ|␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αthe␈↓ β!␈ε	n␈↓ βJ␈εβwith␈↓ ∧⊗␈ε	k␈↓ ∧9␈εβ<␈↓ ∧d␈ε	k␈↓ ∧t␈εβ.)␈α~The␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αbad␈↓ πG␈ε	x␈↓ πd␈εβwith␈α(␈↓ λS␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α
␈␈εβ1␈αis␈↓ 	r␈εβ¬␈↓ 
#␈εβi␈α↓f␈↓ 
C␈ε	k␈↓ 
h␈εβ=␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈β∧π␈↓ β4␈εi␈↓ ∧%␈εi␈↓ 
λ␈εn␈↓ 
R␈εε1
␈β∧␈↓ λ?␈∧∧λ?α⊃
␈β∧
␈↓ λ?␈εn
␈β∧→␈↓ πk␈εx␈↓ 
$␈εx
␈β∧ ␈↓ βK␈εε(␈↓ βS␈εn␈↓ βc␈ε~␈␈εε␈α↓1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β∧!␈↓ β
␈εα(
␈β∧$␈↓ ↓H␈εβo␈α␈ther␈α␈w␈α↓ise␈α
0.␈↓ β→␈εβIf␈↓ β9␈ε	x␈↓ ∧4␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1␈α	(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ ε≠␈ε	n␈↓ ε9␈εβ),␈αw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α}e␈α(␈↓ λβ␈εβ)␈α
=␈ε↔␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α
if␈↓ 	≡␈ε	k␈↓ 	@␈εβ=␈↓ 	k␈ε	k␈↓ 	{␈εβ,␈α(␈↓ 
<␈εβ)␈α	=␈α	+␈α↓1
␈β∧/␈↓ ε/␈εi␈↓ 	,␈εi
␈β∧2␈↓ πe␈∧∧2πeα≠␈↓ 
≡␈∧∧2
≡α≠
␈β∧4␈↓ πe␈εn␈↓ 
≡␈εn
␈β∧<␈↓ πu␈ε
i␈↓ 
.␈ε
i
␈β∧N␈↓  ␈εα)
␈β∧Q␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓b␈ε	k␈↓ α∧␈εβ>␈↓ α/␈ε	k␈↓ α?␈εβ,␈απan␈α␈d␈α¬a␈α¬con␈α}trad␈α␈i␈α↓c␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α¬i␈α↓f␈↓ ∧␈␈ε	k␈↓ ¬"␈εβ<␈↓ ¬L␈ε	k␈↓ ¬]␈εβ.␈α	If␈↓ ε␈ε	k␈↓ ε/␈εβ=␈↓ εZ␈ε	k␈↓ εj␈εβ,␈απthe␈α␈re␈αεa␈α␈re␈αεa␈α␈n␈α¬od␈α␈d␈α¬n␈α␈um␈α}ber␈α¬of␈↓ 	s␈ε	k␈↓ 
∩␈εβequ␈α␈al␈αεto␈↓ π␈ε	k␈↓ ↔␈εβ.
␈β∧[␈↓ ↓p␈εi␈↓ ¬∞␈εi␈↓ ε→␈εε1␈↓ 
α␈εi
␈β∧v␈↓ π!␈εε1
␈β∧y␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∂The␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈αof␈α
a␈αba␈α␈d␈α
g␈α␈uess␈αi␈α↓s␈α>␈↓ π>␈εβo␈α␈nly␈αi␈α↓f␈↓ λ+␈ε	n␈↓ λK␈εβi␈α↓s␈αa␈α
Car␈α␈micha␈α␈el␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r
␈β¬π␈↓ π!␈∧¬ππ!α
␈β¬	␈↓ π!␈εε4
␈β¬!␈↓ ↓H␈εβwith␈↓ α⊃␈ε	k␈↓ α5␈εβ<␈↓ α←␈ε	k␈↓ αp␈εβ;␈α	for␈αλex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈↓ ∧>␈ε	n␈↓ ∧[␈εβ=␈α	7␈ε↔␈α∧↓␈εβ␈α∧1␈α␈3␈ε↔␈α∧↓␈εβ␈α∧1␈α␈9␈α	=␈α
1␈α␈729␈α␈,␈α	a␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αλma␈α␈de␈αλfam␈α␈ous␈αλb␈α␈y␈αλRam␈α␈an␈α␈u␈α␈jan
␈β¬+␈↓ α∨␈εr
␈β¬H␈↓ ↓H␈εβin␈α∞an␈α␈oth␈α␈er␈α∂co␈α␈n␈α␈tex␈α␈t.␈α⊗I␈α↓t␈α∞i␈α↓s␈α∞in␈α␈terest␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α∂to␈α∞co␈α␈mpa␈α␈re␈α∂th␈α␈e␈α∂p␈α␈roced␈α␈ure␈α∞of␈α∂th␈α␈is␈α∂ex␈α}ercise␈α∂with
␈β¬p␈↓ ↓H␈εβAlgo␈α␈rithm␈αP␈↓ α{␈εβ;␈αLouis␈αM␈α␈on␈α␈i␈α↓er␈α
has␈α
sho␈α␈wn␈α
tha␈α␈t␈αev␈α␈e␈α␈ry␈↓ π≤␈ε	x␈↓ π8␈εβtha␈α␈t␈αis␈αba␈α␈d␈αfor␈αAlg␈α␈orithm␈α
P␈αis␈αalso
␈βε_␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ad␈αfo␈α␈r␈αth␈α␈e␈αSo␈α␈l␈α↓o␈α}va␈α␈y-St␈α␈rassen␈αte␈α␈st,␈αth␈α␈erefore␈αAlgo␈α␈rithm␈αP␈αis␈αalway␈α␈s␈αbette␈α␈r.␈αHe␈αh␈α␈as␈αalso
␈βε?␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xten␈α␈de␈α␈d␈αt␈α␈he␈α
abo␈α}v␈α␈e␈α
an␈α␈alyse␈α␈s␈αto␈α
ob␈α␈tain␈α
the␈α
follo␈α␈wing␈α
close␈α␈d␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αfor␈α
the␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈αo␈α␈f
␈βεg␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ad␈↓ αλ␈ε	x␈↓ α%␈εβin␈αg␈α␈ene␈α␈ral:
␈βπα␈↓ ππ␈ε↓Y
␈βπ␈↓ ¬∧␈ε↓∩␈↓ εX␈ε↓∪
␈βπ
␈↓ ¬o␈εr␈↓ ¬|␈εk
␈βπ⊃␈↓ ¬←␈εβ2␈↓ ε~␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βπ∃␈↓ ελ␈επ1
␈βπ!␈↓ π]␈ε~0
␈βπ'␈↓ ∧4␈ε	b␈↓ ∧Z␈εβ=␈↓ ¬~␈εβ1␈απ+␈↓ πN␈ε	q␈↓ πh␈εβ;
␈βπ2␈↓ ∧@␈εn
␈βπ5␈↓ ¬←␈∧π5¬←αv
␈βπ6␈↓ π]␈εi
␈βπ<␈↓ ¬{␈εr
␈βπ?␈↓ ¬j␈εβ2␈↓ ε∂␈ε↔␈␈εβ␈απ1
␈βπX␈↓ εs␈εε1␈ε~∀␈↓ π→␈εi␈↓ π$␈ε~∀␈↓ π=␈εr
␈βπ⎇␈↓ ¬:␈ε↓Y
␈βλε␈↓ ε9␈ε↓∩␈↓ λ"␈ε↓∪
␈βλ␈↓ εS␈ε	n␈↓ εn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1
␈βλ≤␈↓ ∧@␈ε~0
␈βλ"␈↓ ∧3␈ε	b␈↓ ∧Z␈εβ=␈↓ ¬∧␈ε	∞␈↓ εα␈εβg␈α␈cd␈↓ π+␈εβ,␈↓ πC␈ε	n␈↓ πh␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ λ8␈εβ.
␈βλ-␈↓ ¬⊂␈εn␈↓ πV␈εi
␈βλ0␈↓ εS␈∧λ0εSαU
␈βλ1␈↓ ∧@␈εn
␈βλ:␈↓ εu␈εβ2
␈βλS␈↓ ¬&␈εε1␈ε~∀␈↓ ¬L␈εi␈↓ ¬W␈ε~∀␈↓ ¬p␈εr
␈β	↔␈↓ α$␈ε~0
␈β	_␈↓ 
q␈εε1
␈β	≤␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α⊗␈ε	b␈↓ α@␈εβis␈αthe␈αn␈α}um␈α}ber␈αo␈α␈f␈α
b␈α␈ad␈↓ ∧␈␈ε	x␈↓ ¬≥␈εβin␈αth␈α␈is␈αex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α␈,␈α
an␈α␈d␈↓ πN␈ε	∞␈↓ πv␈εβis␈αeither␈α2␈α(i␈α↓f␈↓ 	@␈ε	k␈↓ 	f␈εβ=␈↓ 
∩␈ε	k␈↓ 
#␈εβ),␈αor␈↓ 
␈εβ(if
␈β	&␈↓ πZ␈εn␈↓ 	O␈εε1
␈β	*␈↓ 
q␈∧	*
qα
␈β	+␈↓ α$␈εn
␈β	,␈↓ 
q␈εε2
␈β	C␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓j␈εβ<␈↓ α∃␈ε	k␈↓ α0␈εβan␈α␈d␈↓ αq␈ε	e␈↓ β∪␈εβis␈αod␈α␈d␈αfo␈α␈r␈αs␈α␈ome␈↓ ∧|␈ε	i␈↓ ¬	␈εβ),␈αor␈α1␈α
(␈α↓o␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se␈α␈)␈α↓.
␈β	N␈↓ ↓V␈εi␈↓ α⎇␈εi
␈β	y␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	M␈↓ β␈εβbe␈αa␈αm␈α␈atrix␈αha␈α␈ving␈αo␈α␈ne␈αro␈α␈w␈αfor␈αeac␈α␈h␈αno␈α␈np␈α␈ri␈α↓m␈α␈e␈α
o␈α␈dd␈αn␈α}um␈α}ber␈αin␈αthe␈αra␈α␈nge
␈β
∧␈↓ αg␈εε1
␈β
!␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈α∞∀␈↓ α↔␈ε	n␈↓ α:␈ε↔∀␈↓ αj␈ε	N␈↓ β↔␈εβan␈α␈d␈α∞ha␈α␈ving␈↓ ∧L␈ε	N␈↓ ∧t␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞colu␈α␈mns␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈ered␈α∞fro␈α␈m␈α∂2␈α∞to␈↓ λ}␈ε	N␈↓ 	≤␈εβ;␈α⊃th␈α␈e␈α∞en␈α␈try␈α∞in␈α∞ro␈α}w
␈β
I␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓k␈εβco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈↓ αd␈ε	x␈↓ β∧␈εβi␈α↓s␈α∂1␈α∂if␈↓ βm␈ε	n␈↓ ∧⊃␈εβp␈α␈asses␈α∂th␈α␈e␈↓ ¬6␈ε	x␈↓ ¬W␈εβtest␈α∂of␈α∂Algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∂P␈↓ π␈␈εβ,␈α⊂oth␈α␈erwise␈α∂i␈α↓t␈α∂is␈α∂zero␈α␈.␈α_W␈α↓h␈α␈en
␈β
m␈↓ 	∂␈εε1␈↓ 
$␈εα(␈↓ 
4␈εε1␈↓ 
v␈εα)
␈β
p␈↓ ↓H␈ε	N␈↓ ↓p␈εβ=␈↓ α~␈ε	q␈↓ α)␈ε	n␈↓ αB␈εβ+␈↓ αh␈ε	r␈↓ β␈εβan␈α␈d␈α	0␈ε↔␈α	∀␈↓ ∧∧␈ε	r␈↓ ∧≠␈εβ<␈↓ ∧F␈ε	n␈↓ ∧Z␈εβ,␈α
w␈α␈e␈α	kn␈α␈o␈α␈w␈α	tha␈α␈t␈α
r␈α␈o␈α␈w␈↓ εw␈ε	n␈↓ π∀␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α	at␈α	most␈↓ 	∨␈ε	q␈↓ 	.␈ε	n␈↓ 	G␈εβ+␈↓ 	m␈εβmin␈↓ 
D␈ε	n␈↓ 
X␈εβ,␈↓ 
g␈ε	r␈↓ ␈εβ=
␈β
}␈↓ 	∂␈∧
}	∂α
␈↓ 
4␈∧
}
4α
␈β␈↓ 	∂␈εε4␈↓ 
4␈εε4
␈β∀␈↓ ↓K␈εε1␈↓ αr␈εε1␈↓ βJ␈εε1␈↓ β|␈εε3␈↓ ∧←␈εε1␈↓ ¬H␈εε3␈↓ ε+␈εε1
␈β∃␈↓ αb␈εα(␈↓ ∧≠␈εα)
␈β_␈↓ ↓\␈ε	N␈↓ αα␈εβ+␈↓ α+␈εβmin␈↓ βα␈ε	n␈↓ β≡␈ε↔␈␈↓ β[␈ε	r␈↓ βi␈εβ,␈↓ ∧␈ε	r␈↓ ∧0␈ε↔∀␈↓ ∧o␈ε	N␈↓ ¬∃␈εβ+␈↓ ¬←␈ε	n␈↓ ¬|␈εβ<␈↓ ε;␈ε	N␈↓ εe␈εβen␈α␈tr␈α␈i␈α↓es␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈α0␈α␈,␈αso␈αa␈α␈t␈αlea␈α␈st␈αhalf␈αof␈αthe
␈β&␈↓ ↓K␈∧&↓Kα
␈↓ αr␈∧&αrα
␈↓ βJ␈∧&βJα
␈↓ β|␈∧&β|α
␈↓ ∧←␈∧&∧←α
␈↓ ¬B␈∧&¬Bα~␈↓ ε+␈∧&ε+α
␈β(␈↓ ↓K␈εε4␈↓ αr␈εε4␈↓ βJ␈εε4␈↓ β|␈εε4␈↓ ∧←␈εε4␈↓ ¬B␈εε1␈α␈6␈↓ ε+␈εε2
␈β?␈↓ ↓H␈εβe␈α␈n␈α␈tries␈αin␈αth␈α␈e␈αmatrix␈α
are␈α1.␈αTh␈α␈u␈α␈s,␈αsome␈αco␈α␈lumn␈↓ π↓␈ε	x␈↓ π(␈εβof␈↓ πO␈ε	M␈↓ λ∧␈εβh␈α␈as␈αat␈αlea␈α␈st␈αhalf␈αof␈αits␈αen␈α␈t␈α␈ri␈α↓e␈α␈s
␈βJ␈↓ π⊃␈εε1␈↓ πl␈εε1
␈βg␈↓ ↓H␈εβe␈α␈qua␈α␈l␈αt␈α␈o␈α1.␈αRemo␈α}ving␈α
colum␈α␈n␈↓ ∧}␈ε	x␈↓ ¬%␈εβan␈α␈d␈αa␈α␈l␈α↓l␈αro␈α}w␈α↓s␈αin␈α
which␈α
this␈αcolu␈α␈mn␈αc␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α1␈αlea␈α␈v␈α␈es␈αa
␈βr␈↓ ¬
␈εε1
␈β∂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈↓ α5␈ε	M␈↓ αi␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αsimilar␈αp␈α␈rop␈α␈erties;␈αa␈αrep␈α␈etition␈α
of␈αth␈α␈i␈α↓s␈α
con␈α␈structio␈α␈n␈αp␈α␈rod␈α␈uces␈α
matrix
␈β→␈↓ αQ␈εε2
␈β2␈↓ εM␈εr
␈β3␈↓ 	>␈εε1
␈β6␈↓ ↓H␈ε	M␈↓ ↓{␈εβwith␈↓ αF␈ε	N␈↓ αl␈ε↔␈␈↓ β∀␈ε	r␈↓ β-␈εβcolu␈α␈mns␈α
an␈α␈d␈α
few␈α␈er␈αth␈α␈an␈↓ ε∪␈ε	N␈↓ ε,␈εβ/␈↓ ε<␈εβ2␈↓ εd␈εβro␈α}w␈α↓s␈α␈,␈αand␈α
with␈α
at␈α
least␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Y␈ε	N␈↓ 	␈␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈α
en␈α␈t␈α␈ri␈α↓e␈α␈s
␈βA␈↓ ↓d␈εr
␈βD␈↓ 	>␈∧D	>α
␈βF␈↓ 	>␈εε2
␈β↑␈↓ ↓H␈εβp␈α␈er␈αro␈α␈w␈αeq␈α␈ua␈α␈l␈αto␈α
1.␈α~[Cf.␈ε⊂␈αP␈α↓r␈α␈oc.␈αIE␈α↓EE␈αSy␈α␈mp␈α␈.␈αFou␈α␈nd␈α␈ation␈α␈s␈αof␈αCo␈α␈mp.␈αSc␈α␈i␈α↓.␈ε∪␈α19␈εβ␈α
(197␈α␈8),␈α7␈α␈8.]
␈β
β␈↓ α␈εα(
␈β
ε␈↓ α_␈εβA␈αsi␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈α
imp␈α␈l␈α↓ies␈αth␈α␈e␈αexisten␈α␈ce␈αof␈αa␈ε⊂␈αsing␈α␈l␈α↓e␈εβ␈αin|␈α␈nite␈αseq␈α␈uen␈α␈ce␈↓ 	↑␈ε	x␈↓ 
¬␈εβ<␈↓ 
2␈ε	x␈↓ 
Y␈εβ<␈↓ ε␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓
␈β
⊃␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
A␈εε2
␈β
.␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈ch␈αλth␈α␈at␈αλth␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ ∧α␈ε	n␈↓ ∧∨␈εβ>␈α	1␈αλis␈α	p␈α␈rime␈αλif␈α	a␈α␈nd␈απonly␈απi␈α↓f␈αλit␈αλpa␈α␈sses␈αλthe␈↓ λP␈ε	x␈↓ λi␈εβtest␈αλof␈αλAlgorith␈α␈m␈αλP␈α	fo␈α␈r
␈β
R␈↓ ¬2␈εε1
␈β
S␈↓ ε⊂␈εα(␈↓ π*␈εα)
␈β
V␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓b␈εβ=␈↓ α
␈ε	x␈↓ α)␈εβ,␈↓ α=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ αi␈εβ,␈↓ α}␈ε	x␈↓ β_␈εβ=␈↓ βC␈ε	x␈↓ βi␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ∧↑␈ε	m␈↓ ¬∧␈εβ=␈↓ ¬C␈ε↔b␈↓ ¬P␈εβlg␈↓ ¬o␈ε	n␈↓ εβ␈ε↔c␈↓ ε≤␈ε↔b␈↓ ε)␈εβlg␈↓ εH␈ε	n␈↓ ε]␈ε↔c␈απ␈␈εβ␈απ1␈↓ π6␈εβ.␈αIs␈αth␈α␈ere␈αa␈α
sequ␈α␈en␈α␈ce␈↓ 	f␈ε	x␈↓ 
␈εβ<␈↓ 
6␈ε	x␈↓ 
[␈εβ<␈↓ ε␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓
␈β
`␈↓ α≤␈εε1␈↓ βR␈εm␈↓ 	u␈εε1␈↓ 
E␈εε2
␈β
d␈↓ ¬2␈∧
d¬2α
␈β
f␈↓ ¬2␈εε2
␈β
z␈↓ εX␈εα)
␈β
⎇␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αth␈α␈is␈αp␈α␈rop␈α␈erty␈α
bu␈α␈t␈αw␈α↓ith␈↓ ¬π␈ε	m␈↓ ¬.␈εβ=␈↓ ¬X␈ε	O␈↓ ¬q␈εβ(␈↓ ¬|␈εβlog␈↓ ε,␈ε	n␈↓ ε@␈εβ)?
␈β∞3␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβNote␈α
th␈α␈at␈↓ β%␈ε	x␈↓ β<␈εβm␈α␈od␈↓ ∧␈ε	y␈↓ ∧≤␈εβ=␈↓ ∧F␈ε	x␈↓ ∧←␈ε↔␈␈↓ ¬π␈ε	y␈↓ ¬∨␈ε↔b␈↓ ¬,␈ε	x␈↓ ¬=␈εβ/␈↓ ¬N␈ε	y␈↓ ¬`␈ε↔c␈εβ␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αc␈α␈omp␈α␈uted␈α
ea␈α␈sil␈α↓y␈α
on␈α
su␈α␈ch␈α
a␈αm␈α␈ach␈α␈ine,␈αa␈α␈nd
␈β∞[␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αget␈αsimp␈α␈l␈α↓e␈αc␈α␈onst␈α␈an␈α␈ts␈αlik␈α␈e␈α0␈α	=␈↓ ¬l␈ε	x␈↓ ε¬␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	x␈↓ ε?␈εβ,␈α1␈α	=␈ε↔␈α
b␈↓ π&␈ε	x␈↓ π7␈εβ/␈↓ πH␈ε	x␈↓ πY␈ε↔c␈εβ,␈α2␈α	=␈α
1␈απ+␈αλ1;␈αwe␈αca␈α␈n␈αtest␈↓ 
V␈ε	x␈↓ 
q␈εβ>␈α
0
␈β∂β␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αte␈α␈sti␈α↓n␈α␈g␈αwh␈α␈ethe␈α␈r␈↓ βe␈ε	x␈↓ β␈␈εβ=␈α
1␈α
or␈ε↔␈αb␈↓ ∧{␈ε	x␈↓ ¬␈εβ/(␈↓ ¬(␈ε	x␈↓ ¬A␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈ε↔c␈α
≤␈εβ␈α	0.
␈β∂+␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃First␈α
comp␈α␈ute␈↓ ∧≠␈ε	l␈↓ ∧-␈εβ=␈ε↔␈α
b␈↓ ∧e␈εβlg␈↓ ¬∧␈ε	n␈↓ ¬_␈ε↔c␈εβ␈αin␈↓ ¬V␈ε	O␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε)␈ε	n␈↓ ε=␈εβ)␈αstep␈α␈s,␈αby␈α
re␈α␈pea␈α␈tedly␈α
d␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
b␈α␈y␈α
2;␈αat␈α
the
␈β∂J␈↓ ¬k␈ε
l␈↓ ¬s␈επ+␈α␈1
␈β∂O␈↓ ∧8␈εl␈↓ ¬←␈εε2
␈β∂S␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈απtime␈αλc␈α␈omp␈α␈ute␈↓ βc␈ε	k␈↓ β⎇␈εβ=␈↓ ∧'␈εβ2␈↓ ∧G␈εβan␈α␈d␈↓ ¬∧␈ε	A␈↓ ¬#␈ε↔ ␈↓ ¬N␈εβ2␈↓ ε≤␈εβin␈↓ ε?␈ε	O␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ π∪␈ε	n␈↓ π'␈εβ)␈απstep␈α␈s␈αλb␈α␈y␈απrepe␈α␈ated␈α␈l␈α↓y␈απs␈α␈etting␈↓ 
>␈ε	k␈↓ 
X␈ε↔ ␈εβ␈α	2␈↓ ∪␈ε	k␈↓ #␈εβ,
␈β∂v␈↓ α.␈εε2␈↓ 	!␈εm␈↓ ␈εm
␈β∂z␈↓ ↓H␈ε	A␈↓ ↓j␈ε↔ ␈↓ α↔␈ε	A␈↓ α:␈εβ.␈α⊃Fo␈α␈r␈α
the␈αmain␈αcom␈α␈pu␈α␈tation␈α␈,␈α∞su␈α␈pp␈α␈ose␈αwe␈αkn␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ λF␈ε	t␈↓ λ↑␈εβ=␈↓ 	␈ε	A␈↓ 	8␈εβ,␈↓ 	O␈ε	u␈↓ 	o␈εβ=␈α(␈↓ 
(␈ε	A␈↓ 
F␈εβ+␈α	1␈↓ ↓␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β⊂"␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ αλ␈ε	v␈↓ α"␈εβ=␈↓ αM␈ε	m␈↓ αj␈εβ!;␈αthe␈α␈n␈α
w␈α␈e␈αc␈α␈an␈α
inc␈α␈rease␈α
th␈α␈e␈αv␈α␈alu␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ εs␈ε	m␈↓ π~␈εβby␈α
1␈α
b␈α␈y␈α
setting␈↓ 	↓␈ε	m␈↓ 	'␈ε↔ ␈↓ 	R␈ε	m␈↓ 	u␈εβ+␈απ1,␈↓ 
A␈ε	t␈↓ 
W␈ε↔ ␈↓ ↓␈ε	A␈↓ ↔␈ε	t␈↓ #␈εβ,
␈β⊂J␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓k␈ε↔ ␈εβ␈α⊃(␈↓ α(␈ε	A␈↓ αH␈εβ+␈α
1)␈↓ β∂␈ε	u␈↓ β#␈εβ,␈↓ β<␈ε	v␈↓ β]␈ε↔ ␈↓ ∧∞␈ε	v␈↓ ∧ ␈ε	m␈↓ ∧=␈εβ;␈α⊃an␈α␈d␈α∂w␈α␈e␈α∂ca␈α␈n␈ε⊂␈α∂d␈α␈ou␈α␈ble␈εβ␈α∂th␈α␈e␈α∂va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈α∂of␈↓ λF␈ε	m␈↓ λr␈εβby␈α∞settin␈α␈g␈↓ 
↔␈ε	m␈↓ 
D␈ε↔ ␈εβ␈α⊂2␈↓ ε␈ε	m␈↓ #␈εβ,
␈β⊂m␈↓ α&␈εε2␈↓ ∧c␈εε2␈↓ ¬S␈εε2
␈β⊂n␈↓ β∂␈εα(␈↓ ∧F␈εα)␈↓ 
∨␈εα(
␈β⊂q␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓f␈ε↔ ␈↓ α∩␈ε	u␈↓ α3␈εβ,␈↓ αH␈ε	v␈↓ αd␈ε↔ ␈↓ β≠␈ε↔b␈↓ β(␈ε	u␈↓ β<␈εβ/␈↓ βM␈ε	t␈↓ βY␈ε↔c␈↓ βk␈εβmod␈↓ ∧0␈ε	A␈↓ ∧R␈ε	v␈↓ ∧p␈εβ,␈↓ ¬¬␈ε	t␈↓ ¬≤␈ε↔ ␈↓ ¬G␈ε	t␈↓ ¬`␈εβ,␈αpro␈α}vide␈α␈d␈αth␈α␈at␈↓ πI␈ε	A␈↓ πk␈εβis␈αsu␈α␈}cien␈α}tly␈αlarg␈α␈e.␈↓ 
+␈εβCo␈α␈nside␈α␈r
␈β⊂w␈↓ λε␈ε↓␈␈↓ λ8␈ε↓↓
␈β⊃⊃␈↓ λ∀␈εε2␈↓ λ!␈εm
␈β⊃⊗␈↓ λO␈εα)
␈β⊃→␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈↓ αt␈ε	u␈↓ β⊂␈εβin␈αλra␈α␈dix-␈↓ ∧␈ε	A␈↓ ∧)␈εβno␈α␈tation␈α␈;␈↓ ¬6␈ε	A␈↓ ¬T␈εβm␈α␈u␈α␈st␈α	b␈α␈e␈αλgre␈α␈ater␈αλtha␈α␈n␈↓ λF␈εβ.␈↓ λm␈εβNo␈α}w␈α	if␈↓ 	S␈ε	n␈↓ 	q␈εβ=␈α	(␈↓ 
&␈ε	a␈↓ 
C␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
o␈ε	a␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β⊃#␈↓ 
6␈εl␈↓ 
␈␈εε0␈↓ ↔␈εε2
␈β⊃)␈↓ λ~␈εm
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα590␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.5.4
␈βα&␈↓ ε∀␈εj
␈βα*␈↓ ↓H␈εβlet␈↓ ↓w␈ε	n␈↓ α∨␈εβ=␈α
(␈↓ αU␈ε	a␈↓ αr␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β≡␈ε	a␈↓ β:␈εβ)␈↓ βR␈εβ;␈α
i␈α↓f␈↓ ∧∧␈ε	m␈↓ ∧+␈εβ=␈↓ ∧U␈ε	n␈↓ ∧␈␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬?␈ε	k␈↓ ¬X␈εβ=␈↓ εβ␈εβ2␈↓ ε*␈εβan␈α␈d␈↓ εj␈ε	j␈↓ πα␈εβ>␈α
0␈α
w␈α␈e␈α
can␈α
d␈α␈ecre␈α␈ase␈↓ 	7␈ε	j␈↓ 	Q␈εβb␈α␈y␈α
1␈α
b␈α␈y␈α
setting
␈βα5␈↓ α
␈εj␈↓ αe␈εl␈↓ β.␈εj␈↓ βE␈εε2␈↓ ∧h␈εj
␈βαO␈↓ ∧∞␈εα(␈↓ ¬D␈εα)
␈βαR␈↓ ↓H␈ε	k␈↓ ↓a␈ε↔ ␈α
b␈↓ α→␈ε	k␈↓ α)␈εβ/2␈ε↔␈α␈c␈εβ,␈↓ αi␈ε	m␈↓ β∂␈ε↔ ␈εβ␈α
2␈↓ βK␈ε	m␈↓ βj␈εβ+␈↓ ∧~␈ε↔b␈↓ ∧'␈ε	n␈↓ ∧;␈εβ/␈↓ ∧L␈ε	k␈↓ ∧\␈ε↔c␈↓ ∧o␈εβm␈α␈od␈↓ ¬3␈εβ2␈↓ ¬P␈εβ.␈α
Hen␈α␈ce␈απw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈απcom␈α␈pu␈α␈te␈↓ λ,␈ε	n␈↓ λK␈εβ!␈απf␈α↓o␈α␈r␈↓ 	␈ε	j␈↓ 	$␈εβ=␈↓ 	N␈ε	l␈↓ 	X␈εβ,␈↓ 	i␈ε	l␈↓ 	u␈ε↔␈␈εβ␈αβ1␈α␈,␈↓ 
;␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
g␈εβ,␈α	0␈απin
␈βαX␈↓ 
r␈ε↓␈␈↓ ⊃␈ε↓↓
␈βα\␈↓ λ?␈εj
␈βαr␈↓ ␈εB
␈βαu␈↓ 
Q␈εn
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈εβlog␈↓ α≠␈ε	n␈↓ α/␈εβ)␈α
step␈α␈s.␈α↔[␈α↓An␈α␈oth␈α␈er␈α
solutio␈α␈n,␈αd␈α␈ue␈α
to␈α	Ju␈α␈l␈α↓ia␈α
Ro␈α␈binso␈α␈n,␈α
i␈α↓s␈α
to␈α
c␈α␈omp␈α␈ute␈↓ 	]␈ε	n␈↓ 	q␈εβ!␈α	=␈ε↔␈α
b␈↓ 
;␈ε	B␈↓ 
a␈εβ/␈↓ ∨␈ε↔c
␈ββ
␈↓ ↓␈εn
␈ββ≥␈↓ β$␈εn␈↓ β4␈εε+1
␈ββ!␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	B␈↓ α>␈εβ>␈α
(2␈↓ β∧␈ε	n␈↓ β_␈εβ)␈↓ βZ␈εβ;␈αcf.␈ε⊂␈αAMM␈ε∪␈α8␈α␈0␈εβ␈α(19␈α␈73),␈α25␈α␈0-25␈α␈1,␈α266␈α␈.␈α↓]
␈ββ@␈↓ ¬#␈ε
l␈↓ ¬*␈επ+2
␈ββD␈↓ ¬⊗␈εε2
␈ββI␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂F␈α↓irst␈α⊂comp␈α␈ute␈↓ ∧)␈ε	A␈↓ ∧R␈εβ=␈↓ ¬ε␈εβ2␈↓ ¬]␈εβas␈α⊂in␈α⊃(a␈α␈)␈α↓,␈α∩th␈α␈en␈α⊂|n␈α␈d␈α⊃t␈α␈he␈α⊂l␈α↓ea␈α␈st␈↓ 	&␈ε	k␈↓ 	I␈ε↔∃␈εβ␈α∪0␈α⊂su␈α␈ch␈α⊂tha␈α␈t
␈ββl␈↓ ↓X␈εk␈↓ ↓e␈εε+␈α↓1␈↓ ∧x␈εk
␈ββp␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ α␈εβ!␈↓ α~␈εβmo␈α␈d␈↓ α←␈ε	n␈↓ βα␈εβ=␈α⊂0␈α␈.␈α↔If␈↓ ∧λ␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧E␈ε	n␈↓ ∧Y␈εβ,␈↓ ∧g␈εβ2␈↓ ¬¬␈εβ!␈α↓)␈ε↔␈α∂≤␈εβ␈α⊂1␈α␈,␈α⊂l␈α↓e␈α␈t␈↓ ε7␈ε	f␈↓ εG␈εβ(␈↓ εR␈ε	n␈↓ εf␈εβ)␈α∂b␈α␈e␈α∂th␈α␈i␈α↓s␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈e;␈α⊃n␈α␈ote␈α∂t␈α␈hat␈α∞this␈α∂g␈α␈cd␈α∞can
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αco␈α␈mpu␈α␈ted␈αi␈α↓n␈↓ β7␈ε	O␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈εβlog␈↓ ∧
␈ε	n␈↓ ∧≡␈εβ)␈αsteps␈αby␈αE␈α↓u␈α␈clid's␈αalgo␈α␈rithm.␈α
Otherwise␈αw␈α␈e␈αw␈α↓ill␈α|n␈α␈d␈αth␈α␈e␈αleas␈α␈t
␈β∧≡␈↓ βw␈ε↓␈␈↓ ∧I␈ε↓↓
␈β∧8␈↓ ∧≤␈εm
␈β∧<␈↓ 	'␈εα(
␈β∧?␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈↓ α7␈ε	m␈↓ αa␈εβsu␈α␈ch␈αth␈α␈at␈↓ ∧]␈εβmo␈α␈d␈↓ ¬!␈ε	n␈↓ ¬A␈εβ=␈α0,␈α
an␈α␈d␈αlet␈↓ ππ␈ε	f␈↓ π↔␈εβ(␈↓ π"␈ε	n␈↓ π6␈εβ)␈α=␈↓ πy␈εβgcd␈↓ λ+␈εβ(␈↓ λ6␈ε	m␈↓ λT␈εβ,␈↓ λc␈ε	n␈↓ λw␈εβ).␈↓ 	3␈εβN␈α␈ote␈αtha␈α␈t␈α
in␈αth␈α␈is
␈β∧P␈↓ ∧¬␈ε~b␈↓ ∧∂␈εm␈↓ ∧&␈εε/2␈ε~␈α␈c
␈β∧h␈↓ α∨␈εk␈↓ βA␈εk␈↓ βN␈εε+␈α↓1␈↓ εα␈εk
␈β∧l␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase␈↓ α∞␈εβ2␈↓ α5␈εβ<␈↓ α`␈ε	m␈↓ βε␈ε↔∀␈↓ β1␈εβ2␈↓ βt␈εβ,␈αh␈α␈en␈α␈ce␈ε↔␈αd␈↓ ∧r␈ε	m␈↓ ¬∂␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈α
∀␈↓ ¬q␈εβ2␈↓ ε~␈εβan␈α␈d␈ε↔␈αd␈↓ εh␈ε	m␈↓ π¬␈εβ/2␈ε↔␈α␈e␈εβ!␈αis␈αre␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αp␈α␈rime␈αto␈↓ 
β␈ε	n␈↓ 
↔␈εβ;␈αth␈α␈erefore
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α~␈ε↓↓
␈β¬␈↓ ↓l␈εm
␈β¬⊂␈↓ λ↓␈εα)
␈β¬∪␈↓ α-␈εβmod␈↓ αr␈ε	n␈↓ β∂␈εβ=␈α
0␈α
i␈α↓{␈↓ β}␈ε	m␈↓ ∧≠␈εβ!␈↓ ∧*␈εβmo␈α␈d␈↓ ∧o␈ε	n␈↓ ¬␈εβ=␈α	0.␈αF␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈↓ π∨␈ε	n␈↓ π=␈ε↔≤␈εβ␈α	4.
␈β¬#␈↓ ↓V␈ε~b␈↓ ↓←␈εm␈↓ ↓w␈εε/␈α␈2␈ε~c
␈β¬;␈↓ α␈εβTo␈α	com␈α␈pu␈α␈te␈↓ βC␈ε	m␈↓ βj␈εβwith␈α	a␈α	bo␈α␈un␈α␈ded␈αλn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α	of␈α	reg␈α␈i␈α↓ste␈α␈rs,␈α
w␈α␈e␈α	can␈α	u␈α␈se␈α	F␈α↓ib␈α␈on␈α␈acci␈α	n␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈α␈s
␈β¬↑␈↓ πq␈ε~0␈↓ 	[␈εF␈↓ 
⊗␈ε~0␈↓ 
g␈εF
␈β¬b␈↓ ↓H␈εβ(cf.␈αAlgorith␈α␈m␈α6.2.1F␈↓ β{␈εβ).␈αS␈α␈up␈α␈pose␈αw␈α␈e␈αk␈α␈no␈α}w␈αth␈α␈at␈↓ εn␈ε	s␈↓ π¬␈εβ=␈↓ π0␈ε	F␈↓ πO␈εβ,␈↓ πc␈ε	s␈↓ λ↓␈εβ=␈↓ λ,␈ε	F␈↓ λp␈εβ,␈↓ 	∧␈ε	t␈↓ 	~␈εβ=␈↓ 	E␈ε	A␈↓ 	v␈εβ,␈↓ 

␈ε	t␈↓ 
&␈εβ=␈↓ 
Q␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈β¬e␈↓ 	j␈ε
j␈↓ 
v␈ε
j␈↓ ↓␈επ+1
␈β¬h␈↓ λw␈ε↓␈␈↓ 	)␈ε↓↓
␈β¬m␈↓ πC␈εj␈↓ λ>␈εj␈↓ λJ␈εε+1
␈βεα␈↓ 	¬␈εε2␈↓ 	⊃␈εm
␈βε¬␈↓ βε␈εε2␈↓ β∪␈εF␈↓ ¬	␈εε2␈↓ ¬∃␈εF
␈βεε␈↓ βX␈ε~0␈↓ εK␈εm␈↓ λ<␈εε2␈↓ λI␈εm
␈βε
␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓h␈εβ=␈α
(␈↓ α!␈ε	A␈↓ α@␈εβ+␈α	1␈↓ α{␈εβ)␈↓ β-␈εβ,␈↓ βD␈ε	u␈↓ βk␈εβ=␈α
(␈↓ ∧$␈ε	A␈↓ ∧C␈εβ+␈α	1␈↓ ∧}␈εβ)␈↓ ¬R␈εβ,␈↓ ¬i␈ε	v␈↓ επ␈εβ=␈↓ ε5␈ε	A␈↓ εb␈εβ,␈↓ εy␈ε	w␈↓ π≡␈εβ=␈α
(␈↓ πW␈ε	A␈↓ πv␈εβ+␈α	1␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ`␈εβ,␈↓ 	<␈εβmod␈↓ 
↓␈ε	n␈↓ 
!␈ε↔≤␈εβ␈α
0,␈α∞a␈α␈nd
␈βε
␈↓ β"␈ε
j␈↓ ¬%␈ε
j␈↓ ¬0␈επ+1
␈βε→␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α/␈ε↓↓
␈βε~␈↓ 	␈εm
␈βε2␈↓ ↓V␈εε2␈α␈(␈↓ ↓k␈εm␈↓ αα␈εε+␈↓ α≠␈εs␈↓ α&␈εε)
␈βε:␈↓ αL␈εβ=␈α∂0.␈α⊗It␈α∞is␈α∂ea␈α␈sy␈α∞to␈α∂re␈α␈ach␈α∞th␈α␈i␈α↓s␈α∞state␈α∞of␈α∞a{airs␈α∂with␈↓ λG␈ε	m␈↓ λs␈εβ=␈↓ 	$␈ε	F␈↓ 	h␈εβ,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂su␈α␈i␈α↓ta␈α␈bly
␈βεE␈↓ 	6␈εj␈↓ 	B␈εε+1
␈βεK␈↓ ↓d␈εm␈↓ ↓|␈εε+␈↓ α∃␈εs
␈βεc␈↓ λP␈εε2(␈↓ λe␈εm␈↓ λ|␈εε+␈↓ 	∃␈εs␈↓ 	!␈εε)
␈βεg␈↓ ↓H␈εβlar␈α␈ge␈↓ α~␈ε	j␈↓ α)␈εβ,␈α
i␈α↓n␈↓ αh␈ε	O␈↓ β␈εβ(␈↓ β␈εβlog␈↓ β;␈ε	n␈↓ βO␈εβ)␈α
ste␈α␈ps;␈α
furth␈α␈ermo␈α␈re␈↓ ε␈ε	A␈↓ ε"␈εβwi␈α↓ll␈α
b␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈rger␈αtha␈α␈n␈↓ λ?␈εβ2␈↓ 	)␈εβ.␈α⊂If␈↓ 	d␈ε	s␈↓ 	}␈εβ=␈α1␈α␈,␈α
w␈α␈e␈α
se␈α␈t
␈βπ∂␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	n␈↓ ↓w␈εβ)␈α	=␈↓ α5␈εβgcd␈↓ αg␈εβ(␈α↓2␈↓ ββ␈ε	m␈↓ β"␈εβ+␈αβ1␈α␈,␈↓ βe␈ε	n␈↓ βy␈εβ)␈απor␈↓ ∧0␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧b␈εβ(2␈↓ ∧⎇␈ε	m␈↓ ¬≥␈εβ+␈αα2␈α␈,␈↓ ¬←␈ε	n␈↓ ¬s␈εβ),␈αλw␈α↓h␈α␈iche␈α␈v␈α␈er␈απis␈ε↔␈απ≤␈εβ␈α	1,␈αλan␈α␈d␈απter␈α␈minate␈αεthe␈απa␈α␈lgorith␈α␈m.
␈βπ2␈↓ πw␈ε~0␈↓ 
s␈ε~0
␈βπ6␈↓ ↓H␈εβOt␈α␈herwise␈αw␈α␈e␈αredu␈α␈ce␈↓ ∧␈ε	j␈↓ ∧~␈εβby␈α1␈αa␈α␈s␈αfollo␈α␈ws:␈αS␈α␈et␈↓ εA␈ε	r␈↓ εZ␈ε↔ ␈↓ π¬␈ε	s␈↓ π∩␈εβ,␈↓ π'␈ε	s␈↓ π>␈ε↔ ␈↓ πi␈ε	s␈↓ λ¬␈ε↔␈␈↓ λ.␈ε	s␈↓ λ<␈εβ,␈↓ λP␈ε	s␈↓ λh␈ε↔ ␈↓ 	∪␈ε	r␈↓ 	!␈εβ,␈↓ 	6␈ε	r␈↓ 	N␈ε↔ ␈↓ 	y␈ε	t␈↓ 
¬␈εβ,␈↓ 
~␈ε	t␈↓ 
0␈ε↔ ␈α
b␈↓ 
g␈ε	t␈↓ 
z␈εβ/␈↓ 
␈ε	t␈↓ ⊗␈ε↔c␈εβ,
␈βπZ␈↓ ↓T␈ε~0␈↓ ∧α␈ε~0␈↓ ∧a␈ε~0
␈βπ[␈↓ ε&␈εα(␈↓ λπ␈εα)
␈βπ↑␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓c␈ε↔ ␈↓ α∞␈ε	r␈↓ α≤␈εβ,␈↓ α/␈ε	r␈↓ αG␈ε↔ ␈↓ αr␈ε	u␈↓ βε␈εβ,␈↓ β→␈ε	u␈↓ β6␈ε↔ ␈α
b␈↓ βn␈ε	u␈↓ ∧λ␈εβ/␈↓ ∧→␈ε	u␈↓ ∧-␈ε↔c␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ∧q␈ε↔ ␈↓ ¬≠␈ε	r␈↓ ¬*␈εβ;␈α
the␈α␈n␈α
if␈↓ ε2␈ε↔b␈↓ ε?␈ε	w␈↓ εW␈ε	u␈↓ εk␈εβ/␈↓ ε|␈ε	v␈↓ π∞␈ε	t␈↓ π→␈ε↔c␈↓ π,␈εβmo␈α␈d␈↓ πp␈ε	A␈↓ λ_␈εβmod␈↓ λ]␈ε	n␈↓ λz␈ε↔≤␈εβ␈α	0,␈α
set␈↓ 	{␈ε	m␈↓ 
!␈ε↔ ␈↓ 
L␈ε	m␈↓ 
o␈εβ+␈↓ ∃␈ε	s␈↓ #␈εβ,
␈βλε␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓j␈ε↔ ␈↓ α∀␈ε	w␈↓ α-␈ε	u␈↓ αA␈εβ,␈↓ αU␈ε	v␈↓ αp␈ε↔ ␈↓ β≠␈ε	v␈↓ β,␈ε	t␈↓ β8␈εβ.
␈βλ-␈↓ α␈εβ[Can␈αλth␈α␈is␈αλprob␈α␈lem␈αλbe␈αλso␈α␈lv␈α␈ed␈αλwith␈αλfe␈α␈we␈α␈r␈αλthan␈↓ π␈ε	O␈↓ π#␈εβ(␈↓ π/␈εβlo␈α␈g␈↓ π←␈ε	n␈↓ πs␈εβ)␈αλop␈α␈erat␈α␈i␈α↓o␈α␈ns?␈α
Ca␈α␈n␈αλthe␈αλsm␈α␈allest,
␈βλU␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈αthe␈αlarg␈α␈est,␈αprime␈αfa␈α␈ctor␈αo␈α␈f␈↓ ¬∧␈ε	n␈↓ ¬#␈εβb␈α␈e␈αcom␈α␈pu␈α␈ted␈αin␈↓ π⊂␈ε	O␈↓ π(␈εβ(␈↓ π3␈εβlog␈↓ πc␈ε	n␈↓ πw␈εβ)␈αop␈α␈eratio␈α␈ns?]
␈β	G␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6
␈β

␈↓ α.␈εε2␈↓ ∧∩␈εε3␈↓ ∧q␈εε2
␈β
⊃␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβ9␈↓ α≥␈ε	x␈↓ αB␈εβ+␈αλ7␈↓ α{␈ε	x␈↓ β∀␈εβ+␈αλ9;␈α→5␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧&␈εβ+␈αλ7␈↓ ∧←␈ε	x␈↓ ¬¬␈εβ+␈απ2␈↓ ¬>␈ε	x␈↓ ¬W␈εβ+␈αλ6␈α␈.
␈β
B␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Tru␈α␈e.␈α∨(b)␈α∞Fa␈α␈l␈α↓se␈α
i␈α↓f␈α∞th␈α␈e␈α∞alge␈α␈bra␈α␈i␈α↓c␈α∞s␈α␈ystem␈↓ π"␈ε	S␈↓ πE␈εβco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α∞\ze␈α␈ro␈α∞d␈α␈i␈α↓v␈α␈isors,"␈α∂n␈α␈on␈α␈zero
␈β
j␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈α	who␈α␈se␈α
p␈α␈rod␈α␈uct␈α	is␈α
zero␈α␈,␈α
as␈α	i␈α↓n␈α	ex␈α}ercise␈α	1;␈α
oth␈α␈erwise␈α
tru␈α␈e.␈α∃(c)␈α
Tru␈α␈e␈α
wh␈α␈en␈↓ 
>␈ε	m␈↓ 
e␈ε↔≤␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β∩␈↓ ↓H␈εβb␈α␈ut␈αfa␈α␈l␈α↓se␈αin␈α
gen␈α␈eral␈αwhe␈α␈n␈↓ ∧A␈ε	m␈↓ ∧h␈εβ=␈↓ ¬∩␈ε	n␈↓ ¬&␈εβ,␈αsi␈α↓n␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αlead␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αco␈α␈e}cien␈α}ts␈αmigh␈α␈t␈αc␈α␈anc␈α␈el.
␈βC␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβAssu␈α␈me␈αt␈α␈hat␈↓ βO␈ε	r␈↓ βh␈ε↔∀␈↓ ∧∪␈ε	s␈↓ ∧!␈εβ.␈αFor␈α0␈ε↔␈α
∀␈↓ ¬;␈ε	k␈↓ ¬U␈ε↔∀␈↓ ε␈ε	r␈↓ ε≠␈εβth␈α␈e␈αmax␈α␈im␈α␈um␈αis␈↓ λ∪␈ε	m␈↓ λ<␈ε	m␈↓ λe␈εβ(␈↓ λp␈ε	k␈↓ 	λ␈εβ+␈αλ1␈α␈);␈αfor␈↓ 
⊗␈ε	r␈↓ 
.␈ε↔∀␈↓ 
Y␈ε	k␈↓ 
s␈ε↔∀␈↓ ∨␈ε	s
␈βM␈↓ λ/␈εε1␈↓ λX␈εε2
␈βj␈↓ ↓H␈εβit␈α
is␈↓ α	␈ε	m␈↓ α2␈ε	m␈↓ α[␈εβ(␈↓ αf␈ε	r␈↓ α{␈εβ+␈αε1);␈αfor␈↓ ∧¬␈ε	s␈↓ ∧≤␈ε↔∀␈↓ ∧F␈ε	k␈↓ ∧`␈ε↔∀␈↓ ¬␈ε	r␈↓ ¬∨␈εβ+␈↓ ¬G␈ε	s␈↓ ¬←␈εβit␈αis␈↓ ε ␈ε	m␈↓ εI␈ε	m␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε	r␈↓ π∩␈εβ+␈↓ π:␈ε	s␈↓ πN␈εβ+␈απ1␈ε↔␈αε␈␈↓ λ4␈ε	k␈↓ λE␈εβ).␈αTh␈α␈e␈α
l␈α↓e␈α␈ast␈α
up␈α␈per␈α
b␈α␈ou␈α␈nd
␈βu␈↓ α%␈εε1␈↓ αN␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εf␈εε2
␈β∩␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alid␈α
for␈αa␈α␈ll␈↓ α{␈ε	k␈↓ β⊗␈εβis␈↓ β7␈ε	m␈↓ β`␈ε	m␈↓ ∧	␈εβ(␈↓ ∧∀␈ε	r␈↓ ∧)␈εβ+␈απ1).␈α_(Th␈α␈e␈αs␈α␈olv␈α␈er␈α
of␈α
this␈αe␈α␈x␈α␈ercise␈α
wil␈α↓l␈α
kn␈α␈o␈α␈w␈αh␈α␈o␈α␈w␈α
to␈αfa␈α␈ctor␈α
the
␈β≤␈↓ βS␈εε1␈↓ β|␈εε2
␈β5␈↓ β¬␈εε7␈↓ βd␈εε6␈↓ ∧C␈εε5␈↓ ¬!␈εε4␈↓ ε␈εε3␈↓ ε←␈εε2
␈β9␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε	x␈↓ β→␈εβ+␈αλ2␈↓ βR␈ε	x␈↓ βx␈εβ+␈απ3␈↓ ∧1␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ+␈απ3␈↓ ¬⊂␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ+␈αλ3␈↓ ¬o␈ε	x␈↓ ε∀␈εβ+␈αλ3␈↓ εM␈ε	x␈↓ εs␈εβ+␈απ2␈↓ π,␈ε	x␈↓ πE␈εβ+␈αλ1␈α␈.)
␈βf␈↓ εd␈εt
␈βj␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβIf␈α	on␈α␈e␈α	of␈α	th␈α␈e␈α	po␈α␈lyn␈α␈omials␈α	h␈α␈as␈α	few␈α␈er␈α	th␈α␈an␈↓ εS␈εβ2␈↓ εv␈εβnon␈α␈zero␈αλcoe}␈α␈cien␈α␈ts,␈α	the␈αλprod␈α␈uc␈α␈t␈α	can␈αλbe
␈β
∩␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈rmed␈αλby␈αλp␈α␈utting␈αλex␈α␈actly␈↓ ∧J␈ε	t␈↓ ∧Z␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈αλzeros␈αλbet␈α␈w␈α␈ee␈α␈n␈α	e␈α␈ach␈αλof␈α	th␈α␈e␈α	c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓en␈α}ts,␈α	then␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓y␈α␈ing
␈β
7␈↓ λ$␈ε∃A␈α␈ND
␈β
:␈↓ ↓H␈εβin␈α∞th␈α␈e␈α∞bina␈α␈ry␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈er␈α∞system␈α␈,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞|␈α␈na␈α␈l␈α↓ly␈α∞u␈α␈sing␈α∞a␈α∞log␈α␈i␈α↓c␈α␈al␈↓ λp␈εβop␈α␈eration␈α
(prese␈α␈n␈α␈t␈α∞on
␈β
a␈↓ ↓H␈εβm␈α␈ost␈α
b␈α␈i␈α↓n␈α␈ary␈αcom␈α␈pu␈α␈ters,␈α∞c␈α␈f.␈α∞S␈α␈ection␈α4.5.4␈α␈)␈α
to␈α
zero␈αou␈α␈t␈α
the␈αextr␈α␈a␈α
bits.␈α⊃Fo␈α␈r␈α
exa␈α␈mp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈α∞if
␈β∞	␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓]␈εβ=␈α3␈α␈,␈αthe␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αin␈αthe␈αtex␈α␈t␈αw␈α␈o␈α␈uld␈αbec␈α␈ome␈α(10␈α␈010␈α␈000␈α␈01␈↓ λp␈εβ)␈↓ 	∂␈ε↔α␈εβ␈αλ(10␈α␈000␈α␈010␈α␈01␈↓ 
j␈εβ)␈↓ ␈εβ=
␈β∞∪␈↓ λ{␈εε2␈↓ 
u␈εε2
␈β∞-␈↓ ¬∃␈ε∃AND
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈001␈α␈001␈α␈011␈α␈001␈α␈00␈α␈100␈α␈1␈↓ ∧∂␈εβ)␈↓ ∧'␈εβ;␈α∂if␈α∞we␈↓ ¬a␈εβthis␈α∞re␈α␈sult␈α∞with␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α␈t␈α
(100␈α␈100␈α␈1␈↓ 
≤␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
I␈εβ10␈α␈01␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β∞;␈↓ ∧~␈εε2␈↓ ↔␈εε2
␈β∞X␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλdesired␈αλa␈α␈nsw␈α␈er␈αλi␈α↓s␈αλob␈α␈taine␈α␈d.␈α
A␈α	simil␈α↓a␈α␈r␈α	te␈α␈chn␈α␈ique␈αλca␈α␈n␈α	b␈α␈e␈αλused␈αλto␈αλm␈α␈u␈α␈l␈α↓t␈α␈i␈α↓p␈α␈ly␈α	p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β∂␈↓ ↓H␈εβwith␈απno␈α␈nn␈α␈ega␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts,␈α	wh␈α␈en␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απkn␈α␈o␈α␈wn␈απtha␈α␈t␈αλthe␈απcoe␈α␈}cien␈α␈ts␈απwi␈α↓ll␈αλn␈α␈ot␈αλb␈α␈e␈αλto␈α␈o␈αλlarg␈α␈e.
␈β∂,␈↓ λM␈εn
␈β∂1␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβPolyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈ε↔␈α∀␈εβ␈α
2␈↓ ¬⊃␈ε	n␈↓ ¬0␈εβc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αrep␈α␈resen␈α}ted␈αa␈α␈s␈↓ πr␈ε	U␈↓ λ∀␈εβ(␈↓ λ∨␈ε	x␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε	x␈↓ λe␈εβ+␈↓ 	∞␈ε	U␈↓ 	0␈εβ(␈↓ 	;␈ε	x␈↓ 	L␈εβ)␈αwhere␈α
deg␈α␈(␈↓ 
␈␈ε	U␈↓ !␈εβ)
␈β∂;␈↓ λλ␈εε1␈↓ 	#␈εε0␈↓ ∃␈εε1
␈β∂T␈↓ ¬λ␈εn␈↓ π¬␈εn␈↓ 
¬␈εε2␈↓ 
⊃␈εn␈↓ 
g␈εn
␈β∂U␈↓ ∧!␈εα(␈↓ ε∃␈εα)(␈↓ λ⊂␈εα)
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
d␈α␈eg(␈↓ αH␈ε	U␈↓ αj␈εβ)␈ε↔␈α∞∀␈↓ β1␈ε	n␈↓ βE␈εβ;␈α⊂a␈α␈nd␈↓ ∧-␈ε	U␈↓ ∧O␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ+␈↓ ¬L␈ε	U␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈ε	x␈↓ ε
␈εβ)␈↓ ε-␈ε	V␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε	x␈↓ εi␈εβ)␈↓ εt␈ε	x␈↓ π∨␈εβ+␈↓ πI␈ε	V␈↓ πh␈εβ(␈↓ πs␈ε	x␈↓ λ¬␈εβ)␈↓ λ)␈εβ=␈↓ λX␈ε	U␈↓ λz␈εβ(␈↓ 	¬␈ε	x␈↓ 	↔␈εβ)␈↓ 	"␈ε	V␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	x␈↓ 	]␈εβ)(␈↓ 	s␈ε	x␈↓ 
+␈εβ+␈↓ 
U␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	+
␈β∂c␈↓ α]␈εε0␈↓ ∧B␈εε1␈↓ ¬a␈εε0␈↓ ε@␈εε1␈↓ π\␈εε0␈↓ λm␈εε1␈↓ 	4␈εε1
␈β∂|␈↓ ¬⊃␈εn␈↓ πα␈εn
␈β∂⎇␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β~␈εα)(␈↓ ∧t␈εα)
␈β⊂␈↓ ↓T␈ε	U␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	x␈↓ α∩␈εβ)␈α	+␈↓ αQ␈ε	U␈↓ αs␈εβ(␈↓ α}␈ε	x␈↓ β∂␈εβ)␈↓ β2␈ε	V␈↓ βQ␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈α	+␈↓ ∧-␈ε	V␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	x␈↓ ∧h␈εβ)␈↓ ¬␈ε	x␈↓ ¬*␈εβ+␈↓ ¬U␈ε	U␈↓ ¬w␈εβ(␈↓ εα␈ε	x␈↓ ε∪␈εβ)␈↓ ε≡␈ε	V␈↓ ε>␈εβ(␈↓ εI␈ε	x␈↓ εZ␈εβ)(␈↓ εp␈ε	x␈↓ π≠␈εβ+␈α
1␈α␈).␈α∨(T␈α↓h␈α␈is␈α∞equ␈α␈ation␈α
assu␈α␈mes␈α
tha␈α␈t
␈β⊂
␈↓ ↓i␈εε1␈↓ αf␈εε0␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ¬j␈εε0␈↓ ε1␈εε0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αis␈αb␈α␈eing␈αd␈α␈on␈α␈e␈αmod␈α␈ulo␈α2␈α␈.␈α↓)␈α→Th␈α}us␈αEqs.␈α4.3.3↑␈α␈3,␈α4,␈α5␈αho␈α␈ld.
␈β⊂O␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αS␈α␈.␈αA.␈αCo␈α␈ok␈αh␈α␈as␈αsh␈α␈o␈α␈wn␈αt␈α␈hat␈αAlgo␈α␈rithm␈α4␈α␈.␈α↓3␈α␈.3C␈αcan␈α
be␈α
exten␈α␈de␈α␈d␈αin␈αa␈α
si␈α↓m␈α␈i␈α↓la␈α␈r
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβwa␈α␈y,␈απand␈α¬ex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.6.4↑5␈α␈7␈αεdesc␈α␈ri␈α↓b␈α␈es␈αεa␈αεmeth␈α␈od␈αεr␈α␈equ␈α␈i␈α↓rin␈α␈g␈αεev␈α␈e␈α␈n␈αεfew␈α␈er␈αεope␈α␈ration␈α␈s␈απfo␈α␈r␈απla␈α␈rge␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβBu␈α␈t␈αλthes␈α␈e␈αλidea␈α␈s␈αλare␈αλn␈α␈ot␈αλu␈α␈seful␈αλfor␈αλ\␈α␈spa␈α␈rse"␈αλp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απ(␈α↓h␈α␈av␈α␈ing␈αλm␈α␈ostly␈αλz␈α␈ero␈αλco␈α␈e}cien␈α}ts).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα591
␈βα(␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.1
␈βαz␈↓ β0␈εε3␈↓ βN␈εε3␈↓ ∧D␈εε2␈↓ ∧b␈εε2␈↓ π␈εε3␈↓ 	↑␈εε2
␈βα}␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈ε	q␈↓ α≠␈εβ(␈↓ α&␈ε	x␈↓ α7␈εβ)␈α
=␈α	1␈ε↔␈απ↓␈↓ β∨␈εβ2␈↓ β<␈ε	x␈↓ βb␈εβ+␈απ0␈ε↔␈απ↓␈↓ ∧3␈εβ2␈↓ ∧P␈ε	x␈↓ ∧v␈ε↔␈␈εβ␈απ2␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ2␈↓ ¬X␈ε	x␈↓ ¬p␈εβ+␈αλ8␈α	=␈α
8␈↓ εn␈ε	x␈↓ π∀␈ε↔␈␈εβ␈απ4␈↓ πM␈ε	x␈↓ πf␈εβ+␈απ8;␈↓ λA␈ε	r␈↓ λP␈εβ(␈↓ λ[␈ε	x␈↓ λm␈εβ)␈α	=␈α	28␈↓ 	M␈ε	x␈↓ 	r␈εβ+␈αλ4␈↓ 
+␈ε	x␈↓ 
D␈εβ+␈αλ8.
␈ββ5␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβThe␈α
mo␈α␈nic␈α
sequ␈α␈enc␈α␈e␈α∞o␈α␈f␈α∞po␈α␈lyn␈α␈omials␈α∞p␈α␈rod␈α␈uc␈α␈ed␈α
du␈α␈ring␈α
Euclid's␈α
algorith␈α␈m␈α∞h␈α␈as␈α
the
␈ββ]␈↓ ↓H␈εβc␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts␈α∂(1,␈α¬5,␈αε6,␈α¬6,␈αε1␈α␈,␈αε6,␈αε3␈α␈),␈α⊃(1␈α␈,␈αε2,␈αε5␈α␈,␈αε2,␈α¬2,␈αε4,␈α¬5),␈α⊂(1,␈αε5␈α␈,␈αε6,␈αε2␈α␈,␈αε3,␈αε4␈α␈),␈α⊂(␈α↓1␈α␈,␈αε3,␈α¬4,␈αε6),␈α⊂0␈α␈.␈α↔Henc␈α␈e␈α∂the
␈β∧␈↓ ∧v␈εε3␈↓ ¬X␈εε2
␈β∧∧␈↓ ↓H␈εβg␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
diviso␈α␈r␈α∞is␈↓ ∧d␈ε	x␈↓ ¬␈εβ+␈α	3␈↓ ¬G␈ε	x␈↓ ¬n␈εβ+␈α
4␈↓ ε)␈ε	x␈↓ εD␈εβ+␈α
6␈α␈.␈α∨(The␈α∞g␈α␈reate␈α␈st␈α∞com␈α␈mon␈α
div␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈α∞of␈α∞a
␈β∧,␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈αan␈α␈d␈αits␈αrev␈α}erse␈αis␈αalwa␈α␈ys␈αsymm␈α␈etric,␈αin␈αthe␈αsen␈α␈se␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αa␈αun␈α␈i␈α↓t␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e
␈β∧S␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αi␈α↓ts␈αo␈α}w␈α↓n␈α
rev␈α}erse.)
␈β¬
␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβThe␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αof␈αAlgorith␈α␈m␈α4␈α␈.␈α↓5␈α␈.␈α↓2␈α␈X␈αis␈αva␈α␈li␈α↓d␈α␈,␈αwi␈α↓th␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αo␈α}v␈α␈er␈↓ 	i␈ε	S␈↓ 

␈εβsu␈α␈bst␈α␈i␈α↓tu␈α␈ted
␈β¬2␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αin␈α␈te␈α␈gers.␈αWhen␈α	the␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m␈α
termina␈α␈tes,␈αw␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ πZ␈ε	U␈↓ πu␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ∩␈εβ)␈α	=␈↓ λQ␈ε	u␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ|␈ε	x␈↓ 	
␈εβ),␈↓ 	,␈ε	V␈↓ 	D␈εβ(␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 	`␈εβ)␈α	=␈↓ 
∨␈ε	u␈↓ 
?␈εβ(␈↓ 
J␈ε	x␈↓ 
[␈εβ).␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β¬<␈↓ λd␈εε2␈↓ 
2␈εε1
␈β¬Y␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓n␈εβ=␈↓ α→␈εβde␈α␈g␈↓ αK␈εβ(␈↓ αV␈ε	u␈↓ αj␈εβ),␈↓ β
␈ε	n␈↓ β'␈εβ=␈↓ βR␈εβde␈α␈g␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	v␈↓ ∧ ␈εβ)␈α↓.␈αIt␈αis␈αea␈α␈sy␈αto␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uct␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈αtha␈α␈t␈↓ λ←␈εβdeg␈↓ 	⊃␈εβ(␈↓ 	≤␈ε	u␈↓ 	<␈εβ)␈αλ+␈↓ 	w␈εβdeg␈↓ 
)␈εβ(␈↓ 
5␈ε	v␈↓ 
P␈εβ)␈α	=␈↓ ∂␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β¬d␈↓ 	0␈εε3␈↓ 
C␈εε1
␈βε↓␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	u␈↓ α$␈εβ)␈α+␈↓ αf␈εβd␈α␈eg␈↓ β↔␈εβ(␈↓ β#␈ε	v␈↓ β>␈εβ)␈α⊃=␈↓ ∧␈ε	m␈↓ ∧)␈εβ,␈α⊃a␈α␈fter␈α⊂ste␈α␈p␈α∂X3,␈α⊃th␈α␈roug␈α␈ho␈α␈ut␈α∂the␈α∂ex␈α␈e␈α␈cutio␈α␈n␈α⊂o␈α␈f␈α⊂th␈α␈e␈α⊂a␈α␈lgorith␈α␈m,
␈βε␈↓ α_␈εε3␈↓ β1␈εε2
␈βε%␈↓ 	↔␈εα(␈↓ 
 ␈εα)
␈βε(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈ro␈α␈v␈α␈i␈α↓d␈α␈ed␈αtha␈α␈t␈↓ β≠␈ε	m␈↓ βB␈ε↔∃␈↓ βn␈ε	n␈↓ ∧α␈εβ.␈α
Henc␈α␈e␈αif␈↓ ¬≠␈ε	m␈↓ ¬D␈εβan␈α␈d␈↓ ε¬␈ε	n␈↓ ε%␈εβare␈αgrea␈α␈ter␈αth␈α␈an␈↓ λ≥␈ε	d␈↓ λ:␈εβ=␈↓ λe␈εβdeg␈↓ 	#␈εβgcd␈↓ 	U␈εβ(␈↓ 	`␈ε	u␈↓ 	t␈εβ,␈↓ 
β␈ε	v␈↓ 
∀␈εβ)␈↓ 
7␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈βεP␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eg␈↓ ↓z␈εβ(␈↓ α¬␈ε	U␈↓ α ␈εβ)␈α	<␈↓ α←␈ε	m␈↓ ββ␈ε↔␈␈↓ β+␈ε	d␈↓ β=␈εβ,␈↓ βQ␈εβdeg␈↓ ∧β␈εβ(␈↓ ∧∞␈ε	V␈↓ ∧&␈εβ)␈α	<␈↓ ∧e␈ε	n␈↓ ¬␈ε↔␈␈↓ ¬(␈ε	d␈↓ ¬:␈εβ;␈αthe␈α
ex␈α␈act␈αd␈α␈eg␈α␈rees␈αa␈α␈re␈↓ λ␈ε	m␈↓ λ/␈ε↔␈␈↓ λW␈ε	d␈↓ λ⎇␈εβand␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	X␈ε↔␈␈↓ 
↓␈ε	d␈↓ 
≥␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ⊂␈ε	d
␈βε[␈↓ λf␈εε1␈↓ 
⊂␈εε1␈↓  ␈εε1
␈βεx␈↓ ↓H␈εβis␈αthe␈αd␈α␈egree␈αof␈αthe␈αsec␈α␈on␈α␈d-last␈αno␈α␈nzer␈α␈o␈α
re␈α␈main␈α␈der.␈α∂If␈↓ πg␈ε	d␈↓ λ¬␈εβ=␈↓ λ1␈εβmin␈↓ λi␈εβ(␈↓ λt␈ε	m␈↓ 	⊃␈εβ,␈↓ 	 ␈ε	n␈↓ 	4␈εβ),␈α
say␈↓ 
∩␈ε	d␈↓ 
0␈εβ=␈↓ 
\␈ε	n␈↓ 
p␈εβ,␈α∞w␈α␈e
␈βπ∨␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α}e␈↓ α⊗␈ε	U␈↓ α1␈εβ(␈↓ α=␈ε	x␈↓ αN␈εβ)␈α	=␈α
0␈αa␈α␈nd␈↓ βi␈ε	V␈↓ ∧↓␈εβ(␈↓ ∧␈ε	x␈↓ ∧≡␈εβ)␈α	=␈α	1.
␈βπD␈↓ βr␈εm␈↓ ε≠␈εn␈↓ λX␈εm␈↓ 
#␈εn
␈βπH␈↓ α␈εβWhen␈↓ αm␈ε	u␈↓ β↓␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β≡␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε	x␈↓ ∧⊃␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αan␈α␈d␈↓ ¬→␈ε	v␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬G␈εβ)␈α=␈↓ ε	␈ε	x␈↓ ε3␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
th␈α␈e␈αiden␈α}tity␈α(␈↓ λF␈ε	x␈↓ λw␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ 	B␈εβm␈α␈od␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	x␈↓ 
;␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈α=
␈βπk␈↓ ↓Y␈εm␈↓ ↓u␈εεmo␈α␈d␈↓ α(␈εn
␈βπo␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ αB␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈α∞sh␈α␈o␈α␈ws␈α∞that␈α∞a␈α␈l␈α↓l␈α∞po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials␈α∞occu␈α␈rring␈α∞d␈α␈urin␈α␈g␈α∞the␈α∞ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∞a␈α␈re␈α∞mon␈α␈ic,
␈βλ∪␈↓ ε ␈εε2␈α␈1␈↓ λL␈εε13
␈βλ↔␈↓ ↓H␈εβwith␈αin␈α␈te␈α␈ger␈αcoe␈α␈}cien␈α␈ts.␈α∂Whe␈α␈n␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬.␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ)␈α=␈↓ ε∞␈ε	x␈↓ εA␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈αa␈α␈nd␈↓ πJ␈ε	v␈↓ π[␈εβ(␈↓ πf␈ε	x␈↓ πx␈εβ)␈α=␈↓ λ;␈ε	x␈↓ λn␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈α
w␈α␈e␈αhav␈α}e␈↓ 
@␈ε	V␈↓ 
X␈εβ(␈↓ 
c␈ε	x␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈βλ;␈↓ ↓Y␈εε11␈↓ α0␈εε8␈↓ αz␈εε6␈↓ βE␈εε3␈↓ ε␈εε1␈α␈9␈↓ εc␈εε1␈α␈6␈↓ π:␈εε1␈α␈4␈↓ λ⊂␈εε11␈↓ λg␈εε8␈↓ 	2␈εε6␈↓ 	|␈εε3
␈βλ<␈↓ 
p␈εα(
␈βλ?␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ+␈↓ α∨␈ε	x␈↓ αB␈εβ+␈↓ αi␈ε	x␈↓ β␈εβ+␈↓ β3␈ε	x␈↓ βW␈εβ+␈αε1␈α	an␈α␈d␈↓ ∧W␈ε	U␈↓ ∧r␈εβ(␈↓ ∧}␈ε	x␈↓ ¬∂␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
␈␈εβ(␈↓ ¬z␈ε	x␈↓ ε*␈εβ+␈↓ εQ␈ε	x␈↓ π↓␈εβ+␈↓ π(␈ε	x␈↓ πX␈εβ+␈↓ π␈␈ε	x␈↓ λ/␈εβ+␈↓ λV␈ε	x␈↓ λz␈εβ+␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	D␈εβ+␈↓ 	k␈ε	x␈↓ 
∞␈εβ+␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α↓.␈↓ 
|␈εβSee
␈βλc␈↓ 	↑␈εα)
␈βλf␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓s␈α␈o␈αEq.␈α3.3.3↑2␈α␈9,␈αwhich␈α
giv␈α␈es␈αa␈α␈n␈αaltern␈α␈ativ␈α}e␈αform␈α␈u␈α␈l␈α↓a␈α
f␈α↓o␈α␈r␈↓ λπ␈ε	U␈↓ λ"␈εβ(␈↓ λ-␈ε	x␈↓ λ?␈εβ)␈αan␈α␈d␈↓ 	⊗␈ε	V␈↓ 	.␈εβ(␈↓ 	9␈ε	x␈↓ 	J␈εβ).
␈β	≥␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβSin␈α␈ce␈α
the␈α
qu␈α␈otien␈α}t␈↓ ∧&␈ε	q␈↓ ∧5␈εβ(␈↓ ∧@␈ε	x␈↓ ∧Q␈εβ)␈α∞d␈α␈epe␈α␈nd␈α␈s␈α∞o␈α␈nly␈α
on␈↓ εi␈ε	v␈↓ εz␈εβ(␈↓ π¬␈ε	x␈↓ π↔␈εβ)␈α
an␈α␈d␈α
the␈α
|r␈α␈st␈↓ λu␈ε	m␈↓ 	≠␈ε↔␈␈↓ 	E␈ε	n␈↓ 	g␈εβco␈α␈e}cien␈α}ts␈α∞o␈α␈f
␈β	D␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓\␈εβ(␈↓ ↓g␈ε	x␈↓ ↓x␈εβ),␈αt␈α␈he␈α
re␈α␈main␈α␈der␈↓ βj␈ε	r␈↓ βy␈εβ(␈↓ ∧∧␈ε	x␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α	=␈↓ ∧T␈ε	u␈↓ ∧h␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	x␈↓ ¬¬␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈↓ ¬=␈ε	q␈↓ ¬K␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ¬s␈ε	v␈↓ ε∧␈εβ(␈↓ ε∂␈ε	x␈↓ ε!␈εβ)␈α
is␈α
u␈α␈niform␈α␈l␈α↓y␈α	d␈α␈i␈α↓strib␈α␈uted␈α	a␈α␈nd␈α	ind␈α␈epen␈α␈de␈α␈n␈α␈t␈α
o␈α␈f
␈β	l␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α↓.␈αHen␈α␈ce␈αeach␈αs␈α␈tep␈αof␈αthe␈αalgo␈α␈rithm␈αma␈α␈y␈αbe␈αrega␈α␈rde␈α␈d␈αas␈αi␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈ers;
␈β
∀␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈αalgorith␈α␈m␈αis␈αm␈α␈uch␈α
mor␈α␈e␈αw␈α␈el␈α↓l-b␈α␈eha␈α␈v␈α␈ed␈α
tha␈α␈n␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers.
␈β
8␈↓ ε↔␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ε=␈εk␈↓ 
z␈ε~␈␈↓ ∪␈εn
␈β
<␈↓ α␈εβThe␈αλp␈α␈roba␈α␈bility␈α	t␈α␈hat␈↓ ∧=␈ε	n␈↓ ∧f␈εβ=␈↓ ¬⊃␈ε	n␈↓ ¬)␈ε↔␈␈↓ ¬N␈ε	k␈↓ ¬g␈εβis␈↓ εε␈ε	p␈↓ εJ␈εβ(1␈ε↔␈α∧␈␈εβ␈α∧1/␈↓ π0␈ε	p␈↓ πA␈εβ),␈α
a␈α␈nd␈↓ λ≥␈ε	t␈↓ λ2␈εβ=␈α
0␈αλwith␈αλpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈↓ 
i␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈β
G␈↓ ∧P␈εε1
␈β
d␈↓ ↓H␈εβEa␈α␈ch␈αλsu␈α␈cceed␈α␈ing␈αλste␈α␈p␈αλh␈α␈as␈αλessen␈α}ti␈α↓a␈α␈ll␈α↓y␈απthe␈αλsa␈α␈me␈αλb␈α␈eha␈α␈vior;␈α	he␈α␈nce␈αλw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈αλsee␈αλth␈α␈at␈αλa␈α␈n␈α␈y␈αλg␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈βπ␈↓ 	i␈εt␈↓ 
∀␈εn
␈β␈↓ ↓H␈εβse␈α␈que␈α␈nce␈α
o␈α␈f␈α∞d␈α␈eg␈α␈rees␈↓ βr␈ε	n␈↓ ∧ε␈εβ,␈↓ ∧≥␈ε	n␈↓ ∧=␈εβ,␈↓ ∧T␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬␈εβ,␈↓ ¬↔␈ε	n␈↓ ¬4␈εβ,␈ε↔␈α∞␈1␈εβ␈α∞o␈α␈ccu␈α␈rs␈α
wi␈α↓th␈αpro␈α␈bab␈α␈il␈α↓ity␈α(␈↓ 		␈ε	p␈↓ 	#␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈↓ 	↑␈εβ)␈↓ 	s␈εβ/␈↓ 
β␈ε	p␈↓ 
%␈εβ.␈α⊃To␈α
|␈α␈nd
␈β⊗␈↓ ∧0␈εε1␈↓ ¬*␈εt
␈β3␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αav␈α}erag␈α␈e␈αvalu␈α␈e␈αof␈↓ β}␈ε	f␈↓ ∧∞␈εβ(␈↓ ∧→␈ε	n␈↓ ∧9␈εβ,␈↓ ∧H␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧t␈εβ,␈↓ ¬β␈ε	n␈↓ ¬ ␈εβ),␈α
let␈↓ ¬r␈ε	S␈↓ ε→␈εβb␈α␈e␈αthe␈αsu␈α␈m␈αof␈↓ πp␈ε	f␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	n␈↓ λ+␈εβ,␈↓ λ:␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λf␈εβ,␈↓ λu␈ε	n␈↓ 	∩␈εβ)␈αo␈α␈v␈α}er␈αall␈α
se␈α␈que␈α␈nce␈α␈s
␈β=␈↓ 	5␈ε↓P
␈β>␈↓ ∧-␈εε1␈↓ ¬⊗␈εt␈↓ εβ␈εt␈↓ λ≡␈εε1␈↓ 	λ␈εt
␈βW␈↓ 
h␈εt␈↓ ∪␈εn
␈β[␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ ↓e␈εβ>␈↓ α∂␈ε	n␈↓ α8␈εβ>␈↓ αc␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ β∪␈εβ>␈↓ β>␈ε	n␈↓ βd␈ε↔∃␈εβ␈α	0␈α	ha␈α␈vin␈α␈g␈α	a␈α	giv␈α}en␈α	v␈α␈alue␈α	o␈α␈f␈↓ ε␈␈ε	t␈↓ π␈εβ;␈α
th␈α␈en␈α	t␈α␈he␈α	av␈α}erag␈α␈e␈α	is␈↓ 	k␈ε	S␈↓ 
¬␈εβ(␈↓ 
⊂␈ε	p␈↓ 
&␈ε↔␈␈εβ␈α¬1␈↓ 
]␈εβ)␈↓ 
q␈εβ/␈↓ α␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈βe␈↓ α#␈εε1␈↓ βQ␈εt␈↓ 	{␈εt
␈βg␈↓ ¬Y␈ε↓␈␈↓ ¬x␈ε↓↓
␈βm␈↓ 	[␈εt
␈β↓␈↓ ¬g␈εn
␈β	␈↓ α␈εβLet␈↓ αE␈ε	f␈↓ αU␈εβ(␈↓ α`␈ε	n␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε	n␈↓ βg␈εβ)␈α	=␈↓ ∧&␈ε	t␈↓ ∧2␈εβ;␈αλthen␈↓ ¬␈ε	S␈↓ ¬/␈εβ=␈↓ εε␈εβ(␈↓ ε⊃␈ε	t␈↓ ε∨␈εβ+␈αβ1␈α␈)␈α↓,␈αλso␈απth␈α␈e␈απav␈α␈e␈α␈rage␈απis␈↓ λ]␈ε	n␈↓ λq␈εβ(1␈ε↔␈αα␈␈εβ␈αβ1/␈↓ 	T␈ε	p␈↓ 	e␈εβ).␈α
Similarly,␈αλif
␈β∪␈↓ αs␈εε1␈↓ β]␈εt␈↓ ¬≤␈εt
␈β⊗␈↓ ¬t␈ε↓␈␈↓ ε∩␈ε↓↓␈↓ ε ␈ε↓␈␈↓ εd␈ε↓↓␈↓ 	α␈ε↓␈␈↓ 	 ␈ε↓↓
␈β→␈↓ ¬k␈εt
␈β0␈↓ εα␈εn␈↓ ε.␈εn␈↓ ε>␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	⊂␈εn
␈β7␈↓ ↓H␈ε	f␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓c␈ε	n␈↓ αα␈εβ,␈↓ α⊃␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α=␈εβ,␈↓ αL␈ε	n␈↓ αi␈εβ)␈α	=␈↓ β(␈ε	n␈↓ βH␈εβ+␈↓ βj␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ∧⊃␈εβ+␈↓ ∧2␈ε	n␈↓ ∧O␈εβ,␈απthen␈↓ ¬&␈ε	S␈↓ ¬I␈εβ=␈↓ εr␈εβ,␈απand␈α¬th␈α␈e␈αεav␈α}era␈α␈ge␈αεis␈↓ 	.␈εβ(1␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈α␈/␈↓ 

␈ε	p␈↓ 
≡␈εβ).␈α
Fina␈α␈ll␈α↓y␈α␈,
␈βB␈↓ ↓v␈εε1␈↓ α←␈εt␈↓ β;␈εε1␈↓ ∧F␈εt␈↓ ¬6␈εt
␈βD␈↓ λF␈ε↓␈␈↓ 	
␈ε↓↓␈↓ 
3␈ε↓␈␈↓ 
x␈ε↓↓
␈βH␈↓ ε∧␈εε2␈↓ ε2␈εt␈↓ ε;␈ε~␈␈εε1␈↓ 	∩␈εε2
␈β←␈↓ λT␈εn␈↓ λe␈εε+2␈↓ 
A␈εn␈↓ 
R␈εε+1
␈βf␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓f␈ε	f␈↓ ↓v␈εβ(␈↓ α↓␈ε	n␈↓ α ␈εβ,␈↓ α/␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α\␈εβ,␈↓ αj␈ε	n␈↓ βπ␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ βQ␈ε	n␈↓ βk␈ε↔␈␈↓ ∧∩␈ε	n␈↓ ∧1␈εβ)␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧b␈εβ+␈↓ ¬	␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ¬5␈εβ+␈αε(␈↓ ¬g␈ε	n␈↓ ε/␈ε↔␈␈↓ εV␈ε	n␈↓ εs␈εβ)␈↓ ε}␈ε	n␈↓ π≠␈εβ,␈α
th␈α␈en␈↓ πx␈ε	S␈↓ λ≤␈εβ=␈↓ 	 ␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ 	T␈ε	n␈↓ 	o␈εβ+␈αλ1␈α␈)␈↓ ␈εβ+
␈βq␈↓ α∀␈εε1␈↓ α⎇␈εt␈↓ ∧%␈εε1␈↓ ∧O␈εε1␈↓ ¬z␈εt␈↓ ε∧␈ε~␈␈εε1␈↓ εi␈εt␈↓ π⊃␈εt␈↓ λ	␈εt
␈βs␈↓ ↓H␈ε↓␈␈↓ α␈ε↓↓␈↓ α~␈ε↓␈␈↓ α8␈ε↓↓␈↓ ∧o␈ε↓␈␈↓ ¬3␈ε↓↓
␈βv␈↓ λX␈εt␈↓ λa␈εε+2␈↓ 
E␈εt␈↓ 
N␈εε+␈α↓1
␈β

␈↓ ↓V␈εn␈↓ ↓f␈εε+1␈↓ α(␈εn␈↓ ∧⎇␈εn␈↓ ¬
␈εε+1
␈β
⊃␈↓ 	7␈εε2␈↓ 
B␈εn␈↓ 
R␈εε+1
␈β
∩␈↓ λ⊗␈εα(␈↓ 	+␈εα)
␈β
∃␈↓ αF␈εβ,␈αand␈α
the␈α
av␈α␈er␈α␈age␈αis␈↓ ¬H␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ ¬|␈ε	n␈↓ ε_␈εβ+␈απ1)␈↓ ε\␈ε	p␈↓ εm␈εβ/(␈↓ π	␈ε	p␈↓ π!␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈)␈↓ πm␈εβ+␈↓ λ"␈ε	p␈↓ λ3␈εβ/␈α␈(␈↓ λN␈ε	p␈↓ λg␈ε↔␈␈εβ␈απ1)␈↓ 	D␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ 
1␈ε	p␈↓ 
x␈εβ)␈↓ β␈εβ.
␈β
%␈↓ ↓j␈εε2␈↓ α+␈εt␈↓ ¬∩␈εε2
␈β
>␈↓ α␈εβAs␈αa␈αcon␈α␈sequ␈α␈en␈α␈ce␈αw␈α␈e␈αc␈α␈an␈αsee␈αth␈α␈at␈αif␈↓ ε$␈ε	p␈↓ ε@␈εβi␈α↓s␈αl␈α↓a␈α␈rge␈αt␈α␈here␈αi␈α↓s␈αv␈α␈ery␈αh␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αtha␈α␈t
␈β
e␈↓ ↓H␈ε	n␈↓ α↔␈εβ=␈↓ αB␈ε	n␈↓ αi␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈αfor␈αall␈↓ ∧∩␈ε	j␈↓ ∧!␈εβ.␈α≠(If␈αth␈α␈is␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αfa␈α␈i␈α↓ls␈αo␈α}v␈α␈er␈αthe␈αration␈α␈al␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers,␈αit␈αfails␈αfo␈α␈r
␈β
p␈↓ ↓[␈εj␈↓ ↓g␈εε+1␈↓ αV␈εj
␈β∞
␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓l␈↓ ↓u␈ε	p␈↓ αε␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
fur␈α␈ther␈α
ev␈α␈i␈α↓d␈α␈en␈α␈ce␈α
for␈α
the␈α
tex␈α␈t's␈αcla␈α␈i␈α↓m␈α
th␈α␈at␈α
Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈αC␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
alway␈α␈s
␈β∞4␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α↔␈ε	∞␈↓ α9␈εβ=␈↓ αd␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ β∀␈εβ=␈α	1.)
␈β∞?␈↓ α#␈εε2
␈β∞k␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβUsing␈α
the␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈α␈s␈αdev␈α}elop␈α␈ed␈αin␈α
ex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α4,␈αwith␈↓ πV␈ε	f␈↓ πf␈εβ(␈↓ πq␈ε	n␈↓ λ⊂␈εβ,␈↓ λ∨␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ λL␈εβ,␈↓ λZ␈ε	n␈↓ λw␈εβ)␈α
=␈↓ 	6␈ε	∞␈↓ 	h␈εβ,␈αw␈α␈e␈α|␈α␈nd␈α
tha␈α␈t
␈β∞v␈↓ λ∧␈εε1␈↓ λn␈εt␈↓ 	B␈εn␈↓ 	[␈εε0
␈β∞|␈↓ 	R␈ε
t
␈β∂∪␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αp␈α␈roba␈α␈bility␈αis␈α1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1/␈↓ ∧0␈ε	p␈↓ ∧L␈εβi␈α↓f␈↓ ∧l␈ε	n␈↓ ¬	␈εβ>␈α
0␈α␈,␈α1␈α
i␈α↓f␈↓ ε∀␈ε	n␈↓ ε1␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈β∂I␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβAssu␈α␈ming␈α
that␈α
the␈α
con␈α␈stan␈α}t␈αterms␈↓ εε␈ε	u␈↓ ε~␈εβ(0)␈αan␈α␈d␈↓ π␈ε	v␈↓ π≡␈εβ(0)␈α
are␈αn␈α␈on␈α␈zero␈α␈,␈αima␈α␈gine␈α
a␈α\␈α␈righ␈α␈t-to␈α␈-
␈β∂m␈↓ ε<␈εm␈↓ εT␈ε~␈␈↓ εm␈εn
␈β∂q␈↓ ↓H␈εβleft"␈απd␈α␈i␈α↓v␈α␈ision␈απalgo␈α␈rithm,␈↓ ∧&␈ε	u␈↓ ∧:␈εβ(␈↓ ∧E␈ε	x␈↓ ∧W␈εβ)␈α	=␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬'␈εβ(␈↓ ¬2␈ε	x␈↓ ¬C␈εβ)␈↓ ¬N␈ε	q␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	x␈↓ ¬z␈εβ)␈αα+␈↓ ε+␈ε	x␈↓ ε⎇␈ε	r␈↓ π␈εβ(␈↓ π↔␈ε	x␈↓ π(␈εβ),␈α	wh␈α␈ere␈↓ λ!␈εβdeg␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε	r␈↓ λm␈εβ)␈α	<␈↓ 	,␈εβd␈α␈eg␈↓ 	↑␈εβ(␈↓ 	i␈ε	v␈↓ 	z␈εβ).␈α
W␈α↓e␈απob␈α␈tain
␈β⊂_␈↓ ↓H␈εβa␈αgcd␈αalgo␈α␈rithm␈αanlog␈α␈ou␈α␈s␈αto␈αAlgo␈α␈rithm␈α4.5.2B␈↓ εh␈εβ,␈αwhich␈αi␈α↓s␈αessen␈α␈t␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓ly␈αEuclid's␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈β⊂@␈↓ ↓H␈εβa␈α␈pp␈α␈l␈α↓ied␈α
to␈α
th␈α␈e␈α\␈α␈rev␈α␈ers␈α␈e"␈αo␈α␈f␈αth␈α␈e␈αo␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈αin␈α␈pu␈α␈ts␈α(cf.␈αex␈α}ercise␈α
2),␈αafte␈α␈rwards␈α
rev␈α}ersing␈α
the
␈β⊂h␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nsw␈α␈er␈αa␈α␈nd␈α
m␈α␈ultiply␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αb␈α␈y␈αan␈α
ap␈α␈prop␈α␈riate␈αp␈α␈o␈α␈w␈α␈er␈αof␈↓ πB␈ε	x␈↓ πS␈εβ.
␈β⊃≡␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α
un␈α␈i␈α↓ts␈αo␈α␈f␈↓ βK␈ε	S␈↓ βj␈εβ(as␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αzero).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα592␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβIf␈↓ α0␈ε	u␈↓ αD␈εβ(␈↓ αO␈ε	x␈↓ α`␈εβ)␈α
=␈↓ β&␈ε	v␈↓ β8␈εβ(␈↓ βC␈ε	x␈↓ βT␈εβ)␈↓ β←␈ε	w␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∀␈εβ),␈α∂wh␈α␈ere␈↓ ¬→␈ε	u␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε	x␈↓ ¬I␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α
in␈α␈teg␈α␈er␈α
coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α
while␈↓ 	∩␈ε	v␈↓ 	$␈εβ(␈↓ 	/␈ε	x␈↓ 	@␈εβ)␈α
and␈↓ 
≠␈ε	w␈↓ 
4␈εβ(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βαR␈↓ ↓H␈εβra␈α␈tiona␈α␈l␈α∞c␈α␈oe}c␈α␈i␈α↓e␈α␈n␈α␈ts,␈α∞th␈α␈ere␈α
a␈α␈re␈α
in␈α␈teg␈α␈ers␈↓ εε␈ε	m␈↓ ε0␈εβand␈↓ εs␈ε	n␈↓ π∀␈εβsuch␈αtha␈α␈t␈↓ λ,␈ε	m␈↓ λR␈ε↔↓␈↓ λd␈ε	v␈↓ λu␈εβ(␈↓ 	↓␈ε	x␈↓ 	∩␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ 	m␈ε	n␈↓ 

␈ε↔↓␈↓ 
≤␈ε	w␈↓ 
4␈εβ(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
Q␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α␈e
␈βαy␈↓ ↓H␈εβin␈α}teger␈αco␈α␈e}cien␈α}ts.␈αNo␈α␈w␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧G␈εβ(␈↓ ∧R␈ε	x␈↓ ∧d␈εβ)␈αis␈αprimitiv␈α␈e␈α␈,␈αso␈α
we␈αh␈α␈av␈α}e
␈ββE␈↓ ¬{␈εα(␈↓ εu␈εα)␈↓ π,␈εα(␈↓ λ$␈εα)
␈ββH␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Z␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α	=␈ε↔␈α
ε␈↓ ¬V␈εβpp␈↓ επ␈ε	m␈↓ ε,␈ε↔↓␈↓ ε=␈ε	v␈↓ εN␈εβ(␈↓ εY␈ε	x␈↓ εj␈εβ)␈↓ ππ␈εβpp␈↓ π8␈ε	n␈↓ πS␈ε↔↓␈↓ πd␈ε	w␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε	x␈↓ λ→␈εβ)␈↓ λ0␈εβ.
␈β∧∨␈↓ π↓␈εα(␈↓ 	/␈εα)␈↓ 
β␈εα(
␈β∧"␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβWe␈α	can␈αλexten␈α␈d␈α	Algo␈α␈ri␈α↓t␈α␈hm␈α	E␈α	as␈α	follo␈α␈ws:␈α
L␈α↓e␈α␈t␈↓ π
␈ε	u␈↓ π,␈εβ(␈↓ π7␈ε	x␈↓ πI␈εβ),␈↓ πc␈ε	u␈↓ λα␈εβ(␈↓ λ∞␈ε	x␈↓ λ∨␈εβ),␈↓ λ9␈ε	u␈↓ λY␈εβ,␈↓ λg␈ε	u␈↓ 	π␈εβ(␈↓ 	∩␈ε	x␈↓ 	$␈εβ)␈↓ 	D␈εβa␈α␈nd␈↓ 
∂␈ε	v␈↓ 
*␈εβ(␈↓ 
5␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α↓,␈↓ 
`␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β∧-␈↓ π ␈εε1␈↓ πv␈εε2␈↓ λL␈εε3␈↓ λz␈εε4␈↓ 
≥␈εε1␈↓ 
o␈εε2
␈β∧G␈↓ α5␈εα)
␈β∧J␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ,␈↓ ↓r␈ε	v␈↓ α
␈εβ(␈↓ α_␈ε	x␈↓ α*␈εβ)␈↓ αQ␈εβbe␈α⊃q␈α␈ua␈α␈dru␈α␈ples␈α⊃th␈α␈at␈α⊂satisfy␈α⊃th␈α␈e␈α⊃re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈↓ π:␈ε	u␈↓ πZ␈εβ(␈↓ πe␈ε	x␈↓ πw␈εβ)␈↓ λα␈ε	u␈↓ λ⊗␈εβ(␈↓ λ!␈ε	x␈↓ λ2␈εβ)␈α+␈↓ λu␈ε	u␈↓ 	∃␈εβ(␈↓ 	 ␈ε	x␈↓ 	1␈εβ)␈↓ 	<␈ε	v␈↓ 	N␈εβ(␈↓ 	Y␈ε	x␈↓ 	j␈εβ)␈α∪=␈↓ 
<␈ε	u␈↓ 
\␈ε	u␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β∧U␈↓ ↓V␈εε3␈↓ α␈εε4␈↓ πN␈εε1␈↓ 	λ␈εε2␈↓ 
O␈εε3␈↓ 
o␈εε4
␈β∧r␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈↓ α␈ε	u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ)␈α
+␈↓ αz␈ε	v␈↓ β⊗␈εβ(␈↓ β!␈ε	x␈↓ β2␈εβ)␈↓ β=␈ε	v␈↓ βO␈εβ(␈↓ βZ␈ε	x␈↓ βk␈εβ)␈α∂=␈↓ ∧4␈ε	v␈↓ ∧P␈ε	v␈↓ ∧k␈εβ(␈↓ ∧v␈ε	x␈↓ ¬π␈εβ)␈α↓.␈α∀The␈α∞ex␈α␈ten␈α␈ded␈α
algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α∞starts␈α∞with␈α∞th␈α␈e␈α∞qu␈α␈ad␈α␈rup␈α␈l␈α↓e␈α␈s
␈β∧|␈↓ ↓V␈εε1␈↓ β	␈εε2␈↓ ∧C␈εε3␈↓ ∧↑␈εε4
␈β¬⊗␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧␈εα)␈↓ ∧U␈εα(␈↓ πλ␈εα)
␈β¬→␈↓ ↓T␈εβ1␈α␈,␈αε0,␈↓ α∪␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ αQ␈εβ(␈↓ α\␈ε	u␈↓ αp␈εβ),␈↓ β
␈εβp␈α␈p␈↓ β/␈εβ(␈↓ β:␈ε	u␈↓ βN␈εβ(␈↓ βY␈ε	x␈↓ βj␈εβ))␈↓ ∧⊗␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧a␈εβ0␈α␈,␈αε1,␈↓ ¬∨␈εβcon␈α}t␈↓ ¬]␈εβ(␈↓ ¬h␈ε	v␈↓ ¬z␈εβ),␈↓ ε∀␈εβp␈α␈p␈↓ ε9␈εβ(␈↓ εD␈ε	v␈↓ εU␈εβ(␈↓ ε`␈ε	x␈↓ εr␈εβ))␈↓ π≥␈εβan␈α␈d␈α	ma␈α␈nipu␈α␈lates␈α	the␈α␈m␈α	i␈α↓n␈αλsuch␈αλa␈α	way
␈β¬A␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α∞to␈α
p␈α␈reserv␈α}e␈α
the␈α
ab␈α␈o␈α␈v␈α␈e␈α
co␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈ns,␈α∞whe␈α␈re␈↓ εM␈ε	u␈↓ εl␈εβ(␈↓ εw␈ε	x␈↓ π	␈εβ)␈α
and␈↓ πd␈ε	v␈↓ λ␈εβ(␈↓ λ␈ε	x␈↓ λ≤␈εβ)␈α∞ru␈α␈n␈α
thro␈α␈ug␈α␈h␈α
the␈α
sam␈α␈e␈α∞se␈α␈-
␈β¬K␈↓ ε`␈εε4␈↓ πs␈εε4
␈β¬h␈↓ ↓H␈εβq␈α␈uen␈α␈ce␈α∞as␈↓ αd␈ε	u␈↓ αy␈εβ(␈↓ β∧␈ε	x␈↓ β∃␈εβ)␈α∂a␈α␈nd␈↓ βs␈ε	v␈↓ ∧∧␈εβ(␈↓ ∧∂␈ε	x␈↓ ∧!␈εβ)␈α∂d␈α␈o␈α∞i␈α↓n␈α∞Algo␈α␈rithm␈α∞E␈↓ εO␈εβ.␈α⊗If␈↓ π∪␈ε	a␈↓ π#␈ε	u␈↓ πC␈εβ(␈↓ πN␈ε	x␈↓ π`␈εβ)␈α∂=␈↓ λ*␈ε	q␈↓ λ9␈εβ(␈↓ λD␈ε	x␈↓ λV␈εβ)␈↓ λa␈ε	v␈↓ λ|␈εβ(␈↓ 	π␈ε	x␈↓ 	_␈εβ)␈α
+␈↓ 	X␈ε	b␈↓ 	e␈ε	r␈↓ 	t␈εβ(␈↓ 	␈␈ε	x␈↓ 
⊃␈εβ),␈α∂we␈α∞h␈α␈av␈α␈e
␈β¬s␈↓ π7␈εε4␈↓ λo␈εε4
␈βε
␈↓ ↓s␈εα(␈↓ β≥␈εα)␈↓ ∧6␈εα(␈↓ ¬V␈εα)␈↓ ε'␈εα(␈↓ πB␈εα)
␈βε⊂␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓X␈ε	v␈↓ ↓␈␈ε	u␈↓ α∨␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α<␈εβ),␈↓ αU␈ε	u␈↓ αu␈εβ(␈↓ β␈ε	x␈↓ β∩␈εβ)␈↓ β4␈ε↔␈␈↓ β`␈ε	q␈↓ βn␈εβ(␈↓ βy␈ε	x␈↓ ∧␈εβ)␈↓ ∧⊗␈ε	u␈↓ ∧B␈ε	v␈↓ ∧]␈εβ(␈↓ ∧h␈ε	x␈↓ ∧y␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬∪␈ε	v␈↓ ¬/␈εβ(␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬K␈εβ)␈↓ ¬t␈εβ=␈↓ ε3␈ε	r␈↓ εK␈εβ(␈↓ εW␈ε	x␈↓ εh␈εβ),␈↓ πα␈ε	r␈↓ π~␈εβ(␈↓ π%␈ε	x␈↓ π7␈εβ)␈↓ πN␈εβ,␈α∩wh␈α␈ere␈↓ λN␈ε	r␈↓ λf␈εβ(␈↓ λq␈ε	x␈↓ 	β␈εβ)␈↓ 	∞␈ε	u␈↓ 	"␈εβ(␈↓ 	-␈ε	x␈↓ 	>␈εβ)␈α+␈↓ 
␈ε	r␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	x␈↓ 
5␈εβ)␈↓ 
A␈ε	v␈↓ 
R␈εβ(␈↓ 
]␈ε	x␈↓ 
n␈εβ)␈α∩=
␈βε≠␈↓ ↓g␈εε3␈↓ α∩␈εε1␈↓ αi␈εε2␈↓ ∧)␈εε3␈↓ ∧P␈εε1␈↓ ¬"␈εε2␈↓ ε?␈εε1␈↓ π∞␈εε2␈↓ λZ␈εε1␈↓ 
␈εε2
␈βε8␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈ε	u␈↓ ↓u␈ε	v␈↓ α⊂␈ε	r␈↓ α≡␈εβ(␈↓ α*␈ε	x␈↓ α;␈εβ),␈α
so␈α	the␈α	exte␈α␈nd␈α␈ed␈α	algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α
c␈α␈an␈α	pre␈α␈serv␈α␈e␈α	the␈α	d␈α␈esired␈α	relation␈α␈s.␈αIf␈↓ 	o␈ε	u␈↓ 
β␈εβ(␈↓ 
∞␈ε	x␈↓ 
∨␈εβ)␈α
an␈α␈d␈↓ 
s␈ε	v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈βεB␈↓ ↓h␈εε3␈↓ αβ␈εε3
␈βε←␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αrelativ␈α␈e␈α␈l␈α↓y␈αprime,␈αthe␈αex␈α␈ten␈α␈ded␈αalgorith␈α␈m␈αev␈α␈e␈α␈n␈α␈tu␈α␈all␈α↓y␈α|n␈α␈ds␈↓ λS␈ε	r␈↓ λa␈εβ(␈↓ λm␈ε	x␈↓ λ}␈εβ)␈αof␈αde␈α␈gree␈αze␈α␈ro,␈α
a␈α␈nd
␈βπ∧␈↓ π2␈εα(
␈βππ␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈αobt␈α␈ain␈↓ αd␈ε	U␈↓ α␈␈εβ(␈↓ β
␈ε	x␈↓ β≠␈εβ)␈α=␈↓ β`␈ε	r␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	x␈↓ ∧∃␈εβ),␈↓ ∧6␈ε	V␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧k␈εβ)␈α=␈↓ ¬/␈ε	r␈↓ ¬H␈εβ(␈↓ ¬S␈ε	x␈↓ ¬d␈εβ)␈α
as␈α
d␈α␈esired␈α␈.␈↓ π>␈εβIn␈αprac␈α␈ti␈α↓c␈α␈e␈α
w␈α␈e␈α
w␈α␈o␈α␈uld␈αdivid␈α␈e␈↓ 
c␈ε	r␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈βπ⊃␈↓ βl␈εε2␈↓ ¬;␈εε1␈↓ 
o␈εε1
␈βπ+␈↓ ∧∨␈εα(␈↓ ε∪␈εα)␈↓ ε(␈εα)
␈βπ.␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓`␈εβ(␈↓ ↓k␈ε	x␈↓ ↓⎇␈εβ),␈α∂a␈α␈nd␈↓ αc␈ε	b␈↓ αq␈ε	u␈↓ β⊂␈ε	v␈↓ β:␈εβb␈α␈y␈↓ βm␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧+␈εβc␈α␈on␈α␈t␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	r␈↓ ¬␈εβ),␈↓ ¬&␈εβcon␈α}t␈↓ ¬d␈εβ(␈↓ ¬o␈ε	r␈↓ ελ␈εβ)␈↓ ε∨␈εβ.␈↓ εS␈εβCo␈α␈n␈α␈v␈α␈e␈α␈rsely,␈α∂if␈α∞suc␈α␈h␈↓ λ⎇␈ε	U␈↓ 	_␈εβ(␈↓ 	#␈ε	x␈↓ 	5␈εβ)␈α∞a␈α␈nd␈↓ 
⊃␈ε	V␈↓ 
)␈εβ(␈↓ 
4␈ε	x␈↓ 
F␈εβ)␈α∞ex␈α␈ist,
␈βπ9␈↓ ↓T␈εε2␈↓ β∧␈εε3␈↓ β∨␈εε3␈↓ ¬␈εε1␈↓ ¬{␈εε2
␈βπV␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∀␈ε	u␈↓ α(␈εβ(␈↓ α3␈ε	x␈↓ αD␈εβ)␈αand␈↓ β≠␈ε	v␈↓ β-␈εβ(␈↓ β8␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈αha␈α␈v␈α␈e␈αno␈α
comm␈α␈on␈αp␈α␈rime␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs,␈αsin␈α␈ce␈αthe␈α␈y␈αare␈αp␈α␈rimiti␈α↓v␈α}e␈αan␈α␈d␈αh␈α␈av␈α␈e
␈βπ}␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈rs␈αof␈αpo␈α␈siti␈α↓v␈α}e␈αde␈α␈gree.
␈βλ0␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβBy␈απsu␈α␈ccessiv␈α}ely␈απfacto␈α␈ring␈απp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈απt␈α␈hat␈απa␈α␈re␈απred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈απin␈α}to␈απpo␈α␈lyn␈α␈omials␈απof␈απsma␈α␈ll␈α↓e␈α␈r
␈βλW␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈αwe␈αm␈α␈ust␈αobta␈α␈in␈αa␈α|n␈α␈i␈α↓te␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈αof␈αan␈α}y␈αp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
in␈α}to␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈α␈s.␈α∞The
␈βλ␈␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αof␈αthe␈ε⊂␈αc␈α␈on␈α␈te␈α␈n␈α␈t␈εβ␈αi␈α↓s␈αu␈α␈niqu␈α␈e.␈αTo␈αsh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αth␈α␈ere␈αis␈αa␈α␈t␈αmost␈αon␈α␈e␈αfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈β	'␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α∂th␈α␈e␈α∞primitiv␈α␈e␈α∞p␈α␈art,␈α∂the␈α∞k␈α}ey␈α∞resu␈α␈lt␈α∂is␈α∞to␈α∞p␈α␈ro␈α␈v␈α␈e␈α∞th␈α␈at␈α∞if␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ$␈εβ(␈↓ λ/␈ε	x␈↓ λ@␈εβ)␈α∂is␈α∞an␈α∞irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α∞facto␈α␈r
␈β	N␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓p␈ε	v␈↓ α↓␈εβ(␈↓ α␈ε	x␈↓ α≥␈εβ)␈↓ α)␈ε	w␈↓ αA␈εβ(␈↓ αL␈ε	x␈↓ α↑␈εβ),␈α
b␈α␈ut␈αn␈α␈ot␈αa␈αu␈α␈nit␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈α
th␈α␈e␈αirredu␈α␈cible␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈↓ 	⊗␈ε	v␈↓ 	'␈εβ(␈↓ 	2␈ε	x␈↓ 	D␈εβ),␈α
th␈α␈en␈↓ 
2␈ε	u␈↓ 
F␈εβ(␈↓ 
Q␈ε	x␈↓ 
b␈εβ)␈αi␈α↓s␈αa
␈β	v␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctor␈α	of␈↓ αK␈ε	w␈↓ αd␈εβ(␈↓ αo␈ε	x␈↓ β␈εβ)␈α↓.␈α
This␈α	can␈α	b␈α␈e␈α	pro␈α␈v␈α}ed␈α	b␈α␈y␈α	ob␈α␈servin␈α␈g␈α	tha␈α␈t␈↓ πD␈ε	u␈↓ πX␈εβ(␈↓ πc␈ε	x␈↓ πt␈εβ)␈α
is␈α	a␈α	facto␈α␈r␈α
o␈α␈f␈↓ 	F␈ε	v␈↓ 	W␈εβ(␈↓ 	b␈ε	x␈↓ 	t␈εβ)␈↓ 	␈␈ε	w␈↓ 
_␈εβ(␈↓ 
#␈ε	x␈↓ 
4␈εβ)␈↓ 
?␈ε	U␈↓ 
Z␈εβ(␈↓ 
e␈ε	x␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β
≥␈↓ ↓H␈ε	r␈↓ ↓V␈ε	w␈↓ ↓o␈εβ(␈↓ ↓z␈ε	x␈↓ α␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ αG␈ε	w␈↓ α←␈εβ(␈↓ αk␈ε	x␈↓ α|␈εβ)␈↓ βπ␈ε	u␈↓ β≠␈εβ(␈↓ β&␈ε	x␈↓ β8␈εβ)␈↓ βC␈ε	V␈↓ βZ␈εβ(␈↓ βf␈ε	x␈↓ βw␈εβ)␈αby␈α
the␈αre␈α␈sult␈αof␈αex␈α}ercise␈α9,␈αwh␈α␈ere␈↓ πz␈ε	r␈↓ λ∀␈εβis␈αa␈αn␈α␈onz␈α␈ero␈αco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t.
␈β
P␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβThe␈α
on␈α␈l␈α↓y␈α
ro␈α␈w␈α
nam␈α␈es␈α∞n␈α␈eed␈α␈ed␈α∞w␈α␈o␈α␈uld␈α
be␈↓ εP␈ε	A␈↓ εq␈εβ,␈↓ π	␈ε	A␈↓ π+␈εβ,␈↓ πC␈ε	B␈↓ πc␈εβ,␈↓ π{␈ε	B␈↓ λ≠␈εβ,␈↓ λ2␈ε	B␈↓ λR␈εβ,␈↓ λj␈ε	B␈↓ 	
␈εβ,␈↓ 	"␈ε	B␈↓ 	B␈εβ,␈↓ 	Z␈ε	C␈↓ 	|␈εβ,␈↓ 
∀␈ε	C␈↓ 
7␈εβ,␈↓ 
O␈ε	D␈↓ 
r␈εβ.␈α∀In
␈β
Z␈↓ εe␈εε1␈↓ π≡␈εε0␈↓ πV␈εε4␈↓ λ∞␈εε3␈↓ λF␈εε2␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	5␈εε0␈↓ 	p␈εε1␈↓ 
*␈εε0␈↓ 
f␈εε0
␈β
w␈↓ ↓H␈εβg␈α␈ene␈α␈ral,␈α∞let␈↓ αx␈ε	u␈↓ β=␈εβ(␈↓ βH␈ε	x␈↓ βY␈εβ)␈α=␈α
0␈α␈;␈α∞then␈αth␈α␈e␈α
ro␈α␈ws␈α
n␈α␈eed␈α␈ed␈αfor␈α
th␈α␈e␈α
p␈α␈roof␈α
a␈α␈re␈↓ 	⊂␈ε	A␈↓ 
α␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ ↓␈ε	A␈↓ #␈εβ,
␈βα␈↓ β␈εj␈↓ β↔␈εε+2␈↓ 	%␈εn␈↓ 	@␈ε~␈␈↓ 	Z␈εn␈↓ ↔␈εε0
␈β
␈↓ 	5␈επ2␈↓ 	i␈ε
j
␈β∨␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ α6␈εβth␈α␈rou␈α␈gh␈↓ β4␈ε	B␈↓ βT␈εβ,␈↓ βh␈ε	C␈↓ ∧Y␈εβthro␈α␈ug␈α␈h␈↓ ¬W␈ε	C␈↓ ¬z␈εβ,␈↓ ε∞␈ε	D␈↓ π␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ π}␈ε	D␈↓ λ"␈εβ,␈αetc␈α␈.
␈β*␈↓ ↓[␈εn␈↓ ↓v␈ε~␈␈↓ α∂␈εn␈↓ βG␈εε0␈↓ β}␈εn␈↓ ∧→␈ε~␈␈↓ ∧3␈εn␈↓ ¬m␈εε0␈↓ ε%␈εn␈↓ ε@␈ε~␈␈↓ εZ␈εn␈↓ λ∃␈εε0
␈β1␈↓ ↓k␈επ1␈↓ α∨␈ε
j␈↓ ∧∞␈επ2␈↓ ∧C␈ε
j␈↓ ε5␈επ3␈↓ εi␈ε
j
␈βQ␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α,␈ε	n␈↓ αV␈εβ=␈α	0,␈αth␈α␈e␈α
tex␈α␈t'␈α↓s␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈αo␈α␈f␈α
(␈α↓2␈α␈4)␈α
sho␈α}ws␈α
that␈α
th␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈α
o␈α␈f␈αth␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α
is␈ε↔␈α
ε␈↓ ε␈ε	h␈↓ #␈εβ,
␈β[␈↓ ∧(␈ε↓Q
␈β\␈↓ α?␈εk␈↓ ⊗␈εk
␈βr␈↓ ¬5␈ε∞␈↓ ¬m␈εε(␈↓ ¬u␈ε∞␈↓ ε␈ε~␈␈εε1)
␈βt␈↓ βS␈εn
␈βy␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈απthis␈αλequ␈α␈als␈ε↔␈αλε␈↓ βE␈ε	#␈↓ ∧⊃␈εβ/␈↓ ¬'␈ε	#␈↓ ε9␈εβ.␈α
I␈α↓f␈αλth␈α␈e␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλha␈α␈v␈α␈e␈αλa␈απf␈α↓a␈α␈ctor␈αλo␈α␈f␈α	p␈α␈ositiv␈α␈e
␈βz␈↓ ¬?␈ε
j␈↓ ¬K␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬␈␈ε
j
␈β|␈↓ βc␈ε
k␈↓ βp␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β	␈↓ βS␈εk
␈β␈↓ ¬1␈εj
␈β␈↓ ∧J␈εε1␈α␈<␈↓ ∧o␈εj␈↓ ∧{␈εε<␈↓ ¬∃␈εk
␈β!␈↓ ↓H␈εβd␈α␈egre␈α␈e,␈α
we␈α	can␈α	arti|␈α␈ciall␈α↓y␈α	ass␈α␈ume␈α	tha␈α␈t␈α
the␈α	poly␈α␈no␈α␈mial␈α
zero␈α	ha␈α␈s␈α
de␈α␈gree␈α
z␈α␈ero␈α
a␈α␈nd␈α	use␈α	the
␈βH␈↓ ↓H␈εβsa␈α␈me␈αform␈α}ula␈αwith␈↓ βb␈ε	#␈↓ ∧β␈εβ=␈α
0␈α␈.
␈βS␈↓ βm␈εk
␈βp␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈α∩Th␈α␈e␈α∞va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈ε	␈α∞R␈εβ(␈↓ ∧?␈ε	u␈↓ ∧S␈εβ,␈↓ ∧b␈ε	v␈↓ ∧s␈εβ)␈α∂o␈α␈f␈α∞Sy␈α␈l␈α↓v␈α}ester's␈α∞de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈α∞is␈α∞called␈α∞t␈α␈he␈ε⊂␈α∞resu␈α␈ltan␈α}t␈εβ␈α∂o␈α␈f␈↓ _␈ε	u
␈β
∪␈↓ ¬∧␈εεdeg␈↓ ¬*␈εε(␈↓ ¬2␈εu␈↓ ¬B␈εε)␈α↓(␈↓ ¬S␈εεdeg␈↓ ¬y␈εε(␈↓ ε↓␈εu␈↓ ε∩␈εε)␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ π~␈ε~␈␈εε1␈↓ λ_␈ε~0
␈β
↔␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α␈ε	v␈↓ α≤␈εβ,␈α∂a␈α␈nd␈α
the␈α
qu␈α␈an␈α}ti␈α↓ty␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧y␈εβ)␈↓ εa␈ε	#␈↓ εo␈εβ(␈↓ εz␈ε	u␈↓ π∞␈εβ)␈↓ π?␈ε	R␈εβ(␈↓ πb␈ε	u␈↓ πv␈εβ,␈↓ λ∧␈ε	u␈↓ λ∨␈εβ)␈α
i␈α↓s␈α
called␈α
the␈ε⊂␈α
discrimin␈α␈an␈α}t
␈β
;␈↓ β↔␈ε~0
␈β
?␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓r␈ε	u␈↓ αε␈εβ,␈α⊂where␈↓ ββ␈ε	u␈↓ β,␈εβi␈α↓s␈α∞the␈α∞deriv␈α␈ativ␈α␈e␈α∞of␈↓ ¬Y␈ε	u␈↓ ¬m␈εβ.␈α⊗I␈α↓f␈↓ ε1␈ε	u␈↓ εE␈εβ(␈↓ εQ␈ε	x␈↓ εb␈εβ)␈α∂=␈↓ π-␈ε	a␈↓ π>␈εβ(␈↓ πI␈ε	x␈↓ πd␈ε↔␈␈↓ λ∂␈ε	␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λ>␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λj␈εβ(␈↓ λu␈ε	x␈↓ 	⊃␈ε↔␈␈↓ 	<␈ε	␈↓ 	d␈εβ)␈α∂an␈α␈d␈↓ 
C␈ε	v␈↓ 
T␈εβ(␈↓ 
←␈ε	x␈↓ 
q␈εβ)␈α∂=
␈β
J␈↓ λ!␈εε1␈↓ 	M␈εm
␈β
c␈↓ ε≥␈εn␈↓ λq␈εm␈↓ 	λ␈εn␈↓ 	&␈εm
␈β
g␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓U␈εβ(␈↓ ↓`␈ε	x␈↓ ↓v␈ε↔␈␈↓ α≤␈ε	␈␈↓ α9␈εβ)␈↓ αJ␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αv␈εβ(␈↓ β↓␈ε	x␈↓ β↔␈ε↔␈␈↓ β=␈ε	␈␈↓ β↑␈εβ),␈α
w␈α␈e␈α	h␈α␈av␈α␈e␈ε	␈αλR␈εβ␈α↓(␈↓ ¬~␈ε	u␈↓ ¬.␈εβ,␈↓ ¬<␈ε	v␈↓ ¬N␈εβ)␈α	=␈↓ ε
␈ε	a␈↓ ε-␈ε	v␈↓ ε?␈εβ(␈↓ εJ␈ε	␈↓ εh␈εβ)␈↓ εy␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ π%␈ε	v␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	␈↓ πj␈εβ)␈α	=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ λf␈εβ)␈↓ 	→␈ε	b␈↓ 	=␈ε	u␈↓ 	Q␈εβ(␈↓ 	\␈ε	␈␈↓ 	z␈εβ)␈↓ 

␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
7␈ε	u␈↓ 
K␈εβ(␈↓ 
V␈ε	␈␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β
p␈↓ α∩␈ε↓Q
␈β
q␈↓ α-␈εε1␈↓ βN␈εn␈↓ ε[␈εε1␈↓ πS␈εm␈↓ 	m␈εε1␈↓ 
f␈εn
␈β∞
␈↓ ↓X␈εn␈↓ ↓v␈εm
␈β∞∞␈↓ ↓H␈ε	a␈↓ ↓h␈ε	b␈↓ βx␈εβ(␈↓ ∧β␈ε	␈↓ ∧#␈ε↔␈␈↓ ∧H␈ε	␈␈↓ ∧e␈εβ).␈α
I␈α↓t␈αλfollo␈α␈ws␈α	t␈α␈hat␈αλthe␈αλp␈α␈olyn␈α␈omials␈αλof␈α	d␈α␈egre␈α␈e␈↓ 	L␈ε	m␈↓ 	i␈ε	n␈↓ 
ε␈εβin␈↓ 
*␈ε	y␈↓ 
E␈εβd␈α␈e|n␈α␈ed
␈β∞→␈↓ ∧∀␈εi␈↓ ∧Y␈εj
␈β∞!␈↓ α4␈εε1␈ε~∀␈↓ αZ␈εi␈↓ αe␈ε~∀␈↓ α}␈εm␈↓ β∃␈εε,1␈ε~∀␈↓ βB␈εj␈↓ βN␈ε~∀␈↓ βg␈εn
␈β∞6␈↓ λ&␈εm
␈β∞:␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈α	th␈α␈e␈αλrespe␈α␈ctiv␈α␈e␈αλresulta␈α␈n␈α␈ts␈αλwi␈α↓th␈↓ ¬≤␈ε	v␈↓ ¬-␈εβ(␈↓ ¬8␈ε	x␈↓ ¬J␈εβ)␈αλof␈↓ ε↓␈ε	u␈↓ ε∃␈εβ(␈↓ ε ␈ε	y␈↓ ε7␈ε↔␈␈↓ ε\␈ε	x␈↓ εn␈εβ),␈↓ π␈ε	u␈↓ π∨␈εβ(␈↓ π*␈ε	y␈↓ π@␈εβ+␈↓ πf␈ε	x␈↓ πw␈εβ),␈↓ λ∀␈ε	x␈↓ λ=␈ε	u␈↓ λQ␈εβ(␈↓ λ\␈ε	y␈↓ λo␈εβ/␈↓ λ␈␈ε	x␈↓ 	⊃␈εβ),␈α	an␈α␈d␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	y␈↓ 
≡␈ε	x␈↓ 
/␈εβ)␈α	h␈α␈av␈α␈e␈αλa␈α␈s
␈β∞b␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}e␈α	roo␈α␈ts␈α	th␈α␈e␈α	sum␈α␈s␈↓ ∧9␈ε	␈↓ ∧Z␈εβ+␈↓ ¬␈ε	␈␈↓ ¬≤␈εβ,␈α
d␈α␈i␈α↓{eren␈α␈ces␈↓ εP␈ε	␈↓ εp␈ε↔␈␈↓ π⊗␈ε	␈␈↓ π3␈εβ,␈α	pro␈α␈du␈α␈cts␈↓ λL␈ε	␈↓ λh␈ε	␈␈↓ 	¬␈εβ,␈α	an␈α␈d␈α	qu␈α␈otien␈α}ts␈↓ 
c␈ε	␈↓ 
␈␈εβ/␈↓ ⊂␈ε	␈
␈β∞l␈↓ ∧K␈εi␈↓ ¬⊂␈εj␈↓ εa␈εi␈↓ π'␈εj␈↓ λ]␈εi␈↓ λy␈εj␈↓ 
t␈εi␈↓  ␈εj
␈β∂ε␈↓ ↓H␈εα(␈↓ β&␈εα)
␈β∂	␈↓ ↓T␈εβwh␈α␈en␈↓ α)␈ε	v␈↓ α;␈εβ(0␈α␈)␈ε↔␈α
≤␈εβ␈α	0␈↓ β2␈εβ.␈αTh␈α␈i␈α↓s␈α	i␈α↓d␈α␈ea␈α	ha␈α␈s␈α
b␈α␈een␈α	used␈α	b␈α␈y␈α
R␈α␈.␈α
G.␈α
K.␈α
Loos␈α	to␈α
c␈α␈onstr␈α␈uct␈α	algorith␈α␈ms␈α
fo␈α␈r
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβa␈α␈rithme␈α␈ti␈α↓c␈αo␈α␈n␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈ebra␈α␈i␈α↓c␈α
n␈α␈um␈α}bers␈α[␈ε⊂S␈α␈IA␈α↓M␈α
J.␈αComp␈α␈ut␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈εβ␈α(␈ε⊂c␈εβ.␈α197␈α␈9),␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar].
␈β∂X␈↓ α␈εβIf␈αw␈α␈e␈αreplac␈α␈e␈αeac␈α␈h␈αro␈α␈w␈↓ ∧[␈ε	A␈↓ ¬ε␈εβin␈αS␈α␈ylv␈α␈e␈α␈ster's␈αmatrix␈α
by
␈β∂c␈↓ ∧p␈εi
␈β⊂'␈↓ ↓p␈εβ(␈↓ ↓{␈ε	b␈↓ α∪␈ε	A␈↓ α;␈εβ+␈↓ αc␈ε	b␈↓ α|␈ε	A␈↓ βI␈εβ+␈↓ βr␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧ ␈εβ+␈↓ ∧I␈ε	b␈↓ ¬:␈ε	A␈↓ ε⊂␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ(␈↓ εV␈ε	a␈↓ εr␈ε	B␈↓ π_␈εβ+␈↓ π@␈ε	a␈↓ π]␈ε	B␈↓ λ(␈εβ+␈↓ λP␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ λ␈␈εβ+␈↓ 	'␈ε	a␈↓ 
≤␈ε	B␈↓ 
p␈εβ),
␈β⊂2␈↓ απ␈εε0␈↓ α)␈εi␈↓ αo␈εε1␈↓ β⊃␈εi␈↓ β≤␈εε+1␈↓ ∧U␈εn␈↓ ∧p␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ ¬/␈εi␈↓ ¬O␈εn␈↓ ¬j␈ε~␈␈εε1␈↓ εf␈εε0␈↓ πε␈εi␈↓ πP␈εε1␈↓ πp␈εi␈↓ π{␈εε+1␈↓ 	7␈εn␈↓ 	R␈ε~␈␈εε1␈ε~␈␈↓ 
⊃␈εi␈↓ 
/␈εn␈↓ 
J␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β⊂:␈↓ ∧e␈επ2␈↓ ¬←␈επ2␈↓ 	G␈επ2␈↓ 
?␈επ2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
then␈α
d␈α␈el␈α↓e␈α␈te␈αro␈α␈ws␈↓ ∧↓␈ε	B␈↓ ∧`␈εβthr␈α␈oug␈α␈h␈↓ ¬↑␈ε	B␈↓ ε	␈εβa␈α␈nd␈α
the␈αla␈α␈st␈↓ πA␈ε	n␈↓ πl␈εβcolu␈α␈mns␈α␈,␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈α
an␈↓ 
=␈ε	n␈↓ 
d␈ε↔α␈↓ 
␈ε	n
␈β⊃↓␈↓ ∧∀␈εn␈↓ ∧/␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬q␈εε0␈↓ πT␈εε2␈↓ 
P␈εε1␈↓  ␈εε1
␈β⊃	␈↓ ∧$␈επ2
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t␈α
for␈α	th␈α␈e␈α
re␈α␈sultan␈α}t␈α
ins␈α␈tead␈α	o␈α␈f␈α
the␈α	o␈α␈ri␈α↓g␈α␈i␈α↓n␈α␈al␈α	(␈↓ πF␈ε	n␈↓ πj␈εβ+␈↓ λ⊃␈ε	n␈↓ λ1␈εβ)␈ε↔␈α¬α␈εβ␈αε(␈↓ λs␈ε	n␈↓ 	_␈εβ+␈↓ 	>␈ε	n␈↓ 	↑␈εβ)␈α
d␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t.
␈β⊃)␈↓ πY␈εε1␈↓ λ$␈εε2␈↓ 	ε␈εε1␈↓ 	Q␈εε2
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα593
␈βα+␈↓ ↓H␈εβIn␈α
some␈αca␈α␈ses␈αthe␈αre␈α␈sultan␈α}t␈αcan␈αb␈α␈e␈αev␈α␈alua␈α␈ted␈αe}␈α␈cien␈α␈tly␈αb␈α␈y␈αme␈α␈ans␈αo␈α␈f␈αth␈α␈is␈αd␈α␈eterm␈α␈i␈α↓n␈α␈an␈α}t;
␈βαS␈↓ ↓H␈εβse␈α␈e␈ε⊂␈αCA␈α␈CM␈ε∪␈α12␈εβ␈α
(196␈α␈9),␈α23↑␈α␈30,␈α30␈α␈2↑3␈α␈03.
␈βα{␈↓ α␈εβJ.␈α∞T.␈α∞Sch␈α}wartz␈α∞h␈α␈as␈α∞sh␈α␈o␈α␈wn␈α∞th␈α␈at␈α∞resu␈α␈ltan␈α}ts␈α∞and␈α
Stu␈α␈rm␈α∞seq␈α␈uen␈α␈ces␈α∞for␈α∞p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈ββ∨␈↓ ε\␈εε2
␈ββ ␈↓ ¬a␈εα(␈↓ εh␈εα)
␈ββ#␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈α
d␈α␈eg␈α␈ree␈↓ αX␈ε	n␈↓ αx␈εβcan␈αbe␈αev␈α␈alu␈α␈ated␈αwith␈↓ ¬I␈ε	O␈↓ ¬m␈ε	n␈↓ εα␈εβ(␈↓ ε
␈εβlog␈↓ ε=␈ε	n␈↓ εQ␈εβ)␈↓ π↓␈εβo␈α␈per␈α␈ation␈α␈s␈α
a␈α␈s␈↓ λL␈ε	n␈↓ λk␈ε↔!␈α1␈εβ␈α↓.␈α≠[\Proba␈α␈bilisti␈α↓c
␈ββK␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfor␈αv␈α␈e␈α␈ri␈α↓|␈α␈catio␈α␈n␈αof␈αp␈α␈olyn␈α␈omial␈αiden␈α}tities,"␈αto␈αap␈α␈pe␈α␈ar.]
␈ββ}␈↓ πv␈εα(␈↓ 	g␈εα)
␈β∧↓␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈εβOn␈α␈e␈αca␈α␈n␈α
sho␈α}w␈αby␈α
in␈α␈du␈α␈ction␈α
on␈↓ ¬Q␈ε	j␈↓ ¬j␈εβtha␈α␈t␈αth␈α␈e␈αv␈α␈alue␈α␈s␈αof␈↓ λα␈ε	u␈↓ λG␈εβ(␈↓ λR␈ε	x␈↓ λd␈εβ),␈↓ λ}␈ε	g␈↓ 	<␈εβ,␈↓ 	K␈ε	h␈↓ 	⎇␈εβare␈α
rep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced
␈β∧␈↓ λ∃␈εj␈↓ λ!␈εε+␈α↓1␈↓ 	
␈εj␈↓ 	↔␈εε+1␈↓ 	[␈εj
␈β∧$␈↓ βJ␈εε1+␈↓ βp␈εp␈↓ ¬0␈εε2+␈↓ ¬V␈εp␈↓ ε(␈εp
␈β∧&␈↓ β1␈εα(␈↓ ε`␈εα)
␈β∧)␈↓ ↓H␈εβre␈α␈spec␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈αby␈↓ β=␈ε	#␈↓ ∧␈ε	w␈↓ ∧%␈εβ(␈↓ ∧0␈ε	x␈↓ ∧B␈εβ)␈↓ ∧M␈ε	u␈↓ ∧l␈εβ(␈↓ ∧w␈ε	x␈↓ ¬λ␈εβ)␈α↓,␈↓ ¬"␈ε	#␈↓ ¬r␈ε	g␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε~␈ε	#␈↓ εD␈ε	h␈↓ εx␈εβfor␈↓ π-␈ε	j␈↓ πH␈ε↔∃␈εβ␈α2,␈α
whe␈α␈re␈↓ λ|␈ε	p␈↓ 	$␈εβ=␈↓ 	P␈ε	n␈↓ 	x␈εβ+␈↓ 
"␈ε	n␈↓ 
J␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈↓ ∧␈ε	n␈↓ #␈εβ.
␈β∧,␈↓ β⎇␈ε
j␈↓ ¬c␈ε
j␈↓ ε5␈ε
j
␈β∧4␈↓ ∧`␈εj␈↓ ¬␈␈εj␈↓ εT␈εj␈↓ 	␈εj␈↓ 	c␈εε1␈↓ 
5␈εε2␈↓ ↔␈εj
␈β∧N␈↓ ↓H␈εα(␈↓ π\␈εα)
␈β∧Q␈↓ ↓T␈εβIn␈α
spite␈αof␈αth␈α␈is␈αgro␈α␈wth␈α␈,␈αth␈α␈e␈αbo␈α␈un␈α␈d␈α(26␈α␈)␈αremain␈α␈s␈αva␈α␈l␈α↓id␈α␈.
␈β¬β␈↓ 	r␈εk
␈β¬π␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβLet␈↓ αH␈ε	p␈↓ αc␈εβb␈α␈e␈α
a␈α	prime␈α
o␈α␈f␈α
the␈α	dom␈α␈ain,␈α
an␈α␈d␈α
let␈↓ εQ␈ε	j␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εn␈ε	k␈↓ π	␈εβb␈α␈e␈α
ma␈α␈xim␈α␈u␈α␈m␈α
su␈α␈ch␈α
th␈α␈at␈↓ 	a␈ε	p␈↓ 
¬␈ε↔∧␈↓ 
≠␈ε	v␈↓ 
C␈εβ=␈↓ 
n␈ε	#␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	v␈↓ _␈εβ),
␈β¬∩␈↓ 
*␈εn
␈β¬+␈↓ ↓Y␈εj␈↓ βq␈εk␈↓ 
`␈εs␈↓ _␈εs
␈β¬/␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓j␈ε↔∧␈↓ α␈ε	v␈↓ αE␈εβ.␈αLet␈↓ β∃␈ε	P␈↓ β6␈εβ=␈↓ β`␈ε	p␈↓ β}␈εβ.␈αBy␈α
Algo␈α␈rithm␈α	R␈α
w␈α␈e␈α
ma␈α␈y␈α	wri␈α↓te␈↓ πQ␈ε	q␈↓ π`␈εβ(␈↓ πk␈ε	x␈↓ π|␈εβ)␈α
=␈↓ λ;␈ε	a␈↓ λ]␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	P␈↓ 	≤␈ε	a␈↓ 	8␈ε	x␈↓ 	O␈εβ+␈↓ 	u␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 
"␈εβ+␈↓ 
I␈ε	P␈↓ 
l␈ε	a␈↓ π␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β¬:␈↓ α∂␈εn␈↓ α∨␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λK␈εε0␈↓ 	+␈εε1␈↓ 
{␈εs
␈β¬S␈↓ λ↓␈εn␈↓ λ∩␈εε+1␈↓ λ\␈εn␈↓ 	O␈εn␈↓ 	`␈ε~␈␈εε1
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α&␈ε	s␈↓ α=␈εβ=␈↓ αh␈ε	m␈↓ β
␈ε↔␈␈↓ β0␈ε	n␈↓ βN␈ε↔∃␈εβ␈α	2.␈α
L␈α↓e␈α␈t␈α
u␈α␈s␈α
lo␈α␈ok␈α	at␈α	th␈α␈e␈α	coe}␈α␈cien␈α␈ts␈α	of␈↓ πp␈ε	x␈↓ λ8␈εβ,␈↓ λJ␈ε	x␈↓ λl␈εβ,␈α
an␈α␈d␈↓ 	>␈ε	x␈↓ 
∂␈εβin␈↓ 
4␈ε	v␈↓ 
E␈εβ(␈↓ 
P␈ε	x␈↓ 
b␈εβ)␈↓ 
m␈ε	q␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈β¬z␈↓ βT␈εε2
␈β¬}␈↓ ↓H␈εβn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ α<␈ε	P␈↓ αS␈ε	a␈↓ αo␈ε	v␈↓ β∃␈εβ+␈↓ β=␈ε	P␈↓ βa␈ε	a␈↓ β⎇␈ε	v␈↓ ∧H␈εβ+␈↓ ∧p␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ¬≤␈εβ,␈↓ ¬0␈ε	a␈↓ ¬L␈ε	v␈↓ ¬r␈εβ+␈↓ ε~␈ε	P␈↓ ε1␈ε	a␈↓ εM␈ε	v␈↓ π→␈εβ+␈↓ π@␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ πm␈εβ,␈αa␈α␈nd␈↓ λA␈ε	a␈↓ λ]␈ε	v␈↓ 	(␈εβ+␈↓ 	P␈ε	P␈↓ 	h␈ε	a␈↓ 
∧␈ε	v␈↓ 
O␈εβ+␈↓ 
w␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ #␈εβ,
␈βε	␈↓ αc␈εε1␈↓ α}␈εn␈↓ βp␈εε2␈↓ ∧␈εn␈↓ ∧≤␈ε~␈␈εε1␈↓ ¬@␈εε0␈↓ ¬[␈εn␈↓ εA␈εε1␈↓ ε\␈εn␈↓ εl␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ λP␈εε0␈↓ λl␈εn␈↓ λ|␈ε~␈␈εε1␈↓ 	w␈εε1␈↓ 
∩␈εn␈↓ 
#␈ε~␈␈εε2
␈βε"␈↓ ¬α␈εε3␈↓ λy␈εj
␈βε&␈↓ ↓H␈εβe␈α␈ach␈απof␈αλwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αλis␈αλa␈απm␈α␈ultiple␈αλo␈α␈f␈↓ ∧j␈ε	P␈↓ ¬∂␈εβ.␈α
We␈αλco␈α␈nclu␈α␈de␈απf␈α↓ro␈α␈m␈αλth␈α␈e␈αλ|␈α␈rst␈αλtha␈α␈t␈↓ λh␈ε	p␈↓ 	λ␈ε↔∧␈↓ 	≤␈ε	a␈↓ 	8␈εβ,␈α	fro␈α␈m␈αλthe␈απseco␈α␈nd
␈βε0␈↓ 	+␈εε1
␈βεI␈↓ α≡␈εεmin␈↓ αH␈εε(␈↓ αQ␈εk␈↓ α↑␈εε,2␈↓ αq␈εj␈↓ α⎇␈εε)
␈βεJ␈↓ λs␈εα(
␈βεM␈↓ ↓H␈εβth␈α␈at␈↓ α
␈ε	p␈↓ β
␈ε↔∧␈↓ β∨␈ε	a␈↓ β;␈εβ,␈α	the␈α␈n␈αλf␈α↓r␈α␈om␈αλthe␈αλthird␈αλth␈α␈at␈↓ ε1␈ε	P␈↓ εL␈ε↔∧␈↓ εa␈ε	a␈↓ ε⎇␈εβ.␈αHen␈α␈ce␈↓ πp␈ε	P␈↓ λ␈ε↔∧␈↓ λ!␈ε	r␈↓ λ/␈εβ(␈↓ λ:␈ε	x␈↓ λL␈εβ).␈↓ λ␈␈εβIf␈↓ 	≡␈ε	m␈↓ 	C␈εβw␈α␈ere␈α	o␈α␈nly␈↓ 
U␈ε	n␈↓ 
m␈εβ+␈α¬1␈α␈,
␈βεX␈↓ β.␈εε0␈↓ εq␈εε0
␈βεq␈↓ ε∂␈ε~d␈↓ ε→␈εk␈↓ ε&␈εε/2␈ε~e␈↓ 
W␈εε3
␈βεu␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αb␈α␈est␈αw␈α␈e␈α
cou␈α␈ld␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αw␈α␈ou␈α␈ld␈αb␈α␈e␈αth␈α␈at␈↓ ¬}␈ε	p␈↓ εT␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ πE␈ε	r␈↓ πS␈εβ(␈↓ π↑␈ε	x␈↓ πp␈εβ);␈αe.g.,␈αco␈α␈nside␈α␈r␈↓ 	V␈ε	u␈↓ 	j␈εβ(␈↓ 	u␈ε	x␈↓ 
π␈εβ)␈α	=␈↓ 
E␈ε	x␈↓ 
j␈εβ+␈αλ1␈α␈,
␈βπ→␈↓ αV␈εε2
␈βπ≥␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈α
=␈α	4␈↓ αE␈ε	x␈↓ αf␈εβ+␈α∧2␈↓ β≠␈ε	x␈↓ β0␈εβ+␈αβ1,␈↓ βw␈ε	r␈↓ ∧¬␈εβ(␈↓ ∧⊂␈ε	x␈↓ ∧"␈εβ)␈α	=␈α
1␈α␈8.␈α
On␈αλth␈α␈e␈αλo␈α␈ther␈αλh␈α␈an␈α␈d,␈α	a␈α␈n␈αλa␈α␈rgu␈α␈men␈α␈t␈απbase␈α␈d␈αλo␈α␈n␈αλd␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈α␈s
␈βπ@␈↓ λ!␈εεde␈α↓g␈↓ λG␈εε(␈↓ λP␈εv␈↓ λ↑␈εε)␈ε~␈␈↓ λ␈␈εεde␈α↓g␈↓ 	%␈εε(␈↓ 	.␈εr␈↓ 	:␈εε)␈ε~␈␈εε1
␈βπD␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αmatrices␈α
l␈α↓ik␈α␈e␈α
(21)␈αa␈α␈nd␈α
(␈α↓2␈α␈2)␈αca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αuse␈α␈d␈αto␈α
sho␈α␈w␈αth␈α␈at␈↓ πo␈ε	#␈↓ π⎇␈εβ(␈↓ λλ␈ε	r␈↓ λ⊗␈εβ)␈↓ 	h␈ε	r␈↓ 	w␈εβ(␈↓ 
α␈ε	x␈↓ 
∪␈εβ)␈αis␈αalway␈α␈s
␈βπh␈↓ βB␈εε(␈↓ βJ␈εεde␈α↓g␈↓ βp␈εε(␈↓ βy␈εu␈↓ ∧	␈εε)␈ε~␈␈↓ ∧+␈εεdeg␈↓ ∧P␈εε(␈↓ ∧Y␈εv␈↓ ∧g␈εε))␈α↓(␈↓ ¬␈εεdeg␈↓ ¬&␈εε(␈↓ ¬.␈εv␈↓ ¬=␈εε)␈ε~␈␈↓ ¬↑␈εεde␈α↓g␈↓ ε∧␈εε(␈↓ ε
␈εr␈↓ ε→␈εε)␈ε~␈␈εε1)
␈βπi␈↓ εY␈εα)
␈βπl␈↓ ↓H␈εβa␈α
m␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ β
␈ε	#␈↓ β~␈εβ(␈↓ β&␈ε	v␈↓ β7␈εβ)␈↓ εO␈εβ.
␈βλ#␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	c␈↓ αx␈εβ=␈↓ β$␈ε	a␈↓ βK␈ε	a␈↓ β{␈εβ+␈↓ ∧$␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ∧S␈εβ+␈↓ ∧|␈ε	a␈↓ ¬'␈ε	a␈↓ ¬S␈εβ;␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ λ"␈ε	c␈↓ λO␈εβ>␈α0␈αfo␈α␈r␈αall␈↓ 	|␈ε	i␈↓ 
λ␈εβ.␈α∂If␈↓ 
B␈ε	c␈↓ 
p␈ε↔≤␈εβ␈α0
␈βλ-␈↓ αV␈εi␈↓ αa␈εj␈↓ β3␈εi␈↓ β>␈εε1␈↓ βZ␈εj␈↓ βf␈εε1␈↓ ¬␈εi␈↓ ¬↔␈εn␈↓ ¬6␈εj␈↓ ¬C␈εn␈↓ λ.␈εi␈↓ λ9␈εi␈↓ 
N␈εi␈↓ 
Y␈εj
␈βλJ␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈αsome␈↓ αN␈ε	i␈↓ αd␈ε↔≤␈↓ β∂␈ε	j␈↓ β≡␈εβ,␈αw␈α␈e␈αca␈α␈n␈αrep␈α␈lace␈αr␈α␈o␈α␈w␈↓ ¬P␈ε	i␈↓ ¬h␈εβb␈α␈y␈α(␈↓ ε#␈ε	a␈↓ εQ␈ε↔␈␈↓ εy␈ε	c␈↓ πε␈ε	a␈↓ π/␈εβ,␈↓ π=␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ πj␈εβ,␈↓ πy␈ε	a␈↓ λ*␈ε↔␈␈↓ λS␈ε	c␈↓ λ`␈ε	a␈↓ 	␈εβ),␈αwh␈α␈ere␈↓ 
␈ε	c␈↓ 
!␈εβ=␈↓ 
L␈ε	c␈↓ 
n␈εβ/␈↓ 
␈␈ε	c␈↓ #␈εβ;
␈βλU␈↓ ε2␈εi␈↓ ε=␈εε1␈↓ π⊗␈εj␈↓ π"␈εε1␈↓ λλ␈εi␈↓ λ∪␈εn␈↓ λo␈εj␈↓ λ{␈εn␈↓ 
X␈εi␈↓ 
b␈εj␈↓ ␈εj␈↓ ↔␈εj
␈βλr␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
doe␈α␈s␈α
not␈α
c␈α␈han␈α␈ge␈α
th␈α␈e␈α
va␈α␈lue␈α
of␈α
th␈α␈e␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t,␈α∞a␈α␈nd␈αi␈α↓t␈α
d␈α␈ecrea␈α␈ses␈α
the␈αvalu␈α␈e␈α
of␈α
the
␈β	∃␈↓ λ4␈εε2
␈β	~␈↓ ↓H␈εβu␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α	w␈α␈e␈α
wish␈α	to␈α
p␈α␈ro␈α␈v␈α}e,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ¬]␈ε	c␈↓ ελ␈εβi␈α↓s␈α	replac␈α␈ed␈α	by␈↓ πY␈ε	c␈↓ λ␈ε↔␈␈↓ λ'␈ε	c␈↓ λK␈εβ/␈↓ λ[␈ε	c␈↓ λ}␈εβ.␈αTh␈α␈ese␈α
re␈α␈place␈α␈men␈α␈t␈α␈s
␈β	$␈↓ ¬i␈εi␈↓ ¬t␈εi␈↓ πe␈εi␈↓ πp␈εi␈↓ λg␈εi␈↓ λr␈εj
␈β	)␈↓ λ4␈εi␈↓ λ?␈εj
␈β	A␈↓ ↓H␈εβc␈α␈an␈αbe␈αdon␈α␈e␈α
in␈αa␈α
sy␈α␈stema␈α␈tic␈α
way␈αfor␈α
in␈α␈creas␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ π
␈ε	i␈↓ π&␈εβan␈α␈d␈α
fo␈α␈r␈↓ λ≡␈ε	j␈↓ λ9␈εβ<␈↓ λg␈ε	i␈↓ λs␈εβ,␈α∞u␈α␈n␈α␈til␈↓ 	Z␈ε	c␈↓ 
	␈εβ=␈α0␈α
for␈αall
␈β	L␈↓ 	f␈εi␈↓ 	q␈εj
␈β	f␈↓ α3␈εα(
␈β	i␈↓ ↓H␈ε	i␈↓ ↓↑␈ε↔≤␈↓ αλ␈ε	j␈↓ α↔␈εβ.␈↓ α?␈εβThe␈αλl␈α↓a␈α␈tter␈αλalgorith␈α␈m␈α	is␈α	c␈α␈all␈α↓e␈α␈d␈αλ\Sc␈α␈hmid␈α␈t'␈α↓s␈αλorth␈α␈ogo␈α␈na␈α␈l␈α↓iza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αλpro␈α␈cess";␈α	see␈ε⊂␈αλMath␈α␈.
␈β
␈↓ ¬h␈εε2␈↓ π∂␈εT
␈β

␈↓ ∧ ␈εα)
␈β
⊂␈↓ ↓H␈ε⊂An␈α␈na␈α␈l␈α↓e␈α␈n␈ε∪␈α63␈εβ␈α
(190␈α␈7),␈α4␈α␈42␈α␈.␈↓ ∧7␈εβTh␈α␈en␈↓ ¬∞␈εβd␈α␈et␈↓ ¬<␈εβ(␈↓ ¬G␈ε	A␈↓ ¬]␈εβ)␈↓ ¬}␈εβ=␈↓ ε)␈εβd␈α␈et␈↓ εW␈εβ(␈↓ εb␈ε	A␈↓ εx␈ε	A␈↓ π!␈εβ)␈α	=␈↓ π`␈ε	c␈↓ λ␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ λ7␈ε	c␈↓ λd␈εβ.
␈β
≠␈↓ πl␈εε1␈α␈1␈↓ λC␈εn␈↓ λS␈εn
␈β
C␈↓ ¬{␈εm
␈β
G␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβLet␈↓ αI␈ε	f␈↓ αY␈εβ(␈↓ αd␈ε	x␈↓ β␈εβ,␈↓ β∂␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β;␈εβ,␈↓ βJ␈ε	x␈↓ βj␈εβ)␈α
=␈↓ ∧*␈ε	g␈↓ ∧N␈εβ(␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧u␈εβ,␈↓ ¬∧␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬0␈εβ,␈↓ ¬?␈ε	x␈↓ ¬←␈εβ)␈↓ ¬j␈ε	x␈↓ ε~␈εβ+␈↓ εC␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ εq␈εβ+␈↓ π~␈ε	g␈↓ π4␈εβ(␈↓ π?␈ε	x␈↓ π[␈εβ,␈↓ πj␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ λ⊗␈εβ,␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λE␈εβ),␈αand␈α
l␈α↓et␈↓ 	V␈ε	g␈↓ 	f␈εβ(␈↓ 	q␈ε	x␈↓ 

␈εβ,␈↓ 
≠␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
H␈εβ,␈↓ 
W␈ε	x␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈β
R␈↓ αt␈εε1␈↓ βZ␈εn␈↓ ∧7␈εm␈↓ ∧h␈εε2␈↓ ¬O␈εn␈↓ π'␈εε0␈↓ πN␈εε2␈↓ λ4␈εn␈↓ 
␈εε2␈↓ 
f␈εn
␈β
V␈↓ ¬{␈εε1
␈β
k␈↓ βλ␈εε2␈↓ ¬P␈εε2
␈β
o␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈ε	x␈↓ α∪␈εβ,␈↓ α"␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ αN␈εβ,␈↓ α]␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ)␈↓ β≤␈εβ+␈↓ βD␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ βr␈εβ+␈↓ ∧~␈ε	g␈↓ ∧4␈εβ(␈↓ ∧?␈ε	x␈↓ ∧[␈εβ,␈↓ ∧j␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ¬⊗␈εβ,␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬E␈εβ)␈↓ ¬\␈εβ;␈αth␈α␈e␈αlatt␈α␈er␈αis␈αno␈α␈t␈αiden␈α}tically␈αze␈α␈ro.␈αW␈α↓e␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈↓ 
[␈ε	a␈↓ ␈ε↔∀
␈β
y␈↓ ↓U␈εm␈↓ αε␈εε2␈↓ αl␈εn␈↓ ∧'␈εε0␈↓ ∧N␈εε2␈↓ ¬4␈εn␈↓ 
j␈εN
␈β∩␈↓ αe␈εn␈↓ αv␈ε~␈␈εε1
␈β⊗␈↓ ↓H␈ε	m␈↓ ↓e␈εβ(2␈↓ α↓␈ε	N␈↓ α$␈εβ+␈α∧1␈↓ αZ␈εβ)␈↓ β ␈εβ+␈α∧(2␈↓ βa␈ε	N␈↓ ∧∧␈εβ+␈α¬1␈α␈)␈↓ ∧F␈ε	b␈↓ ∧i␈εβ,␈α
wh␈α␈ere␈↓ ¬Z␈ε	b␈↓ εε␈εβcou␈α␈n␈α␈ts␈α	th␈α␈e␈α	in␈α}teger␈αλsolution␈α␈s␈α	o␈α␈f␈↓ 	<␈ε	g␈↓ 	L␈εβ(␈↓ 	W␈ε	x␈↓ 	s␈εβ,␈↓ 
α␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
.␈εβ,␈↓ 
=␈ε	x␈↓ 
]␈εβ)␈α	=␈α
0
␈β!␈↓ ∧R␈εN␈↓ ¬f␈εN␈↓ 	g␈εε2␈↓ 
M␈εn
␈β:␈↓ π}␈εn␈↓ 
m␈εn␈↓ 
⎇␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈β>␈↓ ↓H␈εβwith␈α¬va␈α␈ri␈α↓a␈α␈bles␈α¬bou␈α␈nd␈α␈ed␈α¬by␈↓ ∧B␈ε	N␈↓ ∧a␈εβ.␈α	Hence␈↓ ¬P␈εβli␈α↓m␈↓ εN␈ε	a␈↓ εu␈εβ/(2␈↓ π"␈ε	N␈↓ πA␈εβ+␈α↓1␈↓ πs␈εβ)␈↓ λ_␈εβ=␈↓ λB␈εβl␈α↓im␈↓ 	@␈ε	b␈↓ 	d␈εβ/(2␈↓ 
⊃␈ε	N␈↓ 
0␈εβ+1␈↓ 
b␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈βI␈↓ ¬}␈εN␈↓ ε⊗␈ε~!1␈↓ ε↑␈εN␈↓ λq␈εN␈↓ 	λ␈ε~!␈α↓1␈↓ 	L␈εN
␈βf␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
this␈αis␈αzero␈αb␈α␈y␈αind␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n.
␈β≥␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃Fo␈α␈r␈α⊃con␈α}v␈α␈en␈α␈ience␈α␈,␈α∪let␈α⊃u␈α␈s␈α⊃desc␈α␈ri␈α↓b␈α␈e␈α⊃th␈α␈e␈α⊃algo␈α␈rithm␈α⊃o␈α␈nly␈α⊂for␈↓ 	"␈ε	A␈↓ 	K␈εβ=␈ε↔␈α∪f␈↓ 
⊂␈ε	a␈↓ 
!␈εβ,␈↓ 
/␈ε	b␈↓ 
=␈ε↔g␈εβ␈α␈.␈α≥The
␈βD␈↓ ↓H␈εβh␈α}yp␈α␈oth␈α␈eses␈απi␈α↓m␈α␈ply␈απtha␈α␈t␈↓ ∧
␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧?␈εβ(␈↓ ∧J␈ε	Q␈↓ ∧l␈ε	U␈↓ ¬λ␈εβ)␈α	=␈↓ ¬G␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬y␈εβ(␈↓ ε∧␈ε	Q␈↓ ε&␈ε	V␈↓ ε>␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈εβ␈α	0,␈αλan␈α␈d␈↓ π\␈εβdeg␈↓ λ∞␈εβ(␈↓ λ→␈ε	Q␈↓ λ<␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ λ{␈εβde␈α␈g␈↓ 	-␈εβ(␈↓ 	8␈ε	Q␈↓ 	[␈εβ).␈α
If␈↓ 
↔␈εβd␈α␈eg␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈ε	Q␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈βO␈↓ ∧`␈εε1␈↓ ε~␈εε2␈↓ λ0␈εε1␈↓ 	N␈εε2␈↓ 
j␈εε1
␈βl␈↓ ↓H␈εβ0␈α␈,␈α
th␈α␈en␈↓ α;␈ε	Q␈↓ αj␈εβis␈αjust␈αa␈αn␈α␈on␈α␈zero␈αr␈α␈ation␈α␈al␈α
n␈α}um␈α}ber,␈αso␈αw␈α␈e␈αset␈↓ πz␈ε	Q␈↓ λ≥␈εβ=␈↓ λI␈ε	Q␈↓ λl␈εβ/␈↓ λ⎇␈ε	Q␈↓ 	 ␈εβ.␈α∞Oth␈α␈erwise␈αw␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈t
␈βv␈↓ αQ␈εε1␈↓ λ`␈εε2␈↓ 	∪␈εε1
␈β
∪␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓t␈εβ=␈↓ α∨␈ε	a␈↓ α0␈ε	Q␈↓ αg␈εβ+␈↓ β∂␈ε	b␈↓ β≥␈ε	Q␈↓ βT␈εβ+␈↓ β⎇␈ε	r␈↓ ∧∃␈εβ,␈↓ ∧*␈ε	Q␈↓ ∧V␈εβ=␈↓ ¬↓␈ε	a␈↓ ¬∩␈ε	Q␈↓ ¬I␈εβ+␈↓ ¬r␈ε	b␈↓ ¬␈␈ε	Q␈↓ ε6␈εβ+␈↓ ε←␈ε	r␈↓ εw␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ πl␈ε	r␈↓ λ⊂␈εβan␈α␈d␈↓ λQ␈ε	r␈↓ λu␈εβare␈αra␈α␈ti␈α↓o␈α␈na␈α␈l␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈b␈α␈ers;
␈β
≡␈↓ ↓↑␈εε1␈↓ αF␈εε1␈α␈1␈↓ β3␈εε1␈α␈2␈↓ ∧λ␈εε1␈↓ ∧@␈εε2␈↓ ¬(␈εε2␈α␈1␈↓ ε∃␈εε22␈↓ εk␈εε2␈↓ πx␈εε1␈↓ λ]␈εε2
␈β
;␈↓ ↓H␈εβit␈αfollo␈α␈ws␈αth␈α␈at
␈β∞
␈↓ αf␈ε	Q␈↓ β	␈ε	U␈↓ β+␈ε↔␈␈↓ βT␈ε	Q␈↓ βw␈ε	V␈↓ ∧_␈εβ=␈↓ ∧C␈ε	a␈↓ ∧S␈εβ(␈↓ ∧↑␈ε	Q␈↓ ¬∞␈ε	U␈↓ ¬0␈ε↔␈␈↓ ¬Y␈ε	Q␈↓ ελ␈ε	V␈↓ ε ␈εβ)␈απ+␈↓ ε[␈ε	b␈↓ εh␈εβ(␈↓ εt␈ε	Q␈↓ π#␈ε	U␈↓ πE␈ε↔␈␈↓ πn␈ε	Q␈↓ λ≡␈ε	V␈↓ λ5␈εβ)␈αλ+␈↓ λq␈ε	r␈↓ 		␈ε	U␈↓ 	,␈ε↔␈␈↓ 	T␈ε	r␈↓ 	m␈ε	V␈↓ 
¬␈εβ.
␈β∞_␈↓ α|␈εε1␈↓ βj␈εε2␈↓ ∧t␈εε11␈↓ ¬o␈εε21␈↓ π
␈εε1␈α␈2␈↓ λ∧␈εε22␈↓ λ⎇␈εε1␈↓ 	`␈εε2
␈β∞`␈↓ ↓H␈εβWe␈α
m␈α␈u␈α␈st␈α
ha␈α␈v␈α␈e␈α
e␈α␈i␈α↓th␈α␈er␈↓ β}␈εβd␈α␈eg␈↓ ∧0␈εβ(␈↓ ∧;␈ε	Q␈↓ ∧j␈εβ)␈α
=␈↓ ¬)␈εβdeg␈↓ ¬[␈εβ(␈↓ ¬f␈ε	Q␈↓ ε	␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α	or␈↓ π∧␈εβd␈α␈eg␈↓ π6␈εβ(␈↓ πA␈ε	Q␈↓ πp␈εβ)␈α
=␈↓ λ/␈εβdeg␈↓ λa␈εβ(␈↓ λl␈ε	Q␈↓ 	∂␈εβ)␈ε↔␈αε␈␈εβ␈απ1␈α␈.␈αIn␈α
th␈α␈e␈α
forme␈α␈r
␈β∞k␈↓ ∧Q␈εε11␈↓ ¬⎇␈εε1␈↓ πW␈εε12␈↓ 	β␈εε1
␈β∂λ␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ase,␈↓ α↔␈εβde␈α␈g␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	Q␈↓ β∧␈ε	U␈↓ β&␈ε↔␈␈↓ βN␈ε	Q␈↓ β}␈ε	V␈↓ ∧⊗␈εβ)␈α	<␈↓ ∧T␈εβdeg␈↓ ¬ε␈εβ(␈↓ ¬∩␈ε	Q␈↓ ¬A␈ε	U␈↓ ¬\␈εβ),␈αby␈α
con␈α␈si␈α↓d␈α␈ering␈α
the␈α
terms␈αo␈α␈f␈αhigh␈α␈est␈αd␈α␈egree␈α
tha␈α␈t
␈β∂∩␈↓ αj␈εε11␈↓ βe␈εε2␈α␈1␈↓ ¬(␈εε1␈α␈1
␈β∂/␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈rt␈αwith␈↓ αc␈ε	a␈↓ αs␈εβ;␈αso␈αw␈α␈e␈αm␈α␈ay␈αr␈α␈eplac␈α␈e␈α(␈↓ ¬'␈ε	Q␈↓ ¬J␈εβ,␈↓ ¬Y␈ε	Q␈↓ ¬|␈εβ)␈αby␈α
(␈↓ εM␈ε	Q␈↓ ε⎇␈εβ,␈↓ π␈ε	Q␈↓ π;␈εβ)␈αan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈β∂:␈↓ ¬>␈εε1␈↓ ¬o␈εε2␈↓ εc␈εε12␈↓ π"␈εε2␈α␈2
␈β∂X␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂W␈α↓e␈α
ma␈α␈y␈α
assu␈α␈me␈α
that␈↓ ¬β␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬5␈εβ(␈↓ ¬@␈ε	U␈↓ ¬[␈εβ)␈ε↔␈α
∃␈↓ ε~␈εβde␈α␈g␈↓ εL␈εβ(␈↓ εW␈ε	V␈↓ εo␈εβ).␈αIf␈↓ π/␈εβd␈α␈eg␈↓ πa␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈ε↔␈α	∃␈↓ λB␈εβd␈α␈eg␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε	V␈↓ 	↔␈εβ),␈αn␈α␈ote␈α
tha␈α␈t␈↓ 
G␈ε	Q␈↓ 
i␈ε	U␈↓ ␈ε↔␈
␈β∂c␈↓ 
]␈εε1
␈β⊂␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓j␈ε	V␈↓ α␈εβ=␈↓ α6␈ε	Q␈↓ αY␈ε	R␈ε↔␈απ␈␈↓ β∨␈εβ(␈↓ β*␈ε	Q␈↓ βU␈ε↔␈␈↓ β⎇␈ε	Q␈↓ ∧ ␈ε	Q␈↓ ∧8␈εβ)␈↓ ∧C␈ε	V␈↓ ∧f␈εβh␈α␈as␈αd␈α␈egre␈α␈e␈αless␈αth␈α␈an␈↓ π∩␈εβde␈α␈g␈↓ πD␈εβ(␈↓ πO␈ε	V␈↓ πg␈εβ)␈ε↔␈α	∀␈↓ λ&␈εβd␈α␈eg␈↓ λX␈εβ(␈↓ λc␈ε	Q␈↓ 	ε␈ε	R␈εβ),␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
rep␈α␈ea␈α␈t
␈β⊂
␈↓ ↓↑␈εε2␈↓ αL␈εε1␈↓ βA␈εε2␈↓ ∧∪␈εε1␈↓ λy␈εε1
␈β⊂#␈↓ π↑␈ε~0␈↓ λG␈ε~0␈↓ 
)␈ε~0␈↓ ≥␈ε~0
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
pro␈α␈cess␈α
wi␈α↓th␈↓ βG␈ε	U␈↓ βo␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈α
b␈α␈y␈ε	␈α
R␈εβ;␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈ε	␈αR␈εβ␈α∞=␈↓ πF␈ε	Q␈↓ πd␈ε	V␈↓ λ¬␈εβ+␈↓ λ/␈ε	R␈↓ λM␈εβ,␈↓ λd␈ε	U␈↓ 	␈εβ=␈α∞(␈↓ 	F␈ε	Q␈↓ 	g␈εβ+␈↓ 
⊃␈ε	Q␈↓ 
0␈εβ)␈↓ 
;␈ε	V␈↓ 
\␈εβ+␈↓ ε␈ε	R␈↓ #␈εβ,
␈β⊂K␈↓ α|␈ε~0
␈β⊂O␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ere␈↓ α(␈εβd␈α␈eg␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	R␈↓ βα␈εβ)␈α
<␈↓ βA␈εβdeg␈↓ βs␈εβ(␈ε	R␈εβ),␈αso␈αe␈α␈v␈α␈en␈α}tua␈α␈l␈α↓ly␈α
a␈αsolutio␈α␈n␈αwil␈α↓l␈αb␈α␈e␈αob␈α␈tained␈α␈.
␈β⊂w␈↓ α␈εβ(c)␈α⊃Th␈α␈e␈α
algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m␈α
of␈α
(b)␈α
giv␈α␈es␈↓ ¬G␈ε	V␈↓ ¬o␈εβ=␈↓ ε~␈ε	U␈↓ ε5␈ε	V␈↓ εZ␈εβ+␈ε	␈απR␈εβ,␈↓ π-␈εβd␈α␈eg␈↓ π←␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α	<␈↓ λ@␈εβd␈α␈eg␈↓ λr␈εβ(␈↓ λ⎇␈ε	V␈↓ 	≤␈εβ);␈αb␈α␈y␈α
ho␈α␈mog␈α␈ene␈α␈i␈α↓ty␈α␈,
␈β⊃α␈↓ ¬Y␈εε1␈↓ εG␈εε2␈↓ 	∂␈εε2
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈ε	R␈εβ␈α	=␈α
0␈α
an␈α␈d␈↓ αo␈ε	U␈↓ β∃␈εβi␈α↓s␈αh␈α␈omo␈α␈gen␈α␈eou␈α␈s.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα594␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ α␈εβ(d)␈α⊂W␈α↓e␈αm␈α␈ay␈αa␈α␈ssum␈α␈e␈αtha␈α␈t␈↓ ¬ε␈εβd␈α␈eg␈↓ ¬7␈εβ(␈↓ ¬C␈ε	V␈↓ ¬Z␈εβ)␈ε↔␈α
∀␈↓ ε→␈εβdeg␈↓ εK␈εβ(␈↓ εV␈ε	U␈↓ εr␈εβ).␈αIf␈↓ π2␈εβdeg␈↓ πd␈εβ(␈↓ πo␈ε	V␈↓ λπ␈εβ)␈α
=␈α	0,␈αset␈↓ 	∨␈ε	W␈↓ 	I␈ε↔ ␈↓ 	t␈ε	U␈↓ 
∂␈εβ;␈αo␈α␈the␈α␈rwi␈α↓se
␈βαR␈↓ ↓H␈εβu␈α␈se␈α(␈α↓c␈α␈)␈α
to␈α|n␈α␈d␈↓ β"␈ε	U␈↓ βI␈εβ=␈↓ βv␈ε	Q␈↓ ∧∞␈ε	V␈↓ ∧&␈εβ,␈α
so␈αtha␈α␈t␈↓ ¬0␈ε	Q␈↓ ¬H␈ε	V␈↓ ¬`␈ε	V␈↓ εβ␈εβ=␈↓ ε0␈ε	V␈↓ εH␈ε	Q␈↓ ε`␈ε	V␈↓ εx␈εβ,␈α
(␈↓ π→␈ε	Q␈↓ π1␈ε	V␈↓ πQ␈ε↔␈␈↓ π{␈ε	V␈↓ λ∪␈ε	Q␈↓ λ+␈εβ)␈↓ λ6␈ε	V␈↓ λY␈εβ=␈α0.␈α⊂Th␈α␈i␈α↓s␈αimplies␈αtha␈α␈t
␈βαy␈↓ ↓H␈ε	Q␈↓ ↓`␈ε	V␈↓ α↓␈εβ=␈↓ α+␈ε	V␈↓ αC␈ε	Q␈↓ α[␈εβ,␈αso␈α
w␈α␈e␈αcan␈α
set␈↓ ∧:␈ε	U␈↓ ∧←␈ε↔ ␈↓ ¬	␈ε	V␈↓ ¬!␈εβ,␈↓ ¬5␈ε	V␈↓ ¬V␈ε↔ ␈↓ ε↓␈ε	Q␈↓ ε$␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αp␈α␈rocess.
␈ββ!␈↓ α␈εβFor␈α⊃furth␈α␈er␈α⊃de␈α␈tails␈α∩a␈α␈bo␈α␈ut␈α⊃the␈α⊃su␈α␈bje␈α␈ct␈α⊃of␈α⊃this␈α⊃ex␈α␈e␈α␈rcise,␈α∪see␈α⊃P.␈α∩M␈α␈.␈α∩Co␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈α∪P␈α↓ro␈α␈c.
␈ββI␈↓ ↓H␈ε⊂Ca␈α␈m␈α␈br␈α␈i␈α↓d␈α␈ge␈α∂Phil.␈α∂Soc␈α␈.␈ε∪␈α⊂5␈α␈7␈εβ␈α∂(196␈α␈1),␈α⊂18↑␈α␈30.␈α↔The␈α∞con␈α␈si␈α↓d␈α␈era␈α␈bly␈α∂mo␈α␈re␈α∂di}c␈α␈ult␈α∂pro␈α␈blem␈α∂o␈α␈f
␈ββp␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hara␈α␈cterizin␈α␈g␈ε⊂␈α
all␈εβ␈α
string␈αpoly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
such␈αtha␈α␈t␈↓ πβ␈ε	U␈↓ π≡␈ε	V␈↓ πB␈εβ=␈↓ πp␈ε	V␈↓ λλ␈ε	U␈↓ λ0␈εβha␈α␈s␈α
be␈α␈en␈α
so␈α␈l␈α↓v␈α}ed␈αby␈αG.␈α∞M␈α␈.
␈β∧_␈↓ ↓H␈εβBerg␈α␈man␈α
[P␈α↓h␈α␈.␈α↓D␈α␈.␈αth␈α␈esis,␈αHa␈α␈rva␈α␈rd␈αUn␈α␈i␈α↓v␈α}ersity,␈α19␈α␈67].
␈β∧G␈↓ ↓V␈ε∪18.␈↓ α␈εβ[P␈α↓.␈αM.␈αCo␈α␈hn␈α␈,␈ε⊂␈αTra␈α␈nsac␈α␈ti␈α↓o␈α␈ns␈αAme␈α␈r.␈αM␈α␈ath␈α␈.␈αS␈α␈oc.␈ε∪␈α10␈α␈9␈εβ␈α(19␈α␈63),␈α332␈α␈↑3␈α␈56.]
␈β∧n␈↓ π/␈ε~0␈↓ λ←␈ε~0␈↓ 	Q␈ε~0␈↓ 
u␈ε~0
␈β∧r␈↓ ↓M␈ε∪C1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αC␈ε	u␈↓ αl␈ε↔ ␈↓ β↔␈ε	U␈↓ β9␈εβ,␈↓ βL␈ε	u␈↓ βu␈ε↔ ␈↓ ∧∨␈ε	U␈↓ ∧A␈εβ,␈↓ ∧T␈ε	v␈↓ ∧y␈ε↔ ␈↓ ¬#␈ε	V␈↓ ¬B␈εβ,␈↓ ¬U␈ε	v␈↓ ¬z␈ε↔ ␈↓ ε$␈ε	V␈↓ εC␈εβ,␈↓ εV␈ε	z␈↓ εw␈ε↔ ␈↓ π"␈ε	z␈↓ πE␈ε↔ ␈↓ πp␈ε	w␈↓ λ≤␈ε↔ ␈↓ λF␈ε	w␈↓ λu␈ε↔ ␈εβ␈α	1,␈↓ 	C␈ε	z␈↓ 	f␈ε↔ ␈↓ 
⊃␈ε	z␈↓ 
2␈ε↔ ␈↓ 
]␈ε	w␈↓ ␈ε↔ 
␈β∧⎇␈↓ αW␈εε1␈↓ β,␈εε1␈↓ β←␈εε2␈↓ ∧5␈εε2␈↓ ∧c␈εε1␈↓ ¬6␈εε1␈↓ ¬d␈εε2␈↓ ε7␈εε2␈↓ εa␈εε1␈↓ λε␈εε1␈↓ 
≤␈εε2
␈β¬↓␈↓ π/␈εε2␈↓ λ←␈εε2␈↓ 	Q␈εε1␈↓ 
u␈εε1
␈β¬~␈↓ α␈ε	w␈↓ α8␈ε↔ ␈εβ␈α
0␈α␈,␈↓ βλ␈ε	n␈↓ β%␈ε↔ ␈εβ␈α	0.
␈β¬$␈↓ α"␈εε2
␈β¬E␈↓ ↓M␈ε∪C2.␈↓ α␈εβ(At␈α	t␈α␈his␈α	p␈α␈oin␈α␈t␈αλth␈α␈e␈αλi␈α↓d␈α␈en␈α␈tities␈αλgiv␈α␈e␈α␈n␈αλi␈α↓n␈απthe␈αλex␈α}ercise␈αλho␈α␈l␈α↓d␈α␈,␈α	and␈απalso␈↓ 	⊂␈ε	u␈↓ 	0␈ε	v␈↓ 	U␈εβ=␈↓ 	␈␈ε	u␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
:␈εβ;␈↓ 
M␈ε	v␈↓ 
q␈εβ=␈α
0
␈β¬P␈↓ 	#␈εε1␈↓ 	?␈εε1␈↓ 
∩␈εε1␈↓ 
.␈εε2␈↓ 
[␈εε2
␈β¬m␈↓ α␈εβif␈α
and␈α	on␈α␈l␈α↓y␈α	if␈↓ βR␈ε	u␈↓ β{␈εβ=␈α	0.)␈α↔If␈↓ ¬↓␈ε	v␈↓ ¬&␈εβ=␈α	0,␈α
the␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α	termina␈α␈tes␈α
with␈α
gc␈α␈rd(␈↓ 	|␈ε	V␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
*␈ε	V␈↓ 
I␈εβ)␈α	=␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈β¬w␈↓ βe␈εε1␈↓ ¬⊂␈εε2␈↓ 
∞␈εε1␈↓ 
<␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βε⊂␈↓ βo␈ε~0␈↓ ∧}␈ε~0
␈βε∀␈↓ α␈εβlclm(␈↓ αT␈ε	V␈↓ αs␈εβ,␈↓ βα␈ε	V␈↓ β!␈εβ)␈α
=␈↓ βa␈ε	z␈↓ β{␈ε	V␈↓ ∧$␈εβ=␈ε↔␈α
␈␈↓ ∧q␈ε	z␈↓ ¬␈ε	V␈↓ ¬*␈εβ.␈α~(Also,␈αb␈α␈y␈αsym␈α␈metry␈α␈,␈αgc␈α␈l␈α↓d␈α␈(␈↓ λI␈ε	U␈↓ λk␈εβ,␈↓ λz␈ε	U␈↓ 	≤␈εβ)␈α
=␈↓ 	\␈εβlclm␈↓ 
→␈εβ(␈↓ 
$␈ε	U␈↓ 
F␈εβ,␈↓ 
T␈ε	U␈↓ 
v␈εβ)␈α
=
␈βε∨␈↓ αg␈εε1␈↓ β∃␈εε2␈↓ ∧∞␈εε1␈↓ ¬≥␈εε2␈↓ λ←␈εε1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 
9␈εε1␈↓ 
j␈εε2
␈βε#␈↓ βo␈εε1␈↓ ∧}␈εε2
␈βε<␈↓ α␈ε	U␈↓ α.␈ε	w␈↓ αZ␈εβ=␈ε↔␈α	␈␈↓ β&␈ε	U␈↓ βH␈ε	w␈↓ βj␈εβ.␈α↓)
␈βεF␈↓ α!␈εε1␈↓ αD␈εε1␈↓ β;␈εε2␈↓ β↑␈εε2
␈βεd␈↓ 
≥␈εα(
␈βεg␈↓ ↓M␈ε∪C3.␈↓ α␈εβFind␈↓ α`␈ε	Q␈↓ βλ␈εβa␈α␈nd␈ε	␈α∂R␈εβ␈α∂such␈α∂th␈α␈at␈↓ ¬⊂␈ε	v␈↓ ¬<␈εβ=␈↓ ¬n␈ε	Q␈↓ εε␈ε	v␈↓ ε,␈εβ+␈ε	␈α
R␈εβ␈α↓,␈α⊂where␈↓ πm␈εβde␈α␈g␈↓ λ∨␈εβ(␈ε	R␈εβ)␈α⊃<␈↓ 	∂␈εβd␈α␈eg␈↓ 	A␈εβ(␈↓ 	L␈ε	v␈↓ 	g␈εβ).␈↓ 
)␈εβW␈α↓e␈α∂h␈α␈av␈α␈e
␈βεr␈↓ ¬∨␈εε1␈↓ ε∃␈εε2␈↓ 	[␈εε2
␈βπ␈↓ πW␈ε~0
␈βπ␈↓ λα␈εα)
␈βπ∂␈↓ α␈ε	u␈↓ α,␈εβ(␈↓ α7␈ε	Q␈↓ αO␈ε	v␈↓ αr␈εβ+␈ε	␈απR␈εβ)␈α
=␈↓ βp␈ε	u␈↓ ∧⊂␈ε	v␈↓ ∧+␈εβ,␈αso␈↓ ∧h␈ε	u␈↓ ¬λ␈ε	R␈εβ␈α
=␈α	(␈↓ ¬↑␈ε	u␈↓ ε¬␈ε↔␈␈↓ ε.␈ε	u␈↓ εN␈ε	Q␈↓ εf␈εβ)␈↓ εq␈ε	v␈↓ π∃␈εβ=␈↓ π@␈ε	R␈↓ π]␈ε	v␈↓ πy␈εβ.
␈βπ→␈↓ α∨␈εε1␈↓ α↑␈εε2␈↓ ∧∧␈εε2␈↓ ∧∨␈εε2␈↓ ∧|␈εε1␈↓ ¬q␈εε2␈↓ εA␈εε1␈↓ π␈εε2␈↓ πl␈εε2
␈βπ6␈↓ βU␈ε~0␈↓ ∧∞␈ε~0␈↓ ¬∩␈ε~0␈↓ ¬@␈ε~0␈↓ πs␈ε~0␈↓ 	∀␈ε~0␈↓ ↔␈ε~0
␈βπ:␈↓ ↓M␈ε∪C4.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈α
(␈↓ αO␈ε	w␈↓ αr␈εβ,␈↓ βε␈ε	w␈↓ β(␈εβ,␈↓ β<␈ε	w␈↓ βa␈εβ,␈↓ βu␈ε	w␈↓ ∧~␈εβ,␈↓ ∧.␈ε	z␈↓ ∧E␈εβ,␈↓ ∧Y␈ε	z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬∧␈ε	z␈↓ ¬≡␈εβ,␈↓ ¬2␈ε	z␈↓ ¬L␈εβ,␈↓ ¬`␈ε	u␈↓ ε␈εβ,␈↓ ε∪␈ε	u␈↓ ε3␈εβ,␈↓ εF␈ε	v␈↓ εb␈εβ,␈↓ εu␈ε	v␈↓ π⊂␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈εβ␈α	(␈↓ πZ␈ε	w␈↓ λε␈ε↔␈␈↓ λ-␈ε	w␈↓ λP␈ε	Q␈↓ λh␈εβ,␈↓ λ{␈ε	w␈↓ 	'␈ε↔␈␈↓ 	N␈ε	w␈↓ 	q␈ε	Q␈↓ 
	␈εβ,␈↓ 
≤␈ε	w␈↓ 
?␈εβ,␈↓ 
S␈ε	w␈↓ 
u␈εβ,␈↓ 	␈ε	z␈↓ #␈εβ,
␈βπE␈↓ αf␈εε1␈↓ β≤␈εε2␈↓ ∧9␈εε1␈↓ ∧d␈εε2␈↓ ¬s␈εε1␈↓ ε&␈εε2␈↓ εU␈εε1␈↓ π∧␈εε2␈↓ λC␈εε1␈↓ 	d␈εε2␈↓ 
2␈εε1␈↓ 
i␈εε2
␈βπI␈↓ βU␈εε1␈↓ ∧∞␈εε2␈↓ ¬∩␈εε1␈↓ ¬@␈εε2␈↓ πs␈εε1␈↓ 	∀␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈βπ↑␈↓ α~␈ε~0␈↓ β≥␈ε~0␈↓ ∧!␈ε~0
␈βπb␈↓ α␈ε	z␈↓ α&␈εβ,␈↓ α8␈ε	z␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ αx␈ε	Q␈↓ β⊂␈ε	z␈↓ β*␈εβ,␈↓ β<␈ε	z␈↓ βW␈ε↔␈␈↓ β{␈ε	Q␈↓ ∧∪␈ε	z␈↓ ∧.␈εβ,␈↓ ∧?␈ε	u␈↓ ∧b␈ε↔␈␈↓ ¬π␈ε	u␈↓ ¬'␈ε	Q␈↓ ¬?␈εβ,␈↓ ¬P␈ε	u␈↓ ¬p␈εβ,␈↓ εα␈ε	v␈↓ ε≥␈εβ,␈↓ ε/␈ε	v␈↓ εN␈ε↔␈␈↓ εr␈ε	Q␈↓ π
␈ε	v␈↓ π%␈εβ)␈αλand␈↓ πv␈ε	n␈↓ λ∪␈ε↔ ␈↓ λ>␈ε	n␈↓ λU␈εβ+␈αβ1.␈α
Go␈αλb␈α␈ack␈απto␈αλC2␈α␈.
␈βπd␈↓ ~␈∧πd~≠∂
␈βπl␈↓ αC␈εε1␈↓ βG␈εε2␈↓ ∧S␈εε2␈↓ ¬~␈εε1␈↓ ¬d␈εε1␈↓ ε⊃␈εε2␈↓ ε>␈εε1␈↓ π→␈εε2
␈βπq␈↓ α~␈εε2␈↓ β≥␈εε1␈↓ ∧!␈εε2
␈βλ⊃␈↓ α␈εβThis␈α
ex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α
of␈α
Euc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈αi␈α↓n␈α␈clud␈α␈es␈α
mos␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈α
the␈α
fea␈α␈tures␈α
w␈α␈e␈α
h␈α␈av␈α}e␈α
seen
␈βλ8␈↓ ↓H␈εβin␈α
pre␈α␈viou␈α␈s␈αex␈α␈ten␈α␈si␈α↓o␈α␈ns,␈αa␈α␈l␈α↓l␈αa␈α␈t␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αtime␈α␈,␈αso␈αit␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α␈ides␈α
new␈α
i␈α↓n␈α␈sigh␈α␈t␈α
in␈α␈to␈α
the␈α
spe␈α␈ci␈α↓a␈α␈l
␈βλ`␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ases␈αalread␈α␈y␈αcon␈α␈sidered␈α␈.␈α
To␈αpro␈α}v␈α␈e␈αtha␈α␈t␈αit␈αis␈αv␈α␈alid,␈αn␈α␈ote␈α|rst␈αtha␈α␈t␈αd␈α␈eg(␈↓ 	N␈ε	v␈↓ 	i␈εβ)␈αd␈α␈ecrea␈α␈ses␈αin
␈βλk␈↓ 	]␈εε2
␈β	λ␈↓ ↓H␈εβste␈α␈p␈α	C4␈α␈,␈α
so␈α	th␈α␈e␈α	algo␈α␈rithm␈α	c␈α␈ertain␈α␈l␈α↓y␈αλtermin␈α␈ates.␈α
A␈α↓t␈αλthe␈α	co␈α␈nc␈α␈l␈α↓u␈α␈sion␈α	o␈α␈f␈α	the␈α	a␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈m,␈↓ 
r␈ε	v␈↓ ⊗␈εβis
␈β	∩␈↓ ↓␈εε1
␈β	+␈↓ πa␈εn␈↓ 
3␈εn
␈β	/␈↓ ↓H␈εβa␈αλco␈α␈mmon␈αλrigh␈α}t␈α	d␈α␈ivisor␈αλof␈↓ ∧A␈ε	V␈↓ ∧i␈εβa␈α␈nd␈↓ ¬'␈ε	V␈↓ ¬F␈εβ,␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈↓ ε'␈ε	w␈↓ εJ␈ε	v␈↓ εo␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πV␈εβ)␈↓ πr␈ε	V␈↓ λ→␈εβan␈α␈d␈ε↔␈α	␈␈↓ λy␈ε	w␈↓ 	≤␈ε	v␈↓ 	@␈εβ=␈α
(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 
(␈εβ)␈↓ 
C␈ε	V␈↓ 
b␈εβ;␈α
also
␈β	:␈↓ ∧S␈εε1␈↓ ¬9␈εε2␈↓ ε=␈εε1␈↓ εY␈εε1␈↓ λ∧␈εε1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 	*␈εε1␈↓ 
V␈εε2
␈β	W␈↓ ↓H␈εβif␈↓ ↓g␈ε	d␈↓ α¬␈εβis␈αa␈α␈n␈α␈y␈αco␈α␈mmo␈α␈n␈αrigh␈α␈t␈αdiv␈α␈i␈α↓s␈α␈or␈αof␈↓ ¬R␈ε	V␈↓ ¬|␈εβan␈α␈d␈↓ ε=␈ε	V␈↓ ε\␈εβ,␈αit␈αi␈α↓s␈αa␈αrigh␈α}t␈αd␈α␈ivisor␈αof␈↓ 	5␈ε	z␈↓ 	M␈ε	V␈↓ 	t␈εβ+␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
4␈ε	V␈↓ 
]␈εβ=␈↓ λ␈ε	v␈↓ #␈εβ.
␈β	a␈↓ ¬d␈εε1␈↓ εP␈εε2␈↓ 	@␈εε1␈↓ 	←␈εε1␈↓ 
(␈εε2␈↓ 
G␈εε2␈↓ ↔␈εε1
␈β	}␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈↓ α+␈ε	v␈↓ αQ␈εβ=␈↓ α⎇␈εβg␈α␈crd␈↓ β<␈εβ(␈↓ βG␈ε	V␈↓ βf␈εβ,␈↓ βu␈ε	V␈↓ ∧∀␈εβ).␈α∞Also␈αif␈↓ ¬!␈ε	m␈↓ ¬J␈εβis␈αan␈α␈y␈αcom␈α␈mon␈αleft␈αm␈α␈ultiple␈αo␈α␈f␈↓ 	~␈ε	V␈↓ 	E␈εβand␈↓ 
π␈ε	V␈↓ 
&␈εβ,␈α
w␈α␈e␈αm␈α␈ay
␈β
	␈↓ α9␈εε1␈↓ βY␈εε1␈↓ ∧π␈εε2␈↓ 	-␈εε1␈↓ 
~␈εε2
␈β
&␈↓ ↓H␈εβa␈α␈ssum␈α␈e␈αwitho␈α␈ut␈αlos␈α␈s␈αof␈αg␈α␈ener␈α␈ali␈α↓ty␈α
th␈α␈at␈↓ ¬}␈ε	m␈↓ ε$␈εβ=␈↓ εO␈ε	U␈↓ εq␈ε	V␈↓ π→␈εβ=␈↓ πD␈ε	U␈↓ πe␈ε	V␈↓ λ∧␈εβ,␈αsin␈α␈ce␈αth␈α␈e␈αse␈α␈que␈α␈nce␈α
of␈αv␈α␈alue␈α␈s
␈β
1␈↓ εd␈εε1␈↓ πβ␈εε1␈↓ πY␈εε2␈↓ πx␈εε2
␈β
I␈↓ πT␈εn␈↓ λ>␈ε~0␈↓ 	p␈εn␈↓ 
9␈ε~0
␈β
N␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	Q␈↓ α⊃␈εβd␈α␈oes␈αn␈α␈ot␈α
dep␈α␈en␈α␈d␈αo␈α␈n␈↓ ∧6␈ε	U␈↓ ∧b␈εβan␈α␈d␈↓ ¬#␈ε	U␈↓ ¬D␈εβ.␈αHe␈α␈nce␈↓ ε:␈ε	m␈↓ εa␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πH␈εβ)␈↓ πd␈εβ(␈ε↔␈␈↓ λ⊂␈ε	u␈↓ λ0␈ε	z␈↓ λJ␈εβ)␈↓ λU␈ε	V␈↓ λ}␈εβ=␈α	(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 	e␈εβ)␈↓ 
↓␈εβ(␈↓ 
␈ε	u␈↓ 
,␈ε	z␈↓ 
F␈εβ)␈↓ 
Q␈ε	V␈↓ 
{␈εβis␈αa
␈β
X␈↓ ∧K␈εε1␈↓ ¬8␈εε2␈↓ λ#␈εε2␈↓ λh␈εε1␈↓ 
∨␈εε2␈↓ 
d␈εε2
␈β
]␈↓ λ>␈εε1␈↓ 
9␈εε2
␈β
q␈↓ α␈␈ε~0
␈β
u␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiple␈αof␈↓ αq␈ε	z␈↓ β␈ε	V␈↓ β*␈εβ.
␈β␈↓ β≡␈εε1
␈β∧␈↓ α␈␈εε1
␈β≥␈↓ α␈εβIn␈α
pra␈α␈ctice,␈α∞i␈α↓f␈α
w␈α␈e␈α∞ju␈α␈st␈α∞wan␈α}t␈α∞to␈α
ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulate␈α
gcr␈α␈d(␈↓ π3␈ε	V␈↓ πR␈εβ,␈↓ πa␈ε	V␈↓ λ␈εβ),␈α∂w␈α␈e␈α
may␈α
su␈α␈pp␈α␈ress␈α
the␈α
com␈α␈-
␈β'␈↓ πF␈εε1␈↓ πs␈εε2
␈β@␈↓ ∧+␈ε~0␈↓ ∧f␈ε~0␈↓ ¬q␈ε~0␈↓ ε!␈ε~0
␈βD␈↓ ↓H␈εβp␈α␈uta␈α␈tion␈αo␈α␈f␈↓ αx␈ε	n␈↓ β␈εβ,␈↓ β!␈ε	w␈↓ βD␈εβ,␈↓ βZ␈ε	w␈↓ β|␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε	w␈↓ ∧7␈εβ,␈↓ ∧M␈ε	w␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬λ␈ε	z␈↓ ¬ ␈εβ,␈↓ ¬5␈ε	z␈↓ ¬M␈εβ,␈↓ ¬c␈ε	z␈↓ ¬⎇␈εβ,␈↓ ε∪␈ε	z␈↓ ε-␈εβ.␈α∂Th␈α␈ese␈αad␈α␈dition␈α␈al␈αqu␈α␈an␈α␈tities␈αw␈α␈ere␈αa␈α␈dd␈α␈ed␈αto
␈βO␈↓ β7␈εε1␈↓ βp␈εε2␈↓ ¬∪␈εε1␈↓ ¬A␈εε2
␈βS␈↓ ∧+␈εε1␈↓ ∧f␈εε2␈↓ ¬q␈εε1␈↓ ε!␈εε2
␈βl␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αalgo␈α␈rithm␈αp␈α␈rimarily␈αto␈αm␈α␈ak␈α␈e␈α
i␈α↓ts␈αv␈α␈alidity␈αm␈α␈ore␈αrea␈α␈dily␈αesta␈α␈blishe␈α␈d.
␈β∀␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈:␈εβ␈α∂No␈α␈n␈α␈triv␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α
facto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation␈α␈s␈α
of␈αstring␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials,␈α
such␈αa␈α␈s␈α
th␈α␈e␈α
ex␈α␈amp␈α␈le␈α
g␈α␈i␈α↓v␈α}en
␈β;␈↓ ↓H␈εβwith␈α
this␈αex␈α␈e␈α␈rcise,␈αc␈α␈an␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈α
from␈αma␈α␈trix␈αiden␈α}titi␈α↓e␈α␈s␈αsuch␈α
as
␈βg␈↓ ↓i␈ε↓∩␈↓ αw␈ε↓∪␈↓ β
␈ε↓∩␈↓ ∧≠␈ε↓∪␈↓ ∧1␈ε↓∩␈↓ ¬?␈ε↓∪␈↓ ¬U␈ε↓∩␈↓ ε↑␈ε↓∪␈↓ εt␈ε↓∩␈↓ π⎇␈ε↓∪␈↓ λ∪␈ε↓∩␈↓ 	≠␈ε↓∪␈↓ 	e␈ε↓∩␈↓ 
l␈ε↓∪
␈βn␈↓ αβ␈ε	a␈↓ αc␈εβ1␈↓ β(␈ε	b␈↓ ∧π␈εβ1␈↓ ∧M␈ε	c␈↓ ¬+␈εβ1␈↓ ¬o␈εβ0␈↓ εJ␈εβ1␈↓ π∞␈εβ0␈↓ πh␈εβ1␈↓ λ,␈εβ0␈↓ 	π␈εβ1␈↓ 	␈␈εβ1␈↓ 
X0
␈β
∧␈↓ 	;␈εβ=␈↓ α␈εβ,
␈β
≠␈↓ αβ␈εβ1␈↓ αc␈εβ0␈↓ β'␈εβ1␈↓ ∧π␈εβ0␈↓ ∧K␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0␈↓ ¬o␈εβ1␈↓ ε*␈ε↔␈␈↓ εK␈ε	c␈↓ π∞␈εβ1␈↓ πI␈ε↔␈␈↓ πj␈ε	b␈↓ λ,␈εβ1␈↓ λf␈ε↔␈␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	␈␈εβ0␈↓ 
X1
␈β
L␈↓ ↓H␈εβsin␈α␈ce␈αth␈α␈i␈α↓s␈αide␈α␈n␈α␈tities␈αho␈α␈l␈α↓d␈α
ev␈α␈e␈α␈n␈αwh␈α␈en␈αm␈α␈u␈α␈lti␈α↓p␈α␈li␈α↓c␈α␈ation␈αis␈αn␈α␈ot␈αcom␈α␈m␈α␈uta␈α␈tiv␈α␈e.␈αFor␈αex␈α␈amp␈α␈le,
␈β
␈␈↓ βh␈εβ(␈↓ βt␈ε	a␈↓ ∧∧␈ε	b␈↓ ∧⊃␈ε	c␈↓ ∧&␈εβ+␈↓ ∧N␈ε	a␈↓ ∧f␈εβ+␈↓ ¬∂␈ε	c␈↓ ¬≤␈εβ)(1␈απ+␈↓ ¬s␈ε	b␈↓ ε␈ε	a␈↓ ε⊂␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ εZ␈ε	a␈↓ εk␈ε	b␈↓ ε␈␈εβ+␈αλ1)(␈↓ πO␈ε	c␈↓ π\␈ε	b␈↓ πi␈ε	a␈↓ λ↓␈εβ+␈↓ λ*␈ε	a␈↓ λB␈εβ+␈↓ λj␈ε	c␈↓ λw␈εβ).
␈β∞2␈↓ ↓H␈εβ(Co␈α␈mpa␈α␈re␈αth␈α␈i␈α↓s␈αwith␈αth␈α␈e␈α\c␈α␈on␈α␈tin␈α}uan␈α}t␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials"␈αof␈αS␈α␈ection␈α
4.5.3.)
␈β∞a␈↓ ↓V␈ε∪19.␈↓ α␈εβ[Cf.␈α⊂Eug␈↓ β␈εβ␈
␈↓ β
␈εβe␈↓ β≠␈εβne␈α∂Cah␈α␈en,␈ε⊂␈α⊃Th␈↓ ∧o␈ε⊂∞␈↓ ∧o␈ε⊂e␈↓ ∧}␈ε⊂orie␈α⊂d␈α␈es␈α⊂N␈α␈om␈α␈b␈α␈res␈ε∪␈α⊂1␈εβ␈α∂(P␈α↓a␈α␈ri␈α↓s:␈α∀A.␈α⊂Herma␈α␈nn␈α∂&␈α⊂|␈α␈ls,␈α⊃191␈α␈4),
␈β∂	␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈36↑␈α␈338␈↓ α<␈εβ.]␈α→If␈αsu␈α␈ch␈α
an␈α
a␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
ex␈α␈i␈α↓sts,␈↓ ¬}␈ε	D␈↓ ε!␈εβis␈αa␈α
gcrd␈α
b␈α␈y␈αth␈α␈e␈α
argu␈α␈men␈α}t␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
18␈α␈.␈αL␈α↓e␈α␈t
␈β∂1␈↓ ↓H␈εβu␈α␈s␈αrega␈α␈rd␈↓ αZ␈ε	A␈↓ α{␈εβan␈α␈d␈↓ β<␈ε	B␈↓ β]␈εβas␈αa␈α
si␈α↓n␈α␈gle␈α2␈↓ ¬∂␈ε	n␈↓ ¬*␈ε↔α␈↓ ¬S␈ε	n␈↓ ¬r␈εβm␈α␈atrix␈↓ ε←␈ε	C␈↓ π¬␈εβwh␈α␈ose␈α|␈α␈rst␈↓ λ+␈ε	n␈↓ λJ␈εβro␈α␈ws␈αare␈αt␈α␈hose␈α
of␈↓ 
L␈ε	A␈↓ 
b␈εβ,␈αa␈α␈nd
␈β∂X␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ose␈α	secon␈α␈d␈↓ β∩␈ε	n␈↓ β0␈εβro␈α␈ws␈α
a␈α␈re␈α
th␈α␈ose␈α	of␈↓ ¬-␈ε	B␈↓ ¬C␈εβ.␈αS␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓larly␈α␈,␈↓ εn␈ε	P␈↓ π∂␈εβan␈α␈d␈↓ πN␈ε	Q␈↓ πp␈εβcan␈α	b␈α␈e␈α
co␈α␈m␈α␈bine␈α␈d␈α
in␈α}to␈α
a␈α	2␈↓ 
X␈ε	n␈↓ 
r␈ε↔α␈↓ _␈ε	n
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβm␈α␈atrix␈ε	␈α
R␈εβ␈α↓;␈↓ α`␈ε	X␈↓ βε␈εβan␈α␈d␈↓ βG␈ε	Y␈↓ βj␈εβca␈α␈n␈αb␈α␈e␈αco␈α␈m␈α␈bin␈α␈ed␈α
i␈α↓n␈α}to␈αa␈α␈n␈↓ εY␈ε	n␈↓ εt␈ε↔α␈εβ␈απ2␈↓ π-␈ε	n␈↓ πK␈εβmatrix␈↓ λ8␈ε	Z␈↓ λO␈εβ.␈αTh␈α␈e␈αd␈α␈esired␈α
con␈α␈dition␈α␈s
␈β⊂'␈↓ ↓H␈εβn␈α␈o␈α␈w␈αλred␈α␈uce␈αλto␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλequ␈α␈ation␈α␈s␈↓ ∧c␈ε	C␈↓ ¬λ␈εβ=␈ε	␈α	R␈↓ ¬I␈ε	D␈↓ ¬b␈εβ,␈↓ ¬t␈ε	D␈↓ ε⊗␈εβ=␈↓ εA␈ε	Z␈↓ εX␈ε	C␈↓ εs␈εβ.␈α
I␈α↓f␈αλw␈α␈e␈αλca␈α␈n␈αλ|n␈α␈d␈αλa␈απ2␈↓ λv␈ε	n␈↓ 	∞␈ε↔α␈εβ␈αβ2␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	←␈εβi␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈αλmatrix
␈β⊂K␈↓ π9␈ε~␈␈εε1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	U␈↓ ↓m␈εβo␈α␈f␈α
de␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈ε↔␈α	ε␈εβ␈α↓1␈α	suc␈α␈h␈α
th␈α␈at␈α	the␈α	l␈α↓a␈α␈st␈↓ ε∂␈ε	n␈↓ ε-␈εβro␈α}ws␈α
of␈↓ π≡␈ε	U␈↓ π←␈ε	C␈↓ λβ␈εβare␈α	all␈α
zero,␈α
th␈α␈en␈ε	␈α	R␈εβ␈α
=␈α	(|rst␈↓ _␈ε	n
␈β⊂r␈↓ ¬a␈ε~␈␈εε1␈↓ λ{␈ε~␈␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβc␈α␈olumn␈α␈s␈αλof␈↓ αj␈ε	U␈↓ β¬␈εβ),␈↓ β"␈ε	D␈↓ βE␈εβ=␈α	(|rst␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧X␈εβro␈α}w␈α↓s␈αλo␈α␈f␈↓ ¬E␈ε	U␈↓ εε␈ε	C␈↓ ε!␈εβ),␈↓ ε>␈ε	Z␈↓ ε←␈εβ=␈α	(␈α↓|␈α␈rst␈↓ πV␈ε	n␈↓ πr␈εβro␈α␈ws␈αλof␈↓ λ`␈ε	U␈↓ 	!␈εβ)␈αλsolv␈α}es␈αλthe␈αλd␈α␈esired
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns.␈αHen␈α␈ce,␈αfor␈αex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈α␈,␈αth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αmay␈α
be␈αu␈α␈sed␈α(with␈↓ 
∪␈ε	m␈↓ 
:␈εβ=␈α
2␈↓ 
u␈ε	n␈↓ 	␈εβ):
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.1␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα595
␈βα*␈↓ ↓H␈ε∪Algo␈α␈rithm␈αT␈εβ␈α(␈ε⊂Trian␈α␈gu␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈εβ)␈ε∪.␈εβ␈α~Let␈↓ ¬J␈ε	C␈↓ ¬p␈εβbe␈αan␈↓ εL␈ε	m␈↓ εq␈ε↔α␈↓ π~␈ε	n␈↓ π9␈εβma␈α␈tri␈α↓x␈αo␈α␈f␈αin␈α␈teg␈α␈ers.␈α
Th␈α␈is␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm
␈βαR␈↓ ↓H␈εβ|␈α␈nd␈α␈s␈↓ α∃␈ε	m␈↓ α6␈ε↔α␈↓ α[␈ε	m␈↓ β↓␈εβin␈α␈te␈α␈ger␈αλmatrice␈α␈s␈↓ ∧o␈ε	U␈↓ ¬∩␈εβand␈↓ ¬Q␈ε	V␈↓ ¬q␈εβsu␈α␈ch␈αλtha␈α␈t␈↓ π␈ε	U␈↓ π≠␈ε	V␈↓ π<␈εβ=␈↓ πf␈ε	I␈↓ π}␈εβa␈α␈nd␈↓ λ<␈ε	V␈↓ λT␈ε	C␈↓ λw␈εβis␈α	\u␈α␈pp␈α␈er␈αλtriang␈α␈ular."
␈βαy␈↓ ↓H␈εβ(Th␈α␈e␈αen␈α␈tr␈α␈y␈αin␈αro␈α␈w␈↓ βV␈ε	i␈↓ βn␈εβa␈α␈nd␈α
colum␈α␈n␈↓ ¬#␈ε	j␈↓ ¬=␈εβof␈↓ ¬d␈ε	V␈↓ ¬|␈ε	C␈↓ ε"␈εβis␈αzer␈α␈o␈αif␈↓ π)␈ε	i␈↓ π?␈εβ>␈↓ πi␈ε	j␈↓ πx␈εβ.)
␈ββ9␈↓ ↓O␈ε∪T1.␈↓ α␈εβ[Initialize.]␈α$S␈α␈et␈↓ ∧π␈ε	U␈↓ ∧4␈ε↔ ␈↓ ∧g␈ε	V␈↓ ¬⊃␈ε↔ ␈↓ ¬D␈ε	I␈↓ ¬S␈εβ,␈α⊃the␈↓ ε,␈ε	m␈↓ εT␈ε↔α␈↓ π␈ε	m␈↓ π-␈εβi␈α↓d␈α␈en␈α␈tity␈α∂matrix;␈α∪a␈α␈nd␈α∂set␈↓ 
,␈ε	T␈↓ 
U␈ε↔ ␈↓ λ␈ε	C␈↓ #␈εβ.
␈ββa␈↓ α␈εβ(Thro␈α␈ug␈α␈hou␈α␈t␈αthe␈α
algorith␈α␈m␈αw␈α␈e␈αwi␈α↓ll␈αha␈α␈v␈α␈e␈↓ ε`␈ε	T␈↓ π␈εβ=␈↓ π+␈ε	V␈↓ πC␈ε	C␈↓ πi␈εβa␈α␈nd␈↓ λ)␈ε	U␈↓ λD␈ε	V␈↓ λf␈εβ=␈α	1.)
␈β∧!␈↓ ↓O␈ε∪T2.␈↓ α␈εβ[Iterate␈απo␈α␈n␈↓ β'␈ε	j␈↓ β6␈εβ.]␈α⊂Do␈απstep␈απT3␈απfo␈α␈r␈↓ ¬-␈ε	j␈↓ ¬E␈εβ=␈α	1,␈αλ2,␈↓ ε3␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ε`␈εβ,␈↓ εq␈εβmin␈↓ π(␈εβ(␈↓ π4␈ε	m␈↓ πQ␈εβ,␈↓ π`␈ε	n␈↓ πt␈εβ),␈αλan␈α␈d␈απtermin␈α␈ate␈απth␈α␈e␈αλa␈α␈lgorith␈α␈m.
␈β∧a␈↓ ↓O␈ε∪T3.␈↓ α␈εβ[Z␈α↓e␈α␈ro␈αλou␈α␈t␈αλcolum␈α␈n␈↓ ∧λ␈ε	j␈↓ ∧↔␈εβ.]␈α∩P␈α↓e␈α␈rform␈αλth␈α␈e␈αλfoll␈α↓o␈α}wi␈α↓n␈α␈g␈αλtra␈α␈nsform␈α␈ation␈αλz␈α␈ero␈αλor␈αλm␈α␈ore␈αλtimes␈αλu␈α␈n␈α␈til
␈β¬	␈↓ α␈ε	T␈↓ αC␈εβi␈α↓s␈α
zer␈α␈o␈α
for␈α
all␈↓ ∧⊗␈ε	i␈↓ ∧/␈εβ>␈↓ ∧↑␈ε	j␈↓ ∧m␈εβ:␈α∂Let␈↓ ¬E␈ε	T␈↓ ¬}␈εβbe␈α
a␈α
n␈α␈onz␈α␈ero␈α
eleme␈α␈n␈α␈t␈α
of␈ε↔␈α
f␈↓ 	␈ε	T␈↓ 	*␈εβ,␈↓ 	9␈ε	T␈↓ 
≠␈εβ,␈↓ 
*␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 
V␈εβ,␈↓ 
e␈ε	T␈↓ ≤␈ε↔g
␈β¬∪␈↓ α∨␈εi␈↓ α*␈εj␈↓ ¬X␈εk␈↓ ¬e␈εj␈↓ 	∪␈εi␈↓ 	≡␈εj␈↓ 
x␈εm␈↓ ⊂␈εj
␈β¬∀␈↓ 	L␈εε(␈↓ 	U␈εj␈↓ 	a␈εε+1)␈↓ 
∂␈εj
␈β¬0␈↓ α␈εβha␈α␈vin␈α␈g␈α
the␈α
s␈α␈mallest␈α
ab␈α␈solute␈α
v␈α␈alu␈α␈e.␈αIn␈α␈terc␈α␈han␈α␈ge␈α
ro␈α}ws␈↓ λ∩␈ε	k␈↓ λ-␈εβa␈α␈nd␈↓ λm␈ε	j␈↓ 	ε␈εβo␈α␈f␈↓ 	+␈ε	T␈↓ 	M␈εβa␈α␈nd␈α	of␈↓ 
2␈ε	V␈↓ 
J␈εβ;␈αin␈α␈te␈α␈r-
␈β¬X␈↓ α␈εβch␈α␈an␈α␈ge␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈α␈s␈↓ β|␈ε	k␈↓ ∧_␈εβa␈α␈nd␈↓ ∧X␈ε	j␈↓ ∧r␈εβof␈↓ ¬→␈ε	U␈↓ ¬4␈εβ.␈αTh␈α␈en␈α
sub␈α␈tract␈ε↔␈αb␈↓ π0␈ε	T␈↓ πZ␈εβ/␈↓ πj␈ε	T␈↓ λ⊗␈ε↔c␈εβ␈αtimes␈αro␈α}w␈↓ 	F␈ε	j␈↓ 	`␈εβf␈α↓r␈α␈om␈αro␈α␈w␈↓ 
p␈ε	i␈↓ 
|␈εβ,␈αin
␈β¬c␈↓ πC␈εi␈↓ πN␈εj␈↓ π}␈εj␈↓ λ
␈εj
␈βε␈↓ α␈εβma␈α␈tri␈α↓c␈α␈es␈↓ β∩␈ε	T␈↓ β5␈εβa␈α␈nd␈↓ βv␈ε	V␈↓ ∧∞␈εβ,␈αa␈α␈nd␈αa␈α␈dd␈αth␈α␈e␈αsa␈α␈me␈αm␈α}ultiple␈αo␈α␈f␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn␈↓ λR␈ε	i␈↓ λj␈εβto␈αcolum␈α␈n␈↓ 
	␈ε	j␈↓ 
#␈εβin␈αmatrix
␈βε'␈↓ α␈ε	U␈↓ α'␈εβ,␈αfo␈α␈r␈↓ αo␈ε	j␈↓ βλ␈εβ<␈↓ β2␈ε	i␈↓ βH␈ε↔∀␈↓ βs␈ε	m␈↓ ∧⊂␈εβ.
␈βε)␈↓ ∧>␈∧ε)∧>≠∂
␈βεu␈↓ εY␈εε1␈↓ εw␈εε2␈↓ πU␈εε1␈↓ πr␈εε0␈↓ λ≤␈εε1␈↓ λS␈εε2␈↓ 	∂␈εε4␈↓ 	,␈εε3␈↓ 

␈εε4␈↓ 
'␈εε5␈↓ 
Q␈εε1␈↓ λ␈εε2
␈βε|␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈αλthe␈αλsta␈α␈ted␈απexa␈α␈mple,␈α	th␈α␈e␈αλa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈απyields␈αλ(␈↓ ππ␈εβ)␈α	=␈α
(␈↓ λα␈εβ)(␈↓ λc␈εβ),␈α	(␈↓ 	<␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ 
7␈εβ)␈α↓(␈↓ _␈εβ),
␈βπ
␈↓ εY␈εε3␈↓ εw␈εε4␈↓ πU␈εε3␈↓ πr␈εε2␈↓ λ≤␈εε0␈↓ λ9␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 	∂␈εε2␈↓ 	,␈εε1␈↓ 

␈εε2␈↓ 
'␈εε3␈↓ 
Q␈εε0␈↓ 
o␈ε~␈␈εε1
␈βπ≤␈↓ ↓V␈εε1␈↓ α
␈εε2␈↓ αk␈εε1␈↓ β!␈εε0␈↓ βL␈εε1␈↓ βi␈εε2␈↓ ∧?␈εε0␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε4␈↓ ¬#␈εε3
␈βπ$␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ α≥␈εβ)␈α
=␈α	(␈↓ β2␈εβ)(␈↓ βy␈εβ)␈α¬+␈αε(␈↓ ∧l␈εβ)(␈↓ ¬4␈εβ).␈α∃(Actu␈α␈ally␈ε⊂␈α	an␈α}y␈εβ␈α	matrix␈α	with␈α	d␈α␈etermin␈α␈an␈α␈t␈ε↔␈α	ε␈εβ1␈α	wo␈α␈uld
␈βπ4␈↓ ↓V␈εε0␈↓ ↓t␈ε~␈␈εε1␈↓ αk␈εε2␈↓ βλ␈ε~␈␈εε2␈↓ βL␈εε3␈↓ βi␈εε4␈↓ ∧?␈εε1␈↓ ∧\␈εε0␈↓ ¬ε␈εε2␈↓ ¬#␈εε1
␈βπL␈↓ ↓H␈εβb␈α␈e␈αa␈αg␈α␈crd␈αin␈αth␈α␈is␈αpar␈α␈ti␈α↓c␈α␈ular␈αca␈α␈se.)
␈βλλ␈↓ πp␈εm
␈βλ␈↓ ↓V␈ε∪20.␈↓ α␈εβIt␈απm␈α␈ay␈αεbe␈αεhelp␈α␈ful␈απto␈αεcon␈α␈sider␈αεex␈α␈e␈α␈rcise␈απ4␈α␈.␈α↓6␈α␈.␈α↓2␈α␈↑2␈α␈2␈απwith␈↓ π←␈ε	p␈↓ λ∞␈εβrep␈α␈l␈α↓a␈α␈ced␈αεb␈α␈y␈απa␈αεsma␈α␈l␈α↓l␈αεn␈α␈um␈α}ber␈↓ ⊗␈ε	∂␈↓ #␈εβ.
␈βλL␈↓ ↓V␈ε∪21.␈↓ α␈εβNote␈αλtha␈α␈t␈α	Al␈α↓g␈α␈orith␈α␈m␈α	R␈α	is␈α	use␈α␈d␈α	on␈α␈ly␈α	wh␈α␈en␈↓ εe␈ε	m␈↓ ππ␈ε↔␈␈↓ π-␈ε	n␈↓ πJ␈ε↔∀␈εβ␈α
1;␈α	f␈α↓u␈α␈rth␈α␈ermore␈α␈,␈α
th␈α␈e␈α	coe␈α␈}cien␈α␈t␈α␈s
␈βλs␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈αb␈α␈ou␈α␈nd␈α␈ed␈αb␈α␈y␈α(␈α↓2␈α␈5)␈αwi␈α↓th␈↓ ∧G␈ε	m␈↓ ∧n␈εβ=␈↓ ¬→␈ε	n␈↓ ¬-␈εβ.␈α~[␈α↓Th␈α␈e␈αstated␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈αis,␈αin␈αfact,␈αth␈α␈e␈αex␈α␈ec␈α␈ution␈αtime
␈β	≠␈↓ ↓H␈εβo␈α␈bser␈α␈v␈α␈ed␈α	in␈α	p␈α␈ractice,␈α
n␈α␈ot␈α	mere␈α␈l␈α↓y␈αλan␈α	u␈α␈pp␈α␈er␈α
b␈α␈ou␈α␈nd␈α␈.␈αFor␈α	more␈α	d␈α␈etailed␈α	info␈α␈rmatio␈α␈n␈α	see␈α	G.
␈β	B␈↓ ↓H␈εβE.␈αCollins,␈ε⊂␈αProc.␈α19␈α␈68␈αS␈α␈um␈α␈mer␈αIns␈α␈t.␈αo␈α␈n␈αS␈α␈ym␈α␈b␈α␈olic␈αMa␈α␈th.␈αCo␈α␈mp.␈εβ,␈αRob␈α␈ert␈αG.␈αTob␈α␈ey,␈αed␈α␈.
␈β	j␈↓ ↓H␈εβ(IBM␈αFed␈α␈eral␈αS␈α␈ystem␈α␈s␈αCen␈α␈ter␈α␈,␈αJ␈α␈un␈α␈e␈α196␈α␈9),␈α195␈α␈↑23␈α␈1.]
␈β
*␈↓ ↓V␈ε∪22.␈↓ α␈εβA␈αλseq␈α␈uen␈α␈ce␈απof␈αλsign␈α␈s␈αλca␈α␈nn␈α␈ot␈αλco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈απt␈α␈w␈α␈o␈αλc␈α␈on␈α␈secut␈α␈i␈α↓v␈α}e␈αλze␈α␈ros,␈α	sin␈α␈ce␈↓ 	⊂␈ε	u␈↓ 	V␈εβ(␈↓ 	a␈ε	x␈↓ 	r␈εβ)␈αλis␈αλa␈αλn␈α␈on␈α␈zero
␈β
5␈↓ 	#␈εk␈↓ 	0␈εε+1
␈β
R␈↓ ↓H␈εβc␈α␈onst␈α␈an␈α␈t␈αin␈α(29).␈αM␈α␈oreo␈α␈v␈α}er␈αw␈α␈e␈αc␈α␈ann␈α␈ot␈αha␈α␈v␈α␈e␈α\+,␈α0␈α␈,␈α+"␈αor␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ"␈αa␈α␈s␈αsub␈α␈sequ␈α␈enc␈α␈es.
␈β
y␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αfo␈α␈rm␈α␈ula␈↓ βε␈ε	V␈↓ β≡␈εβ(␈↓ β)␈ε	u␈↓ β=␈εβ,␈↓ βL␈ε	a␈↓ β]␈εβ)␈ε↔␈απ␈␈↓ ∧↔␈ε	V␈↓ ∧/␈εβ(␈↓ ∧:␈ε	u␈↓ ∧N␈εβ,␈↓ ∧\␈ε	b␈↓ ∧j␈εβ)␈αis␈α
cl␈α↓e␈α␈arly␈α
valid␈α
when␈↓ π5␈ε	b␈↓ πK␈εβ=␈↓ πv␈ε	a␈↓ λε␈εβ,␈αso␈αw␈α␈e␈α
m␈α␈ust␈α
only␈α
v␈α␈e␈α␈ri␈α↓fy␈α
it␈αa␈α␈s
␈β!␈↓ ↓H␈ε	b␈↓ ↓a␈εβinc␈α␈reases.␈α∞Th␈α␈e␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈↓ ∧w␈ε	u␈↓ ¬⊗␈εβ(␈↓ ¬!␈ε	x␈↓ ¬2␈εβ)␈α
h␈α␈av␈α}e␈α|n␈α␈itely␈αma␈α␈n␈α␈y␈αroots,␈αan␈α␈d␈↓ 	π␈ε	V␈↓ 	≡␈εβ(␈↓ 	*␈ε	u␈↓ 	>␈εβ,␈↓ 	L␈ε	b␈↓ 	Z␈εβ)␈αc␈α␈han␈α␈ges␈αo␈α␈nly
␈β,␈↓ ¬
␈εj
␈βI␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	b␈↓ α8␈εβenc␈α␈oun␈α}ters␈αo␈α␈r␈αp␈α␈asses␈αsu␈α␈ch␈αroo␈α␈ts.␈α∞Let␈↓ εU␈ε	x␈↓ εs␈εβb␈α␈e␈αa␈αroo␈α␈t␈αof␈αso␈α␈me␈α(p␈α␈ossibly␈αsev␈α}eral)␈↓ ∧␈ε	u␈↓ #␈εβ.
␈βS␈↓ ↔␈εj
␈βp␈↓ ↓H␈εβWh␈α␈en␈↓ α)␈ε	b␈↓ αB␈εβinc␈α␈reases␈αfro␈α␈m␈↓ ∧≡␈ε	x␈↓ ∧7␈ε↔␈␈↓ ∧a␈ε	∂␈↓ ∧z␈εβto␈↓ ¬#␈ε	x␈↓ ¬5␈εβ,␈αthe␈αsign␈αse␈α␈que␈α␈nce␈αnea␈α␈r␈↓ λ≡␈ε	j␈↓ λ9␈εβgoe␈α␈s␈αfrom␈α\␈α␈+␈α↓,␈ε↔␈αε␈εβ,␈ε↔␈α
␈␈εβ"␈αto
␈β_␈↓ ↓H␈εβ\␈α␈+␈α↓,␈α0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αor␈αfrom␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈ε↔␈αε␈εβ␈α↓,␈α+"␈αto␈α\␈ε↔␈α␈␈␈εβ␈α↓,␈α0␈α␈,␈α+␈α↓"␈αif␈↓ π~␈ε	j␈↓ π3␈εβ>␈α0␈α␈;␈α
a␈α␈nd␈αfrom␈α\+,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"␈αto␈α\0␈α␈,␈ε↔␈α␈␈εβ␈α↓"
␈β;␈↓ πα␈ε~0␈↓ 	V␈ε~0
␈β?␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α
from␈α\␈ε↔␈␈εβ,␈α
+␈α↓"␈αto␈α\0,␈α
+"␈α
if␈↓ ¬␈ε	j␈↓ ¬'␈εβ=␈α0␈α␈.␈α≥(Sin␈α␈ce␈↓ εn␈ε	u␈↓ πλ␈εβ(␈↓ π∪␈ε	x␈↓ π%␈εβ)␈αi␈α↓s␈αthe␈αde␈α␈ri␈α↓v␈α␈ativ␈α␈e␈α␈,␈↓ 	B␈ε	u␈↓ 	\␈εβ(␈↓ 	g␈ε	x␈↓ 	y␈εβ)␈αi␈α↓s␈αneg␈α␈ativ␈α␈e
␈βg␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈en␈↓ α∨␈ε	u␈↓ α3␈εβ(␈↓ α>␈ε	x␈↓ αO␈εβ)␈αis␈αde␈α␈creasin␈α␈g.)␈α~Th␈α}us␈αthe␈αn␈α␈et␈αch␈α␈ang␈α␈e␈αi␈α↓n␈↓ π(␈ε	V␈↓ πK␈εβi␈α↓s␈ε↔␈α␈␈↓ λ∞␈ε	∞␈↓ λ3␈εβ.␈αWh␈α␈en␈↓ 	(␈ε	b␈↓ 	@␈εβi␈α↓n␈α␈crea␈α␈ses␈αfrom␈↓ ≠␈ε	x
␈βr␈↓ λ~␈εj␈↓ λ&␈εε0
␈β
∂␈↓ ↓H␈εβto␈↓ ↓p␈ε	x␈↓ α	␈εβ+␈↓ α2␈ε	∂␈↓ α?␈εβ,␈αa␈αsimilar␈αarg␈α␈ume␈α␈n␈α␈t␈αsh␈α␈o␈α␈ws␈αtha␈α␈t␈↓ ε_␈ε	V␈↓ ε;␈εβrema␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αun␈α␈cha␈α␈ng␈α␈ed.
␈β
:␈↓ α␈εβ[L.␈α∂E.␈α∂Heind␈α␈el,␈ε⊂␈α⊂JA␈α␈CM␈ε∪␈α∞18␈εβ␈α∞(1␈α␈971␈α␈)␈α↓,␈α∂53␈α␈3↑5␈α␈48,␈α∂has␈α∞ap␈α␈plied␈α∞th␈α␈ese␈α∂id␈α␈eas␈α∞to␈α∞con␈α␈struc␈α␈t
␈β
a␈↓ ↓H␈εβa␈α␈l␈α↓g␈α␈orith␈α␈ms␈αfo␈α␈r␈αiso␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
the␈α
re␈α␈al␈αz␈α␈eroes␈α
of␈α
a␈α
giv␈α␈e␈α␈n␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈↓ λA␈ε	u␈↓ λU␈εβ(␈↓ λ`␈ε	x␈↓ λq␈εβ),␈αin␈α
time␈α
bo␈α␈un␈α␈ded␈α	by
␈β∞	␈↓ ↓H␈εβa␈α
po␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mial␈αin␈αd␈α␈eg␈α␈(␈↓ βs␈ε	u␈↓ ∧π␈εβ)␈αa␈α␈nd␈α
log␈↓ ¬∩␈ε	N␈↓ ¬1␈εβ,␈αw␈α↓h␈α␈ere␈α
all␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈↓ π{␈ε	y␈↓ λ!␈εβare␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈αwi␈α↓t␈α␈h␈ε↔␈αj␈↓ 
(␈ε	u␈↓ 
G␈ε↔j␈α
∀␈↓ ∧␈ε	N␈↓ #␈εβ,
␈β∞∪␈↓ λ
␈εj␈↓ 
;␈εj
␈β∞0␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈α
all␈αo␈α␈pera␈α␈tions␈αa␈α␈re␈αgu␈α␈ara␈α␈n␈α␈teed␈α
to␈αb␈α␈e␈αexa␈α␈ct.]
␈β∞p␈↓ ↓V␈ε∪23.␈↓ α␈εβIf␈↓ α*␈ε	v␈↓ αB␈εβhas␈↓ αz␈ε	n␈↓ β⊃␈ε↔␈␈εβ␈αα1␈απreal␈απroots␈απocc␈α␈urrin␈α␈g␈αλb␈α␈et␈α␈w␈α␈een␈απt␈α␈he␈↓ π→␈ε	n␈↓ π5␈εβre␈α␈al␈αλro␈α␈ots␈απof␈↓ λd␈ε	u␈↓ λy␈εβ,␈αλth␈α␈en␈απ(by␈απc␈α␈onsid␈α␈ering
␈β∂_␈↓ ↓H␈εβsig␈α␈n␈αch␈α␈ang␈α␈es)␈↓ β∪␈ε	u␈↓ β'␈εβ(␈↓ β2␈ε	x␈↓ βD␈εβ)␈↓ βT␈εβmod␈↓ ∧→␈ε	v␈↓ ∧*␈εβ(␈↓ ∧5␈ε	x␈↓ ∧G␈εβ)␈αh␈α␈as␈↓ ¬_␈ε	n␈↓ ¬3␈ε↔␈␈εβ␈αλ2␈αrea␈α␈l␈αro␈α␈ots␈αlyin␈α␈g␈αbe␈α␈t␈α␈we␈α␈en␈αth␈α␈e␈↓ 	_␈ε	n␈↓ 	4␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈αof␈↓ 
∨␈ε	v␈↓ 
0␈εβ.
␈β∂Q␈↓ ∧a␈ε∞␈↓ ¬(␈ε∞␈↓ ¬`␈εε(1␈ε~␈␈↓ ε∞␈ε∞␈↓ εF␈εε)␈↓ π
␈ε∞␈↓ π ␈εε(1␈ε~␈␈↓ πN␈ε∞␈↓ πc␈εε)␈↓ πl␈εε...␈↓ λ↓␈εε(1␈ε~␈␈↓ λ/␈ε∞␈↓ λg␈εε)
␈β∂X␈↓ ↓V␈ε∪24.␈↓ α␈εβFirst␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈α
th␈α␈at␈↓ β⎇␈ε	h␈↓ ∧$␈εβ=␈↓ ∧Q␈ε	g␈↓ ¬→␈ε	g␈↓ εN␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εz␈ε	g␈↓ λo␈εβ.␈α⊂The␈α␈n␈α
sh␈α␈o␈α␈w␈αthat␈αthe
␈β∂Y␈↓ ∧k␈ε
j␈↓ ∧w␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ ¬3␈ε
j␈↓ ¬>␈ε≠␈␈επ2␈↓ ε_␈ε
j␈↓ ε$␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ π∀␈επ1␈↓ πX␈επ2␈↓ λ9␈ε
j␈↓ λE␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈β∂c␈↓ ∧␈εj
␈β∂j␈↓ ∧]␈εj␈↓ ¬$␈εj␈↓ ¬0␈ε~␈␈εε1␈↓ π
␈εε2
␈β⊂␈↓ ↓H␈εβe␈α␈xp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈α∞o␈α␈f␈↓ ββ␈ε	g␈↓ β+␈εβo␈α␈n␈α∞th␈α␈e␈α∞left-ha␈α␈nd␈α
side␈α
of␈α∞(18␈α␈)␈α∞has␈α
the␈α
f␈α↓o␈α␈rm␈↓ λ*␈ε	∞␈↓ λL␈εβ+␈↓ λv␈ε	∞␈↓ 	∂␈ε	x␈↓ 	 ␈εβ,␈α∂whe␈α␈re␈↓ 
≠␈ε	x␈↓ 
:␈εβ=␈↓ 
i␈ε	∞␈↓ ␈εβ+
␈β⊂
␈↓ β⊂␈εε2␈↓ λ6␈εε2␈↓ 	α␈εε1␈↓ 
u␈εε2
␈β⊂'␈↓ ↓H␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ ↓w␈εβ+␈↓ α"␈ε	∞␈↓ αh␈εβ+␈α
1␈ε↔␈αλ␈␈↓ βV␈ε	∞␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	∞␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧F␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ ∧v␈εβ+␈↓ ¬ ␈ε	∞␈↓ ¬g␈εβ+␈α	1␈α␈)␈ε↔␈α	␈␈↓ ε`␈ε	∞␈↓ εx␈εβ(1␈ε↔␈α	␈␈↓ πG␈ε	∞␈↓ π`␈εβ)(␈↓ πv␈ε	∞␈↓ λ↔␈εβ+␈↓ λB␈ε↔↓␈α¬↓␈αε↓␈↓ λq␈εβ+␈↓ 	≤␈ε	∞␈↓ 	b␈εβ+␈α
1␈α␈)␈ε↔␈α	␈␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈ε↔␈
␈β⊂2␈↓ α.␈εj␈↓ α:␈ε~␈␈εε1␈↓ βb␈εε2␈↓ ∧ε␈εε3␈↓ ¬,␈εj␈↓ ¬8␈ε~␈␈εε1␈↓ εl␈εε3␈↓ πS␈εε2␈↓ λα␈εε4␈↓ 	(␈εj␈↓ 	4␈ε~␈␈εε1
␈β⊂O␈↓ ↓H␈ε	∞␈↓ αε␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ αQ␈ε	∞␈↓ αj␈εβ)␈↓ α{␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ β'␈εβ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βs␈ε	∞␈↓ ∧1␈εβ)(1)␈↓ ∧c␈εβ.␈αBut␈↓ ¬7␈ε	x␈↓ ¬Q␈εβ=␈α
1,␈α
si␈α↓n␈α␈ce␈α
it␈αis␈α
seen␈α
to␈α
b␈α␈e␈α
i␈α↓n␈α␈de␈α␈pen␈α␈den␈α}t␈α
of␈↓ 
/␈ε	∞␈↓ 
w␈εβa␈α␈nd
␈β⊂Z␈↓ ↓T␈εj␈↓ ↓`␈ε~␈␈εε1␈↓ α]␈εε2␈↓ β␈␈εj␈↓ ∧␈ε~␈␈εε2␈↓ 
;␈εj␈↓ 
G␈ε~␈␈εε1
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβw␈α␈e␈α∞can␈α∞s␈α␈et␈↓ αt␈ε	∞␈↓ β@␈εβ=␈α⊂0␈α␈,␈α⊂etc␈α␈.␈α⊗A␈α∂s␈α␈i␈α↓m␈α␈i␈α↓lar␈α∞de␈α␈ri␈α↓v␈α␈ation␈α∞w␈α␈o␈α␈rks␈α∞for␈↓ λ6␈ε	g␈↓ λP␈εβ,␈↓ λi␈ε	g␈↓ 	α␈εβ,␈↓ 	≠␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ 	G␈εβ,␈α⊂a␈α␈nd␈α∞a␈α∞simp␈α␈l␈α↓e␈α␈r
␈β⊃↓␈↓ β␈εj␈↓ β␈ε~␈␈εε1␈↓ λC␈εε3␈↓ λv␈εε4
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈εβd␈α␈eriva␈α␈tion␈αw␈α␈or␈α␈ks␈αfor␈α(23␈α␈).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα596␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.1
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪25.␈↓ α␈εβEach␈αcoe}␈α␈cien␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ ∧$␈ε	u␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε	x␈↓ ∧←␈εβ)␈αcan␈αbe␈αex␈α␈pre␈α␈ssed␈αa␈α␈s␈αa␈αde␈α␈termina␈α␈n␈α␈t␈αin␈αwh␈α␈i␈α↓c␈α␈h␈αon␈α␈e␈αco␈α␈l␈α↓u␈α␈mn
␈βα5␈↓ ∧7␈εj
␈βαR␈↓ ↓H␈εβc␈α␈on␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈α
on␈α␈ly␈↓ β_␈ε	#␈↓ β&␈εβ(␈↓ β1␈ε	u␈↓ βE␈εβ),␈↓ βg␈ε	#␈↓ βu␈εβ(␈↓ ∧␈ε	v␈↓ ∧⊃␈εβ),␈α∞an␈α␈d␈α
zer␈α␈os.␈α⊃To␈α
use␈α
t␈α␈his␈α
fact,␈α∞m␈α␈odify␈αAl␈α↓g␈α␈orithm␈α
C␈α
a␈α␈s␈α
follo␈α␈ws:
␈βαv␈↓ ∧)␈εα(␈↓ ¬2␈εα)
␈βαy␈↓ ↓H␈εβIn␈αste␈α␈p␈αC1,␈α
set␈↓ β/␈ε	g␈↓ βK␈ε↔ ␈↓ βw␈εβgcd␈↓ ∧5␈ε	#␈↓ ∧C␈εβ(␈↓ ∧N␈ε	u␈↓ ∧b␈εβ),␈↓ ∧|␈ε	#␈↓ ¬
␈εβ(␈↓ ¬∃␈ε	v␈↓ ¬&␈εβ)␈↓ ¬J␈εβan␈α␈d␈↓ ε␈ε	h␈↓ ε(␈ε↔ ␈εβ␈α0.␈α∂In␈αstep␈αC3,␈α
if␈↓ λQ␈ε	h␈↓ λm␈εβ=␈α0,␈α
set␈↓ 	v␈ε	u␈↓ 

␈εβ(␈↓ 
∃␈ε	x␈↓ 
'␈εβ)␈ε↔␈α ␈↓ 
j␈ε	v␈↓ 
|␈εβ(␈↓ π␈ε	x␈↓ _␈εβ),
␈ββ≥␈↓ ∧)␈ε∞
␈ββ!␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓Y␈εβ(␈↓ ↓d␈ε	x␈↓ ↓u␈εβ)␈ε↔␈α
 ␈↓ α:␈ε	r␈↓ αI␈εβ(␈↓ αT␈ε	x␈↓ αe␈εβ)/␈↓ β↓␈ε	g␈↓ β⊃␈εβ,␈↓ β'␈ε	h␈↓ βD␈ε↔ ␈↓ βq␈ε	#␈↓ β␈␈εβ(␈↓ ∧
␈ε	u␈↓ ∧≡␈εβ)␈↓ ∧6␈εβ/␈↓ ∧F␈ε	g␈↓ ∧V␈εβ,␈↓ ∧l␈ε	g␈↓ ¬λ␈ε↔ ␈↓ ¬6␈ε	#␈↓ ¬C␈εβ(␈↓ ¬N␈ε	u␈↓ ¬b␈εβ)␈α↓,␈α
an␈α␈d␈α
r␈α␈eturn␈αto␈αC2;␈α∞o␈α␈therwise␈αproc␈α␈eed␈αas␈α
in␈αthe
␈ββI␈↓ ↓H␈εβu␈α␈nm␈α␈odi|␈α␈ed␈α	algor␈α␈i␈α↓th␈α␈m.␈αTh␈α␈e␈α
e{ect␈α	of␈α
th␈α␈i␈α↓s␈α	new␈α	i␈α↓n␈α␈iti␈α↓a␈α␈li␈α↓z␈α␈ation␈α	is␈α
simply␈α	to␈α	replac␈α␈e␈↓ 
7␈ε	u␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	x␈↓ 
s␈εβ)␈α	by
␈ββS␈↓ 
J␈εj
␈ββl␈↓ ε~␈εε2␈↓ ε'␈εj␈↓ ε3␈ε~␈␈εε4␈↓ λ'␈εε2␈↓ λ4␈εj␈↓ λ@␈ε~␈␈εε5
␈ββm␈↓ αQ␈εα(␈↓ βY␈εα)
␈ββp␈↓ ↓H␈ε	u␈↓ ↓g␈εβ(␈↓ ↓r␈ε	x␈↓ αβ␈εβ)/␈↓ α∨␈εβgc␈α␈d␈↓ α]␈ε	#␈↓ αk␈εβ(␈↓ αv␈ε	u␈↓ β
␈εβ),␈↓ β$␈ε	#␈↓ β2␈εβ(␈↓ β=␈ε	v␈↓ βN␈εβ)␈↓ βp␈εβfor␈αall␈↓ ∧R␈ε	j␈↓ ∧k␈ε↔∃␈εβ␈α	3;␈αth␈α␈u␈α␈s,␈↓ ε␈ε	#␈↓ εd␈εβwill␈αb␈α␈eco␈α␈me␈↓ λ→␈ε	#␈↓ λq␈εβin␈α
(28).
␈ββ{␈↓ ↓[␈εj
␈β∧d␈↓ ↓H␈ε≥SE␈α␈C␈α↓T␈α␈I␈α↓O␈α␈N␈α∞4.6␈α␈.2
␈β¬/␈↓ ↓g␈ε∪1.␈↓ α␈εβBy␈α∞th␈α␈e␈α∞p␈α␈ri␈α↓n␈α␈ciple␈α∞o␈α␈f␈α∞inclus␈α␈i␈α↓o␈α␈n␈α∞a␈α␈nd␈α
ex␈α␈clu␈α␈si␈α↓o␈α␈n␈α∞(S␈α␈ection␈α
1.3.3),␈α∂t␈α␈he␈α∞n␈α}um␈α␈b␈α␈er␈α∞o␈α␈f␈α∞poly␈α␈-
␈β¬5␈↓ ε∨␈ε↓␈␈↓ ε;␈ε↓↓
␈β¬9␈↓ ¬=␈ε↓P
␈β¬O␈↓ ε-␈εp
␈β¬S␈↓ εZ␈εn␈↓ εj␈ε~␈␈↓ πβ␈εk␈↓ πY␈εk␈↓ λ8␈εn␈↓ λH␈ε~␈␈↓ λb␈εp␈↓ 	]␈εp
␈β¬W␈↓ ↓H␈εβn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈α∂witho␈α␈ut␈α∂linea␈α␈r␈α∂facto␈α␈rs␈α⊂is␈↓ εI␈ε	p␈↓ π⊃␈εβ(␈ε↔␈␈εβ1␈↓ πN␈εβ)␈↓ πv␈εβ=␈↓ λ'␈ε	p␈↓ λp␈εβ(␈↓ λ{␈ε	p␈↓ 	⊗␈ε↔␈␈εβ␈α
1␈↓ 	R␈εβ)␈↓ 	k␈εβ.␈α↔The␈α∂sta␈α␈ted
␈β¬g␈↓ ε-␈εk
␈β¬j␈↓ ¬c␈εk␈↓ ¬p␈ε~∀␈↓ ε	␈εn
␈βε␈↓ ¬t␈εp␈↓ λb␈εε1
␈βε∧␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈α
th␈α␈erefore␈α1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	(1␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈α	1␈α␈/␈↓ ¬X␈ε	p␈↓ ¬i␈εβ)␈↓ εα␈εβ,␈α
which␈αis␈α
g␈α␈reate␈α␈r␈α
th␈α␈an␈↓ λr␈εβ.␈α≥[In␈αfact,␈α
th␈α␈e␈α
sta␈α␈ted
␈βε∩␈↓ λb␈∧ε∩λbα
␈βε∀␈↓ λb␈εε2
␈βε(␈↓ ∧W␈εε1
␈βε+␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓lity␈αis␈αgre␈α␈ater␈αth␈α␈an␈↓ ∧s␈εβfo␈α␈r␈αall␈↓ ¬U␈ε	n␈↓ ¬r␈ε↔∃␈εβ␈α
1␈α␈.]
␈βε:␈↓ ∧W␈∧ε:∧Wα
␈βε<␈↓ ∧W␈εε2
␈βε]␈↓ ↓g␈ε∪2.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃We␈απkn␈α␈o␈α␈w␈απtha␈α␈t␈↓ ∧∀␈ε	u␈↓ ∧(␈εβ(␈↓ ∧3␈ε	x␈↓ ∧D␈εβ)␈αλh␈α␈as␈απa␈απrep␈α␈resen␈α␈t␈α␈ation␈απas␈απa␈απp␈α␈rodu␈α␈ct␈απof␈απi␈α↓rr␈α␈edu␈α␈cible␈απpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈mials;
␈βπ∧␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈αth␈α␈e␈αl␈α↓e␈α␈adin␈α␈g␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts␈αof␈αthe␈α␈se␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls␈α
m␈α␈u␈α␈st␈αbe␈αun␈α␈its,␈α
since␈αth␈α␈ey␈αdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈e␈αthe
␈βπ,␈↓ ↓H␈εβlea␈α␈ding␈α
coe␈α␈}cien␈α␈t␈α
of␈↓ ∧∧␈ε	u␈↓ ∧_␈εβ(␈↓ ∧#␈ε	x␈↓ ∧5␈εβ).␈α∪T␈α↓h␈α␈erefo␈α␈re␈α∞w␈α␈e␈α∞ma␈α␈y␈α∞a␈α␈ssum␈α␈e␈α∞tha␈α␈t␈↓ λ8␈ε	u␈↓ λL␈εβ(␈↓ λW␈ε	x␈↓ λi␈εβ)␈α∞h␈α␈as␈α∞a␈α
rep␈α␈resen␈α}tation
␈βπO␈↓ π7␈εe␈↓ λB␈εe
␈βπS␈↓ ↓H␈εβa␈α␈s␈αa␈αprod␈α␈uc␈α␈t␈αof␈αm␈α␈on␈α␈i␈α↓c␈αi␈α↓r␈α␈redu␈α␈cible␈αp␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈↓ εs␈ε	p␈↓ π⊂␈εβ(␈↓ π≠␈ε	x␈↓ π,␈εβ)␈↓ πR␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ π␈␈ε	p␈↓ λ≠␈εβ(␈↓ λ&␈ε	x␈↓ λ7␈εβ)␈↓ λX␈εβ,␈αwhere␈↓ 	N␈ε	p␈↓ 	k␈εβ(␈↓ 	v␈ε	x␈↓ 
π␈εβ),␈↓ 
'␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ 
T␈εβ,␈↓ 
i␈ε	p␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈βπV␈↓ λL␈ε
r
␈βπW␈↓ πA␈επ1
␈βπ↑␈↓ πβ␈εε1␈↓ λ∞␈εr␈↓ 	↑␈εε1␈↓ 
y␈εr
␈βπ{␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈α
d␈α␈istinct.␈α∂This␈αrepre␈α␈sen␈α␈ta␈α␈tion␈αis␈α
u␈α␈niqu␈α␈e,␈α
ex␈α}cep␈α␈t␈α
for␈αth␈α␈e␈α
o␈α␈rder␈αof␈αthe␈αfacto␈α␈rs,␈α
so␈αthe
␈βλ#␈↓ ↓H␈εβc␈α␈ond␈α␈iti␈α↓o␈α␈ns␈αo␈α␈n␈↓ β∃␈ε	u␈↓ β)␈εβ(␈↓ β4␈ε	x␈↓ βE␈εβ)␈α↓,␈↓ βe␈ε	v␈↓ βv␈εβ(␈↓ ∧↓␈ε	x␈↓ ∧∪␈εβ),␈↓ ∧2␈ε	w␈↓ ∧K␈εβ(␈↓ ∧V␈ε	x␈↓ ∧g␈εβ)␈αa␈α␈re␈αsatis|␈α␈ed␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈ly␈αif
␈βλc␈↓ βy␈ε~b␈↓ ∧β␈εe␈↓ ∧→␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ ¬,␈ε~b␈↓ ¬5␈εe␈↓ ¬L␈εε/␈α␈2␈ε~c␈↓ π⎇␈εe␈↓ λ↔␈εεmod␈↓ λK␈εε2␈↓ 	G␈εe␈↓ 	b␈εεmo␈α␈d␈↓ 
∃␈εε2
␈βλi␈↓ αI␈ε	v␈↓ αZ␈εβ(␈↓ αe␈ε	x␈↓ αw␈εβ)␈α	=␈↓ β5␈ε	p␈↓ βR␈εβ(␈↓ β]␈ε	x␈↓ βn␈εβ)␈↓ ∧<␈εβ.␈αε.␈α¬.␈↓ ∧h␈ε	p␈↓ ¬∧␈εβ(␈↓ ¬∂␈ε	x␈↓ ¬!␈εβ)␈↓ ¬@␈ε
r␈↓ ¬o␈εβ,␈↓ εE␈ε	w␈↓ ε↑␈εβ(␈↓ εi␈ε	x␈↓ ε{␈εβ)␈α	=␈↓ π9␈ε	p␈↓ πV␈εβ(␈↓ πa␈ε	x␈↓ πr␈εβ)␈↓ λX␈εβ.␈α¬.␈αε.␈↓ 	∧␈ε	p␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	+␈ε	x␈↓ 	<␈εβ)␈↓ 	R␈ε
r␈↓ 
"␈εβ.
␈βλj␈↓ ∧
␈επ1␈↓ λλ␈επ1
␈βλs␈↓ βE␈εε1␈↓ ∧x␈εr␈↓ πI␈εε1␈↓ 	∀␈εr
␈β	.␈↓ α␈εβ(b)␈α⊂The␈αgen␈α␈eratin␈α␈g␈α
fu␈α␈nc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αfor␈α
th␈α␈e␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈ber␈αof␈αmon␈α␈i␈α↓c␈αp␈α␈olyn␈α␈omials␈αof␈α
d␈α␈egre␈α␈e␈↓ 
v␈ε	n␈↓ ⊗␈εβis
␈β	R␈↓ αi␈εε2␈↓ ββ␈εε2
␈β	V␈↓ ↓H␈εβ1␈απ+␈↓ α	␈ε	p␈↓ α~␈ε	z␈↓ α/␈εβ+␈↓ αX␈ε	p␈↓ αu␈ε	z␈↓ β↔␈εβ+␈↓ β@␈ε↔↓␈αε↓␈α¬↓␈↓ βp␈εβ=␈α
1/␈α␈(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ ¬	␈ε	p␈↓ ¬→␈ε	z␈↓ ¬'␈εβ).␈αThe␈αg␈α␈enera␈α␈ting␈αfu␈α␈nction␈α
for␈αthe␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αof␈αpo␈α␈l␈α↓y␈α␈no␈α␈-
␈β	z␈↓ ¬s␈εε2␈↓ 	<␈εε2␈↓ 
π␈εε2␈↓ 
!␈εε4
␈β	}␈↓ ↓H␈εβm␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈α↓s␈α	of␈α
de␈α␈gree␈↓ β*␈ε	n␈↓ βH␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
th␈α␈e␈α
form␈↓ ¬:␈ε	v␈↓ ¬L␈εβ(␈↓ ¬W␈ε	x␈↓ ¬h␈εβ)␈↓ ε␈εβ,␈α
where␈↓ εr␈ε	v␈↓ π∧␈εβ(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π ␈εβ)␈α
is␈α
mon␈α␈i␈α↓c␈α␈,␈αis␈α
1␈αε+␈↓ 	≡␈ε	p␈↓ 	/␈ε	z␈↓ 	O␈εβ+␈↓ 	v␈ε	p␈↓ 
∀␈ε	z␈↓ 
4␈εβ+␈↓ 
[␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ ␈εβ=
␈β
!␈↓ αQ␈εε2
␈β
%␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈αε␈␈↓ α2␈ε	p␈↓ αC␈ε	z␈↓ α]␈εβ).␈αI␈α↓f␈α
th␈α␈e␈α
gen␈α␈era␈α␈ti␈α↓n␈α␈g␈α
fu␈α␈nction␈α	for␈α
th␈α␈e␈α
n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α
of␈α
mon␈α␈ic␈α
squ␈α␈arefree␈α
p␈α␈oly␈α␈nom␈α␈i␈α↓a␈α␈ls
␈β
I␈↓ 
(␈εε2
␈β
M␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈αd␈α␈egree␈↓ αW␈ε	n␈↓ αw␈εβis␈↓ β_␈ε	g␈↓ β(␈εβ(␈↓ β3␈ε	z␈↓ βA␈εβ),␈αth␈α␈en␈αby␈αp␈α␈art␈α(a)␈αw␈α␈e␈αm␈α␈u␈α␈st␈αh␈α␈av␈α␈e␈α1/␈α␈(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ λ~␈ε	p␈↓ λ+␈ε	z␈↓ λ8␈εβ)␈α
=␈↓ λy␈ε	g␈↓ 	λ␈εβ(␈↓ 	∪␈ε	z␈↓ 	!␈εβ)/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
	␈ε	p␈↓ 
~␈ε	z␈↓ 
5␈εβ).␈αH␈α↓e␈α␈nce
␈β
p␈↓ β ␈εε2␈↓ ε'␈εε2␈↓ π∂␈εε2␈↓ πi␈εε3␈↓ λ9␈εε2␈↓ λ↑␈εε3
␈β
t␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	z␈↓ ↓p␈εβ)␈α=␈α(␈α↓1␈ε↔␈απ␈␈↓ β↓␈ε	p␈↓ β∩␈ε	z␈↓ β,␈εβ)/(1␈ε↔␈αλ␈␈↓ ∧⊗␈ε	p␈↓ ∧'␈ε	z␈↓ ∧4␈εβ)␈α=␈α1␈απ+␈↓ ¬:␈ε	p␈↓ ¬K␈ε	z␈↓ ¬a␈εβ+␈α	(␈↓ ε⊗␈ε	p␈↓ ε;␈ε↔␈␈↓ εe␈ε	p␈↓ εv␈εβ)␈↓ π↓␈ε	z␈↓ π$␈εβ+␈αλ(␈↓ πX␈ε	p␈↓ π}␈ε↔␈␈↓ λ(␈ε	p␈↓ λE␈εβ)␈↓ λP␈ε	z␈↓ λs␈εβ+␈↓ 	≤␈ε↔↓␈αε↓␈αε↓␈↓ 	I␈εβ.␈α∂The␈αan␈α␈sw␈α␈er␈αis
␈β_␈↓ ↓Y␈εn␈↓ α$␈εn␈↓ α4␈ε~␈␈εε1␈↓ λ;␈ε~0
␈β→␈↓ ∧λ␈εα(␈↓ πQ␈εα(␈↓ λi␈εα)
␈β≤␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓m␈ε↔␈␈↓ α∪␈ε	p␈↓ αb␈εβfor␈↓ β∀␈ε	n␈↓ β1␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈↓ ∧∀␈εβCuriou␈α␈sly,␈α	this␈α	p␈α␈ro␈α␈v␈α}es␈α	th␈α␈at␈↓ π∨␈εβg␈α␈cd␈↓ π]␈ε	u␈↓ πq␈εβ(␈↓ π|␈ε	x␈↓ λ
␈εβ),␈↓ λ'␈ε	u␈↓ λA␈εβ(␈↓ λL␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ)␈↓ λ}␈εβ=␈α
1␈αλwith␈αλprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βA␈↓ π)␈εα(␈↓ λ8␈εα)
␈βD␈↓ ↓H␈εβ1␈ε↔␈απ␈␈εβ␈αλ1␈α␈/␈↓ α*␈ε	p␈↓ α;␈εβ;␈αit␈αis␈αth␈α␈e␈αsam␈α␈e␈αa␈α␈s␈αt␈α␈he␈αpro␈α␈ba␈α␈bili␈α↓ty␈α
tha␈α␈t␈↓ εw␈εβg␈α␈cd␈↓ π5␈ε	u␈↓ πI␈εβ(␈↓ πT␈ε	x␈↓ πe␈εβ),␈↓ π␈␈ε	v␈↓ λ⊂␈εβ(␈↓ λ≤␈ε	x␈↓ λ-␈εβ)␈↓ λN␈εβ=␈α	1␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ 	l␈ε	u␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
≤␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ 
s␈ε	v␈↓ ¬␈εβ(␈↓ ⊂␈ε	x␈↓ !␈εβ)
␈βh␈↓ ¬↑␈εα)
␈βk␈↓ ↓H␈εβa␈α␈re␈ε⊂␈αind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈εβ,␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.6.1↑␈α␈5.
␈β≤␈↓ ↓g␈ε∪3.␈↓ α␈εβLet␈↓ αL␈ε	u␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε	x␈↓ α⎇␈εβ)␈α∞=␈↓ βE␈ε	u␈↓ βe␈εβ(␈↓ βp␈ε	x␈↓ ∧↓␈εβ)␈↓ ∧∩␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ ∧>␈ε	u␈↓ ∧↑␈εβ(␈↓ ∧i␈ε	x␈↓ ∧z␈εβ).␈α∀T␈α↓h␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∞a␈α␈t␈α∞most␈εβ␈α∞o␈α␈ne␈α∞su␈α␈ch␈↓ λ9␈ε	v␈↓ λJ␈εβ(␈↓ λU␈ε	x␈↓ λf␈εβ)␈α↓,␈α∂b␈α␈y␈α∞th␈α␈e␈α∞a␈α␈rgum␈α␈en␈α␈t␈α∞o␈α␈f
␈β'␈↓ βX␈εε1␈↓ ∧R␈εr
␈βD␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈eore␈α␈m␈α∞4.3.2C␈↓ β6␈εβ.␈α∃Th␈α␈ere␈α∞is␈ε⊂␈α∂a␈α␈t␈α∂lea␈α␈st␈εβ␈α∂o␈α␈ne␈α∞if,␈α⊂fo␈α␈r␈α∂e␈α␈ach␈↓ πL␈ε	j␈↓ π[␈εβ,␈α∂w␈α␈e␈α∞can␈α
solv␈α␈e␈α∞th␈α␈e␈α∞system␈α∞with
␈βN␈↓ 	!␈ε↓Q
␈βl␈↓ ↓H␈ε	w␈↓ ↓j␈εβ(␈↓ ↓u␈ε	x␈↓ αε␈εβ)␈α
=␈α	1␈αan␈α␈d␈↓ β"␈ε	w␈↓ βE␈εβ(␈↓ βQ␈ε	x␈↓ βb␈εβ)␈α	=␈α
0␈αfor␈↓ ∧q␈ε	k␈↓ ¬␈ε↔≤␈↓ ¬5␈ε	j␈↓ ¬D␈εβ.␈αA␈αsolutio␈α␈n␈αto␈αth␈α␈e␈αl␈α↓a␈α␈tter␈αis␈↓ λY␈ε	v␈↓ λt␈εβ(␈↓ λ␈␈ε	x␈↓ 	⊂␈εβ)␈↓ 	{␈ε	u␈↓ 
≠␈εβ(␈↓ 
&␈ε	x␈↓ 
8␈εβ),␈αwhere
␈βv␈↓ ↓↑␈εj␈↓ β8␈εk␈↓ λg␈εε1␈↓ 
∞␈εk
␈β}␈↓ 	C␈εk␈↓ 	P␈ε~≤␈↓ 	i␈εj
␈β
→␈↓ ↓H␈ε	v␈↓ ↓c␈εβ(␈↓ ↓n␈ε	x␈↓ ↓␈␈εβ)␈αa␈α␈nd␈↓ αV␈ε	v␈↓ αr␈εβ(␈↓ α⎇␈ε	x␈↓ β∞␈εβ)␈αcan␈α
be␈αfou␈α␈nd␈α
satisfy␈α␈i␈α↓n␈α␈g
␈β
#␈↓ ↓V␈εε1␈↓ αe␈εε2
␈β
@␈↓ βY␈ε↓Q
␈β
↑␈↓ β⊃␈ε	v␈↓ β,␈εβ(␈↓ β7␈ε	x␈↓ βI␈εβ)␈↓ ∧3␈ε	u␈↓ ∧T␈εβ(␈↓ ∧←␈ε	x␈↓ ∧p␈εβ)␈α
+␈↓ ¬6␈ε	v␈↓ ¬R␈εβ(␈↓ ¬]␈ε	x␈↓ ¬n␈εβ)␈↓ ¬y␈ε	u␈↓ ε→␈εβ(␈↓ ε$␈ε	x␈↓ ε5␈εβ)␈α	=␈α
1,␈↓ π[␈εβdeg␈↓ λ
␈εβ(␈↓ λ_␈ε	v␈↓ λ4␈εβ)␈α	<␈↓ λs␈εβd␈α␈eg␈↓ 	%␈εβ(␈↓ 	0␈ε	u␈↓ 	O␈εβ),
␈β
i␈↓ β ␈εε1␈↓ ∧F␈εk␈↓ ¬E␈εε2␈↓ ε␈εj␈↓ λ'␈εε1␈↓ 	C␈εj
␈β
q␈↓ β{␈εk␈↓ ∧	␈ε~≤␈↓ ∧"␈εj
␈β∞*␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈αth␈α␈e␈αex␈α␈tensio␈α␈n␈αof␈αEuc␈α␈l␈α↓id␈α␈'␈α↓s␈αa␈α␈l␈α↓g␈α␈orithm␈α
(␈α↓e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α4␈α␈.6.1↑3␈α␈).
␈β∞=␈↓ 	"␈ε↓Q
␈β∞W␈↓ λH␈ε~␈␈εε␈α↓1␈↓ 
E␈εn␈↓ 
`␈ε~␈␈↓ 
z␈εa
␈β∞[␈↓ ↓g␈ε∪4.␈↓ α␈εβThe␈α¬u␈α␈niqu␈α␈e␈αεfac␈α␈torizatio␈α␈n␈α¬theo␈α␈rem␈α¬giv␈α␈es␈α¬the␈α¬iden␈α}tity␈α¬(␈α↓1␈ε↔␈α␈␈␈↓ λ∨␈ε	p␈↓ λ0␈ε	z␈↓ λ=␈εβ)␈↓ λw␈εβ=␈↓ 	z␈εβ(1␈ε↔␈␈↓ 
7␈ε	z␈↓ 
U␈εβ)␈↓ #␈εβ;
␈β∞]␈↓ π␈ε
n␈↓ ⊗␈ε
p
␈β∞m␈↓ 	D␈εn␈↓ 	T␈ε~∃␈εε1
␈β∂α␈↓ ↓H␈εβa␈α␈fter␈αtak␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αlog␈α␈arithm␈α␈s,␈αth␈α␈is␈αcan␈α
be␈αrewritten
␈β∂*␈↓ βB␈ε↓P␈↓ ¬G␈ε↓P
␈β∂D␈↓ ∧]␈εj␈↓ εq␈εk␈↓ ε}␈εj
␈β∂E␈↓ πz␈εα(␈↓ 	≥␈εα)
␈β∂H␈↓ ∧ ␈ε	G␈↓ ∧D␈εβ(␈↓ ∧O␈ε	z␈↓ ∧i␈εβ)/␈↓ ¬∧␈ε	j␈↓ ¬≥␈εβ=␈↓ ε9␈ε	a␈↓ εc␈ε	z␈↓ π
␈εβ/␈↓ π≠␈ε	j␈↓ π3␈εβ=␈↓ π↑␈εβln␈↓ λε␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λs␈ε	p␈↓ 	∧␈ε	z␈↓ 	⊃␈εβ)␈↓ 	)␈εβ.
␈β∂S␈↓ ∧6␈εp␈↓ εH␈εk␈↓ εV␈εp
␈β∂[␈↓ βh␈εj␈↓ βt␈ε~∃␈εε␈α↓1␈↓ ¬m␈εk␈↓ ¬z␈εε,␈↓ ε↓␈εj␈↓ ε
␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β∂w␈↓ π∞␈ε↓P
␈β⊂⊃␈↓ λY␈ε~␈␈εε1␈↓ 
*␈εm
␈β⊂∩␈↓ 	 ␈εα(␈↓ 
L␈εα)
␈β⊂∃␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈αεsta␈α␈ted␈α¬iden␈α}tity␈α¬no␈α␈w␈α¬yields␈α¬the␈α¬an␈α␈sw␈α␈er␈↓ ε∩␈ε	G␈↓ ε6␈εβ(␈↓ εA␈ε	z␈↓ εO␈εβ)␈α	=␈↓ πv␈ε	⊗␈↓ λλ␈εβ(␈↓ λ∀␈ε	m␈↓ λ1␈εβ)␈↓ λ<␈ε	m␈↓ 	¬␈εβln␈↓ 	,␈εβ1/(1␈ε↔␈␈↓ 
␈ε	p␈↓ 
≤␈ε	z␈↓ 
A␈εβ)␈↓ 
X␈εβ,␈απfrom
␈β⊂ ␈↓ ε(␈εp
␈β⊂$␈↓ ∧(␈ε↓P
␈β⊂(␈↓ π4␈εm␈↓ πK␈ε~∃␈εε1
␈β⊂>␈↓ ¬r␈ε~␈␈εε1␈↓ ε)␈εd␈↓ λ[␈εn
␈β⊂C␈↓ ↓H␈εβwh␈α␈ich␈αw␈α␈e␈αo␈α␈bta␈α␈i␈α↓n␈↓ βC␈ε	a␈↓ β|␈εβ=␈↓ ∧␈␈ε	⊗␈↓ ¬⊃␈εβ(␈↓ ¬≤␈ε	n␈↓ ¬0␈εβ/␈↓ ¬A␈ε	d␈↓ ¬S␈εβ)␈↓ ¬↑␈ε	n␈↓ ε_␈ε	p␈↓ ε8␈εβ;␈αth␈α␈u␈α␈s␈↓ π↔␈εβl␈α↓im␈↓ λ␈ε	a␈↓ λ9␈εβ/␈↓ λJ␈ε	p␈↓ λv␈εβ=␈α1␈α␈/␈↓ 	C␈ε	n␈↓ 	W␈εβ.␈α∞To␈αp␈α␈ro␈α␈v␈α}e␈αthe
␈β⊂M␈↓ βS␈εn␈↓ βc␈εp␈↓ πF␈εp␈↓ πS␈ε~!␈α↓1␈↓ λ≠␈εn␈↓ λ+␈εp
␈β⊂S␈↓ ∧I␈ε↓P␈↓ πj␈ε↓P␈↓ 	d␈ε↓P
␈β⊂U␈↓ ∧N␈εd␈↓ ∧\␈ε~∧␈↓ ∧i␈εn
␈β⊂m␈↓ ε#␈εn␈↓ ε3␈εj␈↓ ε↑␈ε~␈␈↓ εw␈εt␈↓ π⊂␈ε~␈␈↓ π)␈εt␈↓ λ|␈εm␈↓ 	;␈ε~␈␈↓ 	T␈εt
␈β⊂q␈↓ ↓H␈εβsta␈α␈ted␈αid␈α␈en␈α␈tity␈α␈,␈α
no␈α␈te␈αthat␈↓ ¬=␈ε	⊗␈↓ ¬P␈εβ(␈↓ ¬[␈ε	n␈↓ ¬o␈εβ)␈↓ ¬z␈ε	g␈↓ ε
␈εβ(␈↓ ε∃␈ε	z␈↓ ε?␈εβ)␈↓ εJ␈ε	n␈↓ π↓␈ε	j␈↓ π>␈εβ=␈↓ λS␈ε	g␈↓ λc␈εβ(␈↓ λn␈ε	z␈↓ 	∪␈εβ)␈↓ 	≡␈ε	m␈↓ 
C␈ε	⊗␈↓ 
V␈εβ(␈↓ 
a␈ε	n␈↓ 
u␈εβ)␈α=
␈β⊃∧␈↓ ∧o␈εn␈↓ ∧␈␈εε,␈↓ ¬ε␈εj␈↓ ¬∩␈ε~∃␈εε1␈↓ λ⊂␈εm␈↓ λ(␈ε~∃␈εε1␈↓ 

␈εn␈↓ 
~␈ε~∧␈↓ 
'␈εm
␈β⊃≡␈↓ ↓H␈ε	g␈↓ ↓W␈εβ(␈↓ ↓b␈ε	z␈↓ ↓p␈εβ).
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα597
␈βα*␈↓ ↓g␈ε∪5.␈↓ α␈εβLet␈↓ αF␈ε	a␈↓ βπ␈εβbe␈αλt␈α␈he␈αλn␈α}um␈α}ber␈απof␈αλmo␈α␈nic␈αλp␈α␈olyn␈α␈omia␈α␈l␈α↓s␈απof␈αλd␈α␈egree␈↓ λ≠␈ε	n␈↓ λ7␈εβmo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ 	*␈ε	p␈↓ 	C␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈αλe␈α␈xac␈α␈tl␈α↓y␈↓ ≡␈ε	r
␈βα4␈↓ ¬X␈ε↓P␈↓ λ=␈ε↓P
␈βα5␈↓ αU␈εn␈↓ αf␈εp␈↓ αs␈εr
␈βαN␈↓ π∀␈εn␈↓ π>␈εr␈↓ 	Y␈εk␈↓ 

␈εk
␈βαO␈↓ λ1␈εα(␈↓ 
8␈εα)
␈βαR␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α
fac␈α␈tors.␈αTh␈α␈en␈↓ ∧6␈ε↔G␈↓ ∧Y␈εβ(␈↓ ∧d␈ε	z␈↓ ∧q␈εβ,␈↓ ¬␈ε	w␈↓ ¬→␈εβ)␈α	=␈↓ εM␈ε	a␈↓ ππ␈ε	z␈↓ π%␈ε	w␈↓ πS␈εβ=␈↓ π}␈εβe␈α␈xp␈↓ 	≤␈ε	G␈↓ 	@␈εβ(␈↓ 	K␈ε	z␈↓ 	f␈εβ)␈↓ 	q␈ε	w␈↓ 
↔␈εβ/␈↓ 
(␈ε	k␈↓ 
D␈εβ,␈α
where
␈βα]␈↓ ∧K␈εp␈↓ ε\␈εn␈↓ εm␈εp␈↓ εz␈εr␈↓ 	2␈εp
␈βαe␈↓ ¬}␈εn␈↓ ε∞␈εε,␈↓ ε∃␈εr␈↓ ε!␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ λc␈εk␈↓ λq␈ε~∃␈εε1
␈βαz␈↓ ↓H␈ε	G␈↓ ↓w␈εβis␈αthe␈α
gen␈α␈eratin␈α␈g␈αfun␈α␈ction␈αin␈α
ex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α
4;␈αcf.␈αEq.␈α1.2␈α␈.␈α↓9␈α␈↑34␈α␈.␈αWe␈αh␈α␈av␈α␈e
␈ββ∧␈↓ ↓↑␈εp
␈ββ5␈↓ ↓d␈ε↓P␈↓ ε.␈ε↓P
␈ββO␈↓ βπ␈εn␈↓ πJ␈εk␈↓ πx␈εk
␈ββQ␈↓ ε"␈εα(␈↓ λ⊃␈εα)␈↓ λV␈εα(␈↓ 
~␈εα)
␈ββT␈↓ αF␈ε	A␈↓ αy␈ε	z␈↓ β!␈εβ=␈↓ βK␈ε	d␈↓ β↑␈ε↔G␈↓ ∧␈εβ(␈↓ ∧␈ε	z␈↓ ∧→␈εβ/␈↓ ∧)␈ε	p␈↓ ∧:␈εβ,␈↓ ∧I␈ε	w␈↓ ∧b␈εβ)/␈↓ ∧}␈ε	d␈↓ ¬
␈ε	w␈↓ ¬+␈ε↔j␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π
␈ε	G␈↓ π1␈εβ(␈↓ π<␈ε	z␈↓ πW␈εβ/␈↓ πg␈ε	p␈↓ λε␈εβ)␈↓ λ"␈εβexp␈↓ λb␈εβln␈↓ λ}␈εβ(1/␈α␈(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 	v␈ε	z␈↓ 
∧␈εβ))
␈ββ↑␈↓ α[␈εn␈↓ αk␈εp␈↓ βr␈εp␈↓ ¬5␈εw␈↓ ¬I␈εε=1␈↓ π#␈εp
␈ββf␈↓ α
␈εn␈↓ α~␈ε~∃␈εε␈α↓0␈↓ εT␈εk␈↓ εa␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈ββk␈↓ ε.␈ε↓P
␈β∧¬␈↓ λ6␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ[␈εn␈↓ λz␈εn
␈β∧π␈↓ ε"␈εα(␈↓ π,␈εα(␈↓ 	∃␈εα)␈↓ 
¬␈εα)
␈β∧
␈↓ ¬x␈εβ=␈↓ π⊂␈εβln␈↓ π8␈εβ1␈α␈/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ λ%␈ε	p␈↓ λl␈ε	z␈↓ 	
␈εβ)␈↓ 	!␈ε	⎇␈↓ 	6␈εβ(␈↓ 	A␈ε	n␈↓ 	U␈εβ)␈α↓/␈↓ 	q␈ε	n␈↓ 
⊃␈εβ/(1␈ε↔␈απ␈␈↓ 
n␈ε	z␈↓ 
|␈εβ),
␈β∧≤␈↓ εT␈εn␈↓ εd␈ε~∃␈εε␈α↓1
␈β∧f␈↓ ¬¬␈ε~␈␈εε2␈↓ 	-␈εr
␈β∧k␈↓ ↓H␈εβh␈α␈en␈α␈ce␈↓ α$␈ε	A␈↓ α`␈εβ=␈↓ β␈ε	H␈↓ β7␈εβ+␈απ1/2␈↓ ∧⊃␈ε	p␈↓ ∧)␈εβ+␈↓ ∧Q␈ε	O␈↓ ∧i␈εβ(␈↓ ∧t␈ε	p␈↓ ¬+␈εβ)␈αfo␈α␈r␈↓ ¬t␈ε	n␈↓ ε⊃␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈.␈αTh␈α␈e␈αa␈α␈v␈α␈era␈α␈ge␈α
va␈α␈l␈α↓u␈α␈e␈αo␈α␈f␈↓ 	≤␈εβ2␈↓ 	C␈εβi␈α↓s␈α
the␈α
coe␈α␈}cien␈α}t
␈β∧u␈↓ α9␈εn␈↓ αI␈εp␈↓ β ␈εn
␈β¬∞␈↓ ↓|␈εn␈↓ π>␈ε~␈␈εε2␈↓ ↔␈εε3
␈β¬∩␈↓ ↓H␈εβo␈α␈f␈↓ ↓n␈ε	z␈↓ α↔␈εβin␈↓ α=␈ε↔G␈↓ α`␈εβ(␈↓ αk␈ε	z␈↓ αx␈εβ/␈↓ β	␈ε	p␈↓ β~␈εβ,␈αε2␈α␈)␈α↓,␈αn␈α␈ame␈α␈l␈α↓y␈↓ ∧M␈ε	n␈↓ ∧h␈εβ+␈απ1␈αε+␈αλ(␈↓ ¬[␈ε	n␈↓ ¬v␈ε↔␈␈εβ␈απ1␈α␈)␈α↓/␈↓ εJ␈ε	p␈↓ εb␈εβ+␈↓ π
␈ε	O␈↓ π"␈εβ(␈↓ π-␈ε	p␈↓ πd␈εβ).␈α→(Th␈α␈e␈αv␈α␈arian␈α␈ce␈αis␈αo␈α␈f␈αord␈α␈er␈↓ β␈ε	n␈↓ #␈εβ,
␈β¬≥␈↓ αR␈εp
␈β¬:␈↓ ↓H␈εβh␈α␈o␈α␈w␈α␈ev␈α}er:␈αset␈↓ β¬␈ε	w␈↓ β'␈εβ=␈α
4␈α␈.␈α↓)
␈β¬x␈↓ ε5␈εp
␈β¬|␈↓ ↓g␈ε∪6.␈↓ α␈εβFor␈α0␈ε↔␈α∀␈↓ β∀␈ε	s␈↓ β,␈εβ<␈↓ βY␈ε	p␈↓ βj␈εβ,␈↓ β␈␈ε	x␈↓ ∧→␈ε↔␈␈↓ ∧B␈ε	s␈↓ ∧\␈εβis␈αa␈αfact␈α␈or␈αof␈↓ ε$␈ε	x␈↓ εK␈ε↔␈␈↓ εu␈ε	x␈↓ π∩␈εβ(mod␈α␈ulo␈↓ λ∃␈ε	p␈↓ λ&␈εβ)␈αb␈α␈y␈αFerma␈α␈t's␈α
t␈α␈heo␈α␈rem.␈α∞So
␈βε≤␈↓ λP␈εp
␈βε ␈↓ ↓Y␈εp
␈βε!␈↓ ∧M␈εα(␈↓ π␈␈εα)␈↓ 	␈εα(
␈βε$␈↓ ↓H␈ε	x␈↓ ↓n␈ε↔␈␈↓ α↔␈ε	x␈↓ α3␈εβis␈αa␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓e␈α
of␈↓ ∧→␈εβlcm␈↓ ∧Y␈ε	x␈↓ ∧r␈ε↔␈␈εβ␈απ0,␈↓ ¬:␈ε	x␈↓ ¬R␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε~␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ εG␈εβ,␈↓ εV␈ε	x␈↓ εn␈ε↔␈␈εβ␈αλ(␈↓ π"␈ε	p␈↓ π:␈ε↔␈␈εβ␈αλ1)␈↓ λ∀␈εβ=␈↓ λ>␈ε	x␈↓ λ↑␈εβ.␈↓ 	␈ε⊂No␈α␈te:␈εβ␈αTh␈α␈erefo␈α␈re␈αthe
␈βε*␈↓ βE␈ε↓α␈↓ β←␈ε↓β
␈βε3␈↓ λP␈∧ε3λPα∞
␈βεD␈↓ βQ␈εp
␈βεK␈↓ ↓H␈εβS␈α␈tirl␈α↓in␈α␈g␈αn␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈rs␈↓ βx␈εβa␈α␈re␈αm␈α␈ultip␈α␈l␈α↓es␈αo␈α␈f␈↓ ¬i␈ε	p␈↓ εε␈εβex␈α}cep␈α␈t␈αw␈α↓h␈α␈en␈↓ πH␈ε	k␈↓ πc␈εβ=␈α1,␈↓ λ6␈ε	k␈↓ λQ␈εβ=␈↓ λ}␈ε	p␈↓ 	∂␈εβ.␈α∞E␈α↓q␈α␈ua␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈α1.2.6␈α␈↑41
␈βεX␈↓ λ:␈ε↓λ␈↓ λZ␈ε↓␈	
␈βε[␈↓ βR␈εk
␈βεr␈↓ λL␈εp
␈βεw␈↓ 
x␈εα)
␈βεz␈↓ ↓H␈εβsh␈α␈o␈α␈ws␈αth␈α␈at␈αthe␈α
same␈αsta␈α␈temen␈α}t␈αis␈αvalid␈αfo␈α␈r␈αStirli␈α↓n␈α␈g␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers␈↓ λw␈εβof␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αkin␈α␈d.
␈βπ
␈↓ λL␈εk
␈βπ<␈↓ ↓g␈ε∪7.␈↓ α␈εβThe␈α	facto␈α␈rs␈α
o␈α␈n␈α
th␈α␈e␈α
r␈α␈i␈α↓g␈α␈h␈α␈t␈α
a␈α␈re␈α
re␈α␈l␈α↓a␈α␈ti␈α↓v␈α}ely␈α	prime,␈α
a␈α␈nd␈α	eac␈α␈h␈α
is␈α	a␈α
d␈α␈ivisor␈α	of␈↓ 	r␈ε	u␈↓ 
ε␈εβ(␈↓ 
⊃␈ε	x␈↓ 
"␈εβ)␈α↓,␈α
so␈α	th␈α␈eir
␈βπd␈↓ ↓H␈εβp␈α␈rod␈α␈uct␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈↓ β4␈ε	u␈↓ βH␈εβ(␈↓ βT␈ε	x␈↓ βe␈εβ).␈αOn␈αth␈α␈e␈αoth␈α␈er␈αha␈α␈nd␈α␈,
␈βλ!␈↓ π;␈ε↓Q
␈βλ;␈↓ ε⊃␈εp
␈βλ<␈↓ λ6␈εα(␈↓ 	8␈εα)
␈βλ?␈↓ β&␈ε	u␈↓ β:␈εβ(␈↓ βF␈ε	x␈↓ βW␈εβ)␈↓ ∧*␈εβdiv␈α␈i␈α↓d␈α␈es␈↓ ¬X␈ε	v␈↓ ¬i␈εβ(␈↓ ¬t␈ε	x␈↓ εε␈εβ)␈↓ ε&␈ε↔␈␈↓ εO␈ε	v␈↓ ε`␈εβ(␈↓ εk␈ε	x␈↓ ε⎇␈εβ)␈α	=␈↓ λB␈ε	v␈↓ λS␈εβ(␈↓ λ↑␈ε	x␈↓ λo␈εβ)␈ε↔␈αλ␈␈↓ 	+␈ε	s␈↓ 	D␈εβ,
␈βλR␈↓ π]␈εε0␈ε~∀␈↓ λβ␈εs␈↓ λ∂␈εε<␈↓ λ(␈εp
␈β	~␈↓ ↓H␈εβso␈α
i␈α↓t␈αd␈α␈ivide␈α␈s␈αthe␈αrigh␈α}t-ha␈α␈nd␈αsid␈α␈e␈αby␈α
ex␈α␈e␈α␈rcise␈α4.5.2↑␈α␈2.
␈β	]␈↓ ↓g␈ε∪8.␈↓ α␈εβThe␈α
v␈α␈ecto␈α␈r␈α(18)␈αis␈αthe␈αo␈α␈nly␈αo␈α␈utp␈α␈ut␈αwh␈α␈ose␈↓ εl␈ε	k␈↓ ε|␈εβth␈αc␈α␈omp␈α␈one␈α␈n␈α␈t␈αis␈αno␈α␈nze␈α␈ro.
␈β
∨␈↓ ↓g␈ε∪9.␈↓ α␈εβFor␈α⊂ex␈α␈amp␈α␈le,␈α∩s␈α␈tart␈α⊂with␈↓ ¬λ␈ε	x␈↓ ¬*␈ε↔ ␈εβ␈α∩1,␈↓ ελ␈ε	y␈↓ ε,␈ε↔ ␈εβ␈α∩1;␈α∩the␈α␈n␈α⊂rep␈α␈eate␈α␈dly␈α⊂se␈α␈t␈ε	␈α⊂R␈εβ[␈↓ 	]␈ε	x␈↓ 	n␈εβ]␈ε↔␈α∩ ␈↓ 
;␈ε	y␈↓ 
N␈εβ,␈↓ 
h␈ε	x␈↓ ␈ε↔ 
␈β
F␈↓ ↓H␈εβ2␈↓ ↓X␈ε	x␈↓ ↓o␈εβmod␈↓ α4␈εβ1␈α␈01,␈↓ αz␈ε	y␈↓ β⊗␈ε↔ ␈εβ␈α	51␈↓ βb␈ε	y␈↓ βz␈εβm␈α␈od␈↓ ∧>␈εβ10␈α␈1,␈αon␈α␈e␈αh␈α␈u␈α␈nd␈α␈red␈αtimes␈α␈.
␈β¬␈↓ 
b␈εε[1␈α␈]
␈β	␈↓ ↓V␈ε∪10.␈↓ α␈εβThe␈α∞ma␈α␈trix␈↓ βD␈ε	Q␈↓ βf␈ε↔␈␈↓ ∧⊃␈ε	I␈↓ ∧.␈εβbelo␈α␈w␈α∞ha␈α␈s␈α∂a␈α∞n␈α}ull␈α∂sp␈α␈ace␈α∞g␈α␈enera␈α␈ted␈α∞b␈α␈y␈α∞the␈α∞t␈α␈w␈α␈o␈α∞v␈α␈ec␈α␈tors␈↓ 
P␈ε	v␈↓ ␈εβ=
␈β,␈↓ βp␈εε[2]
␈β0␈↓ ↓H␈εβ(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈α¬0,␈αε0),␈↓ β←␈ε	v␈↓ ∧∀␈εβ=␈α
(0,␈α¬1,␈αε1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε1,␈αε1␈α␈,␈αε1).␈αThe␈αfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αis
␈βε␈↓ ∧M␈εε6␈↓ ¬≠␈εε5␈↓ ¬j␈εε4␈↓ π ␈εε2
␈β␈↓ ∧1␈εβ(␈↓ ∧<␈ε	x␈↓ ∧a␈εβ+␈↓ ¬
␈ε	x␈↓ ¬/␈εβ+␈↓ ¬X␈ε	x␈↓ ¬}␈εβ+␈↓ ε&␈ε	x␈↓ ε?␈εβ+␈αλ1␈α␈)(␈↓ π∂␈ε	x␈↓ π4␈εβ+␈↓ π]␈ε	x␈↓ πu␈εβ+␈αλ1).
␈βa␈↓ βL␈ε	p␈↓ βf␈εβ=␈α	2
␈βg␈↓ λn␈ε	p␈↓ 	λ␈εβ=␈α
5
␈βy␈↓ α∪␈ε↓0␈↓ ¬A␈ε↓1
␈β␈␈↓ πQ␈ε↓0␈↓ 
I␈ε↓1
␈β
∃␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β
$␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ0␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ0␈↓ 	⎇␈εβ0␈↓ 
3␈εβ0
␈β
:␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β
=␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β
@␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈β
K␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ4␈↓ λ[␈εβ0␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ0␈↓ 	⎇␈εβ1␈↓ 
3␈εβ0
␈β
P␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β
U␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈β
e␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β
k␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈β
s␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ4
␈β
{␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈β∞␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈β∞⊃␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞⊗␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈β∞≠␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ1␈↓ λ[␈εβ4␈↓ 	⊃␈εβ4␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ2␈↓ 
3␈εβ1
␈β∞&␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞,␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈β∞4␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ0␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ1␈↓ ¬+␈εβ0
␈β∞<␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞A␈↓ πQ␈ε↓B␈↓ 
I␈ε↓C
␈β∞B␈↓ πo␈εβ2␈↓ λ%␈εβ2␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ3␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ2
␈β∞Q␈↓ α∪␈ε↓B␈↓ ¬A␈ε↓C
␈β∞W␈↓ πQ␈ε↓@␈↓ 
I␈ε↓A
␈β∞[␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ0␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ0
␈β∞g␈↓ α∪␈ε↓@␈↓ ¬A␈ε↓A
␈β∞j␈↓ πo␈εβ0␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ4␈↓ 	⊃␈εβ0␈↓ 	G␈εβ1␈↓ 	⎇␈εβ3␈↓ 
3␈εβ2
␈β∂β␈↓ α1␈εβ0␈↓ αg␈εβ0␈↓ β≥␈εβ1␈↓ βS␈εβ0␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈β∂⊃␈↓ πo␈εβ3␈↓ λ%␈εβ0␈↓ λ[␈εβ2␈↓ 	⊃␈εβ1␈↓ 	G␈εβ4␈↓ 	⎇␈εβ2␈↓ 
3␈εβ1
␈β∂+␈↓ α1␈εβ1␈↓ αg␈εβ1␈↓ β≥␈εβ0␈↓ βS␈εβ1␈↓ ∧	␈εβ1␈↓ ∧?␈εβ1␈↓ ∧u␈εβ0␈↓ ¬+␈εβ1
␈β∂a␈↓ ↓V␈ε∪11.␈↓ α␈εβRemo␈α}ving␈α
th␈α␈e␈αtrivial␈αfa␈α␈ctor␈↓ ¬%␈ε	x␈↓ ¬7␈εβ,␈αth␈α␈e␈αma␈α␈trix␈↓ εq␈ε	Q␈↓ π⊂␈ε↔␈␈↓ π8␈ε	I␈↓ πR␈εβa␈α␈bo␈α␈v␈α}e␈αh␈α␈as␈αa␈α
n␈α␈u␈α␈ll␈αspa␈α␈ce␈αg␈α␈enera␈α␈ted
␈β⊂λ␈↓ ↓H␈εβb␈α␈y␈α(1␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈,␈αε0,␈αε0␈α␈)␈αand␈α
(0,␈αε3␈α␈,␈αε1,␈αε4␈α␈,␈αε1,␈α¬2,␈αε1).␈αThe␈α
f␈α↓a␈α␈ctoriza␈α␈tion␈αis
␈β⊂↑␈↓ ∧⊗␈εε2␈↓ ¬]␈εε5␈↓ ε<␈εε4␈↓ π
␈εε3␈↓ πi␈εε2
␈β⊂c␈↓ βh␈ε	x␈↓ βz␈εβ(␈↓ ∧¬␈ε	x␈↓ ∧*␈εβ+␈αλ3␈↓ ∧c␈ε	x␈↓ ∧|␈εβ+␈αλ4)(␈↓ ¬L␈ε	x␈↓ ¬q␈εβ+␈αλ2␈↓ ε*␈ε	x␈↓ εP␈εβ+␈↓ εy␈ε	x␈↓ π≡␈εβ+␈αλ4␈↓ πW␈ε	x␈↓ π⎇␈εβ+␈↓ λ%␈ε	x␈↓ λ>␈εβ+␈αλ3␈α␈)␈α↓.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα598␈↓ α=␈ε∞A␈α␈NSWERS␈α	TO␈α	EX␈α␈ERCISES␈εα␈↓ 
b4.6.2
␈βα&␈↓ β}␈εε4␈↓ ∧P␈εε4
␈βα*␈↓ ↓V␈ε∪12.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	p␈↓ αG␈εβ=␈α
2␈α␈,␈α(␈↓ β"␈ε	x␈↓ β:␈εβ+␈απ1␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧∀␈εβ=␈↓ ∧>␈ε	x␈↓ ∧c␈εβ+␈αλ1␈α␈.␈αIf␈↓ ¬R␈ε	p␈↓ ¬l␈εβ=␈α	8␈↓ ε'␈ε	k␈↓ ε>␈εβ+␈αλ1␈α␈,␈↓ π␈ε	Q␈↓ π+␈ε↔␈␈↓ πS␈ε	I␈↓ πm␈εβis␈αth␈α␈e␈αz␈α␈ero␈αm␈α␈atrix,␈αso␈α
the␈α␈re␈αare
␈βαR␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈ur␈αfac␈α␈tors.␈αF␈α↓o␈α␈r␈αoth␈α␈er␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αof␈↓ ¬'␈ε	p␈↓ ¬C␈εβw␈α␈e␈αh␈α␈av␈α␈e
␈ββ≥␈↓ ∧↓␈ε	p␈↓ ∧≠␈εβ=␈α
8␈↓ ∧V␈ε	k␈↓ ∧n␈εβ+␈αλ3␈↓ ε,␈ε	p␈↓ εF␈εβ=␈α
8␈↓ πα␈ε	k␈↓ π→␈εβ+␈αλ5␈↓ λW␈ε	p␈↓ λr␈εβ=␈α	8␈↓ 	-␈ε	k␈↓ 	E␈εβ+␈απ7
␈ββ6␈↓ βB␈ε↓0␈↓ ¬N␈ε↓1␈↓ ¬n␈ε↓0␈↓ πy␈ε↓1␈↓ λ→␈ε↓0␈↓ 
$␈ε↓1
␈ββU␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 
∞␈εβ0
␈ββw␈↓ βB␈ε↓B␈↓ ¬N␈ε↓C␈↓ ¬n␈ε↓B␈↓ πy␈ε↓C␈↓ λ→␈ε↓B␈↓ 
$␈ε↓C
␈ββ⎇␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧π␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬8␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ ε2␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 	m␈ε↔␈␈εβ1
␈β∧␈↓ βB␈ε↓@␈↓ ¬N␈ε↓A␈↓ ¬n␈ε↓@␈↓ πy␈ε↓A␈↓ λ→␈ε↓@␈↓ 
$␈ε↓A
␈β∧∃␈↓ α4␈ε	Q␈↓ αS␈ε↔␈␈↓ α|␈ε	I␈↓ β∀␈εβ=
␈β∧$␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ0␈↓ ∧O␈ε↔␈␈εβ2␈↓ ¬8␈εβ0␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πc␈εβ0␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ}␈εβ0␈↓ 	%␈ε↔␈␈εβ2␈↓ 
∞␈εβ0
␈β∧L␈↓ β`␈εβ0␈↓ ∧(␈εβ1␈↓ ∧p␈εβ0␈↓ ¬↔␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ε␈εβ0␈↓ εS␈εβ0␈↓ π≠␈εβ0␈↓ πB␈ε↔␈␈εβ2␈↓ λ6␈εβ0␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ1␈↓ 	F␈εβ0␈↓ 	m␈ε↔␈␈εβ1
␈β¬↔␈↓ 
h␈εε4
␈β¬_␈↓ πI␈εα(
␈β¬≠␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈re␈↓ α∩␈ε	Q␈↓ α-␈ε↔␈␈↓ αQ␈ε	I␈↓ αh␈εβha␈α␈s␈αλran␈α␈k␈απ2,␈α	so␈απthe␈α␈re␈αλar␈α␈e␈αλ4␈ε↔␈αβ␈␈εβ␈αβ2␈α	=␈α	2␈αλfac␈α␈tors.␈↓ πU␈εβBut␈απi␈α↓t␈απi␈α↓s␈απeasy␈απto␈απpro␈α␈v␈α}e␈αλth␈α␈at␈↓ 
W␈ε	x␈↓ 
x␈εβ+␈αβ1
␈β¬B␈↓ ↓H␈εβis␈αirred␈α␈ucib␈α␈l␈α↓e␈αo␈α}v␈α␈er␈αth␈α␈e␈αin␈α␈teg␈α␈ers,␈αsince␈αit␈αh␈α␈as␈αno␈α
l␈α↓in␈α␈ear␈αfac␈α␈tors␈αan␈α␈d␈αth␈α␈e␈αco␈α␈e}cien␈α}t␈αof␈↓ 
t␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β¬j␈↓ ↓H␈εβa␈α␈n␈α␈y␈αλfac␈α␈tor␈αλof␈α	d␈α␈egre␈α␈e␈α	t␈α␈w␈α␈o␈αλm␈α␈u␈α␈st␈α	b␈α␈e␈α	less␈αλth␈α␈an␈αλor␈αλequ␈α␈al␈α	t␈α␈o␈α	2␈αλin␈αλab␈α␈solut␈α␈e␈α	v␈α␈alue␈αλb␈α␈y␈αλex␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈αλ20␈α␈.
␈βε
␈↓ 
%␈εk
␈βε∩␈↓ ↓H␈εβFo␈α␈r␈α	a␈α␈l␈α↓l␈↓ α/␈ε	k␈↓ αI␈ε↔∃␈εβ␈α
2␈α␈,␈α	H.␈α	P.␈α	F.␈α	S␈α␈wi␈α↓n␈α␈ne␈α␈rton␈α␈-␈α↓D␈α␈y␈α␈er␈αλha␈α␈s␈α	e␈α␈xh␈α␈i␈α↓b␈α␈ited␈αλpo␈α␈lyn␈α␈omials␈αλof␈αλdeg␈α␈ree␈↓ 
∀␈εβ2␈↓ 
;␈εβth␈α␈at␈αλare
␈βε9␈↓ ↓H␈εβirred␈α␈uc␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈α	o␈α␈v␈α␈e␈α␈r␈α	the␈α	in␈α␈te␈α␈gers,␈α	bu␈α␈t␈α	they␈αλsplit␈α	comp␈α␈letely␈α	in␈α}to␈α	li␈α↓n␈α␈ear␈α	a␈α␈nd␈αλqua␈α␈dra␈α␈ti␈α↓c␈αλfactor␈α␈s
␈βε]␈↓ πK␈εε8␈↓ λ=␈εε6␈↓ 	/␈εε4␈↓ 
2␈εε2
␈βεa␈↓ ↓H␈εβm␈α␈odu␈α␈lo␈α
ev␈α}ery␈α
p␈α␈rime.␈α⊃F␈α↓o␈α␈r␈α
deg␈α␈ree␈α
8␈α␈,␈α∞his␈α
ex␈α␈amp␈α␈l␈α↓e␈αi␈α↓s␈↓ π:␈ε	x␈↓ π`␈ε↔␈␈εβ␈α	16␈↓ λ,␈ε	x␈↓ λR␈εβ+␈α
8␈α␈8␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	E␈εβ+␈α	1␈α␈92␈↓ 
!␈ε	x␈↓ 
G␈εβ+␈α	144␈α␈,
␈βπα␈↓ βJ␈∧παβJα⊃␈↓ ∧+␈∧πα∧+α⊃
␈βπ∧␈↓ β(␈ε↔p␈↓ ∧	␈ε↔p
␈βπλ␈↓ ↓H␈εβh␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈α
roots␈ε↔␈α
ε␈↓ βJ␈εβ2␈↓ βa␈ε↔ε␈↓ ∧+␈εβ3␈↓ ∧B␈ε↔ε␈↓ ∧j␈ε	i␈↓ ¬α␈εβ[see␈ε⊂␈α
Ma␈α␈th.␈αCo␈α␈mp␈α␈.␈ε∪␈α24␈εβ␈α
(197␈α␈0),␈α73␈α␈3↑7␈α␈34].␈αAcco␈α␈rding␈α
to␈α
the
␈βπ0␈↓ ↓H␈εβth␈α␈eor␈α␈em␈α	of␈αλF␈α↓ro␈α␈ben␈α␈ius␈α	c␈α␈i␈α↓te␈α␈d␈α	in␈αλex␈α␈er␈α␈ci␈α↓s␈α␈e␈α	33␈α␈,␈α
an␈α}y␈α	irre␈α␈du␈α␈ci␈α↓b␈α␈le␈α	p␈α␈olyn␈α␈omial␈α	o␈α␈f␈α	deg␈α␈ree␈↓ 
9␈ε	n␈↓ 
U␈εβw␈α↓h␈α␈ose
␈βπU␈↓ 
/␈εα)
␈βπX␈↓ ↓H␈εβGa␈α␈lois␈αgrou␈α␈p␈αco␈α␈n␈α␈ta␈α␈i␈α↓n␈α␈s␈αno␈↓ ∧<␈ε	n␈↓ ∧P␈εβ-␈α↓c␈α␈y␈α␈cles␈αwill␈αh␈α␈av␈α}e␈αfacto␈α␈rs␈αmod␈α␈ulo␈αalmo␈α␈st␈αall␈αprimes.
␈βλ∞␈↓ ∧s␈∧λ∞∧sα2␈↓ ¬b␈∧λ∞¬bα⊃␈↓ π9␈∧λ∞π9α2␈↓ λ(␈∧λ∞λ(α⊃␈↓ 	␈␈∧λ∞	␈α2␈↓ 
n␈∧λ∞
nα⊃
␈βλ∂␈↓ ∧R␈ε↔p␈↓ ¬A␈ε↔p␈↓ π_␈ε↔p␈↓ λπ␈ε↔p␈↓ 	↑␈ε↔p␈↓ 
M␈ε↔p
␈βλ⊃␈↓ β8␈εα(␈↓ ¬s␈εα)␈↓ ¬␈␈εα(␈↓ λ9␈εα)␈↓ λE␈εα(␈↓ 
␈␈εα)
␈βλ∀␈↓ ↓V␈ε∪13.␈↓ α␈ε	p␈↓ α&␈εβ=␈α
8␈↓ αa␈ε	k␈↓ αs␈εβ+␈αα1␈α␈:␈↓ βD␈ε	x␈↓ β]␈εβ+␈αλ(1␈απ+␈↓ ∧s␈ε↔␈␈εβ1␈↓ ¬%␈εβ)/␈↓ ¬b␈εβ2␈↓ ε␈ε	x␈↓ ε#␈εβ+␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ π9␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ πk␈εβ)/␈↓ λ(␈εβ2␈↓ λQ␈ε	x␈↓ λj␈ε↔␈␈εβ␈απ(1␈απ+␈↓ 	␈␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ 
1␈εβ)␈α↓/␈↓ 
n␈εβ2␈↓ ␈ε↔α
␈βλ:␈↓ βα␈∧λ:βαα2␈↓ βq␈∧λ:βqα⊃␈↓ εR␈∧λ:εRα2␈↓ λ]␈∧λ:λ]α2
␈βλ<␈↓ αa␈ε↔p␈↓ βP␈ε↔p␈↓ ¬t␈εε2␈↓ ε0␈ε↔p␈↓ π␈␈εε2␈↓ λ<␈ε↔p
␈βλ>␈↓ ↓H␈εα(␈↓ ∧α␈εα)␈↓ ¬V␈εα(␈↓ πV␈εα)␈↓ πb␈εα(␈↓ 	a␈εα)
␈βλA␈↓ ↓T␈ε	x␈↓ ↓l␈ε↔␈␈εβ␈αλ(1␈ε↔␈απ␈␈↓ βα␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ β4␈εβ)/␈↓ βq␈εβ2␈↓ ∧∞␈εβ.␈↓ ∧'␈ε	p␈↓ ∧A␈εβ=␈α
8␈↓ ∧|␈ε	k␈↓ ¬∂␈εβ+␈αβ3:␈↓ ¬b␈ε	x␈↓ ελ␈ε↔␈␈↓ εR␈ε↔␈␈εβ2␈↓ π∧␈ε	x␈↓ π≤␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ πn␈ε	x␈↓ λ∪␈ε↔␈␈↓ λ]␈ε↔␈␈εβ␈α↓2␈↓ 	∂␈ε	x␈↓ 	(␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈↓ 	m␈εβ.␈↓ 
ε␈ε	p␈↓ 
!␈εβ=␈α	8␈↓ 
\␈ε	k␈↓ 
o␈εβ+␈αβ5␈α␈:
␈βλg␈↓ αC␈∧λgαCα2␈↓ β|␈∧λgβ|α2␈↓ π#␈∧λgπ#α⊃␈↓ 	∞␈∧λg	∞α⊃
␈βλh␈↓ α"␈ε↔p␈↓ β[␈ε↔p␈↓ πα␈ε↔p␈↓ λl␈ε↔p
␈βλi␈↓ ↓e␈εε2␈↓ β≡␈εε2␈↓ εE␈εε2␈↓ λ0␈εε2
␈βλj␈↓ ↓H␈εα(␈↓ αu␈εα)␈↓ β↓␈εα(␈↓ ∧.␈εα)␈↓ ε(␈εα(␈↓ λε␈εα)␈↓ λ∩␈εα(␈↓ 	p␈εα)
␈βλm␈↓ ↓T␈ε	x␈↓ ↓y␈ε↔␈␈↓ αC␈ε↔␈␈εβ1␈↓ β
␈ε	x␈↓ β2␈ε↔␈␈↓ β|␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ ∧:␈εβ.␈↓ ∧`␈ε	p␈↓ ∧}␈εβ=␈α
8␈↓ ¬<␈ε	k␈↓ ¬U␈εβ+␈α	7:␈↓ ε4␈ε	x␈↓ εY␈ε↔␈␈↓ π#␈εβ2␈↓ π4␈ε	x␈↓ πM␈εβ+␈αλ1␈↓ λ≡␈ε	x␈↓ λD␈εβ+␈↓ 	∞␈εβ2␈↓ 	≡␈ε	x␈↓ 	7␈εβ+␈αλ1␈↓ 	|␈εβ.␈α∩Th␈α␈e␈α
latte␈α␈r
␈β	∃␈↓ ↓H␈εβfa␈α␈ctoriza␈α␈ti␈α↓o␈α␈n␈αalso␈α
hold␈α␈s␈αo␈α␈v␈α␈er␈αth␈α␈e␈α|␈α␈eld␈αof␈αrea␈α␈l␈αn␈α}um␈α␈b␈α␈ers.
␈β	H␈↓ ∧d␈εε(␈↓ ∧l␈εp␈↓ ∧z␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ 

␈εε(␈↓ 
∪␈εp␈↓ 
!␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β	L␈↓ ↓V␈ε∪14.␈↓ α␈εβThe␈αεg␈α␈cd␈αεis␈αε1␈αεwh␈α␈en␈αε(␈↓ ∧∀␈ε	s␈↓ ∧+␈εβ+␈↓ ∧M␈ε	t␈↓ ∧Y␈εβ)␈↓ ¬K␈ε↔⊃␈εβ␈α	0␈αεor␈ε↔␈αε␈␈εβ1␈αεfor␈αεall␈↓ π@␈ε	i␈↓ πM␈εβ;␈αλit␈απis␈↓ λ↔␈ε	w␈↓ λ0␈εβ(␈↓ λ;␈ε	x␈↓ λL␈εβ)␈αεw␈α↓h␈α␈en␈α¬(␈↓ 	;␈ε	s␈↓ 	Q␈εβ+␈↓ 	s␈ε	t␈↓ 	␈␈εβ)␈↓ 
q␈ε↔⊃␈εβ␈α
1
␈β	W␈↓ ∧∨␈εi␈↓ 	F␈εi
␈β	t␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈r␈α	all␈↓ α%␈ε	i␈↓ α2␈εβ.␈α
To␈α	g␈α␈et␈α	a␈αλlo␈α␈w␈α␈er␈αλbou␈α␈nd␈αλo␈α␈n␈↓ ¬)␈ε	P␈↓ ¬@␈εβ,␈α
let␈↓ ε␈ε	k␈↓ ε~␈εβ=␈α	2.␈αTh␈α␈e␈α	\␈α␈ba␈α␈d"␈αλva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αλof␈↓ 	∩␈ε	t␈↓ 	&␈εβsatisfy␈↓ 

␈ε	t␈↓ 
#␈ε↔⊃␈α	␈␈↓ 
n␈ε	s␈↓ ∂␈εβo␈α␈r
␈β	}␈↓ 
z␈εε1
␈β
↔␈↓ ∧f␈εε(␈↓ ∧n␈εp␈↓ ∧|␈ε~␈␈εε1)/2
␈β
_␈↓ αq␈εα(␈↓ ∧Z␈εα)
␈β
≠␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓]␈ε↔⊃␈α	␈␈↓ α)␈ε	s␈↓ αJ␈εβor␈↓ α⎇␈εβ(␈↓ βλ␈ε	s␈↓ β%␈εβ+␈↓ βL␈ε	t␈↓ βX␈εβ)/(␈↓ β␈␈ε	s␈↓ ∧≤␈εβ+␈↓ ∧C␈ε	t␈↓ ∧O␈εβ)␈↓ ¬M␈ε↔⊃␈εβ␈α	1.␈αFu␈α␈rtherm␈α␈ore␈α	(␈↓ πi␈ε	s␈↓ λπ␈εβ+␈↓ λ-␈ε	t␈↓ λ9␈εβ)/(␈↓ λ`␈ε	s␈↓ λ⎇␈εβ+␈↓ 	$␈ε	t␈↓ 	0␈εβ)␈α	run␈α␈s␈α
th␈α␈roug␈α␈h␈α	all
␈β
&␈↓ α4␈εε2␈↓ β∪␈εε1␈↓ ∧
␈εε2␈↓ πt␈εε1␈↓ λk␈εε2
␈β
C␈↓ ↓H␈εβv␈α␈alue␈α␈s␈αex␈α}cept␈α
0␈αa␈α␈nd␈α
1␈αa␈α␈s␈↓ ∧5␈ε	t␈↓ ∧L␈εβru␈α␈ns␈αth␈α␈rou␈α␈gh␈α
all␈αva␈α␈l␈α↓u␈α␈es␈αo␈α␈ther␈α
tha␈α␈n␈ε↔␈α␈␈↓ λl␈ε	s␈↓ 	∂␈εβa␈α␈nd␈ε↔␈α
␈␈↓ 	p␈ε	s␈↓ 
λ␈εβ,␈αmod␈α␈ulo␈↓ ∩␈ε	p␈↓ #␈εβ.
␈β
M␈↓ λw␈εε1␈↓ 	{␈εε2
␈β
g␈↓ λα␈εα(
␈β
j␈↓ ↓H␈εβHe␈α␈nce␈αt␈α␈here␈αare␈αa␈α␈t␈αmost␈α2␈απ+␈αλ(␈↓ ¬↓␈ε	p␈↓ ¬~␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α␈)/2␈ε↔␈αλ␈␈εβ␈αλ1␈αbad␈αva␈α␈lues.␈↓ λ∞␈εβIf␈↓ λ0␈ε	t␈↓ λF␈ε↔⊃␈α␈␈↓ 	∪␈ε	s␈↓ 	7␈εβan␈α␈d␈↓ 	y␈ε	t␈↓ 
∂␈ε↔⊃␈α␈␈↓ 
\␈ε	s␈↓ ␈εβare
␈β
u␈↓ 	∨␈εε1␈↓ 
h␈εε2
␈β∞␈↓ βs␈εε(␈↓ β|␈εp␈↓ ∧
␈ε~␈␈εε1␈α␈)␈α↓/␈α␈2
␈β∂␈↓ 
a␈εα)
␈β∩␈↓ ↓H␈εβb␈α␈oth␈α
ba␈α␈d,␈αthen␈α
(␈ε↔␈␈εβ␈α↓1␈↓ βh␈εβ)␈↓ ∧Z␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α␈;␈αth␈α}us␈↓ ¬s␈ε	P␈↓ ε∀␈ε↔∃␈εβ␈α	1/2␈απ+␈απ1/(2␈↓ π]␈ε	p␈↓ πn␈εβ)␈αwh␈α␈en␈↓ λ[␈ε	p␈↓ λv␈ε↔⊃␈εβ␈α	3␈α	(mod␈α␈ulo␈α4␈α␈).
␈β;␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIt␈α
f␈α↓o␈α␈ll␈α↓o␈α}w␈α↓s␈α
th␈α␈at␈α
with␈α
p␈α␈roba␈α␈bility␈α
>␈α
1␈ε↔␈αε␈␈↓ π)␈ε	∂␈↓ π@␈εβw␈α␈e␈α
w␈α↓ill␈α|␈α␈nd␈α	a␈α
roo␈α␈t␈αo␈α␈f␈↓ 	w␈ε	w␈↓ 
∂␈εβ(␈↓ 
~␈ε	x␈↓ 
,␈εβ)␈α
mod␈α␈ulo
␈β↑␈↓ ∧,␈εε2␈↓ ¬⊂␈εε3␈↓ ¬b␈εε3␈↓ εE␈εε2
␈β←␈↓ α)␈εα(␈↓ ε]␈εα)␈↓ λb␈εα(
␈βb␈↓ ↓H␈ε	p␈↓ ↓g␈εβin␈↓ α⊃␈ε	O␈↓ α5␈εβ(␈↓ α@␈εβlog␈↓ αk␈εβ(1/␈↓ β↔␈ε	∂␈↓ β$␈εβ))(␈↓ βE␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ βv␈ε	k␈↓ ∧ε␈εβ)(␈↓ ∧≤␈ε	k␈↓ ∧9␈εβ(␈↓ ∧D␈εβlog␈↓ ∧t␈ε	p␈↓ ¬¬␈εβ)␈↓ ¬&␈εβ+␈↓ ¬Q␈ε	k␈↓ ¬n␈εβ(␈↓ ¬y␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ ε)␈ε	p␈↓ ε:␈εβ)␈↓ εR␈εβ)␈↓ εx␈εβu␈α␈nits␈α∞of␈α∞time.␈↓ λn␈εβTh␈α␈e␈α∞f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ 
→␈εβlog␈↓ 
C␈εβ(␈α↓1␈α␈/␈↓ 
p␈ε	∂␈↓ 
⎇␈εβ)␈α∞is
␈β
␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α∞n␈α␈u␈α␈m␈α␈be␈α␈r␈α∂o␈α␈f␈α∂ind␈α␈ep␈α␈end␈α␈en␈α}t␈α∂trials␈α∞ne␈α␈ede␈α␈d␈α∞per␈α∞red␈α␈uc␈α␈ti␈α↓o␈α␈n,␈α∂while␈↓ λk␈εβl␈α↓o␈α␈g␈↓ 	≠␈ε	k␈↓ 	:␈εβis␈α∂th␈α␈e␈α∞max␈α␈im␈α␈um
␈β2␈↓ ↓H␈εβn␈α}um␈α␈b␈α␈er␈αλo␈α␈f␈α	re␈α␈du␈α␈ction␈α␈s,␈α	si␈α↓n␈α␈ce␈αλth␈α␈e␈αλd␈α␈egree␈απi␈α↓s␈αλa␈α␈t␈αλw␈α␈orst␈αλh␈α␈alv␈α␈ed␈απwhen␈απa␈αλn␈α␈on␈α}tri␈α↓v␈α␈ial␈αλfacto␈α␈ri␈α↓z␈α␈ation
␈βU␈↓ αd␈εε2␈↓ βH␈εε3␈↓ πV␈εε(␈↓ π↑␈εp␈↓ πl␈ε~␈␈εε1)/2␈↓ 
<␈εε3␈↓  ␈εε2
␈βY␈↓ ↓H␈εβis␈αfou␈α␈nd␈α␈;␈↓ αT␈ε	k␈↓ αp␈εβ(␈↓ α|␈εβlo␈α␈g␈↓ β,␈ε	p␈↓ β=␈εβ)␈↓ βa␈εβu␈α␈nits␈αof␈αtime␈αwil␈α↓l␈αev␈α␈aluat␈α␈e␈α
(␈↓ ε|␈ε	x␈↓ π∃␈εβ+␈↓ π?␈ε	t␈↓ πK␈εβ)␈↓ λ9␈εβmo␈α␈d␈↓ λ⎇␈ε	w␈↓ 	⊗␈εβ(␈↓ 	!␈ε	x␈↓ 	3␈εβ),␈α
wh␈α␈il␈α↓e␈↓ 
,␈ε	k␈↓ 
I␈εβ(␈↓ 
T␈εβlog␈↓ ∧␈ε	p␈↓ ∃␈εβ)
␈β}␈↓ ∧Q␈εα)
␈β
↓␈↓ ↓H␈εβsu␈α␈}ce␈αto␈αco␈α␈mpu␈α␈te␈αthe␈αgcd␈α␈.␈↓ ∧w␈εβOn␈αthe␈αot␈α␈her␈αha␈α␈nd␈α␈,␈αthe␈αtru␈α␈e␈αb␈α␈eh␈α␈avio␈α␈r␈αis␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈l␈α↓y␈α
bette␈α␈r
␈β
(␈↓ ↓H␈εβth␈α␈an␈απth␈α␈ese␈αλ\␈α␈wo␈α␈rst-case␈α␈"␈αλest␈α␈i␈α↓m␈α␈ates.␈α
Su␈α␈pp␈α␈ose␈απtha␈α␈t␈αλea␈α␈ch␈αλline␈α␈ar␈αλfa␈α␈ctor␈↓ λ}␈ε	x␈↓ 	∩␈ε↔␈␈↓ 	6␈ε	s␈↓ 	T␈εβh␈α␈as␈απprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈β
3␈↓ 	A␈εi
␈β
L␈↓ β}␈εε(␈↓ ∧ε␈εp␈↓ ∧∀␈ε~␈␈εε1)/2
␈β
M␈↓ ↓K␈εε1
␈β
P␈↓ ↓i␈εβof␈α∞d␈α␈i␈α↓v␈α␈iding␈α
(␈↓ β"␈ε	x␈↓ β=␈εβ+␈↓ βg␈ε	t␈↓ βs␈εβ)␈↓ ∧e␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α∞fo␈α␈r␈α∞ea␈α␈ch␈↓ ε2␈ε	t␈↓ ε>␈εβ,␈α∂ind␈α␈epe␈α␈nd␈α␈en␈α␈t␈α
of␈α∞th␈α␈e␈α∞b␈α␈eha␈α␈vior␈α
for␈α∞o␈α␈ther␈↓ ∃␈ε	s
␈β
[␈↓  ␈εj
␈β
↑␈↓ ↓K␈∧
↑↓Kα
␈β
`␈↓ ↓K␈εε2
␈β
x␈↓ ↓H␈εβa␈α␈nd␈↓ α	␈ε	t␈↓ α∀␈εβ.␈αThe␈α␈n␈αif␈αw␈α␈e␈αen␈α␈cod␈α␈e␈αeac␈α␈h␈↓ ¬
␈ε	s␈↓ ¬+␈εβby␈α
a␈αsequ␈α␈en␈α␈ce␈αof␈α0's␈αan␈α␈d␈α1's␈αacc␈α␈ordin␈α␈g␈αas␈↓ 
␈ε	x␈↓ 
$␈ε↔␈␈↓ 
M␈ε	s␈↓ 
n␈εβd␈α␈oe␈α␈s
␈β∞α␈↓ ¬∃␈εi␈↓ 
X␈εi
␈β∞≠␈↓ ∧6␈εε(␈↓ ∧>␈εp␈↓ ∧L␈ε~␈␈εε1)/2
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εβo␈α␈r␈α∞d␈α␈oesn␈α␈'␈α↓t␈α
divid␈α␈e␈α∞(␈↓ βZ␈ε	x␈↓ βu␈εβ+␈↓ ∧∨␈ε	t␈↓ ∧+␈εβ)␈↓ ¬≥␈ε↔␈␈εβ␈α	1␈α∞fo␈α␈r␈α∞the␈α
suc␈α␈cessiv␈α␈e␈↓ πu␈ε	t␈↓ λ↓␈εβ's␈α∞tried␈α␈,␈α∂w␈α␈e␈α∞o␈α␈btain␈α
a␈α
rand␈α␈om
␈β∞G␈↓ ↓H␈εβb␈α␈inar␈α␈y␈αtrie␈αwith␈↓ β:␈ε	k␈↓ βU␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈α(cf.␈αSe␈α␈ction␈α
6.3).␈αT␈α↓h␈α␈e␈αco␈α␈st␈αasso␈α␈ciated␈α
wi␈α↓th␈α
an␈α
i␈α↓n␈α}tern␈α␈al␈αno␈α␈de␈αo␈α␈f
␈β∞j␈↓ π␈εε2␈↓ πd␈εε3␈↓ λ5␈εε3␈↓ 	→␈εε2
␈β∞k␈↓ εb␈εα(␈↓ 	&␈εα)
␈β∞n␈↓ ↓H␈εβth␈α␈is␈α
trie,␈α
h␈α␈av␈α␈i␈α↓n␈α␈g␈↓ β@␈ε	d␈↓ β←␈εβli␈α↓e␈α␈v␈α␈es␈αas␈αde␈α␈scend␈α␈an␈α}ts,␈α
is␈↓ εJ␈ε	O␈↓ εn␈ε	d␈↓ π
␈εβ(␈↓ π_␈εβlog␈↓ πH␈ε	p␈↓ πY␈εβ)␈↓ πy␈εβ+␈↓ λ#␈ε	d␈↓ λB␈εβ(␈↓ λM␈εβlog␈↓ λ⎇␈ε	p␈↓ 	∞␈εβ)␈↓ 	2␈εβ.␈α∂Th␈α␈e␈α
so␈α␈l␈α↓u␈α␈tion␈αto
␈β∞t␈↓ ∧⊃␈ε↓␈␈↓ ∧0␈ε↓↓␈↓ ¬h␈ε↓␈␈↓ εε␈ε↓↓␈↓ π*␈ε↓␈␈↓ πI␈ε↓↓␈↓ 	↓␈ε↓␈␈↓ 	∨␈ε↓↓␈↓ 
w␈ε↓␈␈↓ ∃␈ε↓↓
␈β∞x␈↓ ¬<␈ε↓P␈↓ λU␈ε↓P
␈β∂∞␈↓ ∧∨␈εn␈↓ ¬v␈εn␈↓ π8␈εn␈↓ 	∂␈εn␈↓ ¬␈εn
␈β∂∩␈↓ ¬↓␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ ¬&␈εn␈↓ λ~␈εε1␈ε~␈α␈␈␈↓ λ?␈εn
␈β∂⊗␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈α
re␈α␈curre␈α␈nces␈↓ β2␈ε	A␈↓ βd␈εβ=␈↓ ∧F␈εβ+␈↓ ∧p␈εβ2␈↓ ε∀␈ε	A␈↓ ε7␈εβ,␈↓ εM␈ε	B␈↓ ε⎇␈εβ=␈↓ π←␈εβ+␈↓ λ	␈εβ2␈↓ 	-␈ε	B␈↓ 	N␈εβ,␈α
is␈↓ 
π␈ε	A␈↓ 
9␈εβ=␈α2␈↓ #␈εβ,
␈β∂!␈↓ βH␈εn␈↓ ε)␈εk␈↓ εa␈εn␈↓ 	A␈εk␈↓ 
≤␈εn
␈β∂#␈↓ α:␈ε↓␈␈↓ αX␈ε↓↓
␈β∂&␈↓ ∧!␈εε2␈↓ ¬w␈εk␈↓ π:␈εε3␈↓ 	⊂␈εk␈↓ π␈εε2
␈β∂=␈↓ αH␈εn
␈β∂A␈↓ α)␈εε4
␈β∂E␈↓ ↓H␈ε	B␈↓ ↓x␈εβ=␈↓ αf␈εβ,␈α∞b␈α␈y␈α
e␈α␈x␈α␈erc␈α␈i␈α↓se␈α5.2.2↑3␈α␈6.␈α⊃Hen␈α␈ce␈α
th␈α␈e␈α
sum␈αof␈α
cos␈α␈ts␈α
i␈α↓n␈αthe␈αgiv␈α␈en␈αran␈α␈do␈α␈m␈α
trie←
␈β∂O␈↓ ↓[␈εn
␈β∂S␈↓ α)␈∧∂Sα)α
␈β∂U␈↓ α)␈εε3␈↓ αI␈εε3
␈β∂m␈↓ πg␈εε2␈↓ λK␈εε3␈↓ 	∀␈εε3␈↓ 	x␈εε2
␈β∂n␈↓ πK␈εα(␈↓ 
∧␈εα)
␈β∂q␈↓ ↓H␈εβre␈α␈prese␈α␈n␈α␈ting␈α	th␈α␈e␈α
time␈α	to␈α	f␈α↓a␈α␈ctor␈↓ ¬
␈ε	w␈↓ ¬#␈εβ(␈↓ ¬.␈ε	x␈↓ ¬?␈εβ)␈ε⊂␈α
com␈α␈pletely␈εβ␈α␈←␈α↓is␈↓ π2␈ε	O␈↓ πW␈ε	k␈↓ πt␈εβ(␈↓ π␈␈εβlog␈↓ λ/␈ε	p␈↓ λ@␈εβ)␈↓ λ]␈εβ+␈↓ 	∧␈ε	k␈↓ 	 ␈εβ(␈↓ 	,␈εβlo␈α␈g␈↓ 	\␈ε	p␈↓ 	m␈εβ)␈↓ 
~␈εβu␈α␈nd␈α␈er␈α
th␈α␈is
␈β⊂→␈↓ ↓H␈εβp␈α␈laus␈α␈i␈α↓b␈α␈le␈αassu␈α␈mption␈α␈.
␈β⊂P␈↓ ↓V␈ε∪15.␈↓ α␈εβWe␈α
m␈α␈ay␈α	assu␈α␈me␈α	that␈↓ ∧F␈ε	u␈↓ ∧c␈ε↔≤␈εβ␈α
0␈α	an␈α␈d␈α	that␈↓ ε.␈ε	p␈↓ εI␈εβis␈α	odd␈α␈.␈αBerlek␈α␈amp␈α␈'␈α↓s␈α	meth␈α␈od␈α	ap␈α␈plied␈α	to␈α	the
␈β⊂s␈↓ βε␈εε2␈↓ 	%␈εε(␈↓ 	-␈εp␈↓ 	;␈ε~␈␈εε1)/2
␈β⊂w␈↓ ↓H␈εβp␈α␈olyn␈α␈om␈α␈i␈α↓a␈α␈l␈↓ αt␈ε	x␈↓ β~␈ε↔␈␈↓ βC␈ε	u␈↓ βb␈εβtell␈α↓s␈αus␈αtha␈α␈t␈αa␈αsqu␈α␈are␈αroo␈α␈t␈αex␈α␈i␈α↓st␈α␈s␈αif␈αan␈α␈d␈αon␈α␈l␈α↓y␈αif␈↓ 	⊃␈ε	u␈↓ 
λ␈εβmo␈α␈d␈↓ 
L␈ε	p␈↓ 
g␈εβ=␈α1␈α␈;
␈β⊃∨␈↓ ↓H␈εβlet␈αu␈α␈s␈αassu␈α␈me␈αth␈α␈at␈αthis␈αco␈α␈nd␈α␈i␈α↓tio␈α␈n␈αho␈α␈lds.
␈β∪(

␈β↓Y␈↓ ↓H␈εα4.6.2␈ε∞␈↓ π\ANSWERS␈α	T␈α␈O␈α	EXER␈α␈CISES␈↓ 
v␈εα599
␈βα'␈↓ βb␈εe
␈βα+␈↓ α␈εβLet␈↓ αJ␈ε	p␈↓ αb␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α
=␈↓ βQ␈εβ2␈↓ βt␈ε↔↓␈↓ ∧¬␈ε	q␈↓ ∧∀␈εβ,␈αwh␈α␈ere␈↓ ¬	␈ε	q␈↓ ¬$␈εβis␈αodd␈α␈.␈α
Zasse␈α␈nh␈α␈aus's␈αfacto␈α␈ri␈α↓n␈α␈g␈αpro␈α␈ced␈α␈ure␈αsug␈α␈gests␈αthe
␈βαS␈↓ ↓H␈εβfo␈α␈l␈α↓lo␈α␈win␈α␈g␈αsqu␈α␈are-ro␈α␈ot␈αex␈α␈traction␈α
algo␈α␈ri␈α↓th␈α␈m:␈αSe␈α␈t␈↓ ε|␈ε	t␈↓ π∩␈ε↔ ␈εβ␈α	0.␈αEvalu␈α␈ate
␈ββ∨␈↓ β
␈εq␈↓ βw␈εε2␈↓ ε∞␈εε2␈↓ ε~␈εq␈↓ ππ␈εε2
␈ββ"␈↓ α≠␈εα(␈↓ ∧H␈εα)␈↓ ¬≡␈εα(␈↓ πX␈εα)
␈ββ%␈↓ ↓i␈εβgc␈α␈d␈↓ α'␈εβ(␈↓ α2␈ε	x␈↓ αK␈εβ+␈↓ αs␈ε	t␈↓ α␈␈εβ)␈↓ β≡␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ βf␈ε	x␈↓ ∧␈ε↔␈␈↓ ∧4␈ε	u␈↓ ∧T␈εβ,␈↓ ∧l␈εβgcd␈↓ ¬*␈εβ(␈↓ ¬5␈ε	x␈↓ ¬N␈εβ+␈↓ ¬w␈ε	t␈↓ εβ␈εβ)␈↓ ε.␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α␈,␈↓ εv␈ε	x␈↓ π≠␈ε↔␈␈↓ πD␈ε	u␈↓ πd␈εβ,
␈ββN␈↓ ¬W␈εε4␈↓ ¬d␈εq␈↓ εQ␈εε2␈↓ λg␈εε8␈↓ λt␈εq␈↓ 	a␈εε2
␈ββQ␈↓ ∧h␈εα(␈↓ π"␈εα)␈↓ πx␈εα(␈↓ 
1␈εα)
␈ββT␈↓ ∧6␈εβg␈α␈cd␈↓ ∧t␈εβ(␈↓ ∧␈␈ε	x␈↓ ¬↔␈εβ+␈↓ ¬@␈ε	t␈↓ ¬L␈εβ)␈↓ ¬w␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ ε?␈ε	x␈↓ εe␈ε↔␈␈↓ π
␈ε	u␈↓ π.␈εβ,␈↓ πF␈εβg␈α␈cd␈↓ λ∧␈εβ(␈↓ λ∂␈ε	x␈↓ λ'␈εβ+␈↓ λP␈ε	t␈↓ λ\␈εβ)␈↓ 	π␈ε↔␈␈εβ␈αλ1,␈↓ 	O␈ε	x␈↓ 	u␈ε↔␈␈↓ 
≥␈ε	u␈↓ 
=␈εβ,␈↓ 
U␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ α␈εβ,
␈β∧&␈↓ ↓H␈εβu␈α␈n␈α␈til␈α|n␈α␈ding␈α
the␈α|␈α␈rst␈αcase␈αwh␈α␈ere␈αth␈α␈e␈αgcd␈α
i␈α↓s␈αn␈α␈ot␈α1␈α(mo␈α␈du␈α␈l␈α↓o␈↓ λ~␈ε	p␈↓ λ+␈εβ)␈α↓.␈αIf␈αthe␈αg␈α␈cd␈αis␈↓ 
∧␈ε	x␈↓ 
≥␈ε↔␈␈↓ 
F␈ε	v␈↓ 
W␈εβ,␈αth␈α␈en
␈β∧I␈↓ ∧B␈εε2
␈β∧K␈↓ ↓i␈∧∧K↓iα∃
␈β∧M␈↓ ↓H␈ε↔p␈↓ ↓i␈ε	u␈↓ αε␈εβ=␈ε↔␈α
ε␈↓ αR␈ε	v␈↓ αc␈εβ.␈αIf␈αthe␈α
gcd␈α
i␈α↓s␈↓ ∧1␈ε	x␈↓ ∧V␈ε↔␈␈↓ ∧␈␈ε	u␈↓ ¬∪␈εβ,␈αset␈↓ ¬[␈ε	t␈↓ ¬p␈ε↔ ␈↓ ε≠␈ε	t␈↓ ε.␈εβ+␈αλ1␈α
and␈α
rep␈α␈eat␈αth␈α␈e␈αcalcu␈α␈l␈α↓a␈α␈tion.
␈β∧r␈↓ βu␈εk␈↓ ∧h␈εε2␈↓ 	∂␈εk␈↓ 	≤␈εε+␈α↓1␈↓ 
)␈εε2
␈β∧v␈↓ α␈ε⊂Note␈α␈s:␈εβ␈αIf␈α(␈↓ β∨␈ε	x␈↓ β6␈εβ+␈↓ β↑␈ε	t␈↓ βi␈εβ)␈↓ ∧π␈εβmod␈↓ ∧L␈εβ(␈↓ ∧W␈ε	x␈↓ ∧{␈ε↔␈␈↓ ¬"␈ε	u␈↓ ¬6␈εβ)␈α
=␈↓ ¬u␈ε	a␈↓ εε␈ε	x␈↓ ε≥␈εβ+␈↓ εE␈ε	b␈↓ εR␈εβ,␈α
then␈α	w␈α␈e␈α
hav␈α}e␈α
(␈↓ λ9␈ε	x␈↓ λQ␈εβ+␈↓ λx␈ε	t␈↓ 	∧␈εβ)␈↓ 	H␈εβm␈α␈od␈↓ 
␈εβ(␈↓ 
↔␈ε	x␈↓ 
;␈ε↔␈␈↓ 
c␈ε	u␈↓ 
w␈εβ)␈α	=
␈β¬→␈↓ ¬4␈εε2␈↓ ¬@␈εk␈↓ ε4␈εε2␈↓ λK␈εε2␈↓ 	_␈εε2␈↓ ↔␈εq
␈β¬≥␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	b␈↓ ↓g␈εβ+␈↓ α⊂␈ε	a␈↓ α ␈ε	t␈↓ α,␈εβ)␈↓ α7␈ε	x␈↓ αP␈εβ+␈απ(␈↓ ββ␈ε	b␈↓ β⊂␈ε	t␈↓ β$␈εβ+␈↓ βL␈ε	a␈↓ β]␈ε	u␈↓ βq␈εβ),␈αan␈α␈d␈α
(␈↓ ∧\␈ε	x␈↓ ∧t␈εβ+␈↓ ¬≥␈ε	t␈↓ ¬)␈εβ)␈↓ ¬S␈εβmo␈α␈d␈↓ ε↔␈εβ(␈↓ ε#␈ε	x␈↓ εH␈ε↔␈␈↓ εp␈ε	u␈↓ π∧␈εβ)␈α
=␈α	2␈↓ πT␈ε	a␈↓ πd␈ε	b␈↓ πq␈ε	x␈↓ λ
␈εβ+␈αλ(␈↓ λ>␈ε	b␈↓ λ←␈εβ+␈↓ 	π␈ε	a␈↓ 	$␈ε	u␈↓ 	8␈εβ);␈αh␈α␈en␈α␈ce␈α(␈↓ 
?␈ε	x␈↓ 
X␈εβ+␈↓ ␈ε	t␈↓ ␈εβ)␈↓ #␈εβ,
␈β¬A␈↓ α2␈εε2␈↓ α>␈εq
␈β¬E␈↓ ↓H␈εβ(␈↓ ↓S␈ε	x␈↓ ↓o␈εβ+␈↓ α≠␈ε	t␈↓ α'␈εβ)␈↓ αK␈εβ,␈↓ αe␈εβ.␈αε.␈αε.␈↓ β≤␈εβare␈α⊂e␈α␈asy␈α⊂to␈α∂eva␈α␈l␈α↓u␈α␈ate␈α⊂e␈α␈}cien␈α}tl␈α↓y␈α␈,␈α∩a␈α␈nd␈α⊂t␈α␈he␈α⊂ca␈α␈l␈α↓c␈α␈ulation␈α∂for␈α⊂|x␈α}ed␈↓ 
F␈ε	t␈↓ 
b␈εβt␈α␈ak␈α␈e␈α␈s
␈β¬i␈↓ αC␈εε3
␈β¬j␈↓ ↓`␈εα(␈↓ αP␈εα)
␈β¬m␈↓ ↓H␈ε	O␈↓ ↓l␈εβ(␈↓ ↓w␈εβlog␈↓ α'␈ε	p␈↓ α8␈εβ)␈↓ αh␈εβun␈α␈its␈α
of␈αtime.␈α⊂Th␈α␈e␈α
sq␈α␈uar␈α␈e␈α
ro␈α␈ot␈α
will␈α
be␈αfou␈α␈nd␈αwh␈α␈en␈↓ λ\␈ε	t␈↓ λt␈εβ=␈α0␈αwith␈αprob␈α␈ab␈α␈il␈α↓ity
␈βε⊂␈↓ ↓z␈εe␈↓ α∧␈ε~␈␈εε␈α↓1
␈βε∀␈↓ ↓H␈εβ1␈α␈/␈↓ ↓i␈εβ2␈↓ α*␈εβ;␈αth␈α}us␈αit␈αwi␈α↓ll␈αalway␈α␈s␈αb␈α␈e␈αfou␈α␈nd␈αimm␈α␈ediate␈α␈l␈α↓y␈α
when␈↓ πv␈ε	p␈↓ λ
␈εβmo␈α␈d␈↓ λQ␈εβ4␈α	=␈α
3.␈αIf␈αw␈α␈e␈αch␈α␈oose␈↓ 
x␈ε	t␈↓ ∂␈εβa␈α␈t
␈βε<␈↓ ↓H␈εβra␈α␈nd␈α␈om␈αλinstea␈α␈d␈αλof␈α	inc␈α␈reasin␈α␈g␈α	it␈αλsequ␈α␈en␈α␈tially,␈α	ex␈α}ercise␈αλ14␈αλgiv␈α␈es␈αλa␈αλri␈α↓g␈α␈orou␈α␈s␈α	p␈α␈roo␈α␈f␈α	th␈α␈at␈α	e␈α␈ach
␈βεc␈↓ ↓H␈ε	t␈↓ ↓←␈εβgiv␈α␈es␈αsucce␈α␈ss␈αat␈αlea␈α␈st␈αab␈α␈ou␈α␈t␈αha␈α␈lf␈αof␈αth␈α␈e␈αtime;␈αbu␈α␈t␈αfor␈αp␈α␈ractica␈α␈l␈αpu␈α␈rpo␈α␈ses␈αth␈α␈i␈α↓s␈αrand␈α␈om
␈βπ␈↓ ↓H␈εβc␈α␈hoice␈αisn␈α␈'t␈αn␈α␈eed␈α␈ed␈α␈.
␈βπ4␈↓ α␈εβAno␈α␈the␈α␈r␈α∞squ␈α␈are-ro␈α␈ot␈α∞me␈α␈thod␈α
h␈α␈as␈α∞b␈α␈een␈α
sug␈α␈gested␈α
b␈α␈y␈α∞D.␈α∞S␈α␈ha␈α␈nk␈α␈s.␈α∀Whe␈α␈n␈↓ 
.␈ε	e␈↓ 
I␈εβ>␈α∞1␈α
it
␈βπS␈↓ λj␈ε
e␈↓ λu␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βπW␈↓ λ↑␈εε2
␈βπ[␈↓ ↓H␈εβre␈α␈quires␈απa␈α␈n␈απau␈α␈xiliary␈απco␈α␈nsta␈α␈n␈α␈t␈↓ ∧u␈ε	z␈↓ ¬
␈εβ(de␈α␈pen␈α␈din␈α␈g␈απon␈α␈l␈α↓y␈αεon␈↓ π!␈ε	p␈↓ π2␈εβ)␈απsu␈α␈ch␈απth␈α␈at␈↓ λP␈ε	z␈↓ 	 ␈ε↔⊃␈α	␈␈εβ␈α↓1␈α	(mo␈α␈du␈α␈lo␈↓ π␈ε	p␈↓ _␈εβ).
␈βπ␈␈↓ β8␈εq
␈βλβ␈↓ ↓H␈εβTh␈α␈e␈α
v␈α␈alue␈↓ αb␈ε	z␈↓ αy␈εβ=␈↓ β$␈ε	n␈↓ βI␈εβmod␈↓ ∧∞␈ε	p␈↓ ∧(␈εβwil␈α↓l␈α
w␈α␈o␈α␈rk␈α	f␈α↓o␈α␈r␈α
a␈α␈l␈α↓m␈α␈ost␈α
o␈α␈ne␈α	ha␈α␈l␈α↓f␈α	of␈α
a␈α␈l␈α↓l␈α	i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs␈↓ 	≠␈ε	n␈↓ 	/␈εβ;␈α
on␈α␈ce␈↓ 

␈ε	z␈↓ 
$␈εβis␈α
k␈α␈no␈α␈wn␈α␈,
␈βλ*␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αfollo␈α␈wing␈αa␈α␈lgorith␈α␈m␈αrequ␈α␈ires␈αno␈α
more␈αp␈α␈rob␈α␈ab␈α␈i␈α↓listic␈αcalcu␈α␈lation␈α␈:
␈βλ]␈↓ ∧k␈εε(␈↓ ∧s␈εq␈↓ ∧␈␈εε+1)/2␈↓ π↔␈εq
␈βλa␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈1.␈↓ α␈εβSe␈α␈t␈↓ αE␈ε	y␈↓ αa␈ε↔ ␈↓ β␈ε	z␈↓ β→␈εβ,␈↓ β.␈ε	r␈↓ βF␈ε↔ ␈↓ βp␈ε	e␈↓ β⎇␈εβ,␈↓ ∧∩␈ε	v␈↓ ∧,␈ε↔ ␈↓ ∧W␈ε	u␈↓ ¬L␈εβmod␈↓ ε⊃␈ε	p␈↓ ε"␈εβ,␈↓ ε6␈ε	w␈↓ εX␈ε↔ ␈↓ πα␈ε	u␈↓ π(␈εβmod␈↓ πm␈ε	p␈↓ π}␈εβ.
␈β	∂␈↓ 
E␈ε
k
␈β	∪␈↓ 
8␈εε2
␈β	↔␈↓ ↓U␈ε∪S␈α␈2.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	w␈↓ αO␈εβ=␈α	1,␈αsto␈α␈p;␈↓ βo␈ε	v␈↓ ∧␈εβis␈α
the␈α
an␈α␈sw␈α␈er.␈αOther␈α␈w␈α↓ise␈α
|n␈α␈d␈α
the␈α
sma␈α␈ll␈α↓es␈α␈t␈↓ λr␈ε	k␈↓ 	
␈εβsu␈α␈ch␈α
tha␈α␈t␈↓ 
 ␈ε	w␈↓ 
W␈εβmo␈α␈d␈↓ ≤␈ε	p
␈β	?␈↓ α␈εβis␈αequ␈α␈al␈αto␈α1.␈αIf␈↓ βs␈ε	k␈↓ ∧
␈εβ=␈↓ ∧7␈ε	r␈↓ ∧F␈εβ,␈αstop␈α(th␈α␈ere␈αis␈αno␈α
an␈α␈swe␈α␈r);␈αo␈α␈therwise␈αse␈α␈t
␈β
␈↓ ε#␈ε
r␈↓ ε/␈ε≠␈␈↓ εE␈ε
k␈↓ π0␈ε
r␈↓ π<␈ε≠␈␈↓ πR␈ε
k␈↓ π←␈ε≠␈␈επ␈α␈1␈↓ λG␈ε
r␈↓ λS␈ε≠␈␈↓ λj␈ε
k
␈β
⊂␈↓ ε⊗␈εε2␈↓ π$␈εε2␈↓ λ;␈εε2
␈β
⊗␈↓ ∧7␈εβ(␈↓ ∧B␈ε	y␈↓ ∧U␈εβ,␈↓ ∧d␈ε	r␈↓ ∧r␈εβ,␈↓ ¬↓␈ε	v␈↓ ¬∩␈εβ,␈↓ ¬!␈ε	w␈↓ ¬:␈εβ)␈ε↔␈α	 ␈εβ␈α
(␈↓ ε∧␈ε	y␈↓ εR␈εβ,␈↓ εa␈ε	k␈↓ εq␈εβ,␈↓ π␈ε	v␈↓ π⊃␈ε	y␈↓ λ↓␈εβ,␈↓ λ⊂␈ε	w␈↓ λ(␈ε	y␈↓ λv␈εβ)
␈β
h␈↓ α␈εβan␈α␈d␈αrep␈α␈ea␈α␈t␈αs␈α␈tep␈αS␈α␈2.
␈β
j␈↓ ∧J␈∧
j∧J≠∂
␈β(␈↓ ↔␈εε2
␈β,␈↓ α␈εβThe␈αvalidity␈αof␈α
this␈α
algo␈α␈rithm␈α
fo␈α␈l␈α↓lo␈α␈ws␈α
fro␈α␈m␈α
the␈α
in␈α}varia␈α␈n␈α␈t␈α
co␈α␈ngru␈α␈en␈α␈ces␈↓ 
≡␈ε	u␈↓ 
2␈ε	w␈↓ 
W␈ε↔⊃␈↓ ¬␈ε	v␈↓ #␈εβ,
␈βK␈↓ ↓g␈ε
r␈↓ ↓r␈ε≠␈␈επ1␈↓ β=␈ε
r␈↓ βI␈ε≠␈␈επ␈α␈1
␈βO␈↓ ↓Z␈εε2␈↓ β0␈εε2␈↓  ␈εε2
␈βP␈↓ β␈εε1
␈βS␈↓ ↓H␈ε	y␈↓ α!␈ε↔⊃␈α
␈␈εβ1,␈↓ β_␈ε	w␈↓ βw␈ε↔⊃␈εβ␈α
1␈α(mod␈α␈ulo␈↓ ¬D␈ε	p␈↓ ¬U␈εβ).␈α⊃On␈α
th␈α␈e␈α
av␈α}erag␈α␈e,␈α∞step␈αS2␈α
will␈α
requ␈α␈i␈α↓re␈αabo␈α␈ut␈↓ ∪␈ε	e
␈βa␈↓ β␈∧aβα
␈βd␈↓ β␈εε4
␈β{␈↓ ↓H␈εβm␈α}ultiplication␈α␈s␈α
m␈α␈od␈↓ βq␈ε	p␈↓ ∧α␈εβ.␈α∃Referen␈α␈ce:␈ε⊂␈α
P␈α↓ro␈α␈c.␈α
S␈α␈econ␈α␈d␈α	Ma␈α␈nitob␈α␈a␈α	Con␈α␈f␈α↓.␈α	Num␈α␈er.␈α
Ma␈α␈th.␈εβ␈α	(197␈α␈2),
␈β#␈↓ ↓H␈εβ5␈α␈8↑6␈α␈2.␈↓ α1␈εβA␈αrelated␈αm␈α␈etho␈α␈d␈αwas␈α
p␈α␈ub␈α␈li␈α↓s␈α␈hed␈αb␈α␈y␈αA.␈α
Ton␈α␈ell␈α↓i,␈ε⊂␈α
G␈↓ λ∞␈ε⊂∪␈↓ λ∞␈ε⊂o␈↓ λ∨␈ε⊂ttin␈α␈ger␈αNach␈α␈rich␈α␈te␈α␈n␈εβ␈α(189␈α␈1),
␈βJ␈↓ ↓H␈εβ3␈α␈44↑␈α␈346␈α␈.
␈β
␈↓ ↓V␈ε∪16.␈↓ α␈εβ(a)␈α⊃S␈α␈ub␈α␈stitute␈α	poly␈α␈no␈α␈mials␈α
mod␈α␈ulo␈↓ ε⊃␈ε	p␈↓ ε,␈εβfo␈α␈r␈α
i␈α↓n␈α}tege␈α␈rs,␈αin␈α	the␈α
p␈α␈roo␈α␈f␈αfo␈α␈r␈↓ 	H␈ε	n␈↓ 	f␈εβ=␈α	1.␈α⊗(b)␈α
The
␈β
 ␈↓ 
2␈ε
n
␈β
$␈↓ λS␈εk␈↓ 
$␈εp
␈β
(␈↓ ↓H␈εβp␈α␈roo␈α␈f␈αfo␈α␈r␈↓ αP␈ε	n␈↓ αm␈εβ=␈α
1␈α
c␈α␈arries␈α
o␈α␈v␈α}er␈α
to␈α
a␈α␈n␈α␈y␈α	|n␈α␈i␈α↓te␈α	|eld.␈α⊗(c)␈α
Sin␈α␈ce␈↓ π}␈ε	x␈↓ λ→␈εβ=␈↓ λC␈ε	_␈↓ λj␈εβfor␈α
so␈α␈me␈↓ 	o␈ε	k␈↓ 	␈␈εβ,␈↓ 
∪␈ε	x␈↓ 
K␈εβ=␈↓ 
u␈ε	x␈↓ ⊃␈εβin
␈β
G␈↓ 
Q␈ε
m
␈β
L␈↓ 
C␈εp
␈β
P␈↓ ↓H␈εβth␈α␈e␈αλ|␈α␈eld␈αλd␈α␈e|n␈α␈ed␈αλb␈α␈y␈↓ β`␈ε	f␈↓ βo␈εβ(␈↓ βz␈ε	x␈↓ ∧␈εβ).␈α
Furth␈α␈ermo␈α␈re,␈α	the␈απelemen␈α}ts␈↓ π0␈ε	y␈↓ πK␈εβth␈α␈at␈αλsa␈α␈tisf␈α↓y␈απth␈α␈e␈αλequ␈α␈ation␈↓ 
0␈ε	y␈↓ 
o␈εβ=␈↓ ~␈ε	y
␈β
o␈↓ 
F␈ε
m
␈β
s␈↓ 
8␈εp
␈β
w␈↓ ↓H␈εβin␈αthe␈α|eld␈αare␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αad␈α␈dition,␈αa␈α␈nd␈αclosed␈αun␈α␈de␈α␈r␈αm␈α␈u␈α␈l␈α↓tip␈α␈l␈α↓ica␈α␈ti␈α↓o␈α␈n;␈αso␈αif␈↓ 
'␈ε	x␈↓ 
f␈εβ=␈↓ ∩␈ε	x␈↓ #␈εβ,
␈β∞↔␈↓ 	"␈ε
m
␈β∞≠␈↓ 	∀␈εp
␈β∞∨␈↓ ↓H␈εβth␈α␈en␈↓ α∪␈ε	_␈↓ α.␈εβ(being␈α
a␈αpo␈α␈lyn␈α␈omial␈αin␈↓ ¬↓␈ε	x␈↓ ¬≥␈εβwi␈α↓th␈α
i␈α↓n␈α}teg␈α␈er␈αcoe}␈α␈cien␈α␈ts)␈αsa␈α␈ti␈α↓s|␈α␈es␈↓ 	∧␈ε	_␈↓ 	A␈εβ=␈↓ 	k␈ε	_␈↓ 	{␈εβ.
␈β∞U␈↓ ↓V␈ε∪17.␈↓ α␈εβIf␈↓ α-␈ε	_␈↓ αH␈εβis␈αa␈αp␈α␈ri␈α↓m␈α␈i␈α↓tiv␈α}e␈αroo␈α␈t,␈αe␈α␈ach␈α
no␈α␈nzero␈α
elemen␈α}t␈αis␈αsome␈α
po␈α␈w␈α␈er␈αo␈α␈f␈↓ 	!␈ε	_␈↓ 	1␈εβ.␈αHence␈α
the␈αo␈α␈rde␈α␈r
␈β∞y␈↓ ∧↔␈εε2␈↓ ¬)␈εε3
␈β∞⎇␈↓ ↓H␈εβm␈α}ust␈αb␈α␈e␈αa␈αdiv␈α␈i␈α↓so␈α␈r␈αof␈α1␈↓ ∧π␈εβ3␈↓ ∧+␈ε↔␈␈εβ␈αλ1␈α	=␈↓ ¬→␈εβ2␈↓ ¬=␈ε↔↓␈εβ␈αλ3␈ε↔␈απ↓␈εβ␈αλ7␈α␈,␈αa␈α␈nd␈↓ ε\␈ε	⎇␈↓ εr␈εβ(␈↓ ε⎇␈ε	f␈↓ π
␈εβ)␈αelem␈α␈en␈α␈ts␈αh␈α␈av␈α␈e␈α
orde␈α␈r␈↓ 	P␈ε	f␈↓ 	`␈εβ.
␈β∂K␈↓ α↑␈ε	f␈↓ β!␈ε	⎇␈↓ β6␈εβ(␈↓ βA␈ε	f␈↓ βQ␈εβ)␈↓ ∧`␈ε	f␈↓ ¬+␈ε	⎇␈↓ ¬@␈εβ(␈↓ ¬K␈ε	f␈↓ ¬[␈εβ)␈↓ εi␈ε	f␈↓ π=␈ε	⎇␈↓ πR␈εβ(␈↓ π↑␈ε	f␈↓ πm␈εβ)␈↓ 	␈ε	f␈↓ 	h␈ε	⎇␈↓ 	}␈εβ(␈↓ 
	␈ε	f␈↓ 
→␈εβ)
␈β∂}␈↓ α]␈εβ1␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ3␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εq␈εβ7␈↓ π[␈εβ6␈↓ 	␈εβ21␈↓ 	u␈εβ12
␈β⊂%␈↓ α]␈εβ2␈↓ β6␈εβ1␈↓ ∧g␈εβ6␈↓ ¬@␈εβ2␈↓ εa␈εβ1␈α␈4␈↓ π[␈εβ6␈↓ 	␈εβ42␈↓ 	u␈εβ12
␈β⊂M␈↓ α]␈εβ4␈↓ β6␈εβ2␈↓ ∧W␈εβ1␈α␈2␈↓ ¬@␈εβ4␈↓ εa␈εβ2␈α␈8␈↓ πJ␈εβ12␈↓ 	␈εβ84␈↓ 	u␈εβ24
␈β⊂u␈↓ α]␈εβ8␈↓ β6␈εβ4␈↓ ∧W␈εβ2␈α␈4␈↓ ¬@␈εβ8␈↓ εa␈εβ5␈α␈6␈↓ πJ␈εβ24␈↓ λ{␈εβ168␈↓ 	u␈εβ48
␈β∪(/FONT#1=cmathx[XGP,SYS]=↓αβλ	⊂⊃∩∪ !01@ABCPQRSXYZpp/FONT#2=cmr10[XGP,SYS]=(),./0123456789ACEFGHIMNOPRSTUVW[↑abcdefghilmnoprstuwyy/FONT#3=cmr9[XGP,SYS]=¬ε
∞∂∪∀!"&'()+,-./0123456789:;<=>?ABCDEFGHIJKLMNOPRSTUVWXYZ[\]↑←abcdefghijklmnopqrstuvwxyz{|⎇}␈␈/FONT#4=cmr8[XGP,SYS]=2566/FONT#6=cmr6[XGP,SYS]=()+,./0123456789<=[]acdegilmnoprvxx/FONT#7=cmr5[XGP,SYS]=+,01233/FONT#9=cmi9[XGP,SYS]=β
∞∂⊂⊃∩∃⊗_→≠≡#ABCDEFGHIKMNOPQRSTUVWXYZabcdefghijklmnpqrstuvwxyz|⎇⎇/FONT#12=cmi6[XGP,SYS]=
∞∩∃⊗ABCDEFKMNPQRTabcdefgijklmnopqrstuvwxyz⎇⎇/FONT#13=cmi5[XGP,SYS]=eijklmnprtt/FONT#14=cmsc10[XGP,SYS]=ACEINORSTWXX/FONT#16=cms9[XGP,SYS]=∞∪'(),-./123689:;ABCEFGHIJKLMNPRSTVWZabcdefghiklmnopqrstuvwxyz||/FONT#19=cmb9[XGP,SYS]=.0123456789ACFSTYghilmortt/FONT#21=cmtt[XGP,SYS]= ()*+,-./01234589:=ABCDEFGHIJLMNOPRSTUVWXYY/FONT#22=cmsy10[XGP,SYS]=⎇⎇/FONT#23=cmsy9[XGP,SYS]=↓α∧επ⊃∀∃_→≤ !)12?@GI\bcdefghijkpxx/FONT#26=cmsy6[XGP,SYS]=↓∧∀∃≤!01bcdee/FONT#27=cmsy5[XGP,SYS]=00/FONT#29=cmssb[XGP,SYS]=.123456CEINOSTT